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Introducción a la Informática 2009 Tema

Licenciatura en Sistemas de Información –FACENA-UNNE Pág. 1

2222TEMA 2: Representación de la información en las computadoras

Introducción

Dos de los aspectos más importantes que se presentan en Informática, relacionados con la información, es cómo representarla y cómo materializarla o registrarla físicamente.

En la representación al interior de las computadoras, se consideran cuatro tipos de información: textos, datos numéricos, sonidos e imágenes. Cada uno de ellos presenta características diferentes.

El objetivo es comprender los procesos que transforman la información externa a la computadora en patrones de bits fácilmente almacenables y procesables por los elementos internos de la misma. Sistemas Numéricos

El estudio de las computadoras y del procesamiento de datos requiere algún conocimiento de los sistemas numéricos, ya que éstos constituyen la base de todas las transformaciones de información que ocurren en el interior de la computadora.

El sistema binario, compuesto por los símbolos 1 y 0, es el que utiliza la computadora en su funcionamiento interno. La computadora opera en binario debido a que sus componentes físicos, pueden representar solamente dos estados de condición: apagado/prendido, abierto/cerrado, magnetizado/no magnetizado, etc. Estados de condición a los que se les asigna el valor 1 ó 0.

El sistema decimal, compuesto por los símbolos 0 al 9, es el sistema numérico que utilizamos a diario.

El sistema hexadecimal, con 16 símbolos, ofrece la posibilidad de comprimir los números binarios para hacerlos más sencillos de tratar.

Los sistemas numéricos difieren en cuanto a la disposición y al tipo de los símbolos que utilizan. En este tema se analizaran los sistemas decimal, binario y hexadecimal.

Para entender los procesos de representación de las cifras numéricas utilizando los sistemas de numeración, veremos los conceptos de valor relativo y posicional de los números.

Posiciones de valor relativo.

Los árabes inventaron los símbolos numéricos y el sistema de posición relativa sobre el cual se basa nuestro sistema decimal actual y otros sistemas numéricos. Cada uno de los símbolos tiene un valor fijo superior en uno al valor del símbolo que lo precede en la progresión ascendente: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cuando se combinan varios símbolos (o dígitos), el valor del número depende de la "posición relativa" de cada uno de los dígitos y del "valor de los dígitos", el primero es el "valor posicional" y el segundo es el "valor absoluto".

En cualquier sistema de posiciones de valor relativo, la posición del dígito de la extrema derecha es la de menor valor, o posición de orden inferior, y el dígito que la ocupa se denomina "dígito menos significativo". El incremento de valor de cada posición de dígito depende de la base o raíz del sistema numérico. De este modo, en el sistema decimal, que utiliza la base 10, el valor de las posiciones de dígito a la izquierda del dígito menos significativo (o posición de unidades), aumenta en una potencia de 10 por cada posición.

El sistema decimal tiene base (raíz) 10, porque dispone de 10 símbolos (0-9) numéricos discretos para contar. Entonces, la "base" de un sistema numérico es la cantidad de símbolos que lo componen y el valor que define al sistema.

Como ejemplo de valor relativo de los dígitos, consideremos el número decimal 6.954. Aunque su valor es evidente a simple vista, la notación 6.954 significa en realidad:



22226000 + 900 + 50 + 4 = 6.954

El valor relativo de cada dígito es aun más claro si el número se expresa en potencias de diez. Cualquier entero positivo n que se representa en el sistema decimal como una cadena de dígitos decimales, puede expresarse también como una suma de potencias de diez ponderada por un dígito. Ejemplo:

6.954 = 6 x 103 + 9 x 102 + 5 x 101 + 4 x 100 = 6 x 1000 + 9 x 100 + 5 x 10 + 4 x 1

A esto se llama notación expandida para el entero.

Las potencias de diez: 100 = 1; 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000, corresponden, respectivamente, a los dígitos en un entero decimal cuando se leen de derecha a izquierda. Cualquier valor fraccionario m, representado en el sistema decimal por una cadena de dígitos decimales junto con un punto decimal intercalado, puede expresarse también en notación expandida usando potencias negativas de 10. Específicamente, el valor posicional de los dígitos a la derecha del punto decimal es, respectivamente:

El sistema de posiciones de valor relativo no es posible sin el cero. Su presencia en un número significa simplemente que la potencia de la base representada por la posición del dígito 0 no se utiliza. Por lo tanto, el número decimal 8.003 significa:

8 x 10 3 + 0 x 102 + 0 x 101 + 3 x 100 =

8 x 1000 + 0 x 100 + 0 x 10 + 3 x 1 =

8.000 + 0 + 0 + 3 = 8.003

Estas reglas del valor relativo se aplican en general a todos los sistemas numéricos, sea cual fuere la base o raíz que se use. Sistema decimal El más importante factor en el desarrollo de la ciencia y la matemática fue la invención del sistema decimal de numeración. Este sistema utiliza diez símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, denominados generalmente "cifras decimales". La costumbre de contar por decenas se originó probablemente en el hecho de tener el hombre diez dedos. Sistema binario El sistema numérico binario (de base 2) usa solamente dos símbolos diferentes, 0 y 1, que significan "ninguna unidad" y "una unidad" respectivamente. A diferencia del sistema decimal, el valor relativo de los dígitos binarios a la izquierda del dígito menos significativo aumenta en una potencia de dos cada vez, en lugar de hacerlo en potencias de diez. Específicamente, los valores de posición de la parte entera de un número binario son las potencias positivas de dos:

24 23 22 21 20 (de derecha a izquierda) Y los valores de posición de la parte fraccionaria de un número binario son las potencias negativas de dos: 2-1 2-2 2-3 2-4 (de izquierda a derecha).

Potenciade dos

Valor decimal

Potenciade dos

Valor decimal

210

1024 22 4

29 512 21 2

28 256 2

0 1

10110 1 =−

100110 2 =−

1000110 3 =−



22222

7 128 2-1 0,5

26 64 2

-2 0,25

25 32 2

-3 0,125

24 16 2

-4 0,0625

23 8 2

-5 0,03125

Por ejemplo, el número binario 101101,11 significa: 101101,11 = 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 =

= 1 x 32 + 0 + 1 x 8 + 1 x 4 + 0 +1 x 1 + 1 x 0,5 + 1 x 0,25 = = 45,75 (10)

Para evitar confusiones, cuando se emplean varios sistemas de notación, se acostumbra encerrar cada número entre paréntesis y escribir la base como subíndice, en notación decimal. Utilizando el ejemplo precedente, tenemos que:

101101,11 (2) = 45,75 (10)

Sistema hexadecimal

Los números binarios de gran magnitud consisten en largas series de ceros y unos, que son difíciles de interpretar y manejar. Como un medio conveniente para representar esos números binarios de gran magnitud se utiliza el sistema numérico hexadecimal (de base 16). Cada dígito hexadecimal representa cuatro dígitos binarios.

La notación hexadecimal requiere el uso de 16 símbolos para representar 16 valores numéricos. Dado que el sistema decimal proporciona solamente diez símbolos numéricos (de 0 a 9), se necesitan seis símbolos adicionales para representar los valores restantes. Se han adoptado para este fin las letras A, B, C, D, E, y F aunque podrían haberse utilizado cualesquiera otros símbolos.

La lista completa de símbolos hexadecimales consta, por lo tanto, del 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F, en orden ascendente de valor. La tabla 1 muestra los números decimales, hexadecimales y binarios equivalentes (hasta el número 31). Nótese que al alcanzarse el número decimal 16, se terminan los símbolos hexadecimales y se coloca un "1de acarreo" delante de cada símbolo hexadecimal en el segundo ciclo, que abarca los números decimales de 16 a 31.

El significado de los números hexadecimales se hace evidente con el desarrollo en potencias de 16.

Por ejemplo el número hexadecimal 2CA significa (reemplazando los símbolos hexadecimales con símbolos decimales):

2 x 162 + 12 x 161 + 10 x 160

= 2 x 256 + 12 x 16 + 10 x 1 = 512 + 192 + 10 = 714 Al resolver un ejemplo de este tipo, es más conveniente disponer los productos en columna, para facilitar la suma.

Decimal Hexadecimal Binario 0 0 0000 1 1 0001 2 2 0010 3 3 0011 4 4 0100 5 5 0101 6 6 0110 7 7 0111 8 8 1000 9 9 1001



222210 A 1010 11 B 1011 12 C 1100 13 D 1101 14 E 1110 15 F 1111 16 10 10000 17 11 10001 18 12 10010 19 13 10011 20 14 10100 21 15 10101 22 16 10110 23 17 10111 24 18 11000 25 19 11001 26 1A 11010 27 1B 11011 28 1C 11100 29 1D 11101 30 1E 11110 31 1F 11111 Tabla 1. Tabla de equivalencias.

Teorema fundamental de la Numeración

Una determinada cantidad, que denominaremos número decimal (N en este caso), se puede expresar de la siguiente manera:

nN = ∑∑∑∑ (dígito)i x (Base) i

i=-d

Donde: - Base = 10 - i = posición respecto de la coma - d = nro. de dígitos a la derecha de la coma - n = nro. de dígitos a la izquierda de la coma, menos 1 - dígito = cada uno de los que componen el número Supongamos una cantidad expresada en un sistema cuya base es B y representamos por Xi,

cada uno de los dígitos que contiene dicha cantidad, donde el subíndice indica la posición del dígito con respecto a la coma decimal, posición que hacia la izquierda de la coma se numera desde 0 en adelante y de 1 en 1, y hacia la derecha se enumera desde -1 y con incremento -1. El Teorema Fundamental de la Numeración relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración, con la misma cantidad expresada en el sistema decimal: ..........+ X4 * B4 + X3* B3 + X2* B2 + X1* B1 + X0* B0

+ X-1* B-1 + X-2* B-2 + X-3* B-3 + X-4* B-4 + ....... Ejemplo: 201,13 es una cantidad expresada en un sistema de numeración en base 3. ¿Cuál será la representación de la misma cantidad en el sistema decimal?

201,1 (3) = 2 * 3 2+ 0 * 3 1 + 1 * 3 0 + 1 * 3 -1



2222Conversiones entre los distintos sistemas 1. Binario a decimal: Se suman los productos de todos los valores posicionales por el

número que ocupa la posición. Número binario: 1 1 0 1 , 0 1Multiplicado por: x x x x x xValor posicional 8 4 2 1 0,5 0,25

Es la base elevada a la posición 23 22 21 20 2-1 2-2

Resultado del producto: 8 4 0 1 0 0,25

La suma del resultado del producto = 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 = 13,25 (10)

Recuerde, el valor posicional es la base del sistema elevada al número de la posición que ocupa el número. 2. Hexadecimal a decimal: Se multiplica el número representado por el valor posicional

que le corresponde, y se suman los resultados:

Ej. AE1B = A x 163 + E x 162 + 1 x 161 + B x 160

= 10 x 4096 + 14 x 256 + 1 x 16 + 11 x 1 = 40960 + 3584 + 16 + 11 = 44571(10)

3. Decimal a binario: Para cambiar de base decimal a cualquier otra base se divide el

número que se quiere convertir por la base del sistema al que se quiere cambiar, los resultados que se obtengan en el cociente deben seguir dividiéndose hasta que este resultado sea menor que la base. Los residuos que resulten de todas las divisiones en orden progresivo se irán apuntando de derecha a izquierda.

Ejemplo: convertir el número decimal 39 a binario.

39 : 2 = 19 Resto = 1 19 : 2 = 9 Resto = 1 9 : 2 = 4 Resto = 14 : 2 = 2 Resto = 02 : 2 = 1 Resto = 0

(100111)2

Algoritmo Parte Entera: Para convertir N = (0,5821)10 en su equivalente binario multiplique N y cada parte fraccionaria sucesiva por la base (2 en este caso), observando la parte entera del producto, como sigue: Multiplicaciones Partes enteras

0,5821 x 2 = 1,1642 1 0,1642 x 2 = 0,3284 0 0,3284 x 2 = 0,6568 0 0,6568 x 2 = 1,3136 1 0,3136 x 2 = 0,6272 0

Observe que la parte entera de cualquier producto puede ser solo cero o uno; ya que se multiplican por 2 números que son menores que uno. La sucesión de dígitos partes enteras de arriba hacia abajo, da el equivalente binario requerido. Es decir N = 0,5821 es equivalente a 0, 10010(2) (aproximadamente) 4. Decimal a hexadecimal: El mecanismo de conversión es el mismo que el descripto en

el punto 3, pero dividiendo el número por 16, que es la base del sistema hexadecimal.



2222Para convertir una fracción decimal a su equivalente hexadecimal, aplicamos el algoritmo parte entera, con base 16.

5. Binario a hexadecimal: Se divide el número binario en grupos de cuatro dígitos

binarios, comenzando desde la derecha y se reemplaza cada grupo por el correspondiente símbolo hexadecimal. Si el grupo de la extrema izquierda no tiene cuatro dígitos, se deben agregar ceros hasta completar 4 dígitos.

Ejemplo: (111110011011010011)2 = 0011 / 1110 / 0110 / 1101 / 0011 = (3E6D3)16

6. Hexadecimal a binario: De la misma manera, para convertir números hexadecimales en binarios, reemplace cada símbolo hexadecimal por el correspondiente grupo de cuatro dígitos binarios, y descarte los ceros innecesarios. Ejemplo: (6C4F2E)16 = 0110/1100/0100/1111/0010/1110 = (11011000100111100101110)2

Operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas con números que no sean de base 10 siempre se pueden realizar convirtiendo los operandos al sistema decimal, realizando las operaciones aritméticas deseadas, y reconvirtiendo los resultados a números de la base original. Este procedimiento no se recomienda para operaciones aritméticas binarias, que son sumamente simples, pero puede ser conveniente para operaciones hexadecimales complicadas, especialmente cuando se dispone de una tabla de conversión de hexadecimal a decimal, y viceversa.

Las reglas de la aritmética son las mismas en todos los sistemas numéricos de posiciones de valor relativo. Por ello, basta sólo recordar las reglas correspondientes de la aritmética decimal para poder efectuar operaciones aritméticas con números de cualquier otra base.

Suma binaria.

En esencia, la suma abrevia la operación de contar. Sumamos dos dígitos contando los valores de ambos dígitos en orden correlativo, o bien, lo que es más simple memorizando la suma de los dígitos mediante una tabla de sumar. Cuando la suma de los dos dígitos excede los símbolos numéricos disponibles de la notación (es decir, el límite de cualquier posición de dígito), se lleva un 1 a la posición de dígito inmediatamente superior. Por lo tanto, en el sistema decimal, 3+5 = 8, pero 9+1 =0 con acarreo de un 1 (es decir 10).

En el sistema binario hay solamente dos símbolos, 0 y 1. Por lo tanto, al sumar 1+1 en la notación binaria se excede el límite de la cuenta (ya que no hay otro símbolo disponible) y, en consecuencia, el resultado es 0 con acarreo de un 1 a la posición de dígito inmediatamente superior. Las reglas completas de la suma binaria son las siguientes: Reglas de suma binaria:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 (0 con acarreo de 1)

La última suma puede escribirse como diez, pero se lee "uno, cero") La tabla de sumar binaria que se incluye a continuación brinda una manera conveniente de resumir estos resultados:

+ 0 10 0 11 1 10

Más abajo se dan tres ejemplos de suma binaria. El ejemplo de la izquierda es de por sí explicativo. El del centro origina un acarreo, que se indica encima de la posición de dígito correspondiente. El ejemplo de la derecha muestra la adición de dos números de ocho bits e

Tabla de suma binaria:



2222implica varios acarreos, que se indican. Como prueba de la operación, los operandos binarios han sido convertidos a decimales, y la suma se ha efectuado en ambos sistemas. Los resultados coinciden, como se puede probar por conversión. Acarreos 1 1 1 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 = 57+ 1 0 1 + 0 0 1 0 0 1 + 0 0 1 0 0 0 1 1 = + 35

1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 = 92

Frecuentemente es necesario sumar 1 + 1, además de un 1 de acarreo, proveniente de una posición de orden inferior. El resultado es 1, con acarreo de un 1 a la posición inmediatamente superior. En resumen, 1 + 1 + 1 = 1 con acarreo de un 1 (lo cual puede escribirse 11). El ejemplo siguiente ilustra este proceso:

1 11 1 1 1

+ 1 1 11 0 1 0 0

Resta binaria Las cuatro reglas básicas para la resta de números binarios son:

0 - 0 = 00 - 1 = 1 con acarreo negativo de 1, es decir, 10 – 1 = 11 - 0 = 11 - 1 = 0

Por ejemplo, restemos 101 – 011: 0 10

1 0 1- 0 1 1

0 1 0

• En la columna derecha se realiza la resta de 1 – 1 = 0 • En la columna central hay que tomar prestado un 1 de la siguiente columna más

significativa, la cual queda en 0 y da lugar a 10 en la columna central, luego 10 - 1 = 1 • En la columna izquierda, se resta 0 – 0 = 0 Resta binaria por complemento Este es el método más eficiente para realizar sustracciones, y consiste en sumar al minuendo el complemento del sustraendo. Luego, la unidad que excede la longitud del minuendo, se elimina de la izquierda y se suma a la cifra de las unidades. (Prestar atención siempre a las posiciones decimales). Ejemplo, realizar la siguiente resta:

1 0 0 0 1 1 , 1 0 1 (minuendo) - 1 0 1 0 1 (sustraendo)

Los pasos a seguir son:

a- Si la cantidad de dígitos del sustraendo es menor que la del minuendo se completa el sustraendo con ceros a la izquierda de la parte entera, y a la derecha de la parte decimal (encolumnar por la coma).

b- Se halla el complemento del sustraendo, restando este valor del máximo valor binario con la misma longitud que el minuendo.

1 1 1 1 1 1 , 1 1 1

- 0 1 0 1 0 1 , 0 0 01 0 1 0 1 0 , 1 1 1 (complemento)



2222

En el sistema binario el complemento también puede hallarse cambiando cada dígito del sustraendo por su opuesto, es decir, el 1 se convierte en 0, y viceversa. c- Se suma al minuendo el complemento del sustraendo.

1 0 0 0 1 1 , 1 0 1+ 1 0 1 0 1 0 , 1 1 1

1 0 0 1 1 1 0 , 1 0 0d- Se elimina el 1 de la izquierda y se suma encolumnado con el último dígito de la cifra, sin importar la coma decimal.

1 0 0 0 1 1 , 1 0 1+ 1 0 1 0 1 0 , 1 1 1

0 0 1 1 1 0 , 1 0 0+ 1

1 1 1 0 , 1 0 1 (resultado)

Las comprobaciones pueden realizarse convirtiendo a decimal las cifras del minuendo y del sustraendo y realizando la resta. Ejemplo:

1 0 0 0 1 1 , 1 0 1 = 35,625- 1 0 1 0 1 0 , 1 1 1 = 21 1 1 1 0 , 1 0 1 = 14,625

Otro modo de controlar el resultado es sumar el mismo al sustraendo, debiendo obtenerse el minuendo.

1 1 1 0 , 1 0 1+ 1 0 1 0 11 0 0 0 1 1 , 1 0 1

Suma hexadecimal.

La suma en el sistema hexadecimal sigue las mismas reglas que la suma decimal y la binaria. Trabajar con símbolos alfanuméricos - números y letras – puede parecer extraño al principio, dado que resultados que nos son familiares desde hace mucho tiempo en la suma decimal tienen un significado diferente en notación hexadecimal. Por ejemplo, mientras 4+5 = 9 tanto en el sistema decimal como en el hexadecimal, 7+8 = F (no 15) en la notación hexadecimal. Cada vez que la suma de dos dígitos sobrepasa F (el símbolo hexadecimal de mayor valor), se genera el acarreo de un 1 hacia la posición de dígito inmediatamente superior. De este modo, 7+9 = 10 (es decir, 0 con acarreo de un 1), 9+9 = 12 (es decir, 2 con acarreo de un 1), C+9 = 15, y así sucesivamente.

Una manera sencilla de realizar la suma hexadecimal es utilizando un método conocido como “método del reloj”. Consiste en ordenar todos los símbolos en un círculo, de menor a mayor, obteniéndose una disposición similar a la de los números de un reloj (de ahí su nombre). Para realizar una suma se debe proceder de la siguiente manera:

1. Posicionarse en el lugar correspondiente al primer sumando.

2. Desplazarse en el sentido de las agujas del reloj, avanzando tantas posiciones como lo indique el segundo sumando.



2222

3. El resultado de la suma será la última posición a la que se llegue. Ej: 7 + 4 = B Cuando al sumar se supere el valor de F, se produce un “acarreo”, y debe añadirse una unidad a la posición inmediata superior. Ej: B + 9 = 14

A continuación se incluyen tres ejemplos de suma hexadecimal:

11 1 1 19654 = 38.484 6AE 8F97,F

+ 4528 = 17.704 + 1FA + D44C,F9EDB7C = (56.188)10 8A8 163E4,E9E

El ejemplo de la izquierda es sencillo y no implica ningún acarreo. Para verificar el resultado, cada uno de los operandos fue convertido al sistema decimal, se efectuó la suma, y se corroboró el resultado.

El ejemplo del centro, que implica acarreo, puede ser descrito de la siguiente manera: A +E = 8 con acarreo de un 1 a la posición de dígito inmediatamente superior. Al sumar los dígitos de la posición inmediata superior, F + A = 9 con acarreo de un 1, pero a este resultado falta sumar el acarreo proveniente de la posición de orden inferior, es decir 9 + 1= A.

Otra manera de hacerlo es sumar primero el acarreo al dígito menor: A + 1 = B, y luego sumar B + F = A con acarreo de un 1 a la posición de dígito inmediato superior. Al sumar los dos últimos dígitos, 1 + 6 = 7, y más el 1 de acarreo equivale a 8.

Con esto queda terminada la suma. Del mismo modo se procede con la suma de la derecha, teniendo en cuenta que se deben encolumnar los sumandos de acuerdo a la coma decimal. Resta hexadecimal.

La resta hexadecimal sigue las mismas reglas que la resta decimal y que la resta binaria, con la salvedad que un acarreo o un pedido de 1 en la notación hexadecimal representa el número decimal 16. También en este caso es muy útil el “método del reloj”. Se procede de manera similar a la suma:

1. Posicionarse en el símbolo correspondiente al minuendo.

0 123

54

67

FED

C

AB

9 8

0 123

54

67

FED

C

AB

9 8

1



22222. Desplazarse en el sentido contrario a las agujas del reloj, retrocediendo tantas

posiciones como lo indique el sustraendo.

3. El resultado de la resta será la última posición a la que se llegue. Ej: A – 4 = 6

Cuando al restar se llega a un valor inferior a 0, se realiza un “pedido”, y se debe restar una unidad a la posición inmediata superior. Ej: 24 - 7 = 1D

Además del método tradicional de la resta, también puede utilizarse el método del complemento, como en el caso de la resta binaria. Método tradicional:

197 9 188 A 8 (minuendo)

- 1 F A (sustraendo)6 A E

Este ejemplo ilustra el "método de pedir 1". Para efectuar la resta se utilizará el método del reloj. Posiciónese en el 8 y retroceda A veces, llegando a la posición E, que es el resultado.

Como debió pasar sobre el 0, se pide 1 al dígito de la posición de orden inmediato superior, que es A, y que queda reducido a 9 (ya que A - 1 = 9). Por lo tanto 8 - A = E, con pedido de 1. Anote "E". En la siguiente columna se procede de igual manera: posiciónese en el 9,retroceda F posiciones, llegando a la A, y pasando nuevamente sobre el 0, por lo que se pide un 1 al 8 de la izquierda, que queda reducido a 7.

Por lo tanto 9 - F = A, con pedido de 1. Escriba "A". Finalmente la diferencia entre los dígitos de la última columna (7 – 1), equivale a 6. Escriba “6”. Con esto queda terminada la resta. Método del complemento: Se siguen los mismos pasos que los descriptos para la resta binaria. Ejemplo: 8 E A D, 0 1 (minuendo) 3 B E 5 (sustraendo)

0 123

54

67

FED

C

AB

9 8

0 123

54

67

FED

C

AB

9 8

2 1



2222a) Determinación del complemento: se resta el sustraendo del máximo valor

hexadecimal que es FFFF, FF. No olvidar completar con ceros el sustraendo, para obtener la misma cantidad de dígitos que el minuendo, encolumnando por la coma decimal.

F F F F , F F- 3 B E 5 , 0 0

C 4 1 A , F F

b) Suma del complemento al minuendo:

8 E A D , 0 1+ C 4 1 A , F F

1 5 2 C 8 , 0 0c) Se elimina el 1 de la izquierda y se suma al último dígito, sin importar la coma

decimal. 8 E A D , 0 1

+ C 4 1 A , F F5 2 C 8 , 0 0

+ 15 2 C 8 , 0 1 (Resultado)

Para realizar la comprobación, se puede proceder de igual manera que en la resta binaria. Representación de la información

Cuando se pretende plasmar la información de una forma transmisible y más o menos permanente, se debe disponer de un soporte físico adecuado, el cual contenga a la información. Existe una variedad de soportes físicos y algunos muy modernos, pero un medio que sigue en plena vigencia es la ESCRITURA.

Han evolucionado los métodos pero el fundamento sigue siendo el mismo: poner en la secuencia conveniente una serie de símbolos escogidos dentro de un conjunto predefinido.

La información se representa en base a cadenas de símbolos. En base a un alfabeto convencional cualquiera sobre el que se establece un acuerdo cultural de entendimiento entre el que escribe y el que lee podemos representar cualquier información compuesta de palabras y cantidades numéricas.

Un alfabeto no es más que un conjunto fijado por acuerdo cultural, de símbolos elementales en base a los cuales se forma la información. Cualquier alfabeto se fija arbitrariamente, y esto es muy importante, porque si la Informática ha logrado el tratamiento automático de la información con máquinas, ha sido gracias a este concepto.

No es necesario que el alfabeto que usa una máquina en su interior sea el mismo que utiliza el hombre que la ha construido y la maneja, basta con que la transformación de los símbolos internos a los externos o viceversa se efectúe de una manera sencilla, de ser posible automáticamente por la propia máquina. Codificación de la información

Cuando una información que originalmente venía representada en un alfabeto A1 es transcrita a un segundo alfabeto A2, se dice que ha sido codificada.

El caso más sencillo es cuando ambos alfabetos tienen la misma cantidad de símbolos y a cada símbolo del primer alfabeto le corresponde un símbolo del segundo alfabeto (correspondencia biunívoca o biyectiva).

Otro caso es cuando el segundo alfabeto dispone de un número de símbolos menor que el alfabeto de partida. Es obvio que en este caso ya no podemos recurrir a una correspondencia de símbolos uno a uno y tendremos que transcribir (codificar) cada símbolo del conjunto A1 con una combinación de símbolos del conjunto A2. Un ejemplo es el



2222sistema de codificación Morse empleado en los inicios de la telegrafía. Éste disponía tan solo de dos elementos: el punto y la raya. Esto se debió a razones técnicas: querer distinguir más de dos niveles de pulsación (corto = punto; largo = raya) hubiera sido totalmente inoperante, los mensajes hubieran estado sometidos a una enorme cantidad de subjetivismo y malas interpretaciones.

Existen razones que determinan la necesidad de que la información sea codificada y ellas son:

1) Debido a la transmisión automática de la información.

2) Necesidad de abreviar la escritura.

3) Hacer secreta e ininteligible la información que se codifica. Se trata de hacer críptico un mensaje plasmándolo en un sistema de codificación que el emisor y el receptor conocen pero que un posible interceptor desconocerá.

Codificar significa transformar unos datos de su representación actual a otra representación predefinida y preestablecida, que podrá ser tan arbitraria y convencional como se quiera, pero que deberá tener en cuenta el soporte físico sobre el cual se va a mantener los datos, así como los procesos a los cuales se los deberá someter y, también, si necesitamos o no transmitirlos a través de ciertos canales físicos de comunicación.

Sistemas de codificación binarios

Cuando los símbolos de un alfabeto A1 son transcritos a un alfabeto que sólo tiene dos símbolos diremos que tenemos un sistema de codificación binario. El motivo para utilizar este alfabeto de codificación es de tipo técnico. Existen dificultades técnicas al usar dispositivos físicos que puedan diferenciar con el debido grado de fiabilidad más de dos estados claramente separados en cualquier circunstancia y frente a cualquier posible perturbación. Se debe recurrir, por lo tanto a dispositivos físicos biestables (con dos estados físicos diferenciados en forma clara y estable). Por ejemplo:

Corriente eléctrica: Distinguir entre diez o más niveles de voltaje o intensidad es altamente delicado y caro. Distinguir entre dos extremos de pasa / no pasa corriente es económico y concede un amplio margen de tolerancia.

Intensidad de la luz: Sería prácticamente imposible discernir a simple vista entre varias intensidades de luz. Podemos separar claramente dos situaciones extremas luz apagada / luz encendida.

Sentido de la magnetización: Diferenciar entre los valores que puede asumir un campo magnético es complicado, pero diferenciar entre una magnetización norte-sur y su contraria, es bastante fácil y fiable. Códigos de representación de la información en las computadoras Los datos ó cualquier información que se manejan internamente en un sistema informático se pueden representar, según sus características, de la siguiente manera:



2222

Textos

� BCD de 6 bits � EBCDIC � ASCII � UNICODE

Dígitos decimales codificados en Binario (BCD)

� Empaquetado � Desempaquetado

Enteros

Representación Binaria - Coma Fija -

� Módulo y Signo � Complemento a 1 � Complemento a 2 � Exceso a 2 elevado a N-1

Datos Numéricos

Reales

Coma Flotante � Notación exponencial � Normalización IEEE754

Sonidos WAV, MIDI, MP3

Mapa de Bits BMP, TIFF, JPEG, GIF, PNG

Imágenes Mapa de Vectores

CDR, AI, EPS, WMF

1. Texto

1.1. Codificación BCD de 6 bits:

Las primeras computadoras para la representación de sus datos tanto numéricos como alfanuméricos utilizaban códigos de 6 bits. Este sistema admitía 26 (64) caracteres únicos, lo cual era suficiente para 26 letras mayúsculas, 10 dígitos y hasta 28 caracteres especiales tales como / * .; , .( ) + -. La codificación BCD de 6 bits agrega dos bits, llamados bits de zona y rotulados posición B y posición A, a los cuatro bits numéricos 8-4-2-1 del BCD:

A B 8 4 2 1

Sin embargo, pronto resultó obvio que un esquema de codificación de 6 bits resultaba inadecuado para la representación de todos los caracteres que se necesitan en los sistemas de computación modernos. Las causas fueron las siguientes:

• Rápido crecimiento del procesamiento de texto, que requería códigos de caracteres únicos, tanto para letras mayúsculas como minúsculas.

• Necesidad de agregar alfabetos no ingleses al sistema de computación, y esto aumentaba el número de códigos requeridos. Se necesitaban símbolos tales como tilde, diéresis, acento grave y circunflejo, así como nuevos alfabetos, como el hebreo, griego y cirílico.

• Necesidad de añadir capacidades gráficas (de trazado de imágenes) a las computadoras. Debido a lo anterior, el tamaño de los sistemas de codificación necesito aumentarse.



22221.2. EBCDIC: Código de Intercambio Decimal Codificado en Binario Extendido.

Tabla 2: Código EBCDIC de 8 bits. Es un sistema de codificación de 8 bits, donde cada carácter se representa como una cadena de 8 dígitos binarios y hay un total de 28 (256) caracteres a disposición. Cada carácter codificado o byte, se divide normalmente en cuatro bits de zona (7, 6, 5 y 4), y cuatro bits numéricos (3, 2, 1 y 0), de pesos: 8-4-2-1 (Ver Tabla 2)

7 6 5 4 3 2 1 0

Ejemplos: Letra A mayúscula = 1100 0001

Letra j minúscula = 1001 0001 Letra k minúscula = 1001 0010 Número 5 = 1111 0101

1.3. ASCII: Código Estándar Americano para el Intercambio de Información.

El código ASCII básico utiliza 7 bits y se usa especialmente para la transmisión de datos. Existen otras versiones ampliadas de este código que utilizan 8 bits y respetan los códigos normalizados del ASCII básico, aprovechando las combinaciones no usadas para representar símbolos adicionales. Entre ellas se encuentran los códigos ISO 8859-n, donde n es el número que identifica el juego de los nuevos caracteres introducidos dependiendo de los lenguajes. Por ejemplo, la norma, ISO 8859-1, también denominada ISO-Latin1, se proyectó para América y Europa occidental e incluye vocales con acentos, tildes, diéresis y otras letras latinas no usadas en los países anglosajones.

bits 3210

76540000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

0000 NUL DEL DS SP & - { } \ 0

0001 SOH DC1 SOS a j ~ A J 1

0010 STX DC2 FS SYN b k s B K S 2

0011 ETX DC3 c l t C L T 3

0100 PF RES BYP PN d m u D M U 4

0101 HT NL LF RS e n v E N V 5

0110 LC BS EOB UC f o w F O W 6

0111 DEL IL ESC EOT g p x G P X 7

1000 CAN h q y H Q Y 8

1001 RLF EM \ i r z I R Z 9

1010 SMM CC SM ⊄ ! ¦ :

1011 VT . $ ' #

1100 FF IFS DC4 < * % @

1101 CR IGS ENQ NAK ( ) _ ´

1110 SO IRS ACK + ; >

1111 SI IUS BEL SUB | ¬ ? "

Posición 5 y 400 - A-I 01 - J-R 10 - S-Z 11 - Números

Posición 7 y 6 11- Letras mayúsculas y números 10 - Letras minúsculas. 01 - Caracteres especiales 00 - Ningún carácter encontrado



2222El código ASCII reserva los primeros 32 códigos (numerados del 0 al 31 en decimal) para caracteres de control: códigos pensados para controlar los dispositivos. Por ejemplo, el carácter LF (decimal 10) representa la función "nueva línea" (line feed), que hace que una impresora avance el papel, y el carácter ESC (decimal 27) representa la tecla "escape" que a menudo se encuentra en la esquina superior izquierda de los teclados comunes y se utiliza para cancelar acciones. Muchos de estos caracteres de control ya no se utilizan en las PCs actuales.

Los códigos del 33 al 126 se conocen como caracteres imprimibles, y representan letras, dígitos, signos de puntuación y varios símbolos. El código el carácter espacio, designa al espacio entre palabras, y se produce cuando se oprime la barra espaciadora de un teclado.

En la tabla 3 se incluye el código correspondiente a cada carácter. Sumando los valores de la primera fila y de la primera columna de cada carácter se obtiene el código hexadecimal de dicho carácter y sumando los valores de la segunda fila y segunda columna, el código en decimal.

Hex 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Dec 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Hex Dec Bits 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

0 0 0000 NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT LF VT FF CR SO SI

10 16 0001 DEL DC1 DC2 DC3 DC4 NAK SYN ETB CAN EM SUB ESC FS GS RS US

20 32 0010 SP ! “ # $ % & ‘ ( ) * + ’ - . /

30 48 0011 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ?

40 64 0100 @ A B C D E F G H I J K L M N O

50 80 0101 P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _

60 96 0110 ` a b c d e f g h i j k l m n o

70 112 0111 p q r s t u v w x y z { ¦ } ~ DEL

Tabla 3: Código ASCII de 7 bits

En la tabla podemos ver que cada carácter tiene una representación interna dada por un conjunto determinado de bits, que también pueden expresarse en decimal y hexadecimal, siguiendo las reglas de conversión mostradas anteriormente. Por ejemplo: al carácter ‘J’ le corresponde el código ASCII decimal 74 que en hexadecimal se representa como 4A, y en binario como 01001010, como se puede comprobar en la tabla.

Ingresar caracteres ASCII:

No todos los símbolos que necesitamos utilizar se encuentran disponibles en el teclado, o el teclado tiene una configuración diferente. En este caso, podemos ingresar códigos ASCII utilizando su valor decimal, de la siguiente manera:

Para obtener la letra, carácter o símbolo “Ñ”(letra EÑE mayúscula):

1) Presionar la tecla “Alt” en el teclado.

2) Sin dejar de presionar “Alt”, presionar en el teclado numérico el número “165”, que es el numero de la letra o símbolo “Ñ” en el código ASCII.

Caracteres ASCII Extendido:

El código ASCII de 7 bits contiene 128 caracteres y contiene todos lo necesario para escribir en idioma inglés. En 1986, se modifico el estándar para agregar nuevos caracteres latinos, necesarios para la escrituras de textos en otros idiomas, como por ejemplo el español, así

Bits de zona



2222fue como se agregaron los caracteres que van del ASCII 128 al 255, denominados ASCII Extendido.

Tabla 4: Código ASCII extendido de 8 bits

En esta tabla se puede ver que las letras propias del español, como la ñ, se codifican como decimal 164 y 165, respectivamente.

Las letras acentuadas como la á minúscula se representa con el decimal 160, la í es 161, la ó es 163 y la ú es 164.

1.4. UNICODE

Este código fue propuesto por un consorcio de empresas y entidades con el objetivo representar texto de muy diversas culturas.

Los códigos anteriores presentan varios inconvenientes, tales como:

• Los símbolos son insuficientes para representar los caracteres especiales que requieren numerosas aplicaciones.

• Los símbolos y códigos añadidos en las versiones ampliadas a 8 bits no están normalizados.

• Están basados en los caracteres latinos, existiendo otras culturas que utilizan otros símbolos muy distintos.

• Los lenguajes escritos de diversas culturas orientales, como la china, japonesa y coreana se basan en la utilización de ideogramas o símbolos que representan palabras, frases o ideas completas, siendo, por tanto, inoperantes los códigos que sólo codifican letras individuales.

Unicode está reconocido como estándar ISO/IEC 10646, y presenta las siguientes propiedades:

• Universalidad, trata de cubrir la mayoría de lenguajes escritos: 16 bits � 65.356 símbolos.

• Unicidad, a cada carácter se le asigna exactamente un único código.

• Uniformidad, ya que todos los símbolos se representan con un número fijo de bits (16).

La tabla 5 muestra un esquema de cómo se han asignado los códigos Unicode.



2222Zona Códigos Símbolos codificados

Número de caracteres

0000 000FF

Código ASCII Latín-1 256

Otros alfabetos 7.936 A 0000

2000 Símbolos generales y caracteres fonéticos chinos, japoneses y coreanos

8.192

I 4000 Ideogramas 24.576 O A000 Pendiente de asignación 16.384

RE000HF

Caracteres locales y propios de los usuarios Compatibilidad con otros códigos

8.192

Tabla 5: Esquema de asignación de códigos en Unicode.

2. Datos Numéricos

2.1. Enteros

2.1.1. Representación de dígitos Decimales Codificados en Binario (BCD)

Hay muchas maneras de representar datos numéricos en forma binaria. Uno puede simplemente escribir el número en base 2. A esto se llama codificación binaria directa. Otra manera es codificar los números decimales dígito por dígito. A esta codificación que requiere por lo menos 4 bits por cada dígito decimal, se le llama codificación BCD (binary-coded decimal) Decimal Codificado en Binario.

En esta representación se utiliza la codificación ponderada, en la cual se dan a los bits de izquierda a derecha, los pesos 8, 4, 2 y 1, respectivamente. Como estos pesos son precisamente los valores de posición en el sistema binario, un dígito decimal esta codificado como su representación binaria. Ejemplo: La representación BCD 8-4-2-1 de N = 469 es 0100 0110 1001 Por otra parte, la representación binaria directa es: N = 111010101(2) que usa 3 bits menos.

a) Decimal desempaquetado En este sistema un número se almacena con un byte por cada una de sus cifras. Cada byte lleva en su cuarteto de la izquierda cuatro unos (F en hexadecimal) denominados bits de zona, y en el de la derecha la cifra en BCD (Decimal Codificado en Binario) denominados bits de dígitos. El cuarteto de la izquierda de la última cifra representa el signo, conteniendo 1100 para el +, 1101 para el - (C y D en hexadecimal).

Ejemplo: 1992 1111 0001 1111 1001 1111 1001 1100 0010

F1 F9 F9 C2

-1992 1111 0001 1111 1001 1111 1001 1101 0010 F1 F9 F9 D2

b) Decimal empaquetado En este sistema se representa cada dígito en un cuarteto (sin bits de zona), salvo el primero por la derecha que lleva el signo con los mismos valores ( C y D).

Ej.: 1992 0000 0001 1001 1001 0010 1100 01 99 2C 2.1.2. Representación Binaria (Coma Fija)

Al utilizar la computadora el sistema binario como método de representación interno de datos, es conveniente tener en cuenta que disponemos de un número finito de bits n, que denominamos palabra. El tamaño de una palabra depende de la computadora que se utilice y representa la cantidad de bits que la computadora es capaz de transferir en una operación de Entrada/Salida.



2222El nombre “coma fija” viene de la posición en que se supone situado el punto o coma decimal, que es en una posición fija. La coma fija es utilizada en la actualidad exclusivamente para la representación de números enteros.

Existen cuatro formas de representar números en coma fija:

a) Módulo y signo (MS) El bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será de 0 para el positivo (+) y de 1 para el negativo (-). El resto de los bits (N-1) representan el módulo del número. Suponemos en principio que los números no poseen parte decimal, por lo que la coma se supone implícita a la derecha.

Número 10 0 0 0 0 1 0 1 0

signo Módulo Número -10 1 0 0 0 1 0 1 0

El rango de representación para N bits es:

-2 N-1+ 1 <= X <= 2 N-1 -1

Para el caso de 8 bits el rango es:

-127 <= X <= 127 (2 8-1 +/- 1 = 27+/- 1 = 128 +/- 1)

Este sistema posee la ventaja de tener un rango simétrico y la desventaja de tener dos representaciones del 0.

+0 = 0 0000000 –0 = 1 0000000

b) Complemento a 1 (C-1) En este método, el bit de la izquierda corresponde al signo, 0 para el positivo y 1 para el negativo. Para los números positivos el resto de los bits (N-1) representan el módulo del número. El negativo de un número positivo se obtiene complementando todos sus dígitos (cambiando ceros por unos y viceversa) incluido el bit de signo.

Número 10 0 0 0 0 1 0 1 0

signo Módulo Número -10 1 1 1 1 0 1 0 1

El rango de representación es de: -2 N-1+ 1 <= X <= 2 N-1 -1


-127 <= X <= 127 Este sistema posee la ventaja de tener un rango simétrico y la desventaja de tener dos representaciones del 0.

+ 0 = 0 0000000 – 0 = 1 11111111

c) Complemento a 2 (C-2)

Este sistema de representación utiliza el bit de la izquierda para el signo, correspondiendo el 0 para el positivo y el 1 para el negativo. Para los números positivos el resto de los bits (N-1) representan el módulo del número. El negativo de un número positivo se obtiene en dos pasos:

1°) Se complementa el número positivo en todos sus bits (cambiando ceros por unos y viceversa) incluido el bit de signo, es decir, se realiza el "complemento a 1".

2°) Al resultado obtenido en el primer paso se le suma 1 (en binario) despreciando el último acarreo si existe. Ejemplo:



2222

Número 10 0 0 0 0 1 0 1 0complemento 1 1 1 1 0 1 0 1

+ 1Número -10 1 1 1 1 1 0 1 1 0

El rango de representación es asimétrico, lo que constituye su mayor inconveniente y viene dado por:

-2 N-1 <= x <= 2 N-1 -1


-128 <= X <= 127

La principal ventaja es la de tener una única representación del cero:

En el caso de palabras de 8 bits tendríamos:

Número 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Número -0 Primer paso 1 1 1 1 1 1 1 1

Segundo paso 1 1 1 1 1 1 1 1

+ 11 0 0 0 0 0 0 0 0

El último acarreo se desprecia por lo tanto, el 0 y el -0 tienen una sola representación. d) Exceso a 2 elevado a N-1

Este método no utiliza ningún bit para el signo, con lo cual todos los bits representan un modulo o valor que corresponde al número representado mas el exceso, que para N bits viene dado por 2 elevado a N-1.

Por ejemplo, para 8 bits el exceso es de 27 = 128, con lo que el número 10 vendrá representado por 10 + 128 = 138; para el caso de -10 tendremos -10 + 128 = 118. Veamos cuales son sus representaciones:

Número 10 10001010

Número -10.....01110110

en este caso, el 0 tiene una única representación, que para 8 bits corresponde a:

Número 0 (0 + 128) 10000000

El rango de representación es asimétrico (inconveniente) y viene dado por:

-2 N-1 <= X <= 2 N-1 -1


-128 <= X <= 127

2.1.3. Conclusiones sobre los sistemas de representación de coma fija:

El método más utilizado en la actualidad para la representación de enteros es el Complemento a 2, ello se debe a la facilidad de efectuar las sumas y restas con esta representación, porque en todos los casos, las operaciones se resuelven con sumas.

Este método reduce la complejidad de los circuitos de la unidad aritmética lógica, dado que no es necesario circuitos específicos para restar. Límites aproximados de valores enteros representables con distintas longitudes de palabras:

Límite inferior N (min) Longitud de palabra

Límite superior N (max) Complemento a 1 Complemento a 2

8 127 -127 -12816 32.767 -32.767 -32.76832 2.147.483.649 -2.147.483.649 -2.147.483.65064 9,223372 * 1018 -9,223372 * 1018 -9,223372 * 1018



2222

Si como resultado de las operaciones, se debiese obtener un número fuera de los límites, se dice que se ha producido un desbordamiento. Ver figura siguiente:

2.2. Reales (Coma Flotante)

2.2.1. Notación Exponencial Cuando se opera con números muy grandes o muy pequeños se suele utilizar la notación exponencial. Según esta notación el número 13.257,3285, puede representarse, entre otras, de las siguientes maneras:

13.257,3285 = 13.257,3285 * 100 = 1,32573285 * 104

= 0, 132573285 * 105 = 132.573.285 * 10-4 = 13.257.328.500 * 10-6

Donde todo número se puede representar como: Número = mantisa * base exponente

La notación exponencial también se conoce como notación científica o notación en coma flotante, dado que parece como si la coma decimal flotase de derecha a izquierda y al revés al cambiar el valor del exponente. En notación científica estándar, los números se expresan de la forma:

donde 1 <= m < 10, y p es un número entero, cuyo signo indica si la coma se desplaza a la derecha (+) o aizquierda (-)

Ejemplo: -246,36 = -2,4636 E +2 = -2,4636 * 10 2

82000000000 = 8,2 E +10 = 8,2 * 10 10

0,00003 = 3,0 E-5 = 3 * 10 -5

2.2.2. Normalización IEEE 754

El IEEE (Instituto de Ingeniería Eléctrica y Electrónica) ha creado un estándar que eEspecifica como deben representarse los números en coma flotante con simple precisión (32 bits) o doble precisión (64 bits), y también cómo deben realizarse las operaciones aritméticas con ellos.

Para representar un número en la forma N=M*BE, siendo E entero. La notación establece las normas que se indican a continuación:

1) Elementos almacenados y orden de almacenamiento: La base del exponente es B=2, es decir está predeterminada: N = +/- M * 2E .

− un campo del signo (s) que ocupa 1 bit,− un campo del exponente (o característica, e), que ocupa

ne bits y − un campo de la mantisa (m), que ocupa nm bits.

Siendo n el número total de bits: n = 1 +ne+ nm

DesbordamientoDesbordamiento

N (Max) N (Min)

0

+∞∞-

Datos enteros representables

N= +- m E +-p = +- m * 10 +- p



22222) Campo del signo: El bit de signo es cero para los números positivos y uno para los

números negativos.

3) Campo del exponente. El exponente se almacena en la forma de "entero sesgado“, es decir, el exponente almacenado e se obtiene sumando al exponente del número, E, un sesgo S, dado por: S = 2ne-1-1 ; e = S + E = 2 ne-1+E-1, de esta forma en los ne bits reservados para el exponente se pueden incluir exponentes positivos o negativos sin utilizar un bit explicito de signo.

Ejemplos: Exponente (E) Exponente sesgado Exponente Almacenado

0 127 + 0= 127 0111 1111 +2 127 + 2= 129 1000 0001 -126 127 – 126= 1 0000 0001

4) Campo de la mantisa: Por lo general, el exponente se ajusta de forma tal que el 1 más significativo de la mantisa se encuentre en la posición 0 (posición de las unidades); es decir, 2 > M ≥ 1. Cuando el número se encuentra ajustado de esta forma, se dice que está normalizado, en caso contrario, se dice que esta denormalizado.

5) Precisiones usuales en IEEE754

a) Simple Precisión: exige una cadena de 32 bits. El primer bit es el bit de signo (S), los siguientes 8 son los bits del exponente (E) y los restantes 23 son la mantisa (M):

b) Doble precisión: exige una cadena de 64 bits. El primer bit es el bit de signo (S), los siguientes 11 son los bits del exponente (E) y los restantes 52 son la mantisa (M):

6) Valores límites: Con toda representación se obtienen unos valores máximos y mínimos representables que para precisión simple son:

Número Mayor (N max) 3,402823466 . 1038

Número menor normalizado (N min, nor ) 1,2 . 10-38

Número menor normalizado (N min, den ) 1,1401. 10-45

Obsérvese que los números reales que cumplen las siguientes condiciones no pueden ser representados:

• Los números comprendidos entre –N(min,den) y N(Min,den) con N distinto de cero. Si como resultado de una operación el número N tiene que caer en esa zona, se dice que se produce un agotamiento (underflow).

• Los números menores que –N(max) y mayores que N(Max) con N distinto de infinito positivo o negativo. Si como resultado de una operación el número N tiene que caer en esa zona, se dice que se produce un desbordamiento (overflow).

2.2.3. Observaciones finales Un buen programador debe tener en cuenta cómo se almacenan los números reales en la computadora, ya que se pueden presentar problemas inherentes a la forma en que se representan los números (con un número limitado de bits).



2222

Dificultades:

a) Por la obtención, en resultados intermedios, de números excesivamente pequeños. Esto puede ocurrir por restar dos números muy iguales o por la división entre números en los que el divisor es mucho mayor que el dividendo. En estos casos puede perderse la precisión de los cálculos o producirse un desbordamiento a cero o agotamiento.

b) Por la obtención de resultados numéricos excesivamente altos, es decir por desbordamiento. Esto ocurre, por ejemplo, al dividir un número por otro mucho menor que él o al efectuar sumas o productos sucesivos con números muy elevados.

c) En la comparación de dos números. Hay que tener en cuenta que cada dato real en la computadora representa a infinitos números reales (un intervalo de la recta real), por lo que en general una mantisa decimal no puede representarse exactamente con nm bits, con lo que genera un error "de representación".

d) Esto da lugar a problemas al comparar si un número es igual a otro (sobre todo si estos números se han obtenido por cálculos o procedimientos distintos), ya que la computadora considera que dos números son iguales únicamente si son iguales todos sus bits. Las detecciones de igualdades deben hacerse con números enteros o considerando que dos números son iguales si la diferencia entre ellos es menor que un valor dado.

e) Una consecuencia de lo dicho anteriormente es que, la suma y multiplicación de datos de tipo real no siempre cumplen las propiedades asociativas y distributivas, se pueden obtener resultados distintos dependiendo del orden en que se realizan las operaciones.

3. Sonidos Las aplicaciones multimedia han adquirido una gran importancia, principalmente debido al desarrollo de la web. Estas aplicaciones procesan tanto texto, como sonido e imágenes. El sonido, igual que los elementos visuales, tiene que ser grabado y formateado de forma que la computadora pueda manipularlo y usarlo en presentaciones. Los formato audio más usuales son el de forma de onda (WAV) y el Musical Instrument Digital Interface (MIDI). Los formatos WAV almacenan el sonido como hacen los CD musicales o las cintas de audio; estos formatos WAV pueden ser muy grandes y requerir compresión. Los formatos MIDI no almacenan sonidos, sino instrucciones que permiten a unos dispositivos llamados sintetizadores reproducir los sonidos o la música. Los archivos con formato MIDI son mucho más pequeños que los archivos con formato WAV, pero la calidad de la reproducción del sonido es bastante menor. 3.1. Representación del sonido Las ondas de sonido se representan como una curva continua llamada señal analógica.Los componentes principales de una señal analógica son: La Línea Base, el Período, la Frecuencia, y la Amplitud, tal como se ve en la siguiente figura:

- La Línea Base corta la señal aproximadamente por la mitad, y es un punto de referencia para medir el sonido.

- El Período es la cantidad de tiempo

que transcurre entre dos ciclos sucesivos de la onda de sonido.

- La Frecuencia es el inverso del

período, o número de ciclos por segundo. Se mide en hertz (Hz) o en kilohertz (KHz). Los sonidos audibles para los seres humanos tienen una



2222frecuencia entre 20 Hz y 20 KHz.

- La Amplitud de la señal es la distancia de la línea base a un pico dado, determina el

volumen del sonido. 3.2. Grabación de una señal de sonido

Para el procesamiento de señales analógicas se usan circuitos de muestreo y retención, que permiten tomar muestras de la amplitud de la onda de sonido a intervalos de tiempo fijo. El número de muestras tomadas por segundo se conoce como Frecuencia de muestreo. En la figura siguiente se muestra una frecuencia de muestreo de 28 Hz.

La frecuencia de muestreo debe ser como mínimo 2 veces la frecuencia máxima contenida en la señal. Mientras más alta sea la frecuencia de muestreo mejor será la calidad del sonido. La siguiente tabla presenta las frecuencias de muestreo más usadas, el número de muestras por segundo, la calidad del sonido y sus aplicaciones usuales.

Frecuencia de muestreo Muestras por segundo Calidad del sonido Aplicaciones

11Khz 11025 Baja Teléfono

22 KHz 22050 Media Radio

44 Khz 44100 Alta Cd de música

96 Khz 96000 Alta alta definición para DVD

3.3. Digitalización del sonido en la computadora

Una vez convertida la señal analógica a una señal discreta por medio del circuito de muestreo y retención se representa cada uno de los valores de amplitud retenidos en código binario (señal digital).

A cada muestra de sonido tomada corresponde un valor de amplitud, que en la computadora se representa en 8 o en 16 bits.

Si se utiliza la representación en 8 bits, las medidas de amplitud del muestreo se llevan a una escala (en binario) entre 00000000 y 11111111. Se tienen, por lo tanto, 256 valores binarios diferentes para representar una señal.

De forma similar, una representación en 16 bits lleva los valores de amplitud del muestreo a una escala entre 0000000000000000 y 1111111111111111. Así, se tienen 65536 valores binarios diferentes para representar una señal. Esto es, que con 16 bits se representa con mayor precisión la onda original. Sin embargo, esta representación consume mayor espacio de almacenamiento en disco duro.



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3.4. Calidad del sonido y espacio de almacenamiento

La frecuencia de muestreo es un número que indica la cantidad de muestras que se toman en un segundo. La resolución o profundidad del sonido es un número que indica cuantos bits se utilizan para representar cada muestra. La calidad del sonido depende de estos dos factores, cuanto mayor sean estos valores, más parecida será la calidad del sonido digital al real.

Otra variable que afecta la calidad del sonido es el número de canales de entrada. Un sonido monofónico se produce cuando la fuente de audio tiene un canal de entrada, mientras que un sonido estereofónico resulta cuando la fuente de audio tiene dos canales de entrada.

El estándar de calidad audio CD determina una frecuencia de 44,1 Khz y 16 bits estéreo. Esto quiere decir que para esta calidad se toman 44.100 muestras que se representan con 16 bits y en dos canales independientes (sonido estéreo).

Para conocer el espacio en disco requerido para almacenar 3 minutos de música con esta calidad se realiza el siguiente cálculo:

3 minutos x 60 segundos= 180 segundos

180 segundos x 44100 muestras por segundo = 7.938.000 de muestras

7.938.000 muestras x 16 bits = 127.008.000 bits

127.008.000 x 2 canales = 254.016.000 bits

254.016.000/8 = 31.752.000 bytes, aproximadamente 30 MB.

Es necesario entonces buscar un equilibrio entre la calidad de sonido deseado y los recursos de almacenamiento disponibles en la computadora.

Las ventajas de la digitalización del sonido es que se puede guardar y copiar infinitas veces sin pérdida de calidad y puede procesarse digitalmente de manera más flexible y potente que con procesos analógicos,

3.5. Formatos del sonido digitalizado

� Audio digital en formato de onda o audio CD o .wav Formato por excelencia para almacenar el sonido digital. Su principal ventaja, su calidad, su principal inconveniente, el espacio que ocupa. Por ejemplo, en un CD caben sólo 70 minutos de audio a la máxima calidad: 44,1KHz, 16 bits y estéreo (2 canales).

� El formato MIDI sólo se almacenan las notas que deberán ser tocadas en cada instante. Por tanto permite gran flexibilidad y es ideal para compositores. Sin embargo, para obtener una calidad aceptable, es necesario que la tarjeta de sonido disponga de tabla de ondas o, en su defecto, de un sintetizador virtual. Otra carencia importante es que no se puede añadir voces humanas, las voces no se pueden sintetizar tan fácilmente como el sonido de un instrumento.

� El formato MP3. El mp3 es una especificación para la compresión de ficheros de onda (los .wav). Se consigue reducir el tamaño original de los ficheros en unas 10 veces. La compresión normalmente es con pérdida, perdiendo parte del sonido, bien por ser datos redundantes o por tratarse de zonas donde apenas llega el oído humano.

4. Imágenes

4.1. Representación de imágenes

Las imágenes se adquieren por medio de periféricos tales como escáneres, cámaras de video o cámaras fotográficas. Como todo tipo de información, una imagen se representa por patrones de bits, generados por el periférico correspondiente. Si bien hay sistemas de codificación de imágenes muy diversos, existen 2 formas básicas de representar las imágenes:



2222• Mapa de bits • Mapa de vectores

4.2. Mapa de bits

Una imagen está compuesta por infinitos puntos, y a cada uno de ellos se le asocia un atributo que puede ser su nivel de gris, en el caso de una imagen en blanco y negro, o su color, cuando la imagen es en color. Entonces, para codificar y almacenar una imagen hay que tener en cuenta estos dos factores: el número de puntos a considerar (resolución) y el código de atributo (profundidad de color) asociado a cada punto. Como no es posible captar los infinitos puntos, los sistemas de captación consideran a la imagen dividida en una grilla de celdas o elementos de imagen o pixeles. A cada punto se le asigna un atributo de su nivel de gris o información de color.

La resolución de imagen es el número de puntos por línea x el número de elementos por columna, tal como se muestra en la Figura A, y determina la calidad de la imagen. Por ejemplo, la imagen de una fotografía típica esta constituida por infinitos puntos, si se la representa con una resolución de 1280 x 1024 el ojo humano la considera como continua (los píxeles no se notan), de manera tal que, a mayor resolución mayor será la calidad de imagen.

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Algunas resoluciones usuales para digitalización de imágenes son:

Dispositivo Tipo Resolución

Convencionales Fax tamaño A4

Foto (8 x 11 pulgadas)

(200/400) x (300/400) pixeles por pulgadas

400, 1200 pixeles por pulgadas

Televisión

Videoconferencia

TV

HDTV (alta definición)

176 x 144 pixeles por imagen

720 x 480

1920 x 1080

Pantalla monitor

VGA

SVGA

XGA

649 x 480

800 x 600

1024 x 768

Además de la resolución, un factor determinante de un gráfico es el código del atributo del punto de imagen. Está constituido por un número de bits determinado que define la profundidad de color. En el caso de imágenes en blanco y negro, la cantidad de bits del código del atributo determina las variantes de color. Por ejemplo, 8 bits permiten representar hasta 256 niveles de grises.

La imagen se representa sencillamente almacenando los atributos de los puntos de la imagen sucesivos en orden, de izquierda a derecha y de arriba abajo, tal como se muestra en la Figura B.

Figura B. Código del atributo del punto de imagen

Figura A. Estructura de una imagen con resolución de 640 x 580 elementos



2222En el caso de imágenes en color, éste se descompone en tres colores básicos: rojo (R), verde (G) y azul (B), y la intensidad media de cada uno de ellos en cada celda se codifica por separado. Para conseguir una gran calidad de colores (calidad fotográfica), cada color básico debe codificarse con 8 bits, es decir, se requieren 3 bytes para codificar cada elemento de imagen, lo que requiere de una gran capacidad para almacenar una imagen. 4.2.1. Tamaño y resolución de imágenes

Como se dijo anteriormente, la resolución de imagen es el número de píxeles mostrados por unidad de longitud impresa en una imagen, que normalmente se mide en píxeles por pulgada (ppi, píxel per inch). Las fotografías que se obtienen a partir de las cámaras digitales son mapas de bits, las imágenes que captura un escáner también. En estas imágenes la calidad máxima que tienen (número de píxel por unidad de medida, píxeles/cm.; píxeles/pulgada) se determina en el momento de crearlas por lo que no se puede ampliar la resolución o número de píxeles por unidad posteriormente. Es decir, no se puede ampliar su resolución sin que la imagen se vea afectada, en general deformándose y perdiendo nitidez, ya que se modifican los píxeles que las definen. Observar el efecto sobre la calidad de la imagen cuando se agranda el tamaño de una imagen en la figura C.

El tamaño de los píxeles determina la cantidad de detalle de la imagen; las dimensiones de estos píxeles y el número de ellos es lo que da la calidad final (Alta, media ó baja).

Figura C. Al ampliar la imagen se produce el efecto de imagen pixelada.

La resolución y el tamaño de archivo esta relacionada de forma proporcional. Por ejemplo, una imagen de 1 cm. por 1 cm. con una resolución de 72 p/cm. contiene un total de 5.184 píxeles (72 x 72). Esa misma imagen con una resolución de 300 p/cm. contendría un total de 90.000 (300 x 300) píxeles. Esta diferencia afecta al tamaño de archivo.

4.2.2. Cálculo del tamaño de una imagen

Para calcular la capacidad requerida por una imagen hay que tener en cuenta, como vimos antes, la resolución y la longitud en bits del código de atributo (profundidad de color).

Ejemplo 1: Obtener la capacidad requerida para una imagen en blanco y negro con una resolución de 640 x 350 y con 16 niveles de grises.

En este caso, para codificar el atributo se necesitan 4 bits, ya que 24 = 16, y en total hay que almacenar 640 x 350 = 224000 elementos o pixeles. Con lo cual la capacidad requerida será:

224000 x 4 = 896000 bits = 112000 bytes = 109,375 KB

Ejemplo 2: Obtener la capacidad de memoria que ocupará una imagen en color con una resolución 800 x 600 y con 256 niveles para representar cada color básico.

Para codificar el atributo color se necesitan 3 bytes (1 byte = 28 = 256). La cantidad de puntos de la imagen es de 800 x 600 = 480000 elementos. Con lo cual la capacidad requerida será de:

480000 x 3 bytes = 1406,25KB aproximadamente 1,37 MB.



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4.2.3. Compresión de imágenes

Uno de los principales inconvenientes que tienen los bitmaps de alta resolución es el enorme espacio que ocupan llegándose a crear archivos de mucho peso para ser manejados con facilidad; para evitar este problema se han desarrollado diferentes técnicas de compresión, éstas tratan de reducir mediante algoritmos matemáticos el volumen del archivo.

Existen dos técnicas o tipos de compresión: Las técnicas “sin pérdidas”: Comprimen el archivo sin eliminar detalle de la imagen ni información de color. Las técnicas “con pérdidas”: Eliminan detalle de la imagen e información de las mismas. Las más habituales son las siguientes:

- GIF - Graphical interchange format ó Formato de intercambio gráfico. El formato GIF es uno de los más utilizados sobre todo para imágenes Web; esto es debido a su alto nivel de compresión. Utiliza el mecanismo de la “Tabla de consulta de colores” (CULT): Para cada píxel hay una información de 24 bits de color, esto proporciona una imagen de 16 millones de colores. Dado que no es necesario tanto número de color para ver una imagen con calidad, la técnica CLUT se encarga de reducir los 16 millones a 256 colores; esto es, hace que se requieran 8 bits en lugar de 24 bits de información para cada píxel. La relación de compresión de una fotografía que se pasa a GIF es de 4 a 1.

- JPEG (Join photographic expert group): JPEG guarda toda la información referente al color en millones de colores y sin que por ello el archivo resultante sea demasiado grande, eso si, a mayor nivel de compresión mayor pérdida de la imagen. La técnica de compresión que utiliza el JPEG se llama DCT (Discrete cosine transform ó transformación discreta de coseno). Esta compresión está basada en la idea de que el ojo humano percibe peor los cambios de color que las variaciones de brillo. JPEG no guarda el valor RGB para cada píxel sino que divide la información en dos partes, por una parte el color y por otra el brillo, y además, las comprime por separado. Esto hace que JPEG no sea el formato adecuado para imágenes con contrastes de color altos. A mayor suavidad en los cambios de color mejor nivel de compresión. Y a mayor contraste peor. Por ejemplo, la compresión de una imagen con texto no se verá con nitidez, sin el texto sí. Pese a esto, JPEG es uno de los formatos que mejor comprime, puede llegar a comprimir en una relación de 10:1 y 20:1 (para imágenes de calidad alta) sin que las mismas tengan una pérdida visible.

- PNG – Portable networkgraphic format. PNG permite una compresión sin pérdidas con una profundidad de color de 24 bits y además tiene 256 niveles de transparencias, esto permite que cualquier borde de la imagen se funda perfectamente con el fondo. Aparentemente PNG es mejor formato que JPEG O GIF, sin embargo no es capaz de producir imágenes animadas (GIF sí) y las imágenes de PNG son siempre de mayor peso que las de JPEG.

- BMP: Es el formato de Windows para bitmaps, es un formato muy conocido aunque su compresión comparada con GIF o JPEG es muy pobre.

- TIFF – Tag image file format: Es uno de los formatos más utilizados ya que es admitida prácticamente por todas las aplicaciones de edición e imagen. Es un formato que permite muchas posibilidades y que es compatible tanto para Mac como PC.

4.3. Mapa de vectores

4.3.1. Características Otra forma de representar una imagen es mediante la descomposición de la misma en un conjunto de objetos tales como líneas, polígonos y textos con sus respectivos atributos y detalles (grosor, color, etc.), modelables por medio de vectores y ecuaciones matemáticas, que determinan tanto su forma como su posición dentro de la imagen. Cuando la imagen se visualiza en la pantalla o impresora, un programa evalúa las ecuaciones y escala los vectores generando la imagen concreta a ver.

Características de este tipo de representación:



2222• Son adecuadas para gráficos de tipo geométrico, en particular en aplicaciones de

diseño asistido por computadora (CAD).

• Los archivos vectoriales ocupan mucho menos espacio que los mapas de bits, y las imágenes son más fáciles de escalar a cualquier tamaño y de procesar.

Los principales elementos de un vector son las curvas Béizer (curvas representadas matemáticamente). Estas líneas o curvas béizer son muy manejables ya que permiten muchas posibilidades por su plasticidad. Estas características las convierten en la manera ideal de trabajar cuando se trata de diseño gráfico, (como creación de logotipos o dibujos).

4.3.2. Formatos vectoriales

Al utilizar los formatos vectoriales coordenadas matemáticas para formar imágenes concretas, la resolución de las mismas es infinita, es decir, toda imagen vectorial se puede escalar ampliando o reduciendo sin que la visibilidad de la misma se vea afectada. La imagen vectorial permite crear contornos de línea variada y definir el color de las formas que éstas crean. La forma se puede controlar de manera muy precisa y cada objeto se puede manejar de forma independiente al resto ya que esta construido con una fórmula matemática propia.

- CDR: Es el formato del programa Corel Draw.

- AI: Es el formato del programa Adobe Ilustrador.

- EPS - Encapsulated Postscript: El EPS es uno de los mejores formatos para ser importados desde la mayoría de software de diseño. Es un formato muy adaptable ya que se puede utilizar igualmente para imagen vectorial como mapa de bits.

- WMF- Windows Metafile: Formato desarrollado por Microsoft, está especialmente indicado para trabajar de manera compatible con los programas de Microsoft.

Bibliografía:

Los temas presentados en esta unidad, han sido tomados principalmente de los siguientes autores:

� Introducción a la Informática 3ra. Ed. Prieto, Lloris, Torres. Mc. Graw-Hill. 3ra. Edición. 2002. ISBN 84-481-3217-3.

� Multimedia. Zapata Martha. Disponible en : http://ingenieria.udea.edu.co/~marthac/multimedia/sonido.html

� Fundamentos del sonido digital. García Gil, Victor. Disponible en: http://www.ucm.es/info/Psyap/taller/vgarcia/

Curva de Béizer. La curva queda definida por los nodos o puntos de anclaje y por las manecillas de control que definen y modelan su forma. Para modificarlas simplemente hay que mover las manecillas hasta que consigamos la curva deseada

tema 2222 - unneexa.unne.edu.ar/.../material2009/tema2-2009.pdf · utilizan. en este tema se...

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