deber_no6

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CARRERA INGENIERIA MECANICA.

ASIGNATURA:Metodos Numericos.

NRC: 1827

TEMA: DEBER N 6

PROFESOR: Ing.Patricio Pugarn

ALUMNO: Jonathan Changoluisa

PARALELO: G 301

FECHA DE ENTREGA: 22 de Febrero del 2015

SANGOLQUI-ECUADOR

SEP 14 - FEB 15

1

1. EJERCICIO: Construir una tabla de derivadas primeras de la fun-cion g(x) definida por la siguiente tabla en los puntos xi con la mayorprecision posible mediante formulas de tres puntos (Programa).

xi g(x)

1.0 1.000000

1.2 0.997502

1.4 0.990025

1.8 0.960398

2.0 0.940678

%PROGRAMA TABLA DE DERIVADAS

%ingreso de vectores x y gx

for i=1:5

%Para vector x

fprintf(Ingrese el elemento x%d: ,i-1);

x(i)=input();

%Para vector gx

fprintf(Ingrese el elemento g%d: ,i-1);

gx(i)=input();

end

cont=interpolLagrange(x,gx);

R=polyval(cont,1.6);

z=-10:0.1:10;

Graf=polyval(cont,z);

grid on

plot(z,Graf)

x=1:0.2:2.4;

gx=polyval(cont,x);

for i=1:6 %va hasta 6 xke ahora ia hay 6 puntos

gxp(i)=(-3*gx(i)+4*gx(i+1)-gx(i+2))/(2*0.2);

end

%para imprimir respuestas

fprintf(\n TABLA DE DERIVADAS \n)

2

fprintf(x(i)\t \t \t g(x) \t \t \t gA^(x) \n);

for i=1:6

fprintf(%4.6f \t \t %4.6f \t \t %4.6f \n,x(i),gx(i),gxp(i));

end

CORRIDA DEL PROGRAMA

Ingrese el elemento x0: 1.0

Ingrese el elemento g0: 1.000000









TABLA DE DERIVADAS

x(i) g(x) gA^(x)

1.000000 1.000000 -0.000042

1.200000 0.997502 -0.024528

1.400000 0.990025 -0.052130

1.600000 0.977405 -0.078254

1.800000 0.960398 -0.098302

2.000000 0.940678 -0.107680

>>

3

2. EJERCICIO: Se conocen los valores de la funcion de Bessel Jo(x)en los puntos Jo(0, 0) = 1,0000000, Jo(0, 1) = 0,99750156, Jo(0, 2) =0,99002497, Jo(0, 3) = 0,97762625, Jo(0, 4) = 0,96039823, Jo(0, 5) =0,93846981. Construir una tabla de derivadas en esos puntos con lamayor precision posible usando las formulas de tres puntos mas apro-piadas (Programa).

Programa en Matlab

%ingreso de vectores x y J0

for i=1:6

fprintf(Ingrese el elemento x%d: ,i-1);

x(i)=input();

fprintf(Ingrese el elemento Jo(0,%d): ,i-1);

Jo(i)=input();

end

cont=Polino_Inter_Lagrange(x,Jo);

z=-10:0.1:10;

Graf=polyval(cont,z);

plot(z,Graf)

x=0:1:9;

Jo=polyval(cont,x);

%Primera derivada

for i=1:6

Jop1(i)=(-3*Jo(i)+4*Jo(i+1)-Jo(i+2))/(2*1);

end

for i=1:6

Jop2(i)=(2*Jo(i)-5*Jo(i+1)+4*Jo(i+2)-Jo(i+3))/(1^2);

end

fprintf(\n TABLA DE DERIVADAS \n)

fprintf(x(i)\t \t \t Jo(0,x) \t \t \t JoA^(0,x) \t \t \t Jo

A^A^(0,x) \n);

for i=1:6

fprintf(%d \t \t \t %4.8f \t \t \t %4.8f \t \t \t \t

5

%4.8f \n,x(i),Jo(i),Jop1(i),Jop2(i));

end

Corrida del Programa

Ingrese el elemento x0: 0

Ingrese el elemento Jo(0,0): 1


Ingrese el elemento Jo(0,1): 0.99750156









TABLA DE DERIVADAS

x(i) Jo(0,x) JoA^(0,x) JoA^A^(0,x)

0 1.00000000 -0.00000936 -0.00503417

1 0.99750156 -0.00501552 -0.00501496

2 0.99002497 -0.00998407 -0.00495820

3 0.97762625 -0.01487782 -0.00486463

4 0.96039823 -0.01966034 -0.00473499

5 0.93846981 -0.02429592 -0.00457002

6

3. EJERCICIO: Considerese la funcion:

f(x) =

0 , 1 < x < 4/5

ex2

, 4/5 < x < 1

Para calcular f (4/5) Asera mejor usar una formula adelantada o unacentrada? Explique.

SOLUCION

Obtendriamos en primer lugar la grafica de la funcion planteada alinicio

MATLAB

>> x=-1:0.01:1;

>> y=((x>-1)&(x=(4/5))&(x> plot(x,y,r*)

Podemos ver que la grafica no es una funcion continua en el punto45 , y si queremos obtener la derivada en el punto

45 , necesitamos los

puntos que estan delante de este debido a que la grafica no es continuo

8

como le habia demostrado anteriormente con la grafica es decir nopodemos obtener su derivada con las formulas de derivadas centradas,por tanto, Trabajemos con la formula de derivadas numericasadelantadas.

f i =fi+1 fi

h

f x =fx+h fx

hUtilizaremos un dezplazamiento constante de 0.1 es decir, h = 0,1.Entonces los puntos ha ser utilizados seran:xi+1 = 0,9 y xi = 0,8.

f x =f(0,8 + 0,1) f(0,8)

h

f x =f(0,9) f(0,8)

0,1

Resolviendo

f x =e(0,9)

2 e(0,8)20,1

f x = 0,824344La pendiente en x = 45 es

f x = 0,824344

9

4. EJERCICIO: Considerese las siguientes funciones:

f(x) = x3 para 0 x 1f(x) = sin(X) para 0 x pi/4f(x) = ex para 0 x 1

Teniendo presente que:

Longitud de una curva. La longitud de una curva y = f(x) definidasobre un intervalo [a, b] es:

longitud = ba

1 + (f (x))2dx

Area de una superficie de revolucion. El area de la superficie delsolido de revolucion que se obtiene al girar alrededor del eje OXla region limitada por la curva y = f(x) y el intervalo [a, b], vienedada por:

area = 2pi ba f(x)

1 + (f (x))2dx

Calcular la longitud de curva y la superficie de revolucion de las curvasdadas, tuilizando los programas para los metodos: trapecio, 3/8 desimposon y Boole. Comente los resultados.

a) f(x) = x3 para 0 x 1Para obtener la longitud primero deberemos derivar la funcion:

f(x) = x3

f (x) = 3x2

Reemplazamos en la formula de la longitud de la curva:

L =

ba

1 + (3x2)2dx

L =

10

1 + (9x4)dx

Codigo en Mtalab Para todos los Metodos PROGRAMA

function Ejercicio_4Unido(f,a,b)

%trapecio

n=300;

10

%valor h

h=(b-a)/n;

fx=diff(f);

%FUNCIONES

fx1=(1+(fx)^2)^(1/2);

fx2=int(fx)*fx1;

fx1=inline(fx1);

fx2=inline(fx2);

%TRAPECIO

%LONGITUD

for i=1:n+1

x(i)=a+(i-1)*h;

end

sum2=0;

sum1=(fx1(x(1))+fx1(x(n+1)));

for i=2:n

sum2=sum2+(fx1(x(i)));

end

sum=sum1+2*sum2;

trap=(h/2)*sum;

fprintf(\nLongitud por el Metodo TRAPECIO: %.10f,trap);

%AREA

for i=1:n+1

x(i)=a+(i-1)*h;

end

sum2=0;

sum1=(fx2(x(1))+fx2(x(n+1)));

for i=2:n


end

sum=sum1+2*sum2;

trap=(h/2)*sum;

area=2*pi*trap;

fprintf(\nArea por el Metodo TRAPECIO: %.10f,area);

11

%3/8 simpson

%LONGITUD

for i=1:n+1

x(i)=a+(i-1)*h;

end

sum1=fx1(x(1))+fx1(x(n+1));

sum2=0;

for i=2:3:n-1


end

sum3=0;

for i=3:3:n


end

sum4=0;

for i=4:3:n-2


end

sum=sum1+3*sum2+3*sum3+2*sum4;

simp=(3*h/8)*sum;

fprintf(\n\nLongitud por el Metodo 3/8 SIMPSON: %.10f,simp);

%area

for i=1:n+1

x(i)=a+(i-1)*h;

end

sum1=fx2(x(1))+fx2(x(n+1));

sum2=0;

12

for i=2:3:n-1


end

sum3=0;

for i=3:3:n


end

sum4=0;

for i=4:3:n-2


end

sum=sum1+3*sum2+3*sum3+2*sum4;

simp=(3*h/8)*sum;

area=2*pi*simp;

fprintf(\nArea por el Metodo 3/8 SIMPSON: %.10f,area);

%boole

%LONGITUD

sum2=0;

sum3=0;

sum4=0;

for i=1:n+1

x(i)=a+(i-1)*h;

end

sum1=fx1(x(1))+fx1(x(n+1));

for i=2:2:n

sum2=sum2+fx1(x(i));

end

for i=3:4:n-1


end

for i=5:4:n-3


13

end

sum=7*sum1+32*sum2+12*sum3+14*sum4;

boole=(2*h/45)*sum;

fprintf(\n\nLongitud por el Metodo BOOLE: %.10f,boole);

%AREA

sum2=0;

sum3=0;

sum4=0;

for i=1:n+1

x(i)=a+(i-1)*h;

end

sum1=fx2(x(1))+fx2(x(n+1));

for i=2:2:n


end

for i=3:4:n-1


end

for i=5:4:n-3


end

sum=7*sum1+32*sum2+12*sum3+14*sum4;

boole=(2*h/45)*sum;

area=2*pi*boole;

fprintf(\nArea por el Metodo BOOLE: %.10f\n,area);

end

14

Ejecucion del programa

>> Ejercicio_4Unido(x^3,0,1)

Longitud por el Metodo TRAPECIO: 1.5478709251

Area por el Metodo TRAPECIO: 3.5632101593

Longitud por el Metodo 3/8 SIMPSON: 1.5478656547

Area por el Metodo 3/8 SIMPSON: 3.5631218537

Longitud por el Metodo BOOLE: 1.5478656547

Area por el Metodo BOOLE: 3.5631218520

Los resultados obtenidos son bastantes parecidos si compara-mos la longitud de:TRAPECIO con SIMPSON su valor es exacto hasta su cuarta cifraTRAPECIO con BOOLE su valor es exacto hsta la cuarta cifraSIMPSON con BOOLE su valor exacto es diez cifras decimalesEs decir los resultados son my favorables y cada metodos es confiablede tener una resultado aceptable.Los resultados con las areas obtenemos:TRAPECIO con SIMPSON su valor es exacto hasta su tercera cifradecimalTRAPECION con BOOLE su valor exacto es hasta su tercera cifradecimalSIMPSON con BOOLE su valor exacto es hasta su sexta cifra deciaml.Es decir los Metodos que mas se aproximan es el de SIMPSON y deBOOLE dando confiabilidad para utilizarlos

15

5. EJERCICIO: Calcule un valor aproximado de ln(2) aplicando laformula del trapecio compuesta a: 1

0

dx

x+ 1

De una estimacion del error.

Corrida del programa

16

6. EJERCICIO: La funcion

(x) = x

0 sen(t2)dt

es conocida como la integral de Fresnel. Haga un grafico de la funcionen el intervalo [0,10], aplicando la formula del punto medio compuesta.

Corrida del Programa

17

7. EJERCICIO: Use el metodo de las diferencias finitas para aproximarla solucion de las siguientes EDO, tomando un paso h = 0,01:

x = 2x x+ t2 1 en [0,1] con x80) = 5 y x(1) = 10 grafique lasolucion aproximada y compare con la grafica de la solucion exactax(t) = t2 + 4t+ 5

SOLUCION

x = 2x x+ t2 1x 2x + x = t2Discretizamos el intervalo

h =1 0n

0,01 =1 0n

n = 100

Para un punto xk, k = 2, 3, ..., 7

xtk 2x

tk + xtk = t

2k 1

Si xk = x(tk) entonces

xk 2x

k + xk = t

2k 1(1)

Sabemos que la formula en diferencias divididas centrada ordenOh2 para la segunda derivada es:

xk =xk+1 2xk + xk1

h2(2)

Sabemos que la formula en diferencias divididas centrada ordenOh para la primera derivada es:

xk =xk+1 xk1

2h(3)

(2)y(3)en(1)

19

xk+1 2xk + xk1h2

2xk+1 xk12h

+ xk = t2k 1

xk+1 2xk + xk1h2

xk+1 xk1h

+ xk = t2k 1

xk+1 2xk + xk1 hxk+1 + hxk1 + h2xkh2

= t2k 1xk+1 2xk + xk1 hxk+1 + hxk1 + h2xk = h2(t2k 1)xk+1(1 + h) + xk(h

2 2) + xk1(1 h) = h2(t2k 1)k = 2

x3(1 h) + x2(h2 2) = h2((0,01)2 1)k = 3

x4(1 h) + x3(h2 2) + x2(1 + h) = h2((0,02)2 1)k = 4

x5(1 h) + x4(h2 2) + x3(1 + h) = h2((0,03)2 1)k = 5

x6(1 h) + x5(h2 2) + x4(1 + h) = h2((0,04)2 1)k = 6

x7(1 h) + x6(h2 2) + x5(1 + h) = h2((0,05)2 1)k = 7

x8(1 h) + x7(h2 2) + x6(1 + h) = h2((0,06)2 1)k = 100

x100(h2 2) + x99(1 + h) = h2((0,99)2 1)

Formamos la matriz para saber el patron de la matriz tridiagonalFormamos la matriz A:

A =

(h2 2) 1 + h 0 0 0 0 0 0 01 h (h2 2) 1 + h 0 0 0 0 0 00 1 h (h2 2) 1 + h 0 0 0 0 00 0 1 h (h2 2) 1 + h 0 0 0 00 0 0 1 h (h2 2) 1 + h 0 0 00 0 0 0 1 h (h2 2) 1 + h 0 00 0 0 0 0 1 h (h2 2) 1 + h 0: : : : : : : : :0 0 0 0 0 0 0 1 h (h2 2)

20

X =

x2x3x4x5x6x7x8:

x100

Formamos la matriz B:

B =

h2((0,01)2 1)h2((0,02)2 1)h2((0,03)2 1)h2((0,04)2 1)h2((0,05)2 1)h2((0,06)2 1)h2((0,07)2 1)

:h2((0,99)2 1)

Formamos la matriz tridiagonal

PROGRAMA

Por problemas de espacio debido que la matriz es de 99x99 para poder visualizarla seha puesto una de 8x8 solo con fines de demostracion que el programa TRIDIAGONALsi corre perfectamente. para la solucion obviamente ya se ha utilizado la matriz de99x99.Corrida del Programa

21

A=Tridiagonal(1+0.01,0.01^2-2,1-0.01,99);

h=0.01;

for i=1:99

W(i)=(h^2)*(((0.01*i)^2)-1);

end

W;

B=W

x=inv(A)*B;

X1=[5;x;10];

t=[0:0.01:1];

>> cont= Polino_Inter_Lagrange(t,X1);

z=0:0.1:1;

X2=polyval(cont,z);

plot(z,X2)

GRAFICA

Union con la exacta y la aproximada

22

x + (1/t)x + (1 1/(4t2))x = 0 en [1,6] con x(1) = 1 y x(6) = 6 grafique la solucionaproximada y compare con la grafica de la solucion exacta:

x(t) =0, 2913843206cos(t) + 1, 001299385sen(t)

t

SOLUCION

x + (1t )x + (1 14t2 ) = 0

x 2x + x = t2Discretizamos el intervalo

h =6 1n

0,01 =6 1n

n = 500

Para un punto xk, k = 2, 3, ..., 7, ...

xtk + (1

tk)xtk + (1

1

4t2k)xtk = 0

Si xk = x(tk) entonces

xk + (1

tk)xk + (1

1

4t2k)xk = 0(1)

23

Sabemos que la formula en diferencias divididas centrada orden Oh2

para la segunda derivada es:

xk =xk+1 2xk + xk1

h2(2)

Sabemos que la formula en diferencias divididas centrada orden Ohpara la primera derivada es:

xk =xk+1 xk1

2h(3)

(2)y(3)en(1)

xk+1 2xk + xk1h2

+1

tk(xk+1 xk1

2h) + (1 1

4t2k)xk = 0

xk1(4t2k 2htk) + xk(8t2k + 4t2kh2 h2) + xk+1(4t2k + 2htk) = 0k = 2

x1(4t22 2ht2) + x2(8t22 + 4t22h2 h2) + x3(4t22 + 2ht2) = 0

k = 3

x2(4t23 2ht3) + x3(8t23 + 4t23h2 h2) + x4(4t23 + 2ht3) = 0

k = 4

x3(4t24 2ht4) + x4(8t24 + 4t24h2 h2) + x5(4t24 + 2ht4) = 0

k = 5

x4(4t25 2ht5) + x5(8t25 + 4t25h2 h2) + x6(4t25 + 2ht5) = 0

k = 6

x5(4t26 2ht6) + x6(8t26 + 4t26h2 h2) + x7(4t26 + 2ht6) = 0

k = 7

x6(4t27 2ht7) + x7(8t27 + 4t27h2 h2) + x8(4t27 + 2ht7) = 0

24

k = 500

x499(4t25002ht500)+x500(8t2500+4t2500h2h2)+x501(4t2500+2ht500) = 0

Formamos la matriz para saber el patron de la matriz tridiagonalFormamos la matriz A:

A =

8t22 + 4t22h2 h2 4t22 + 2ht2 0 0 0

4t23 + 2ht3 8t23 + 4t22h2 h2 4t23 + 2ht3 0 00 4t24 + 2ht4 8t22 + 4t24h2 h2 4t24 + 2ht4 00 0 4t25 + 2ht5 8t25 + 4t25h2 h2 4t25 + 2ht5: : : : :

PROGRAMA EN MATLAB

function Tridiagonal_Irregular(n,a,b)

h=(b-a)/n;

for i=1:n-1

for j=1:n-1

if(i-j == -1)

A(i,j)=4*(i*h+a)^2+2*h*(i*h+a);%diagonal arriba

else

if (i-j==1)

A(i,j)=4*(i*h+a)^2-2*h*(i*h+a);%diagonal abajo

else

if i-j==0

A(i,j)=4*(i*h+a)^2*h^2-8*(i*h+a)^2-h^2;%diagonal medio

end

end

end

end

end

V(1)=-(4*(h+a)^2-2*h*(h+a))*1;

V(n-1)=-(4*((n-1)*h+a)^2+2*h*((n-1)*h+a))*0;

for i=2:n-2

V(i)=0;

end

y=inv(A)*V;

y1=[1 y 0];

x=a:h:b;

f=Polino_Inter_Lagrange(x,y1);

z=a:0.01:b;

f1=polyval(f,z);

plot(z,f1)

end

GRAFICA

25

GRAFICA DE LA ECUACION EXACTA y LA CALCULADARojo=ExactaAzul=Calculada

26

deber_no6

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