Ejemplo 70Determinar sies combinacin lineal de los vectoresenDemostracin:Tenemos que determinartal que(1;2;1)=a(1;2;1)+b(1;1;2)+c(1;2;3)(1;2;1)=(a+b+c;2a+b+2c;a2b+3c)es decir,

Determinando la matriz del sistema tenemos,

Luego el sistema tiene solucin, es decir,

Por lo tantoes combinacin lineal de los vectores

Ejemplo 71Determinar sies combinacin lineal de los vectoresenDemostracin:Tenemos que determinartal que(1;2;1)=a(1;2;1)+b(1;1;2)+c(1;2;3)(1;2;1)=(a+b+c;2a+b+2c;a+2b+3c)es decir,

Determinando la matriz del sistema tenemos,

Luego el sistema no tiene solucin, es decir, no existentales que satisfagan el sistema.Por lo tantono es combinacin lineal de los vectores

Ejemplo 72Determinar sies combinacin lineal de los vectoresenDemostracin:Tenemos que determinartal que1+x+x2=a(1+x+2x2)+b(1+3x+2x2)+c(1x+x2)1+x+x2=(a+b+c)1+(a+3bc)x+(2a+2b+c)x2es decir,

Determinando la matriz del sistema tenemos,

Luego el sistema tiene solucin, es decir, existentales que

Por lo tantoes combinacin lineal de los vectoresy

Ejemplo 77Demostrar quegeneraDemostracin:Sealuego podemos escribir

Comoson arbitrarios, por lo tanto

Ejemplo 78Demostrar quegenera el espacio de las matrices simtricas de ordenDemostracin:Seauna matriz simtrica . ComoluegoReemplazando tenemos

Comoson arbitrarios, por lo tanto

Ejemplo 79SeaDeterminar un conjuntogenerador deSolucin:Dadotenemos quees decir,por lo tanto(x;y)=(x;2x)=x(1;2)luego todos los elementos dese pueden escribir como combinacin lineal del vectorAs

Por lo tantogenera a

Ejemplo80SeaDeterminar un conjunto generador deSolucin:Dadotenemos queyasociando la matriz, obtenemos

Por lo tanto(x;y;z)=(2z;3z;z)=z(2;3;1)luego todo los elementos dese pueden escribir como combinacin lineal del vectorAs

Por lo tantogenera a

Ejemplo 81SeaDeterminar un conjuntogenerador deSolucin:Dadose tiene

(xyzt)=(xyzt)t(xyzt)=(xzyt)

As obtenemos que.Por lo tantoReemplazando en la matriz tenemos que

(xyzt)=(0yy0)=y(0110)Luego todos los elementos dese pueden escribir como combinacin lineal del vectorAs

Por lo tantogenera aEjercicio 4SeaDeterminar un conjunto generador deEjercicio 5SeaDeterminar un conjunto generador de

jemplo 84Demostrar quees una base deDemostracin:Primeramente vamos a demostrar que el conjunto es linealmente independiente. Seatales que(0;0;0)=a(1;2;1)+b(1;2;3)+c(3;2;1)(0;0;0)=(a+b+3c;2a+2b+2c;a+3b+c)Luego tenemos el sistema de ecuaciones

Determinando la matriz del sistema tenemos

Por Cramer, el sistema tiene nica solucin, es decir,Por lo tanto, el conjuntoes linealmente independiente.En la segunda parte de la demostracin veremos que el conjunto genera aSean,tales que

(x;y;z)=a(1;2;1)+b(1;2;3)+c(3;2;1)(x;y;z)=(a+b+3c;2a+2b+2c;a+3b+c)

Luego tenemos el sistema de ecuaciones

Determinando la matriz del sistema y calculando su determinante obtenemos

Por Cramer, el sistema tiene nica solucin, es decir,

Por lo tanto, el conjuntogenera aY con ello el conjuntoes una base deEjemplo 85Demostrar quees una base deDemostracin:Primeramente vamos a demostrar que el conjunto es linealmente independiente. Seantales que

(0000)=a(2121)+b(3342)+c(2151)+d(4575)(0000)=(2a+3b+2c+4da+3bc+5d2a+4b+5c+7da+2bc+5d)

Luego tenemos el sistema de ecuaciones

Determinando la matriz del sistema tenemos

Por Cramer, el sistema tiene nica solucin, es decir,Por lo tanto, el conjuntoes linealmente independiente.En la segunda parte de la demostracin veremos que el conjunto genera aSean,tales que(xyzt)=a(2121)+b(3342)+c(2151)+d(4575)(xyzt)=(2a+3b+2c+4da+3bc+5d2a+4b+5c+7da+2bc+5d):Luego tenemos el sistema de ecuaciones

Determinando la matriz del sistema y calculando su determinante tenemos

Por Cramer, el sistema tiene nica solucin, la cual es ,a=1649x+17z+27y1149tb=ytc=314y+398x+17z198td=914t12y+114xPor lo tanto, el conjuntogenera aY con ello el conjuntoes una base de.

Ejemplo 86SeaDeterminar un base deSolucin:Primero necesitamos encontrar un conjunto generador, para ello consideremos la matriz del sistema y la escalonada reducida por fila (recuerde que es un sistema homogneo)

por lo tanto(x;y;z;t)=(11a;5a;2a;a) cona(x;y;z;t)=a(11;5;2;1) con a luegogenera el espacioAhora es fcil demostrar que este conjunto es linealmente independiente, ya que

As,es linealmente independiente, y por lo tanto es una base de

Ejemplo87SeaDeterminar un base deSolucin:Primero necesitamos encontrar explcitamente la condicin que define al conjunto.Seacalculando su derivada obtenemosEvaluando la condicin se tiene

p'(1)=p(0)b+2c=aa=b+2c, con b,cnotemos queno tienen restricciones, luego

a+bx+cx2=b+2c+bx+cx2=b+bx+2c+cx2 =b(1+x)+c(2+x2)

por lo tanto un conjunto generador dees

Adems, este conjunto es linealmente independiente, ya que

a(1+x)+b(2+x2)=0(a+2b)+ax+bx2=0

Recuerde que esta ltima es una igualdad polinomial, por lo tanto

es decir,es linealmente independiente.As,es una base de

Ejemplo 89Seael subespacio deComo el vector

y ademsluego

Ejemplo 90Seaun espacio vectorial sobreyDemostrar

Demostracin:Como el vector

y ademsluego

y ahora veamos que el vectores combinacin de

comotenemos

Por lo tanto

Ejemplo 92Determinar la dimensin del espacio

Solucin:Sealuego

(abcd)(1236)=(0000)(a+3b2a+6bc+3d2c+6d)=(0000)

1igualando coeficientes tenemos

resolviendo y reemplazando en la matriz obtenemos

es decir

Falta demostrar que son linealmente independiente,

x(3100)+y(0031)=(0000)(3xx3yy)=(0000)

as obtenemos quecon lo cuales una base dePor lo tanto la dimensin dees

Ejemplo 51Los matrices de ordenesto eses un espacio vectorial sobrecon la suma de matrices y multiplicacin por escalar.Primero explicitemos la suma de matrices.

dondeAhora explicitemos la multiplicacin de una matriz por un escalar.

donde

Ejemplo 52es un-espacio vectorial, con las operaciones suma por coordenadas y multiplicacin por escalar.2Primero explicitemos la suma de n-uplas.

dondeAhora explicitemos la multiplicacin de una n-upla por un escalar.

donde

Ejemplo 53es un-espacio vectorial, con las operaciones suma por coordenadas y multiplicacin por escalar.Primero explicitemos la suma de n-uplas.

dondeAhora explicitemos la multiplicacin de una n-upla por un escalar.

donde

Ejemplo 54es un-espacio vectorial, con las operaciones suma por coordenadas y multiplicacin por escalar.Primero explicitemos la suma de n-uplas.

dondeAhora explicitemos la multiplicacin de una n-upla por un escalar.

dondeNote que la diferencia entre los tres ejemplos anteriores est en donde varan los coeficientes o los escalares.

Ejemplo 55Seaun conjunto entonces

es un-espacio vectorial, con las operaciones suma de funciones y multiplicacin por escalar.3Primero explicitemos la suma de funciones.

dondeAhora explicitemos la multiplicacin de una funcin por un escalar.

donde

Ejemplo 56Seaun intervalo de nmeros reales entonces

es unespacio vectorial.Las operaciones son anlogas, ya que estamos trabajando con funciones, solamente debemos recordar que si dos funciones son continuas (derivables) la suma es continua (derivable), el mismo resultado lo tenemos para la multiplicacin por escalar.

Ejemplo 57Seaes R-integrable enentonceses un-espacio vectorial.En este caso las operaciones son la suma de funciones y multiplicacin de una funcin por un escalar, y ahora recordamos que, si dos funciones son R-integrable entonces la suma es R-integrable, el resultado anlogo lo tenemos para la multiplicacin por escalar.

Ejemplo 58Seaes decires el conjunto de los polinomiosconyPrimero explicitemos la suma de polinomios.

dondeAhora explicitemos la multiplicacin de un polinomio por un escalar.

donde

Definicin TRAZA DE UNA MATRIZSea una matriz cuadrada A de orden n, se define la traza de la matriz A y se denota por tr(A)al valor obtenido al sumar todos los elementos de la diagonal principal, es decir

a.- [ (3,-1) , (5,1) ]

b.- [ ( 1/2, 1/5) , (-3, 1/2) ]

No se como comprobarlo ni idea! =S hace 5 aos Notificar un abusoAlejandro QMejor respuesta- Elegida por el usuario que preguntaHola soy alejandro, para que unos vectores formen una base deben cumplir dos condiciones:1) ser linealmente independientes.2) generan todo el espacio.En este caso la cosa es sencilla, en R^2 si tengo dos vectores para que sean base basta ver que no esten alineados, es decir que v1 no sea un multiplo de v2.Hagamos el caso a)a) Veamos que no estan alineados, es decir uno no es multiplo del otro.Para que sean multiplos debe existir un numero real tal que multiplique a un vector y me de el otro.En este caso si tomamos el (3,-1) y quiero buscar un numero para que cuando lo multiplique me de el (5,1), vemos que como la segunda coordena del primer vector es -1 y la del segundo vector es 1, el numero que tengo que multiplicar es -1. pero 3.(-1) no es 5, entonces los vectores no estan alineados.b)hagamos otra forma de ver el problema, buscamos un numero,L, real tal que (-3,1/2)=L.(1/2,1/5), entonces obtenemos-3=L.(1/2)1/2=L.(1/5)de la primera igualdad obtenemos que L=-6, pero (-6).(1/5) no es 1/2, entonces los dos vectores no estan alineados por ende forman una base. Espero haberte ayudado

Como demostrar si un conjunto de vectores es base de un espacio vectorial?desmuestre que el conjunto formado entre v1 v2 v3 es una base de R^3 siv1=(1,2,1) v2=(2,9,0) v3=(3,3,4)

ayudenme porfagracias hace 4 aos Reportar abusos))(( forever.Mejor respuesta- elegida por los votantestienes que verificar que son linealmente independientesEs decir la unica forma de quea*v1 + b * v2 + c * v3 = (0,0,0) es que a, b y c sean todos nulos.Para eso planteas el sistema de ecuaciones y lo resuelves. Si algun a, b, o no te da cero es porque los vectores son dependientes es decir uno de ellos es combiancin lineal de uno o ms de los otros.El sistema te quedaa + 2 b + 3 c = 02a + 9 b = 03 a + 3 b + 4c = 0Aqui aplicas cualquier metodo de resolucion de sistemas de ecuaciones 3x3 y listo