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Leñitas Geométricas

para el Fogón Matemático de los Festivales

De OMA para Profesores y Maestros

en actividad

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“Entender las matemáticas es demostrar formalmente lo que se ve intuitivamente, y ver intuitivamente lo que se demuestra formalmente”. George Polya

La Visualización como Método de Resolución de ProblemasContinuaremos con la visualización de los irracionales

A propósito del pentágono regular y, como lo señalara Miguel de Guzmán, “… sus maravillas pitagóricas”. A

dB

C

l

l

D

γ

2γγ

2γ

γ

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El documento “Marco Nacional para la Mejora del aprendizaje en Matemática” considera que enseñar a partir de la modeli-zación favorece el desarrollo de capacidades y la construcción de los saberes. En particular, enseñar matemática a partir de la modelización permite:

• favorecer el desarrollo de competencias de educación digital para analizar, establecer y criticar modelos matemáticos;• resolver situaciones relevantes y reales;• establecer fundamentos cognitivos sólidos para la construcción de conceptos matemáticos;• tender puentes entre las experiencias vividas por los estudiantes y la matemática;• desarrollar la creatividad y el descubrimiento;• integrar los conceptos matemáticos.Estas cuatro perspectivas (desarrollo de capacidades, ciudadanía, tecnología y modelización) enriquecen la mirada sobre el aprendizaje de la matemática en el siglo xxi y pueden actuar como el punto de partida de un debate que permitirá a los equipos técnicos provinciales revisar el balance y la funcionalidad de los contenidos ofrecidos a los estudiantes, y a los docentes repensar el enfoque de su tarea al diseñar propuestas de enseñanza de matemática.

A nuestro parecer, resolver problemas relevantes y reales es la clave para una enseñanza efectiva, porque las preguntas que están a la cabeza deberían ser verdaderamente motivadoras como para ver que se puede y vale la pena el esfuerzo. El uso de herramientas matemáticas y de tecnología son recursos esenciales para ayudar al aprendiz, haciéndole experimentar el sentido de las ideas matemáticas en el contexto cultural en el que está inserto.

Hay muchas maneras de hablar acerca de para qué las matemáticas y sus aplicaciones son importantes en la formación de los jóvenes para el siglo xxi. Todas ellas significan, esencialmente, que las matemáticas son importantes, porque saberlo puede hacer la vida más razonable. En otras palabras, puede ayudar a explicar cómo funciona este mundo.

EN LA PRÁCTICA DOCENTE

Nº 6 - 9 de mayo de 2019

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s 6 La relación en la que se encuentran la diagonal y el lado del pentágono regular se puede obtener de nuestras

cuentas anteriores. Tenemos que se verifi ca dl=mn

, y aunque ya sabemos que m y n no pueden ser enteros,

a la vez sabemos que dl=mn=

m− n2n−m

.

Así, llamando x = mn

resulta x = mn=x − l2− x

. Por lo tanto, x2 – x – 1 = 0, es decir x = 1+ 52

= 1,618... , un

número que ya hemos conocido antes y que tiene que ver con la sección áurea de un segmento; lo podrás observar en la fi gura de arriba. Resulta que los triángulos ABC y BDC son semejantes y así

ACAD

=ACAB

=BCDC

es decir, dl=

ld− l

, lo que signifi ca que AD, que es igual al lado, es sección áurea de la diagonal, lo cual,

añadía otro encanto más al pentágono regular para los ojos pitagóricos. En realidad, con un poco más de esfuerzo, puedes comprobar que, en el pentagrama y pentágono regular, cualquier segmento es sección áurea del que es inmediatamente mayor.

Algunos modelos para las construcciones geométricasEl lugar de todos los puntos cuya suma de cuadrados de las distancias a dos puntos dados A y B es una constante k2, es una circunferencia cuyo centro es el punto medio C del segmento que une los dos puntos.

En efecto: como en casos anteriores, eligiendo una notación adecuada y llamando M a uno de los puntos buscados, queda determinado el triángulo AMB. Tracemos la mediana CM; se tiene:

k2 = AM2+BM2

= 2MC2+2AC2 .

MC2=12k2 − AC2 y MC = k2

2− AC2

A

M

BC

D

E

Los puntos buscados distan de C una longitud constante, por lo tanto están sobre una circunferencia de radio CM .

Para determinar sobre AB los puntos que pertenecen a la circunferencia, se construye sobre A un ángulo de BAE = 45º. Desde B, con un radio igual a k, se describe un arco, que corta a la recta AE

! "!! en dos puntos, E y

D. Desde estos puntos se trazan las perpendiculares EG! "!

y DF! "!!

sobre AB y sus pies F y G son los puntos del lugar. En efecto:

k2 = DF2+ FB2 y k2 = EG2

+GB2= AG2

+GB2 .

Porque DF = AF y EG = AG .

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s 6 Tomando la modelización con Claudi Alsina

En el Seminario Internacional realizado en Neuquén del 13 al 17 de noviembre del 2000, y en total coordinación con el Seminario de Miguel de Guzmán, nos planteó de lejos un tema que con la visualización se volvería muy actual. La modelización de la realidad de una sociedad que, como dijimos, se mueve usando el papel, por lo que sería la envidia de los geómetras griegos.

La sociedad actual se comunica con el papel como soporte. Pero empieza a cambiar: papel más pantalla.

Con él se hacen los libros que tienen un formato estándar, se envuelven los regalos y para ello los comercios compran bobinas de papel también estandarizadas, los blocks, las tarjetas personales o las postales, etc., etc. La norma DIN 476 del Instituto Alemán de Normalización, editada en 1922, trata de los formatos de papel y ha sido adoptada por la mayoría de los organismos nacionales de normalización europeos. Su contenido es equivalente al de la norma internacional ISO 216.

Este estándar fue desarrollado por el ingeniero berlinés Dr. Walter Porstmann, que recuerda los esbozos olvidados del tiempo de la Revolución francesa respecto del sistema métrico decimal. Claudi nos planteó varios problemas “geométricos” ligados a esta realidad con el uso del papel en la industria, el comercio, el periodismo y la sociedad. Resulta entonces un contexto adecuado para enseñar a matematizar sus tareas para simplifi carlas.

Se necesitan problemas matemáticos que sean signifi cativos para los estudiantes.

Entendemos por matematizar al proceso de trabajar la realidad a través de ideas y conceptos matemáticos en dos direcciones opuestas: por un lado, a partir del contexto deben crearse esquemas, formular y visualizar los problemas, descubrir relaciones y regularidades, hallar semejanzas con otros problemas… y, por otro lado, trabajar matemáticamente hallando las soluciones y propuestas que deben volver para proyectarse sobre la realidad al analizar su validez y signifi cado.

Claro está, todo ello sin disfrazar o camufl ar problemas sino buscando autenticidad. El mundo real es el entor-no natural, social y cultural donde vivimos. Deseamos educar para que las personas puedan benefi ciarse de la cultura matemática con el fi n de actuar en la vida real. A veces la escuela no ayuda, veamos un contraejemplo: “La ley del movimiento de un cuerpo está expresada por la función e = t4 – 3t3 + 2t2. Halle en qué intervalo de tiempo el móvil avanza en un sentido o en otro”. ¡Inadmisible!, dice Alsina; es solo aparente el contexto físico del cuerpo móvil. ¿En qué se mide t? ¿Y e?

Otro contraejemplo: “Una ventana tiene forma de cicloide. Calcule la superfi cie del cristal”. ¡Horror! Nun-ca nadie hizo una ventana cicloide.

Ahora, un buen ejemplo. Todo lleva a la necesidad de elegir problemas más relevantes, con más signifi cado y contexto. Un bonito ejemplo es del proyecto Pisa:

“Manejando su coche ha recorrido ya dos terceras partes del camino. El tanque de gasolina estaba lleno al empezar y ahora le queda un cuarto de su tanque. ¿Tiene algún problema?”

¡Magnífico! Aunque no tiene referencia del coche, del lugar, etc., el problema es interesante y realista y, así planteado, obliga a pensar.

¿Para qué sirven las fracciones? Aquí veremos que sirven para aproximarse a un número real.

En el Seminario de De Guzmán trajimos los primeros folios de papel al Fogón Matemático para que ardieran, ahora Claudi nos propone mucho más papel. En el sistema DIN A, hallar las medidas exactas de A0, A1, A2, A3, A4. ¿Qué factores actúan al fotocopiar reduciendo de un DIN A3 a un DIN A4? Tratándose de medidas estamos dentro del cálculo aproximado y debemos manejarnos entendiendo qué nos pide el problema cuan-do nos dice “las medidas exactas” e interpretar los valores que siguen.

Creemos que con este material las Secretarías Regionales de la Olimpiada podrán organizar Festivales de Problemas e invitar a los alumnos del profe-sorado y exolímpicos al desafío de encontrar más Leñitas Geométricas para el espectáculo.

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s 6 Tamaño Ancho Largo

DIN A0 84,1 118,9

DIN A1 59,4 84,1

DIN A2 42,0 59,4

DIN A3 29,7 42,0

DIN A4 21,0 29,7

DIN A5 14,8 21,0

Dimensiones expresadas en centímetros.

El formato de papel de dibujo de la serie-A se basa en los siguientes principios:

• Los distintos tamaños de papel tienen que tener la misma proporción entre su lado mayor y menor.• Dos tamaños de papel sucesivos tienen que ser uno el doble de superfi cie que el otro, de modo que

cortando un formato se obtienen dos iguales del formato siguiente.• El A0 tiene una superfi cie de un metro cuadrado.• Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b; para que la proporción

entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:ba=2ba→

b2

a2 = 2→ b= 2 ⋅a

Si la proporción entre el lado mayor y el menor es raíz de 2, cortando un formato en dos iguales esta proporción se conserva. Si el formato A0 tiene una superfi cie de un metro cuadrado, tendremos:

b

a

2a

a× b= 1 m2

b= 2 ⋅a

⎫⎬⎪

⎭⎪→ a2 ⋅ 2 = 1 m2 → a = 1m2

2≈ 0,841 m

Sabiendo el valor de a, el cálculo de b es inmediato: b ≈ 1,189 m

Dividiendo el lado mayor entre dos, obtendremos sucesivamente los distintos formatos A1, A2, A3, A4. Pero ¿qué signifi ca dividir por 2 ? Es un número irracional como π. Uno nos lleva a Pitágoras y el otro a Arquímedes, que deja planteado un método. Los escolares del mundo entero conocen del curso de geometría que Arquímedes encontró para el número π el valor aproximado de 227

o 3,14. Este hecho ya es tan usual que muchos no suponen qué secreto encubre.

Son muchos los que se preguntan: ¿por qué Arquímedes escogió justamente séptimos? ¿Cómo hubiera sido si expresáramos a π por aproximación de octavos? Esta pregunta resulta muy interesante. En realidad, Arquímedes en su obra «Medición del círculo» formuló este resultado de una manera algo distinta. Indicó los

límites para π: 3107< π < 31

7. Arquímedes lo expuso así: “El perímetro de todo círculo es igual al diámetro

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s 6 triplicado con exceso, que es mayor que la séptima parte del diámetro pero menor que diez septuagésimo

primero”. Se puso en uso el valor 317

como el más simple aunque es más próximo a 31071

. Al decir más

próximo queremos decir que aproxima mejor; esta es una idea interesante para los irracionales.

La aproximaciónEn diferentes apartados de la matemática se encuentran problemas del siguiente tipo: hace falta sustituir cierto objeto (número, función, fi gura, etc.) por otro de la misma naturaleza, pero más simple y sufi cientemente próximo al objeto dado. Tal sustitución se denomina aproximación. En cada caso concreto, el conjunto de los objetos a aproximar debe separarse en un subconjunto de objetos que se consideran más simples, y hace falta defi nir qué signifi ca “sufi cientemente próximo”. Hablaremos sobre un caso particular, o sea, la sucesión de aproximación a números reales.

Consideremos el conjunto de todos los números reales, designado con la letra R. Los números reales pueden tener una naturaleza compleja (números irracionales) o ser extensos (las fracciones con denominadores

grandes). Recordemos que las fracciones representan un par de números pq , donde p y q son números

enteros y q ≠ 0. De tal modo, los números 32

o π2

no son fracciones.

Aquí hay que aclarar por qué la extensión de una fracción se mide por la magnitud de su denominador y no de su numerador. No nos interesa tanto la magnitud de un número real α como su naturaleza aritmética, entonces nos importa la situación en que este número está entre los enteros consecutivos n y n + 1. El desplazamiento del número α por el eje numérico entero no cambia la naturaleza aritmética.

No hay razón para considerar al número 3914

= 97 34

mejor que 34

. Podríamos limitarnos al estudio de la

naturaleza de números en el segmento [0, 1]; en cada segmento [n, n + 1] se repite el mismo cuadro. Precisamente por eso, debemos estimar el grado de complejidad de una fracción por su denominador y no por el numerador.

En teoría de números, la aproximación de Dirichlet asegura que para cualquier número real α y cualquier

entero positivo n existen enteros p y q tales que 1 ≤ q ≤ n y qα− p < 1n

.

Este es un resultado fundamental, al mostrar que cualquier número real tiene una sucesión de buenas apro-ximaciones por racionales: de hecho, una consecuencia inmediata es que, dado un número irracional α, la

desigualdad α−pq<1q2 se satisface para infi nitos enteros p y q. Ahora el problema acerca de la aproximación

de los números reales puede formularse así: dar una expresión aproximada de un número real α en forma de una fracción con el denominador q, y que signifi ca hallar entre todas las fracciones con el denominador q la que mejor aproxima al número α.

0 ↑αp−1q

pq

Si en el eje están marcadas todas las fracciones con denominador q, entonces el número α resultará entre dos fracciones que verifi ca

p−1q

<α <pq

De ellas se escoge la más próxima a α.

Error de aproximación. En el proceso de aproximación de un número real α mediante la fracción pq

siempre

surge un error Δ =α−pq

. Recordemos: el error es el valor exacto menos el aproximado.

Entonces resulta que si se tiene una aproximación por defecto, entonces el error es positivo, y si se tiene una aproximación por exceso, este es negativo.

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s 6 El valor absoluto del error Δ se denomina error absoluto. Está claro que para el procedimiento escogido de

aproximación el error absoluto no puede sobrepasar 12q

. Luego Δ ≤i2q .

El número 12q es el límite superior del error absoluto. Para el otro procedimiento de aproximación, el límite

superior puede ser diferente. Por ejemplo, si hubiéramos convenido en tomar siempre la aproximación por

defecto, es decir, siempre escoger el extremo izquierdo del segmento p−1q

, pq

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ , entonces el error sería igual

a 1q . El error absoluto alcanza el límite superior cuando α es el punto medio del segmento p−1

q, pq

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ . Si α

se sitúa en el mismo segmento muy cerca de uno de sus extremos, entonces el error absoluto real puede ser considerablemente inferior al límite superior del error absoluto. Todo ello sugiere introducir el concepto acerca de la efi cacia de la aproximación, que veremos más adelante.

Producción de movimiento rectilíneo por medio de sistemas articuladosEl pantógrafo

Su teoría se describe en los principios de Descartes sobre los paralelogramos y fue ideado en 1603 por Christo-pher Scheiner; tiene aplicaciones en diversos campos de la mecánica, en mecanismos tales como el pantógrafo de ferrocarril, el gato hidráulico, el pantógrafo de oxicorte, o como instrumento de dibujo.

Modelización: La Matemática Cotidiana

DIRIGE: Dr. Néstor Aguilera

ORGANIZA: OMA. Departamento de Investigación y Docencia.

Del 6 al 9 de julio de 2019

Hotel EDEN de la Falda.

Costo de la residencia:$ 6.000.- por persona con estadía y pensión completa.

Inscripción e informes: OMA. Tel 4826-6900. Buenos Aires

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s 6 El pantógrafo de dibujo es un aparato de dibujo cuyo principio consiste en usar una imagen guía a efectos

de ampliarla. Generalmente utilizado en arquitectura, consta de un pivote y un cruce de varillas de madera o metal. El aparato se basa en el principio del que recibe el nombre, y consiste en un paralelogramo articulado que sirve para dibujar una fi gura homotética a una usada de referencia, teniendo como objeto la ampliación de un dibujo o geometría.

El pantógrafo, como instrumento de dibujo, permite copiar una fi gura o reproducirla a una escala distinta. Para conseguir dibujos a diferente escala se varía la distancia entre los puntos de articulación (rótulas), conser-vando siempre la condición de paralelismo entre las varillas, dos a dos.

La máquina de vapor

La original máquina de vapor de James Watt estaba equipada con un extraordinario mecanismo denominado paralelogramo de Watt a causa de su forma. El aparato, que aparece de forma esquemática en la fi gura, con-siste en cinco varillas articuladas en C, D, E, F.

F

BC

MA

D

E

Varil

la p

istón

En las varillas, A y B están fi jos por medio de ejes que les permiten rotar. Todos los goznes están construidos de manera que las varillas no pueden nunca salir del plano. La varilla que hace las veces de pistón está fi ja en F.

La fi nalidad de este aparato es conseguir que el extremo de la varilla pistón ejecute un movimiento rectilíneo.

Esto es necesario para evitar que el pistón se atasque en el cilindro. No obstante, puede demostrarse mate-máticamente que el punto F no sigue en realidad una trayectoria recta con exactitud. Se mueve, más bien, sobre una curva que está muy próxima a la línea recta para que el mecanismo cumpla la fi nalidad para la que fue creado.

FG

BC

M

ADE

El paralelogramo CDEF, que da su nombre a este sistema articulado, no es en realidad una parte esencial de este; su propósito es meramente aumentar la parte útil del movimiento. La parte esencial es la articulación ADCB. Para desplazamientos que no sean demasiado amplios, esta parte es causa de que el punto medio M de la varilla DC siga aproximadamente una línea recta. Si la articulación se construye con AD= DE = CF = BC y DC = EF (la varilla AE no está articulada en D), los puntos A, M, F estarán siempre situados en línea recta debido a la semejanza de los triángulos AEF y ADM. Debido a la semejanza de los triángulos, AF es el doble

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de AM , el punto F tiene un movimiento «semejante» al de M, pero es dos veces más extenso. El movimiento de M puede cómodamente ser aumentado k veces. Mantenemos AD . BC para que el punto medio M de CD siga aproximadamente una línea recta, pero aumentamos el tamaño del paralelogramo DEFG para obtener:

ADAE

=DMEF

=1k

Para estudiar el movimiento que produce realmente el paralelogramo de Watt podríamos restringirnos a la exposición del movimiento de M.

La producción del movimiento en línea recta por medio de sistemas articulados ha tenido una importancia considerable en la historia de la invención de las máquinas, y el problema ha sido estudiado por un gran núme-ro de investigadores. Pero el uso particular que Watt dio a su sistema articulado no tiene importancia hoy día.

En una máquina de vapor moderna el extremo del pistón se mantiene en línea recta por un mecanismo total-mente distinto, una «cruceta» que se desliza entre dos vías paralelas. Es posible que los primeros diseñadores se inclinaran por utilizar el principio de la articulación preferentemente al de la cruceta debido a que tenían una idea errónea sobre la intensidad de las fuerzas de fricción que esta traía consigo.

El problema de las articulaciones ha llamado la atención no solamente de diseñadores, sino también de ma-temáticos puros. Los matemáticos han considerado el problema, naturalmente, en su forma más estricta, y han hallado una articulación en la cual un eje describe una línea totalmente recta. El primero en estudiar este problema fue el gran matemático ruso P. L. Tschebyschev (1821-1894), quien estudió el paralelogramo de Watt y sus posibles perfeccionamientos.

PARALELOGRAMO DE WATT

posición de reposo movimiento durante las sacudidasEl paralelogramo de Watt está constituido por un balancín y un par de tirantes (en rojo), unidos respectivamente a las masas suspendidas y a las no suspendidas. Durante las sacudidas, la rotación del balancín compensa las variaciones de distancia entre los puntos de anclaje y, de esta forma, el puente trasero se mueve verticalmente sin desplazamientos laterales.

Para visualizar1. Determinar un punto A desde el cual se vean dos circunferencias dadas C1 y C2 bajo los ángulos α y β.

2. Determinar un punto A de tal manera que las tangentes t1 y t2 trazadas desde A tengan las longitudes l1 y l2 dadas.

3. Determinar un punto M desde el cual se vean dos segmentos de recta AB y CD bajo los ángulos dados α y β .

4. Sobre una recta dada a , determinar un punto P de otros dos dados M y N.

5. En un triángulo ABC, inscribir otro MPQ isósceles de altura dada, de manera que su base sea paralela al lado b .