SIMULACION NUMERICA DE YACIMIENTOSESCUELA DE INGENIERIA DE PETROLEOS

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERPRIMER SEMESTRE ACADEMICO DE 2012

TALLER No2. LINEALIZACION DE MODELOS EMPIRICOS

MODELO EXPONENCIAL

Y=aebx LnY=ln a+bx

MODELO POTENCIA

Y=axb

LogY=loga+b log x

Posee una restricción ya que no pueden haber números negativos tanto en X como en Y.

MODELO CRECIMIENTO DE SATURACION

Y= axb+x

1Y

=b+ xax

1Y

=ba1x+ 1a

MODELO DECRECIMIENTO DE SATURACION

Y=ax+bx

Y=a+ bx

1Y

=a+b 1x

Posee una restricción ya que x no puede ser cero.

Realice los gráficos de cada uno de los modelo sin y linealizados

MODELO EXPONENCIAL

El crecimiento de poblaciones puede modelarse a través del modelo exponencial, suponiendo que la población crece continuamente en el tiempo con una rapidez proporcional al número de individuos presentes en ese tiempo.

∂N (t)∂ t

=αN (t)

Solución analítica: N (t )=Noeαt

Donde N(t) es el número de individuos en el tiempo t, No es el la población inicial y alfa es la razón de crecimiento de la población. Para una población con inmigrantes la ecuación quedaría:

∂N (t)∂ t

=αN ( t )+ I

Donde I es la razón constante de inmigrantes.

Eje 1. Supóngase que se conoce que se tiene inicialmente una comunidad con una población de 950.000 individuos, al cabo del primer semestre inmigran a la comunidad 545.000 individuos; y al final del primer semestre se encuentran un total de 1.786.000 individuos.

Obtenga la solución analítica

∂N (t)∂ t

=αN (t )+ I

∂ vαN ( t )+ I

=∂t

∫ ∂ vαN ( t )+ I

=∫ ∂ t

u=αN ( t )+ I

∂u=α∂N (t)∂t

∂ N ( t )=∂uα

−1α ∫ ∂uu =∫ ∂t

−1α

[ ln (u )]N P0

N (t )=t−t 0

1α

[ ln (αN ( t )+ I )−ln (α N P0+ I )]=t−t 0

ln (αN ( t )+ I )−ln (α N P0+ I )=αt

ln (αN ( t )+ I )=αt+ln (α NP0+ I )

αN (t )+ I=(α NP 0+ I )∗eαt

N (t )=(α N P0+ I )∗eαt−I

α

N ( t )=(N P0 )eαt−I (eαt−1 )α

Calcule la constante alfa

N ( t )=(N P0 )eαt+I (eαt−1 )α

1'786.000=(950.000 ) eαt+ 545.000(eαt−1 )α

Por métodos numéricos se obtiene el alfa.

1'786.000α−α (950.000 ) eαt+545.000 (eαt−1 )=0

α=0,215073

N (t )=(950.000 ) e0,215073 t+ 545.000(e0,215073 t−1 )

0,215073

Calcule la población al final del 5 año.

Como la población de inmigrantes incrementa cada semestre. Se calcula la población por semestre por ede la población final se calcula al 10 semestre.

N (10 )=(950.000 ) e0,215073 (10)+ 545.000(e0,215073 (10)−1 )0,215073

N (10 )=27 '397.665,78≅ 27 '397.666

La población para el 5 año es de 27' 397.666 personas.

Ejemplo 2

Se tiene la población mundial desde 1950 hasta el año 2010

FECHA1950195519601965197019751980198519901995200020052010

Verificar con cuál de los anteriores modelos se puede ajustar los datos registrados históricamente?

El Modelo ajustado al anterior ejemplo es el método exponencial, mediante una linealización logarítmica.

N (t )=Noeαt

ln (N (t ) )=ln (No )+αt

AÑOS POBLACION (X10^6) Ln (Poblacion) POBLACION (X10^6)1950 2519 7,831617276 25191955 2756 7,921535632 2745,2221411960 2932 7,983440063 2991,7604621965 3335 8,112227958 3260,4394841970 3692 8,213923596 3553,2475831975 4068 8,310906757 3872,3517021980 4450 8,400659375 4220,113391985 4831 8,482808765 4599,1062791990 5264 8,568646473 5012,1351271995 5674 8,643649615 5462,256582000 6071 8,711278615 5952,8017872005 6454 8,772455373 6487,401059

2010 6851 8,832149906 7070,0107282015 7704,9424332020 8396,8950232025 9150,9893342030 9972,8060862035 10868,427182040 11844,480722045 12908,190052050 14067,4272

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 20207.2

7.4

7.6

7.8

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

f(x) = 0.0171920455186782 x − 25.6721501727929R² = 0.9927191996802

Ln (poblacion) Vs Tiempo (años)

Series2Linear (Series2)

años

Pobl

acio

n(x1

0^6)

Realice un pronóstico futuro de cual debería ser la población mundial en el año 2050.

Para el año 2050 habrá una población de 14067,427 millones de personas

Consultar por el Peak Oil y los aportes de Huber King

MODELO LOGISTICO

El modelo matemático que modifica la ecuación exponencial es el modelo logístico, el cual considera que la población de una comunidad no crece infinitamente sino que llega hasta un límite máximo, tiempo en el cual la

población empieza a disminuir como consecuencia de la reducción de los recursos y el espacio para albergar dicha población, entre otros factores.

La siguiente ecuación representa el modelo logístico de crecimiento de poblaciones donde P(t) es la población en cualquier instante de tiempo, Pmax es la población máxima que puede sostener el medio y alfa es la tasa de crecimiento neta de la población.

∂P (t)∂t

=αP (t)( Pmax−P( t)Pmax )

Encuentre la solución analítica al modelo de crecimiento logístico.

∂P (t)∂t

=αP (t)( Pmax−P( t)Pmax )

∂P (t)∂t

=k 0P (t)(PM−P(t ))

PM

∂P (t)P ( t )∗(PM−P(t))

=∂ tk 0PM

1(PM−P(t ))

+ 1P (t )

= AP (t )

+ B(PM−P(t ))

A∗PM−A∗P ( t )+B∗P ( t )=(B−A )∗P+A∗PM

B=1

A= 1PM

1PM [ ∂ P ( t )

P+∂P (t )PM−P ( t ) ]=∂ t k0PM

∂P ( t )P

+∂ P ( t )PM−P ( t )

=∂ t k0

∫ ∂ P ( t )P

+∫ ∂P ( t )PM−P (t )

=k0∫ ∂ t

ln (P ( t ) )−ln (PM−P ( t ) )=k0 t+C

ln ( P ( t )PM−P (t ) )=k 0t+C

P ( t )PM−P ( t )

=Cek0 t ; P|t=0=P0

C=P0

PM−P0

P (t )PM−P (t )

=P0

PM−P0ek0 t

P ( t )=P0

PM−P0∗(PM−P (t ) )∗ek0t

P (t )=P0∗PMPM−P0

∗ek0 t−P0∗P(t )PM−P0

∗ek0t

P (t )+P0∗P (t)PM−P0

∗ek0 t=P0∗PMPM−P0

∗ek0 t

P ( t )(1+ P0PM−P0

∗ek0 t)= P0∗PMPM−P0

∗ek0 t

P ( t )=P0∗PM

(PM−P0)∗(1+ P0PM−P0

∗ek0 t)∗ek0 t

P ( t )=P0∗PM

(PM−P0)∗(e−k0 t+ P0PM−P0 )

P ( t )=P0∗PM

(e−k0 t∗(PM−P0 )+P0 )

P ( t )=P0PM

P0+(PM−P0)e−k0 t

Obtenga la primera y la segunda derivada de la expresión hallada en el paso anterior.

P ( t )=P0PM

P0+(PM−P0)e−k0 t

P (t )=P0 PMe

k0 t

P0 ek0 t+(PM−P0)

∂P (t)∂t

=P0PM k0 ek0 t (P0 ek0 t+(PM−P0 ))−1+P0 PM ek0 t (P0 ek0 t+(PM−P0 ))−2(k 0P0 ek0 t)

∂P (t)∂t

=P0PM k0 ek0 t (P0 ek0 t+(PM−P0 )) (P0 ek0 t+(PM−P0 ))−2´+P0PM ek0 t (P0 ek0 t+(PM−P0 ))−2(k 0P0 ek0 t)

∂P (t)∂t

=P0PM k0 (PM−P0 )ek0 t

(P0 ek0 t+(PM−P0 ))2

∂P (t)∂t

=P0∗k 0∗PM (PM−P0 )∗ek0 t

(P0 (ek0 t−1 )+(PM ))2

∂P (t)∂t

=P0∗k 0∗PM (PM−P0 )∗ek0 t

(P0 (ek0 t−1 )+(PM ))2

∂2P( t)(∂t )2

=P0PM k02 (PM−P0 )ek0 t (P0 ek0 t+(PM−P0 ))−2+2P0PM (P0−PM )k0 e

k0 t (P0 ek0 t+ (PM−P0 ))−3(k0 P0 ek0t)

∂2P( t)(∂t )2

=−P0PM k02 ek0 t (PM−P0 )(P0 ek0 t+(PM−P0 )) (P0 ek0 t+(PM−P0 ))−3+2P0PM k0 (P0−PM )∗ek0 t (P0 ek0 t+ (PM−P0 ))−3(k0 P0 ek0 t)

∂2P( t)(∂t )2

=P0PM k0

2 (PM−P0) ek0 t ¿ P0 e

k0 t+P0PM k02 ek0 t P0 e

k0 t (PM−P0)2

(P0ek0 t+(PM−P0 ) )3

∂2P( t)(∂t )2

=P0PM k0

2 (P0−PM )∗ek0 t∗[P0 ek0 t+(P0−PM )]

(P0 (ek0 t−1 )+(PM ))3