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CEDE

DOCUMENTO CEDE 2004-38

ISSN 1657-5334SEPTIEMBRE DE 2004

Microeconoma AvanzadaNotas de Clase 1

Roco Ribero 2 y Ricardo Bernal 3

Resumen

El presente documento recoge las notas de clase del curso de Microeconoma Avanzada delPostgrado en Economa de la Universidad de los Andes dictado por Roco Ribero durantevarios semestres. Se basa en las notas de clase del curso de Microeconoma doctoral quedictaba Yaw Nyarko en New York University circa 1993, las cuales se han venido puliendo yreorganizando con el tiempo. Se compone de tres partes: la primera acerca de la teora cl asicadel consumidor, la segunda sobre la teora cl asica de la rma y la tecera sobre desarrollos m asrecientes en los temas de la economa de la informaci on y la incertidumbre. A lo largo deltexto se plantean una serie de ejercicios aclaratorios, y al nal de cada captulo se incluyenotros ejercicios adicionales. Este documento no contiene desarrollos originales, que no estenya planteados o desarrollados en los libros referenciados al nal. Solamente pretende ser unaayuda para que el lector pueda enfrentarse a los textos de Microeconoma avanzada con mayorseguridad y una gua para los actuales estudiantes del curso. Esperamos que ellos lo encuentrende utilidad, y comprendan que todos los errores que seguramente seguir an encontrando porah, son muy probablemente nuestros, no de Varian ni de Mas Colell.

Palabras clave: Consumidor, productor, optimizaci on, incertidumbre

Clasicaci on JEL: A231 Deseamos agradecer a todas las personas que de una forma u otra colaboraron con esta publicaci on, muy

especialmente a Norman Offstein. Jorge Alexander Bonilla y Edson Apaza colaboraron en versiones anterioresde estas notas de clase. Adicionalmente, agradecemos a la Facultad de Economa y el Centro de Estudios deDesarrollo Econ omico CEDE de la Universidad de los Andes por la nanciaci on parcial del tiempo de Ricardopara la edici on de estas notas.

2 Profesora Asociada Facultad de Economa Universidad de los Andes3 Estudiante Postgrado en Economa, Universidad de los Andes

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Abstract

This document is a collection of the notes from the Advanced Microeconomics course in theeconomics masters program at the Universidad de los Andes, taught by Roco Ribero duringvarious semesters. The notes were originally based on the doctoral microeconomics courseat New York University taught by Yaw Nyarko around 1993, which have been modied andreorganized with time. Three areas of microeconomics are presented: rst the classic consumertheory, second the classic rm theory, and third more recent developments in economics of information and uncertainty. Throughout the text a series of exercises are included to helpclarify examples, and each chapter concludes with additional exercises. This document doesnot contain material that has not already been included in the referenced texts. It onlyattempts to serve as a complement for readers working with advanced microeconomics textsand an aid for students in the advanced microeconomics course. We hope that they nd thenotes useful, and understand that any errors that they nd are most likely ours, and not thoseof Varian or Mas Colell.

Key words: Consumer, producer, optimization, uncertainty

JEL classication: A23

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Tabla de Contenido

I TEOR IA DEL CONSUMIDOR 1

1 Preferencias 3

2 Los Problemas del Consumidor 15

II TEOR IA DE LA FIRMA 45

3 Tecnologa 47

4 Los Problemas de la Firma 57

I II TEOR IA DE LA INFORMACI ON 71

5 Decisiones bajo Incertidumbre 73

6 Informaci on Asimetrica 83

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iv TABLA DE CONTENIDO

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Parte I

TEOR IA DEL CONSUMIDOR

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Captulo 1

Preferencias

La teora del consumidor se sustenta en el concepto de preferencias y en el supuesto deracionalidad de los individuos. As un consumidor, considerado un agente racional escogeentre varias cestas o canastas de bienes que puede elegir. En esta secci on se presentan laspropiedades deseables de las relaciones de preferencias, incluyendo la racionalidad.

Racionalidad del Individuo

Sea X el conjunto de opciones que tiene el individuo. Las preferencias del consumidor sepueden resumir en una relaci on binaria sobre el conjunto X. Una relaci on binaria es un sub-conjunto del producto cartesiano X X ( X X ).Por ejemplo sea X = {a,b,c}, luego el producto cartesiano X X es:

X X = {(a, a ) , (a, b) , (a, c) , (b, a) , (b, b) , (b, c) , (c, a) , (c, b) , (c, c)}.Una relacion puede ser por ejemplo: ( ) = {(a, a ) , (a, b) , (c, c)}, donde es un subconjuntodel producto cartesiano X X , y puede interpretarse como a a, a b y c c.Propiedades de las relaciones binarias:

1) Reexividad

Una relaci on binaria ( ) denida sobre un conjunto X es reexiva si xX, x x.

Ej: Sea X = {a,b,c}y sea ( ) = {(a, a ), (b, c)}no es reexiva porque faltan las parejas(b, b) y (c, c).2) Completitud

Una relaci on binaria ( ) es completa si x, yX, x y y x.

Ej: Sea X = {a,b,c}y sea ( ) = {(a, a ), (b, c), (b, b), (a, c), (c, c)}. Esta relaci on no escompleta porque falta la pareja ( a, b) o la pareja ( b, a).3

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4 CAP ITULO 1. PREFERENCIAS

3) Transitividad

Una relaci on binaria ( ) es transitiva si x,y,z X, x y y z x z.

Ej: Sea X = {a,b,c}y sea = {(a, a ), (c, b), (a, b), (c, a)}, esta relaci on es transitivaporque c aa bc b.Denici on 1.1 Una relaci on binaria sobre X es racional si y solamente si es reexiva, com-pleta y transitiva.

Sea ( ) una relacion de preferencias sobre X . Esto signica que si x yx es al menostan bueno como y o x es preferido o indiferente a la cesta y. Con base en x y se denen lasrelaciones de preferencia estricta y la relaci on de indiferencia como:

x yx es mejor que y o x es estrictamente preferible a la cesta y, es decirx y pero y x;

xyx es indiferente a y, es decir x yy x.

Denici on 1.2 Dada una relaci on de preferencias, se denen los contornos de la relaci on de preferencias como:

Contorno superior ( CS ) de una cesta (x) = {yX/y x}Contorno inferior (CInf ) de una cesta (z) = {yX/z y}

Ej: Sea X = {a,b,c}y sea ( ) = {(a, a ), (c, b), (a, b), (c, a)}CS (c) = {}.CInf (c) = {a, b}.

Denici on 1.3 Una relaci on de preferencias denida sobre un conjunto X es continua si satisface las siguientes dos condiciones:

(1) xX,CS (x) es un conjunto cerrado.

(2) xX,CInf (x) es un conjunto cerrado.

La relaci on de preferencias es semicontinua superior cuando se cumple (1) y semicontinuainferior si se cumple (2). Cuando satisface (1) y (2) es continua.Decir que una relacion de preferencias es continua es equivalente a decir que:

(1) zX, {yX/y x}, y,(2) zX, {yX/z y}son conjuntos abiertos.

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Ejemplo 1.1 Consideremos la siguiente relaci on binaria denida sobre R2+ :

( x1, x2) ( y1, y2) sii ( x1, x2)

( y1, y2) .

Vericar las propiedades de las relaciones binarias enunciadas anteriormente y gracar CS (3, 5)y CInf (2, 4).

(Se debe recordar que: x, yRn ,

x y sii x i yi ,ix > y sii x i yi , i y j/ x j > y jx >> y si x i > y i ,iPor ejemplo:

(1, 2, 4, 7) (1, 2, 4, 7)(1, 3, 4, 7) > (1, 2, 4, 7)(1, 2, 4, 7) >> 1

2, 1, 3, 6 )

Veamos cu ales de las propiedades de la relaci on de preferencias se cumplen.

1) Reexiva?

( ) es reexiva pues (x1, x2)R2+ , (x1, x2) (x1, x2) porque (x1, x2) (x1, x2) ,ya que x1 x1x2 x2. Esto quiere decir que cualquier cesta es mayor o igual que s misma.

2) Completa?

( ) no es completa.

Gr aco 1.1: Cestas que se pueden comparar

Contra ejemplo: (2, 4), (4, 2)R2+ (2, 4) (4, 2)(4, 2) (2, 4) porque: (2, 4)

(4, 2) (2, 4) (4, 2) .

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Las cestas que pertenecen a las regiones A y B se pueden comparar con (3, 5). Aquellas cestas en las regiones C y D no permiten comparaci on con (3, 5).

3) Transitiva? Sean x,y,z R

2+ , sup ongase que x y y y z

(x1, x2) (y1, y2)(y1, y2) (z1, z2) ,luego

x1 y1, y1 z1x1 z1; por propiedades de los n umeros reales, y x2 y2, y2 z2x2 z2; por propiedades de los n umeros reales

(x1, x2) (z1, z2)(x1, x2) (z1, z2)x z,por lo tanto la relaci on binaria es transitiva.

4) Continua?

Se analizan los contornos superiores e inferiores para las cestas dadas en el enunciado.

A continuaci on se gracan CS (3, 5) y CInf (2, 4):

Graco 1.2: Contorno inferior y superior

El CS incluye el borde. Por ejemplo, (5, 5) (3, 5) . De esta manera el CS es un conjunto cerrado. Igualmente, (2, 2) (2, 4), por lo tanto el CInf incluye los bordes y tambien es un conjunto cerrado.Dado que CS y CInf son conjuntos cerrados la relaci on binaria es continua.

Ejemplo 1.2 Considerese la siguiente relaci on de preferencias ( ) sobre R2+ :

( x1, x2) ( y1, y2) sii x 1 + x2 y1 + y2.Determinar cu ales de las propiedades de ( ) se cumplen y y gr acar CS (3, 1) y CInf (3, 1).

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1) Reexiva? ( ) es reexiva pues ( x1, x2) ( y1, y2) porque x1 + x2 x1 + x2, x1, x2R2.

2) Completa?

x1, x2 R2, x1 + x2 y1 + y2,, y1 + y2 x1 + x2; por propiedades de los n umeros reales

(x1, x2) (y1, y2),, (y1, y2) (x1, x2); por denici on de la relaci on binaria

( ) es completa.

3) Transitiva? Sean x,y,z R

2+ , sup ongase que

( x1, x2) ( y1, y2) ( y1, y2) ( z1, z2),

x1 + x2 y1 + y2y1 + y2 z1 + z2 x

1 + x2 z1 + z2; por propiedades de los n umeros reales ( x1, x2) ( z1, z2)

( ) es transitiva.

4) Continua?

CS (3, 1) = {(y1, y2) /y 1 + y2 4}, y, CInf (3, 1) = {(y1, y2) / 4 y1 + y2}Como ambos conjuntos son cerrados, la relaci on de preferencias es continua, ya que sin perdida de generalidad los contornos van a ser cerrados para toda cesta (x1, x2).

Gr aco 1.3: Contorno inferior y superior de nivel (3,1)

N otese que ambos contornos incluyen la recta y2= 4 y1. Esta recta constituye la curva de indiferencia de nivel 4, CI (z) = {x/x z}que es tambien la intersecci on de los conjuntos CS (z) y CInf (z).

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Denici on 1.4 (Convexidad) Una relaci on de preferencias ( ), denida sobre un conjuntoconvexo X , es convexa si:

x,y,z

X,

[0, 1] , si y x

z x

y + (1

)z x.

( ) es estrictamente convexa si:

x,y,z X, (0, 1) , y = z, si y x z xy + (1 )z x.Nota: X es un conjunto convexo si

x, yX, [0, 1] , x + (1 )yX.Resultado 1.1 Se puede demostrar que ( ) es convexa sii los CS de una cesta z son convexos

zX.

Demostraci on.

:Se parte de que ( ) es convexa. Sean x e yCS (z); y sea (0, 1).

x zy z ;

x + (1 )y z; por convexidad de ( ) x + (1 )yCS (z); por denici on de CS CS (z) es un conjunto convexo.

:Se parte de que CS (z) es un conjunto convexo. Sea (0, 1).Suponga que

x zy z

x

CS (z)

y

CS (z)

x + (1 )yCS (z); porque CS (z) es convexo. x + (1 )y z; por denici on de CS ( ) es una relaci on de preferencias convexa .

Denici on 1.5 Una funci on u : C , denida sobre un conjunto convexo C , es:(a) Cuasic oncava si

x, yC, x = y,[0, 1] , u (x + (1 ) y) min {u(x), u(y)}.(b) Cuasiconvexa si

x, yC, x = y,(0, 1) , u (x + (1 ) y) min {u(x), u(y)}.(c) Estrictamente cuasic oncava si

x, yC, x = y,(0, 1) , u (x + (1 ) y) > min {u(x), u(y)}.(d) Estrictamente cuasiconvexa si

x, yC, x = y,(0, 1) , u (x + (1 ) y) < min {u(x), u(y)}.

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(e) C oncava si

x, yC, x = y,(0, 1) , u (x + (1 ) y) u (x) + (1 ) u(y).(f) Estrictamente c oncava si

x, yC, x = y,(0, 1) , u (x + (1 ) y) > u (x) + (1 ) u(y).(g) Convexa si (u) es c oncava, es decir,x, yC, x = y,(0, 1) , u (x + (1 ) y) u (x) + (1 ) u(y).

(h) Estrictamente convexa si (u) es estrictamente c oncava, es decir,x, yC, x = y,(0, 1) , u (x + (1 ) y) < u (x) + (1 ) u(y).

Resultado 1.2 Toda funci on c oncava es cuasic oncava.Demostraci on.

Sean x, yC , (0, 1) , x = y, y sea m = min {u(x), u(y)}.Como u es c oncava,

u (x + (1 ) y) u (x) + (1 ) u(y) m + (1 ) m = m= min {u(x), u(y)}

u es cuasic oncava

Ejercicio 1.6 Buscar contraejemplos para demostrar que no toda funci on cuasic oncava es c oncava.

Denici on 1.6 Consideremos una funci on f denida sobre un conjunto S y sea a

:El conjunto P a = {xS/f (x) a}es el contorno superior de f, de nivel a.El conjunto P a = {xS/f (x) a}es el contorno inferior de f, de nivel a.

Graco 1.4: Contorno superior e inferior de nivel a de una funci on f

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Resultado 1.3 Sea f una funci on denida sobre un conjunto convexo S:

f es cuasic oncava si todos sus contornos superiores son conjuntos convexos; es

decir a , P a

es un conjunto convexo.Del mismo modo, f es cuasiconvexa si todos sus contornos inferiores son conjuntos convexos.

Ejercicio 1.7 Probar que el Resultado 1.3 y la denici on de funci on cuasic oncava de la Denici on 1.5 son equivalentes.

Resultado 1.4 Sea f una funci on doblemente diferenciable de r variables con derivadas par-ciales de primer y segundo orden continuas. Denimos el Hessiano orlado de la siguiente manera:

D r (x) =

0 f 1(x) f 2(x) . . . f r (x)

f 1(x) f 11 (x) f 12(x) . . . f 1r (x)f 2(x) f 21(x) f 22(x) . . . f 2r (x)...

......

...f r (x) f r 1(x) f r 2(x) . . . f rr (x)

Condiciones necesarias

1) Si f es cuasic oncava:

D1(x) 0, D 2(x) 0, . . . , D r (x) 0 si r es impar o D r (x) 0 si r es par x.2) Si f es cuasiconvexa:

Dk (x) 0, k, x.

Condiciones sucientes

3) Si D1(x) < 0, D 2(x) > 0, . . . , D r (x) < 0 si r es impar o Dr (x) > 0 si r es par x

f es cuasic oncava.

4) Si Dk(x) < 0, k, x

f es cuasiconvexa.

Ejemplo 1.3 f (x) = x2, denida en x > 0.

D1(x) =0 2x2x 2 ,

D1(x) = 4x2 < 0, x > 0, por lo tanto f (x) es cuasiconvexa y tambien es cuasic oncava.

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Ejemplo 1.4 f (x) = x2, denida en x 0.D1(x) = 4x2 0, x 0, dado que D1(0) = 0 . Aunque gr acamente sabemos que f (x) es cuasic oncava y cuasiconvexa, el criterio de condiciones sucientes no dene.

Denici on 1.7 (Monotonicidad) Una relaci on de preferencias ( ) denida sobre un conjunto X ordenado es:

(a) Mon otona si

x, yX, x yx y.(b) Mon otona estricta si

x, yX, x yx = yx y.La propiedad de monotonicidad de las preferencias signica que para el consumidor m as es mejor.

Denici on 1.8 (Insaciabilidad Local) ( ) satisface la no saciabilidad local si

xX, > 0,yX/ x y < , , y x.Esto signica que toda cesta tiene una cesta cercana que es preferida a ella. La no saciabilidadlocal es una propiedad para garantizar que las curvas de indiferencia no sean gruesas.

Resultado 1.5 Si ( ) es monotona estricta entonces satisface la propiedad de no saciabilidad local.

Ejercicio 1.8 Probar el Resultado anterior.

Funci on de Utilidad

Sea ( ) una relaci on de preferencias denida sobre un conjunto X . Una funci on u : X , tal que x y si y solo si u(x) u(y) es una funci on de utilidad que representa ( ).Ahora, x yu(x) u(y)h(u(x)) h(u(y)); donde h es una transformaci on monotonacreciente. De esta manera, la funci on de utilidad no es unica dado que es posible efectuartransformaciones mon otonas crecientes de ella.

Ejs: u3, u5, u7, eu , Ln u , a + bu,

b > 0, (esta clase de transformaci on es llamada afn).

Teorema 1.1 Toda relaci on de preferencias racional (reexiva, completa y transitiva) con-tinua y estrictamente mon otona se puede representar a traves de una funci on de utilidad.

La demostracion de este Teorema puede consultarse en los captulos correspondientes en ellibro de Varian, Mas-Collel, o en Introduction to Equilibrium An alisis, Advanced Textbooks in Economics , Hildenbrand and Kirman (1988).

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Ejemplo 1.5 Sup ongase una relaci on binaria que no es transitiva. Por que en este caso noexiste una funcion de utilidad?

De acuerdo con la propiedad de transitividad:x,y,z X, x y y z x z, ahora sup ongase que no se cumple esta propiedad,entonces:

x,y,z X/x y y z, pero x z y adem as sup ongase que existe: u : X /a b,u(a) u(b).Por lo tanto, u(x) u(y)u(y) u(z). Entonces u(x) u(z) por la transitividad de los n umeros reales, pero u(x) u(z) por el supuesto planteado. Se llega a una contradicci on.Ejercicio 1.9 Sup ongase una relaci on binaria que no es completa. Por que en este caso noexiste una funcion de utilidad?

Ejercicio 1.10 Sup ongase una relaci on binaria que no es reexiva. Por que en este casono existe una funci on de utilidad?

Teorema 1.2 Sea C un conjunto convexo y sea u : C una funci on de utilidad que representa una relaci on de preferencias, ( ):(a) La funci on u es cuasic oncava sii ( ) es convexa.

(b) La funci on u es estrictamente cuasic oncava sii ( ) es estrictamente convexa.

Demostraci on.

(a) :

Sea u una funci on cuasiconcava, sea [0, 1] y sean x,y,z C tales que x yz y.Como x y u(x) u(y), y como z y u(z) u(y), adem as dado que u escuasic oncava: u (x + (1 ) z) min {u(x), u(z)} u(y) x + (1 ) z y, porque u es la funcion de utilidad que representa ( ).:Sea ( ) una relacion de preferencias convexa y sean x,y,z C, x = y, sea [0, 1].Sin perdida de generalidad se puede suponer que u(x) u(y)x y.Ahora, y y por que ( ) es reexiva,

x + (1

) y y dado que ( ) es convexa

u (x + (1 ) y) u(y) = min {u(x), u(y)} u es cuasiconcava.

Ejercicio 1.11 Probar la parte (b) del Teorema anterior.

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Ejercicios Adicionales

1. Encontrar el maximo (o los maximos) y el mnimo (o los mnimos) de la funci on f (x)

sobre el conjunto X correspondiente.

a) f (x) = x3 + x2 + x + 1 donde xb) f (x) = x + (1 x)

12 denida en sobre el conjunto {1, 0.5}{0, 1}

c) g(x, y ) = x2 4xy + 2 y2 con x 0, y 02. Encontrar los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientes funciones:

a) f (x) = x4 4x3b) h(x, y ) = ( x + y)2

3. a) Dar un ejemplo de una relacion que no sea completa.b) Dar un ejemplo de una relaci on que no sea reexiva.c) Dar un ejemplo de una relaci on que no sea transitiva.

4. Considere las preferencias denidas sobre 2 por las funciones de utilidad.

a) U 1(x, y) = xb) U 2(x, y) = x + yc) U 3(x, y) = ( x + 2)( y + 1)

Describa las propiedades de estas preferencias y haga un bosquejo de las curvas deindiferencia correspondientes.

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Captulo 2

Los Problemas del Consumidor

Problema de Maximizaci on de la Utilidad (PMU)

Sea m el ingreso del consumidor y p el vector de precios de los bienes, p = ( p1, p2, . . . , pn ), p >> 0, se dene el conjunto de presupuesto :

B ( p, m) = {x n /p.x m } donde p.x = p1x1 + p2x2 + + pn xn .El problema del consumidor consiste en elegir una cesta que maximice su utilidad sujeta alconjunto de presupuesto. En otras palabras es elegir una cesta

(x1, x2, . . . , x n )/Max u (x1, x2, . . . , x n ) s.a. x B ( p, m).

La solucion del problema de maximizacion de la utilidad del consumidor (PMU) es la cestax( p, m) llamada demanda Marshalliana.

Graco 2.1: Curvas de indiferencia

Al evaluar la funci on de utilidad u(x1, x2, . . . , x n ) en la solucion x( p, m) se obtiene la deno-minada funcion de utilidad indirecta v( p, m) = u(x( p, m)).

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16 CAP ITULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR

Para solucionar el PMU se pueden utilizar tecnicas de optimizaci on restringida (Multipli-cadores de Lagrange). La soluci on del problema puede encontrarse de la siguiente manera:

L= u(x1, x2,...,x n ) + (m p1x1 + p2x2 + + pn xn ).C.P.O[x i ] :

Lx i

=ux i p i = 0 , i = 1 , 2, . . . , n

L

= 0

U x iU x j

= T MS i,j =pi p j

= T ES i,j .

Donde T MS i,j es la Tasa Marginal de Sustituci on entre los bienes i y j ; y T ES i,j es la tasa

economica de sustitucion entre estos mismos bienes. Esta relaci on obtenida maniesta igual-dad entre la pendiente de la curva de indiferencia y la pendiente del conjunto de presupuesto,situaci on que es siempre posible mientras el problema pueda derivarse.

Las CSO del problema garantizan que la soluci on sea un maximo siempre y cuando la funci onu se cuasiconcava (ver desarrollo en Varian (1992)).

Ejemplo 2.1 Sea u(x1, x2) = xa1x1a2 ; a(0, 1). Hallar v( p, m).

El problema del consumidor es elegir (x1, x2)/Max x a1x1a2 s.a. p 1x1 + p2x2 = m. N otese que

la restricci on presupuestal se ha mostrado ahora con igualdad, esto puede efectuarse dado que las preferencias cumplen la no saciabilidad local. De esta manera el consumidor gasta todo

su ingreso en el consumo de los bienes y la restricci on puede presentarse como una igualdad.Tambien se puede vericar que u es cuasic oncava.

Para facilitar la soluci on se efect ua una transformaci on mon otona de la funci on de utilidad.El PMU se convierte en:

Max a ln(x1) + (1 a)ln( x2) s.a. p 1x1 + p2x2 = m L= a ln(x1) + (1 a)ln( x2) + (m p1x1 p2x2)

C.P.O.[x1] : Lx 1 = 0[x2] : Lx 2 = 0

[] : L = 0 x1( p, m) =

am

p1, x2( p, m) =

(1

a)m

p2

v( p, m) = a lnam p1

+ (1 a) ln(1 a)m

p2

v( p, m) = ln( m) a ln( p1) + (1 a)ln( p2) + k(a).Donde k(a) es una constante que depende del par ametro a.

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Ejemplo 2.2 Sea u(x1, x2) = min {x1, x2}. Hallar v( p, m).Max min {x1, x2} s.a. p 1x1 + p2x2 = m. Debe tenerse en cuenta que este problema no puede derivarse ya que la funci on objetivo no es derivable en x1 = x2. Por esta raz on su soluci on es generalmente obtenida gracando las curvas de indiferencia y la restricci on presupuestal.

Para gracar las curvas de indiferencia:

min{x1, x2}=x1 si x1 x2x2 si x2 x1

Gr aco 2.2: Demandas Marshalianas para el caso Leontief

Gr acamente se observa que la soluci on se encuentra donde x1 = x2 en el punto A del gr aco.

As podemos reemplazar este resultado en la restricci on presupuestal de la siguiente forma:

p1x1 + p2x1 = m

Las demandas Marshalianas son: x1 = x2 =m

p1 + p2 .

La funci on de utilidad indirecta: v( p, m) =m

p1 + p2 .

Ejercicio 2.1 Sea u(x1x2) = min {ax 1, bx2}, a > 0, b > 0. Hallar x( p, m) y v( p, m).Ejercicio 2.2 Hallar x( p, m) y v( p, m) para las siguientes funciones de utilidad:

u(x1, x2) = min x21 , x2 ;

u(x1, x2) = ax 1 + bx2;

u(x1, x2) = min {x1 + 2 x2, x2 + 2 x1}.

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Proposici on 2.1 El m aximo (mnimo) de una funci on f denida sobre un conjunto B es mayor o igual (menor o igual) al maximo (mnimo) de f sobre cualquier A subconjunto de B.

Gr aco 2.3: Optimizacion cuando se aumenta el intervalo

Demostraci on.

Sea m1 = max f (x) xA.De esta manera, cA, tal que f (c) = m1.Como cA y ABcB.Ahora, si m2 = max f (x)xBf (x) m2,xB.En particular, f (c) m2 m1 m2.

Propiedades de la Funci on de Utilidad Indirecta

1) v( p, m) es no creciente en p y no decreciente en m. Es decir que:

Si p p , v( p, m) v( p , m), y,si m m , v( p, m) v( p, m ).Demostraci on.

a) v( p, m) es no creciente en p

Sean B = {xX/p.x m}y B = {xX/p .x m}y suponga p p .Sea xB ( p, m) p.x m.Como p p p .x p.x m p .x m por lo que x tambien pertenece a B ( p , m).De esta forma queda demostrado que BB .As, M ax u (x) s.a. p .x m = v( p , m) M ax u (x) s.a. p.x m =v( p, m);

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v( p , m) v( p, m), debido a la Proposicion 2.1.b) v( p, m) es no decreciente en m.

Sean B = {xX/p.x m}y B = {xX/p.x m }, y suponga m m.Sea xB ( p, m ) p.x m mComo p.x mx tambien pertenece a B ( p, m); luego B B se tiene que:Max u (x) s.a. x B Max u (x) s.a. x B v( p, m ) v( p, m).

2) v( p, m) es homogenea de grado cero en ( p, m). Es decir que:

v(p,m ) = v( p, m), > 0.

Demostraci on.

SeaB = {xX/p.x m}= {xX/p.x m }, > 0 :

v(p,m ) = 0v( p, m) = v( p, m)

3) v( p, m) es cuasiconvexa en p, es decir que los contornos inferiores de v( p, m),

{ p/v ( p, m)

k

}, son convexos.

Demostraci on.

Sea CInf (k) = { p/v ( p, m) k}; sean p y p CInf (k), y sea (0, 1).Se debe probar que p + (1 ) p CInf (k).Sea B = B ( p, m) = {x/p.x m}y sea B = B ( p , m) = {x/p .x m}Sea p = p + (1 ) p B = B ( p , m) = {x/p .x m}Primero se debe demostrar que B BB .

Por contradicci on:

Sea xB . Supongamos que x /BB

Como xB p .x m(p + (1 ) p ).x m; (1)Ahora, como x /BB x /Bx /B

p.x > m p .x > m

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p.x > m (1 ) p .x > (1 )m p.x + (1 ) p .x > m + (1 )m = m

(p + (1 ) p ).x > m ; lo que se contradice con (1). Si xB x tambien pertenece a BB

B BB

Tenemos que:v( p, m) = Max u (x) s.a. x B k,

v( p , m) = Max u (x) s.a. x B k yv( p , m) = Max u (x) s.a. x B Max u (x) s.a. x BB k;

dado que B BB

p CInf (k).

4) v( p, m)es continua p >> 0,m > 0.

Esta demostraci on se encuentra en el Apendice matem atico de Varian (1992).

Ejemplo 2.3 Vericar las propiedades de v( p, m) para el caso Cobb-Douglas (C-D)

v( p, m) = ln( m) a ln( p1) (1 a)ln( p2) + k(a)(Mirar ejemplo 2.1 para ver donde se obtiene la anterior expresi on)

1) v( p, m) es no creciente en p y no decreciente en ma) v( p,m )p 1 = a p1 < 0

v( p,m )p 2 = 1a p2 ; como (0, 1)

v( p,m )

p 2 < 0

b) v( p,m )m =1m > 0

2) v( p, m) es homogenea de grado 0 en ( p, m)

v( p, m) = ln( m) a ln( p1) (1 a)ln( p2) + k(a)v(p, m ) = ln( m ) a ln(p1) (1 a)ln( p2) + k(a)= ln( m ) a ln(p1) ln(p2) + a ln(p2) + k(a)= ln( ) + ln( m) a ln() a ln( p1) ln() ln( p2) + a ln() + a ln( p2) + k(a)= ln( m) a ln( p1) ln( p2) + a ln( p2) + k(a)= ln( m) a ln( p1) (1 a)ln( p2) + k(a)= v( p, m)

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3) v( p, m) es cuasiconvexa en p

Hessiano orlado de v( p, m)

B =

0 a p1 1a p2

a p1 ap21 0

1a p2 0 (1 a) p22

|B2| = a p12

< 0

|B3| = a p1 (1 a) p22 a p1 (1a) p2

(1a) p2 ap21

(+) (+) (

) (+) (+)

() (+) |B3| < 0 v( p, m) es cuasiconvexa en p.

4) v( p, m) es continua p >> 0, m > 0

Las funciones logaritmo son continuas y la constante es continua; la suma de dos fun-ciones continuas es continua.

v( p, m) es continua.

Nota: El numeral 3) se hubiera podido realizar con un Hessiano normal. Se demuestra que

v( p, m) es convexa en p y dado que toda funcion convexa es cuasiconvexa entonces v( p, m) escuasiconvexa en p.

Resultado 2.1 Si una relaci on de preferencias ( ) completa, reexiva y transitiva satisface el supuesto de insaciabilidad local v( p, m) ser a estrictamente creciente en m.

Ejercicio 2.3 Probar el Resultado 2.1.

Funci on de gasto

Dado el Resultado 2.1, se puede invertir la funci on indirecta de utilidad y despejar m en

funcion del nivel de utilidad. En el graco 2.4, se observa que dado un nivel u de utilidadpodemos encontrar el ingreso mnimo para lograr ese nivel de utilidad a los precios p; estarelaci on se denomina e( p, u).

De manera analoga al anterior PMU se presenta la funcion de gasto como soluci on al problemade minimizaci on del gasto (PMG):

e( p, u) = Min p x s.a. u (x) u

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Gr aco 2.4: Funci on de gasto y de utilidad indirecta

El anterior problema se puede leer de la siguiente forma: para alcanzar un nivel de utilidaddado, Cual es el presupuesto mnimo que se necesita?

Ahora, la cesta minimizadora del gasto, que se necesita para alcanzar el nivel de utilidad u alos precios p, sera denominada h( p, u) (funci on de demanda Hicksiana).

De esta manera,e( p, u) = p1h1( p, u) + p2h2( p, u) + + pn hn ( p, u).

Problema de minimizaci on del gasto (PMG)

Min p x s.a. u (x) uL= p x + (u u(x))

C.P.O. Lx i

= pi ux i

= 0 i = 1 , . . . , n

T ES i,j =pi p j

=u/x iu/x j

= T MS i,j .

Ejercicio 2.4 Hallar la funci on de gasto e( p, u) para u(x1, x2) = xa1

x1a2

.

Ejemplo 2.4 Calcular la funci on de gasto e( p, u) para la siguiente funci on de utilidad:u(x1, x2) = min {x1, x2}

min{x1, x2}= u =x1 si x1 < x 2x2 si x2 < x 1x1 o x2 si x1 = x2

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Gr acamente:

Gr aco 2.5: Demandas Hicksianas para el caso Leontief

Se observa en el gr aco 2.5 que el lugar donde se alcanza el mnimo gasto dado el nivel deutilidad u es el punto A, donde x1 = x2 = u es decir h1( p, u) = u = h2( p, u).

De esta manera la funcion de gasto es la siguiente:

e( p, u) = p1u + p2u = ( p1 + p2)u.

Ejemplo 2.5 Calcular la funci on de gasto e( p, u) para la siguiente funci on de utilidad:

u(x1, x2) = x1 + x2.

De nuevo se recurre al metodo gr aco para encontrar la soluci on, pues el calculo no lleva auna soluci on coherente.

En primera instancia, sujetamos la funci on de utilidad a un nivel dado, u.

u(x1, x2) = x1 + x2 = u

Ahora, despejamos x1 o x2

x2 = u x1 y gracamos los tres casos posibles:Caso 1 p1 > p 2

p1 p2

> 1 h1 = 0h2 = u

e( p, u) = up2.

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Graco 2.6: Caso 1

Observar en este caso que el bien 1 es mas costoso que el bien 2. Dado que el individuopondera, en su funcion de utilidad, los dos bienes de la misma forma, es decir los bienesson sustitutos perfectos, se consume todo del bien 2 y nada del bien 1.

Caso 2 p1 = p2

Graco 2.7: Caso 2

x1 + x2 = u e( p, u) =up

2o

up1

En este caso la pendiente de las rectas de iso-gasto y la pendiente de la curva de indifer-encia son iguales, es decir en el mercado los bienes tambien se ponderan de forma igual.En este caso, cualquier punto sobre la recta de presupuesto superpuesta a la curva deindiferencia ser a optimo.

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Caso 3 p1 < p 2

Graco 2.8: Caso 3

p1 p2

< 1 h1 = uh2 = 0

e( p, u) = up1

El razonamiento es similar al del caso 1 pero con el precio del bien 1 menor al del bien2.

Solucion general para el P MG en el caso de una funci on de utilidad lineal de la forma:

u(x1, x2) = x1 + x2

e( p, u) = min { p1, p2} uEjercicio 2.5 Hallar e( p, u) para u(x1, x2) = ax 1 + bx2, a > 0, b > 0.

Propiedades de la funci on de gasto

1) e( p, u) es no decreciente en p y estrictamente creciente en u:

Si p p e( p, u) e( p , u), ysi u < u e( p, u) < e ( p, u ).

Demostraci on.

a) Sea x0 la solucion del PMG

Min p x s.a. u (x) uSea x1 la solucion del PMG

Min p x s.a. u (x) u

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y sea p p .Por denici on

e( p, u) = p

x0

p x1 (1) p x1 (2)= e( p , u) e( p, u) e( p , u).Explicaci on:(1) p x0 p x1, dado que x0 es la solucion del P MG a los precios p y los dosproblemas tienen las misma restricci on.(2) p x1 p x1, dado que p p .

b) Para probar que e( p, u) es estrictamente creciente en u, supongamos que no. Seanu y u tales que u > u pero e( p, u ) e( p, u ).Sea x la solucion del P MG con u y x la solucion de P MG con u .Ahora, si e( p, u ) e( p, u ) p x p xSea x = x para alg un (0, 1).Como u es continua, se puede elegir de tal modo que

u(x) > u (x )

p x = p x< p x p x

p x p xAs, x no puede ser la soluci on del P MG con u , lo que se contradice con el supuestoinicial.

2) e( p, u) es homogenea de grado 1 en p. > 0, e(p,u ) = e( p, u)

Demostraci on.

Sea > 0, e(p,u ) = Min p x s .a u (x) u= Min p x s .a u (x) u= e( p, u)

3) e( p, u) es concava en p, es decir que (0, 1), p, p ,

e(p + (1 ) p , u) e ( p, u) + (1 )e( p , u).Demostraci on.

Sean p, p y sea (0, 1). Se dene p = p + (1 ) p .

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Sea x0 la solucion al PMG : Min p x s .a u (x) u e( p, u) = p x0.

Sea x1 la solucion al PMG : Min p x s . a u (x) u e( p , u) = p x1.

Sea x2 la solucion al PMG : Min p x s . a u (x) u e( p , u) = p x2

= [ p + (1 ) p ] x2= p x2 + (1 ) p x2.

Ahora, p x2 p x0, dado que x0 es la solucion al PMG dados los precios p y dadoque ambos problemas tienen la misma restricci on.Tambien, p x2 p x1, dado que x1 es la solucion al PMG dados los precios p y dadoque ambos problemas tienen la misma restricci on. Multiplicando por y (1 ) a ambos lados respectivamente, se tiene:

p x2 p x0 y(1 ) p x2 (1 ) p x1;

sumando verticalmente,

p x2 + (1 ) p x2 p x0 + (1 ) p x1= e ( p, u) + (1 )e( p , u).Como e( p , u) = p x2 + (1 ) p x2,

e( p , u) e ( p, u) + (1 )e( p , u).

4) e( p, u) es continua, p >> 0, u > 0. Esta demostracion se encuentra en el Apendice

matematico de Varian (1992).

Ejercicio 2.6 Vericar que las propiedades de e( p, u) se cumplen para el caso Cobb-Douglas.

Teorema 2.1 (Teorema de la envolvente) Considere un problema de maximizaci on en el que la funci on objetivo depende de un par ametro a:

M (a) = maxx1 ,x 2

g(x1, x2, a ) s.a h (x1, x2, a ) = 0

Sea Lel Lagrangeano de este problema y sea xla soluci on de este problema.

M (a)

a=

L(x, a )a

x

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Nota: Ver una demostraci on de este teorema en Varian (1992).

Lema 2.1 (Lema de Roy) Sea x( p, m) la funci on de demanda Marshalliana y sea v( p, m)

la funci on de utilidad indirecta.

x i ( p, m) = v ( p,m )

p iv ( p,m )

mi = 1 , . . . , n siempre que

v( p, m)m

= 0 y pi > 0i, y m > 0.

Demostraci on.v( p, m) = max u(x) s.a p x m L= u(x) + (m p x)

C.P.O.: Teniendo en cuenta el teorema de la envolvente,

vp i

= Lp i x

= xi ; (1)

vm

= Lm x

= . (2)

Igualando en (1) y (2) vp i

= vm

xi xi = vp ivm

.

Lema 2.2 (Lema de Shephard) Si la funci on de gasto es diferenciable en p y p > 0,

h i ( p, u) =e( p, u)

p i; i = 1 , . . . , n .

Demostraci on.e( p, u) = min p x s .a u (x) u L= p x + (u u(x))

e( p, u)p i

= Lp i

h

= x i h= hi ;

teniendo en cuenta el teorema de la envolvente

h i ( p, u) =e( p, u)

p i.

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Teorema 2.2 Identidades de la dualidad

Supongamos que:

- u(x) es continua;

- ( ) satisface las N.S.L. (evitar curvas de inferencia gruesas), y,

- el P MU ( max u(x) s.a p x m) y el P MG ( min px s .a u (x) u) tienen soluci on.

Entonces se cumplen las siguientes identidades:

e( p, v( p, m)) m;v( p, e( p, u)) u;

x i ( p, e( p, u)) h i ( p, u);h i ( p, v( p, m)) x i ( p, m).

Teorema 2.3 Ecuaci on de Slutsky

x j

p i=

h j ( p, u)

p i

x j

m x i ( p, e( p, u))

i, j = 1 , . . . , n .

Utilizando las anteriores identidades de la dualidad se puede llegar a descomponer en una ecuaci on la variaci on de la demanda provocada en un cambio en el precio de alg un bien en dos efectos: el efecto sustituci on y el efecto ingreso. Otra importante consecuencia de la ecuaci on de Slutsky es poder calcular la derivada de la funci on de demanda compensada (la cual no es directamente observable) a partir de elementos observables.

Demostraci on. Por las identidades de la dualidad se tiene:

x j ( p, e( p, u)) h j ( p, u); derivando respecto a pi

x jp i +

x jm e ( p,u )p i = h j ( p,u )p i

x jp i +

x jm h i ( p, u) =

h j ( p,u )p i ; por Lema de Shephard

x jp i

Efecto Total=

h j ( p, u)p i

Efecto Sustituci on

x jm x i ( p, e( p, u));

Efecto Ingresoi, j = 1 , . . . , n por identidad de dualida

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Gr aco 2.9: Ecuaci on de Slutsky

Proposici on 2.2 La matriz de sustituci on

x jp i

+x jm x i ( p, e( p, u)) ij =

h jp i ij

es una matriz semidenida negativa y simetrica. Esta matriz es el Hessiano de la funci on de gasto.

Demostraci on. Por lema de Shephard

e( p, u)p i

= h i ( p, u)

h jp i

= 2e( p, u)p ip j

que es semidenida negativa ya que la funci on de gasto es concava. Debido a esto tambien setiene que:

h jp i

= 2e( p, u)p ip j

= 2e( p, u)p j p i

=h ip j

;

entonces la matriz de sustituci on es simetrica.

Corolario 2.1 h ip i 0; i = 1 , . . . , n

(Los efectos sustituci on propios son negativos).

Deniciones:

Sea x j un bien, se dice que:

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x j es un bien normal six jm > 0;

x j es un bien inferior si x jm < 0;

x j es un bien ordinario six jp j < 0;

x j es un bien Giffen six jp j > 0.

Resultado 2.2 Todo bien Giffen es un bien inferior.

Demostraci on.

x jp j

=h i( p, u)

p j x jm x j ( p, e( p, u)) de la ecuaci on de Slutsky.

Ahora, x jp j > 0, por ser un bien Giffen, y,

h j ( p, u)p j 0, por el corolario anterior. Si

x j ( p, e( p, u)) 0,

x jm tiene que ser negativo, es decir el bien j es un bien inferior.

Ejemplo 2.6 Vericar la ecuaci on de Slutsky en el caso Cobb-Douglas para x 1p 1 .

Sabemos que

v( p1, p2, m) =m

k pa1 p1a2

x1 =am p1

, x2 =(1 a)m

p2.

Ahora, por identidades de la dualidad sabemos que:

v( p, e( p, u)) u

u =e( p, u)

k pa1 p1a2

e( p, u) = u(k pa1 p

1a2 )ahora,

h1( p, u) =e( p, u)

p1= uak p a11 p1a2 = uak

p1 p2

a1.

Por lo tanto tenemos que:

x 1p1

= am p21

y sabemos que

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h 1p1

= uak (a 1) pa21 p1a2x

1m =a

p1

y x1( p, e( p, u)) =a

p1uk pa1 p

1a2 .

Tomando el lado derecho de la ecuaci on de Slutsky:

h 1( p, u)p1

x 1m x1( p, e( p, u)) = uak (a 1) p

a21 p1a2 a

p1a

p1uk pa1 p

1a2= uak (a 1) pa21 p1a2 a2uk pa21 p1a2= uak p a21 p1a2 ((a 1) a), reemplazando u = p21 ma =

x 1p1 .

Ejercicio 2.7 Probar la ecuaci on de Slutsky en el caso Cobb-Douglas para x 2p 1 .

Funci on de utilidad de metrica monetaria directa

Esta funci on relaciona la utilidad de una cesta x con el gasto mnimo que se debe realizar paraalcanza esa utilidad. Se reere entonces, a la cantidad de dinero que se necesita para alcanzarla utilidad que representa la cesta x cuando los precios son p. Formalmente la denici on es lasiguiente:

M ( p, x) = e( p, u(x)) .

Funci on de utilidad de metrica monetaria indirecta

Se reere a la mnima cantidad de dinero que necesita el consumidor para alcanzar a losprecios q , la maxima utilidad que tena cuando los precios eran p y su ingreso era m.

Formalmente la denici on es la siguiente:

(q ; p, m) = e(q ; v( p, m)) .

Notese que si x es jo, u(x) tambien lo ser a y la funcion de utilidad metrica monetaria directase comporta como una funcion de gasto. Lo mismo sucede con la funci on de metrica monetariaindirecta. Notese que estas funciones, por ser funciones de gasto, son estrictamente crecientesen u(x) y en v( p, m), respectivamente. Por lo tanto, las funciones de metrica monetaria sontambien funciones de utilidad, ya que son transformaciones mon otonas de u(x) y v( p, m), queson funciones de utilidad.

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Ejemplo 2.7 Hallar M ( p, x) y (q ; p, m) para la funci on de utilidad Cobb-Douglas.

v( p1, p2, m) =m

k pa1 p1a2.

Por identidades de dualidad: v( p, e( p, u)) u

u =e( p, u)

k pa1 p1a2

e( p, u) = uk pa1 p1a2 .

Ahora,M ( p, x) = u(x)(k pa1 p

1a2 )= xa1x

1a2 k pa1 p1a2= k(x1 p1)a (x2 p2)1a

Por otro lado,

(q ; p, m) = e(q, v( p, m)) = v( p, m)(k q a1 q 1a2 ) =

mk pa1 p

1a2(k q a1 q

1a2 ) = mq 1 p1

a q 2 p2

1a

Ejercicio 2.8 Obtener las funciones de utilidad de metrica monetaria directa e indirecta para la funci on de utilidad CES .

La variaci on equivalente y la variaci on compensada

La variaci on equivalente y la variacion compensada son herramientas para medir los cambiosen el bienestar del individuo frente a cambios en los precios y en el ingreso del mismo. Supongaque desea comparar dos situaciones con precios diferentes en terminos de bienestar para unindividuo. La forma evidente de realizar esta comparaci on sera con las utilidades indirectas,es decir, analizando el signo de la expresion:

[v( p , m) v( p0, m)].Este metodo genera informaci on ordinal para saber si el individuo mejor o o empeoro enterminos de bienestar, pero no cuantica la variaci on en la utilidad. Para resolver este prob-lema se utiliza la funci on de utilidad de metrica monetaria indirecta, la cual tiene la ventajade que se mide en unidades monetarias.

Suponga un cambio en precios de la forma: p0 p .Analizando el signo y la magnitud de:(q ; p , m) (q ; p0, m),

podemos expresar esta variaci on en la funci on de utilidad de metrica monteria indirectasuponiendo como precios base a p0 o a p1.

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Precios base, q = p0

Variacion Equivalente (VE) = ( p0, p1, m) ( p0, p0, m).

Precios base, q = p1

Variacion Compensada (VC) = ( p1, p1, m) ( p1, p0, m).

Notese que por denici on (q ; q, m) = m (Asegurarse de entender esto con los ejercicios deutilidad indirecta presentados anteriormente).

As,V E = ( p0; p1, m) m,V C = m ( p1; p0, m).

En palabras, la variaci on equivalente es el aumento (disminuci on) del ingreso que sera equiv-alente a lo que fue el cambio de precios en terminos de utilidad. En forma implcita se puededenir como:

v( p0, m + V E ) = u1 = v( p1, m).

Gr aco 2.10: La variaci on equivalente

En palabras, la variaci on compensada es el aumento (disminuci on) en el ingreso de un indi-viduo que compense el cambio de precios en terminos de utilidad. Aqu, se debe compensaral individuo despues de hecho el cambio para dejarlo con la misma utilidad anterior. En formaimplcita se puede denir como:

v( p1, m + V C ) = u0 = v( p0, m).

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Gr aco 2.11: La variaci on compensada

Ejemplo 2.8 Un individuo tiene la siguiente funci on de utilidad:

u(x, y ) = min {x, y}.En la ciudad 1 su ingreso es de 150 y los precios son : P x = P y = 1 . En la ciudad 2 el ingreso es el mismo pero los precios son P x = 1 y P y = 2 . Calcular la variaci on equivalente y la variaci on compensada.

V E = ( p0; p , m)

m = ( p0; p , m)

150

Ahora, ( p0; p, m) = e( p0, v( p , m)) (1)

v( p , m) = Max min {x, y} s.a x + 2 y = 150 x= y= 50

v( p , m) = 50 .

Volviendo a (1)

e( p0, 50) = Min p1x1 + p2x2 s.a min( x, y) = 50

h1 = h2 = u = 50

e( p0, 50) = 1 50 + 1 50 = 100

V E = 100 150 = 50. V C = m ( p ; p0, m) = 150 ( p ; p0, m)

Ahora, ( p ; p0, m) = e( p , v( p0, m))

v( p0, m) = 75 (Mismo procedimiento anterior)

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De la misma forma e( p , 75) = 225

V C = 150 225 = 75

Relaciones entre VE, VC y el cambio en el excedente del consumidor

Para estudiar las relaciones entre la VE, la VC y el cambio en el excedente del consumidor(EC), veamos primero como son las pendientes de las demandas Marshalliana y Hicksianadependiendo de como se comporta el bien frente a cambios en el ingreso.

Caso 1. Bien normal

Supongamos que p > p 0 y graquemos las curvas x( p, m) y h( p, u). Dado que el bien x1 esnormal, se tiene que x 1m > 0.

Gr aco 2.12: Demandas Marshalliana y Hicksiana - bien normal

En este caso el efecto ingreso y el efecto sustitucion se mueven en la misma direcci on. Ash( p, u) es mas inclinada que x( p, m).

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Caso 2. Bien inferior

Supongamos que p > p 0 y graquemos las curvas x( p, m) y h( p, u).

Gr aco 2.13: Demandas Marshalliana y Hicksiana - bien inferior

En el gr aco 2.13 se observa que si el bien es inferior x1( p, m) es mas inclinada que h1( p, u).Dado que el bien x1 es inferior, se tiene que x 1m < 0. Notese que la relaci on entre las pendientesde x( p, m) y h( p, u) depende del sentido del efecto ingreso.

Teniendo en cuenta lo anterior, analicemos ahora la relaci on entre VE y VC y EC, para elcaso del bien normal.

Recordemos que:

u0 = v( p0, m); u = v( p , m)v( p0, m + V E ) = u ; v( p , m V C ) = u0.

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V E = ( p0; p , m) ( p0; p0, m)= ( p0; p , m) ( p ; p , m)= e( p0, u )

e( p , u )=

p0 p h( p, u )dp

V C = ( p ; p , m) ( p ; p0, m)= ( p0; p0, m) ( p ; p0, m)= e( p0, u0) e( p , u0)= p0 p h( p, u0)dp

EC = p0 p x( p, m)dp.

Gr aco 2.14: VE, VC y EC - bien normal

En este caso, dado que el bien es normal:

V C < EC < V E.

Ejercicio 2.9 Encontrar la relaci on entre VC, VE y EC para un bien inferior.

Ejercicio 2.10 Encontrar la relaci on entre VC, VE y EC si la funci on de utilidad es la

siguiente:

u(x1, x2) = x1 + x2 ,y en general para cualquier funci on de utilidad cuasilineal de la forma:

u(x1, x2) = x1 + g(x2),

donde la funci on g es c oncava.

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Problema de la Integrabilidad

Dadas unas funciones de demanda con matriz de sustituci on semidenida negativa y simetricase plantea el problema de si existe una funci on de utilidad de la cual puedan obtenerse esasfunciones de demanda.

En primer instancia se debe vericar si las demandas observadas satisfacen:

h i ( p, u)p j ij

negativa semidenida y simetrica.

Las condiciones de integrabilidad se derivan del lema de Shephard (ver Varian (1992)) y son:

( p;q,m )

p i = x i ( p, ( p; q, m)) i = 1 , . . . , k ;

(q ; q, m) = m.Ejemplo 2.9 Demostrar que existe una funci on de utilidad que represente las siguientes fun-ciones de demanda:

x1 =a1m p1

x2 =a2m p2

.

Vericar si las funciones de demanda tienen una matriz de sustituci on semidenida negativay simetrica:

h 1p2

=x 1p2

+x 1m x2, ecuacion de Slutsky

= 0 +a1 p1

a1m p2

h 2p1

=x 2p1

+x 2m x1

= 0 +a2 p2

a1m p1

Como h 2p 1 =h 1p 2 , la matriz de sustitucion es simetrica. Se deja como ejercicio la vericaci on

de que la matriz de sustituci on es semidenida negativa.

Planteando el sistema de ecuaciones de integrabilidad, se tiene:

a)p1 =

a1

p1

b)p2

=a2 p2

c) (q 1, q 2; q 1, q 2, m) ma)

=a1p1p1

ln = a1 ln p1 + c1

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b)

=a2p2p2

ln = a2 ln p2 + c2

Solucionando las dos ecuaciones diferenciales se encuentra:d) ln = a1 ln p1 + a2 ln p2 + c3; reemplazando en c)

ln = a1 ln q 1 + a2 ln q 2 + c3

c3 = ln m a1 ln q 1 a2 ln q 2; reemplazando en d)ln = a1 ln p1 + a2 ln p2 + ln m a1 ln q 1 a2 ln q 2 ( p1, p2; q 1, q 2, m) = mp

a 11 p

a 22 q a 11 q a 22 .

Esta es una funcion de utilidad que representa las preferencias de un individuo con las de-mandas iniciales.

Preferencia Revelada

Gr aco 2.15: Preferencia revelada

Considere las cestas del graco 2.15. Suponga que este consumidor tiene la restricci on pre-supuestal gracada y demanda la cesta x cuando tambien z, y, y w eran comprables. Entonces

se dice que:x

Rz; x

Ry; x

Rw,

dondeR

signica preferencia revelada. El individuo cuyas preferencias representa el gr aco2.15 revela que preere la cesta x a las cestas y, w y z. La preferencia revelada de x sobre zes debil porque x y z cuestan lo mismo. La preferencia revelada de x sobre y y w es estrictaporque y y w cuestan menos que x.

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41

Ahora, supongamos que se observa una serie de datos de demanda x i cuando los precios y elingreso son ( pi , m i ):

x1 ( p1, m 1)x2 ( p2, m 2)... ... ...xn ( pn , m n )

La pregunta que surge tras observar estas demandas es: Estas demandas observadas sonconsistentes con el modelo de maximizaci on de utilidad del consumidor?

Denici on 2.1 Si x j es la demanda observada a los precios e ingresos ( p j , m j ) j ;

1) Si p j x i m j x jR

x i , los datos revelan que x j es preferida a x i , pues x itambien se poda comprar con los precios e ingreso ( p j , m j ).

2) Si p j x i < m j x j R x i , los datos revelan que x j es estrictamente preferida a x i , pues x i era estrictamente m as barata a los precios e ingreso ( p j , m j ).En palabras, una cesta se revela preferida sobre otra cesta cuando la otra tambien es comprable y sin embargo se escogi o la primera.

Axioma general de preferencia revelada (A.G.P.R.)

Un conjunto de datos de demanda x1, x2, . . . , x n satisface el A.G.P.R. si con las preferenciasque revelan los datos no es posible construir un ciclo intransitivo de la forma:

x iR

x jR

R

x i ;

donde alguna de las relacionesR

sea estricta, para algunos i y j en {1, 2,...,n }.Ejemplo 2.10 Determinar si el conjunto de datos de demanda observados en el cuadro sigu-iente satisface el A.G.P.R.

Precios Ingreso Demandas(10, 10, 10) 300 (10,10,10)(10, 1, 2) 130 (9, 25, 7.5)(1, 1, 10) 110 (15, 5, 9)

Primero se plantea la siguiente tabla:

donde las posiciones en negrilla representan las demandas observadas a los precios correspon-dientes. Note que (10 , 10, 10)

R(15, 5, 9), porque se elegi o (10,10,10) cuando (15,5,9) costaba

menos. Tambien se observa que (9 , 25, 7.5)R

(10, 10, 10), y, (15 , 5, 9)R

(9, 25, 7.5). Por lo

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DemandasPrecios (10,10,10) (9,25,7.5) (15,5,9)

(10,10,10) 300 415 290(10,1,2) 130 130 173(1,1,10) 120 109 110

tanto es posible construir el ciclo siguiente (9 , 25, 7.5)R

(10, 10, 10)R

(15, 5, 9)R

(9, 25, 7.5),el cual es intransitivo. As, estos datos de demanda violan el A.G.P.R.

Nota: Es importante tener en cuenta que cuando las cestas no se pueden comparar no nece-sariamente se viola el A.G.P.R.

Proposici on 2.3 Un conjunto nito de datos de demanda satisface A.G.P.R. sii los datos son consistentes con la maximizaci on de utilidad de un individuo con preferencias que cumplan la no saciabilidad local. (Ver demostraci on en Mas Colell et al. (1995))

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1. Considere la siguiente funcion de utilidad indirecta:

V ( p1, p2, m) = m1

p1+

1 p2

Demostrar que V satisface las propiedades de la funci on de utilidad indirecta (continuapara todo p >> 0, m > 0; no creciente en p; cuasiconvexa en p; homogenea de gradocero en ( p, m)).

2. Suponga que un consumidor tiene la funci on de gasto:

e( p1, p2, u) = p13 + 2 p2

3 + ( p1 p2)12 u

Encuentre las funciones de demanda compensadas (o Hicksianas) y Marshallianas y la

funcion de utilidad indirecta.

3. Considere la siguiente funcion de utilidad denida en 2+ .

U (x1, x2) =x1 x2 si x1 x2 < 44 si 4x1 x2 8x1 x2 si 8 < x 1 x2

Cual es la solucion del problema de maximizacion de utilidad si

(a) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 8?

(b) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 16?

(c) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 4?

(d) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 8?

Cual es el planteamiento y la solucion del problema de minimizacion del gasto, paraobtener un nivel de utilidad igual a:

(e) 4 si los precios de los bienes son 2 y 1 respectivamente?

(f) 8 si los precios de los bienes son 2 y 1 respectivamente?

(g) 4 si los precios de los bienes son 1 y 2 respectivamente?

Porque las soluciones de maximizaci on de utilidad punto (3a) y minimizaci on el gastopunto (3e) no coinciden?

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4. Dada la siguiente funcion de utilidad:

U (x1, x2, x3) = ( x1

b1) (x2

b2) (x3

b3) (Sistema lineal de gasto de Stone) .

Porque se puede asumir sin perdida de generalidad que los exponentes suman uno?Plantee el problema de maximizaci on de utilidad. Obtenga las demandas Marshallianasx( p, m) y la funcion de utilidad indirecta V ( p, m). Plantee el problema de minimizaci onde costos. Obtenga las demandas Hicksianas h( p, u) y la funcion de gasto e( p, u). Veri-que las identidades de la dualidad.

5. Suponga que un consumidor tiene la siguiente funci on de utilidad: U (x, y) = min {x, y}.Cuanto dinero necesita esta persona a los precios ( q 1, q 2) para alcanzar la misma utilidadque tena cuando los precios e ingreso eran ( p1, p2, y), es decir, cu al es su funcion decompensaci on indirecta (q 1, q 2; ( p1, p2, y))?

6. Suponga que un la funcion de utilidad de Perez es U (x, y) = x + y. Perez tiene $50,000y el precio de x es 1 y el de y es 2 en donde vive. Su jefe est a considerando la posibilidadde trasladarlo a otra ciudad donde el precio de x es 3 y el de y es 2. No le ofrece ningunasubida salarial. Perez, que comprende perfectamente la variaci on compensatoria y laequivalente, se queja amargamente. Dice que aunque no le importa trasladarse y lanueva ciudad es tan agradable como la otra, tener que trasladarse es tan malo como unareducci on del salario de A d olares. Tambien dice que no le importara trasladarse si leofrecieran una subida de B d olares. Cu ales son los valores de A y de B? Cu anto dineronecesita esta persona a los precios e ingreso ( q 1, q 2, m) para alcanzar la misma utilidadque tena cuando los precios e ingreso eran ( p1, p2, m), es decir, cu al es su funcion decompensaci on indirecta (q 1, q 2; ( p1, p2, m))?

7. Construya un ejemplo con tres datos de demandas observadas que cumpla el A.G.P.R.

8. Construya un ejemplo con tres datos de demandas observadas que viole el A.G.P.R.

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Parte II

TEOR IA DE LA FIRMA

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Captulo 3

Tecnologa

En este captulo se analiza la forma en que las empresas producen bienes utilizando distintascombinaciones de factores tecnol ogicamente viables. Para ello es necesario contar con her-ramientas que nos permitan estudiar las posibilidades de producci on de una empresa. Paraello denimos los conceptos que se exponen a continuaci on.

z : Plan de produccion. Es el listado de producciones e insumos de distintos bienes enuna empresa.

zRn ; z = ( z1, z2, . . . , z n ).

En este vector si zi > 0 el bien i se reere a un producto, y si zi < 0 el bien i es usadocomo un insumo.

Y : Conjunto de posibilidades de producci on. Es el conjunto de todos los planes deproducci on viables o factibles para la empresa dada su tecnologa. Es decir,Y = {zRn /z es un plan de produccion factible}.

Los planes de produccion que no est an en este conjunto no son viables para esta rma.Simplicaci on: En adelante se trabajar a con planes de produccion z que tienen un soloproducto y y varios insumos x, y que por ende se pueden expresar como:

z = ( y, x1, x2, . . . , xn1).

V (y) : Conjunto de requerimientos de insumos de nivel y. Dado un nivel de productoy se dene formalmente V (y) = {xR

n

1

+ / (y, x)Y }el cual no es otra cosa que elconjunto de todas las combinaciones de factores que generan por lo menos y unidadesde producci on.

Q(y) : Isocuanta de nivel y. Es la combinaci on de factores que generan exactamente yunidades de produccion, es decir:Q(y) = {xRn1+ /x V (y)x /V (y ),y > y }.

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48 CAP ITULO 3. TECNOLOG IA

Funci on de producci on, f (x): maximo producto alcanzable con la cantidad de insumosx:f (x) =

{y

R/y es el maximo producto asociado con

x en Y

}.

Ejemplo 3.1 Considere la funci on de producci on: f (x) = x, encontrar Y, V (10) y Q(10) .

Gr aco 3.1: Conjunto de posibilidades de producci on

Y ={(y,

x)/y

x

}; V (10) = [100 , +

) ; Q(10) =

{100

}.

Ejemplo 3.2 Para la funci on de producci on Cobb-Douglas

f (x1, x2) = xa1 x1a2 , encontrar Y, y gracar V (y) y Q(y).

Y = {(y, x1, x2)R3/y xa1 x1a2 }V (y) = {(x1, x2)R2/y xa1 x1a2 }Q(y) = {(x1, x2)R2/y = xa1 x1a2 }Propiedades de la tecnologa

A continuacion se analizan las propiedades deseables de una tecnologa.

1) a) Monotonicidad de insumos: Si xV (y) y x xx V (y); con mas insumos sepuede producir por lo menos el mismo producto; es decir, se pueden desperdiciarinsumos.Ej: (-3,5) Y (4, 5) Y es decir que si 3V (5) 4V (5) .

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Gr aco 3.2: Conjunto de requerimientos de insumos

b) Monotonicidad de insumos y productos: Si yY , y yy Y ; es importantetener en cuenta que los insumos son negativos en y; con mas insumos se puedeproducir el mismo producto o menos.Ej: (-3,5) Y (4, 2) Y .

2) Convexidad de V (y) :

Si x, x V (y) (tx + (1 t)x )V (y), t[0, 1].3) Regularidad de V (y):

V (y) es un conjunto no vaco y cerrado y.

Resultado 3.1 La monotonicidad de insumos y productos implica monotonicidad de in-sumos.

Demostraci on. Sea xV (y) (x, y)Y y seax x x x

(x , y) (x, y) (x , y)Y ; por monotonicidad de insumos y productos x V (y).

Ejercicio 3.1 Demostrar que el Resultado anterior no se cumple en sentido contrario.

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Graco 3.3: El conjunto de requerimientos de insumos y la isocuanta

Resultado 3.2 Si Y es convexoV (y) es convexoy.

Demostraci on.Sean x, x V (y)

(y, x), (y, x )Y Sea t[0, 1]

t(y, x) + (1 t)(y, x )Y ; porque Y es convexo (y, (tx + (1 t)x ))Y tx + (1 t)x V (y) V (y) es convexo.

Ejercicio 3.2 Probar con un contraejemplo que el recproco del Resultado anterior no es cierto.

Deniciones de rendimientos a escala

Se reere a la magnitud en que cambia el nivel de producci on ante el aumento o disminuci onde algunos de los factores en una proporci on t.

Una tecnologa exhibe retornos a escala constantes si:i) yY, tyY ; t 0, o,

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ii) xV (y), txV (ty); t 0, o,iii) f (tx ) = tf (x); t 0; en este caso f es homogenea de grado 1.

Nota: Es posible demostrar que los enunciados i), ii ) e iii ) son equivalentes.Ej: La funcion f (x) = y = 3x no exhibe retornos constantes a escala, pues f (tx ) = 3tx = t 3x = tf (x).Ej: La funci on f (x) = y = 3 x exhibe retornos constantes a escala, pues f (tx ) = 3 tx =tf (x) (funci on homogenea de grado 1).

Una tecnologa exhibe retornos crecientes a escala si:f (tx ) > tf (x); t > 1.

Ej: La funci on f (x) = x2 exhibe retornos crecientes a escala.

Una tecnologa exhibe retornos decrecientes a escala si:f (tx ) < tf (x) t > 1.

Ej: La funci on f (x) = x exhibe retornos decrecientes a escala. Una tecnologa exhibe retornos no crecientes si:

f (tx ) tf (x), t > 1,o, de forma equivalente,

[0, 1], y

Y

y

Y.

Una tecnologa exhibe retornos no decrecientes si:f (tx ) tf (x), t > 1,

o, de forma equivalente,

1, yY yY.Resultado 3.3 Si Y es convexo y 0Y , entonces Y exhibe retornos no crecientes a escala.

Demostraci on. Sean y, y Y y sea [0, 1]

y + (1 )y Y ; por convexidad.Ahora, como 0 Y si y = 0

yY,luego,

[0, 1], yY yY.

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Ejercicio 3.3 De un ejemplo de conjunto de posibilidades de producci on convexo que no tenga retornos no crecientes a escala.

Elasticidad de escala, e(x) :

Es una medida local del aumento porcentual que presenta el nivel de producci on cuando seincrementan todos los factores en 1%.

Sea y(t) = f (tx ); t > 0

e(x) =d ( y ( t ))

y ( t )dtt t=1

Si e(x) > 1 se presentan retornos crecientes;

Si e(x) = 1 se presentan retornos constantes;

Si e(x) < 1 se presentan retornos decrecientes.

Ejemplo 3.3 Sea y = xa1 xb2

y(t) = ( tx 1)a (tx 2)b = ta+ b xa1 x

b2

dy(t)

dt= ( a + b)ta+ b1 xa1 xb2

e(x) =d(y(t))

y(t)

dtt=

dy(t)

dt t

y(t)=

(a + b)ta+ b1 xa1 xb2 tta+ b xa1 xb2

= a + b.

Elasticidad de sustituci on,

La elasticidad de sustituci on presenta la relacion entre el cambio porcentual en la raz onde factores y el cambio porcentual en la pendiente de la isocuanta. Recordemos que la tasamarginal de sustituci on tecnica (TMST) muestra como se sustituyen los factores en un nivelde producci on constante.

TMST =

f x 1

f x 2

; =

x 2x 1x 2x 1

TMST TMST

mide la curvatura de la isocuanta, mientras que TMST mide la pendiente de la misma.Utilizando la derivacion logartmica se puede denir de la siguiente forma:

= ln x2x1

ln |TMST |

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Ejemplo 3.4 Encontrar la elasticidad de sustituci on ( ) de la funci on de producci on CES:

f (x1, x2) = ( x1

+ x2)1/

f x 1

=1

( x11 )(x1 + x2)1 1

f x 2

=1

( x12 )(x1 + x2)1 1

TMST = x11x12

= x2x1

1 |TMST | =

x2x1

1

ln |TMST | = (1 ) lnx2x1

lnx2x1

=1

1 ln |TMST |

= ln x2x1

ln |TMST |=

11

Elasticidad de sustituci on constante

Ejercicio 3.4 Encontrar la elasticidad de escala de la CES.

Denici on 3.1 Se dice que una funcion f es homotetica si es una transformaci on mon otona creciente de una funci on homogenea de grado 1, f (x) = g(h(x)); donde h(x) es homogenea de grado 1 y g es una funci on monotona creciente, es decir: x > y g(x) > g (y).

Resultado 3.4 La TMST de una funci on homotetica es independiente de la escala de pro-ducci on.


Ejemplo 3.5 Sea f una funcion de producci on homotetica; probar que si x y x producen el mismo nivel de producto, ( tx ) y (tx ) tambien producen el mismo nivel de producto.

f (x) = h(g(x))

h(g(x)) = h(g(x )); por denici on

g(x) = g(x ); por ser h mon otona creciente

tg(x) = tg(x )

g(tx ) = g(tx ); por ser g homogenea de grado 1

h(g(tx )) = h(g(tx )); por ser h mon otona creciente

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Gr aco 3.4: Funci on de producci on homotetica

Notese que aunque f (x) = f (x ) = y no necesariamente f (tx ) = f (tx ) = ty.

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1. De ejemplos economicos de conjuntos de posibilidades de producci on que no cumplan

convexidad, monotonicidad de insumos, monotonicidad de insumos y productos y adi-tividad.

2. Determinar si las siguientes funciones son homoteticas:

(a) f (x, y) = ln( xy) + exp( xy)(b) f (x, y) = ln( x2 + xy)2

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Captulo 4

Los Problemas de la Firma

Funci on de benecios

Para este analisis suponemos una situaci on de competencia perfecta donde los precios delproducto y los precios de los factores est an dados. Sea p un vector de precios. La funcion debenecios se dene como:

( p) = max p y s.a yY.Otra forma de expresar la funci on de benecios es:

( p, w1, w2, . . . , wn ) = max p f (x1, x2, . . . , x n ) (w1x1 + w2x2 + + wn xn ),

y el problema de la rma se llama problema de maximizaci on de benecios (P MB ).

Gr aco 4.1: Funci on de benecios

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58 CAP ITULO 4. LOS PROBLEMAS DE LA FIRMA

La solucion de PMB esta dada por x= x( p) llamada funcion de demanda de factores yy= y( p) llamada funcion de oferta. Por lo tanto ( p, w) = py( p) wx( p).Resolviendo el PMB se encuentran las siguientes condiciones:

C.P.O.:

pf x i wi = 0

f x i

=wi p

pf x i

valor del producto marginal del factor i= wi

costoC.S.O.:

2f

x2i

0 para que la solucion sea un maximo, f debe ser c oncava.

Nota: Del Gr aco anterior es claro que los retornos decrecientes de f , son condicion necesariapara que exista funcion de benecios. Esto se prueba en detalle en el siguiente resultado.

Resultado 4.1 Si f tiene retornos constantes (o crecientes) a escala

( p) = 0 o ( p) = + .Demostraci on. Suponga que la funcion f exhibe retornos a escala crecientes o constantes yque existe ( x1, x2, . . . , x n ) tal que ( p) > 0.

p

f (x1, x2, . . . x n )

w1x1

w2x2

wn xn > 0.

Ahora, se multiplica por t > 1 la escala de producci on, luego:

p f (tx ) wtx = t( pf (x) wx) t ( p) > ( p);por tener retornos constantes o crecientes a escala.

( p) = + ;por lo tanto las empresas siempre van a desear aumentar el nivel de producto.

Ejemplo 4.1 Hallar ( p) para la siguiente funci on de producci on:

y = xa .

( p) = Max p y wx = pxa wxC.P.O.:

( p)x

= ap x a1 w = 0

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xa1 = wap

x=wap

1a 1

C.S.O.: f x

= ax a1; 2f

x 2= a(a 1)xa2

Para que 2f x 2

< 0 a < 1.

Entonces

( p) = pwap

1a 1

wwap

1a 1

Ejercicio 4.1 Bajo cuales condiciones ( p) > 0?

Conjunto de posibilidades de produccion de corto plazo

En el corto plazo, generalmente, algunos factores son jos, y a largo plazo las posibilidadestecnol ogicas de la empresa pueden variar y convertir a algunos factores jos en variables.Suponga el factor x2 jo en el corto plazo en el nivel x2 = k. El conjunto de posibilidades deproducci on de corto plazo es:

Y (x2 = k) = {zY/z son planes de produccion restringidos a x2 = k}.Ej: Y (k) = {(y, x1, x2)/y xa1 x1a2 ; x2 = k}.

Funci on de benecios de corto plazo:

k ( p) = Max p y s.a yY (k).Ejercicio 4.2 Encontrar la funci on de benecios de largo plazo de la siguiente funci on de producci on:

f (x1, x2) = a1 ln x1 + a2 ln x2.

Ejercicio 4.3 Supongamos que en el corto plazo el factor 2 del ejercicio anterior est a jo en x2 = e. Hallar ( p, w1, w2) de corto plazo.

Max p f (x1, x2 = e) w1x1 w2x2; s.a x 2 = ef (xa , x2) x2 = e = a1 ln x1 + a2

Max p(a1 ln x1 + a2) w1x1 w2e

C.P.O. :x 1

=pa1x1 w1 = 0

x1 =a1 pw1

C.P. ( p, w1, w2) = p(a1 ln

a1 pw1

+ a2) a1 pw2e.

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Resultado 4.2 Resultado de Le Chatelier.

L.P. > C.P. ; se puede consultar la demostraci on en Varian (1992).

Propiedades de ( p)

1) Monotonicidad respecto a los precios: ( p) es no decreciente en los precios de los pro-ductos y no creciente en los precios de los insumos, es decir, si pi pi ; i = producto osi p j p j ; j = insumo

( p ) ( p).Demostraci on.

Sea p p; sea y un producto maximizador de benecios a los precios p( p) = p

y.

Sea y un producto maximizador de benecios a los precios p

( p ) = p y .( p ) = p y p y; por que y es maximizador de benecios a los precios p

p y; porque p p( p) ( p ) ( p).

2) ( p) es homogenea de grado uno en p.

Demostraci on.( p) = Max p y s.a yY

(tp) = Max tp y s.a yY = t Max p y s.a yY = t ( p).

3) ( p) es convexa en p, es decir que p, p , [0, 1],

(p + (1 ) p ) ( p) + (1 )( p ).

Demostraci on.Sea (0, 1) y sea p = p + (1 ) p . Supongamos que:para el problema: Max p y s.a yY, la solucion es y ( p) = p y;para el problema: Max p y s.a yY, la solucion es y ( p ) = p y ; y,para el problema: Max p y s.a yY, la solucion es y ( p ) = p y .

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Notese que los tres problemas de maximizaci on de benecios tienen la misma restricci on,

p

y

p

y ; porque y es la solucion del P MB a los precios p y y cumple la

restricci on de P MB .

p y p y , ( p) p y . (1)Por otro lado p y p y porque y es la solucion del P MB en los precios p y y cumplela restriccion de P MB . (1 ) p y (1 ) p y , (1 )( p ) (1 ) p y . (2)Si se suman (1) y (2) encontramos:

( p) + (1 )( p ) p y + (1 ) p y= ( p + (1 ) p )y = p y = ( p ) ( p) + (1 )( p ) ( p ).

4) ( p) es continua p > 0.

Ejemplo 4.2 Hallar ( p) para la siguiente funci on de producci on:

f (x) = 20 x x2, p = 1 , x 0.1) Hallar C.P.O. de PMB.

f (x) = 20 x x2 Max p y s.a yY

Max 20x x2 wxC.P.O.

( )x

= 20 2x w = 0w = 20 2x; x = 10

w2

2) Para que valores de w el optimo es x = 0 ?

0 = 10 w2 w = 203) Para que valores de w el optimo es x = 10 ?

10 = 10 w2 w = 04) Cu al es la funci on de demanda del factor?

x = 10 w2 si w 20.

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5) Hallar (w);

(w) = 20 10 w2 10 w22

w 10 w2= 10 w2 2 .

Ejercicio 4.4 Hallar ( p) para f (x1, x2) = x1 + x2.Lema 4.1 (Lema de Hotelling) Suponga que ( p) es continua y diferenciable en p, en-tonces:

( p)p i

= yi ( p); i = 1 , 2, . . . , n ; pi

Demostraci on.( p) = Max p y s.a yY

( p)p = yi ( p); por el teorema de la envolvente

Resultado 4.3 D 2( p) es simetrica y semidenida positiva.


Funci on de costos

La funci on de costos es el instrumento principal para describir las posibilidades econ omicasde la empresa. Mide el costo mnimo de obtener un determinado nivel de producto, dados losprecios de los factores. Sean w el vector de precios de los factores y y un nivel de productodado. La funci on de costos se dene a traves del problema de minimizaci on de costos (P MC )como:

C(w, y) = min w x s.a f (x) y.La solucion del PMC es el vector de demandas condicionadas de factores: x(w, y), y seencuentra a traves de:

L= w

x + (y

f (x))

C.P.O. : wi = f x i

= 0; i = 1 , 2, . . . , n

f (x) = y.

Notese que por el teorema de la envolvente = Cy = costo marginal de la producci on, indi-cando como cambia la funcion de costos cuando cambia el nivel de producto.

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Despejando las C.P.O. se encuentra:,

wiw j

tasaeconomica desustitucion

=

f x if x j

tasa marginalde sutitucion tecnica

Graco 4.2: La minimizacion de costos

El vector de demandas condicionadas de factores x= x(w, y) es el punto donde se igualan larelaci on de precios de los insumos a la TMST.

Nota: Si la funci on de produccion es concava (lo cual se da si Y es convexo) se cumple tambienque el P MC tiene soluci on unica. Esto coincide con las condiciones de segundo orden delPMC:

C.S.O. : 2f x 2i 0.

Ejemplo 4.3 La funci on de costos de la funci on de producci on CES

f (x1, x2) = ( x1 + x2)

1/ , < 1.

min w1x1 + w2x2 s.a x 1 + x2 = y

L= w1x1 + w2x2 + (y x1 x

2)

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Solucionando el algebra de la C.P.O. se llega a:

x1(w1, w2, y) =w

1 11

(wr1 + wr2)1/ y;

x2(w1, w2, y) =w

1 12

(wr1 + wr2)1/y; r =

1

C(w1, w2, y) = w1x1(w1, w2, y) + w2x2(w1, w2, y) = y(wr1 + wr2)1/r .Nota: La funci on de costos esta restringida a un nivel de produccion. A diferencia de lamaximizaci on de benecios, la minimizacion de costos puede tener solucion auncuando lafuncion de producci on exhiba rendimientos crecientes o constantes a escala.

Ejercicio 4.6 Encontrar la funci on de costos de:

f (x1, x2) = x1 + x2, y, f (x1, x2) = min {x1, x2}.Propiedades de la funci on de costos: C(w, y)

1) c(w, y) es no decreciente en w y estrictamente creciente en y.Si w w C(w, y) C(w , y)Si y y C(w, y) < C(w, y )

2) C(w, y) es homogenea de grado 1 en p > 0, C(w,y ) = C(w, y)

3) C(w, y) es concava en w, es decir que (0, 1), p, p ,

C( w + (1 ) w , y) C(w, y) + (1 ) C(w , y).4) C(w, y) es continua en w, w > 0.

Nota: Las anteriores demostraciones son iguales a las de la funci on de gasto (captulo 2).

Resultado 4.4 Si f es homogenea de grado 1, C(w, y) es homogenea de grado 1 en y es decir que:C(w, y) = y C(w, 1).

Demostraci on. Sea f una funci on homogenea de grado 1 y sea xla solucion de

min w x s .a f (x) 1. (1) C(w, 1) = w x C(w, y) = w y x (2) = y C(w, 1)Veamos el desarrollo que explica la igualdad (2).

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a) f (x) = 1 f (y x) = y 1 = yporque f es homogenea de grado 1

y xsatisface la restriccion de

Min w x s .a f (x) y. (3)b) Supongamos que ( y x) no es solucion del problema (3) y sea x la solucion de (3). Como

(yx) satiface la restriccion del problema (3),

w x < w (y x)

wxy

< w x

Pero f ( xy ) = 1y f (x ) = yy = 1, porque f es homogenea de grado 1

conxy se puede producir 1 y mas barato que x

contradice que xsea la solucion del problema (1)

y xes la solucion del problema (3)

C(w, y) = w y x= y(w x) = y C(w, 1).

Resultado 4.5 Si f es homogenea de grado 1 x(w, y) es homogenea de grado 1 en y.

Demostraci on. Usando el resultado anterior tenemos que C(w, y) = y C(w, 1)

w x(w, y) = y w x(w, 1)

x(w, y) = y x(w, 1)

Lema 4.2 Lema de Shephard

C(w, y)w i = x i (w, y) i = 1 , . . . , n .Ejercicio 4.7 Demostrar el lema de Shephard usando el teorema de la envolvente.

Resultado 4.6 D 2e C(w, y) es semidenida negativa y simetrica.Ejercicio 4.8 Probar el Resultado anterior.

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Geometra de los costos

Para C(w1, w2, y) suponga jos w1 y w2

C() = C(y)Ahora C(y) = F Costos jos

+ Cv(y) Costos variablesCostos Medios = AC(y) = C

(y)y

= F y

costos jos medios+ Cv(y)

y

Costos medios variables ( AV C )

Graco 4.3: Geometra de los costos

Costos Marginales = MC(y) = C(y)

y= C(y).

Resultado 4.7 MCy AVCempiezan en el mismo punto.Donde ACes mnimo, ACy MCse cortan.Donde AVCes mnimo, AVCy MCse cortan.


Oferta de la rma

Reformulando el problema de maximizaci on de benecios:

Max p y C(y)

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C.P.O. : p C(y) = 0 MC(y) = p.Ahora, si

p < AC(y) = C(y)y p y < C(y)

< 0.

As, la oferta de la rma es:

MC(y) = p si p AC(y).Ejemplo 4.4 Sea C(y) = 3 y2 + 10 .Gracar: la funci on de costos, costos variables, costos jos, costos medios, costos marginales, costos medios variables y derivar la oferta de la rma.

Gr aco 4.4: Costos jos, variables y totales

Costo jo = 10; Costo variable = 3 y2. AC= 3 y +10y

; AVC= 3 y; AFC=10y

; MC= 6 yNota: El punto y = 10/ 3 se puede obtener de la intersecci on entre MCy ACu obteniendoel mnimo de AC. La oferta de la rma es la parte sombreada de la curva MC(ver gr aco4.5).Resultado 4.8 Si f es c oncava entonces C(w, y) es convexa en y, w jo.Demostraci on.Sea C(y) = C(w, y) = min w x s.a f (x) y, w jo.Ahora, C(y) es convexa si y, y , [0, 1]

C(y + (1 )y ) C(y) + (1 )C(y ).

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Gr aco 4.5: Costos medios y marginales

Para demostrar lo anterior, sean x y x tales que:x es la solucion de min w z s.a. f (z) y;x es la solucion de min w z s.a. f (z) y . C(y) = w x; f (x) = y;

C(y ) = w x ; f (x ) = y .Como f es concava f (x + (1 )x ) f (x) + (1 )f (x ) = y + (1 )y .De esta manera, con [ x + (1 )x ] se puede producir [ y + (1 )y ].Veamos cu ales son los costos de producir la cesta [ x + (1 )x ]:w[x + (1 )x ] = w x + (1 ) w x= C(y) + (1 )C(y )

C[ y + (1 )y ],porque C(y + (1 )y ) es el mnimo costo para producir ( y + (1 )y ).Dualidad

El concepto de dualidad signica que para una funci on de producci on se puede encontrar lafuncion de costos correspondiente y viceversa. De esta manera:

Funci on de Producci on Funci on de Costos

y = ax 1 + bx2 C(w1, w2, y) = min {w1a , w2b }yy = min {ax 1, bx2} C(w1, w2, y) = w1a + w2b yy = xa1 x

1a2 C(w1, w2, y) = k(a)wa1 w1a2 yy = ( x1 + x

2)

1/ C(w1, w2, y) = ( wr1 + wr2)1/r y; r = 1

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1. Derive la funci on de benecio ( p), la funci on de oferta (y demanda de factores) y( p)para las siguientes tecnologas cuyas funciones de producci on est an dadas por:

g(x1, x2) = min{x1, x2};h(x1, x2) = ( x1 + x2)1/ .2. Sea ei la elasticidad ingreso de la demanda del bien i. Suponga que ei = e j para dos

bienes diferentes i y j . Demostrar que x i /p j = x j /p i .

3. Una empresa cuenta con la siguiente funci on de costos:

C (y) = y + 1 si y > 00 si y = 0

sea p el precio del bien producido y considere jos todos los precios de los factores. Si p = 2 Cu anto producira la empresa? Si p = 1, Cual es la producci on? En general,cual es la funcion de benecios de esta empresa? Como cambian las respuestas si lafuncion de costos fuera solamente: C (y) = y2 + 1 si y 0?

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Parte III

TEOR IA DE LA INFORMACI ON

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Captulo 5

Decisiones bajo Incertidumbre

Decision bajo incertidumbre

Ciertas decisiones que toman los agentes representan incertidumbre. Para optimizar estasdecisiones se necesita denir algunos elementos:

(1) Un conjunto de acciones o decisiones

{1, . . . , x , . . . , X}(2) Un conjunto de estados de la naturaleza

{1, . . . , s , . . . , S}(3) Una funci on de consecuencias

C(X , S )(4) Una funci on de probabilidad de los estados de la naturaleza

s ,S

s=1s = 1

(Probabilidades subjetivas y que dependen del agente)

(5) Una funci on de utilidad que ordena las consecuencias v(C)(Funci on de utilidad elemental)

Denici on de utilidad esperada

Dada U (x) = utilidad de la acci on X y dadas las funciones de consecuencias:

C(X , 1), C(X , 2), . . . , C(X ,s ), . . . , C(X , S )73

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74 CAP ITULO 5. DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE

La utilidad esperada se dene como:

UE (

X ) = 1v(

C(

X , 1)) + 2v(

C(

X , 2)) + . . . + s v(

C(

X , s )) + S v(

C(

X ,

S ))

=S

i=1 iv(C(X , i) (Esperanza matem atica de las utilidades elementales)

Nota: Si las consecuencias son numericas la utilidad esperada es la esperanza aritmetica de

las consecuencias.

Ahora, el valor esperado se dene como:

EV =S

i=1

iC(x i )

Ejemplo 5.1 A un agente se le presenta una loteria que paga 0 o 1000 con probabilidad 1/2.

Tambien se le ofrece la opci on de tomar 250 con certeza. Suponga que v(C) = C10001/ 2; Que

acci on toma el agente?

L1 = {0, 1000 / 1/ 2, 1/ 2}L2 = {250 / 1}

UE (L1) =12

01000

1/ 2

+12

[1]1/ 2 = 12

=12

UE (L2) = 12501000

1/ 2

=12

Agente es indiferente entre L1 y L2.Notese que en este caso EV (L1) = 500

U (EV ) > UE.

Ejemplo 5.2 Considere las siguientes loteras:

L1 = {810, 360, 160 / 0.1, 0.5, 0.4}L2 = {250 / 1}

v(C) = C10001/ 2

UE (L1) = 0 .18101000

1/ 2

+ 0 .5360

1000

1/ 2

+ 0 .41601000

1/ 2

= 0 .55

UE (L2) =12

UE (L1) > UE (L2)En este caso el agente preere L1.

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Gr aco 5.1: La funcion de utilidad elemental

Denici on 5.1 Un agente es averso al riesgo si preere estrictamente una consecuencia Cque cualquier lotera cuyo valor esperado es igual a C. Si la preferencia es al contrario, el agente es amante al riesgo. Si es indiferente entre los dos es neutral al riesgo.En terminos de la desigualdad de Jensen se encuentra lo siguiente:

Utilidad Agente Funci on Ejemplo

v(EV ) > U E Averso al riesgo C oncava v(x) = xv(EV ) < U E Amante al riesgo Convexa v(x) = x2, exv(EV ) = UE Neutral al riesgo Lineal v(x) = ax + b

Ejercicio 5.1 Trabajar los ejemplos 5.1 y 5.2 con una funci on de utilidad convexa y vericar la desigualdad de Jensen.

Varianza: Si L= {r 1, r 2, . . . , r N / 1, 2, . . . , N }EV = i r i

V arianza = i (r i EV )2

Paradojas

1. San PetesburgoSe lanza una moneda justa hasta que salga cara. Si en el lanzamiento n sale cara porprimera vez, el individuo gana US $ 2 n (el juego se acaba cuando sale cara). Cu antoest a dispuesto el individuo a pagar por participar en este juego ?

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EV = n =1 12n 2n .

Ahora, si la utilidad del individuo es c oncava, cu anto pagara? (Suponga v(x) = x)

UE =

n =1

12

n 2n = n =1

1 2n =

11 1 2

2.7.

Esta paradoja justica el supuesto de utilidad elemental c oncava, ya que nadie estaradispuesto a pagar una suma innitamente grande para participar en este juego.

2. Allais

Suponga que a un grupo de personas se les presentan las siguientes loteras (cifras endolares):

L1 = {500000 / 1}L2 = {2 500000, 500000, 0 / 0.10, 0.89, 0.01}L3 = {500000, 0 / 0.11, 0.89}L4 = {2 500000, 0 / 0.10, 0.90}

La gente, en su mayora, entre L1 y L2 escoge L1, porque aunque la probabilidad de noganar nada en L2 es pequena, existe; ademas L1 de por si es muy grande.Entre L3 y L4, la gente preere L4; la diferencia de probabilidades es muy peque na,mientras la diferencia en el pago es muy grande.

Ahora, al observar las utilidades esperadas de las loteras:

L1 > L2 : U (500000) > 0.10U (2 500000) + 0 .89U (500000) + 0 0.11U (500000) > 0.10U (2 500000) (1)

L4 > L3 : 0.10U (2 500000) > 0.11U (500000) (2) (1) y (2) se contradicen

Nota: La teora de la utilidad esperada no logra explicar este comportamiento. Unaexplicaci on a esta paradoja es la teora del arrepentimiento.

3. Machina

Imagine que a una persona se le ofrecen los siguientes premios posibles:

1. Viaje a Venecia

2. Pelcula en cine de Venecia

3. Quedarse en la casa

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Imagine que esta persona preere el premio 1. al 2. y el premio 2. al 3., es decir quesus preferencias ordenan los premios as: 1 . > 2. > 3. (1)

Ahora, se le ofrecen las siguientes loteras, compuestas de los premios descritos arriba:LA = {1., 2. / 0.10, 0.90}LB = {1., 3. / 0.10, 0.90}

Estudios empricos demuestran que la gente preere LB a LA , lo cual no es coherentecon el ordenamiento dado en (1). La justicaci on de esta paradoja es que la pelculaen cine sera tortuosa porque recuerda que se habra podido estar en Venecia y no seest a.

Ejemplo 5.3 (Problema de la demanda de seguros) Supongamos el caso entre un in-dividuo y una aseguradora, donde: w es la riqueza inicial del individuo; p es la probabilidad de ocurrencia de un siniestro;

Les la cantidad perdida en caso de que ocurra el siniestro; q es

la cantidad asegurada y q es la cantidad que se le paga a la compa na por el seguro. Cu antoasegura el individuo ?; Cu anto cobra la compa na ?; El individuo se asegura?

Primero se analiza cuanto asegura el individuo. Para ello se determina q de tal forma que semaximice la utilidad esperada del individuo:

Lcon seguro = {w q, w L + q q / (1 p), p}UE = (1 p)U (w q ) + pU (w L + q q )

C.P.O. : (1 p)U (w q )() + pU (w L + q (1 ))(1 ) = 0

U (w

L + q (1

))

U (w q ) =1

p

p =

1 (1)Ahora se observa el problema para la compa na aseguradora:

Lcompana = {q, q q / (1 p), p}.Suponga que la competencia entre las aseguradoras hace que los benecios esperados sean 0;

EV = 0 (1 p)q + p(q q ) = 0 = p.

Volviendo a la ecuacion (1)

U (w L + q (1 ))U (w q )

=1 p

p

1 = 1

U (w L + q (1 )) = U (w q )w L + q (1 ) = w q q = L

De esta manera el individuo asegura el total de la perdida.

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Lcon seguro = {w pL, w L pL + L / 1 p, p}= {w pL, w pL / 1 p, p}={w

pL, w

pL / 1

}Lsin seguro = {w, w L / 1 p, p}UE con seguro = U (w pL)UE sin seguro = (1 p)U (w) + p U (w L)

Gr aco 5.2: La demanda de seguros

Si U es concava (el individuo es averso al riesgo),

(1 p)U (w) + p U (w L) < u (w pL) el agente s se asegura, y adem as se asegura por el total de la perdida.

Medidas de aversi on al riesgo

Con relaci on a la curvatura de la funci on de utilidad se dene lo siguiente:

r (w) = U (w)U (w)

= Medida global de aversion al riesgo

(w) = w U (w)U (w) = Medida relativa de aversi on al riesgodonde U () = funci on de utilidad elemental.Ejemplo 5.4 Si U (w) = w encontrar r (w) y (w).

U (w) =12

w1/ 2, U (w) = 14

w3/ 2

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r (w) =14 w3/ 212 w1/ 2

=12

w1/ 2 = 12w

(w) = 1 / 2.

Nota: Observe que a niveles mas altos de riqueza se es menos globalmente averso al riesgo.

Ejemplo 5.5 Si U (w) = w2, encontrar r (w) y (w).

U (w) = 2 w; U (w) = 2 r (w) = 2

2w=

1w

(w) = 1.Nota: El signo negativo signica que el individuo es amante al riesgo. En el caso anterior,U (w) = w, el signo de r (w) era positivo (averso al riesgo). Si r (w) = 0 el individuo esneutral al riesgo.

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