D05 TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

Prof. Saúl QUISPE CHINO

PROPOSICIONES LÓGICAS

1.Proposiciones lógicas

La lógica proposicional o también llamada lógica matemática estudia las proposiciones, entendiendo como tales a los enunciados declarativos que tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos ; pero no ambas al mismo tiempo.

Ejemplo : “ Lima es la capital del Perú” “ La luna es un satélite de plutón” “ 2+5=0” “ x+y > 1”, x,y Є |R

2.Conectivos lógicos

• Entre las proposiciones se definen ciertas operaciones denominadas conectivos lógicos . Los principales conectivos lógicos son :

Negación

Disyunción

Conjunción

Condicional

Bicondicional

2.1.Negación Dada una proposición p, se llama negación de p a la proposición

“no p” que se representa por ∼p

• Ejemplo :

Si p : “el hombre es mortal”

entonces ∼p: “no es cierto que el hombre es mortal”; lo que equivale a decir :

∼p : “el hombre no es mortal”

p

∼ p

V F

F V

TABLA DE VERDAD

“Si p es verdadera ∼ p es falsa; si p es falsa , ∼p es verdadera”

2.2.Disyuncióndadas las proposiciones p y q , se llama disyunción d p y q a la

proposición “p o q” que se representa por p ∨ q.

• Ejemplo :

Si p : “hace frio en invierno”

y q : “Napoleón invadió Rusia”

Entonces :

p ∨ q : “Hace frio en invierno o Napoleón invadió Rusia”

p q

p ∨ q

V V V F F V F F

V V V F

TABLA DE VERDAD

“p ∨ q es verdadera si p es verdadera o q es verdadera”

2.3.Conjunción Dadas las proposiciones p y q , se llama conjunción de p y q a

la proposicion “p y q” representada por p ∧ q

• Ejemplo :

Si p : “2 es mayor que 5”

y q : “todo número impar es primo”,

Entonces:

p ∧ q : “2 es mayor que 5 y todo número impar es primo”

p q

p ∧ q

V V V F F V F F

V F F F

TABLA DE VERDAD

“p ∧ q es verdadera si p y q son verdaderas simultáneamente”

2.4.El condicional se llama condicional de p y q a la proposición “si p entonces q” y

se representa por “p → q “ , p se llama antecedente y q consecuente del condicional p → q

• Ejemplo:

Si p : “2 es número primo”

y q : “5 es menor que 4”

Entonces:

p → q: “si 2 es número primo entonces 5 es menor que 4”

TABLA DE VERDAD

p → q es verdadera si p es falsa o q es verdadera “

p q p→q

V V V F F V F F

V F V V

2.5.El bicondicional se llama bicondicional de dos proposiciones p y q a la

proposición “p si y sólo si q” representada por “p ↔ q”

• Ejemplo :

p : “ juan ingresa a la universidad”

q : “juan estudia mucho”

Entonces:

p ↔q : “juan ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho”

TABLA DE VERDAD

“p↔q es verdadera si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas”

p q p↔q

V V V F F V F F

V F F V

3.Proposiciones simples y proposiciones compuestas

• Una proposición es simple o atómica si no contiene ningún conectivo lógico

Ejemplo

“Lima es la capital del Perú”

• Una proposición es compuesta o molecular si contiene al menos un conectivo lógico

Ejemplo

“Hace calor o hace frío”

Tablas de verdad de proposiciones compuestas

TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

Sea la proposición compuesta

“ (p ∨ q ) → r” Distinguimos aquí “el condicional” como el conectivo lógico principal que

caracteriza a la proposición.

Es decir, identificamos a esta proposición como un condicional. En este caso no es difícil hacer tal identificación ya que está sugerida por

el paréntesis el cual nos indica que primero debe efectuarse la disyunción p∨ q y después el condicional (p ∨ q) → r

En caso de no existir signos de colección , adoptamos la convención de que el conectivo “∼ ” liga con más fuerza que “ ∨ ” o “ ∧ ” , y a su vez , cada uno de estos liga con mayor fuerza que “→” o “↔ ”

EJEMPLO:1

“[(∼ p) ∨ q ]→ r” se puede escribir “∼ p ∨ q → r”

En cambio,

“(p ∨ q) ∧ r” y “ p→ (q ↔ r)” necesitan de los paréntesis

EJEMPLO:2

Construir la tabla de verdad de la proposición compuesta

“p → [q ∨ (q ∧ p) ]

p q p → [ q ∨ ( q ∧ p ) ]

V V V F F V F F

V V V V V V VV F F F F F VF V V V V F FF V F F F F F

TAUTOLOGÍA Y CONTRADICCIONES

En lógica proposicional es de mucha importancia el estudio de las proposiciones compuestas que tienen la propiedad de ser verdaderas siempre, dichas proposiciones se denominan tautologías

Una proposición compuesta es una contradicción si es siempre falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de sus componentes

Nota :las proposiciones que no son tautologías ni contradicciones se llaman contingencias

p

p ∨ ∼ p )

V F

V V F V F V V F

p

p ∧ ∼ p )

V F

V F F V F F V F

EJEMPLO:

p ∨ ∼ p es una tautología

En efecto: 2 1

En la columna 2 vemos que esta proposición compuesta siempre es verdadera

En la columna 2 vemos que esta proposición compuesta siempre es falsa

2 1

EJEMPLO:

p ∧ ∼ p es una contradicción

En efecto: