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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-116-4-V-1-00-2018 CURSO: Matemática Aplicada 3 SEMESTRE: Primero CÓDIGO DEL CURSO: 116 TIPO DE EXAMEN: Examen Final FECHA DE EXAMEN: 15 de mayo de 2018 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Javier Estuardo Navarro DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Javier Estuardo Navarro COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

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Page 1: CURSO: Matemática Aplicada 3 SEMESTRE: Primero CÓDIGO DEL ...mate.ingenieria.usac.edu.gt/archivos/CLAVE-116-4-V-1-00-2018.pdf · TEMA 1. (42 pts., 7 pts c/u) : MARQUE LA RESPUESTA

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-116-4-V-1-00-2018

CURSO: Matemática Aplicada 3

SEMESTRE: Primero

CÓDIGO DEL CURSO: 116

TIPO DE EXAMEN: Examen Final

FECHA DE EXAMEN: 15 de mayo de 2018

RESOLVIÓ EL EXAMEN: Javier Estuardo Navarro

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Javier Estuardo Navarro

COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

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Universidad de San Carlos Departamento de Matemática EXAMEN FINAL Facultad de Ingeniería

MATEMATICA APLICADA 3

NOMBRE__________________________________________CARNET:_________________

100

TEMA 1. (42 pts., 7 pts c/u) : MARQUE LA RESPUESTA CORRECTA

Se sabe que la función ���� = ��� � ��� � �� � �� tiene una raíz en �� , �� (donde�“�”�es�una�constante),�responda lo siguiente: (SIMPLIFIQUE TODAS SUS OPERACIONES)

1) Haciendo una iteración por el Método de Bisección cual es el valor de la raíz ����

∎�� � � ∎ � ∎� � � ∎ � ∎ NAC

2) Cuál es el valor De la raíz de la primera iteración por el Método Newton si �� = �:

∎��+�

��+� ∎

����

���� ∎

�+�

��+� ∎ � � ∎ NAC

3) Cuál es el valor de la raíz de la primera iteración por el Método de la Secante:

∎ �−�

�+� ∎

���

��� ∎

���

��� ∎

� ∎ NAC

4) Usando el método de Steffensen para cualquier función ���� y en la primera la primera iteración

se obtuvo: �� = � , �� = � � � , �� =? ? (donde�“�”�es�una�constante ); para la segunda iteración se conoce que �� = �. Cuál es el valor de " �� " de la primera iteración

∎ � �� � �� � � ∎ � �� � �� � � ∎� � � ∎ � �� � �� � � ∎ NAC 5) Dadas las Funciones ����:

����� =� � �� � ��

� ����� =

��� � ����� = √

��

� ����� = �. �������� � �������

5.1) Determine Cuál de las funciones ���� su respectiva ���� tiene una raíz en el intervalo �� , ��

∎ ����� ∎ ����� ∎ ����� ∎ ����� ∎ ����� � ����� ∎ ���

5.2) Para las funciones ���� Clasifíquelas por orden, basándose para ello en la rapidez de convergencia

a su aproximación, tome �� = �. � y ��� < � ∗ ��− � (para usar el método No CALCULE |� �����| < � )

∎ �����, �����, �����, ����� ∎ �����, �����, �����, ����� ∎ �����, �����, �����, ����� ∎ ���

TEMA 2. (28 pts., 7 pts c/u) : MARQUE LA RESPUESTA CORRECTA 1) Para los pares de puntos en el plano calcule lo siguiente (TRABAJE ESTRICTAMENTE CON 2 DECIMALES):

� 1.3 1.6 1.9 2.2 3

���� 2 ����� 8 ����� 5

1.1) Formando un Polinomio de LaGrange de Grado 2 e interpolando ���. �� su resultado de ella es �. �� . Cuál es el valor de ����� con la información dada (aproxime su respuesta a un

entero) :

∎ ����� = � ∎ ����� = �. �� ∎ ����� = �. �� ∎ NAC

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Universidad de San Carlos Departamento de Matemática EXAMEN FINAL Facultad de Ingeniería

MATEMATICA APLICADA 3

NOMBRE__________________________________________CARNET:_________________

100

1.2) Usando el valor de ����� que obtuvo en el inciso anterior, Formar un Polinomio de LaGrange de Grado 3 con los primeros 4 pares de puntos, encuentre el Valor de ����� si se sabe que el Coeficiente de �� de dicho polinomio es ���. �� :

∎ ����� = � ∎ ����� = �. �� ∎ ����� = �. �� ∎ NAC

2) Con ciertos pares de puntos en el plano se formuló el Polinomio de Diferencias Progresivas de Newton ���� = �� � ���� , ����� � �� � ���� , �� , ����� � ���� � ��� . Responda las siguientes

Preguntas si sebe que el polinomio pasa por lo puntos ����� = �� & ����� = �� (use 2 decimales)

2.1) Cuál es el valor de ���� , ��� :

∎���� , ��� = ��. �� ∎���� , ��� = ��. �� ∎���� , ��� = ��. �� ∎ NAC

2.2) Cuál es el valor de ���� , �� , ��� :

∎���� , �� , ��� = ��. �� ∎���� , �� , ��� = ��. �� ∎���� , �� , ��� = ��. �� ∎ NAC

TEMA 5. (15 pts.) : MARQUE LA RESPUESTA CORRECTA

Dado el sistema no lineal, Cual es el valor de � & � de la primera iteración por el Método de Punto

Fijo No Lineal usando ���� = ��, � �, trabaje con 3 decimales

�� � � ������� � ��� = �

�� � ���� � �. ��� � �. � = �

∎ � = �. ��� & � = �. ��� ∎ � = �. ��� & � = �. ��� ∎ � = ��. ��� & � = ���. ��� ∎ NAC TEMA 6. (15 pts., 5 pts c/u) : MARQUE LA RESPUESTA CORRECTA

Dado el Siguiente sistema de ecuaciones lineales donde �, �, �, & � son constantes, Asuma que el

sistema ya es Diagonalmente Dominante, responda lo que se le pide (trate de simplificar todas sus respuestas:

��� � ��� � ��� � ��� = �

��� � �� � ���� � �� ∗ ���� � ��� ∗ ���� = � ∗ ��

��� � ��� � ���� � ���� = ���

������ � ����� � ����� � ���� = ����

� �� � � =

(

��

��

���

��⁄

��� )

��

1) Calcule el valor de �� de la 1era. iteración por el Método de Gauss-Seidel :

∎��� = ��� ∎��� = �� � �� ∎��� = �� ∎��� = �� � �� ∎ NAC

2) Cuál es el error de �� de la 1era. iteración por el Método de Gauss-Seidel ��� = �����−�� � ��

� � ��:

∎��� = |��| ∎��� = |��| ∎��� = |�| ∎��� = ����−��

�� ∎ NAC

3) Cuál es el valor de �� de la 1era. iteración por el Método de Gauss-Seidel:

∎�� = �� ∎�� = ��� ∎�� = ��� ∎�� = �� ∎ NAC

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Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática Matemática Aplicada 3

SOLUCIÓN DEL EXAMEN

TEMA 1. (42 pts., 7pts c/u) 1) Haciendo una iteración por el método de Bisección cual es el valor de la raíz �(�) .

No. Explicación Operatoria

2. Calculo de �(1) �(�) = �(1)� + 2(1)� − (� − 1) = 3

R./ 3

2) Cuál es el valor de la raíz de la primera iteración por el método de Newton si �� = �:

No. Explicación Operatoria

1. Determinar un punto inicial cercano a la raíz ��. �� = �

2. Calcular �′(�) �(�) = ��� + 2�� − (� − 1) �′(�) = 3��� + 4�

3.

La aproximación del valor de la raíz está dada por

���� = �� −�(�)

�′(�)

���� = (1) −�(1)

�′(1)

4. Se valúan las funciones y se simplifica algebraicamente. ���� = (1) −

�(1)� + 2(1)� − (� − 1)

3�(1)� + 4(1)

���� = (1) −3

3� + 4=

3� + 1

3� + 4

R./ p = 3�+7

3�+4

3) Cuál es el valor de la raíz de la primera iteración por el método de la Secante.

No. Explicación Operatoria

1.

Tener un punto inicial encerrado por (����,��)

���� = 0 �� = 1 (0,1)

2. La aproximación del valor de la raíz está dada por:

���� = �� −�(��)(�� − ����)

�(��) − �(����)= 1 −

�(1)(1 − 0)

�(1) − �(0)

3. Se valúan las funciones y se simplifica algebraicamente.

���� = (1) −(3)(1 − 0)

(3) − (1 − �)= 1 −

3

� + 2=

� − 1

� + 2

R./ p = �−1

�+2

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Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática Matemática Aplicada 3

4) Usando el método de Steffensen para cualquier función �(�) y en la primera iteración se obtuvo: �� = 1, �� = � + 1, �� =? ? (donde “a” es una constante), para la segunda iteración se conoce �� = 2. Cuál es el valor de “��” de la primera iteración.

No. Explicación Operatoria

1.

Determinar un punto inicial cercano a la raíz ��. El problema nos provee de información sobre la primera iteración así como un dato de la segunda.

Para � = 1: �� = 1

�� = � + 1 �� = ? ?

���� = �� Para � = 2:

�� = 2 Es decir, �� es ���� en la iteración anterior.

2.

La aproximación del valor de la raíz está dada por:

���� = �� −(�� − ��)�

�� − 2�� + ��

2 = 1 −((� + 1) − (1))�

�� − 2(� + 1) + 1

3. Se simplifica algebraicamente. 2 = 1 −

��

�� − 2� − 2 + 1

1 = −��

�� − 2� − 1

�� − 2� − 1 = −�� �� = −�� + 2� + 1

R./ −�� + 2� + 1

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Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática Matemática Aplicada 3

5) Dadas las funciones �(�):

��(�) =2 − �� + ��

3 ��(�) =

5

��+ 2

��(�) = �

��

3

��(�) = 0.8(sin(�)+ cos(�))

5.1. Determine cuál de las funciones �(�) su respectiva �(�) tiene una raíz en intervalo [3,4].

No

EXPLICACION

OPERATORIA

1 Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica si ��(�) tiene una raíz en el intervalo [3,4].

2 Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica si ��(�) tiene una raíz en el intervalo [3,4].

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Departamento de Matemática Matemática Aplicada 3

3 Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica si ��(�) tiene una raíz en el intervalo [3,4].

4 Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica si ��(�) tiene una raíz en el intervalo [3,4].

5 Se concluye que la única función que posee una raíz en

el intervalo [3,4]. ��(�)

R./ ��(�)

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Departamento de Matemática Matemática Aplicada 3

5.2. Para las funciones �(�), clasifíquelas por orden, basándose para ello en la rapidez de la

convergencia a su aproximación, tome �� = �. � � ��� < � ∗ ����.

No

EXPLICACION

OPERATORIA

1

Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica la rapidez de la convergencia a la aproximación de su raíz de ��(�), tomando

�� = �. � � ��� < � ∗ ����

2

Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica la rapidez de la convergencia a la aproximación de su raíz de ��(�), tomando

�� = �. � � ��� < � ∗ ����

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Departamento de Matemática Matemática Aplicada 3

3

Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica la rapidez de la convergencia a la aproximación de su raíz de ��(�), tomando

�� = �. � � ��� < � ∗ ����

4

Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica la rapidez de la convergencia a la aproximación de su raíz de ��(�), tomando

�� = �. � � ��� < � ∗ ����

5 Se concluye que en orden de rapidez, de

mayor a menor, se tiene que: ��(�), ��(�), ��(�), ��(�)

R./ ��(�), ��(�), ��(�), ��(�)

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TEMA 2. (28 pts., 7pts c/u)

R./ ��(�) = 4

No. Explicación Operatoria

1.

Se procede a detallar los datos con los que se cuenta: La incógnita es � = ��(�)

�� �(��) �� = 1.3 �(��) = 2 �� = 1.6 �(��) = 4 �� = 1.9 �(��) = 8 �� = 2.2 �(��) = �

2. El polinomio de LaGrange se define a continuación:

��(�) =(� − ��)(� − ��)(� − ��)

(�� − ��)(�� − ��)(�� − ��)�(��) +

(� − ��)(� − ��)(� − ��)

(�� − ��)(�� − ��)(�� − ��)�(��)

+(� − ��)(� − ��)(� − ��)

(�� − ��)(�� − ��)(�� − ��)�(��) +

(� − ��)(� − ��)(� − ��)

(�� − ��)(�� − ��)(�� − ��)�(��)

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3. Se evalúa y se simplifica algebraicamente.

��(�) =(� − 1.6)(� − 1.9)(� − 2.2)

(1.3 − 1.6)(1.3 − 1.9)(1.3 − 2.2)(2) +

(� − 1.3)(� − 1.9)(� − 2.2)

(1.6 − 1.3)(1.6 − 1.9)(1.6 − 2.2)(4)

+(� − 1.3)(� − 1.6)(� − 2.2)

(1.9 − 1.3)(1.9 − 1.6)(1.9 − 2.2)(8) +

(� − 1.3)(� − 1.6)(� − 1.9)

(2.2 − 1.3)(2.2 − 1.6)(2.2 − 1.9)�

��(�) = �2

−0.162� (� − 1.6)(� − 1.9)(� − 2.2) + �

4

0.054� (� − 1.3)(� − 1.9)(� − 2.2)

+ �8

−0.054� (� − 1.3)(� − 1.6)(� − 2.2) + �

0.162� (� − 1.3)(� − 1.6)(� − 1.9)

��(�) = 6.1728��� − 86.4197�� + 425.9259�� − 29.6296��� + 46.8518�� − 681.4814�

− 24.3951� + 357.9753 4. 6.1728� − 86.4197 = −74.07 => � = 2.0006

R./ 2

No. Explicación Operatoria

1.

Determinar los datos referentes a �(��). El polinomio de Diferencias Progresivas de Newton está definido así: �(��) = �� + ��(� − ��) + ��(� − ��)(� − ��)

� � �(�) 0 3 18

1 10 15

2 15 10

3.

El valor de �(��, ��) está dado por: �(��, ��) =�(��)��(��)

�����

�(��, ��) =15 − 18

10 − 3≈ −0.43

R./ −0.43

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Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática Matemática Aplicada 3

No. Explicación Operatoria

1.

Determinar los datos referentes a �(��). El polinomio de Diferencias Progresivas de Newton está definido así: �(��) = �� + ��(� − ��) + ��(� − ��)(� − ��)

� � �(�) 0 3 18

1 10 15

2 15 10

2.

El valor de �(��, ��) está dado por:�(��, ��) =�(��)��(��)

����� �(��, ��) =

15 − 18

10 − 3= −

3

7

3.

El valor de �(��, ��) está dado por:�(��, ��) =�(��)��(��)

�����

�(��, ��) =

10 − 15

15 − 10= −1

4.

El valor de �(��, ��, ��) está dado por:

�(��, ��, ��) =�(��, ��) − �(��, ��)

�� − ��

�(��, ��, ��) =−1 − �−

3

7�

15 − 3

�(��, ��, ��) ≈ −0.05

R./ −0.05

No. Explicación Operatoria

1.

Se procede a despejar de cada ecuación la variable �� � = cos(��) +

1

6

� = ��� + 1.6

81− 0.1

2. Se definen parámetros

�(�) = [1,1] Decimales: 3

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R./ � = 0.707 & � = 0.079

No. Explicación Operatoria

1.

Se procede a despejar la variable �� de la ecuación (1)

�� =−2��� − 2��� − 2���

3

2.

Se procede a valuar la expresión

con �(�)

�� =−2� �

�� − 2� �

�� − 2� �

��

3

3. Se simplifica algebraicamente. �� =

−2� − 2� − 2�

3=

−6�

3= −2�

R./ �� = −2�

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Departamento de Matemática Matemática Aplicada 3

No. Explicación Operatoria

1.

Se actualizan los datos �� = −2� �� =

�� =�

� �� =

2.

Se procede a despejar la variable �� de la ecuación (2) �� =

��� + �� + ���� − �����

� − 2

3.

Se procede a valuar la expresión

con �(�) �� =��� + (−2�) + �� �

�� − ��� �

��

� − 2

4. Se simplifica algebraicamente. �� =

��� − 2� + �� − ���

� − 2= �

5. El error solicitado está dado por

��� = ���(�)

− ��(�)

� ��� = �

�− ��

6. Simplificando algebraicamente. ��� = �

�− �� = �

� − ��

�� = �

�(1 − �)

��

R./ ��� = ��(���)

��

No. Explicación Operatoria

1. Se actualizan los datos

�� = −2� �� = �

�� =�

� �� =

2. Se calcula �� para su posterior utilización en el cálculo de ��

Se procede a despejar la variable �� de la ecuación (3)

�� =6�� − ��� − ��� + ����

2

3. Se procede a evaluar los valores de �� en la expresión anterior y simplificar el

resultado.

�� =6�� − 2�� − �� + �� �

��

2=

8��

2�= 4�

Se actualizan los datos

�� = −2� �� = �

�� = 4� �� =�

Se procede a despejar la variable �� de la ecuación (4) �� =

���� + ����� + ����� + �����

��

Se simplifica algebraicamente. �� = �� + ��� + ��� + ���

Se procede a valuar la expresión con �(�) �� = �� + �(−2�) + �(�) + �(4�)

Se simplifica algebraicamente. �� = �� − 2�� + �� + 4�� = 4��

R./ �� = 4��