Sismologia y sismicidad

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CURSO DE INGENIERA SSMICA

CONTENIDO

Captulo 1

Conceptos de la Sismologa y la Sismicidad

1.1.-Sismologa

1.2.-Origen y propagacin de los movimientos ssmicos tectnicos

1.3.-Medicin de los movimientos ssmicos

1.4.-Espectros de respuesta dinmica y espectros de diseo ssmico1.5.-Modelos matemticos1.6.-Daos tpicos originados por los sismos

Captulo 2Introduccin a la Dinmica Estructural2.1.-Vibraciones mecnicas de sistemas con un grado de libertad

2.1.1.-Vibracin libre sin amortiguamiento

2.1.2.-Vibracin libre con amortiguamiento

2.1.3.-Vibracin forzada sin amortiguamiento

2.1.4.-Vibracin forzada con amortiguamiento

2.2.-Sistemas con varios grados de libertad

2.3.-Respuesta Ssmica no lineal

2.4.-Anlisis Modal

2.5.-Aplicaciones

Captulo 3

Mtodos Numricos para la Determinacin de los Modos de Vibracin

3.1.-Mtodo de Stodola y Vianello

3.2.-Mtodo de Newmark

3.3.-Mtodo de Holzer

3.4.-Mtodo de las Matrices de Transicin

3.5.-Mtodo de Jacobi

3.6.-Aplicaciones

Captulo 4Diseo Ssmico

4.1.-Criterios de Diseo Ssmico

4.2.-Estructuracin y Condiciones de Regularidad

4.3.-Respuesta Ssmica de los materiales estructurales ms utilizados

4.4.-Control del modo de fallas (Pushover)

Captulo 5

Aisladores y disipadores ssmicos

5.1.-Estudio del Amortiguamiento5.2.-Amortiguamiento de los edificios

5.3.-Soluciones numricas para edificios con un grado de libertad

5.4.-Soluciones numricas con varios grados de libertad

Captulo 6

Anlisis Ssmico de Estructuras usando programas de Computacin

6.1.-Anlisis Ssmico de un edificio de varios niveles

6.2.-Anlisis Dinmico de una Cimentacin para maquinaria vibratoria

6.3.- Anlisis ssmico dinmico de un tanque elevadoSismologa y sismicidad.

SISMOLOGA

Los temblores son vibraciones naturales que se producen en o debajo de la corteza terrestre. Ellos son provocados por actividad volcnica, colapso de cuevas, actividad tectnica, as como una gran cantidad de pequeos temblores que se deben a vibraciones inducidas artificialmente por un trfico intenso en las calles, por trenes y tranvas o trastornos anlogos. Las explosiones tambin determinan terremotos artificiales. En general los temblores artificiales se dejan sentir en superficies limitadas, en cambio los temblores naturales se hacen sentir en extensas reas. Entonces, de todos estos tipos de temblores, los ms importantes en ingeniera ssmica son los de origen tectnico, puesto que la energa que se libera y el rea afectada, como se apunt, suelen ser mucho mayores.

El origen de los temblores tectnicos es materia de amplia discusin. Se tiene actualmente dos teoras contradictorias: La primera atribuye el origen de estos movimientos a deslizamientos de fallas geolgicas o sea que grandes masas de rocas sufren un sbito desplazamiento por falla o fracturamiento, debido a esfuerzos internos y continuados que actan por largo tiempo hasta que van ms all del lmite de deformacin elstica de las rocas. Y la segunda lo atribuye a cambios de fase en las rocas. La primera teora se haba aceptado ampliamente, pero en 1963 Evisn revivi la teora propuesta por Bridgman en 1945. Esta mantena que las transiciones polimrficas locales repentinas podran proveer un mecanismo para temblores. Evisn afirm que los deslizamientos en fallas geolgicas son efectos y no causa de los temblores. Sin embargo, la teora del deslizamiento de fallas sigue siendo la de mayor aceptacin por parte de sismlogos e ingenieros; esta preferencia se basa en que la mayora de las evidencias encontradas hasta ahora la favorecen ms que a la teora de cambios de fase. Es necesario establecer que no hay suficientes datos para excluir ninguna de las dos teoras.

El fenmeno da origen a ondas ssmicas que se propagan a travs de las formaciones geolgicas que constituyen el terreno, sufriendo reflexiones y desviaciones cada vez que encuentran medios cuya formacin geolgica es diferente. Entonces las vibraciones se inician en un rea limitada y se propagan en todas direcciones, esta rea central de iniciacin, bajo la superficie terrestre situada verticalmente encima de ella, donde la sacudida es intensa, se llama epicentro o rea epicentral. Los focos de la mayor parte de los terremotos se encuentran a profundidades menores de 16 kms. Sin embargo, muchos terremotos se han originado a profundidades comprendidas entre 16 y 48 kms. Y recientes estudios han dado a conocer que algunos se originan a profundidades mayores, por ejemplo ms de 640 kms.

La energa liberada durante el fallado produce varias clases de ondas, una de ellas es la onda primaria (P), es una onda de tipo longitudinal o de compresin; las partculas de las rocas vibran hacia atrs y hacia delante, en la direccin de la propagacin de la onda. Una segunda clase de onda, es la transversal, las partculas de las rocas vibran en ngulo recto con la direccin de propagacin, esta se denomina onda (S), secundaria o transversal. Las ondas P se propagan ms de prisa que las ondas S, y por lo tanto llegan a la estacin sismo grfica antes que stas. Un tercer tipo de onda, es la onda inducida que se desplaza a lo largo de la superficie superior de la roca afectada, esta onda es ms lenta y mas larga que cualquiera de las ondas P o S, y de mayor amplitud, se llama onda de Rayleigh o superficial.

Las vibraciones de los temblores se registran por medio de aparatos llamados sismgrafos de los que estn en uso modelos muy numerosos. Las vibraciones recogidas por los sismgrafos suelen registrarse en papel fotogrfico, como una serie de lneas en zig-zag. Estos registros muestran el impulso vibratorio y el tiempo de iniciacin y duracin; tambin indican la llegada de los diferentes tipos de ondas. Los movimientos de tierra suelen ser de corta duracin. Para el estudio de los temblores es absolutamente necesario una red de estaciones sismo grficas.

La magnitud como la intensidad ssmica miden el poder destructor de los movimientos telricos. La magnitud mide la energa total desencadenada por un temblor; la intensidad es una medida local de la capacidad destructiva del movimiento y para un mismo temblor, varia de un lugar a otro. Es sabido que la magnitud en la escala de Richter se calcula a partir de medidas instrumentales, no constante el resultado que se obtiene es funcin de la naturaleza del terreno en donde se apoya el sismgrafo en cuestin y otras variables.

La intensidad de la escala de Mercalli Modificada, es en buena parte apreciativa y depende de factores tales como intensidad de poblacin, estado de constructores y otras variables.

Este tipo de escala es como la del observatorio Nacional de Tacubaya. En ella, a partir del registro de un sismgrafo se calcula la aceleracin mxima que sufri el terreno en el lugar en donde esta instalado el instrumento.

Se compara con una escala de acelarciones y segn el rango en que se halle la aceleracin calculada, as habra sido la intensidad del sismo (Tabla 1). La principal objecin que se hace este tipo de escala radica en que el poder destructor de un sismo no depende nicamente de la magnitud de aceleracin del terreno, si no que varia directamente con la duracin del movimiento, dependiendo tambin del contenido de frecuencias. Tal objecin se salva en el tipo de escala propuesta por Benioff y refinada por G.W.Housner.

Tabla 1.

INTENSIDADES

ACELERACION cm / seg

III

0.5 A 1.0

IV

1.0 A 2.5

V

2.5 A 5.0

VI

5.0 A 10.0

VII

10.0 A 25.0

VIII

25.0 A 50.0

Por lo que respecta a la localizacin geogrfica de los sismos, los mapas que registran la localizacin de los epicentros de los terremotos, indican dos fajas principales, donde se han originado la mayor parte de los terremotos recientes. La primera parte de los terremotos, bordea la cuneca del Pacifico y coincide aproximadamente con la distribucin de los volcanes activos o de actividad reciente, y con la faja de montaas jvenes y en formacin. La segunda zona principal de presentacin de terremotos se extiende desde el sur de Espaa, a travs del rea del mediterrneo y continua hacia el oeste a lo largo de las montaas del Himalaya, hacia Asia Oriental, donde se ramifica; la rama principal pasa hacia el sur, a travs de la regin Mayala, Hasta las Indias Orientales Holandesas, unindose con la faja que bordea el Pacifico. Ver mapa 1.

Las manifestaciones ssmicas de Mxico.-Entre las zonas ssmicas se distinguen las islas Maras en el Noroeste y el Istmo de Tehuantepec en el Sureste. Del meridiano 96 hacia Chiapas los fenomenos ocurren de manera singular. Los fracturamientos que atraviesan la porcin continental en la regin que abarca los paralelos 19 y 20 constituyen ramificaciones de las grandes fallas existentes en la parte que Mxico ocupa dentro del cinturn Circunpcifico.

Actualmente las costas del Pacifico en contaste con las del Golfo de Mxico, acusan una gran movilidad tectonica, que unido a lo dems procesos geolgicos determinan el elevado ndice ssmico de nuestro pas. Sin embargo existen muchos criterios sobre la generacin del sismo y entre ellos contradictorios, como se indico. Ver mapa 2.

Grfica

Mapas

Grficas

Con la somera exposicin anterior, se puede observar que los fenmenos ssmicos son complicados e irregulares, no pudiendo predecir exactamente el tiempo, la intensidad o el lugar de temblores futuros todo esto hace complejo el problema ssmico en estructuras. De aqu que normalmente de proponer ciertos conceptos y expresiones para valuar la afectabilidad estructural.

Sin embargo, las investigaciones no cesan, as por ejemplo por lo que respecto a la idealizacin de temblores, tenemos que el avance de la sismologa instrumental en estos ltimos aos ha proporcionado instrumentos de presin para registrar el movimiento del suelo, siendo tiles para los investigadores ya que de esta manera les ha proporcionado la forma de obtener la variacin con el tiempo de las perturbaciones que afecten a la estructura. La gran irregularidad del movimiento del terreno, ya mencionada, durante los temblores causada por el mecanismo de la generacin y por las reflexiones de las ondas ssmicas, as como del desconocimiento previo de la vibracin de la excitacin con el tiempo, han sugerido la idealizacin de temblores como procesos estocsticos. Para la simulacin de estos registros de temblores, los investigadores han utilizado diversas tcnicas acudiendo a dispositivos mecnicos, o simulando registros en computadoras analgicas o digitales, otros han propuesto modelos estocsticos analticos de la excitacin para estudiar estadsticamente algunos parmetros de los registros y/o de la respuesta estructural. Cualquiera que sea la tcnica de simulacin o el modelo matemtico que se use, los registros simulados y/o la respuesta estructural debern compararse con la veracidad que se obtenga de los registros reales para aceptar los simulados. Para una informacin mayor ver el modelo Modelo estocstico para registros de temblores en terreno duro ponencia presentada por Octavio A. Rascon y C.A. Cornell en el 2 Congreso Nacional de Ingeniera Ssmica (Veracruz, Ver. 1968)

Actualmente se conviene en que se puede idealizar un sismo como un movimiento horizontal del terreno en una sola direccin, cuyo movimiento esta descrito por el acelerograma registrado para la direccin en estudio, si se conocen las caractersticas de una estructura. Pero al disear una estructura lo que interesa conocer es la forma como se comporta ante temblores futuros cuyos acelerogramas defieren de los registrados. Por esta razn se hace uso de las respuestas mximas de estructuras de un grado de libertad y diferentes amortiguamientos, de varios acelerogramas, introducindose el concepto espectro.

ESPECTROS DE RESPUESTA DINAMICA.

En 19933 M.A. Biot propuso que el uso de espectros para evaluar los efectos de los movimientos ssmicos del suelo sobre estructuras simplificadas. El concepto de espectro fue modificado, refinado y expandido grandemente por G. Housher.

Para ilustrar lo que es un espectro, vamos a suponer una base movible la cual se encuentra fijos u a serie de pndulos con distintos periodos cada uno. La longitud y los periodos de los pndulos son incrementados de izquierda a derecha. Ahora si la base es movida continuamente con un movimiento anlogo al que le ocurre al suelo para un sismo dado, la respuesta mxima obtenida para cada pndulo ser registrada y suceder en cualquier tiempo; lo que llamamos respuesta mxima puede ser: un desplazamiento angular o lineal, cortante, aceleracin absoluta etc. O cualquier concepto que se relacione con estos. Si la respuesta mxima es trazada, en el eje de las ordenadas y el periodo en las abscisas se tendr un espectro como los ilustrados en las hojas siguientes. Es sorprendente la similitud de las curvas de respuesta para un gran numero de sismos, la mayor variacin ocurre en las ordenadas verticales y ellas dependern del sismo y el del lugar del aparato registrados.

Entonces la grafica que tiene como abscisas los periodos naturales (o las frecuencias) y como ordenadas las respuestas mximas de los valores absolutos del desplazamiento relativo, de la velocidad relativa, de la aceleracin absoluta etc., se llamara espectro de respuesta.

Quiz el espectro de aceleracin facilitara ms la visualizacin al problema. Es importante hacer notar que los espectros de respuesta, para construirse, deben verse los trabajos del Dr. Luis Esteva.

Cuando se tiene suficientes acelerogramas durante un periodo grande de aos es posible elaborar un espectro ssmico, pero como no siempre se dispone de acelerogramas suficientes, ya sea por la falta de instrumentos adecuados, en el camino que se sigue es considerar una serie de impulsos distribuidos al azar en el tiempo, esta distribucin se corrige de la observacin de un acelerograma. Estos espectros sirven para el diseo de estructuras de cualquier nmero de grados de libertad para una combinacin de las respuestas mximas de sus modos teniendo cierto margen de seguridad para sismos futuros.

Ahora vemos la construccin de espectros; supngase una estructura elstica de un grado de libertad con amortiguamiento lineal, cuya base esta sujeta a una aceleracin a () descrita por un acelerograma de un temblor para un componente dada (Grafica Aceleracin Tiempo, del terreno). La ecuacin de movimiento que se obtendr es como la (19).

La solucin de esta ecuacin est dada por la siguiente expresin.

El desplazamiento mximo es el siguiente que llamaremos SD

T es el tiempo para el cual la integral es mxima.

En la misma forma se obtiene la velocidad relativa.

Y la aceleracin absoluta.

De esta manera los diferentes valores que tengan de SD, SV, SA para diferentes periodos nos darn los espectros de desplazamiento, de velocidad y aceleracin respectivamente para un valor constante del amortiguamiento (vase espectros C, B, A).

Advirtase que S es funcin de las caractersticas del temblor, de la frecuencia natural y amortiguamiento de la estructura.

Haciendo algunas simplificaciones se demuestra que las expresiones para los espectros de velocidad y aceleracin en funcin del espectro de desplazamiento relativo son:

Debido a las simplificaciones tambin se les llama espectros de seudo-velocidad y seudo-aceleracin respectivamente, o seudo-espectros.

Influencia del Amortiguamiento en los Espectros.- El amortiguamiento reduce las ordenadas de los espectros, como se observa en las figuras, y dicha reduccin est en funcin del grado de amortiguamiento. Para valores de = 0.2 que es la relacin entre el amortiguamiento real y el crtico, se reduce fuertemente la respuesta estructural y la sensibilidad del espectro, a espectros elsticos de aceleracin de cada una de las componentes de los 3 registros, para diferentes amortiguamientos. En el caso de las componentes horizontales se presentan tambin con fines comparativos el espectro del reglamento (1966) correspondiente a la aceleracin mxima de diseo (estructura del grupo A tipo 3).

Grfica

Sismo del 9 de diciembre de 1965. Edificio Atizapn. Tlaltelolco. D.F. (CIM)

Nota.-En el captulo VII, se dibujan los espectros de diseo segn el reglamento de construcciones para el D.F. de 1976.

2 Grficas

CAMBIOS DE PERIODOS PEQUEOS.

De acuerdo con mediciones experimentales se ha determinado los siguientes valores de amortiguamiento, expresados en relacin al amortiguamiento crtico,

0.08 (8%) en edificios de concreto.

0.03 (3%) en edificios de acero con juntas soldadas.

(sin recubrir de concreto).

Para juntas remachadas el amortiguamiento es mayor.

Los espectros obtenidos de acelerogramas en California (U.S.A.) presentan las siguientes caractersticas:

A).-Para amortiguamiento nulo se tienen numerosas oscilaciones con mximas irregulares agudos.

B).-Las oscilaciones disminuyen generalmente a medida que aumenta el amortiguamiento.

C).-Para amortiguamientos comprendidos entre 0.05 y 0.1 de , los mximos desplazamientos, velocidades y aceleraciones espectrales son del orden de 1, 1.5, y 2 veces las correspondientes del terreno.

ESPECTRO DE DISEO.-Generalmente los espectros obtenidos presentan variaciones bruscas como puede observarse en las figuras mencionadas, por lo cual no resultan prcticas desde el punto de vista del diseo, adems debe considerarse un cierto margen de seguridad para temblores futuros. De tal manera que puede adoptarse un espectro obtenido como la curva media o envolvente terica.

En los espectros del reglamento de las construcciones del D.F., se consider una envolvente y se multiplic por un factor considerando las intensidades posibles del sismo; estos espectros se ilustran al principio de la aplicacin del anlisis modal del edificio.

Generalmente la respuesta elstica de estructuras utilizando espectros de temblores intensos difiere de la especificada en los reglamentos, lo que se considera ocasionada por comportamiento inelstico, para tomar en cuenta este comportamiento en los espectros de diseo, las ordenadas se reducen en funcin de un factor de ductilidad. Los factores de ductilidad se dan en el reglamento de construcciones (1976), en el artculo 235.

INTERACCIN DINMICA SUELO-ESTRUCTURA.

Respecto a la interaccin que hay entre el suelo y una estructura sujeta a una perturbacin proveniente del suelo, se dan algunos conceptos para tener una idea del problema y un cierto criterio, as como diferentes modelos matemticos representativos, propuestos por varios investigadores.

En una regin de la superficie terrestre al recibir un tren de ondas ssmicas sufre desplazamientos y deformaciones, las direcciones, amplitudes y frecuencias de los desplazamientos dinmicos producidos son enteramente casuales, pero dependen de las caractersticas del tren de ondas y de la naturaleza del terreno. Sin embargo si en esta regin existiera una estructura, los desplazamientos dinmicos producidos por las ondas ssmicas seran diferente. Esta diferencia en los desplazamientos de la superficie terrestre es funcin de la forma y dimensiones de la base de cimentacin, de la distribucin de la masa y flexibilidad de la estructura, as como, de las caractersticas del suelo en que est cimentada.

Al analizar dinmicamente una estructura en la actualidad, se acostumbra estudiar los esfuerzos y deformaciones producidas en sus elementos cuando se le sujete a una perturbacin de tipo ssmico aplicada en su base. La base se considera empotrada en el suelo de cimentacin que se supone infinitamente rgido. Con dicha suposicin la energa aplicada a la estructura se traduce en movimiento de la misma y el nico mecanismo de disipacin que se puede tomar en cuenta lo constituye la friccin interna o el comportamiento inelstico del material que constituye a la estructura. Pero est hiptesis de comportamiento infinitamente rgido no permite representar el fenmeno que realmente ocurre en la zona de unin del suelo con la estructura, aunque sea de fcil aplicacin en el anlisis. El fenmeno que se presenta es: al llegar el tren de ondas a la base de la cimentacin la estructura empieza a vibrar, sin embargo, como el suelo que rodea a la cimentacin es deformable, parte de la energa transmitida a la estructura es devuelta al suelo a travs de la cimentacin, de tal manera que las ondas que siguen llegando del foco de perturbacin se encuentran con las ondas que regresan de la estructura y la energa que transmitira a ella, puede aumentar o disminuir debido a la interferencia por otra parte, la energa de la estructura devuelta al suelo puede disiparse totalmente en l, o puede reflejarse parcialmente en estratos ms profundos y regresar disminuida a la estructura.

Como puede advertirse los fenmenos que constituyen la interaccin dinmica entre el subsuelo y estructura son sumamente complejos y no han sido suficientemente estudiados. Solamente se han resuelto algunos problemas particulares. Desde luego que las ventajas que se obtendran de un conocimiento completo del fenmeno son indiscutibles. Ello motiva el estudio intenso de investigadores.

Modelos Matemticos.

Como ya se estableci con anterioridad que el suponer en el anlisis dinmico de una estructura al suelo infinitamente rgido motivado por una perturbacin horizontal en la base es solo una conveniencia del clculo pero no refleja lo que ocurre en la realidad. Esto se ha comprobado mediante observaciones de estructuras desplantadas en diferentes tipos de suelo y sujetas a movimientos ssmicos.

En estos ltimos aos la preocupacin por tomar en cuenta en el diseo ssmico las propiedades del suelo de cimentacin han ido en aumento, y han surgido varios modelos matemticos del sistema suelo-estructura que pretenden representar el comportamiento dinmico del sistema.

En 1948 los investigadores Crockett y Hammond estudiaron cimentaciones de maquinaria y recomiendan considerar al suelo de cimentacin como una masa concentrada y un resorte lineal.

WFPeso de la cimentacin

WSPeso de una masa virtual de suelo que vibra con la cimentacin.

KSConstante elstica del suelo.

Dibujo

En 1954 Merrit y Housner proponen un modelo en que la base de la estructura y suelo de cimentacin estn ligados mediante un resorte que restringe los movimientos angulares de la base, su modelo se presenta a continuacin:

Dibujo

W.T. Thomson en 1960 present un modelo matemtico del sistema suelo-estructura en el que el suelo ofrece resistencia tanto a desplazamiento horizontales como angulares de la base de cimentacin, pero no considera al suelo como un resorte o un conjunto de resortes sino como un medio elstico semiinfinito.

MS = Momento actuante debido a la inercia.

MG = Momento resistente del terreno.

KR = Constante elstico del terreno

FS = Fuerza cortante debido a la inercia.

Dibujos y ecuaciones

En 1961 D. Lycan y N.M. Newmark ofrecen una representacin del sistema suelo-estructura consistente en masas y resortes, pero en la que el suelo que acta con la cimentacin se considera como una masa ms. El conjunto que se muestra en la figura no est ligada al sistema tierra, y se sujeta a una fuerza aplicada en la masa que representa al suelo.

Dibujos

En 1965, Fleming Screwvala y Kondner proponen un modelo para tomar en consideracin la interaccin dinmica entre el subsuelo y la cimentacin de una estructura, que combina los propuestos por Merritt-Housner y Lycan-Newmark.

Dibujos

Es complicado desarrollar modelos matemticos que permitan tomar en consideracin los aspectos del complejo mecanismo de la interaccin suelo y estructura. No obstante, existen ciertos tratamientos, empleando tcnicas como el mtodo del elemento finito y otras formas, para este problema. Ver trabajos de los Drs. J. Bielak y E. Rosenbluetn, (Bibliografa).

La experimentacin con modelos fsicos a escala, es una de las herramientas principales para la resolucin del problema de interaccin para algunos problemas, por ejemplo para el diseo de cimentaciones sujetas a cargas dinmicas.

Las pruebas en modelos fsicos pueden dividirse en dos categoras: A) Excitacin aplicada a travs del medio en que se apoya la cimentacin y B) Excitacin aplicada directamente a la estructura. Para esto ltimo se recomienda ver el trabajo presentado en el 2 Congreso de Ingeniera Ssmica Estudios con modelos para el diseo de cimentaciones sujetas a cargas dinmicas por L. Ayestarn, J. Elorduy y J. A. Nieto.

INTRODUCCIN

En l clculo estructural en edificios es interesante el anlisis de construcciones cimentadas en suelos comprensibles y ubicados en zonas ssmicas.El anlisis tradicional de edificios en suelos compresibles se modelaban considerando el edifico con base rgida y usando mtodos de anlisis estticos, en edificios altos se recurra al anlisis ssmico modal sin tomar en cuenta la interaccin suelo estructura.

Por lo expuesto anteriormente y tomando en cuenta las Normas Tcnicas Complementarias sobre diseo por sismo vigente en el presente trabajo se expone el anlisis ssmico de edificios altos usando el anlisis modal y tomando en consideracin la compresibilidad del suelo. En el Capitulo II se estudia brevemente el comportamiento del suelo en forma dinmica y esttica y se presentan modelos para su anlisis ssmico, en el Captulo III se muestran la forma de modelar edificios altos con base rgida y base flexible y finalmente en el ltimo captulo se analiza un edificio de 12 niveles con dos tipos de base con el objeto de comparar ambos comportamientos.

Introduccin a la Dinmica Estructural

En general los edificios pueden estar sujetos a diferentes cargas dinmicas o fuerzas de excitacin que le provocan reacciones a las construcciones, estas cargas se pueden idealizar en los siguientes tipos:a) Cargas senoidales

b) Cargas peridicas

c) Cargas aleatorias

d) Cargas exponenciales

En las figuras 1.1 y 1.2 se muestran los tipos de cargas anteriores que son idealizaciones de cargas provocadas por maquinaria, oleaje, sismos, vientos y explosiones.

y y

o t o t

Fig.1.1.Vibracin peridica compleja se Fig.1.2.Vibracin peridica tipo

caracteriza porque su presentacin ma- senoidal.

temtica puede ser difcil.

1.2.1. Estudio de las Vibraciones

Se definen a las vibraciones mecnicas como los movimientos de una partcula o sistema de partculas, que oscilan alrededor de una posicin de equilibrio.Una estructura puede estar sujeta a vibracin libre o vibracin forzada.

Una vibracin libre es aquella que se produce bajo la ausencia de una accin externa permanente, es decir que la estructura sigue vibrando, cuando cesa la accin a partir de las condiciones en que la dej. Una vibracin forzada, se tiene cuando un agente externo que vara segn una funcin del tiempo acta permanentemente.

El nmero de coordenadas independientes necesarias para definir la posicin de un cuerpo es llamado grado de libertad. As, un nmero infinito de coordenadas son necesarias para describir el movimiento de un cuerpo elstico, tales cuerpos tendrn un nmero infinito de grados de libertad. A estos se les conoce como sistemas continuos.

Sin embargo, puede suponerse que la masa del cuerpo puede concentrarse en un punto, entonces se tratar de un sistema con un grado de libertad, puesto que una coordenada define la posicin de la masa. Dos coordenadas independientes son necesarias para describir el movimiento del sistema entonces stos poseen dos grados de libertad. Estos sistemas tienen un nmero finito de grados de libertad y se les llama sistemas discretos.

Se iniciar el estudio de vibraciones en sistemas discretos con un grado de libertad, plantendolo en forma general y breve, ya sea que se trate de una viga cargada, un eje sometido a torsin o un resorte deformado que son movidos de su posicin de equilibrio por un agente externo, por tal motivo las fuerzas elsticas de la pieza cuya posicin han sido perturbadas no estarn ya en equilibrio con la carga y se producirn vibraciones.

Vibraciones Libres sin amortiguamiento.- Considrese una masa m suspendida de un resorte sin peso dispuesto de tal manera que solo puede tener desplazamientos verticales, la configuracin quedar completamente determinada por ese desplazamiento.

El desplazamiento esttico que tiene la masa, de acuerdo con la Ley de Hooke al actuar un agente externo es:

P = ky

k

y

M I = My

Definiremos a:

La rigidez como la fuerza, momento, etc., (Fuerza Generalizada) necesaria para producir una deformacin angular o lineal unitaria en una estructura, en este caso

Y la flexibilidad, como el desplazamiento lineal o angular de la estructura provocado por una fuerza o momento unitario en un punto, para el mismo ejemplo

Por lo que se advierte que el recproco de la flexibilidad es la rigidez.

Al desplazar la masa y soltarla se genera una velocidad y aceleracin, obtenindose una fuerza de inercia que por la segunda Ley de Newton es:

Estableciendo el equilibrio en la masa de las fuerzas elsticas y de inercia.

Definiendo como frecuencia circular medido en radianes por segundo. (1)

La solucin de esta ecuacin diferencial homognea de coeficientes constantes es: (2)

En donde A y B son constantes arbitrarias. Entonces el movimiento vertical de la masa es de naturaleza vibratoria, puesto que sen wt y cos wt son funciones peridicas.

Para determinar las constantes de integracin es necesario conocer las condiciones iniciales. Supngase, por ejemplo, que en el instante t = 0, y la velocidad . De (2) obtenemos:

Luego la ecuacin del movimiento: ( 3 )

Otra forma de representar esta solucin, se obtiene haciendo y llamando a A amplitud de vibracin y ( ngulo de fase.

( 4 )

y

A La representacin grfica de la ecuacin est

t en la figura

La frecuencia puede estar expresada en las siguientes formas:

Recordando el principio de D Alambert, con la finalidad de aplicarlo en los siguientes casos, el cual dice: Si la resultante de las fuerzas efectivas para todos los puntos materiales de un cuerpo se invierte, suponindose que acta sobre el cuerpo con las fuerzas externas, mantendr el cuerpo en equilibrio. Es decir que hace posible reducir un problema de dinmica a un problema equivalente de esttica introduciendo una fuerza que puede hallarse basndose en el movimiento del cuerpo.Vibracin Libre con Amortiguamiento.- En el caso anterior se encontr que la amplitud de vibracin permanece constante, pero en cambio, la experiencia muestra que la amplitud disminuye con el tiempo; amortigundose gradualmente las vibraciones. Estas fuerzas de amortiguamiento son producidas por el rozamiento en seco, resistencia del aire o agua, rozamiento interno debido a la elasticidad imperfecta de los materiales, friccin en remaches en estructuras metlicas, etc. El valuar el amortiguamiento es bastante delicado. Normalmente esta resistencia se considera proporcional a la velocidad, o sea, amortiguamiento viscoso, siendo ste una buena aproximacin.

Para analizar este tipo de vibracin, tomamos el mismo sistema de la figura , aplicando el Principio de D Alambert.p + c l = ky + ry + my = 0

La resistencia est en sentido contrario a la velocidad. ( 5 )

Definiendo 2( = , donde ( es el coeficiente de amortiguamiento y se considera constante, aunque realmente no lo es.La ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial nos da las siguientes races:

Observando las races vemos que se pueden presentar estos casos:

a) ( > ( , ambas races se hacen reales y negativas, la solucin no contiene ya un factor peridico entonces la solucin no representa un movimiento vibratorio. Cuando ( = ( se tiene al sistema con amortiguamiento crtico.

b) Si < , y definiendo a ( frecuencia en sistemas con amortiguamiento), se obtienen races complejas:

Y la solucin general de la ecuacin diferencial es:

( 6 )

En la cual A y B son constantes que en cada caso particular son determinadas conforme a las condiciones iniciales. La expresin dentro del parntesis es de la misma forma que la obtenida para vibraciones sin amortiguamiento.

Para determinar A y B, suponemos que en el instante inicial t = 0 el cuerpo vibrante es desplazado de su posicin de equilibrio en un valor y que tiene una velocidad , sustituyendo estos valores en ( 6 ) y ( 7 ) se tiene:

Y finalmente la ecuacin de movimiento es:

( 8 )

Otra forma de representarla:Introduciendo , de ( 6 ), se tiene:

Desarrollando y recurriendo a una relacin trigonomtrica:

( 9 )

Con los valores de A y B.

Representando grficamente a ( 9 ) que se tiene en la fig. En donde el factor decrece gradualmente con el tiempo y resultarn gradualmente amortiguadas las vibraciones generadas originalmente.En problemas prcticos, puede suponerse con suficiente precisin que para pequeos amortiguamientos viscosos no afecta el periodo de vibracin. La velocidad de amortiguamiento depende de la magnitud de. En la ecuacin ( 9 ) se observa que la amplitud de vibracin disminuye despus de cada ciclo, segn la razn , esto es, disminuye como una progresin geomtrica. Esta razn puede utilizarse para la determinacin experimental del coeficiente de amortiguamiento.

Algunos valores de

. (de pruebas experimentales).

Para puentes de acero ----------------------------

Para puentes de madera ----------------------------

Para puentes de concreto ----------------------------

Vibracin forzada sin amortiguamiento.- iniciamos el problema de sistemas con un grado de libertad sujeto a una fuerza de excitacin. Esto es, adems de la fuerza elstica y de inercia, estudiados en vibracin libre, acta sobre la masa una fuerza peridica perturbadora. Esta carga dinmica puede ser una funcin de tipo seno o coseno, expresndola as:

En donde; es la frecuencia de la excitacin y representa la amplitud.

Planteando el problema por el principio de D Alambert tenemos:

P I P (t) = 0

Substituyendo los valores correspondientes:

k y + m y - P (t) = 0

y + llamando

( 10 )

La solucin general de la ecuacin diferencial no homognea esta representada:

La solucin homognea ya es conocida:

La solucin particular la podemos determinar por el mtodo de los parmetros indeterminados, suponiendo que sea del tipo:

En donde determinamos el parmetro y, substituyendo esta expresin en (10). Obtenindose:

O tambin, como:

Finalmente la solucin general es:

( 11 )

Esta ecuacin de movimientos consta de dos partes, los dos primeros trminos representan vibraciones libres y el tercer trmino nos representa la vibracin forzada del sistema.

Para encontrar los valores de las constantes A y B como en los casos anteriores hacemos uso de las condiciones iniciales, cuando t = 0, el desplazamiento inicial y la velocidad inicial .

( 11 )

De ( 11 ) cuando t = 0, se tiene:

B = 0

Y de ( 11) cuando t = 0, se tiene:

Y sustituyndolos valores de los coeficientes:

( 12 )

Representando grficamente a la ecuacin (12), por facilidad, vamos a considerar que , ambas funciones son senoidales, y representndolas separadamente, se obtiene la fig. 12.

y c sen

t

c/2 sen

Fig. 12

S en la ecuacin ( 12 ), no consideramos vibraciones libres, nos quedar solamente vibracin forzada.

( 13 )

Llamndosele a esto proceso establecido.En donde nos representa el desplazamiento que producir la fuerza perturbadora mxima , si actuara estticamente, y el trmino entre parntesis representa la accin dinmica de esta fuerza, se le llama coeficiente dinmico , dependiendo de la relacin .Entonces el desplazamiento mximo de vibracin forzada queda representado:

EMBED Equation.3 ( 14 )

Analizando el coeficiente dinmico, vemos que cuando frecuencia de la excitacin es pequea comparada con la de vibracin libre w el coeficiente dinmico es aproximadamente igual a 1 y o y tiende a , este sera un caso de vibracin muy lenta.Pero cuando empieza a incrementarse y empieza a crecer, y en el momento que el coeficiente dinmico se hace infinito y por consiguiente la amplitud de vibracin; a este fenmeno se le conoce como resonancia. A continuacin se representa por medio de una grfica este comportamiento, en donde las ordenadas son los coeficientes dinmicos y las abcisas las relaciones en valor absoluto.

Cuando aumenta ms all de la frecuencia de vibracin libre, el coeficiente dinmico empieza a disminuir tendiendo a cero. Esto significa que la fuerza perturbadora de alta frecuencia que acta sobre el cuerpo vibrante, produce vibraciones de muy pequea amplitud, y en ciertos casos puede considerarse que el cuerpo permanece inmvil.

Para la primera parte de la grfica o sea , en donde la relacin es positiva, las vibraciones forzadas y la fuerza perturbadora estn siempre en la misma fase, esto quiere decir, que la masa vibrante llega a su posicin ms baja en el mismo instante que la fuerza perturbadora toma su valor mximo en sentido descendente. Y la otra parte cuando la diferencia de fase entre la vibracin forzada y la fuerza perturbadora se hace igual a . Esto es, que en el momento en que la fuerza llega a su mximo en sentido descendente, la masa llega a su posicin superior. Debido a que el fenmeno de resonancia causa daos, estos conocimientos nos previenen, para no estar dentro de l.Vibracin forzada con amortiguamiento.- en los problemas prcticos hay siempre amortiguacin y en este estudio veremos el efecto que tiene sobre la amplitud de las vibraciones forzadas.

Nuevamente, por medio del principio de D Alambert tenemos:

P + C I P ( T ) = 0

O sea:

( 15 )

La solucin general de la ecuacin diferencial es:

La solucin homognea, ya es conocida

Y la solucin particular la determinamos en forma similar al segundo caso estudiado, suponiendo la solucin de la siguiente forma con parmetros indeterminados y .

Para determinar estos parmetros, substituimos los valores de y sus derivados en ( 15 ) obtenindose:

Entonces, la solucin general:

(16 )

Como en los casos anteriores, podemos expresar la ecuacin de movimiento en otra forma.

Introduciendo en se llega a:

Substituyendo el valor de y de en y posteriormente expresarlo en forma general.

( 17 )

Para la determinacin de las constantes A y B, recurrimos a las siguientes condiciones iniciales: ; substituyendo estas condiciones en ( 16 ) y en la primera derivada de la misma, obtenemos estas constantes expresndolas en trminos de y ya conocidas.

Si las condiciones iniciales son diferentes de cero, esto es, cuando t = 0, y , la solucin que se obtiene es:

EMBED Equation.3 En ( 16 ) se puede advertir fcilmente la parte correspondiente a vibracin libre y la de vibracin forzada. Debido al amortiguamiento, la vibracin libre desaparece despus de un corto tiempo y quedamos solamente con las vibraciones forzadas, o sea lo que hemos llamado proceso establecido esto es cierto en los casos cuyas vibraciones tengan periodos amplios. Este concepto no es correcto en sismos.Normalmente al hacer el estudio del coeficiente dinmico, se considera un proceso establecido. De ( 17 ) tenemos:

( 18 )

Llamando

Como el coeficiente de amortiguamiento esta expresado

es el decremento logartmico.Este coeficiente, tambin se presenta:

La representacin grfica del coeficiente dinmico y la relacin , es similar al segundo caso estudiado, la diferencia es que para este tipo de vibracin los valores de son acotados. Y solamente cuando tiende a infinito; a medida que crece , el coeficiente va disminuyendo.

En los casos de vibracin forzada, se consider que la fuerza perturbadora era una funcin armnica. Sin embargo, puede suceder que sea una funcin ms complicada del tiempo.En general una fuerza perturbadora peridica de cualquier clase puede representarse por medio de una serie de Fourier. Tambin puede ser que esta fuerza no pueda expresarse por medio de una simple funcin analtica del tiempo.

1.2.4. Mtodos para determinar los modos de Vibracin.

En el inciso anterior se ha expuesto el mtodo directo para la solucin del problema de valores caractersticos, como puede observarse, cuando la ecuacin de frecuencias es de segundo o tercer grado fcilmente se puede resolver, pero cuando el grado es mayor que tres involucra considerable labor no solamente en la solucin de la ecuacin sino tambin en el desarrollo del determinante y posteriormente al encontrar los modos de vibracin. De aqu que se hayan desarrollado mtodos iterativos y dentro de estos, los de aproximaciones sucesivas.

En los mtodos iterativos tenemos fundamentalmente dos procedimientos diferentes para obtener soluciones aproximadas al problema de valores caractersticos.En el primero la operacin iterativa bsica involucra el remplazamiento de un vector supuesto por otro mejorado. El procedimiento conduce en general a solamente un modo de vibracin del sistema. Las modificaciones a este procedimiento, permite obtener otros modos.

En el segundo tipo de iteraciones la operacin bsica consiste en el remplazamiento de la matriz cuadrada por una matriz mejorada, el procedimiento es llamado diagonalizacin por rotaciones sucesivas. Este conduce simultneamente a todos los modos de vibracin y sus correspondientes frecuencias.

Existen mtodos que no obstante que tienen la forma de procesos iterativos son mtodos directos, por ejemplo el mtodo de Lanczos o de los n pasos, en los que la solucin exacta es proporcionada justamente en el extremo de n iteraciones, desde luego, si todas las operaciones son efectuadas sin redondeo. La utilidad de estos mtodos para clculo numrico, no es comn debido a que son muy laboriosos, de tal manera que cuando se consideran como mtodos directos requieren ms clculo numrico que los mtodos directos conocidos.

Ahora nos proponemos a describir brevemente algunos mtodos numricos en forma sistemtica con el objeto de poderse programar.

Los mtodos son los siguientes: Mtodo de Stodola Vianello

Mtodo de Newmark

Mtodo de Holzer

Mtodo de las matrices de transicin

Mtodo de Jacob.

Todos los mtodos nos proporcionan la matriz modal y la espectral o sea los modos y frecuencias de vibracin. El mtodo de Jacob, por ejemplo, corresponde al segundo tipo descrito anteriormente. En la prctica comn resulta interesante, por facilidad, utilizar el mtodo de Newmark y el mtodo de Holzer, el primero para obtener el modo fundamental y el segundo para obtener los modos superiores, si se tiene una calculadora manual. Sin embargo, si se hace uso de computadoras resulta interesante el mtodo de C. G. J. Jacob, con respecto a los otros mtodos mencionados.

Mtodo de Stodola y Vianello.- Haciendo una breve resea histrica; diremos que la teora de los mtodos iterativos fue presentada por H. A. Schwarz en 1885, desarrollada dicha teora por E. Picard. Los mtodos iterativos fueron primeramente aplicados a problemas de valores caractersticos en el estudio de problemas de inestabilidad o pandeo en 1898 por L. Vianello, tambin fueron aplicados por A. Stodola en 1904, a problemas de velocidades crticas en vibraciones de rotores. Los primeros trabajos trataron de valores caractersticos en sistemas continuos. Sin embargo el procedimiento es completamente anlogo para sistemas discretos.

En 1921, E. Pohlhausen aplic el mtodo a problemas especficos de valores caractersticos en sistemas discretos. R. Von Mises y H. Geiringer usaron notacin matricial para este mtodo, en 1929.Concluyendo esta breve informacin diremos que en 1934, en el trabajo presentado por W. J. Duncan y A. R. Collar ( a Method for the solution of oscillation problems by matrices ) dan varias aplicaciones prcticas del mtodo iterativo, usando notacin matricial.El sistema de ecuaciones es arreglado de tal manera que al sustituir el vector modal supuesto nos d el nuevo vector, que en el caso de ser el vector modal del problema se reproducir por si mismo, en caso contrario, esta operacin es un medio de transformacin obtenindose otro vector mejorado. Entonces el procedimiento consiste en transformaciones sucesivas continuas hasta obtener un vector el cual se transforma por si mismo.Tomando nuestro problema.

kv = w m v

En la forma:

Llamando

hv = w v

Haremos nuestra primera iteracin con el vector supuesto , calculando .Si es el vector modal del problema, ser proporcional a ; es decir cada elemento de ser un escalar mltiplo de los correspondientes elementos de . El escalar mltiplo es el valor caracterstico (w). En caso contrario, no ser proporcional a ; no habiendo relacin entre los correspondientes elementos de y. Como un medio conveniente de cerciorarse si los vectores son proporcionales, adoptamos el siguiente procedimiento: Tomaremos a nuestro vector supuesto de tal manera que uno de sus elementos, generalmente el mayor, sea unitario. Entonces, si los elementos de y de son iguales, es el vector modal y el escalar o factor de dicho vector es el valor caracterstico. Cuando no es el vector modal, como se dijo, este proceso llega a ser una transformacin del vector supuesto por otro. La repeticin de esta transformacin constituye el proceso iterativo obtenindose

Ilustraremos el procedimiento con el siguiente sistema:

La ecuacin matricial de movimiento del sistema es:

Al invertir la matriz m y multiplicarla por k, se obtiene:

( A )

Empezamos con un vector supuesto de la forma siguiente ( 1, 0, 0 ) ; calculando

Observamos que el vector ( 1.0, -2.0, 0.0 ) no es idntico con nuestro vector supuesto; entonces con el nuevo vector , hacemos la segunda iteracin

Nuevamente volvemos hacer la observacin, pero todava no hay similitud.

Haciendo otras dos iteraciones, obtenemos:

( B )

De esta manera hallamos que la frecuencia aproximada es = 5.49 que comparndose con la real = 5.5036 el error es pequeo para fines de ingeniera. Esta secuencia de vectores da la aproximacin al tercer modo que es ( 1.00, - 0.252, 0.016 ).De esta manera, el procedimiento iterativo bsico converge al modo de vibracin de mxima frecuencia o al modo fundamental, si en vez de invertir a la matriz M, ahora invertimos a K, sin embargo esta inversin puede resultar muy laboriosa para sistemas con varios grados de libertad.

Para el clculo de las dems frecuencias y vectores modales usamos la condicin de ortogonalidad del tercer modo con los dems.

1.00, - 0.252, 0.016

Verificando las operaciones matriciales

( C )

Donde y son los elementos de o de , resolviendo el sistema

Haciendo s = 2 en ( C ) y despejando

Sustituyendo en ( D )

O sea

Tomando las dos ecuaciones ltimas que constituyen el sistema reducido y expresndolo en forma matricial:

El sistema se resuelve nuevamente por iteraciones, empezando con un vector supuesto ( 1, 0 )

Haciendo las comparaciones como en el caso anterior, hasta llegar a la solucin, efectundose las siguientes iteraciones:

H V

H V

Ntese como los valores fuera de la diagonal principal van disminuyendo en valor absoluto.En esta forma se continua el mtodo hasta obtener una matriz H, en donde todos los elementos fuera de la diagonal principal se aproximen a cero. Reiteramos que los elementos de la diagonal principal sern los valores caractersticos. Los resultados obtenidos continuando con el mtodo son:

En este caso se realizaron cinco rotaciones sucesivas. Primero se dio la matriz por diagonal izar y posteriormente se transform H. Seleccionando los trminos por anular, calculando el ngulo de rotacin y substituyndolo en T. En esta forma llegamos a B.La matriz H que se dio fue simtrica, en donde solamente se eliminaron dos elementos H y H, puesto que H= 0, sin embargo se necesitaron cinco rotaciones, no dos, esto se debe a que en una rotacin que como sabemos tiene por objeto anular un trmino, causa que un elemento previamente reducido a cero llega a tener un valor. Afortunadamente cada rotacin hace que los valores mximos fuera de la diagonal principal decrezcan en valor absoluto, y H converja en una matriz diagonal B. As que podemos concluir que el nmero de rotaciones ser mayor que el nmero de trminos diferentes de cero fuera de la diagonal principal.Los valores caractersticos sern:

Examinaremos ahora la expresin tan 2, por medio de la cual se calculo el ngulo de rotacin. Si las componentes y son relacionadas con y , entonces la ecuacin de tan 2 toma la forma:

Recordando que en trigonometra establecimos:

La solucin de esta ecuacin cuadrtica es:

O bien:

S se usar la expresin ( ). Y si entonces se emplear:

Si arbitrariamente se elige el signo positivo en el denominador de las ecuaciones ( ) y ( ), entonces:

El signo positivo si Signo negativo si y . Se consideran tambin:

Las expresiones ( ), ( ) y ( ) se usan, en lugar de la ( ). Para la elaboracin del programa de computadora en la rotacin de ngulos.

Matriz modal o vectores caractersticos.- una vez obtenidos los valores caractersticos por el mtodo de Jacob, ahora veremos la forma de obtener los valores caractersticos. Los vectores modales son matrices columnas v de la matriz dada H. Los cuales estn asociados con los valores caractersticos . Existirn N valores caractersticos : Los correspondientes N vectores modales v , pueden ser agrupados en una matriz cuadrada V o sea la matriz modal.Sea W una matriz diagonal, representando los valores caractersticos conocidos. Entonces tenemos:

Remultiplicando por la inversa de V o sea V

Como

Comparando esta expresin con las obtenidas anteriormente o sea:

Vemos que V es una matriz cuadrada que representa los valores caractersticos y es igual a la multiplicacin sucesiva de matrices T empleadas en la obtencin de valores caractersticos. Entonces la matriz modal ser obtenida como:

Ejemplo.- Las matrices modales para el primero y segundo ejemplo anteriores sern:Para el primer problema M = 1

Como

EMBED Equation.3

Para el segundo ejemplo M = 5

Tomando los valores de T anteriormente obtenidos:

Hasta aqu se han presentado un conjunto de mtodos numricos para calcular modos y frecuencias modales, tal vez dando la impresin que son diferentes. En realidad solamente son diferentes el mtodo de Stodola y el mtodo de las matrices de transicin. Un tratamiento unificado de estos mtodos numricos se presenta en el captulo 4 del libro Fundamentals of Earthquake Engineering de N.M. Newmark y E. Rosenblueth.1.2.3. Sistemas con varios grados de libertad.

En l inciso anterior solamente se ha estudiado vibraciones en sistemas discretos con un grado de libertad, a continuacin se hablar directamente de vibraciones en edificios con uno o varios grados de libertad.

Idealizacin de Estructuras.- La idealizacin matemtica de una estructura (modelo matemtico) que tomaremos ser el formado por masas unidas por resortes, donde la rigidez de cada resorte es la suma de rigideces de las columnas, considerando las losas trabes rgidas, se puede calcular las rigideces de entrepisos de los marcos por cualquiera de los mtodos conocidos.

En la figura se puede advertir que las masas se concentraron en los niveles de las losas y se consideraron a las columnas (resortes) como elementos sin masa, es decir se est discretizando el problema. Adems s esta considerando un solo grado de libertad por piso.

Masa equivalente.- Al discretizar un sistema es necesario encontrar masas equivalentes de manera que las respuestas dinmicas sean lo bastante. Esta consideracin de los sistemas de piso, solamente se cumple para algunos edificios, segn la clasificacin que se indica posteriormente.

Existen varias formas de determinarlas, as por ejemplo:

Por sustitucin de la frecuencia natural del sistema continuo, para esto es necesario conocer la frecuencia natural () del sistema considerndolo continuo (como realmente es), entonces la masa equivalente se encuentra con la siguiente expresin:

Siendo o la rigidez o flexibilidad en el punto A.

Por el mtodo de masas nodales, esta es una forma emprica, en donde no es necesario conocer , por su rapidez se utiliza en el clculo de marcos, y consiste en concentrar en los nodos parte de la masa de columnas y parte de la de trabes, su aproximacin a la realidad depende de la experiencia del calculista.En estructuras de edificios se definen como:

Sistemas estrechamente acopladas.- aquellos que pueden ser analizados considerando nicamente traslaciones horizontales, es decir desplazamientos por cortantes considerando las trabes de rigidez infinita. Desde luego, esto es posible en edificios cuyos elementos para resistir esfuerzos cortantes son marcos rgidos, donde las trabes son bastante rgidas comparadas con las columnas.

Sistemas remotamente acopladas.- son los edificios donde las masas se encuentran unidas por elementos cuyas deformaciones se deben principalmente a la flexin de conjunto, es decir, los niveles giran a la vez que se desplazan. En este tipo de sistemas es importante el efecto de una masa alejada y debe considerarse a diferencia de los sistemas antes mencionados, en los que solo afectan las masas adyacentes.

Deformacin por cortante. Deformacin por flexin.

En consecuencia, el anlisis de sistemas remotamente acoplados es ms complicado. Se pueden clasificar los edificios en este tipo cuando su rigidez lateral est dada por muros trabajando en voladizo o bien cuando las trabes son demasiado flexibles comparadas con las columnas.

Sistemas con tres grados de libertad de piso. Estos se presentan cuando la excentricidad esttica sea muy grande en un nivel (o varios) en este caso el edificio se desplazar en dos direcciones y a la vez girar por el momento torsionante provocado por la excentricidad. En este caso el problema se complica demasiado y no ser tratado en este trabajo.

Respuesta Modal

Inicialmente se estudiar una estructura elstica lineal con un grado de libertad que al aplicar un movimiento en el suelo, se provocarn vibraciones en el sistema, como se indica en la figura:

Direccin positiva del desplazamiento

de la masa.

Posicin Direccin positiva del

Original desplazamiento del suelo.

El sistema elstico est formado de un conjunto de elementos rgidos interconectados entre s mediante elementos elsticos y elementos disipativos (amortiguadores).Los elementos flexibles los constituyen las columnas, desprecindose su masa, como antes se indic. El elemento disipador considera las prdidas de energa debidas a la friccin interna del elemento flexible. Se admite que el amortiguamiento es de tipo viscoso.

Al provocarse el desplazamiento x de la estructura, por efecto de ste aparece un cortante V.

V = k x

Siendo:

V = Fuerza cortante

k = rigidez al corte de la columna

x = desplazamiento relativo de la masa, respecto a la base de la columna (adelante solo hablaremos de desplazamiento relativo).Observe que en este captulo se usar el eje x en lugar del y.

Recordando que el amortiguamiento lo habamos considerando proporcional a la velocidadr = c x (antes c = Ry ).

Estableciendo la ecuacin de equilibrio:

mU + cx + kx = 0 pero U = v + x

Luego:

mx + cx + kx = - mv llamando f (t) = -m v

mx + cx + kx = f (t) (19)

f (t) = perturbacin externa

Esta ecuacin es anloga a la (15) obtenida para un caso general. Entonces se trata de un caso de vibracin forzada que depender del desplazamiento del suelo.Debido a que la estructura est sujeta a un movimiento en su base y no a una fuerza, el esfuerzo mximo que soporta es funcin de su rigidez, as como de su periodo de vibracin. En general en cuanto mayor es la rigidez de las columnas mayor ser el esfuerzo a que estn sujetas y menor sus desplazamientos relativos para un movimiento de suelo determinado.S conocemos una grfica de desplazamiento-tiempo podemos determinar el mximo de desplazamiento relativo y por lo tanto el cortante mximo, as como la correspondiente aceleracin de la masa, ver grficas.................,

Sistemas de varios grados de libertad.

En este tipo de sistemas deben formularse tantas ecuaciones de movimiento como coordenadas independientes haya. Consideremos el siguiente sistema de tres grados de libertad interviniendo las fuerzas elsticas, de inercia, de amortiguamiento y excitacin.Planteando las ecuaciones de equilibrio.

Usando notacin matricial para facilitar la discusin y porque adems nos proporciona un sistema til para disposicin de la computacin resulta.

Denominando:

Vector de aceleraciones

Vector de velocidades

Vector de desplazamientos

Vector de fuerzas

Matriz de masas (diagonal)

Matriz de amortiguamiento

Matriz de rigideces

De tal manera que la ecuacin matricial de movimiento del sistema:

(20)

Esta expresin es aplicable a cualquier sistema elstico independiente de la forma en que sus elementos estn ligados entre s y de las coordenadas que se utilicen para establecerla.En las matrices M, C y K, los elementos fuera de la diagonal principal se llaman de acoplamiento. Si las matrices de coeficientes son no-acoplados (matriz diagonal), las ecuaciones de movimiento se plantean independientes para cada desplazamiento generalizado. El tipo de acoplamiento depende del sistema de referencia elegido.

Si en la ecuacin (20) es igual a una matriz nula, el sistema presenta un estado de vibracin libre, en caso de que exista, como vimos anteriormente, se tratar de vibracin forzada.En forma similar a la rigidez angular y lineal, existen valores que caracterizan el comportamiento dinmico de una estructura, stas son las frecuencias naturales circulares w. El problema asociado a la determinacin de estos valores se le denomina problemas de valores caractersticos. Y estos vectores nos determinarn las configuraciones de la estructura. La obtencin de ellos requiere conocer las ecuaciones de movimiento.

Para continuar el estudio, consideremos un sistema con vibracin libre con n grados de libertad, sin amortiguamiento (que es una de las hiptesis para el anlisis dinmico elstico modal para estructuras), quedndonos la ecuacin de movimiento as:

(21)

La solucin de este sistema de n ecuaciones diferenciales es, segn vimos al estudiar sistemas con un grado de libertad, expresin (4).

(22)

En donde el vector x nos representa el desplazamiento dinmico en cada una de las masas y.

Es el vector de amplitudes de desplazamientos.

Siendo esta la solucin, debe satisfacer a la ecuacin (21), sustituyndola:

o bien (23)

Esta es la ecuacin del problema de valores caractersticos.

No debe perderse de vista que esta ecuacin matricial nos representa un sistema de n ecuaciones algebraicas homogneas en V.Para que tenga solucin diferente de cero la ecuacin, (23) su determinante debe ser igual a cero.

(24)

Siendo el determinante nulo esto implica que alguna de las ecuaciones es combinacin lineal de las otras y por lo tanto los valores de V que se encuentran, estn en funcin de uno de ellos. Esto es, que se encontrar una ecuacin poli nmica de grado n en , lo cual deber tener n races. Obtenindose para cada uno de estos valores caractersticos de una solucin del sistema, as, para le corresponde un vector caracterstico a este se le denomina, en el caso de vibraciones, modo natural de vibracin o vector modal, el cual es un vector cuyas componentes son las amplitudes de los desplazamientos reales de cada masa. De lo anterior podemos definir al modo de vibracin como una configuracin de la forma de vibrar de la estructura bajo una frecuencia dada. Tenindose n modos de vibracin. El conjunto de n vectores modales forma una matriz modal.

(25)

La primera columna nos representa el primer modo de vibracin, la siguiente el segundo modo, y as sucesivamente hasta el ensimo modo.

se interpreta como la amplitud de desplazamiento de la masa j en el modo k.

Al primer modo, para el valor menor de , se le llama modo fundamental y a los dems se les llama modos superiores.

Los n valores de se les puede colocar como elementos diagonales de una matriz diagonal que se le llama matriz espectral.

(26)

Desde luego, cada valor caracterstico y su respectivo modo deben satisfacer la ecuacin diferencial matricial.

Considerando el conjunto de valores caractersticos y modos asociados se satisface:

(27)

Propiedades de los modos naturales.

Ortogonormalidad de los modos con respecto a las masas y a las rigideces.

Si tenemos dos valores caractersticos y , a cada uno le corresponde un modo caracterstico, y satisfaciendo la ecuacin matricial.

Transponiendo la ecuacin (A)

Multiplicando por :

Siendo M y K matrices simtricas:

Ahora multiplicamos a (B) por :

EMBED Equation.3 Efectuando la resta (D) de (C) :

Como las frecuencias son diferentes:

(E)

Esto nos indica que los modos son ortogonales con respecto a la funcin de peso M.Sustituyendo esta propiedad en (D) (C), obtenemos:

(F)Ortogonalidad de los modos con respecto a la funcin de peso k.

Recurdese que en algebra vectorial se define que la ortogonalidad ordinaria de dos vectores esta dada por:

o bien

1) Normalizacin de modos.

Se define la norma de un vector como:

En forma matricial:

En trminos de la funcin de peso M, la norma del vector esta dada por:

(G)Norma del vector modal con respecto a la funcin de peso M.

Podemos expresar las condiciones (E) y (G) simultneamente por medio de la delta de Kronecker, el cual adquiere solamente dos valores en funcin de sus ndices, es decir:

Se dice que el vector esta normalizado si tiene norma unitaria. Entonces:

llamando

En lo cual y son vectores unitarios.

Expresando el conjunto de ecuaciones por medio de matrices

La cual establece la ortonormalizacin de los modos .La matriz V contiene todos los vectores modales del problema.

Obsrvese que solo se ha establecido las condiciones de ortogonalidad de los vectores modales, cuando las frecuencias son todas distintas. Pero puede suceder que una raz o varias de la ecuacin caracterstica se repitan, en este caso es relativamente fcil encontrar que esos vectores satisfagan el sistema homogneo de ecuaciones pero no es inmediato al que estos verifiquen entre s las condiciones de ortogonalidad lo cual, por otro lado, es conveniente para el estudio de vibraciones.

Desarrollo en serie.Si tenemos n vectores ortogonales entre si, estos n vectores pueden ser una base en un sistema de referencia en un espacio de n dimensiones. En particular si los son los modos, esto expresa la posibilidad de poner cualquier configuracin en trminos de los vectores modales:

(28)

Los coeficientes ; son los coeficientes de una serie finita de Fourier aqu los llamaremos coeficientes de participacin o multiplicadores modales para evaluarlos, se hace en la misma forma que los coeficientes de Fourier en un desarrollo infinito. Multiplicando (28) por:

Por condicin de ortogonalidad , entonces al desarrollar la serie solamente es diferente de cero cuando obtenindose:

(29)

Substituyendo en (28):

S los modos estn normalizados y son ortogonales;

De esta manera hemos logrado establecer una expresin que nos indica que una forma cualquiera de vibrar de una estructura se puede poner en funcin de los modos de vibracin naturales. Entonces s un modo cualquiera:

(31)

Estableciendo la solucin general para el problema de vibraciones libres sin amortiguamiento, ya iniciado:

M x+ k x = 0La solucin general de este sistema requiere el establecimiento de 2n constantes arbitrarias las cuales por ejemplo, pueden determinarse a partir de las 2n condiciones iniciales:

x = x (0) desplazamiento inicial

para t = 0

x = x (0) velocidad inicial

La solucin puede verificarse por substitucin que corresponde a (vase ecuacin (2) ):

(32)

Los vectores son los modos de vibracin que satisfacen la ecuacin.

Esto es, que hay necesidad de resolver previamente el problema de valores caractersticos dado por (23).

Para determinar las constantes y , substituimos las condiciones iniciales en (32) y su primera derivada obtenindose:

De tal manera, que de acuerdo con el proceso de (28) llegamos a:

Finalmente substituimos en (32):

(33)

As, que por medio de esta expresin podemos obtener el estado de desplazamientos y cortantes de la estructura para cualquier tiempo.Vibracin Forzada sin Amortiguamiento.- para este caso la ecuacin matricial es:

Mx+kx=f (34)

En donde f = f (t)La solucin de este problema sin necesidad de recurrir a soluciones complejas, se obtiene desacoplando el sistema de ecuaciones.

Considerando la matriz modal ortonormalizada respecto a M y adems la matriz espectral.

Habamos visto que este conjunto de valores caractersticos y modos satisfacen (27):

Por ser ortogonales y unitarios se verifica.

El conjunto de estas condiciones de ortonormalidad se expresa:

Multiplicando (27) por :

(35)

Introduciendo una transformacin lineal del tipo:

X=VX (36)

En (34):

M V x+ k v x = f (t)Multiplicando esta expresin por :

Substituyendo el valor de (35) y

(37)

Como es una matriz diagonal, este sistema esta formado de ecuaciones diferenciales independientes en X, es decir, estn desacoplados. Entonces la solucin de esta ecuacin matricial nos da el valor de X que multiplicndola por la matriz modal V (36) se obtendr el vector de desplazamientos X.Aplicacin.- Para la estructura esquematizada en la figura, se calcularn las frecuencias y periodos naturales, los modos ortonormalizados y el estado de desplazamientos para t = 0.2, suponiendo las condiciones iniciales (t = 0) siguientes. Considrese vibracin libre.

VIBRACIONES MECANICAS.Mtodos numricos para la determinacin de modos de vibracin.

En el capitulo anterior se ha expuesto el mtodo directo para la solucin del problema de valores caractersticos, como puede observarse, cuando la ecuacin de frecuencias es de segundo o tercer grado fcilmente se puede resolver, pero cuando el grado es mayor que tres involucra considerable labor no solamente en la solucin de la ecuacin sino tambin en el desarrollo del determinante y posteriormente al encontrar los modos de vibracin. De aqu que se hayan desarrollado mtodos iterativos y dentro de estos, los de aproximaciones sucesivas.

En los mtodos iterativos y dentro de estos tenemos fundamentalmente dos procedimientos diferentes para obtener soluciones aproximadas al problema de valores caractersticos.

En el primero la operacin iterativa bsica involucra el remplazamiento de un vector supuesto por otro mejorado. El procedimiento conduce en general a solamente un modo de vibracin del sistema. Las modificaciones a este procedimiento, permite obtener otros modos.

En el segundo tipo de iteraciones la operacin bsica consiste en el remplazamiento de la matriz cuadrada por una matriz mejorada, el procedimiento es llamado, Diagonalizacin por rotaciones sucesivas. Este conduce simultneamente a todos los modos de vibracin y sus correspondientes frecuencias.

Existen mtodos que no obstante que tienen la forma de procesos iterativos son mtodos directos, por ejemplo el mtodo de Lanczos o de los n pasos, en los que la solucin exacta es proporcionada justamente el extremo de n iteraciones, desde luego, si todas las operaciones son efectuadas sin redondeo. La utilidad de estos mtodos para clculo numrico, no es comn debido a que son muy laboriosos, de tal manera que cuando se consideran como mtodos directos conocidos.

Ahora nos proponemos a describir brevemente algunos mtodos numricos en forma sistemtica con el objeto de poderse programar.

Presentando cinco mtodos:

Mtodo de Stodola-Vianello

Mtodo de Newmark

Mtodo de Holzer

Mtodo de las matrices de transicin

Mtodo de JacobiTodos los mtodos nos proporcionan la matriz modal y la espectral o sea los modos y frecuencias de vibracin. El mtodo de Jacobi, por ejemplo, corresponde al segundo tipo descrito anteriormente.

En la practica comn resulta interesante, por facilidad, utilizar el mtodo de Newmark y el mtodo de Holzer, el primero para obtener el modo fundamental y el segundo para obtener los modos superiores, si se tiene una calculadora manual, sin embargo, si se hace uso de la computadora resulta interesante el mtodo de C. G. J. Jacobi respecto a los otros mtodos mencionados.

Mtodo de Stodola y Vianello

Haciendo una breve resea histrica; diremos que la teora de los mtodos iterativos fue presentada por H. A. Schwarz en 1885, desarrollada dicha teora por E. Picard.

Los mtodos iterativos fueron primeramente aplicados a problemas de valores caractersticos en el estudio de problemas de inestabilidad o pandeo en 1898 por L. Vianello, tambin fueron aplicados por A. Stodola en 1904, a problemas de velocidades crticas en vibraciones de rotores. Los primeros trabajos trataron de valores caractersticos en sistemas continuos. Sin embargo el procedimiento es completamente anlogo para sistemas discretos.

En 1921, E. Pohlhausen aplic el mtodo a problemas especficos de valores caractersticos en sistemas discretos. R. Von Mises y H. Geiringer usaron notacin matricial para este mtodo, en 1929.

Concluyendo esta breve informacin diremos que en 1934, en el trabajo presentado por W. J. Duncan y A. R. Collar (a Method for the solution of oscillation problems by matrices) dan varias aplicaciones prcticas del mtodo iterativo, usando notacin matricial.

El sistema de ecuaciones es arreglado de tal manera que al sustituir el vector modal supuesto nos d el nuevo vector, que en el caso de ser el vector modal del problema se reproducir por si mismo, en caso contrario, esta operacin es un medio de transformacin obtenindose otro vector mejorado. Entonces el procedimiento consiste en transformaciones sucesivas continuas hasta obtener un vector el cual se transforma por si mismo.

Tomando nuestro problema.

En la forma:

Llamando

Haremos nuestra primera iteracin con el vector supuesto , calculando . Si es el vector modal del problema, ser proporcional a ; es decir cada elemento de ser un escalar mltiplo de los correspondientes elementos de . El escalar mltiplo es el valor caracterstico . En caso contrario, no ser proporcional a ; no habiendo relacin entre los correspondientes elementos de y . Como un medio conveniente de cerciorarse si los vectores son proporcionales, adoptamos el siguiente procedimiento: Tomaremos a nuestro vector supuesto de tal manera que uno de sus elementos, generalmente el mayor, sea unitario. Entonces, si los elementos de y de son iguales, es el vector modal y el escalar o factor de dicho vector es el valor caracterstico. Cuando no es el vector modal, como se dijo, este proceso llega a ser una transformacin del vector supuesto por otro. La repeticin de esta transformacin constituye el proceso iterativo obtenindose

Ilustraremos el procedimiento con el siguiente sistema:

x1 x2 x3

3K 2K K m 2m 3mLa ecuacin matricial de movimiento del sistema es:

Al invertir la matriz m y multiplicarla por K, se obtiene:

(A)Empezamos con un vector supuesto de la forma siguiente ( 1, 0, 0 ) ; calculando .

Observamos que el vector (1.0, -2.0, 0.0) no es idntico con nuestro vector supuesto; entonces con el nuevo vector , hacemos la segunda iteracin

Nuevamente volvemos hacer la observacin, pero todava no hay similitud.

Haciendo otras dos iteraciones, obtenemos:

(B)De esta manera hallamos que la frecuencia aproximada es = 5.49 que comparndose con la real = 5.5036 el error es pequeo para fines de ingeniera. Esta secuencia de vectores da la aproximacin al tercer modo que es (1.00, - 0.252, 0.016).

De esta manera, el procedimiento iterativo bsico converge al modo de vibracin de mxima frecuencia o al modo fundamental, si en vez de invertir a la matriz m, ahora invertimos a K, sin embargo esta inversin puede resultar muy laboriosa para sistemas con varios grados de libertad.

Para el clculo de las dems frecuencias y vectores modales usamos la condicin de ortogonalidad del tercer modo con los dems.

1.00, - 0.252, 0.016

Verificando las operaciones matriciales

(C)Donde y son los elementos de o de , resolviendo el sistema

(D)Haciendo s = 2 en (C) y despejando

(E)

Sustituyendo en (D)

O sea

Tomando las dos ecuaciones ltimas que constituyen el sistema reducido y expresndolo en forma matricial:

El sistema se resuelve nuevamente por iteraciones, empezando con un vector supuesto (1, 0)

Haciendo las comparaciones como en el caso anterior, hasta llegar a la solucin, efectundose las siguientes iteraciones:

De esta manera se ha obtenido v22 y v32. El valor de v12 se calcula de (c).

Entonces:

Y finalmente el tercer vector modal debe satisfacer las 2 condiciones de ortogonalidad y a la ecuacin matricial. Esto es:

Obtenida anteriormente para s

Resolviendo estas 2 ecuaciones para en trminos de obtenemos:

De tal manera que el modo fundamental es:

Es importante observar que generalmente en las aplicaciones reales lo que interesa es calcular las frecuencias mas bajas (correspondientes a los 2 o 3 primeros modos). Y en esta forma tendran que calcularse primeramente los modos superiores. La solucin seria, utilizar la matriz de flexibilidades, ya mencionada. A continuacin damos un mtodo que converge a la frecuencia mas baja.

Mtodo de Jacobi

Anteriormente se haba mencionado un mtodo para obtener los valores y vectores caractersticos, la aplicacin de dicho mtodo nos conduce a la matriz Modal o sea a todos los modos de vibracin del sistema por medio de rotaciones sucesivas. El mtodo de Jacobi, es pues, un mtodo de diagonalizacin por medio de rotaciones sucesivas. Antes de exponerlo se explicara el concepto de transformacin de coordenadas.

Transformacin de coordenadas.- consideremos dos vectores y ; cuyas componentes son y que forman dos sistemas de ejes en el plano, con el mismo origen como se indica en la figura.

El vector tiene componentes sobre los dos sistemas de ejes, observando la figura podemos establecer las siguientes relaciones:

En forma Matricial

O simplemente

(1)

Matriz de transformacin. La transformacin de se puede tener aplicando la matriz , obtenindose el vector .

Ahora recordemos que el problema de valores caractersticos tiene la siguiente forma:

(2)O bien

Ver mtodo de Stodola-Vianello (2)Sustituyendo el valor de v:

Premultiplicando por la transpuesta de

(3)

Porque esto es:

(4)Mtodo.- El objeto bsico del mtodo de Jacobi. Es transformar una ecuacin de la forma:

(2)A otra de la forma

(3)Donde B es una matriz diagonal o sea que todos los trminos fuera de la diagonal principal son ceros. Entonces como se puede observar de (3) y(3) el valor de B ser:

(5)Para este caso tenemos.

Y hagamos que los trminos fuera de la diagonal principal valgan cero,

Revisando nuestra trigonometra, recordamos que y que , luego:

Dividiendo entre llegamos a obtener.

(6)Obteniendo el ngulo para la cual esta expresin se anula. Como la matriz es simtrica ambos trminos fuera de la diagonal principal se convierten en ceros. Obtenindose la matriz diagonalizada B.

Inmediatamente obtenemos los valores caractersticos (frecuencias de vibracin), para nuestro problema) y

Ejemplo.- fcilmente podemos comprender lo que anteriormente se explico en el siguiente ejemplo.Sea el problema

Dando

Entonces:

Siempre que

Substituyendo el valor de en se tiene:

Luego:

A continuacin se har extensivo el proceso del mtodo para una y de tercer orden.

En este caso tenemos:

En forma matricial. Se tiene la siguiente transformacin.

(7)Siendo T la matriz de transformacin hemos establecido que sirve para eliminar uno de los elementos de la diagonal principal, aprovechando este conocimiento podemos lograr que los elementos fuera de la diagonal principal se anulen. Obviamente que realizando unas de las Rotaciones no ser suficiente para lograr que todos los trminos deseados sean ceros. Por lo que es necesario hacer m rotaciones en el plano hasta obtener la transformacin de , esto es:

(8) Convergiendo en una matriz B, que como hemos establecido ser una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal principal sern los valores caractersticos .

En el proceso es conveniente tomar en cuenta la siguiente regla: Seleccionar el elemento mayor en valor absoluto fuera de la diagonal principal d la matriz , este elemento ser el que se elimine. Para anularlo se arreglar le matriz , moviendo el elemento tomando la posicin del elemento por eliminar. Naturalmente que al mover un rengln de la matriz se mover una columna en el mismo orden (propiedad de los determinantes). Esto se ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo.- Tenemos una matriz simtrica H.

Seleccionaremos el trmino como el elemento mayor fuera de la diagonal principal, su valor absoluto es 1. Se puedo haber seleccionado el trmino , puesto que, esto no afecta el resultado de diagonalizacin. En este caso T1 no tiene ningn movimiento de renglones y columnas, esto es:

Calculo de

La matriz H1 ser:

En esta forma se ha obtenido H1, repitiendo el proceso, ahora supondremos que H1 es H, o sea calcularemos H2 a partir de H1.

Seleccionando h13 = 0.707 como el trmino mayor en valor absoluto, o sea el trmino que debemos anular con el siguiente ngulo .

Considerando la regla establecida es necesario mover a -sen a la posicin de T13, primero movemos la columna de la posicin dos a la tres y despus el rengln de la posicin dos a la tres, esto es:

Ntese como los valores fuera de la diagonal principal van disminuyendo en valor absoluto.

En esta forma se contina el mtodo hasta obtener una matriz H, en donde todos los elementos fuera de la diagonal principal se aproximen a cero. Reiteramos que los elementos de la diagonal principal sern los valores caractersticos. Los resultados obtenidos continuando con el mtodo son:

En este caso se realizaron cinco rotaciones sucesivas. Primero se dio la matriz por diagonalizar y posteriormente se transform H. Seleccionando los trminos por anular, calculando el ngulo de rotacin y substituyndolo en T. En esta forma llegamos a B.La matriz H que se dio fue simtrica, en donde solamente se eliminaron dos elementos H y H, puesto que H= 0, sin embargo se necesitaron cinco rotaciones, no dos, esto se debe a que en una rotacin que como sabemos tiene por objeto anular un trmino, causa que un elemento previamente reducido a cero llega a tener un valor. Afortunadamente cada rotacin hace que los valores mximos fuera de la diagonal principal decrezcan en valor absoluto, y H converja en una matriz diagonal B. As que podemos concluir que el nmero de rotaciones ser mayor que el nmero de trminos diferentes de cero fuera de la diagonal principal.Los valores caractersticos sern:

Examinaremos ahora la expresin Tan 2, por medio de la cual se calculo el ngulo de rotacin. Si las componentes y son relacionadas con y , entonces la ecuacin de tan 2 toma la forma:

(9)Recordando que en trigonometra establecimos:

La solucin de esta ecuacin cuadrtica es:

O bien:

(10)S se usar la expresin (10). Y si entonces se emplear:

(11)Si arbitrariamente se elige el signo positivo en el denominador de las ecuaciones ( ) y ( ), entonces:

(12)El signo positivo si Signo negativo si y . Se consideran tambin:

(13)

(14)Las expresiones (12), (13) y (14) se usan, en lugar de la (6). Para la elaboracin del programa de computadora en la rotacin de ngulos.

Matriz modal o vectores caractersticos.- una vez obtenidos los valores caractersticos por el mtodo de Jacob, ahora veremos la forma de obtener los valores caractersticos. Los vectores modales son matrices columnas v de la matriz dada H. Los cuales estn asociados con los valores caractersticos . Existirn n valores caractersticos : Los correspondientes n vectores modales v , pueden ser agrupados en una matriz cuadrada V o sea la matriz modal.Sea una matriz diagonal, representando los valores caractersticos conocidos. Entonces tenemos:

Remultiplicando por la inversa de V o sea V

Como

Comparando esta expresin con las obtenidas anteriormente o sea:

Vemos que V es una matriz cuadrada que representa los valores caractersticos y es igual a la multiplicacin sucesiva de matrices T empleadas en la obtencin de valores caractersticos. Entonces la matriz modal ser obtenida como:

Ejemplo.- Las matrices modales para el primero y segundo ejemplo anteriores sern:

Para el primer problema m = 1

Como

EMBED Equation.3

Para el segundo ejemplo m = 5

Tomando los valores de T anteriormente obtenidos:

Hasta aqu se han presentado un conjunto de mtodos numricos para calcular modos y frecuencias modales, tal vez dando la impresin que son diferentes. En realidad solamente son diferentes el mtodo de Stodola y el mtodo de las matrices de transicin. Un tratamiento unificado de estos mtodos numricos se presenta en el captulo 4 del libro Fundamentals of Earthquake Engineering de N.M. Newmark y E. Rosenblueth.

Anlisis Modal

Antes de iniciar las aplicaciones del mtodo modal, se transcribirn algunos artculos de la Normas Tcnicas Complementarias para diseo por sismo (2004).Zonificacin Para los efectos de estas Normas se considerarn las zonas del Distrito Federal que fija el artculo 170 del Reglamento. Adicionalmente, la zona III se dividir en cuatro subzonas (IIIa, IIIb, IIIC y IIId), segn se indica en la figura 1.1. Coeficiente ssmico

El coeficiente ssmico, c, es el cociente de la fuerza cortante horizontal que debe considerarse que acta en la base de la edificacin por efecto del sismo, Vo, entre el peso de la edificacin sobre dicho nivel, Wo.

Con este fin se tomar como base de la estructura el nivel a partir del cual sus desplazamientos con respecto al terreno circundante comienzan a ser significativos. Para calcular el peso total se tendrn en cuenta las cargas muertas y vivas que correspondan, segn las Normas Tcnicas Complementaras sobre Criterios y Acciones para el Diseo Estructural de las Edificaciones.

El coeficiente ssmico para las edificaciones clasificadas como del grupo B en el artculo 139 del Reglamento se tomar igual a 0.16 en la zona I, 0.32 en la II, 0.40 en las zonas IIIa y IIIc , 0.45 en la IIIb y 0.30 en la IIId, ver tabla 3.1, a menos que se emplee el mtodo simplificado de anlisis, en cuyo caso se aplicarn los coeficientes que fija el Captulo 7 de dicha norma tabla 7.1. Para las estructuras del grupo A se incrementar el coeficiente ssmico en 50 por ciento.

ESPECTROS PARA DISEO SSMICO