curso de física-matemática

Versao de 17 de junho de 2005
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1.1.1 Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.2 Relacoes de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2 Estruturas Algebricas Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.2.1 Semi-grupos, Monoides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.5 Mais sobre Aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.2.6 Acoes e Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En- domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo . . . . . . . 66
1.3.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . . 70
1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.1 Discussao Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relacoes . . . . . . . . . . 78
1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.5.6 Modulos e Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2
1.6.2 Grupoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.6.3 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1.2 Bases Algebricas de um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.1.3 O Dual Algebrico de um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em Espacos Vetoriais . . . . . . . 107
2.2.1 Formas Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2.2 Formas Sesquilineares e as Desigualdades de Cauchy-Schwarz e Minkowski . . . 112
2.2.3 Produtos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.3 Normas em Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.4 Formas Bilineares e Sesquilineares em Espacos de Dimensao Finita . . . . . . . . . . . 126
2.5 Estruturas Complexas sobre Espacos Vetoriais Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
II Topicos de Algebra Linear 140
3 Topicos de Algebra Linear I 141
3.1 Rudimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.2 Nocoes Basicas sobre o Espectro de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.2.1 O Traco de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.3 Polinomios de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.3.1 O Teorema de Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.4 Matrizes Diagonalizaveis e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.4.1 Diagonalizacao Simultanea de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.5 Matrizes Auto-adjuntas, Normais e Unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6 Matrizes Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.7 O Teorema de Decomposicao de Jordan e a Forma Canonica de Matrizes . . . . . . . . 184
3.7.1 Resultados Preparatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

3.7.4 A Forma Canonica de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.8 Algumas Representacoes Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.8.1 A Decomposicao Polar de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.8.2 O Teorema da Triangularizacao de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.8.3 A Decomposicao QR e a Decomposicao de Iwasawa (“KAN”) . . . . . . . . . . 205
4 Topicos de Algebra Linear II 210
4.1 Uma Topologia Metrica em Mat (
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
, n) e GL( ¡ , n) . . . . . . . . 224
4.3 A Formula de Lie-Trotter e a Formula do Comutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.4 Aplicacoes Lineares em Mat (
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4.5 A Formula de Baker, Campbell e Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.6 A Formula de Duhamel e Algumas de suas Consequencias . . . . . . . . . . . . . . . . 242
III Equacoes Diferenciais 247
5.1 Definicao e Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.1.1 Equacoes Diferenciais Ordinarias Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.1.2 Equacoes Ordinarias de Segunda Ordem. Exemplos de Interesse . . . . . . . . . 255
5.2 Sistemas de Equacoes Diferenciais Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.3 Alguns Metodos de Solucao de Equacoes Diferenciais Ordinarias . . . . . . . . . . . . . 262
5.3.1 Solucao de Equacoes Ordinarias Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . 262
5.3.2 As Equacoes de Bernoulli e de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.3.3 Integracao de Equacoes Separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.3.4 O Metodo de Variacao de Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.3.5 O Metodo de Substituicao de Prufer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.3.6 O Metodo de Inversao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.3.7 Solucao de Equacoes Exatas e o Metodo dos Fatores Integrantes . . . . . . . . . 271
5.3.8 Solucoes das Equacoes de D’Alembert-Lagrange e Clairaut . . . . . . . . . . . . 276
5.4 Discussao sobre Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

5.4.3 Solucoes Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.4.4 Dependencia Cont nua de Condicoes Iniciais e de Parametros . . . . . . . . . . . 290
6 Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares 292
6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.2.1 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.2.3 Propriedades de D(s, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.3 Equacoes com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.3.1 Alguns Exemplos e Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.4 Teoria de Perturbacoes de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.5 Mais sobre a Serie de Dyson. Produtos de Tempo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.6 Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares no Plano Complexo . . . . . . . . . . . . . 318
6.6.1 O Caso Analtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.6.2 Resolucao por Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.6.3 Sistemas com Pontos Singulares. Monodromia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6.6.4 Sistemas com Pontos Singulares Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6.7 Sistemas Provenientes de EDO’s de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.7.1 Pontos Singulares Simples em EDO’s de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
6.7.2 Singularidades no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
6.7.3 Alguns Exemplos de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7 Solucoes de Equacoes Diferenciais Ordinarias Lineares no Plano Complexo 355
7.1 Solucoes em Series de Potencias para Equacoes Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7.1.1 A Equacao do Oscilador Harmonico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
7.1.2 A Equacao de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
7.1.3 A Equacao de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
7.1.4 A Equacao de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
7.1.5 A Equacao de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
7.1.6 O Caso de Equacoes Regulares Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
7.2 Solucao de Equacoes Singulares Regulares. O Metodo de Frobenius . . . . . . . . . . . 372
7.2.1 Equacoes Singulares Regulares. O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

7.2.3 A Equacao de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
7.2.4 A Equacao de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
7.2.5 A Equacao Hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
7.2.6 A Equacao Hipergeometrica Confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
7.3 Algumas Equacoes Associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
7.3.1 A Equacao de Legendre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
7.3.2 A Equacao de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
7.3.3 A Equacao de Bessel Esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
7.A Prova da Proposicao 7.1. Justificando os Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . 414
7.B Provando (7.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
7.D Provando (7.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
7.E Porque λ deve ser um Inteiro Positivo na Equacao de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . 421
8 Propriedades de Algumas Solucoes de Equacoes Diferenciais Ordinarias e Aplicacoes424
8.1 Discussao Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
8.1.2 Relacoes de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
8.1.3 Formulas de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
8.1.4 Funcoes Geratrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
8.2.2 Propriedades dos Polinomios de Legendre Associados. Harmonicos Esfericos . . 442
8.2.3 Propriedades dos Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
8.2.4 Propriedades dos Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
8.2.5 Propriedades dos Polinomios de Laguerre Associados . . . . . . . . . . . . . . . 460
8.2.6 Propriedades das Funcoes de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
8.2.7 Propriedades das Funcoes de Bessel Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
8.3 Algumas Aplicacoes Selecionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
8.3.1 O Metodo de Separacao de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
8.3.2 Uma Breve Discussao Sobre Unicidade de Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . 485
8.3.3 As Equacoes de Helmholtz e de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
8.3.4 O Problema da Corda Pendurada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

8.3.5 O Problema da Membrana Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
8.3.6 O Oscilador Harmonico na Mecanica Quantica e a Equacao de Hermite . . . . . 506
8.3.7 O Atomo de Hidrogenio e a Equacao de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . 507
8.A Provando (8.44) a Forca Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
8.B Alguns Teoremas de Unicidade de Solucoes de Equacoes Diferenciais Parciais . . . . . . 512
9 Introducao ao Problema de Sturm-Liouville 521
9.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
9.2 O Problema de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
9.2.1 Resolvendo o Problema de Sturm. A Funcao de Green . . . . . . . . . . . . . . 527
9.2.2 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
9.3 O Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
9.4 Propriedades Basicas dos Autovalores e das Autofuncoes de Problemas de Sturm-Liouville534
9.4.1 Realidade dos Autovalores. Ortogonalidade de Autofuncoes . . . . . . . . . . . . 534
9.4.2 A Simplicidade dos Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
9.4.3 Condicoes Suficientes para a Positividade dos Autovalores . . . . . . . . . . . . 538
9.5 A Equacao Integral de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
9.6 Uma Aplicacao do Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
9.7 Comentarios Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
9.A Prova do Teorema 9.1. Existencia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
9.B Prova da Proposicao 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
9.C Comentario Sobre o Determinante Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
9.D Ausencia de Autovalores em um Problema Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
9.E Demonstracao do Teorema 9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
9.F Prova da Desigualdade (9.E.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
IV Grupos 563
10.1 O Grupo de Permutacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
10.1.1 Ciclos, Transposicoes e Transposicoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
10.2 Alguns Grupos Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
10.2.1 Os Grupos GL(n) e SL(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

10.2.2 O Grupo de Borel e Grupo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
10.2.3 Grupos Associados a Formas Bilineares e Sesquilineares . . . . . . . . . . . . . . 580
10.2.4 Os Grupos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
10.2.5 Os Grupos Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
10.3 Os Grupos SO(2), SO(3), SU(2) e SL(
, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
10.3.1 Os Grupos SO(2), O(2), SO(1, 1) e O(1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
10.3.2 O Grupo SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
10.3.3 O Grupo SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
10.3.4 A Relacao entre SO(3) e SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
10.3.5 O Grupo SL(
10.4.1 Os Grupos SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
10.4.2 O Grupo SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
10.4.3 Os Grupos SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
10.5 O Grupo Afim e o Grupo Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
10.6 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
10.6.1 O Espaco-Tempo, a Nocao de Intervalo e a Estrutura Causal . . . . . . . . . . . 618
10.6.2 A Invariancia do Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
10.6.3 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
10.6.4 Alguns Sub-Grupos do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
10.6.5 A Estrutura do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
10.6.6 Os Geradores do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
10.7 O Grupo de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
10.8 SL(
10.A Prova do Teorema 10.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
10.B Um Isomorfismo entre SL(
, 2)/{ ,− } e L↑+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
11 Grupos de Lie e Algebras de Lie. Uma Breve Introducao 670
11.1 Variedades e Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
11.2 Breves Consideracoes sobre Grupos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
11.3 Grupos de Lie Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
11.3.1 Uma Topologia Metrica em GL(
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

11.3.5 Subgrupos Fechados de GL(
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
11.4 A Relacao entre Grupos de Lie Matriciais e suas Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . 692
11.4.1 Algebras de Lie Nilpotentes, Soluveis, Simples e Semi-Simples . . . . . . . . . . 693
11.4.2 Questoes sobre a Exponenciacao de Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 697
11.4.3 Alguns Exemplos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
12 Uma Breve Introducao a Teoria das Representacoes de Grupos 706
12.1 Representacoes de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
12.2 Representacoes Irredutveis de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
12.3 A Medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717
12.4 Representacoes de Grupos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
12.5 O Teorema de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
V Topologia Geral, Teoria da Medida e Integracao 726
13 Espacos Metricos 727
13.3 Pseudo-Metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
13.4.1 Espacos de Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750
13.A Algumas Desigualdades Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
13.B Numeros reais e p-adicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766
13.C Aproximacoes para π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773
14 O Teorema do Ponto Fixo de Banach e Algumas de Suas Conseq uencias 779
14.1 O Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
14.1.1 Aplicacao a Equacoes Numericas. O Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . 782
14.1.2 Uma Generalizacao do Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . 786
14.2 As Equacoes Integrais de Fredholm e de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787
14.3 Aplicacoes a Teoria das Equacoes Diferenciais Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
14.3.1 O Teorema de Picard-Lindelof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
14.3.2 Generalizando o Teorema de Picard-Lindelof. Solucoes Globais . . . . . . . . . . 800

10/1195
14.3.3 Um Teorema de Comparacao de Solucoes de EDO’s . . . . . . . . . . . . . . . . 801
14.4 O Teorema da Funcao Implcita e o Teorema da Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . 805
14.4.1 O Teorema da Funcao Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
14.4.2 O Teorema da Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810
14.A O Lema de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
15 Espacos Topologicos e Espacos Mensuraveis. Definicoes e Propriedades Basicas 812
15.1 Definicoes, Propriedades Elementares e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
15.2 Algumas Construcoes Especiais e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818
15.2.1 Topologias e σ-algebras Geradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818
15.2.2 Bases de Espacos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822
15.2.3 Topologias e σ-algebras Induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828
15.2.4 Topologias e σ-algebras Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830
15.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espacos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830
15.3.1 Fecho de Conjuntos em Espacos Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834
16 Medidas 836
16.2 Medidas de Conjuntos. Definicao, Exemplos e Propriedades Basicas . . . . . . . . . . . 839
16.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Caratheodory . . . . . . . . 843
17 A Medida de Lebesgue 852
17.1 A Construcao da Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852
17.1.1 A σ-algebra de Borel em ¡ e a Medida de Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . 855
17.1.2 A Medida Produto e a Medida de Lebesgue em ¡
n . . . . . . . . . . . . . . . . 858
17.3 Bases de Hamel e a Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871
18 Convergencia, Pontos Limite e Pontos de Acumulacao em Espacos Topologicos 876
18.1 Primeiras Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876
18.2 Espacos Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878
18.3 O Limite do Infimo e o Limite do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879
18.4 Redes e o Caso de Espacos Topologicos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884
18.4.1 Redes em Espacos Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886

19.1 Funcoes Contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888
19.2.1 Continuidade e Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892
20 Elementos da Teoria da Integra cao 895
20.1 Comentarios Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896
20.2.1 A Integral de Riemann Impropria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907
20.2.2 Diferenciacao e Integracao em Espacos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 909
20.3 A Integracao no Sentido de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914
20.3.1 Funcoes Mensuraveis e Funcoes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
20.3.2 A Integral de Lebesgue. Integracao em Espacos Mensuraveis . . . . . . . . . . . 921
20.3.3 A Integral de Lebesgue e sua Relacao com a de Riemann . . . . . . . . . . . . . 930
20.3.4 Teoremas Basicos sobre Integracao e Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 933
20.3.5 Alguns Resultados de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
20.4 Os Espacos L p e L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
20.4.1 As Desigualdades de Holder e de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
20.4.2 O Teorema de Riesz-Fischer. Completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945
20.A Demonstracao da Proposicao 20.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946
20.B Caracterizacoes e Propriedades de Funcoes Mensuraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947
20.C Prova do Lema 20.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953
20.D Demonstracao de (20.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954
20.E A Equivalencia das Definicoes (20.23) e (20.24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955
20.F Prova do Teorema da Convergencia Monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
20.G Prova do Lema de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958
20.H Prova do Teorema da Convergencia Dominada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
20.I Prova dos Teoremas 20.2 e 20.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960
20.J Prova das Desigualdades de Holder e Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963
20.K Prova do Teorema de Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965
21 Alguns Topicos Especiais em Topologia e Analise 968
21.1 Uma Coletanea de Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968
21.2 A Nocao de Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974

21.5 Aproximacao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978
21.5.1 Aproximacao de Funcoes Contnuas por Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 978
VI Analise Funcional 985
22.1 Aspectos Topologicos Basicos de Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986
22.2 Aspectos Geometricos Basicos de Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988
22.2.1 Bases Ortonormais Completas em Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 993
22.3 Funcionais Lineares e o Dual Topologico de um Espaco de Hilbert . . . . . . . . . . . . 1007
22.3.1 O Teorema da Representacao de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008
23 Operadores Lineares Limitados em Espa cos de Banach e de Hilbert 1011
23.1 Operadores Lineares em Espacos Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013
23.1.1 Espacos de Banach de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017
23.1.2 O Dual Topologico de um Espaco de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021
23.1.3 O Teorema de Hahn-Banach e Algumas Consequencias do Mesmo . . . . . . . . 1025
23.1.4 O Teorema de Banach-Steinhaus ou Princpio de Limitacao Uniforme . . . . . . 1031
23.1.5 O Teorema da Aplicacao Aberta e o Teorema do Grafico Fechado . . . . . . . . 1032
23.2 Operadores Limitados em Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040
23.2.1 O Adjunto de um Operador em um Espaco de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 1042
23.3 Algebras de Banach e Algebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050
23.3.1 Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050
23.3.2 A Inversa de Operadores Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053
23.3.3 O Espectro de Operadores em Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 1059
23.3.4 O Homomorfismo de Gelfand em Algebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069
23.3.5 Razes Quadradas de Operadores em Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . 1072
23.3.6 Elementos Positivos de Algebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
23.3.7 O Lema da Raiz Quadrada em espacos de Hilbert. A Decomposicao Polar . . . 1077
23.4 Um Pouco sobre Estados e Representacoes de Algebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 1081
23.5 O Espectro de Operadores em Espacos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091

23.6.1 O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-adjuntos . . . . . . . . 1112
23.7 O Teorema Espectral para Operadores Limitados Auto-adjuntos em Espacos de Hilbert 1120
23.7.1 O Calculo Funcional Contnuo e o Homomorfismo de Gelfand . . . . . . . . . . 1121
23.7.2 Generalizando o Calculo Funcional Contnuo. As Medidas Espectrais . . . . . . 1123
23.7.3 Medidas com Valores em Projecoes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133
23.7.4 Os Projetores Espectrais e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137
23.7.5 A Relevancia do Teorema Espectral para a Fsica Quantica (um pouco de Fsica, finalmente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141
23.A Prova do Teorema 23.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151
24 Nocoes de Estruturas Algebricas 1155
24.1 Algebras Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156
24.2 Acao de Uma Algebra Universal sobre uma Outra Algebra Universal (*) . . . . . . . . 1163
25 O Limite Indutivo de Algebras 1168

intencao basica destas Notas e fornecer a estudantes de Fsica nocoes matematicas importantes para uma melhor compreensao de desenvolvimentos modernos da Fsica Teorica e da Matematica.
De modo geral o texto e de leitura auto-suficiente, mas vez por outra algum estudo complementar e sugerido. Estas Notas, porem, nao sao substituto a leitura dos bons livros sobre os assuntos aqui tratados. Entretanto, procuramos apresentar (muitas vezes em exerccios!) o maior numero possvel de exemplos e contra-exemplos para as varias situacoes tratadas de modo a motivar melhor definicoes e resultados, o que e menos comum em textos com tratamentos mais sistematicos. Parte do material pode ser encontrada em diversas fontes, citadas na bibliografia, mas a apresentacao e sua ordem sao proprias. Ha tambem nestas Notas demonstracoes do proprio autor de resultados conhecidos que sao, por alguma razao, dificilmente encontradas na literatura.
Fazemos notar que estas notas estao ainda sendo trabalhadas e alguns captulos e secoes podem vir a ser alterados, corrigidos ou acrescidos de material. Alem disso, novos captulos serao escritos. O material ja presente e, porem, util a todos aqueles que queiram iniciar-se nos assuntos aqui expostos. Versoes atualizadas serao colocadas na “rede” (no endereco acima indicado) sempre que possvel.
O autor agradece a todos os que apresentarem sugestoes. Fabulosas somas em dinheiro sao ofere- cidas a todos aqueles que encontrarem erros no texto. Entre os ja aquinhoados encontram-se os Srs. Matheus Grasselli, Alexandre T. Baraviera, Marcos V. Travaglia, Daniel Augusto Cortez, Djogo F. C. Patrao, Cleber de Mico Muramoto, Katiuscia Nadyne Cassemiro, Urbano Lopes Franca Junior, Gus- tavo Barbagallo de Oliveira, Priscila Vieira Franco Gondeck, Darielder Jesus Ribeiro, Henrique Scemes Xavier, Daniel Augusto Turolla Vanzella, Leonardo Fernandes Dias da Motta, Krishnamurti Jose de Andrade, Pedro Tavares Paes Lopes, Diego Cortegoso Assencio, Fleury Jose de Oliveira Filho, Paulo Henrique Reimberg, Fabola Diacenco Xavier e Marcio Andre Prieto Apar cio Lopez aos quais somos muito gratos por correcoes e sugestoes.
As Secoes 10.B, pagina 662, e 14.3.1, pagina 795, sao de autoria de Daniel Augusto Cortez, a quem especialmente agradecemos.
Joao Carlos Alves Barata Sao Paulo, 17 de junho de 2005.
Departamento de Fsica Matematica do IFUSP

15/1195
“O comportamento de um fsico em relac˜ ao a Matem´ atica e similar a de um ladr˜ ao inteligente em relac˜ ao ao c´ odigo penal: ele estuda apenas o suficiente para evitar punic˜ oes”.
I. M. Gelfand (1913-).
“A mente n˜ ao e um vaso a ser repleto, mas uma tocha a ser acesa”. Plutarco (46?-120).
“Talvez eu n˜ ao tenha tido exito em fazer as coisas difceis tornarem-se f´ aceis, mas pelo menos eu nunca fiz um assunto f´ acil tornar-se difcil”.
F. G. Tricomi (1897-1978).
“In science, self-satisfaction is death. Personal self-satisfaction is the death of the scientist. Collective self-satisfaction is the death of the research. It is restlessness, anxiety, dissatisfaction, agony of mind that nourish science”.
Jacques Lucien Monod (1910-1976), in New Scientist, 1976.
“N˜ ao existe nenhuma categoria da Ciencia a qual se possa dar o nome de Ciencia Aplicada. O que existe s˜ ao a Ciencia e as aplicac˜ oes da Ciencia, intimamente ligadas, como frutos a ´ arvore que os gerou”.

Notacao e Advertencias
Para facilitar a consulta e a leitura, listamos aqui sem muitos comentarios um pouco da notacao que empregaremos nestas Notas.
Se z e um numero complexo denotaremos seu complexo conjugado por z. A notacao z∗ (mais comum em textos de Fsica) pode ocorrer mais raramente.
O smbolo A := B ou B =: A denota que A e definido pela expressao B. O smbolo A ≡ B indica que A e B sao duas notacoes distintas para o mesmo objeto.
Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sao vetores reais com n componentes (ou seja, elementos de ¡
n) entao definimos x, y ¡ := x1y1 + · · · + xnyn .
Trata-se do produto escalar usual em ¡
n.
Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sao vetores complexos com n componentes (ou seja, elementos de
n) entao definimos
n.

n.
Mat( ¡ , n) ou Mat(n, ¡ ) designa o conjunto de todas as matrizes reais n × n. Mat(
, n) ou Mat(n,
) designa o conjunto de todas as matrizes complexas n × n.
Se A e um elemento de Mat( ¡ , n) ou de Mat(
, n), entao AT designa a matriz transposta de A, ou seja, a matriz cujos elementos de matriz ij sao
AT
ij = A ji.
Se A e um operador linear em um espaco vetorial complexo (com um certo produto escalar), seu adjunto e denotado por A∗. Em textos de Fsica e mais comum denota-lo por A†, mas nao usaremos isso aqui.
Assim, se A ∈ Mat(
, n), entao A∗ sera a adjunta de A (em relacao ao produto escalar usual, acima). O elemento de matriz ij de A∗ sera (A∗)ij = A ji.

17/1195
Designaremos um produto escalar entre dois vetores u e v sempre por u, v e nunca por (u, v), para nao causar confusao com a notacao para par ordenado. Outra notacao possvel e aquela empregada frequentemente em textos de Mecanica Quantica: u | v, mas faremos raramente uso dessa notacao.
Ainda sobre produtos escalares, seguiremos sempre a convencao dos textos de F sica: um produto escalar em um espaco vetorial sobre os complexos e linear em relacao ao segundo argumento e antilinear em relacao ao primeiro. Assim, se α e β sao numeros complexos, teremos αu, βv = αβ u, v. Textos de Matematica adotam por vezes a convencao oposta (ou mesmo ambas!).
Sobre o emprego das palavras func˜ ao, aplicac˜ ao, mapeamento, mapa , funcional , operador , operac˜ ao, produto e forma , que por vezes causam perplexidade em estudantes, remetemos ao comentario a pagina 22.
Dado um conjunto X = ∅, denota-se por
(X ) a colecao de todos os sub-conjuntos de X .
(X ) e denominado o conjunto das partes de X .
A topologia usual da reta real ¡ sera denotada aqui por τ ¡ .
A σ-algebra de Borel de ¡ sera (quase sempre) denotada aqui por M[τ ¡ ].
.
Para x ∈ ¡ , o smbolo x designa o maior inteiro menor ou igual a x. O smbolo x designa o menor inteiro maior ou igual a x.
Ha ainda nestas Notas um problema nao totalmente sanado quando ao conjunto dos numeros naturais ¡ . Em algumas secoes adotou-se 0 ∈ ¡ , ou seja, ¡ = {0, 1, 2, 3, . . .} em outras, adotou-se 0 ∈ ¡ , ou seja, ¡ = {1, 2, 3, . . .}. Esperamos que isso seja definitivamente corrigido futuramente. Por ora, pedimos atencao ao leitor.

B(X ) designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espaco de Banach X . B(H) designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espaco de Hilbert H.
C (L) designa o conjunto de todas as funcoes contnuas (reais ou complexas, dependendo do caso), definidas em L (na topologia que se estiver considerando em L).
B(L) designa a colecao de todos os conjuntos Borelianos de L (em relacao a topologia que se estiver considerando em L). Bl(L) designa a colecao de todas as funcoes Borelianas (reais ou complexas, dependendo do caso), definidas em L.

18/1195
imaginaria de um numero complexo ou mesmo com a da parte imaginaria de um operador agindo em um espaco de Hilbert: Im (T ) := 1
2i (T − T ∗).
As nocoes de propriedade v´ alida quase em toda parte e de propriedade generica sao definidas nas paginas 858 e 970, respectivamente.
• Intervalos
Ainda nao introduzimos os numeros reais nem a relacao de ordem entre eles mas, como essas nocoes sao conhecidas, vamos colocar aqui uma palavra sobre a nomenclatura usada para descrever intervalos da reta real. Para a < b ∈ ¡ o conjunto
(a, b) = {x ∈ ¡ , com a < x < b}
e dito ser um intervalo aberto. Para a ≤ b ∈ ¡ o conjunto
[a, b] = {x ∈ ¡ , com a ≤ x ≤ b}
e dito ser um intervalo fechado. Para a < b ∈ ¡
os conjuntos
sao ditos ser intervalos semi-abertos (ou semi-fechados).

1.1.1 Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.2 Relacoes de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2 Estruturas Algebricas Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.2.1 Semi-grupos, Monoides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.5 Mais sobre Aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.2.6 Acoes e Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En- domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.3.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . 70
1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . 72
1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.1 Discussao Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relacoes . . . . . . . . 78
1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.5.6 Modulos e Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.6 Topicos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.6.2 Grupoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.6.3 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

JCABarata. Curso de Fsica-Matematica Vers˜ ao de 17 de junho de 2005. Captulo 1 21/1195
ste captulo introdutorio pretende (re)apresentar ao leitor uma serie de nocoes matematicas basicas abrangendo rudimentos da teoria dos conjuntos e algumas estruturas algebricas. O objetivo nao e um tratamento extensivo dos diversos assuntos, ja que varios deles serao desen- volvidos em cap tulos futuros. Trata-se quase de um guia de consulta onde sao apresentadas,
junto com exemplos simples, varias nocoes e definicoes basicas que utilizaremos. O estudante deve retornar a este captulo sempre que necessario.
1.1 Conjuntos, Relacoes e Funcoes
Partiremos do pressuposto de serem familiares as nocoes basicas envolvendo conjuntos, como a nocao de pertinencia x ∈ C , de uniao de dois conjuntos A ∪B e de intersecao de dois conjuntos A ∩B.
Para A, B ⊂ X denotamos por A \ B a chamada diferenca entre os conjuntos A e B, a saber
A \ B := {x ∈ X tal que x ∈ A mas x ∈ B}. (1.1)
Por vezes usa-se a notacao A−B para A \ B. Para A ⊂ X denota-se por Ac o chamado complemento de A em relac˜ ao a X : Ac := X \ A. Note-se que ao usar-se o s mbolo Ac deve estar subentendido qual o conjunto X ao qual o complemento se refere. E facil ver que se A, B ⊂ X entao A \ B = Bc ∩A.
Dizemos que um conjunto B ⊂ A e um subconjunto pr´ oprio de A se A \ B = ∅, ou seja, se houver elementos em A que nao estao em B.
Se A e B sao conjuntos e A ∩ B = ∅ entao A ∪B e dita ser uma uni˜ ao disjunta de A e B.
Se X e um conjunto denota-se por
(X ) a colecao de todos os subconjuntos de X .
(X ) e por vezes chamado de conjunto das partes de X . Por convencao adota-se sempre que ∅ ∈
(X ). Assim, dizer que A ⊂ X equivale a dizer A ∈
(X ).
Por AB denota-se a chamada diferenca simetrica entre A e B:
AB := (A ∪B) \ (A ∩B). (1.2)
E. 1.1 Exerccio. Mostre que AB = BA e que (AB)C = A(BC ).
• Pares Ordenados

Dados dois conjuntos A e B definimos por A × B o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) sendo a ∈ A e b ∈ B. O conjunto A × B e chamado de produto Cartesiano1 de A e B. Note que, em geral, A × B = B × A. Por que?
Mais adiante apresentaremos uma generalizacao da nocao de produto Cartesiano de conjuntos.
1.1.1 Relacoes e Funcoes
• Relacoes
Sejam A e B conjuntos e seja o produto Cartesiano A × B. Um subconjunto de A × B e dito ser uma relacao binaria, ou simplesmente relacao entre A e B.
Exemplo. Seja A o conjunto de homens vivos e B o conjunto de mulheres vivas e seja R ⊂ A × B o conjunto R := {(a, b), a e irmao de b}. R representa uma relacao (de irmandade) entre homens e mulheres.
Outros exemplos virao abaixo.
Dada uma relacao G ⊂ A × B entre conjuntos A e B ha duas nocoes importantes associadas: a de dom nio da relacao e a de imagem da relacao. Define-se por domnio de G o conjunto
Dom(G) := {a ∈ A tal que (a, b) ∈ G para algum b ∈ B}. (1.3)
Define-se por imagem de G o conjunto
Im(G) := {b ∈ B tal que (a, b) ∈ G para algum a ∈ A}. (1.4)
Note-se que Dom(G) ⊂ A e que Im(G) ⊂ B.
• Funcoes
Este e talvez o mais importante exemplo de relacao. Sejam A e B conjuntos e F uma relacao entre A e B. Entao, a relacao F e dita ser uma funcao de A em B se Dom(F ) = A e se (a, b) ∈ F e (a, b) ∈ F so for possvel caso b = b. Em outras palavras, a cada elemento a de A a funcao associa um e apenas um elemento b de B que faz o papel de segundo elemento do par ordenado (a, b). Este segundo elemento associado pela funcao F ao elemento a, e mais conveniente denota-lo por F (a). Assim, uma funcao e o conjunto de pares {(a, F (a)) ∈ A × B, a ∈ A}. Frequentemente denotamos uma funcao F de A em B por F : A → B.
• Aplicacoes, Mapeamentos, Mapas, Funcionais, Operadores, Operacoes, Produtos etc.
Muito frequentemente usam-se as palavras aplicac˜ ao, mapeamento, mapa , funcional , operador , operac˜ ao, produto, transformac˜ ao, forma , e talvez ainda outras, para designar certos tipos de funcoes entre conjuntos. Essa abundancia de palavras causa frequentemente confusao e mesmo perplexidade

em estudantes recem-iniciados mas, em essencia, todos esses objetos sao funcoes, no sentido abstrato que definimos acima.

. A palavra “funcional”2
e frequentemente empregada quando se trata de funcoes que levam vetores ou funcoes numericas em numeros. Um exemplo de funcional e a funcao que leva funcoes reais cont nuas f nas suas integrais no intervalo [0, 1]: f →
1 0

, sendo V um espaco vetorial. As palavras “aplicacao”, “mapa” e “mapeamento” sao frequentemente empregadas para designar funcoes em areas como Topologia, Geometria Diferencial ou Sistemas Dinamicos.
Certas palavras sao empregadas para designar certas funcoes com propriedades especiais. Um “homeomorfismo”, por exemplo, e uma funcao bijetora entre dois espacos topologicos que seja cont nua e cuja inversa seja tambem contnua. Um “difeomorfismo” e um homeomorfismo entre duas variedades diferenciaveis que seja infinitamente diferenciavel. Ha ainda varios outros “morfismos”, como discutido na Secao 1.2.7, a pagina 64.
Em verdade, e conveniente dispormos por vezes de uma certa variedade de palavras diferentes simplesmente para evitarmos o emprego monotono e descolorido da palavra “funcao”. Com um pouco de ironia, lembremos por fim a definicao circular de Edward Teller: “An intelectual is someone who thinks the same things and uses the same words as other intelectuals”.
• Imagens e pre-imagens de funcoes
Seja f : X → Y uma funcao. Se A ⊂ X , definimos
f (A) := {y ∈ Y | y = f (x) para algum x ∈ A}.
Se B ⊂ Y , definimos f −1(B) := {x ∈ X | f (x) ∈ B}.
f (A) e dita ser a imagem de A por f e f −1(B) e dita ser a pre-imagem de B por f .
O uso do smbolo f −1 para designar pre-imagem f −1(B) de um conjunto B e uma escolha infeliz (mas universalmente aceita), pois pode causar confusao com a nocao de funcao inversa de f , que pode nao estar definida. O estudante deve estar atento.
• Funcoes Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras
Uma funcao F : A → B e dita ser sobrejetora se Im(F ) = B. Uma funcao F : A → B e dita ser injetora ou injetiva se a cada b ∈ Im(F ) existir um e somente um elemento a ∈ Dom(F ) tal que (a, b) ∈ F . Uma funcao que for sobrejetora e injetora e dita ser bijetora.

Seja uma funcao bijetora F ⊂ A × B. Entao, a relacao F −1 ⊂ B × A dada por
F −1 = {(b, a) tal que (a, b) ∈ F }
e, em verdade, uma funcao denominada func˜ ao inversa de F . E claro que (F −1)−1 = F .
• Famlias de Conjuntos
Seja X um conjunto nao-vazio. Uma colecao F nao-vazia de sub-conjuntos de X e por vezes dita ser uma fam lia de conjuntos (que sao sub-conjuntos de algum X fica subentendito). Se F for uma famlia de conjuntos e existirem um conjunto nao-vazio I e uma funcao bijetora f : I → F , entao dizemos que a famlia F e indexada por I e os elementos de I sao denominados ndices. Se λ e um ndice, designaremos sua imagem pela funcao f simplesmente por Aλ ∈ F .
Uma indexacao de uma colecao F nao-vazia de sub-conjuntos de X sempre existe: podemos tomar I = F e f a funcao identidade.
• Operacoes basicas com famlias de conjuntos

α∈I
Aα := {x ∈ X tal que x ∈ Aα para algum α ∈ I } (1.5)
e
α∈I
Aα := {x ∈ X tal que x ∈ Aα para todo α ∈ I }. (1.6)
As definicoes acima implicam as importantes propriedades descritas na proposicao que segue, cuja demonstracao deixamos como exerc cio.
Proposicao 1.1 Sejam B ⊂ X , X n˜ ao-vazio, e {Aα ⊂ X, α ∈ I } uma colec˜ ao arbitr´ aria de subconjuntos de X . Ent˜ ao valem as seguintes relac˜ oes:
B \

As relac˜ oes, (1.7) implicam

As seguintes proposicoes sao importantes e frequentemente usadas:
Proposicao 1.2 Seja f : X → Y uma func˜ ao e seja Λ um conjunto de ndices. Se Aλ ⊂ X para todo λ ∈ Λ, ent˜ ao
f
mas
f
Se Bλ ⊂ Y para todo λ ∈ Λ, ent˜ ao
f −1
e

Em (1.13) nao se pode provar a igualdade entre f
λ∈Λ Aλ
e
λ∈Λ f (Aλ) e a razao e a seguinte: se y ∈ λ∈Λ f (Aλ) entao y ∈ f (Aλ) para todo λ ∈ Λ. Assim, em cada Aλ existe um xλ com y = f (xλ). Mas pode ocorrer que em
λ∈Λ Aλ nao exista nenhum elemento x com y = f (x). O seguinte exemplo
ilustra isso. Seja f (x) = x2 definida em [−1, 1]. Tomemos A1 = [−1, 0], A2 = [0, 1]. Entao, f (A1) = [0, 1] e f (A2) = [0, 1]. Portanto, f (A1)∩ f (A2) = [0, 1]. Porem, f (A1 ∩A2) = f ({0}) = {0}. apesar disso, vale o seguinte:
Proposicao 1.3 Se f : X → Y e injetora ent ao, se Aλ ⊂ X para todo λ ∈ Λ, vale
f

A demonstracao e elementar e e deixada como exerccio.
Em relacao as operacoes de complemento e diferenca de conjuntos temos o seguinte:
Proposicao 1.4 Se f : X → Y e uma func˜ ao e B, C ⊂ Y , ent˜ ao
f −1(Bc) =
f −1(B \ C ) = f −1(B) \ f −1(C ) .
Aqui, Bc = Y \ B. Fora isso, se f : X → Y e uma func˜ ao injetora e sobrejetora e A, B ⊂ X , ent˜ ao
f (Ac) = (f (A))c ,
Aqui, Ac = X \ A.
A demonstracao e elementar e e deixada como exerccio.
• A Uniao Disjunta de uma Famlia Arbitraria de Conjuntos
Sejam, como acima, um conjunto I (nao necessariamente finito ou contavel) e Ai, i ∈ I , conjuntos indexados por elementos de I . Os conjuntos Ai podem eventualmente possuir elementos comuns, ou seja, pode haver elementos x que comparecem em varios conjuntos Ai. Porem, quando formamos a uniao usual dos conjuntos Ai, ou seja,
i∈I Ai, cada elemento x comparece apenas uma vez, mesmo que
pertenca a varios Ai’s. Por vezes estamos interessados em formar um outro tipo de uniao de conjuntos onde essa possvel multiplicidade de cada elemento x possa ser levada em conta. A definicao abaixo e, para tal, das mais adequadas.
Definimos a uni˜ ao disjunta da famlia de conjuntos Ai como sendo o conjunto, denotado por
i∈I
Ai,
dado pela uniao de todos os pares ordenados (a, i) com i ∈ I , a ∈ Ai, ou seja,
i∈I
a∈Ai
(a, i) .
Unioes disjuntas desempenham um papel em varias areas da Matematica. Na Geometria Diferencial, por exemplo, o chamado fibrado tangente de uma variedade diferenciavel e definido como a uniao disjunta dos espacos tangentes a variedade.
• Extensoes de Funcoes
Seja F : A → B uma funcao e suponha que A seja subconjunto de um outro conjunto A. Uma funcao G : A → B e dita ser uma extens˜ ao de F se F e G coincidirem na parte comum de seus domnios, que vem a ser o conjunto A, ou seja, se G(a) = F (a) para todo a ∈ A.

E. 1.2 Exerccio. Verifique a equivalencia dessas duas definicoes do conceito de extensao de funcoes.
Como veremos, o conceito de extensao de funcoes e frequentemente empregado na teoria dos operadores lineares em espacos de Hilbert.
• O Produto Cartesiano de uma Famlia Arbitraria de Conjuntos
Ja discutimos o conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos A e B: A × B e com ele introduzimos a nocao de funcao. De posse dessa nocao podemos, com vistas a uma generalizacao, apresentar uma outra visao do conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos, a saber, podemos dizer que A×B e o conjunto de todas as funcoes f : {1, 2}→ A∪B tais que f (1) ∈ A e f (2) ∈ B. A ideia e dizer que cada par ordenado (a, b) com a ∈ A e b ∈ B e uma funcao onde o primeiro membro do par e a imagem de 1 (por ser o primeiro) e o segundo a imagem de 2 (por ser o segundo). Essa ideia permite definir produtos Cartesianos de um numero finito n de conjuntos A1, A2, . . . , An denotado por A1 ×A2 × . . . ×An
como sendo o conjunto de todas as funcoes f : {1, 2, . . . , n} → n
j=1
A j satisfazendo f ( j) ∈ A j para todo
j ∈ {1, . . . , n}. A funcao f tem, por assim dizer, o papel de ordenar os elementos de n
j=1
A j tomando-se
sucessivamente um elemento de cada Ai por vez. O produto Cartesiano A1 × A2 × . . . × An e assim entendido como o conjunto formado por todas as enuplas ordenadas (a1, . . . , an) com ai ∈ Ai.

como sendo o conjunto de todas as funcoes f : I →
j∈I
A j tais que f (x) ∈ Ax para todo x ∈ I . O
Axioma da Escolha (pagina 27) consiste na afirmacao (ou melhor dizendo, na suposicao, ja que se trata de um axioma) que
i∈I Ai e nao-vazio.
Se por ventura todos os conjuntos Ai forem identicos entao denota-se o produto Cartesiano acima por AI . Assim, AI denota o conjunto de todas as funcoes de I em A.
Desta forma ¡ × ¡ e ¡
¡
d designa ¡
O Axioma da Escolha consiste na seguinte afirmativa:
Seja As, s ∈ I , uma famlia de conjuntos n˜ ao-vazios, onde I e um conjunto arbitr´ ario (n˜ ao-vazio) de ndices. Ent˜ ao, podemos construir um conjunto A tomando (“escolhendo”) um elemento as de cada
conjunto As. Em termos mais tecnicos, o axioma diz que h´ a func˜ oes F : I →
s∈I

para todo s ∈ I , ou seja, o produto Cartesiano
s∈I As e n ao vazio3.
A primeira vista esse axioma parece constituir-se de uma obviedade. Sucede, porem, que, sobretudo pelo fato de o conjunto I de ndices ser arbitrario (podendo ser ate um conjunto infinito e nao-contavel), a afirmativa que o mesmo contem nao pode ser derivada de princpios mais basicos. O axioma faz uma afirmacao de existencia (de uma funcao como a F , ou de um conjunto como A formado por elementos escolhidos de cada As) que, geralmente, nao pode ser demonstrada construtivamente, ou seja, por exibicao explcita de uma tal funcao F ou de um conjunto A.
Faremos uso explcito do Axioma da Escolha adiante quando exibirmos exemplos de conjuntos nao- mensuraveis. O Axioma da Escolha foi originalmente formulado por Zermelo4 em 1904 como parte da sua demonstracao do chamado Princpo do Bom-Ordenamento, Teorema 1.1, pagina 34. Vide [50].
Uma tpica situacao na qual se faz uso do Axioma da Escolha ocorre quando sao dados um conjunto X e uma uma relacao de equivalencia E em X e constroi-se um conjunto A ⊂ X tomando-se um representante de cada classe de equivalencia de X por E .
Nem sempre e possvel exibir explicitamente os elementos de A, mas assumimos (via Axioma da Escolha) que um tal conjunto existe. Para ter-se em mente um caso onde uma tal situacao ocorre, tome-se o exemplo dado em (1.18), pagina 29.
• Relacoes de Equivalencia
Outro tipo importante de relacao e formado pelas chamadas relacoes de equivalencia. Uma relacao E ⊂ A × A e dita ser uma relac˜ ao de equivalencia em um conjunto nao-vazio A se os seguintes quesitos forem satisfeitos:
1. (a, a) ∈ E para todo a ∈ A.
2. (a, b) ∈ E implica que (b, a) ∈ E .
3. (a, b) ∈ E e (b, c) ∈ E implicam que (a, c) ∈ E .
Se o par (a, b) pertence a uma relacao de equivalencia E entao a e b sao ditos serem equivalentes
segundo E . Quase sempre usa-se a notacao a E ∼ b, ou simplesmente a ∼ b, para indicar que dois
elementos sao equivalentes segundo uma relacao de equivalencia dada.
Seja A um conjunto e E ⊂ A × A uma relacao de equivalencia em A. Para cada a ∈ A podemos definir o conjunto
E (a) := {a ∈ A tal que (a, a) ∈ E }. (1.17)
Esse conjunto e chamado de classe de equivalencia de a (pela relacao de equivalencia E ).
E. 1.3 Exerccio. Seja A um conjunto e E ⊂ A × A e uma relacao de equivalencia em A. Suponha que a, b ∈ A e que a ∼ b segundo E . Prove que E (a) = E (b).
E. 1.4 Exerccio importante. Prove que se A e um conjunto e E ⊂ A×A e uma relacao de equivalencia em A entao A e a uniao disjunta de classes de equivalencia de seus elementos.
3Para a definicao do produto Cartesiano

E. 1.5 Exerccio. Seja o conjunto dos numeros reais ¡ e seja a relacao W ⊂ ¡ × ¡ definida por
W := {(x, y) ∈ ¡ × ¡ tal que x− y ∈ }, (1.18)
onde e o conjunto dos numeros racionais. Prove que W e uma relacao de equivalencia.
• Relacoes de Compatibilidade
Seja P um conjunto. Uma relac˜ ao de compatibilidade em P e um conjunto C ⊂ P × P com as seguintes propriedades:
1. Se γ e γ sao tais que (γ, γ ) ∈ C , entao (γ , γ ) ∈ C .
2. Para todo γ ∈ P vale (γ, γ ) ∈ C .
Para uma dada relacao de compatibilidade C denotamos γ ∼C γ caso (γ, γ ) ∈ C e dizemos que
γ e γ sao C-compatveis. Caso contrario, denotamos γ ∼C γ se (γ, γ ) ∈ C e dizemos que γ e γ sao
C-incompat veis.
Se uma dada relacao C e subentendida, denotamos simplesmente γ ∼ γ caso (γ, γ ) ∈ C e dizemos simplesmente que γ e γ sao compatveis.
Relacoes de compatibilidade sao importantes na Mecanica Estat stica, especialmente nas chamadas expansoes de polmeros e de “clusters”.
Exemplo. Seja X um conjunto nao-vazio e P =
(X) \{∅}, a colecao de todos os subconjuntos nao-vazios de X. Uma relacao de compatibilidade em P e a seguinte: A ∼ B ⇐⇒ A ∩ B = ∅. Verifique.
1.1.2 Relacoes de Ordem
Seja X um conjunto nao-vazio. Uma relacao R ⊂ X × X e dita ser uma relac˜ ao de ordem parcial em X , ou simplesmente uma relac˜ ao de ordem em X , se as seguintes condicoes forem satisfeitas:
1. Para todo a ∈ X tem-se que (a, a) ∈ R.
2. Se (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R entao forcosamente a = b.
3. Se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R entao (a, c) ∈ R.
Se X possui uma ordem parcial R, X e chamado de conjunto parcialmente ordenado por R. Em textos matematicos em lngua inglesa, conjuntos parcialmente ordenados sao frequentemente denominados posets (de “partially ordered sets”). A nocao de conjunto parcialmente ordenado foi introduzida por Hausdorff 5

Exemplo. Seja X um conjunto e

(X ) uma relacao R do seguinte tipo: para A, B ⊂ X tem-se (A, B) ∈ R se A ⊂ B. Como exerccio deixamos ao estudante mostrar que esta e uma relacao de ordem parcial de acordo com a definicao acima. Este exemplo ilustra tambem por que chamar tal relacao de ordem de “parcial”. A razao e que nem todo par (A, B) e elemento de R pois, para dois conjuntos A e B arbitrarios, nem sempre vale que A ⊂ B ou que B ⊂ A (por exemplo se A ∩ B = ∅).
Em funcao da analogia com essa relacao de ordem usual dos numeros reais e costume, dada uma relacao de ordem R qualquer, indicar que (a, b) ∈ R atraves da notacao a b. Por vezes, o s mbolo ≤ e tambem usado, mas tentaremos emprega-lo apenas para denotar a relacao de ordem usual entre numeros reais.
• Relacoes de Ordem Total
Outro conceito importante e o de relacao de ordem total. Uma ordem parcial R em um conjunto X e dita ser uma relac˜ ao de ordem total se para todo a, b ∈ X tem-se que (a, b) ∈ R ou que (b, a) ∈ R. Se X possui uma relacao de ordem total R entao X e dito ser totalmente ordenado ou linearmente ordenado. Assim, se X e um conjunto dotado de uma relacao de ordem parcial, dizemos que um sub-conjunto A ⊂ X e linearmente ordenado se a b ou b a para todo a, b ∈ A.
• Exemplos
Exemplo. Seja ¡ o conjunto de numeros reais e a relacao de ordem (x, y) ∈ R se x − y for um numero negativo ou nulo (ou seja, se x ≤ y). Mostre que essa e uma relacao de ordem total em ¡ .
Contra-exemplo. Seja C um conjunto nao-vazio qualquer. Entao,

(C) nao e linearmente ordenado pois se A ∩B = ∅ nao podemos dizer que A B nem que B A.
E. 1.6 Exerccio. Voce consegue construir uma relacao de ordem em ¡
2 ou em ¡
• Mais Exemplos
Seja o conjunto dos numeros naturais ¡ . Podemos estabelecer em ¡ a relacao de ordem usual onde dizemos que x ≤ y se x − y for um numero negativo ou nulo. Esta relacao e uma relacao de ordem total. O leitor nao deve pensar que essa e a unica relacao de ordem total existente em ¡ . Um outro exemplo e o seguinte.
Vamos estabelecer uma relacao de ordem em ¡ que denotaremos pelo smbolo p−i. Sejam a, b ∈ ¡ . Se a e b forem pares dizemos que a p−i b se a ≤ b. Se a e b forem mpares dizemos que a p−i b se a ≤ b. Se a e par e b e mpar entao dizemos sempre que a p−i b.
E. 1.7 Exerccio. Mostre que a relacao p−i estabelece uma relacao de ordem total em ¡ .
Um exemplo analogo pode ser construdo em ¡
. Vamos estabelecer uma relacao de ordem em ¡

x ≤ y. Se x e y forem irracionais dizemos que x r−i y se x ≤ y. Se x e racional e y e irracional entao dizemos sempre que x r−i y.
E. 1.8 Exerccio. Mostre que a relacao r−i estabelece uma relacao de ordem total em ¡ .
• Ordem Lexicografica
E possvel estabelecer uma relacao de ordem total em ¡
2 da seguinte forma: dizemos que (x1, x2) L
(y1, y2) se x1 < y1 ou se x1 = y1 e x2 ≤ y2. Essa relacao de ordem e denominada relac˜ ao de ordem lexicogr´ afica de ¡
2.
Essa definicao pode ser facilmente generalizada. Seja X um conjunto totalmente ordenado por uma relacao de ordem total X . Entao, X n pode ser totalmente ordenado dizendo-se (x1, . . . , xn) L
(y1, . . . , yn) se houver um j ∈ {1, . . . , n}, tal que xi = yi para todo i < j e x j X y j.
Seja X um conjunto totalmente ordenado por uma relacao de ordem total X e seja Seja X =∞ n=1 X n. Podemos estabelecer em X uma ordem total X, tambem denominada lexicografica, da
seguinte maneira. Sejam m, n ∈ ¡ e p = min{m, n}. Entao, dizemos (x1, . . . , xm) X (y1, . . . , yn) se (x1, . . . , x p) L (y1, . . . , y p) no sentido dado no paragrafo anterior, ou se (x1, . . . , x p) = (y1, . . . , y p), mas m < n.
E. 1.9 Exerccio. Por que essas relacoes de ordem sao denominadas “lexicograficas”? Pense na maneira como palavras (de tamanho arbitrario!) sao ordenadas em um dicionario.
Podemos ainda estender a definicao de ordem lexicografica. Seja X um conjunto totalmente ordenado por uma relacao de ordem total X e seja Y um conjunto totalmente ordenado por uma relacao de ordem total Y . Entao, X Y pode ser totalmente ordenado dizendo-se X Y x L y ∈ X Y se houver um j ∈ Y , tal que x(i) = y(i) para todo i Y j e x( j) X y( j).
Exemplo. Sejam f, g, duas funcoes de ¡ em ¡ . Dizemos que f L g se existir y ∈ ¡ tal que f (x) = g(x) para todo x < y mas f (y) ≤ g(y). Lembrando que o conjunto de todas as funcoes de ¡
em ¡ e ¡
• Conjuntos Dirigidos
Um conjunto I e dito ser um conjunto dirigido (“directed set”) se for dotado de uma relacao de ordem parcial, que denotaremos por “”, e se for dotado da seguinte propriedade: para quaisquer dois elementos a e b de I existe pelo menos um terceiro elemento c ∈ I tal que a c e b c.
Exemplo. ¡ e um conjunto dirigido com a relacao de ordem usual.
Exemplo. ¡ e um conjunto dirigido com a relacao de ordem r−i definida acima.
Exemplo. Seja o conjunto ¡
n, n = 1, 2, . . ., e seja I o conjunto de todos os abertos limitados de ¡
n

Contra-Exemplo. Seja X um conjunto nao-vazio e seja I =
(X ) \ {X }, ou seja, I e a colecao de todos os subconjuntos de X , exceto o proprio X . Podemos ter em I uma relacao de ordem (de inclusao) dizendo que A B se A ⊆ B. Notemos, porem, que I nao e um conjunto dirigido pois para A ∈ I , A = ∅ temos X \ A ∈ I mas nao existe em I nenhum conjunto que contenha A e X \ A simultaneamente como subconjuntos.
Exemplo. Causalidade de Einstein. Seja
4 o espaco-tempo quadri-dimensional de Minkowski e sejam E 0 = (t0, x0, y0, z0) e E 1 = (t1, x1, y1, z1) dois eventos em
4. Dizemos que o evento E 0 precede causalmente o evento E 1, (em notacao simbolica E 0 Einstein E 1), se t0 ≤ t1 e se
c2(t1 − t0)2 − (x1 − x0)2 − (y1 − y0)2 − (z1 − z0)2 ≥ 0 ,
onde c e a velocidade da luz.
E. 1.10 Exerccio. Mostre que Einstein e uma relacao de ordem em
4 e que
• Redes e Sequencias
Seja I um conjunto dirigido com respeito a uma relacao de ordem parcial . Se M e um conjunto nao-vazio, uma funcao f : I → M e denominada uma rede em M baseada no conjunto dirigido I com respeito a ou, simplesmente, uma rede6 em M .
Uma seq¨ uencia em M e uma rede baseada em ¡ , que e um conjunto dirigido com respeito a ordem usual dos naturais, ou seja, e uma funcao f : ¡ → M .
A nocao de rede e importante, por exemplo, no estudo de funcoes cont nuas em espacos topologicos gerais e na definicao da nocao de convergencia (vide Cap tulo 18, pagina 876).
Se f : ¡ → M e uma sequencia em M , os elementos f (n) de sua imagem sao frequentemente denotados por uma notacao com ndices: f n. E tambem comum denotar-se a propria sequencia por {f n, n ∈ ¡ } ou por {f n}n∈ ¡
, que, estritamente falando, representam a imagem de f em M .
• Maximos e Mnimos
Se X e um conjunto dotado de uma relacao de ordem parcial (que denotamos por ) diz-se que um elemento z ∈ X e um m´ aximo de X se x z para todo x ∈ X . Se z e z sao maximos de X entao, por hipotese, valem ambas as relacoes z z e z z, o que implica z = z. Assim, se X possuir um maximo ele e unico, e e denotado por max(X ).
Se A ⊂ X , a relacao de ordem parcial em X induz uma relacao de ordem parcial em A. Com essa relacao, podemos definir max(A), se existir, como o elemento de A tal que a max(A) para todo a ∈ A. Note que, por definicao, max A ∈ A.
Analogamente, um elemento a e dito ser um mnimo de X se a x para todo x ∈ X . Se a e a
sao mnimos de X entao, por hipotese, valem ambas as relacoes a a e a a, o que implica a = a. Assim, se X possuir um mnimo ele e unico, e e denotado por min(X ).

• Elementos Maximais e Minimais
Seja X e um conjunto dotado de uma relacao de ordem parcial (que denotamos por ).
Um elemento z ∈ X e dito ser maximal se nao existir x ∈ X , x = z tal que z x.
Um elemento a ∈ X e dito ser minimal se nao existir x ∈ X , x = a tal que x a.
Os elementos maximais e minimais de um conjunto parcialmente ordenado X , se exitirem, nao sao necessariamente unicos, como mostra o seguinte exemplo.
E. 1.11 Exerccio-Exemplo. Considere no plano ¡
2 o quadrado fechado Q = [0, 1] × [0, 1], ou seja, os elementos de Q sao pares ordenados (x, y) ∈ ¡
2 com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. Estabelecemos em Q uma relacao de ordem (parcial!) da seguinte forma: (x, y) (x, y) se x = x e se y ≤ y. Em palavras, (x, y) (x, y) se ambos os pontos estiverem em uma mesma linha vertical, mas (x, y) estiver mais baixo que (x, y). Cheque que isso e, de fato, uma relacao de ordem, mas que nao e uma ordem total, pois nao se pode comparar pontos que estao em linhas verticais diferentes.
Com essa definicao convenca-se que todos os elementos da forma (x, 1) sao maximais. Porem, se x for diferente de x, nao se pode nem dizer que (x, 1) (x, 1) nem que (x, 1) (x, 1). Igualmente, convenca-se que todos os elementos da forma (x, 0) sao minimais.
Note tambem que para a existencia de elementos maximais e importante que Q contenha pontos na aresta de cima e (com coordenada y = 1), analogamente, para a existencia de elementos minimais e importante que Q contenha pontos aresta de baixo (com coordenada y = 0). Por exemplo, se voce definir a mesma relacao de ordem no quadrado aberto (0, 1) × (0, 1) nao ha mais elementos maximais ou minimais.
Se um conjunto nao-vazio e parcialmente ordenado X possuir um unico elemento maximal, este elemento e denominado o maior elemento de X . Reciprocamente, se um conjunto nao-vazio e parcialmente ordenado X possuir um unico elemento minimal, este elemento e denominado o menor elemento de X .
• Conjuntos Bem-Ordenados
Um conjunto X dotado de uma relacao parcial de ordem e dito ser um conjunto bem-ordenado se todo subconjunto A nao vazio de X tem um elemento mnimo em A.
E. 1.12 Exerccio. Mostre que todo conjunto bem-ordenado segundo uma relacao parcial de ordem e tambem totalmente ordenado segundo a mesma relacao.
E. 1.13 Exerccio. A recproca nao e, entretanto, verdadeira. Mostre que ¡ e totalmente ordenado pela relacao usual de ordem entre numeros reais, mas nao e um conjunto bem-ordenado.
E. 1.14 Exerccio. Mostre que o conjunto dos numeros naturais ¡ e bem-ordenado.

referencia introdutoria. Nesta mesma referencia o estudante interessado encontrara uma demonstracao do seguinte e importante resultado, devido a Zermelo7:
Teorema 1.1 (Teorema do Bom-Ordenamento) Se X e um conjunto n˜ ao-vazio ent˜ ao e possvel encontrar uma relac˜ ao de ordem em X tal que X e bem-ordenado por essa relac˜ ao.
Incidentalmente, o Teorema 1.1 junto com a afirmacao do Exerccio E. 1.12 informam que todo conjunto nao-vazio possui ao menos uma relacao de ordem total.
• Majorantes e Minorantes
Seja X um conjunto dotado de uma ordem parcial denotada por e seja A ⊂ X . Se existe t ∈ X tal que a t para todo a ∈ A dizemos que t e um majorante de A, ou um limitante superior 8 de A.
Analogamente, se existe h ∈ X tal que h a para todo a ∈ A dizemos que h e um minorante de A ou um limitante inferior 9 de A.
• Conjuntos Limitados
Seja X um conjunto dotado de uma ordem parcial denotada por. Um conjunto A ⊂ X que tenha pelo menos um majorante e dito ser um conjunto limitado superiormente. Um conjunto A ⊂ X que tenha pelo menos um minorante e dito ser um conjunto limitado inferiormente.
• Infimo e Supremo
Seja X um conjunto dotado de uma ordem parcial denotada por e seja A ⊂ X .
O mnimo do conjunto de majorantes de A, se existir, e dito ser o supremo de A e e indicado por sup(A). Note que o supremo de A, se existir, e unico, por ser o mnimo de um conjunto. Assim, s ∈ X e dito ser o supremo de A se for um majorante de A e se s t para todo t que seja majorante de A. Note que o supremo de um conjunto A ⊂ X nao e necessariamente um elemento de A, ao contrario do que ocorre com o maximo de A (caso exista).
O maximo do conjunto dos minorantes de A, se existir, e dito ser o nfimo de A e e indicado por inf(A). Note que o nfimo de A, se existir, e unico, por ser o maximo de um conjunto. Assim, i e o nfimo de A se for um minorante de A e se h i para todo h que seja minorante de A. Note que o nfimo de um conjunto A ⊂ X nao e necessariamente um elemento de A, ao contrario do que ocorre com o mnimo de A (caso exista).
E interessante notar o seguinte. Dado um conjunto X dotado de uma ordem parcial poderamos nos perguntar se todo subconjunto limitado superiormente de X possui um supremo ou, analogamente, se todo subconjunto de X limitado inferiormente possui um nfimo. A validade ou nao dessas propriedades depende de X e da relacao de ordem em questao. Por exemplo, para X =
, o conjunto dos racionais
7Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953). 8A expressao “limite superior” e tambem usada na literatura, mas deve ser evitada para nao causar confusao com a
nocao de limite. 9A expressao “limite inferior” e tambem usada na literatura, mas deve ser evitada para nao causar confusao com a
nocao de limite.

com a relacao de ordem usual, verifica-se que a propriedade nao e valida. Tomemos A = {x ∈ , x2 < 2}. Claramente esse conjunto e limitado inferior e superiormente mas nao possui nem supremo nem nfimo (por que?). Para X = ¡ e X ∈ ¡ (com as relacoes de ordem usuais) a propriedade e, porem, valida.
E. 1.15 Exerccio. Tome X = ¡ com a relacao de ordem usual. Mostre que inf((−1, 1)) = −1 e que sup((−1, 1)) = 1. Note que −1 e 1 nao sao elementos de (−1, 1).
E. 1.16 Exerccio. Suponha que A e B sejam dois sub-conjuntos de um conjunto X dotado de uma ordem total e que inf(A) e inf(B) existam. Mostre entao que
inf(A ∪B) = min{inf(A), inf(B)}.

E. 1.17 Exerccio. Suponha que A e B sejam dois sub-conjuntos de um conjunto X dotado de uma ordem total e que sup(A) e sup(B) existam. Mostre entao que
sup(A ∪ B) = max{sup(A), sup(B)}.

• O Lema de Zorn
Uma das afirmativas fundamentais de toda a Matematica usual e o seguinte resultado, conhecido como lema de Zorn, em homenagem a um dos seus formuladores10:
Lema 1.1 (Lema de Kuratowski-Zorn) Seja X um conjunto n˜ ao-vazio e uma relac˜ ao de ordem parcial em X . Suponha que todo sub-conjunto linearmente ordenado de X tenha pelo menos um majorante em X . Ent˜ ao, todo sub-conjunto linearmente ordenado de X tem algum majorante em X que e tambem um elemento maximal de X . Implicitamente isso est´ a dizendo que, sob as hip´ oteses, X possui ao menos um elemento maximal.
Para uma demonstracao do Lema de Zorn, vide, por exemplo, [50].
E. 1.18 Exerccio. Verifique que se X = [0, 1] e ordenado pela relacao de ordem usual todo subconjunto de X tem um majorante em X e que 1 e um desses possveis majorantes. Verifique que 1 e um elemento maximal de X .
E. 1.19 Exerccio. Verifique que se X = [0, 1) e linearmente ordenado pela relacao de ordem usual e nem todo sub-conjunto de X tem um majorante em X (tente, por exemplo, sub-conjuntos do tipo [a, 1) com 0 ≤ a < 1). Verifique que X nao tem um elemento maximal.

E. 1.20 Exerccio. Cheque se as hipoteses do Lema de Zorn sao satisfeitas ou nao nos quadrados abertor e fechados do Exemplo E. 1.11, pagina 33.
O Lema de Zorn e “equivalente” ao chamado Axioma da Escolha (vide pagina 27), ou seja, admitir um como verdadeiro leva a demonstrar a validade do segundo. Essa equivalencia nao sera provada aqui (vide, por exemplo, [50]). Toda a Matematica usual e fundada na aceitacao de um ou de outro como verdadeiro e, em princpio, uma nova Matematica pode ser construda (com resultados distintos dos da Matematica usual) se esses dois axiomas forem substitudos por um terceiro inequivalente. A relevancia de tais Matematicas em Fsica e uma questao em aberto.
1.1.3 Cardinalidade
• A Nocao de Cardinalidade de Conjuntos
Seja K uma colecao de conjuntos. Dados dois conjuntos A e B da colecao K, dizemos que A e B sao equivalentes se houver uma funcao bijetora de A sobre B, ou seja, se houver uma funcao com dom nio igual a A e imagem igual a B tal que a cada elemento b ∈ B existe um unico elemento a ∈ A com f (a) = b.
E. 1.21 Exerccio. Mostre que essa e uma relacao de equivalencia entre os conjuntos da colecao K.
Para dois conjuntos que sao equivalentes no sentido acima diz-se tambem que os mesmos tem a mesma cardinalidade. Ou seja, dois conjuntos tem a mesma cardinalidade se e somente se houver uma funcao bijetora entre eles.
Um conjunto A e dito ter n elementos (para um numero natural n) se for equivalente ao conjunto {1, . . . , n}.
Nota . Esta ultima definicao pressupoe que o conceito de numero natural ja seja conhecido. Outra construcao mais simples em termos de
pressupostos e feita de modo informal como segue: diz-se que um conjunto tem um elemento se for equivalente ao conjunto {∅}; que um
conjunto tem dois elementos se for equivalente ao conjunto {∅, {∅}}; que tem tres elementos se for equivalente ao conjunto {∅, {∅, {∅}}} e assim
por diante. Em verdade essa construcao permite produzir uma definic˜ ao do conceito de numero natural: o numero “um” e, grosseiramente
falando, o nome dado a classe de equivalencia formada pelos conjuntos equivalentes ao conjunto {∅}; o numero “dois” e o nome dado a classe
de equivalencia do conjunto {∅, {∅}}; o numero “tres” e nome dado a classe de equivalencia do conjunto {∅, {∅, {∅}}} e assim por diante.
Alias, o numero “zero” e o nome dado a classe de equivalencia de ∅. O numeros naturais seriam entao o conjunto de todas as classes de
equivalencia constru das dessa forma. Esta definicao11 do conceito de numero natural, devida a von Neumann12, pressupoe apenas conhecidos
conceitos primitivos como os de conjuntos, classes de equivalencia e de conjunto vazio. O leitor podera encontrar uma discussao extensa sobre
a definicao de numeros naturais em [119, 89, 50].
Diz-se que um conjunto A e finito se tiver a cardinalidade de {1, . . . , n} para algum n ∈ ¡ . A e dito ser infinito se nao for finito.
E. 1.22 Exerccio. Seja A um conjunto finito com n elementos. Mostre que
(A) tem 2n elementos.
11J. von Neumann “Zur Einfuhrung transfiniten Zahlen”, Acta Szeged 1 (1923) 199-208. 12Janos von Neumann (1903-1957). Von Neumann tambem adotou os nomes de Johann von Neumann e John von
Neumann.

• Conjuntos Contaveis
Um conjunto A e dito ser contavel se for finito ou se tiver a cardinalidade do conjunto dos numeros naturais, ou seja, se for finito ou se existir uma funcao bijetora f : ¡ → A cujo domnio e ¡ e cuja imagem e todo A.
Nota . Por vezes conjuntos contaveis que nao sao finitos sao chamados de conjuntos enumeraveis. Nao ha, infelizmente, unidade nessa nomenclatura mas emprega-la-emos aqui se vier a ser necessario.
Vamos agora provar alguns teoremas fundamentais sobre conjuntos contaveis (cuja importancia, apesar da aparente simplicidade dos enunciados, nao pode ser subestimada pois seu alcance estende-se por toda a Matematica, em particular, por muito do que veremos no restante do curso).
Precisamos da seguinte proposicao:
Proposicao 1.5 Um conjunto e cont´ avel se e somente se for equivalente a um subconjunto de ¡ .
Prova. Por definicao todo conjunto contavel A (finito ou nao) e equivalente a algum subconjunto de ¡
(no pior dos casos ao proprio ¡ ).
Provemos entao a recproca. Seja A equivalente a um subconjunto Z de ¡ . Se Z for finito A tambem o sera e portanto contavel. Suponhamos entao que Z nao e finito. Vamos construir uma funcao bijetora F : ¡ → Z . A mesma e definida da seguinte forma
F (1) = min Z,
F (n) = min{Z \ {F (1), F (2), . . . , F (n− 1)}} para n = 2, 3, . . . .
E facil ver que F e bijetora e que sua imagem e Z (faca isso). Assim, Z e enumeravel e, portanto, A tambem o e.
Esta proposicao tem uma consequencia simples:
Proposicao 1.6 Se A e um conjunto cont´ avel e B ⊂ A ent˜ ao B e cont avel.
Prova. Se A e contavel e B ⊂ A entao B e equivalente a um subconjunto de ¡ e, portanto, pela proposicao anterior, B e contavel.
Chegamos um importante teorema:
Teorema 1.2 O produto Cartesiano ¡ × ¡ e cont avel.

somente um par (a, b) de numeros naturais tais que 2a3b = z (por que?). Assim, fica provado pela Proposicao 1.5 que ¡ × ¡ e contavel.
Note que, como ¡ × ¡ nao e finito (por que?) e um conjunto enumeravel.
Esse ultimo teorema tem uma consequencia de grande importancia:
Teorema 1.3 O conjunto + dos n´ umeros racionais positivos e um conjunto cont´ avel.
Prova. Todo racional positivo e da forma p/q onde p e q ∈ ¡ sao irredutveis ou primos entre si (ou seja, nao ha “cancelamentos” que permitam escrever p/q = a/b com a < p e b < q). Assim, ha uma correspondencia um-a-um entre + e o subconjunto de ¡ × ¡ formado por todos os pares ( p, q) onde p e q sao primos entre si. Como ¡ × ¡ e contavel, a Proposicao 1.6 diz entao que + e tambem contavel.
E. 1.23 Exerccio. Prove que o conjunto dos numeros inteiros e o conjunto dos numeros racionais
sao conjuntos contaveis.
Um fato tambem importante e que ha conjuntos de numeros que nao sao contaveis. O exemplo mais importante e o dos numeros reais.
Teorema 1.4 O conjunto dos n´ umeros reais n˜ ao e cont avel.
Prova. Para provar isso basta mostrar que ha um subconjunto de ¡ que nao e contavel. Considere o conjunto U de todos os numeros reais do intervalo [0, 1) tais que apenas os dgitos 0 ou 1 aparecem em sua representacao decimal. Por exemplo, numeros como 0, 001101 ou 0, 1 ou 0 ou 0, 1011 ou 1/9 = 0, 11111 . . . sao elementos de U . De modo mais preciso, U e o subconjunto do intervalo [0, 1) formado por todos os numeros u que podem pode ser escritos da forma
u =
dn(u)
10n ,
onde dn(u) ∈ {0, 1} pa

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