curso: 6to m materia: elementos de máquinas ii docente

Elementos de Maquinas- Engranajes Helicoidales

Curso: 6to M Materia: Elementos de Máquinas IIDocente: Valerio Antonio SantinGmail: [email protected]

Unidad Nº3: Ruedas dentadas Helicoidales. funcionamiento, Pasos y módulos de la hélice del diente. Relación de transmisión, Calculo de la resistencia, formula de Lewis. Pérdidas y rendimiento.

Ruedas cónicas de dientes rectoslos dientes de la rueda y del piñón, Cálculo de los dientes según Lewis, Potencia que trasmite una rueda dentada cónica. Rendimiento.

Tornillo sin fin y Rueda helicoidaldel tornillo y la rueda, Construcción, cálculo de la p

resistencia de los dientes de la rueda, Determinación Gráfica de

Ruedas dentadas de dientes helicoidales:es la imposibilidad de obtener una línea de engrane de una suficiente longitud que permita estar en contacto más de un diente a la vez y así lograr transmitir un mayor esfuerzo, libre de choques entre los dientes y con una marcha mas silenciosa. Ventajas de los engranajes helicoidales:

a) Transmisión de un mayor b) Mayor resistencia en los dientes.c) Se logran piñones con un número más reducido de dientes.d) Se logran relaciones de transmisión más elevadas.e) Un funcionamiento continuo, progresivo y silencioso.f) No se requiere de maquinas especiales, solo inclinar

divisor. g) Debido a que se encuentran más de un diente en contacto se pueden lograr velocidades

de rotación más elevadas.Desventajas de los engranajes helicoidales:

a) El esfuerzo que se transmite se descompone en dos direcciones, una en forma radial y otra en forma axial, incrementando esta ultima un esfuerzo considerable sobre los cojinetes o rodamientos de los extremos del eje.

b) Las superficies de los flancos de los dientes se rozan fuertemente por tener las cargas más elevadas, lo que aumenta considerablemente el desgaste y por consiguiente las perdidas por rozamiento.

c) Debido al rozamiento y generación del calor debemos proveer una mayor lubricación, lo que a veces lleva a cajas complicadas y en otras ocasiones que sean

d) Para combatir el mayor desgaste debemos usarClasificación de los engranajes helicoidales:Tenemos tres clases de engranajes helicoidales.

a) Engranajes a ejes paralelos. Cuando el ángulo entre ellos es 0º

b) Engranajes a ejes cruzados Cuando el ángulo entre ellos está en más de 0º y menos de 90ª

c) Engranajes a ejes normales entre síángulo entre ellos es 90º

Engranajes Helicoidales - Conicos y Tornillo sin fin y Rueda helicoidal.

Elementos de Máquinas II Valerio Antonio Santin [email protected]

Unidad Nº3: Ruedas dentadas Helicoidales. Clasificación, principio de funcionamiento, Pasos y módulos de la hélice del diente. Relación de transmisión, Calculo de la resistencia, formula de Lewis. Pérdidas y rendimiento.

Ruedas cónicas de dientes rectos Conos primitivos y complementarios, Dimensiones de rueda y del piñón, Cálculo de los dientes según Lewis, Potencia que trasmite

una rueda dentada cónica. Rendimiento.

Tornillo sin fin y Rueda helicoidal clasificación, Relación de transmisión, elementos del tornillo y la rueda, Construcción, cálculo de la potencia a trasmitir, Cálculo de la

resistencia de los dientes de la rueda, Determinación Gráfica de .-

Ruedas dentadas de dientes helicoidales:El inconveniente en las ruedas dentadas rectas es la imposibilidad de obtener una línea de engrane de una

ciente longitud que permita estar en contacto más de un diente a la vez y así lograr transmitir un mayor esfuerzo, libre de choques entre los dientes y con una marcha mas silenciosa. Ventajas de los engranajes helicoidales:

Transmisión de un mayor esfuerzo. Mayor resistencia en los dientes. Se logran piñones con un número más reducido de dientes. Se logran relaciones de transmisión más elevadas. Un funcionamiento continuo, progresivo y silencioso. No se requiere de maquinas especiales, solo inclinar el carro con el material y el plato

Debido a que se encuentran más de un diente en contacto se pueden lograr velocidades de rotación más elevadas.

Desventajas de los engranajes helicoidales: El esfuerzo que se transmite se descompone en

ecciones, una en forma radial y otra en forma axial, incrementando esta ultima un esfuerzo considerable sobre los cojinetes o rodamientos de los extremos del eje. Las superficies de los flancos de los dientes se rozan fuertemente por tener las cargas más levadas, lo que aumenta considerablemente el

desgaste y por consiguiente las perdidas por

Debido al rozamiento y generación del calor debemos proveer una mayor lubricación, lo que a veces lleva a cajas complicadas y en otras ocasiones que sean

l mayor desgaste debemos usar materiales o aleaciones más costosas.Clasificación de los engranajes helicoidales: Tenemos tres clases de engranajes helicoidales.

Engranajes a ejes . Cuando el ángulo entre

ellos es 0º Engranajes a ejes

Cuando el ángulo entre ellos está en más de 0º y menos

Engranajes a ejes normales entre sí. Cuando el ángulo entre ellos es 90º

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Clasificación, principio de funcionamiento, Pasos y módulos de la hélice del diente. Relación de transmisión, Calculo de

Conos primitivos y complementarios, Dimensiones de rueda y del piñón, Cálculo de los dientes según Lewis, Potencia que trasmite

clasificación, Relación de transmisión, elementos otencia a trasmitir, Cálculo de la

El inconveniente en las ruedas dentadas rectas

el carro con el material y el plato

Debido a que se encuentran más de un diente en contacto se pueden lograr velocidades

Debido al rozamiento y generación del calor debemos proveer una mayor lubricación, lo que a veces lleva a cajas complicadas y en otras ocasiones que sean herméticas.

materiales o aleaciones más costosas.

mailto:[email protected]


En la figura tenemos representados aparte de los componentes normales de un diente como el adendun y el dedendun, el diámetro exterior, el diámetro de la circunferencia primitiva, el de base etc. y donde vemos pasos:

el paso axial- Pa el paso normal - Pn el paso circular - Pc

que ya veremos cómo se calculan.Como se ve en la figura siguienttenemos como se relacionan entre si estos pasos formando un triangulodonde el ángulo que los relaciona es el ángulo que es el ángulo de inclinación del diente y de la hélice del diente (como si fuese la de una rosca).

En la figura 81 tenemos representado el axial) y el pn (paso normal) de todo el engranaje; en la zona central cada triángulo representa la relación entre dos dientes y la sumatoria de todos ellos nos da los totales.Principio de funcionamiento de los engranajes helicoidales:De acuerdo a la figura 23 tenemos dos engranajes helicoidales donde los vectores V1 y V2 son las velocidades periféricas de cada rueda y con ejes que se cruzanformado por los ejes X-X del engranaje engranaje B. Por lo que ya vimos las hélices de los dientes de las ruedas para que exista el movimiento deben tener en el punto de contacto una tangente común, y esta es la recta nos determina los ángulos α


En la figura tenemos representados aparte de los componentes normales de

endun y el dedendun, el diámetro exterior, el diámetro de la circunferencia primitiva, el de base etc. y donde vemos tres

que ya veremos cómo se calculan. Como se ve en la figura siguiente tenemos como se relacionan entre si

formando un triangulo y donde el ángulo que los relaciona es el

inclinación del diente

(como si fuese la de una rosca).

tenemos representado el pc (paso circular o circunferencial), el (paso normal) de todo el engranaje; en la zona

central cada triángulo representa la relación entre dos dientes y la sumatoria de todos ellos nos da los totales.

ncipio de funcionamiento de los engranajes helicoidales: tenemos dos engranajes helicoidales

son las velocidades periféricas de cada ejes que se cruzan con un ángulo cualquiera ϕ

X del engranaje A y el eje Y-Y del Por lo que ya vimos las hélices de los dientes de las

ruedas para que exista el movimiento deben tener en el punto de contacto una tangente común, y esta es la recta M-N. Esta recta

α1 y α2 que son los ángulos de inclinación de las hélices de cada rueda. Para saber el sentido de la hélice nos situamos de frente al cilindro y si la inclinación va de la izquierda a la derecha decimos que la hélice es cambio la inclinación es de derecha a izquierda la hélice es izquierda. En consecuencia siempre engrane una rueda con hélice rueda con hélice izquierdacomo se puede ver en la figura 24.

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(paso circular o circunferencial), el pa (paso

va de la izquierda a la derecha decimos que la hélice es derecha, si en

inclinación es de derecha a izquierda la

tendremos en un rueda con hélice derecha y la otra

como se puede ver en

Elementos de Maquinas- Engranajes Helicoidales - Conicos y Tornillo sin fin y Rueda helicoidal. Página 3

Aquí tenemos dos ruedas donde el ángulo � de inclinación de la hélice es el mismo para ambas ruedas, porque es el caso de ejes paralelos. En la figura 24 además podemos distinguir:

paso normal pn

paso circular o circunferencial pc

paso axial pa de la hélice.

a) Paso circular o circunferencial de la hélice: Si trazamos en una recta el desarrollo del diámetro multiplicado por π tendremos representado el paso circular o circunferencial o sea :

b) Paso axial de la hélice: es la altura que alcanza la hélice paralelamente al eje de la

rueda y su valor es: tgβ=��

��=

��

�� → (I) siendo β el complementario de

Otra forma seria en función del ángulo o sea:

Cotg = ��

��=

��

��→ (II)

c) Paso normal de la hélice: es la altura del triangulo que se forma entre pc y el pa y su valor surge de la expresión:

Cos = ��

��luego: (III)

Así como tenemos tres pasos tendremos tres módulos, entonces a la expresión del pn (III) la

dividimos miembro a miembro por π y nos queda:��

�=

��

�cos (IV) pero los cocientes de los

pasos por nos dan los módulos, luego nos queda.

Reemplazando en la expresión (IV): Modulo normal:

y haciendo pasaje de términos: Modulo circunferencial:

y por analogía si dividimos pa(II) por π tendremos: ��

�=

��

�cotg

Modulo axial: por la expresión (I)

Las otras diferencias en las dimensiones de la rueda dentada son: Dividiendo el pc total por el nº de dientes Z que tiene el engranaje obtenemos el pc entre los dientes.

Luego: y despejando Dp obtenemos:

Para el diámetro exterior:

Relación de transmisión en los engranajes helicoidales:

Recordemos que en engranajes de ejes paralelos de dientes rectos tenemos:

i = ��

�� =

��

�� =

��

��(a)

En las ruedas de dientes helicoidales el paso es distinto que en las de dientes rectos, aquí

es deduciéndolo de la expresión: pn= pc cos → pc = ��

��

por lo tanto en las ruedas dentadas rectas tendremos que el valor de: Z = ��

�=

��

�

pa = pc cotg

pn= pccos

pc = π D

Mn = Mc cos

Mc= ��

��

Ma = Mc cotg Ma = Mc .tg β

pc = ��

� Dp =

��

� Z → Dp = Mc Z → Dp =

��

��

De = Dp + 2 Mn = Z . Mc + 2 Mn =��

+ 2 Mn = Mn (�

��+ 2 )

��

�= Mn

��

�= Mc

pa= pc tgβ


en las ruedas dentadas helicoidales es: Z1 = ��

��y Z2 =

��

��

si hacemos los cocientes Z2/Z1 se nos simplifican los 2, los π y los pn luego la expresión (a )

nos queda:

i = ��

�� =

��

�� =

��

��o su igual i =

��

�� =

��

�� =

��

��

Los valores de α suelen ser 10º - 15º - 20º y 26º35´

Calculo de la resistencia de los dientes en ruedas helicoidales: Se pueden emplear las mismas ecuaciones dadas para los engranajes de dientes rectos:

p =��

��

�(aquí p esta en cm) M = 14,7�

��

��

�(mm) M = 12,2�

��

��

�(mm)

o bien P = b .p .c de la que se derivan: p = 10��

��

�y M =

�

��

y la formula de Lewis y sus derivadas.

El modulo así determinado es el modulo normal y conocido este se calculara el circular y luego todas las demás dimensiones.

Pero el verdadero Mn se determina tomando en cuenta en el cálculo un número de dientes

que no esel real sino que se toma uno llamado virtual:

Zv =�

��según Lewis tomamos un Zv de 50 d

Luego si en la expresión del Dp reemplazamos Z por Zv y despejamos Mn nos queda:

Mn = ��

��

Como los engranajes helicoidales trasmiten un 25 % más de potencia que los rectos la

expresión de Lewis nos queda: P = 1,25 Mnb k y

Si el valor de b para las ruedas rectases b = 10 M, aquí en los helicoidales es: b = 16 Mn,

entonces la expresión de Lewis queda:

P = 1,25 Mnb k y = 1,25 Mn16 Mn k y = 20 ��k y = P

Despejando Mn2 =

�

�� →→ Mn =�

�

�� = �

�

��

�

� = X �

�

� = Mn

Siendo x = 0,375 para� = 14º �

� o 15º

X = 0,355 para� = 20º (para dientes de altura normal) x = 0,325 para�= 20º (dientes especiales de altura reducida)

el valor de b lo podemos despejar de la expresión P = 1,25 Mnb k y por lo tanto:

y el de la potencia: N será: (a)

y el valor del modulo en función de la potencia:

Mn =��(��,��)

��para X =14 ½º a 15º

Ncv =(��)�

��

b = �

�,��

P = M b k y


Mn =��(��,��

��

Mn =��(��,��

��

Finalmente de (a) obtenemos el valor de

Rendimiento de las ruedas helicoidales: que influyen en el rendimiento, y que son: Perdidas por rozamiento entre los dientes:tenemos la expresión:

si en esta expresión reemplazamos los valores de

de p por su componente normal

rueda motora, nos queda: Qr=

Perdidas por deslizamiento de los dientes Perdidas por empuje axial de los dientes sobre los apoyos:

rozamiento ρ y su valor es: Q

ruedas motora y conducida respectivamente.

Luego la pérdida total es:

y finalmente: η =1 -��

�

Ruedas dentadas cónicas:

Los engranajes

Qt = Qr + Qd + Qa

Q = P


��) para X = 20º altura normal

��)para X = 20º altura reducida

obtenemos el valor de b en función de la potencia:

Rendimiento de las ruedas helicoidales: En las ruedas helicoidales existen varias causas que influyen en el rendimiento, y que son:

Perdidas por rozamiento entre los dientes: En las ruedas dentadas de dientes rectos

en esta expresión reemplazamos los valores de Z1 y Z2 por los valores de

por su componente normal�

�� siendo�1 el ángulo de inclinación de los dientes de la

�

��µ π (

�

��+

�

��) =

�

��µ π (

��

��

Perdidas por deslizamiento de los dientes: designada con Qd y suele

Perdidas por empuje axial de los dientes sobre los apoyos: está en función del ángulo de

Qa=��.��(��+�)

��.��(��–�)– 1 siendo�1 y�

respectivamente.

Los engranaj

Qt = Qr + Qd + Qa

Qr= �

��µ π (

��

��+

��

��)

Q = P µ π (�

��+

�

��)

b

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helicoidales existen varias causas

En las ruedas dentadas de dientes rectos

por los valores de�� y ��y el valor

el ángulo de inclinación de los dientes de la

+��

��

) =

valer de 15 a 20%.

está en función del ángulo de

2 los ángulos de las

b =��(��)

(��)�


cónicos de dientes rectos frecuentemente empleados en la construcción de máquinas, sirven para transmitir el movimiento entre dos ejes coplanares no paralelos. Si imaginamos dos conos donde sus generatrices sean tangentes entre sí, si uno gira alrededor de sus respectivo eje arrastra al otro por fricción, y si además necesitamos transmitir una potencia debemos dar a esos

conos dientes que engranen entre sí. En la figura 25 tenemos los conos tangentes AOB y BOC a los que denominaremos primitivos y sobre los cuales están dispuestos los dientes del engranaje, llamando cabeza

del diente a la parte por encima del cono primitivo y raíz del diente a la parte por debajo del mismo. Las generatrices de los conos primitivos y las de los dientes convergen en el punto de intersección de los ejes, presentado por ello los dientes la forma de pirámides truncas y del lado opuesto los conos ABE y BCF a los que llamaremos conos complementarios. A

Casos que pueden presentarse: Todos los casos dependen del valor del ángulo ϕ, si este vale menos de 90º(figura 26), igual a 90º (figura 25) o mayor de 90º (figura 27) y el caso

de la figura 28 donde tenemos ϕ˂ 90º y la corona con dentado interior. Y en todos los casos como obtener el valor de los ángulos. Dimensiones del diente: Como se ve en la figura 29 los dientes tienen una sección variable y convergente al punto de cruce de los ejes de la rueda con el piñón y el cálculo de las dimensiones está referido a la sección máxima exterior, mientras que el cálculo de la resistencia de los dientes se lo refiere a una sección media tomando como base para esa sección un módulo medio Mm al que le corresponde un paso medio pm. Las expresiones de cálculo para estos parámetros son:

Mm= 12,2��

��

�(mm)pm = 10 �

��

��

�(cm)

En la figura 30 tenemos representado el espesor

e =�

�del diente sobre el diámetro exterior del

mismo, y aquí le corresponde el modulo exterior cuyo valor es:

M =�

�

Para cada caso es necesario calcular las dimensiones del par de engranajes, veamos los casos más sencillos: Caso a):


dos ruedas cónicas iguales. (fig. 31) ϕ = 90º y el ángulo del cono primitivo A = α = 45º

Modulo: M=�

�

Paso del diente:…………….…….p = π . M

Altura de la cabeza:….….………a = M

Altura de la raíz:………..……….d = 1,166 M

Altura del diente:……...h = a + d = 2,166 M

Diámetro primitivo:…..............Dp = Z . M

Longitud del diente:…………….L = 8a 10 M

Longitud de la generatriz:…… E = ��

��

Angulo de la cabeza:…… .…tg B =�

�

Angulo de la raíz…………….tg C = 1,166�

�

Angulo……… …………………..I = A - C

Angulo………………………......O = A + B

Distancia……. ………………....F =��2– M. senA

Distancia………………………...G = F – (L cosθ)

Distancia……………………..… U = F - G

Distancia ……………………..…R = L senO

Distancia…………… ………. W = a senA

Distancia…… …………………. Q = d senA


Caso b: (fig. 32) dos ruedas cónicas desiguales ϕ = 90º y el ángulo A = α = 45º Aquí tenemos dos longitudes distintas de las generatrices y distintas las tangentes de B y C,

luego tendremos dimensiones para el piñón y para la rueda.

tgAp = ��

�� →→ Ap = arc tg

��

��tg B =

�

� y tg C =

�

�

Long. Generatriz del piñón: E= ��

��Long. Generatriz de la rueda: E =

��

��


Calculo de la resistencia de los dientes de modulo métrico, según LEWIS: En este sistema de cálculo valen todas las consideraciones de las ruedas cilíndricas rectas y

helicoidales, de modo que la velocidad se toma sobre la circunferencia primitiva máxima.

El coeficiente de forma Y se lo toma para un Zv = 34 dientes.

Siendo: Zv = Z .cos A

En la figura 36 podemos ver que A es el ángulo que forma la generatriz E con el eje de simetría del engranaje. Y además vemos la longitud L del diente.

Fuerza transmisible en un par de ruedas conicas: P = M .L .y .Kcel valor de y sale de la tabla X

El valor de Kc (coeficiente de trabajo): Kc = k ��

�

Y L suele valer 6,5 M = 0,3 E

Con estos valores llegamos a la ecuación: P = 4,5 M2 k y el valor de k de la tabla XI

Determinación del modulo de ruedas cónicas en función de P: Con la expresión anterior y un valor de Y para un Zv de 34 dientes llegamos a la expresión:

M = 0,75 ��

�

Determinación de la potencia transmitida en ruedas cónicas: De acuerdo a los valores que venimos utilizando se tiene:

N cv = M L y k�−��

. �

��,��

Y adoptando el valor de L = 0,3 E se tiene: N cv = M y k �

��,��

Determinación del modulo en función de N: Reemplazando en la expresión de la potencia para L = 6,5 M y L = 0,3 E, un Zv de 34 dientes, un ángulo A = 45º, un ángulo de presiones de 20º y altura del diente normal llegamos a:

M = ��(��)

��siendo v la velocidad periférica en m/min sobre la primitiva.

Rendimiento de los engranajes cónicos: De la figura 37 tenemos los ángulos complementarios �y �y donde sus cosenos son:

Cos�:��

��´ (Δ2) cos� :

��

��´ (Δ4)

Despejando tenemos:

�� = ��. ��´

�� = ��. ��´

A estas ruedas cónicas serán Z1 y Z2y sus

virtuales��´ y��

´ ; y debe verificarse la relación de

transmisión entre el real y su virtual de manera

que podemos poner los cosenos de los ángulos de

la siguiente manera:

Cos� ∶��

��´(a) cos�:

��

��´ (b)

Despejando tenemos:

�� = ��. ��´ → → ��

´ = ��

�� = �� . ��

´ → → ��´ =

��

��


Los ángulos �y�los podemos obtener por medio de sus tangentes o sea

tg�= ��

��(Δ

Recordando que la expresión de

Reemplazando por los virtuales nos queda:

Y si a su vez reemplazamos por las expresiones (a) y (b) obtenemos una tercera expresión que es:

Y como siempre la expresión del rendimiento es

Tornillo sin fin y Rueda helicoidalSistema utilizado cuando se necesitan transmisiones con ejes que se cruzan, con reducción de la velocidadClasificación:

a) Tornillo sin fin y rueda helicoidal, ambos cilíndricos.b) Tornillo sin c) Tornillo sin fin y rueda ambos de perfil globoide.

a:Tornillo sin fin y rueda helicoidal, ambos cilíndricosfigura: 38 a y b ambos es cilíndrico de manera que todo el perfil del diente.

b: Tornillo sin fin cilíndrico y rueda de perfil globoideFiguras 39 a uso más frecuente y como puede verse en las figuras la rueda cubren todo el diente del tornillo o sea que hay todo el largo del diente y además con varios dientes.

c:Tornillo sin fin y rueda ambos de perfil globoidediferencia con el anterior es que contacto no se realiza en uno o dos dientes a la vezestar en superficie del diente contacto tornillo.

Q = P. µ .


los podemos obtener por medio de sus tangentes o sea

Δ1) tg�= ��

��(Δ3)

Recordando que la expresión de Q es: Q = P. µ . π (�

�� +

�

��)

Reemplazando por los virtuales nos queda:

Q = P. µ .π (�

��´ +

�

��´ )= P. µ .π (

��

��

+��

Y si a su vez reemplazamos por las expresiones (a) y (b) obtenemos una tercera expresión

Y como siempre la expresión del rendimiento es: ƞ = 1 –��

sin fin y Rueda helicoidal Sistema utilizado cuando se necesitan transmisiones con ejes que se cruzan, con marcha silenciosa y con una fuerte reducción de la velocidad.-

Tornillo sin fin y rueda helicoidal, ambos cilíndricos.Tornillo sin fin cilíndrico y rueda de perfil globoide.Tornillo sin fin y rueda ambos de perfil globoide.

a:Tornillo sin fin y rueda helicoidal, ambos cilíndricosb Como se ve en las figuras el perfil exterior de

ambos es cilíndrico de manera que no hay un contacto en todo el perfil del diente.

Tornillo sin fin cilíndrico y rueda de perfil globoide. Figuras 39 a y b estos son los de uso más frecuente y como puede verse en las figuras los dientes de la rueda cubren todo el diente del

o sea que hay contacto en todo el largo del diente y además con varios dientes.

Tornillo sin fin y rueda ambos de perfil globoide. Figuras 40 a y b la diferencia con el anterior es que el contacto no se realiza en uno o dos dientes a la vez sino que aquí aparte de estar en contacto con toda la superficie del diente , también hay contacto en todos los dientes del tornillo.

Q = P. µ . π (��

�� +��

��)

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los podemos obtener por medio de sus tangentes o sea:

��

)

Y si a su vez reemplazamos por las expresiones (a) y (b) obtenemos una tercera expresión

Sistema utilizado cuando se necesitan transmisiones con fuerte

Tornillo sin fin y rueda helicoidal, ambos cilíndricos. fin cilíndrico y rueda de perfil globoide.

a:Tornillo sin fin y rueda helicoidal, ambos cilíndricos: Como se ve en las figuras el perfil exterior de

ay un contacto en


Relación de transmisión:

pat el paso axial del tornillo entre los filetes. m el número de filetes por paso del tornillo.

Si el tornillo es de un filete ( m = 1) a cada vuelta del mismo, un punto que se marque sobre él se desplazará en este caso un paso y habrá hecho girar a la rueda un ángulo correspondiente a un diente. Si fuese de dos filetes el paso podría ser de dos vueltas todo depende del paso de la hélice del tornillo y la rueda girara un ángulo correspondiente a dos dientes y así sucesivamente.

El producto de ambos nos dará el paso axial de la hélice del tornillo, que se designa con

h, luego: h = m .pat

Y si multiplicamos este valor de h por las rpm del tornillo nt dividimos por 60 tendremos la

velocidad de traslación del tornillo vt sobre su primitiva, o sea:

vt = �.��.��

��

para determinar esta velocidad de traslación sobre la primitiva de la rueda vR debemos multiplicar su perímetro por sus rpm��y dividido 60, luego:

vR =��.�.��

��

pero ya sabemos que sobre las primitivas estas dos velocidades deben ser iguales vt= vR

sino los dientes se superpondrían o se separarían, entonces:

�.��.��

��=

��.�.��

��y simplificando los 60

�. ��.�� = ��. �. ��

�.�� = ��.�.��

��

Pero��.��

= Z por lo que la igualdad nos queda:

�.�� = �. ��

Luego la relación i será:

En la figura 41 tenemos dos tipos cualesquiera de transmisión, el caso A cuando los ejes están a 90º, de manera que la inclinación del filete de la rueda tiene la misma que la del tornillo. y el caso B cuando los ejes se cruzan con un ángulo diferente a 90º, aquí los ángulos de las hélices pueden ser cualesquiera, con la condición que su suma sea el ángulo axial, en este caso 45º.- En la figura 42a tenemos representados:

a) Paso circunferencial: pc es el paso medido sobre la circunferencia primitiva tanto para la rueda como para el tornillo.

b) Paso de la hélice: h es la distancia entre dos espiras consecutivas, si el tornillo es de un filete será: h = ��si en cambio tiene m filetes será h = m .��como ya se dijo anteriormente.

En la figura 42b la relación entre los diámetros primitivos de la corona y el tornillo con respecto a los pasos de las respectivas hélices y los obtenemos de la siguiente manera:

i = �

� =

��

��


1ºSe comienza por trazar una horizontal de valor igual al diámetro primitivo de la rueda. 2º por sus extremos trazamos dos perpendiculares 3ºpor uno de sus extremos trazamos con el ángulo de presión�una línea hasta que corte a la vertical trazada en el extremo opuesto. 4ºel valor del segmento obtenido representa el paso de la hélice de la corona o rueda. 5ºSobre la otra vertical marcamos el diámetro del tornillo y por su extremo una horizontal hasta que corte la recta con el ángulo �y obtenemos el paso de la hélice del tornillo.

En la figura 43 tenemos la relación entre el angulo de la hélice del tornillo de m = 4 y los pasos: c) Paso normal: pn Su valor es común a la rueda y al tornillo y se mide perpendicular al triangulo formado entre el paso circunferencial pc y el paso axial de la hélice h d) Paso oblicuo o paso axial en el

tornillo: �� En el tornillo sin fin se denomina con �el ángulo de inclinación de la hélice correspondiente al cilindro primitivo y es el ángulo que forma con su complementario β de manera que: ϕ = � + β = 90º( para el caso de ejes que se cruzan a 90º)

Para el caso particular del tornillo de un solo filete m = 1

De la expresión Mn=��despejamos pn = Mn.π

De la expresión tg� = ��

��despejamos pat = π .Dpt.tg (B)

De la expresión sen� = ��

��despejamos pnt = π .Dpt.sen (A)

De la expresión cos�= ��

��despejamos Mn= Macos�

Y si el valor de pat = pc será también Ma= Mc ya que ambos son divididos por ,luego también podemos obtener Mn de la expresión:

Mn= Mc cos� Para el caso del tornillo de varios filetes o sea m ˃ 1

A la expresión (A) de pnt la debemos afectar del nº de filetes m del tornillo de manera que la

expresión nos queda: pnt=�.��.��

�


por otra parte si él: Dpt= Ma.m tendremos dos formas de expresar el valor de h y una es:

en la expresión h = m . pat reemplazamos el valor de pat según (B) pero debemos dividir por

m ya que ahora no vale 1quedando: h = m ��

�→→ h = π . Dpt.tg� (C)

la otra es que: h = Mc . m (D)

igualando (C) y (D) y despejando tg� nos queda : π . Dpt.tg� = Mc .m

tg� = ��.�

�.��pero

��

= ��

��por lo tanto:

Para el caso particular de la rueda o corona partimos de despejar de la expresión del

modulo normal Mn= Ma cos� el valor del coseno de�:

Cos�= ��

�� =

��

��(porque ya dijimos que pa = pc )

si en la expresión Dpt= Ma.m reemplazamos el número de filetes m del tornillo por el

numero de dientes Z de la corona tendremos: Dpr= Ma.Z

y también tendremos dos formas de expresar hr:

1ra: aquí también es tg� =��.�

��despejando nos queda: hr =

��.�

��(E)

2da: hr = pa. Z (F)

como hicimos anteriormente, igualando (E) con (F) y despejando tg� nos queda: ��.�

�� = pa . Z →→

El valor del ��lo podemos obtener de la relación de las rpm y para ello debemos hacer un

análisis con las velocidades tangenciales del tornillo y de la rueda:

Velocidad tangencial del tornillo: Vtt = �.��.��

��

Velocidad tangencial de la rueda: Vtr = �.��.��

��

Velocidad axial del tornillo: Vat = �.��.��

��

Los valores de las velocidades Vtr y Vat deben ser iguales ya que si no los dientes se separarían o se superpondrían, por lo tanto:

�.��.��

�� =

�.��.��

��

Despejando el valor de Dpr obtenemos: �� = �.��.��

��

Pero cos�=��

��=��

��

= ��.�

��y despejando pa =

��.��

Reemplazando en la expresión de Dpr = �.�.��.��

��.�.��y simplificando:

Determinación grafica de �:Permite encontrar la inclinación de la hélice del tornillo y de la rueda conociendo. Supongamos el siguiente ejemplo:

tg� = ��.�

�.�� =

��.�

��.��

tgα = ��.�

��.�

Dpr= �.��.��

��.��


la distancia axial, la relación de velocidades (es dato por imposición) el valor del modulo normal es conocido.

Relación de transmisión: 3/37 Distancia axial L: 90 mm Modulo normal Mn:3,25mm Se toman los valores de la relación de transmisión y se ponen de la forma, como se ve en la figura 44, en abcisas el valor de 3 mm y en ordenadas el valor de 37 mm, trazando paralelas a los ejes obtenemos el punto C. Por dicho punto se traza la recta fk cuyo valor es:

A = ��

�� =

��

�,�� = 55,4 mm y que pase por c y en su intersección con el eje de ordenadas

determina el punto f y el ángulo�, midiéndolo se ve que su valor es� = 9º 40´43´´ y su complementario β = 80º 19´17¨. Por otra parte esta recta queda dividida en dos segmentos el T y el S y que al medir los obtenemos T = 37,6 mm y S = 17,8 mm, si a estos segmentos los multiplicamos por el modulo Mn obtenemos los diámetros primitivos de la rueda y del tornillo: Diámetro primitivo del tornillo = S. Mn = 17,8 mm x 3,25 mm = 58 mm Diámetro primitivo de la rueda = T. Mn = 37,6 mm x 3,25 mm =122 mm Como segunda parte obtenemos las dimensiones del tornillo, que para nuestro ejemplo m = 3

Modulo circular del tornillo: Mc = Dpt/m= 58 mm/3 = 19,33 mm

Módulo axial del tornillo: Mat = Mn/cos�= �,��

��º��́��̈= 3,30 mm

Como tercera parte los valores de los pasos del tornillo:

Paso axial del tornillo: pat= Ma π =3,1416 x 3,30 mm =10,36 mm

Paso de la hélice del tornillo: h = patm =10,36 mm x 3 = 31,07 mm Y referente a la rueda su modulo circular será: Mc = Dpr / Z = 122 mm / 37 = 3,30 mm Rendimiento de la corona helicoidal y del tornillo sin fin: Se aplica la misma expresión de los órganos de unión por uniones roscadas y donde teníamos:

�= ��

��(��)siendo ρ el ángulo de rozamiento.

Calculo sobre la base de la potencia a transmitir: Este cálculo surge de la necesidad de transmitir en el eje de la rueda una determinada potencia N con una cierta velocidad periférica v.

El valor de la potencia en el eje de la rueda es: Nr=�.�

��

El momento de rotación viene dado por la expresión:

Mr = P . R = 71620 ��

��

Siendo R el radio de la rueda y nr su velocidad de rotación. Se calcula el paso circunferencial de los dientes de la rueda y por lo que ya vimos es equivalente al paso axial de los dientes del tornillo. Una vez conocido este paso circunferencial de la rueda,

podemos determinar el Dprpor medio de la expresión: Dpr = p . Z

Conocido el Dpr podemos saber el R. Por otra parte obtenemos el valor del rendimiento total, o sea teniendo en cuenta el

rendimiento de los apoyos por medio de la expresión: �= ��

��(��)

Luego podemos hallar la potencia necesaria en el tornillo por medio de: �= ��

�� → Nt =

��

�

Con este valor se puede determinar el Mt del tornillo y el valor del empuje axial en el tornillo vendrá dado por el valor de la fuerza P.


Elementos de Máquinas II

Dimensiones

Ejercicio nº 1helicoidalcon una inclinación Determinar De

Ejercicio nº 2: Para una rueda cilíndrica de dientes helicoidales de exterior De = 66 mm y Di = 58 mmde la rueda.

Ejercicio nº 3: Calcular el Dp, dientes de una rueda helicoidal de

Ejercicio nº 4: Determinar el

helicoidales para α = 20º a 30 º

1500 rpm si tiene un Dp= 100 mm


Elementos de Máquinas II

Trabajo Práctico nº 5

Dimensiones de las Ruedas Dentadas helicoidales

Ejercicio nº 1: En la figura 82 tenemos un engranajehelicoidal de modulo normal Mn = 4.75 mmcon una inclinación α = 24º. Determinar los módulos Mc, y Ma, los pasos De y el ancho b

una rueda cilíndrica de dientes helicoidales de Z = mm se pide determinar: h, Mn, Dp, Mc, �, pc, pn

Dp, el De y el Zv para determinar la fresa con que ha de fresarse los dientes de una rueda helicoidal de Z = 38 dientes, Mn = 5,25 mm y un α = 30º

Determinar el Mn que corresponde adoptar en una rueda cilíndrica con dientes

= 20º a 30 º que debe transmitir N =120 CV con una velocidad de rotación

100 mm y construida con acero al carbono de 0,45% C.

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19/04/21

entadas helicoidales

tenemos un engranaje Mn = 4.75 mm de Z = 38 dientes

, los pasos pc, pa y pn, y los Dp,

Z = 24 dientes, diámetro pc, pn y pa del diente y

la fresa con que ha de fresarse los = 30º

que corresponde adoptar en una rueda cilíndrica con dientes

con una velocidad de rotación n =

0,45% C.


Elementos de Máquinas II 19/04/21

Trabajo Práctico nº 6 (Cuestionario Nº 3)

RUEDAS DENTADAS HELICOIDALES

1. Que se logra con los engranajes helicoidales, cuáles son sus ventajas e inconvenientes.

2. Cuáles son sus pasos y sus módulos y cuáles son sus expresiones de cálculo.

3. Cuál es la expresión de la relación de transmisión y cual su diferencia con los rectos.

4. Perdidas en los engranajes helicoidales. Sus expresiones y explicación.-

5. Que es el Z virtual, cual es su expresión de cálculo, para que se lo emplea y que valores

suele tener.-

curso: 6to m materia: elementos de máquinas ii docente

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