curso 2003/2004 ciencias ambientales medio ambiente dpto...

Dpto Termodinámica

Laboratorio de Bases Físicas del Medio Ambiente

(Ciencias Ambientales)

Mª Pilar Utrillas Esteban Fernando Tena Sangüesa José A. Martinez Lozano Curso 2003/2004 http://www.uv.es/~utrillas/docencia/ http://www.uv.es/~tenaf/docencia/ http://www.uv.es/~jmartine/docencia/

Laboratorio de Bases Físicas del Medio Ambiente 2

ÍNDICE

Cálculo de errores y representaciones gráficas

Práctica 1. Medida de pequeñas longitudes

Práctica 2. Densidad y viscosidad de líquidos

Práctica 3. Calorimetría

Práctica 4. Medidas eléctricas


CALCULO DE ERRORES Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS

1.- INTRODUCCIÓN

El estudio de la Física no puede ser totalmente eficaz si no va apoyado mediante la realización de experiencias en el laboratorio que permitan el adecuado entendimiento de los fenómenos en estudio. Esta parece ser la idea fundamental que ha inspirado un plan de estudios en el que el tiempo dedicado al laboratorio llega hasta un alto porcentaje del que se dedica a teoría y problemas.

Con la realización de dichas experiencias de laboratorio se pretende llegar a la determinación cuantitativa de ciertas propiedades de la materia, aunque en algunas ocasiones y a este nivel, puede ser suficiente la adecuada observación de aspectos puramente cualitativos. Para llevar a cabo una determinación cuantitativa de una propiedad física es preciso el empleo de aparatos mas o menos complejos. Dichos aparatos, sea cual sea su nivel de complejidad y de precisión, siempre contienen errores. La adecuada valoración de estos errores es lo que se pretende detallar en estas páginas iniciales.

La determinación del error que acompaña a una cierta medida o a un cierto resultado de una experiencia no siempre es sencilla. Eso es debido a la influencia de un número elevado de factores que afectan al resultado de la medición.

Cuando las mediciones se hacen directamente, el error dependerá tanto de la propia precisión del material utilizado, como de la habilidad y cuidado empleados por el experimentador. Pero si la magnitud física a determinar proviene de otras magnitudes diferentes a través de una dependencia funcional, el problema de la precisión del resultado se complica y debe ser tratado mediante criterios objetivos provenientes, fundamentalmente, del campo de la estadística.

2.- CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES

a) Errores sistemáticos y errores accidentales

Para facilitar el análisis, los errores de las medidas se clasifican, de acuerdo con los motivos que los originan, en sistemáticos (εsis) y accidentales o aleatorios (εacc).

Los primeros son originados por defectos del método (incluida la acción del observador) o del aparato de medida y siempre actúan en el mismo sentido. Son evitables y realmente se trata de equivocaciones, ya que es una equivocación utilizar un método inadecuado o un instrumento defectuoso.

Por el contrario, los errores accidentales no se pueden evitar ni controlar y proceden de una multitud de causas sobre las que no se puede actuar. Son fortuitos y por lo tanto se producen al azar. Como no actúan en el mismo sentido, pueden compensarse.

Los errores más peligrosos son los sistemáticos, ya que en el caso de errores accidentales es de esperar con igual probabilidad que unas veces el resultado de la medida sea superior al verdadero valor y que otras veces sea inferior a él, por lo que algún tipo de valor medio será una buena aproximación del verdadero valor de la medida.


b) Error absoluto y error relativo

Como habíamos mencionado anteriormente, el verdadero valor de una medida no se conoce, por lo que cuando realizamos una medida lo que realmente hacemos es acotar el intervalo (xa,xb), dentro del

cual creemos que se encuentra el verdadero valor de la magnitud a determinar, con un cierto grado de confianza. Se desconoce si el verdadero valor se encuentra más cercano a xa o a xb, por lo que

habitualmente le solemos situar en el centro del intervalo. Como índice de error se suele utilizar, en el caso de medidas directas, la división más pequeña que tiene el instrumento utilizado (más información apartado 4). A este índice de error se le conoce comúnmente como error absoluto y se expresa en las mismas unidades que la medida, así,

valor medido = x ± ε(x) (1)

Ello significa que el error absoluto es un valor que nos da los límites de un intervalo centrado en el valor obtenido, entre los cuales existe la certeza, o una "gran probabilidad" (más tarde justificaremos esta afirmación con mayor propiedad), de que se encuentre el valor verdadero que no conocemos. Esto significa que es muy probable que se cumpla que

x − ε(x) ≤ valor verdadero ≤ x + ε(x) , (2)

Otro índice de error muy útil es el error relativo, definido como el cociente entre el error absoluto y el valor de la medida. Se representa por εr(x) y se suele expresar en %. Este índice se interpreta como

un criterio de calidad de la medida:

εr(x) = ε( )xx

(3)

El que hayamos cometido un mismo error absoluto en dos medidas diferentes no indica que la calidad de esas dos medidas sea idéntica. Por ello se requiere otro índice que nos permita saber si la precisión de la medida ha sido buena. Para ello, imaginemos que el error absoluto que afecta a la determinación de la longitud de una pista de atletismo de 400 m y el que afecta a la determinación de la altura del Everest (de aproximadamente 8000 m) es el mismo y tiene un valor de 10 m. Aunque el error absoluto es el mismo, no lo es la precisión de las medidas. En el primer caso, el error relativo es εr(x) = 2.5% y

en el segundo εr(x) = 0.125 % lo que indica una mayor confianza en la segunda medida.

3.- EXPRESIÓN DE LAS MEDIDAS

Dado el significado de cota de imprecisión que tiene el error absoluto, éste no se debe expresar nunca con más de dos cifras significativa. Se tomarán dos cifras significativas cuando la primera de ellas sea un 1 (10, 11, ..., 19). En el resto de los casos debe darse un valor con una única cifra significativa. Entenderemos como cifras significativas de un número a todas las cifras 1, 2, 3, ..., 9, que entran en este número así como el cero, si éste se encuentra en medio del número o a la derecha. Además, en todos los casos incrementaremos la última cifra significativa no truncada en una unidad si la primera cifra eliminada es mayor o igual que 5.

Además, el valor de la magnitud considerada debe tener sólo las cifras necesarias para que su última cifra significativa ocupe la misma posición decimal que la última del error absoluto.


Ejemplo 1: Exprésense correctamente los siguientes datos experimentales: (1.234±0.157),

(3.418±0.123), (46288±1551), (0.01683±0.0058), (6.3±0.097), (428.351±0.25).

Teniendo en cuenta las reglas anteriores, el error de la primera de las cantidades propuestas

habrá de expresarse con dos cifras significativas ya que la primera de ellas es un 1. Así, el

error habrá de escribirse como ±0.16, puesto que la segunda cifra significativa ha sido

redondeada en exceso al ser la tercera mayor que 5. Además, el valor de la magnitud

solamente puede contener dos cifras decimales atendiendo a la posición decimal que ocupa la

última cifra significativa del error con lo cual habremos de escribir:

(1.23±0.16).

Siguiendo idéntico razonamiento, para la segunda cantidad propuesta habremos de escribir:

(3.42±0.12).

La tercera resulta en (46300±1600) o utilizando notación exponencial

(4.63±0.16)104.

Análogamente, en lugar de la cuarta escribiremos

(0.017±0.006) o también (1.7±0.6)10-2.

Finalmente, las dos últimas se escriben correctamente en la forma

(6.3±0.1) y (428.4±0.3).

4. DETERMINACIÓN DE ERRORES

Las medidas llevadas a cabo en una experiencia pueden ser de dos tipos: directas o indirectas.

a) Magnitudes medidas directamente

1) Si la medida directa se realiza mediante un instrumento de medida de poca sensibilidad (por ejemplo una regla graduada en milímetros para una medida de distancias relativamente cortas), al repetir la medida distintas veces encontraremos siempre el mismo resultado. En este caso no merece la pena hacer varias determinaciones, sino que realizaremos únicamente una medida, que es conveniente comprobar una segunda vez para detectar algún posible error accidental. En este caso se toma como error de la medida el valor de la división más pequeña que tiene el instrumento utilizado.

2) Si la sensibilidad del aparato de medida es grande, al repetir una determinación podemos encontrar valores ligeramente diferentes. También se encuentran valores distintos si la magnitud a medir no está exactamente definida en todas las direcciones (por ejemplo, una pieza aproximadamente esférica de la que vayamos a determinar el diámetro). En este caso se deben realizar varias medidas, xi, a partir de las cuales se calcula el valor medio, x , definido como:

N

ii=1

xx=

N

∑ (4)


3) Numero de medidas que hay que tomar. Para saber el número de medidas que es preciso realizar en la determinación experimental de una magnitud física utilizaremos el siguiente procedimiento.

a) Se efectúan inicialmente 3 medidas: x1, x2, x3 y se calcula el valor medio _x a partir de

ellas.

b) Se calcula el porcentaje de dispersión definido como:

D = | xmax -xmin |

_x

100 (5)

y a partir del resultado se deduce el número de medidas a realizar de la siguiente manera:

D < 2% Bastan las tres medidas realizadas. 2% ≤ D ≤ 8% Hay que hacer tres medidas más (total 6) D ≥ 8% Hay que realizar hasta 15 medidas.

Si la dispersión alcanza valores más altos (superiores por ejemplo al 12%), el número de medidas a realizar y la interpretación de las mismas debe ser abordada desde la teoría de Gauss.

4) El error asignado al valor medio deducido a partir de las medidas realizadas se establece del siguiente modo

i) Se calcula el error absoluto medio ε(x):

n

ii 1(x)

n=

ε∑ε = (6)

ii) Por otro lado se calcula el error de dispersión:

εD max minx x

4

−= (7)

iii) Se toma como error absoluto el mayor entre ambos.

b) Magnitudes medidas indirectamente

Es muy usual que una magnitud física no se determine directamente con una medida, sino a través de una fórmula, gráfica, tabla, es decir, a partir de otras magnitudes (que a su vez habrán sido medidas directamente o no). Se habla entonces de una medida indirecta. Por ejemplo, podemos usar la longitud y el período de las pequeñas oscilaciones de un péndulo para determinar la aceleración de la gravedad g, que en tal caso se habrá medido indirectamente. Obviamente, la precisión con que se ha determinado g dependerá de algún modo de la de la longitud y el período.

Para calcular el error de una magnitud medida indirectamente seguiremos las siguientes reglas:


• Si la magnitud de la que queremos medir el error es suma o resta de distintas magnitudes medidas directamente, el error absoluto será la suma de los errores de cada una de las magnitudes medidas directamente.

Ejemplo 2: Calcular el alargamiento de un muelle, sabiendo que su longitud inicial es

li=(0.151± 0.001) m y su longitud final lf =(0.169±0.001) m

El alargamiento vendrá dado por: ∆x = lf –li = 0.169 –0.151 = 0.018 m

El error será: ε( ∆x) = ε (lf) + ε (li) = 0.002 m

La magnitud pedida será:

∆x =(0.018 ± 0.002) m

• Si la magnitud de la que queremos medir el error es producto o cociente de distintas magnitudes medidas directamente, el error absoluto se mediante el método de las derivadas parciales que se explica a continuación.

Método de las derivadas parciales.

En el caso en que la expresión que nos da la medida indirecta no sea de la forma de un producto de potencias, habrá que emplear un procedimiento distinto para determinar el error indirecto. Este procedimiento puede justificarse de forma rigurosa, en base a consideraciones estadísticas que omitimos, ya que únicamente nos interesa la aplicación práctica de este método.

Consideremos pues, al igual que antes, que la magnitud resultado z es una función arbitraria de otras magnitudes x, y...

z = z(x,y,...). (8)

Diferenciando la expresión anterior, obtendremos

z z

dz dx dy ...x y

∂ ∂= + +

∂ ∂ (9)

De un modo similar a como se procedió en el método de los logaritmos, se supone ahora que la "regla de propagación de errores" coincide con la "regla de propagación de diferenciales", es decir, se sustituye los diferenciales en la ecuación anterior por los respectivos errores absolutos. Sin embargo, después de hacer esto debe tomarse el "módulo" de ε

R y consideraremos que el módulo de la suma es

igual a la suma de los módulos. Así, la expresión final para el error indirecto (que, reiteramos, admite una deducción rigurosa) es

z x y

z z...

x y

∂ ∂ε = ε + ε +

∂ ∂ (10)


Ejemplo 3: Determínese el valor que debe aceptarse para g, determinada con los datos del Ejemplo anterior, si se emplea el procedimiento de las derivadas parciales. Aplicando la expresión general (3.15) a la ec. (3.8), se obtiene

2 2

g l T l T2 3

g g 4 8

l T T T

∂ ∂ π πε = ε + ε = ε + ε

∂ ∂

= |4π2

0.9432 0.001|+ |8π2l.0.221

0.9433 0.006).

= 4.44.10-2 + 1..25.10-1= 0.17 Por tanto, el valor aceptado para g es ahora g = (9.81 ± 0.17) m/s

5.- CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS

Muchos de los fenómenos físicos que se pueden estudiar experimentalmente en el laboratorio llevan a una distribución de valores que se pueden representar gráficamente. La representación gráfica de dichos fenómenos supone así una gran ayuda visual para la interpretación física de los mismos, ya sea a través del reconocimiento de la forma matemática de la curva resultante o a través del estudio de características como la pendiente o la ordenada en el origen.

Para que una representación gráfica sirva para los fines expresados es preciso que su realización se haga siguiendo una serie de criterios generales que se expresan a continuación.

a) Tipo de papel a emplear en una representación gráfica.

La mayor parte de representaciones gráficas de fenómenos experimentales realizados en el laboratorio se hacen empleando papel milimetrado. En particular este es el tipo de papel que debe emplearse en todas las gráficas que aparecen en las prácticas de este curso.

b) Trazado de los ejes

Para el correcto trazado de los ejes debe tenerse en cuenta las siguientes indicaciones:

• Dibujar los dos ejes dentro del papel milimetrado. Los márgenes no deben ser empleados como ejes.

• Situar en abcisas la variable independiente del fenómeno estudiado y en ordenadas la correspondiente función.

• En el extremo de ambos ejes debe aparecer indicada la magnitud que representa y su correspondiente unidad entre paréntesis. Por ejemplo: v (m/s).

• Los ejes se marcan de modo que las escalas sean claras, de números sencillos, y regularmente distribuidas, de modo que abarquen todo y solo el intervalo correspondiente de valores experimentales.

• Los valores experimentales no deben situarse sobre los ejes.

c) Trazado de las gráficas

Los valores experimentales deben figurar en su punto del plano mediante una marca clara (aspa, cruz, punto, rectángulo,..) que lo identifique con precisión. En cada punto experimental pueden indicarse los márgenes de error usando segmentos de longitud correspondiente.

Las gráficas deben ser líneas finas y continuas, nunca quebradas. Las líneas quebradas provienen de la unión mediante segmentos de puntos consecutivos y resulta altamente improbable que corresponda a


una ley física real. Dicha ley física vendrá expresada por la curva que mejor se ajusta al conjunto de valores experimentales.

d) Determinación del error sobre una gráfica

Si no disponemos de la expresión matemática de la función que relaciona la variable que se representa gráficamente los errores de la misma se pueden deducir directamente de la gráfica. Para ello se obtiene los valores máximo (x + ε(x)) y mínimo (x - ε(x)) de la variable independiente que nos llevarán directamente, a través de la gráfica, a los correspondientes zmax y zmin. Calcularemos el error de z con la expresión:

εz = | zmax -zmin |

2 (11)

6.- INTERPOLACIÓN

Es frecuente que se necesite obtener valores de algunas magnitudes físicas a partir de tablas numéricas. Podemos clasificar estas en dos tipos: de simple entrada, cuando la variable dependiente z es solo función de una variable independiente, es decir z= f(x), y de doble entrada, cuando depende de dos variables independientes z = f(x,y). Aquí nos vamos a referir únicamente al primero de los dos casos.

Interpolación en tablas de simple entrada

Nuestro objetivo es determinar el valor de z para un valor de x no incluido exactamente en la tabla. Se comienza por encontrar aquellos valores de x entre los que se encuentra nuestro valor no tabulado. Así, la tabla presentará la forma:

x1 z1

x2 z2

Considerando que para el intervalo de x1 a x2 la expresión z = f(x) pueda asimilarse a una recta, podremos escribir:

( )2 11 1

2 1

z zz z x x

x x

−= + −

− (12)

que permitirá determinar z en función de x o viceversa. El error de z vendrá dado por:

( )2 1

2 1

z z(z) x

x x

−ε = ε

− (13)

7.- AJUSTE DE LA RECTA POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Es muy frecuente que la representación de valores experimentales a que se hace referencia en apartados anteriores, dé como consecuencia una distribución de puntos de forma lineal (rectilínea). En este caso es importante deducir matemáticamente la ecuación de la línea recta que mejor se ajusta a todos los puntos experimentales.


a) Obtención de la recta que mejor se ajusta

La forma de dicha recta es:

y = m x + n (14)

en la que tendremos que determinar los parámetros m (pendiente) y n (ordenada en el origen), de forma que dicha recta cumpla la condición de que los puntos experimentales queden distribuidos a ambos lados de la recta, y además lo más cercanos posible.

Supongamos que tenemos una experiencia en donde hemos recogido N valores experimentales para los pares de puntos x e y. Esto es:

(x1,y

1) ; (x

2,y

2);................; (x

N,y

N).

Los valores de la pendiente m y de la ordenada en el origen, n vienen dados (la justificación matemática puede el alumno encontrarla en cualquiera de los textos de tratamiento estadístico de datos) mediante las expresiones:

xy x y2

xx x

S N S Sm

S N S

−=

− (15)

xx y x xy

2xx x

S S S Sn

S N S

−=

− (16)

donde

Sx =N

ii=1

x∑ ; Sy = N

ii=1

y∑ ; Sxx = N 2

ii=1

x∑ ; Sxy = N

i ii=1

x y∑ (17)

y N representa el número total de puntos empleados para el ajuste.

Para dar una idea de la dependencia entre las variables se suele utilizar el denominado coeficiente de correlación R. Dicho coeficiente nos expresa de algún modo el grado con el que se ajusta la nube de puntos a la línea recta obtenida. Su valor está comprendido entre ±1. Cuanto más más próximo se halle del uno en valor absoluto, mejor será el ajuste.

La expresión para determinar el coeficiente de correlación viene dada por:

xy x y

2 2xx x yy y

NS S SR

S N S S N S

−=

− − (18)

siendo:

Syy = N

2

ii=1

y∑ (19)


b) Cálculo de los errores en la pendiente y la ordenada en el origen.

Según demuestra J. Hibbie (Am. J. Phys., Vol. 59, No 2, Feb. 1991) se puede determinar el error de la pendiente, m, y la ordenada en el origen, n, de un ajuste por mínimos cuadrados en función del coeficiente de correlación, r, empleando las siguientes relaciones:

2

11

R(m)=mN-1

ε

−

(20)

xxS(n)= (m)

Nε ε (21)

donde N y Sxx tienen el significado anteriormente establecido. Estas expresiones sirven fundamentalmente para casos en que los errores de las variables del problema (x,y) no sean muy grandes, y tienen una limitación evidente para R=1.

8.- PRESENTACIÓN DE RESULTADOS. MEMORIAS

Los valores numéricos obtenidos en el laboratorio carecen de valor práctico si no llevan a una comprensión, lo más amplia posible, de la ley física que se pretende comprobar. Para eso es necesaria la adecuada manipulación e interpretación de dichos datos de modo que conduzcan al experimentador a dicha comprensión.

La realización completa de una práctica consta, por tanto de dos fases claramente diferenciadas:

A.- Obtención de los datos

Esta fase se desarrolla en el laboratorio y para su buena realización conviene tener en cuenta lo siguiente:

a) En el guión correspondiente están relacionados detalladamente los aspectos fundamentales relativos a la práctica en cuestión. Es preciso leer con detalle dicho guión antes de proceder al desarrollo experimental de que se trate.

b) Los valores obtenidos han de ser posteriormente manipulados por lo que es necesario anotarlos sistemáticamente y siguiendo las normas que se expresan en cada caso. Una forma práctica de realizar esta anotación sistemática consiste en disponer de un cuaderno de laboratorio en el que los correspondientes valores quedan reflejados y disponibles para ulteriores usos de los mismos.

c) El material disponible debe ser tratado con cuidado y, en todo caso, teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:

1.- Debe comprobarse previamente que está completo y en buen estado. En caso contrario se debe avisar al Profesor para evitar responsabilidades.

2.- Las prácticas que incluyen alguna conexión a una fuente de alimentación eléctrica deben hacerse revisar por el Profesor antes de realizar dicha conexión, ya que su utilización incorrecta puede llevar a un daño irreversible en los aparatos eléctricos utilizados.

3.- Los aparatos de medida eléctricos son delicados y debe conocerse su modo de empleo antes de ser manipulados.

4.- Los líquidos empleados en algunas prácticas pueden ser tóxicos, por lo que deben ser tratados con cuidado avisando al Profesor si surge algún percance con los mismos.


5.- Al final de la práctica el material de la misma debe quedar en perfectas condiciones para su uso posterior. El puesto de trabajo debe quedar adecuadamente limpio y ordenado.

B.- Realización de las memorias

Una memoria completa debe constar de:

1.- Introducción. a) Objetivos: Breve resumen de lo que se pretende estudiar en la práctica. b) Fundamento teórico: Debe expresar la idea que el alumno tiene sobre la base teórica en

que se apoya la práctica realizada y la ley física que en dicha realización se comprueba. No tiene porque ser extensa, pero tampoco se establece una limitación a la investigación del alumno sobre el fenómeno físico analizado.

2.- Desarrollo experimental Datos obtenidos en el laboratorio. En esta parte se construyen las tablas con los valores

obtenidos en la realización práctica. En dichas tablas hay que indicar el número de medidas realizadas y el error cometido en ellas.

3.- Resultados y análisis. La aplicación de las fórmulas correspondientes lleva a una serie de resultados que son, en definitiva, el objetivo de la práctica. Estos resultados deben expresarse adecuadamente siguiendo la normativa expresada en páginas anteriores. En todo caso un resultado concreto debe incluir necesariamente el error correspondiente y las unidades.

En este apartado debe incluirse el cálculo de errores completo, de modo que quede patente que el alumno sabe aplicar todos los aspectos del mismo tal como se explica en páginas anteriores. También aquí deben incluirse aquellas representaciones gráficas que sean precisas para la interpretación de los correspondientes resultados.

4.- Discusión sobre la práctica y conclusiones. El alumno debe realizar un comentario sobre los resultados y errores obtenidos, analizando hasta qué punto se ajustan a los resultados esperados. Además se puede realizar una valoración personal sobre la práctica completa o sobre aspectos parciales de la misma.

5.- Bibliografía breve.


PRACTICA 1. MEDIDA DE PEQUEÑAS LONGITUDES

1.- OBJETIVOS

• Aprender a utilizar diferentes instrumentos de medida para la determinación de pequeñas longitudes con precisión.

• Saber elegir el aparato de medida más adecuado en cada caso en función de la precisión que se requiera y de las medidas a determinar.

• Conocer el fundamento teórico del nonius y su utilidad práctica

2.- MATERIAL

• Esferómetro • Objetos problema (hilo, lámina, aro, cilindro, bola, disco, casquete esférico) • Lamina de vidrio • Calibrador o pie de rey • Tornillo micrométrico o pálmer

3.- FUNDAMENTO

a) El nonius

El nonius es un dispositivo para la medida de longitudes que consta de dos reglas, una fija o principal y otra móvil que puede deslizar sobre aquella y que está graduada en n divisiones iguales que corresponden a n-1 divisiones de la regla principal. La relación entre ambas es r = (n-1)/n, y la apreciación del nonius (que representará, por tanto, el error absoluto de la medida):

a = 1 - r = 1 - (n-1)/n = 1/n

En la práctica se construye de tal manera que una división de la regla principal (habitualmente un milímetro), se descompone en tantas partes como divisiones tiene el nonius.

b) El calibrador o pie de rey (Fig. 1.1)

Es un instrumento de precisión que permite realizar tres tipos de mediciones:

• Medida de espesores, diámetros o dimensiones externas (Fig. 1.2). • Medida de diámetros o dimensiones internas (Fig. 1.3). • Medida de profundidades o alojamientos interiores (Fig. 1.4).


Fig. 1.1.- Calibrador o pie de rey

La lectura se realiza empleando la teoría del nonius, de forma que sobre la regla fija se observa el número de divisiones que quedan antes del 0 de la regla móvil. Se observa después cual de las divisiones del nonius se acerca más a una división de la regla fija, obteniéndose de esta forma la fracción decimal que hay que añadir a la longitud previamente leída.

Fig. 1.2 Fig. 1.3 Fig. 1.4.

Por ejemplo, si la regla fija está dividida en milímetros y el nonius tiene 20 divisiones que coinciden en longitud con 19 divisiones de la regla fija, la sensibilidad será de cinco centésimas (1/20) de milímetro tal como se ha visto en el apartado anterior. Al realizar esa lectura, la regla fija nos dará los milímetros, mientras que, observando la división del nonius que se acerca más a una división de la regla fija, obtendremos las fracciones de milímetro (Fig. 1.5).

Fig. 1.5.- Lectura de longitudes con nonius: 28.25 mm.

c) Pálmer o tornillo micrométrico (Fig. 1.6)

Consta esencialmente de los mismos elementos que el anterior aparato, habiendo sido sustituido el nonius o regla móvil por un tambor dividido en N partes iguales (usualmente 50).


El paso de rosca del pálmer se define como la cantidad P que avanza el tornillo al dar el tambor una vuelta completa (generalmente 0.5 mm).

La sensibilidad del pálmer viene dada por S = P/N (paso de rosca / número de divisiones del tambor).

El error de cero es la cantidad que el pálmer mide cuando están en contacto sin forzar y sin ningún objeto interpuesto, los topes de medida (T).

Fig. 1.6.- Pálmer

Se debe prestar atención a este error que debe considerarse, teniendo en cuenta el signo correspondiente, en todas las medidas realizadas.

La lectura aquí se obtiene al considerar que:

1.- La regla principal, R (sobre el vástago del tornillo) proporciona la lectura en milímetros y medios milímetros.

2.- El tambor, M, proporciona las centésimas de milímetro que deben añadirse. 3.- El error de cero que, previamente encontrado, debe considerarse en todas las medidas.

a) 6.00 mm b) 2.50 mm c) 3.72 mm

Fig. 1.7.- Lectura con. Paso rosca: 0.5 mm; nº div.: 50.

Por ejemplo, como vemos en la figura 1.7 (c), si sobre la regla principal observamos 3.5 mm y el tambor marca una lectura de 22, la medida será 3.5 + 0.22 = 3.72. (3.72±0.01) (Esto, si el paso de rosca es 0.5 mm y el número de divisiones del tambor, 50. Si no fuera así, aunque el procedimiento de lectura sería el mismo, tendríamos que tener en cuenta la nueva precisión del aparato).

Recordar: No se debe apretar el tornillo. El contacto entre los topes y las caras del objeto debe hacerse suavemente. Para asegurar que se ha ejercido la presión debida, estos instrumentos llevan habitualmente un cabezal giratorio en su parte posterior, que es el que preferentemente se debe utilizar, de modo que cuando el tornillo está suficientemente apretado, este cabezal gira sin aumentar la presión ejercida por el tornillo.


d) El esferómetro (Fig. 1.8)

El funcionamiento del esferómetro es similar al del pálmer pero con mayor precisión en la medida. Puede observarse una regla (principal) R, graduada generalmente en milímetros y medios milímetros, y un tambor o limbo, L, con 100, 250 o incluso 500 divisiones.

El paso de rosca del tornillo, P, suele ser de 0.5 mm. La sensibilidad se define como en el pálmer, o sea: a = P/N = paso de rosca/nº divisiones

El error de cero es muy importante en este caso, y por lo tanto, se debe calibrar como operación previa a cualquier otra. Dicho error se mide cuando, puestas las tres patas del esferómetro sobre una superficie bien lisa, se hace entrar en contacto el tornillo central con la misma superficie. Dicho contacto debe ser sumamente suave y la mejor manera de apreciarlo es observar cuando la punta del tornillo toca a su propio reflejo sobre una superficie lisa reflectante (espejo).

La lectura del esferómetro se hace de manera similar al caso del pálmer:

1.- La regla grande da los milímetros y medios milímetros. (Tener en cuenta que los medios milímetros pueden no estar señalados en la regla principal (Fig. 1.9).

2.- La regla del tambor da las fracciones de milímetro tal como se ha descrito previamente. Si está dividido en 100 partes, cada una de estas divisiones equivalen a 0.5/100 = 0.005 mm.

3.- Del resultado se elimina el error de cero.

Para medir el espesor de una lámina de caras planoparalelas, se colocan las tres patas del aparato sobre la superficie de referencia y el extremo del tornillo en contacto con la superficie cuyo espesor se desea medir

Fig. 1.8.- Esferómetro

Fig. 1.9.-20.500 mm

Fig. 1.10.- Radio de curvatura de una esfera

Para medir el radio de curvatura de una esfera (Fig. 1.10) se apoyan las tres patas sobre la misma y se desplaza el tornillo central hasta que haga contacto con ella. Por razones geométricas sencillas (que el alumno debe deducir), y tal como puede verse en la figura 1.10, se cumple:


R = (a2 + h2)

2h = (d2 + 3h2)

6h

donde a es la distancia del punto de medida a uno de los pies, R es el radio cuyo valor hay que encontrar (radio de la esfera), d la distancia entre las patas y h la cantidad apreciada por el esferómetro.

4.- RESULTADOS

• Sensibilidad y error de cero de los cuatro aparatos • Dimensiones de los objetos problema (pie de rey) • Espesor de la lámina y del aro (pálmer y esferómetro) • Diámetro del hilo (pálmer) • Radio de curvatura de la esfera de referencia (esferómetro) • Volumen y superficie de dos de los objetos problema


PRACTICA 2. DENSIDAD Y VISCOSIDAD DE LÍQUIDOS

1.- OBJETIVOS

• Aprender a medir densidades de líquidos con balanza de Mohr. • Medir viscosidades de líquidos con el viscosímetro de Ostwald.

2.- MATERIAL

• Viscosímetro de Ostwald • Balanza de Mohr • Soporte con pinza • Pipeta • Probeta de 100 cm3

• Vaso de precipitados • 2 líquidos problema • Cronómetro • Reiters de la balanza de Mohr

Fig. 2.1.-Balanza de Mohr

Precauciones con el material • Preocuparse de que estén todos los reiters al comenzar y al terminar la práctica. Si falta alguno

avisar al encargado. • No mezclar los líquidos problema. • Los líquidos problema, una vez utilizados deben devolverse a su frasco. No se estropean al

someterlos a una determinación física.

3.- FUNDAMENTO

a) La balanza de Mohr

Es un dispositivo como el esquematizado en la figura 2.1. Se emplea para la determinación de densidades de líquidos.

En esencia consta de un pie fijo, aunque regulable, y una barra con dos brazos desiguales separados por una cuchilla que sirve para apoyarse en el pie fijo. El brazo largo está provisto de 10 señales numeradas del 1 al 10 y regularmente distribuidas. De su extremo pende, mediante un hilo delgado, un termómetro que sirve de lastre e indica la temperatura del líquido cuya densidad se desea medir.

Para completar la balanza se dispone de un juego de jinetillos (reiters). Dos más grandes que, aunque diferentes en forma y función, tienen el mismo peso, y otros dos más pequeños.

Sumergido totalmente el inmersor en agua y situado el reiter grande especial en el extremo, la balanza debe quedar equilibrada (densidad relativa, 1). Si no lo está, será preciso ajustarla con mucho cuidado.

Una vez ajustada la balanza y sin quitar el reiter que habíamos utilizado para ajustarla, sustituimos el agua por el líquido cuya densidad deseemos medir. Si el líquido es de mayor densidad que el agua, será mayor el empuje ejercido sobre el inmersor, con lo que, para restablecer el equilibrio, será preciso añadir jinetillos, ordenadamente de mayor (décimas) a menor (milésimas). Si es de menor densidad,


será preciso retirar el reiter colocado para ajustar la balanza y proceder a continuación como en el caso anterior, hasta lograr el equilibrio.

La lectura de la densidad se hace directamente leyendo la división en que se encuentra cada uno de los jinetillos. Si alguno de ellos no está colocado, su cifra correspondiente es cero.

b) El viscosímetro de Ostwald

La viscosidad se interpreta como el rozamiento interno de un fluido. Se pone de manifiesto cuando las capas contiguas del mismo, están en movimiento relativo.

Si el fluido es un líquido podemos determinar su viscosidad fácilmente mediante un dispositivo denominado viscosímetro. El más empleado es el de Ostwald (Fig.2.2) que consta de un tubo capilar AB unido por su parte inferior a un tubo más ancho curvado en forma de U, y por la parte superior a una ampolla o ensanchamiento limitada por dos señales B y C que encierran un volumen V.

Fig. 2.2. Viscosímetro de Ostwald

El funcionamiento de este aparato se basa en la ley de Poiseuille. Según dicha ley, el volumen de un fluido viscoso que se desplaza por el interior de una tubería recta en un tiempo t y en un régimen de Poiseuille es:

( )4

1 24 p pV t

8 L

π −=

ηt (2.1)

donde r es el radio del tubo, L la longitud, η la viscosidad del líquido y p1-p

2 = ∆p la diferencia de

presión existente entre los extremos del tubo (pérdida de carga) y que origina el desplazamiento del fluido.

Esta diferencia de presión, si el tubo está en posición vertical, es función de la altura del fluido: ∆p = ρgh siendo ρ la densidad de dicho fluido. La expresión (2.1) puede ponerse:

44 gh

V t8 L

π ρ=

η (2.2)

Si mantenemos constantes el radio y la longitud del tubo, así como la altura alcanzada por el líquido en el interior del tubo y su volumen V, podremos introducir la constante:

k = 8VL

πr4gh

que llevada a (2.2), y despejando t queda:

t = kηρ (2.3)


Si ahora empleamos un líquido de viscosidad η', densidad ρ' y que tarda un tiempo t', obtenemos, sustituyendo en (2.3):

t' = kη'ρ'

(2.4)

y haciendo el cociente entre (2.3) y (2.4), despejando η' queda:

η' = ηρ't'ρt

(2.5)

Si se conoce la viscosidad de uno de los líquidos y la densidad de ambos, podemos determinar la viscosidad del otro sin más que medir el tiempo que ambos tardan en desalojar el volumen V fijo del viscosímetro.

4.- REALIZACIÓN

a) Medida de la densidad

1.- Se llena la probeta de agua y se introduce el inmersor en ella. Con el reiter especial, se equilibra adecuadamente la balanza.

2.- Sin tocar la balanza, se sustituye el agua por uno de los líquidos problema y se colocan los jinetillos hasta lograr el equilibrio. Si el líquido es menos denso que el agua será preciso retirar previamente el reiter especial empleado en el ajuste de la balanza. La densidad se lee directamente salvo la existencia de un error de cero que sería preciso considerar. Después de hecha la lectura, se devuelve el líquido problema a su botella, se limpia y seca con cuidado el inmersor y se enjuaga la probeta.

3.- Se repite la operación para el otro líquido problema.

b) Medida de la viscosidad

1.- Se vierte agua con una pipeta por la rama N (Fig. 2.2) hasta que llene completamente D. 2.- Se aspira, con cuidado por la rama M hasta que el agua llene ensanchamiento V y alcance un

nivel algo superior a la señal C. 3.- Se deja fluir el agua manteniendo el aparato en posición vertical Cuando su nivel pasa por C se

empieza a contar el tiempo que tarda hasta que pasa por B, anotando el resultado, t. 4.- Una vez limpio y seco el viscosímetro se repite el experimento con el líquido problema, en

igualdad de condiciones y anotando el nuevo tiempo t' que tarde en realizarse la operación. 5.- Una vez hechas las correspondientes repeticiones, con las valores medios de los tiempos t y t' y

empleando la expresión (2.5), se determina la viscosidad del líquido problema.

Para la viscosidad del agua, interpolar en la tabla 2.1

Tabla 2.1.- Viscosidad del agua a distintas temperaturas

T(ºC) η (cp) T(ºC) η (cp) 0 1.7865 25 0.8909 5 1.5138 30 0.7982

10 1.3037 40 0.6540 15 1.1369 50 0.5477 20 1.0019 60 0.4674


5.- RESULTADOS

• Densidad, con su error, de los dos líquidos problema. • Viscosidad, con su error, de los dos líquidos problema. • Comparación de los resultados obtenidos con los valores tabulados para estos dos líquidos (etanol

y acetona).


PRACTICA 3. CALORIMETRÍA

1.- OBJETIVOS

• Calcular el equivalente en agua de un calorímetro de mezclas. • Medir calores específicos de sólidos.

2.- MATERIAL

• Calorímetro con termómetro y agitador • Probeta de 150 cm

3

• Vaso de precipitados de 250 cm3

• Mechero de gas, trípode y rejilla • Soporte con termómetro y pinza para sólido problema • Dos sólidos problema

3.- FUNDAMENTO

La cantidad de calor que absorbe o cede un cuerpo que se pone en contacto con otro a diferente temperatura es proporcional a la masa de aquél, m, y a la variación de la temperatura que experimenta, ∆T

Q=c m ∆T⋅ ⋅ (3.1)

siendo c una constante de proporcionalidad, denominada calor específico, que depende de la naturaleza de dicho cuerpo.

Se define el calor específico de un cuerpo como la cantidad de calor necesaria para incrementar un grado la temperatura de 1 kg del mismo. En general, el calor específico es función de la temperatura, pero en nuestro caso la variación que se produce es despreciable.

Un método práctico para la determinación de calores específicos de sólidos y líquidos es el de las mezclas, que se realiza mediante un calorímetro y que consiste en lo siguiente: si mezclamos dos sistemas a diferente temperatura en un medio adiabático, la variación total de calor debe ser nula:

1 2 1 1 1 2 2 2∆Q=Q +Q =0 0=m c ∆T +m c ∆T→ (3.2)

Generalmente, uno de los cuerpos es agua, de masa ma, calor específico ca, y temperatura inicial Ta. El otro, el cuerpo problema de masa m, calor específico c y temperatura inicial Ti.

Por otro lado, el calorímetro con todos sus elementos interiores (paredes, termómetro y agitador) absorbe una cantidad de calor que influye, necesariamente, en los balances de calor. Para considerar esta influencia se introduce el término denominado equivalente en agua del calorímetro, K, y que se define como la masa de agua que habría que añadir al sistema para que tuviera exactamente la misma influencia sobre el desarrollo de los intercambios caloríficos que ocurren en el interior del calorímetro, que la que tienen dichos elementos. Por tanto, K se sumará a la masa de agua correspondiente.

Teniendo en cuenta todo esto, la expresión (3.2) puede ponerse, llamando Tf a la temperatura final de

equilibrio:


a a f aa a f a f i

f i

(m +K)c (T -T )(m +K)c (T -T )+mc(T -T )=0 c=-

m(T -T )→ (3.3)

expresión que nos permite hallar calores específicos de sólidos y líquidos, como veremos.

En primer lugar, el cálculo de K se realiza mezclando dos masas de agua m1 y m

2 a diferente

temperatura, T1 y T

2, respectivamente. El sistema alcanza una temperatura final de equilibrio, T

f.

Aplicando la expresión anterior:

2 f 21 1 f 1 2 a f 2 1

f 1

m (T -T )(m +K)c (T -T )+m c (T -T )=0 K=- -m

T -T→ (3.4)

El valor de K así calculado, debe sumarse siempre a la masa de agua contenida en el calorímetro en toda experiencia que vaya a realizarse con él.

4.- REALIZACION

Cálculo del equivalente en agua del calorímetro.

• Se tara la probeta. Se introduce en ella unos 200 cm3 de agua y se pesa (m

1). Se echa el agua en el

calorímetro, se agita suavemente el agua y tomad la temperatura al cabo de 3 minutos (T1).

• Calentad en el vaso de precipitados unos 150 g de agua (medidos por pesada como antes, m2) hasta

una temperatura aproximada de 50°C. Para ello, se coloca el vaso bajo la acción del mechero de gas, agitando el agua continuamente, y cuando se ha alcanzado dicha temperatura se apaga el mechero, esperando a que la temperatura se estabilice (antes de que empiece a disminuir): T

2. • Se echa el agua del vaso de precipitados en el calorímetro y se agita suavemente hasta que se

mezcle bien con la que había y se estabilice la temperatura de equilibrio: Tf • Aplicando la expresión (3.4), se obtiene K.

Calor específico de sólidos

• Se colocan en el calorímetro 150 g de agua (medida mediante pesada, ma), a una temperatura Ta. • En el vaso de precipitados, casi lleno, se calienta agua hasta ebullición, habiendo sumergido en ella

uno de los cuerpos problema (m), suspendido del soporte. Una vez se tiene hirviendo el agua, se deja que se caliente el cuerpo durante cinco minutos (Ti = 100°C).

• Se introduce el cuerpo problema en el calorímetro con mucho cuidado, pero con rapidez, para que no sufra descensos apreciables de temperatura en el traslado.

• Una vez introducido el cuerpo problema en el calorímetro, se agita el agua continuamente durante 5 minutos hasta que se equilibre la temperatura del agua y del cuerpo problema (Tf).

• Aplicando la expresión (3), obtendremos el calor específico del cuerpo problema (ca = 1 cal/g °C). • Se repiten todas las operaciones con el otro cuerpo problema.

5.- RESULTADOS

• Equivalente en agua del calorímetro, con su error. • Calor específico, con su error, de los dos sólidos problema. • Análisis detallado y comparativo de los errores.. • Identificad los materiales que constituyen los sólidos problema a partir de los resultados obtenidos.


PRACTICA 4. MEDIDAS ELÉCTRICAS

1.- OBJETIVOS

• Conocer la utilidad de los aparatos de medidas eléctricas más corrientes que se utilizan en el laboratorio.

• Aprender a utilizar un polímetro • Saber elegir la función y la escala más convenientes al utilizar un polímetro. • Saber situar en un circuito los voltímetros y los amperímetros • Saber interpretar y montar circuitos eléctricos elementales. • Aprender a leer resistencias mediante el código de colores.

2.- MATERIAL • 2 polímetros • Reostato • Resistencia eléctrica • Juego de resistencias • Cables de conexión

3.- FUNDAMENTO

Para realizar correctamente una medida eléctrica no es necesario únicamente disponer de un aparato de medida de dicha magnitud, es preciso además saber elegir la escala más adecuada. También es fundamental saber leer la precisión correspondiente en cada caso.

Algunas de las indicaciones a tener en cuenta pueden resumirse de la siguiente manera: • En un circuito eléctrico el voltímetro se coloca siempre en paralelo y el amperímetro en serie. • Si el valor máximo de la magnitud a medir es superior a la máxima medida que puede dar el

aparato, se pueden originar en el mismo serios desperfectos. • Una mala conexión puede deteriorar el aparato de medida. Por todo ello es fundamental en cualquier caso contar con el asesoramiento y la supervisión del Profesor antes de conectar un circuito a la fuente de alimentación.

4.- REALIZACIÓN

1.- Observación y comprensión de los polímetros a utilizar en la práctica.

• Observar las diferencias entre las zonas de alterna y continua. • Observar las diferentes funciones de que están dotados: voltímetro, amperímetro, ohmetro, • Observar y anotar las diversas escalas y márgenes de error.

2.- Montar el circuito de la figura 4.1

• Tomar 10 valores diferentes de voltaje y otros tantos de intensidad mediante la adecuada variación de las posiciones del reostato. Utilizar en cada caso las escalas más convenientes para obtener máxima precisión.

• Representar gráficamente los valores obtenidos y, mediante un ajuste por mínimos cuadrados, aplicando la ley de Ohm (V= R I), determinar el valor de la resistencia R.


Fig. 4.1.- Circuito eléctrico

3.- Medida de resistencias.

• Observar la existencia de diversas escalas en el polímetro para la determinación de resistencias. • Determinar, haciendo varias medidas, el valor de las resistencias problema de que se dispone.

Considerar con cuidado en cada caso la correspondiente precisión. • Comparar el resultado de estas medidas con el proporcionado por el código de colores que puede

verse en la tabla 4.1. • Medir la resistencia R del circuito empleado y comparar el resultado con el anteriormente

obtenido.

Para leer el valor de una resistencia eléctrica se emplea un código de colores que se interpreta de la siguiente manera:

a) La primera banda corresponde al dígito x de la expresión (4.1):

R = xy.10z (4.1) b) La segunda banda corresponde al dígito y c) La tercera nos da el exponente z d) Por último existe una cuarta banda que indica la tolerancia: - 5% si es dorada - 10% si es plateada

Ejemplo: calcular el valor de una resistencia con el siguiente código de colores: rojo-verde-rojo-dorado: A partir de la tabla 4.1: rojo = x =2 Verde = y = 5 Rojo= z = 2

Luego: R = xy.10z = 25 102 Ω = 2500 Ω = 2.5 kΩ,

Dorada= 5% de tolerancia → εr(R)=0.05; ε (R)= εr(R) R =0.05 . 25.102 = 125 Ω ,

luego: R= (2.50 ± 0.13) kΩ

Tabla 4.1.- Código de colores en las resistencias comerciales n° Color n° Color 0 negro 5 verde 1 marrón 6 azul 2 rojo 7 violeta 3 naranja 8 gris 4 amarillo 9 blanco


5.- RESULTADOS

• Descripción de las escalas y del nivel de precisión de los multímetros. • Comentario sobre la función del reostato en el circuito de la figura 4.1. • Valor de la resistencia R con su error. • Valor de todas las resistencias (con sus correspondientes errores) medidas

curso 2003/2004 ciencias ambientales medio ambiente dpto...

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