Cuando La Teoría De Números Se Encuentra Con La Geometría Algebraica

Una Invitación A La GeometrÍa Aritmética Vía Las Conjeturas De Weil

Dr. J. Rogelio (Yoyontzin) Pérez Buendía

CIMAT - Guanajuato

Pero ¿qué es la Geometría Algebraica?

Geometría Analítica:

Lineay = mx+ b

Círculox

2 + y

2 = r

2

y = mx+ b

x

2 + y

2 = r

2

Resolver el sistema:

x

2 + (mx+ b)2 = r

2

{x

2 + (2mb)x+ (b2 � r

2) = 0

x1

x2

Polinomios y su GeometríaEn una variable:

Dos variables:

Tres variables:

Atributos:

x

3 � x+ 4

2x5 � 3xy2 + y

3

x

5 � y

7 + x

2z

8 � xyz + 2

• El número de variables, • Los coeficientes, • El grado • …

En general uno puede usar n variables, en cuyo caso estas son frecuentemente denotadas: x1, . . . , xn

f(x1, . . . , xn) = f(X)

Funciones polinomiales son el único tipo de funciones con las que las computadoras pueden trabajar

Ceros de Polinomios

Ceros de

Ceros de

Ceros comunes:

x

2 + y

2 � r

2 = 0

y �mx� b = 0

2x2 + 3y2 � z

2 � 7 = 0

z � x� y = 0{

Conjuntos Algebraicos

Definición:

Al conjunto de ceros comunes de un sistema de ecuaciones polinomiales, en cualquier número de variables lo llamamos Conjunto Algebraico.

A veces también les decimos variedades algebraicas.

¿Geometría en muchas dimensiones?

Esfera en el espacio de 5 dimensiones:

x

21 + x

22 + x

23 + x

24 + x

25 � r

2 = 0,

La importancia de la geometría algebraica se deriva de la notable

interacción entre el álgebra y la geometría y la frecuencia con la

que esto ocurre.

¡La Mayoría de las formas son Algebraicas!

Rectas

Planos

Elipses

Hipérbolas

Hiperboloides

Paraboloides

Elipsoides

• Concoide de Durero

No toda figura es algebraica

Se puede describir con polinomios:

0 x a y � y b

• No se puede describir con polinomios

y = sin(x)

Aproximación Polinomial

sin(x) ' x� 1

6x

3 +1

20x

5 � 1

540x

7

• Polinomio de Taylor de grado 7:

Teorema de NashTeorema:Toda figura geométrica “razonable” es algebraica si ignoramos lo que pasa lejos del origen.

• ¿Qué es razonable? Fracases NO. Las formas “amables” es lo que se conoce por manifold (variedad diferenciable)

Códigos y Geometrías FinitasEl cono doble:

x

2 + y

2 = z

2

• Ternas Pitagóricas

(3, 4, 5) y (5, 12, 13).

x

y

z

CódigosPongamos tensión en la paridad de

La ecuación módulo 2 tiene cuatro soluciones: (0,0,0); (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0)

x

2 + y

2 = z

2

3

2+ 15

2y 4

2son ambos pares

3

2+ 15

2 ⌘ 4

2(mod 2)

Fue una sorpresa cuando se descubrió que usando polinomios y sus soluciones módulo 2 es una excelente -posiblemente la mejor- manera de construir códigos correctores de errores.

Espacios Tridimensionales3 - Espacio de Fano:

Es el espacio tridimensional sobre el campo con 2 elementos

tiene 15 puntos, 35 rectas y 15 planos.

Podríamos trabajar módulo cualquier entero: Si trabajando módulo 7, tenemos 0,1,2,3,4,5,6 como posibles coordenadas, y entonces un

espacio tridimensional módulo 7 tiene 343 puntos.

Puntos Reales vs Puntos Complejos

Los puntos reales de la recta y sus puntos complejos:

Espacio ProyectivoLos puntos de están representados por (n+1)-ádas de coordenadas homogéneas no todas nulas tal que:.

PnC

[x0, x1, . . . , xn] = [�x0, . . . ,�xn]

Una variedad proyectiva es un subconjunto de dado por los ceros comunes de polinomios homogéneos.

PnC

Variedades e IdealesUn conjunto algebraico sobre un campo algebraicamente cerrado (irreducible) es una variedad (afín).

V (S) := {x 2 Cn : f(x) = 0, 8 f 2 S}

S ⇢ C[x] = C[x1, . . . , xn]

Ideales y VariedadesDado un subconjunto cualquierale asociamos el conjunto de polinomios que se anulan simultáneamente en Z:

Z ⇢ Cn

I(Z) := {f 2 C[x] : f(z) = 0 8 z 2 Z}

Si I es un ideal generado por un conjunto de polinomios S, entonces:

V (I) = V (S)

Tenemos una correspondencia que invierte inclusiones:

{Ideales} ⌧ {Variedades}Y tal que:

Z ⇢ V (I(Z))

con igualdad cuando Z es algebraico.

Teorema: (Nullstellensatz): La correspondencia es biyectiva cuando nos restringimos a ideales radicales.

Problemas DiofantinosProblema: Muestra que la ecuación:

Problema: Qué podemos decir de:

x

2 + y

2 = 7z2

no tiene soluciones (no triviales) con x,y,z racionales.

x

5 + y

5 = 7z5

Solucion: p = int(raw_input('Ingresa el módulo: '))

lista = range(0,p)

count = 0

for a in lista:

for b in lista:

for c in lista:

if ((a**n)+(b**n) -7*(c**n)) % p == 0:

count = count + 1

print count, (a,b,c)

print 'Hay %d soluciones a la ecuaión a^%d +b^%d = 7c^%d móudlo %d ' % (count, n,n,n,p)

Encontramos que módulo 7 tiene 49 soluciones, módulo 2 tiene 4, módulo 3 tiene 9, módulo 11 tiene 51, módulo 13 tiene 169 etc...

Problemas Diofantinos¿Tiene la ecuación soluciones en el anillo de polinomios?

A los problemas de encontrar soluciones de ecuaciones polinomiales en un anillo R se les llama problemas Diofantínos sobre R.

Con una ecuación particular podemos asociar una cantidad infinita de problemas Diofantinos, uno para cada anillo conmutativo R.

La Función z de Riemann Bernhard Riemann (1826 -1886), Fundó en su tesis dirigida por Carl Friedrich Gauß, la base de la geometría Riemanniana. Se interesó también a la aritmética: Definición la función zeta:

⇣(s) =1X

n=1

1

ns

Riemann:ζ(s) puede extenderse a todo el plano complejo salvo en s =1

Verifica una ecuación funcional:

Tiene ceros tribales en los pares negativos.

Hipótesis de Riemann: Los ceros no triviales tienen parte real igual a 1/2

⇣(s) = 2s⇡s�1 sin⇣⇡s

2

⌘�(1� s)⇣(1� s)

Fórmula de EulerEuler (1707 - 1783):

⇣(s) =Y

p primo

1

1� p�s

La hipótesis de Riemann no ha sido demostrada hasta ahora, y es considerada uno de los problemas del milenio no resueltos. Uno de los 23 problemas de Hilbert que propuso en el congreso de Paris de 1900 y es uno de los 7 problemas para los que el Instituto Clay tiene designado un millón de dórales para quien presente una prueba correcta.

Las Conjeturas de WeilEn 1923 Emil Artin (1898 - 1962) formula, en su tesis de habilitación en la universidad de Hamburgo, un análogo a la hipótesis de Riemann en donde el 1/2 juega un papel importante.

La construcción de base es que hay una fuerte analogía entre el campo de números racionales ℚ y el campo de funciones racionales en una variable sobre el campo finito .

Más aún, hay una gran analogía entre los campos que son una extensión finita de ℚ (los llamados campos numéricos) y las extensiones finitas de (llamados campos de funciones.)

Fp(t)Fp

Fp(t)

¿Campos finitos?Ejemplos de campos finitos son los enteros

módulo un primo: ℤ/pℤ = .

El campo con 9 elementos no es un campo de congruencias de los enteros.

Fp

F9

Teorema de GaloisTeorema: Para todo número de la forma con p un número primo y n entero positivo, existe un campo finito F con exactamente elementos. Más aún, todo campo finito tiene exactamente elementos para un primo p y un entero n>0. Además cualesquiera dos campos finitos con q elementos son isomorfos.

pn

pn

pn

Teorema: Si fijo una cerradura algebraica de un campo finito. Entonces sólo hay un campo finito con q elementos en la cerradura algebraica.

si n | m, entones el campo finito con pn elementos está contenido en el campo con pm elementos.

Todo campo finito es un cociente de un anillo de

polinomios en una variable con coeficientes en ℤ/pℤ.

La función Z de una variedad sobre un campo finito

⇣(X, s) :=Y

x2X

✓1

1� q(x)�s

◆

Sea X una variedad sobre el campo finito con q elementos:

La función ZCon un poco de manipulación algebraica, se puede demostrar que:

⇣(X, s) = exp

1X

k=1

Nk(q�s)

k

k

!

En donde NK = |X(Fqk)|

Las Conjeturas de Weil

ζ(X,s) puede ser escrita como ua función racional en .

Si n = dim(X), y si hacemos t = . Entonces:

Si X es una variedad proyectiva suave sobre escampo finito . Entonces se debería cumplir que: Fq

q�s

q�s

⇣(X, s) =P1(t)P3(t) · · ·P2n�1(t)

P0(t)P2(t) · · ·P2n(t)

En donde las raíces de Pi son números complejos de norma qi/2

Las raíces de Pi(t) son las mismas que las raíces de:

Si X es la reducción módulo p de una variedad X’ definida sobre un subcampo de los complejos, entonces los bi = grad Pi es el i -ésimo número de Betti de X’ con la topología analítica.

⇣(X, s) =P1(t)P3(t) · · ·P2n�1(t)

P0(t)P2(t) · · ·P2n(t)

tdegP2n�i(1/qnt).

La función Z del círculoCalculemos la función z de , para p un primo de la forma 4s-1.

El círculo es racional a la recta, por lo que:

y entonces:

x

2 + y

2 = 1

Nk = qk + 1

⇣(X, t) =1

(1� t)(1� qt)=

1

(1� q�s)(1� q1�s)

Weil sugirió que sus conjeturas de deberían seguir de la existencia de una teoría de cohomología adecuada ``una teoría de cohomología de Weil'' para variedades sobre campos finitos, que sea similar a la cohomología usual con coeficientes racionales para variedades complejas.

Su idea fue que si φ es el automofismo de Frobenius sobre un campo finito, entonces el número de puntos de la variedad X sobre el campo finito de orden q^m es el número de puntos fijos de φm (actuando en todos los puntos de la variedad X definida sobre la cerradura algebraica).

En topología, el número de puntos fijos de un automorfismo se puede calcular usando la fórmula de puntos fijos de Lefschetz, dando como una suma alternada de las traces en el grupo de cohomología:

|X(k)| = qdimXX

i

(�1)itr��1q |Hi(X,Q`).

La demostración

La racionalidad de la función zeta fue probada por B. Dwork en 1960, usando métodos p-ádicos.

La ecuación funcional por Grothendieck en 1965

El análogo a la hipótesis de Riemann por Deligne en 1974.