cualquier magnitud

7/23/2019 Cualquier Magnitud

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ET31RT4

CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE

CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE

CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA




ÉLITE CATÓLICA





ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS CUADRANTALES Analicemos los ángulos en un Sistema de Coordenadas

Rectangulares.

Ahora aprenderemos a memorizar los valores completando

el siguiente cuadro, donde tú analizas cada ángulo:

Cuadrantes IC IIC IIIC IVC

Ángulos

. !."# $"# %&"# '("# )*"#

SenoCoseno!angenteCotangenteSecanteCosecante

Preguntas:

%. +l valor máimo - mnimo del seno - coseno es: /% -

0%.

'. +l seno es creciente en el: 1111111111111111111

). +l coseno es creciente en el: 1111111111111111111

%. Calcular:

+ 2 3 Sen $"# / 4 Cos %&"# 0 ) Sen '("#

'. Calcular:

V 2°−°

°+°

"Cos''("Sen4

)*"Cos)$"Sen'

). 5allar el valor de +:

+ 2 6a' / 7'8 . Cos 6'("# 0 8 0 6a / 78' . Cos 6489

si 2 $"#.

4. 5allar:+ 2

°

°°+

°°°

°°°

)"Sen

$"Sen.*"Sec'

43Cos.%&"Cos."Cos

43Sen.*"Cos.)"Sen

Reducir un ángulo al primer cuadrante consiste en

esta7lecer una euivalencia entre las razones

trigonom;tricas de un ángulo de cualuier magnitud - las

razones trigonom;tricas de un ángulo agudo. Ca7e resaltar

ue dicha euivalencia es posi7le de7ido al carácter

peri<dico de las =unciones trigonom;tricas, es decir, ue

estas van repitiendo sus valores con=orme vara el

cuadrante, alterando simplemente su signo.

Con este =in, es menester esta7lecer los siguientes casos

de reducci<n al primer cuadrante:

- >ara ángulos positivos menores de una vuelta.

- >ara ángulos positivos ma-ores de una vuelta.

- >ara ángulos negativos.

Antes de empezar con el desarrollo de cada caso, es

necesario recordar el siguiente cuadro:

Av. Universitaria 187 ! "#e$%& Li$re 'Frente a %a U. Cat(%i)a* + ,-1 87/0

$"#

%&"#

'("#

"#, )*"#

IIC6Segundo

Cuadrante8

IC6>rimer

Cuadrante8

IIIC6!ercer

Cuadrante8

IVC6Cuarto

Cuadrante8

?

@

SenoCosecante

II C.

III C.!angente

Cotangente

IV C.Coseno

Secante

6/8

6/86/8

6/8!odas

I C.



Preguntas :

a8 +n u; cuadrante o cuadrantes el seno es 6/8B

78 +n u; cuadrante o cuadrantes la tangente -cotangente tienen el mismo signoB

c8 +n u; cuadrante se cumple ue: Seno ", mientras

Coseno D "B

I. REDUCCIÓN "ARA ÁNGULOS "OSITIOS

MENORES DE UNA UELTA>ara reducir este tipo de ángulos, es necesario

epresar dichos ángulos en t;rminos del ángulo cuadrantal

más cercano. Veamos:

A8 Para ángulos de la forma (180° x) ó (360° x)

=.t. 6%&"# ± 8 2 ± =.t.68

=.t. 6)*"# ± 8 2 ± =.t.68

Observacón: +l signo depende de la raz<n

trigonom;trica inicial, - del cuadrante al cual pertenece el

ángulo antes de reducir.

>or eEemplo:

a8 Reducir: Sen )""#

78 Reducir: Sec '%"#

Ejemplos:

%. Calcular: !g %3"# , !g %)3# / !g %'"#

'. Si α, β - θ son ángulos de un triángulo, indicar

verdadero 6V8 o =also 68, según corresponda a las

siguientes proposiciones:

I. Sen6β / θ8 2 Sen α

II. Cos α 2 0Cos6β/ θ8

III. !g α 2 0!g6β / θ8

). Si A - F son ángulos suplementarios, reducir:

G 28F) A'6Cos

8F' A6Cos.8)"F A6Sen

+

+°++

F8 Para ángulos de la forma (!0° x) ó ("#0° x)

=.t. 6$"# ± 8 2 ± CH 0 =.t.68

=.t. 6'("# ± 82 ± CH 0 =.t.68

Observacón: +l signo depende de la raz<n

trigonom;trica inicial, - del cuadrante al cual pertenece el

ángulo antes de reducirlo.

>or eEemplo:

a8 Reducir: Sen %3"#

78 Reducir: Sec ''3#

Ejemplos:

%. Reducir:°

°

'4"Ctg

%3"Cos.%3"Sen

'. +n un cuadrilátero los ángulos internos miden α, β,

'α, 'β. 5allar Sen 6α / β8

). Según el grá=ico mostrado, calcular:

A 28)46!g8'6Cos

8'6Sen

β+αβ+α

β+α

NOTA

as euivalencias anteriores, presentadas inicialmente

para ángulos medidos en el sistema seagesimal,

tam7i;n se pueden utilizar para ángulos medidos en el

sistema radial. >or eEemplo:

=. t. 6%&"# ± 8 2 ± =. t. 68

< tam7i;n

=. t. 6π ± 8 2 ± =. t. 68 ............ 6π <> %&"#8

- 2 -

%&"# )*"#

@

?

$"#

'("#

@

?

αα β

β



Además, en =orma más general, el ángulo JK utilizado

no necesariamente de7e ser agudo, porue aún en el

caso ue ;ste no lo sea, pero procediendo como si;ste lo =uese la igualdad se mantendra.

>or eEemplo:

Sen6%&"# / 8 2 0Sen 6Licha igualdad se mantiene a

pesar de no conocer la

magnitud de JK8

II. REDUCCIÓN "ARA ÁNGULOS MA2ORES

DE UNA UELTA>ara este caso 7astará con dividir la varia7le angular

entre )*"#, para =inalmente tomar la misma =unci<n

trigonom;trica al residuo. Si el residuo no pertenece alprimer cuadrante, se de7erá proceder como en el caso

anterior.

=. t. 6α8 2 =. t. 6)*"#M / β8 2 =. t. 6β8, M ∈Ζ

>or eEemplo:

a8 Reducir: Sen %&*"#

78 Reducir: !g '"""#

Ejemplos:

%. Reducir:87a6

'"%"Sen7%)3"Sena ''

+

°+°, con a /

7 ≠ "

'. Calcular JK, si: !g '"4"# 0 !g '4*"# 2 '!g , con JK

agudo.

Observación +l proceso de dividir entre )*"#, tam7i;n lo

podemos pensar as: J+presar el ángulo como la suma de

un número entero de vueltas mas un ángulo menor de una

vuelta, - uedándonos con ;ste últimoK 6es decir seJelimina las vueltasK8.

). Reducir: !g643"# / 8 . Ctg634"# 0 8

NOTA

Le la misma =orma como epresamos un ángulo en

grados seagesimales como un número entero de

vueltas mas un ángulo de menor de una vuelta,

tam7i;n lo podemos realizar con un ángulo ue está

en radianes.

>or eEemplo:

Sen

π

)

'3 ⇒ Sen

π+

π

))

'4

⇒ Sen

π+π)

& ,

luego: Sen

π

)

'32 Sen

)

π 2

'

)

III. REDUCCIÓN "ARA ÁNGULOS

NEGATIOS+n este último caso pasaremos del cálculo de =. t. de

ángulos negativos al cálculo de =. t. de ángulos positivos.

>ara esto, tendremos en cuenta lo siguiente:

Sen 608 2 0Sen

Cos 608 2 Cos

!g 608 2 0!g

Ctg 608 2 0Cot

Sec 608 2 Sec

Csc 608 2 0Csc

>or eEemplo:

a8 Reducir: Sen 60)""#8

78 Reducir: Cos 60'"""#8

Ejemplos:

%. Calcular:

Sen6043#8 Cos60%'"#8 Csc60'%"#8

'. Simpli= icar:

N 28a6Ctg

8a6Csc8a$"6!g8a6Sen

−

−+°−

). Reducir:

Cos

−+π 7a') / Sen 6%'π 0 a / 78

%. Simpli= icar:

A 2 3 cos $"# / ) sen $"# 0 3 cos "# / * cos )*"#

A8 % F8 ' C8 ) L8 4 +8 O.A.

'. Simpli= icar:

- 3 -



P 2

°+°−°+° °+°+°−° %&"sen*$"cos'$"sen)"cos3

)*"cos4'("sen%&"cos'$"sen)

A8 " F8 ' C8 ) L8 & +8 O.A.

). Reducir: + 2 / I

Siendo: 2 ) tan %&"# 0 ) cos %&"# 0 sen '("#

I 2 ' sen $"# / 4 ctg '("# 0 sec %&"#

A8 4 F8 3 C8 * L8 ( +8 &

4. Simpli= icar:

R 2 6a / 78' . cos "# / a' . sen "# / 7' . cos '("#

/ 6a 0 78' . sen '("#

A8 a / 7 C8 a7 +8 O.A.F8 a 0 7 L8 aQ7

3. Siendo:

+ 2 a' . sen'$"# / 7' . cos "# 0 'a7 . sen '("#

2 a' . sen'$"# / 'a7 . cos %&"# / 7 ' . cos))*"#

Calcular: C 2 + 0

A8 'a7 C8 )a7 +8 O.A.

F8 4a7 L8 *a7

*. Si V 2 sen 4&"# / cos 4&"#

+ 2 tg 3&3# . cot 3&3#

5allar el valor de: 6V / +8'

A8 6' 0 ) 8 Q ' C8 ) Q ' +8 )

F8 6' / ) 8 Q ' L8 0 ) Q '

(. 5allar Jtg θK si: θ 2 ''3Q( sen )$(# / cos 60)(#8

A8 % F8 0% C8 ' Q ' L8 )Q4 +8

)

&. Calcular:

+ 2

°°°°

°°°°

))"cot.))(cos.)%3csc.)""cos

%3(cos.'4"tg.''3sec.'%"sen

A8 % F8 0% C8 ' L8 0' +8 %Q'

$. Calcular el valor de:

+ 2 cos %"# / cos )"# / cos 3"# / ...... / cos %("#

A8 " F8 % C8 0% L8 ' +8 0'

%". Calcular: V 2 tg%'

π / tg

%'

3π / tg

%'

(π / tg

%'%%π

A8 0' F8 0% C8 ' L8 % +8 "

%%. Simpli=icar:

+ 2 sen6)*"# / θ8 / cos θ . cos 6$"# 0 θ8/ sen 6$"# 0 θ8 . sen 6)*"# 0 θ8

A8 0sen θ C8 cos θ +8 %

F8 sen θ L8 0cos θ

%'. Simpli=icar:

V 2

86csc

8'("6sec

8$"6tg

8%&"6cot

8$"6sen

86cos

θ−

θ+°+

θ−°

θ+°+

θ+°

θ−

A8 ' F8 % C8 0% L8 0' +8 0)

%). Reducir: G 286csc

8'6sen86tg

α+π

α−π+α−π

A8α

α

cos

sen'

6% / cos α8 L8 sec α 6% 0 cos α8

F8 tg α 6% / sen α8 +8α

α

cos

sen'

6% 0 cos α8

C8 sen' α 6% / cos α8

%4. Calcular:

C 284Q6tg

sen8'Q6csc

π− π−π−

A8 " F8 0% C8 % L8 0' +8 '

%3. Si: sen %'# 2 9 hallar cot 60%$$'#8

A8 0 ',%− Q C8 %Q +8 '

F8 ',%− Q L8 ,

%*. Si: cos )3"# 2'N%

%

+9 hallar: cot '*"#

A8 %QN F8 0N C8 N L8 0%QN +8 %

%(. Si: α 2 ('# 9 β 2 %3#

5allar: V 2

8'%"6tg

8436tg

8))6cos

8)'6sen

β+α

β+α+

β+α

β+α

A8 ' F8 4 C8 ) L8 % +8 "

%&. Si: sen 3"# 2 c, tg '&# 2 a 9 ctg )$# 2 7. Calcular:

V 2

°°°−

°+°−°−°

'%$ctg.%3'tg.83"6sen

'4'ctg84"6Rcos.8'"&tg%)"sen6

- 4 -



A8

a7c

8ca6 '+L8

c7

7c

'

''+

F8a7c

ac '' −+8

'

''

7c

7a +

C8a7c

aa7c ''' −+

%$. Reducir:

6tg.8c%*'"cos6

6sen.8a43"cot6

8a)*"cos6.87'("6ctg

87%&"6tg.8a'("6sen

+°

−°+

+°−°

−°−°

A8 0% F8 " C8 % L8 ' +8 )

'". Sea: 68 2 64 0 cos8 64 / cos8

T68 2 6sen 04

%8 6sen /

4

%8

5allar: ma × Tmin

A8 % F8 0% C8 " L8 %* +8 O.A.

'%. Calcular el euivalente a:

+

π−

+

π,

'

)cos,

'sen

A8 sen / cos L8 0sen 0 cos F8 sen 0 cos +8 "

C8 cos 0 sen

''. Simpli=icar:

8,$"6sen

,cos

,cot

8,$"6tg

8,6sen

8,%&"6sen

+°+

+°−

−

−°

A8 " F8 % C8 0% L8 ) +8 0)

'). Reducir: φ 2

8,)*"6cos

8,)*"6sen

8,%&"6cos

8,%&"6sen

+°

−°+

−°

+°

A8 " C8 0'tan +8 0'sec

F8 'tan L8 'cot

'4. / - / z 2 %&"#. 5allar:

S 2,cos

8z-6cos

zsen

8-,6sen ++

+

A8 % F8 ' C8 0' L8 0% +8 "

'3. +n un triángulo AFC hallar:

P 2 Acos

8CF6cos

Ctan

8F A6tan ++

+

A8 " F8 0% C8 0' L8 % +8 '

'*. Si / - / z 2 π

sen / sen - cos z 2 "

Calcular: U 2 ' tan - / tan z A8 % F8 ' C8 ) L8 0% +8 "

'(. Si: sen α 2)

'a − α ∈ IIC

5allar la etensi<n de JaK

A8 ⟨%, '⟩ C8 ⟨), 3⟩ +8 O.A.

F8 ⟨', )⟩ L8 ⟨', 3⟩

'&. Calcular: sen %# . sen '# . sen )#

A8 " F8 % C8 0% L8 ' +8 ±%

'$. Si: cos θ 2*

3a − θ ∈ IVC

5allar la etensi<n de JaK

A8 ⟨", 3⟩ C8 ⟨", %"⟩ +8 ⟨3, %%⟩

F8 ⟨", &⟩ L8 ⟨", %%⟩

)". 5allar el máimo - el mnimo valor de: - 2 cos'

A8 % - " C8 % - % +8 O.A.

F8 % - 0% L8 " - '

)%. Indicar el cuadrante donde el coseno - la tangente

tienen igual signo.

A8 I - II C8 I - IV +8 II - IV

F8 I - III L8 II - III

)'. Ladas las condiciones:

A 2 tan 4""# / cos &%"#

F 2 cot (*"# . sen 43"#

C 2 tan %%'3# . sec ('"#

Calcular el valor de A.F.C

A8 4 F8 ) C8 ' L8 % +8 "

)). Reducir: G 2,tg

8,6tg −

A8 0% F8 % C8 " L8 ∉ +8 .L.

)4. 5allar: A 28,%&"6cos

8,$"6sen

−°

+°

A8 % F8 ' C8 0% L8 0' +8 "

)3. Calcular: + 2 tg 60%'""#8

A8 ) C8 '

)

+8 O.A.

- 5 -



F8 0 ) L8 0'

)

)*. H7tener: R 2 sen 4())#

A8 4Q3 F8 )Q3 C8 )Q4 L8 %Q' +8 O.A.

)(. Siendo: / - 2 %&"#, seWale V o en:

I. sen 2 sen -

II. cos 2 cos -

III. tg 2 0tg -

A8 VVV F8 VV C8 V L8 V +8

)&. 5allar los lmites de JmK si:

sen α 23

)m' −

A8 ⟨ 0%, 4⟩ C8 0%, 4⟩ +8 0%, %

F8 ⟨ 0%, 4 L8 0%, 4

)$. >ara u; valores de JaK se veri=ica la igualdad:

sen 2 'a 0 )

A8 a ≤ ) C8 0% ≤ a ≤ % +8 O.A.

F8 % ≤ a ≤ ' L8 " ≤ a ≤ '

4". Indicar verdadero 6V8 o =also 68 las siguientes

proposiciones:

I. sen6π/8 2 sen

II. cos6πQ'/8 2 0sen

III. tg6)πQ'08 2 cot

A8 V F8 V C8 VV L8 V +8 VV

- 6 -

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