3. ¿Cuál es la matriz asociada a las transformaciones de R2 en R2 que realizan reflexiones con respecto al eje y, reflexiones con respecto al eje x, traslaciones, contracciones y rotaciones?

Reflexiones

Las reflexiones se determinan frente a cualquier recta en el plano. Pero son de mayor importancia las que están relacionadas con una recta que pasan por el origen, especialmente respecto a los ejes X y Y.

Matriz asociada a reflexiones con respecto al eje Y

La reflexión para el eje Y se define con la siguiente fórmula:

Ry(x,y)= (-x,y)

La matriz asociada es una matriz que al multiplicarla por el vector de salida debe dar por resultado el vector de imagen. En este caso la matriz asociada es:

Al multiplicar la matriz anterior por el vector de salida (x,y) debe dar por resultado (-x,y), como se observa a continuación:

Matriz asociada a reflexiones con respecto al eje X

La reflexión para el eje X se define con la siguiente fórmula:

Rx(x,y)= (x,-y)

En este caso la matriz asociada es:

.

Al multiplicar la matriz anterior por el vector de salida (x,y) debe dar por resultado (x,-y), como se observa a continuación:

Traslaciones

Es el desplazamiento de un punto o grupo de puntos según un vector V fijo. Existe un vector que al sumarlo con la matriz cambia las coordenadas.

Las traslaciones se definen como:

En este caso la matriz asociada es:

Lo que genera el movimiento en la matriz es la suma de un vector adicional, lo cual se puede evidenciar en el siguiente grafico:

Contracciones

La comprensión es un escalamiento a lo largo de los ejes. Se trata de generar un movimiento ya sea en X o en Y dejando inalteradas las coordenadas de alguno de los ejes. La transformación cosiste en:

Donde C debe ser mayor a cero y menor a 1 si se trata de una contracción en la dirección del eje X y su matriz asociada es:

Rotaciones

Las rotaciones son giros en el plano, normalmente alrededor del origen. Se definen como:

La matriz asociada en este caso sería:

4. ¿Qué es un fractal?

Los fractales se generan de la repetición de un proceso geométrico sencillo, el cual después de diversas iteraciones genera una figura de gran complejidad. Existen diversas familias de fractales por eso no es posible dar una definición que las abarque en su totalidad.

Una característica en común de los fractales es que cada pequeña porción del fractal contiene el todo, es decir, es una copia a menor escala de la figura más grande que la contiene.

La dimensión de los fractales no es entera es fraccionaria, es decir que no se pueden encasillar en una dimensión como la primera, segunda o tercer, ya que son objetos más complejos incluso a los que se conocen en la realidad.

Los fractales se aplican para la compresión de datos, con el teorema de collage. Sin embargo, muchas veces se usan a manera de expresiones artísticas como también se pueden encontrar ejemplos es la naturaleza, como los copos de nieve.