cuadernos de algebra´ no. 3...

CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 3

Modulos

Oswaldo Lezama

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias

Universidad Nacional de ColombiaSede de Bogota

30 de junio de 2014

ii

Cuaderno dedicado a Andreita, mi hija.

Contenido

Prologo iv

1 Modulos, submodulos y cocientes 1

1.1 Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Submodulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Modulo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Modulos finitamente generados 11

2.1 Operaciones con submodulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Submodulos maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Homomorfismos 19

3.1 Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Teoremas de homomorfismo e isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Hom 26

4.1 El grupo HomA(M,N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Bimodulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Producto y suma directa 33

5.1 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Suma directa externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

iii

iv CONTENIDO

6 Suma directa interna 436.1 Definicion y caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Sumando directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7 Modulos libres 507.1 Definicion y caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.2 Cardinalidad de las bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.3 Modulos libres y homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8 Modulos finitamente generados sobre DIPs 618.1 Modulos de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.2 Modulos sin torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.3 Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.4 Componentes primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.5 Divisores elementales y factores invariantes . . . . . . . . . . . . . . . 698.6 Grupos abelianos finitamente generados . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Bibliografıa 80

Prologo

La coleccion Cuadernos de algebra consta de 10 publicaciones sobre los princi-pales temas de esta rama de las matematicas, y pretende servir de material parapreparar los examenes de admision y de candidatura de los programas colombianosde doctorado en matematicas. Los primeros cinco cuadernos cubren el materialbasico de los cursos de estructuras algebraicas y algebra lineal de los programas demaestrıa; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temasde los examenes de candidatura, a saber: anillos y modulos; categorıas; algebrahomologica; algebra no conmutativa; algebra conmutativa y geometrıa algebraica.Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacionalde Colombia en los ultimos 25 anos, y estan basados en las fuentes bibliograficasconsignadas en cada uno de ellos, como tambien en el libro Anillos, Modulos yCategorıas, publicado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional deColombia, y cuya edicion esta totalmente agotada (vease [15]). Un material similar,pero mucho mas completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el exce-lente libro de Serge Lang, Algebra, cuya tercera edicion revisada ha sido publicadapor Springer en el 2004 (vease [14]). Posiblemente el valor de los Cuadernos dealgebra sea su presentacion ordenada y didactica, ası como la inclusion de muchaspruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teorıa. Loscuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y modulos2. Anillos 7. Categorıas

3. Modulos 8. Algebra homologica

4. Algebra lineal 9. Algebra no conmutativa

5. Cuerpos 10. Algebra conmutativa y geometrıa algebraica

Los cuadernos estan dividido en capıtulos, los cuales a su vez se dividen ensecciones. Para cada capıtulo se anade al final una lista de ejercicios que deberıa sercomplementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen lasprincipales monografıas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de modulos. Los grupos abelianos, las algebras asociativas y losespacios vectoriales pueden ser considerados como estructuras particulares de lateorıa general de modulos. Aunque historicamente las tres estructuras mencionadas

v

vi PROLOGO

precedieron a la teorıa de modulos sobre anillos, esta ultima las generaliza y les sirvede soporte teorico. Para senalar solo un caso, podemos decir que en los ultimos anosse ha venido estudiando con bastante intensidad el algebra lineal sobre anillos, la cualse fundamenta primordialmente en la teorıa de modulos sobre anillos conmutativos(vease por ejemplo [21]). El proposito de este cuaderno es presentar los conceptos yresultados elementales concernientes a modulos sobre anillos arbitrarios. Se destacanespecialmente los teoremas de homomorfismo, correspondencia e isomorfismo. Ellema 4.1.3 (lema de Schur) describe los anillos de endomorfismos de modulos simples.En el capıtulo 7 se caracterizan los modulos libres como sumas directas externasde copias del anillo A (teorema 7.2.5), o bien, a traves de funciones extendibles demanera unica a homomorfismos (teorema 7.3.1). El estudio detallado de los modulosfinitamente generados sobre dominios de ideales principales se realiza en el ultimocapıtulo. Esto permite probar en forma rigurosa el teorema de estructura de losgrupos abelianos finitamente generados, y con el teorema 5.3.6, calcular su grupode endomorfismos.

Al igual que en el Cuaderno 2, hemos procurado presentar una gran variedadde ejemplos que complementan la teorıa. En particular, se destacan Rp∞ y QZ,el primero de ellos corresponde a un modulo irreducible no cıclico pero en el cualtodos sus submodulos propios son cıclicos. El segundo es tambien un submoduloirreducible sin submodulos maximales ni minimales.

El autor desea expresar su agradecimiento a Sandra Patricia Barragan Moreno,colega y amiga, por la digitalizacion del material del presente cuaderno, y a Clau-dia Milena Gallego Joya, discıpula y amiga, por la revision cuidadosa de todo elcontenido.

Oswaldo LezamaDepartamento de Matematicas

Universidad Nacional de ColombiaBogota, Colombia

[email protected]

Capıtulo 1

Modulos, submodulos y cocientes

1.1 Definicion y ejemplos

Definicion 1.1.1. Sean (M,+) un grupo abeliano y (A,+, ·, 1) un anillo. Se diceque M tiene una estructura de modulo a la derecha sobre el anillo A, si se hadefinido un producto entre elementos de M y de A

M × A −→ M(m, a) 7−→ m · a

para el cual se cumplen las siguientes condiciones:

(i) (m1 +m2) · a = m1 · a+m2 · a

(ii) m · (a1 + a2) = m · a1 +m · a2

(iii) m · (a1 · a2) = (m · a1) · a2

(iv) m · 1 = m

con m,m1,m2 ∈M , a, a1, a2 ∈ A.

De manera similar se definen los modulos a izquierda sobre el anillo A, de talmanera que se puede desarrollar toda la teorıa de modulos trabajando a izquierda.En adelante, si no se advierte lo contrario, la palabra modulo denotara modulo ala derecha. Un modulo a la derecha sobre A sera denotado por MA, o simplementepor M si es claro el anillo sobre el cual se define la estructura de modulo. Tambiense dira que M es un A-modulo. Tanto el elemento nulo del grupo (M,+) como elelemento nulo del anillo (A,+, ·, 1) seran denotados por 0. Siguiendo la terminologıausada en espacios vectoriales, los elementos del grupo M se denominan vectores ylos del anillo A escalares.

1

2 CAPITULO 1. MODULOS, SUBMODULOS Y COCIENTES

Ejemplo 1.1.2. Sea (M,+, 0) un grupo abeliano. Los multiplos enteros de elemen-tos de M se definen inductivamente:

m · 1 := mm · k := m · (k − 1) +m, k ≥ 2m · 0 := 0m · (−k) := (−m) · k, k ∈ Z+

m ∈M , k ∈ Z+;

es facil probar que M es un Z-modulo. Ası pues, cada grupo abeliano es un Z-modulo.

Ejemplo 1.1.3. Cada grupo abeliano (M,+) es modulo a la izquierda sobre suanillo End(M) de endomorfismos respecto de la siguiente operacion:

f ·m := f (m), m ∈M , f ∈ End(M).

Ejemplo 1.1.4. Si K es un anillo de division, entonces cada espacio vectorial sobreK es un K-modulo a izquierda (para los espacios vectoriales los escalares son dis-puestos habitualmente a izquierda). Ası pues, el algebra lineal puede ser consideradacomo una rama particular de la teorıa de modulos.

Ejemplo 1.1.5. Sea A un anillo y sea Mn (A) su anillo de matrices cuadradas deorden n. El producto

a · F := a · [fij] = [afij],

da a Mn (A) estructura de A-modulo a izquierda. En forma analoga se define laestructura de A-modulo por el lado derecho.

Ejemplo 1.1.6. Sea A un anillo, el anillo de sucesiones formales A [[x]] (vease [18])tiene estructura de A-modulo

(a0, a1, a2, . . .) · a := (a0a, a1a, . . .), a ∈ A.

De igual manera, el anillo de polinomios A [x] es un A-modulo

(a0 + a1x+ . . .+ anxn) · a := a0a+ a1ax+ · · ·+ anax

n, a ∈ A.

Las estructuras de A-modulo por el lado izquierdo se definen en forma similar.

Ejemplo 1.1.7. Cada anillo A tiene estructuras naturales de A-modulo izquierdoy A-modulo derecho:

a · x := ax, x · a := xa, a, x ∈ A.

A presenta diferentes propiedades bajo estas dos estructuras, las denotaremos por

AA y AA, respectivamente.

1.1. DEFINICION Y EJEMPLOS 3

Ejemplo 1.1.8. Si A es un anillo e I es un ideal derecho de A, entonces el grupoabeliano cociente A/I tiene una estructura natural de A-modulo:

x · a := xa, x = x+ I, x, a ∈ A.

La estrucutra izquierda resulta al considerar un ideal izquierdo. Este ejemplo serageneralizado mediante la definicion 1.3.1.

Ejemplo 1.1.9. Si A es un anillo, entonces el grupo aditivo del anillo productoAn = A × · · · × A, conformado por todos los vectores columna de longitud ncon entradas en A, es un A-modulo con la operacion

(a1, . . . , an)T · a := (a1a, . . . , ana)T , a ∈ A.

El conjunto de vectores fila de longitud n con entradas en A se denota por A1×n,y tiene estructura natural de A-modulo izquierdo dada por

a · (a1, . . . , an) := (aa1, . . . , aan).

En los ejemplos anteriores hemos considerado tanto modulos izquierdos comoderechos. Es oportuno hacer la siguiente aclaracion.

Observacion 1.1.10. Sea A un anillo, dado un modulo izquierdo (derecho) Msobre A, no siempre se puede convertir a M en modulo derecho (izquierdo) con solocambiar el lado de la accion de los escalares. En efecto, sea V el grupo abelianodefinido por

V := {e, a, b, ab} , a2 = b2 = e, ab = ba

y consideremos las funciones

Gf−→ G

e 7−→ ea 7−→ ab 7−→ abab 7−→ b

Gg−→ G

e 7−→ ea 7−→ bb 7−→ aab 7−→ ab

que resultan ser endomorfismos para los cuales se tiene que f ◦ g 6= g ◦ f ; seaA = End(V ) su anillo de endomorfismos. Segun el ejemplo 1.1.3, el producto

h ·m := h (m), h ∈ A, m ∈ V .

convierte a V en A-modulo izquierdo. Definamos

m× h := h ·m = h (m), h ∈ A, m ∈ V .


Notese que a×(fg) 6= (a× f)×g, con lo cual este producto no da a V una estructurade A-modulo derecho.

Sin embargo, si R es un anillo conmutativo y M es un R-modulo derecho, en-tonces el producto

r ·m := m · r, m ∈M , r ∈ R,

convierte a M en un R-modulo izquierdo:

1 ·m = m · 1 = m;(r1 + r2) ·m = m · (r1 + r2) = m · r1 +m · r2 = r1 ·m+ r2 ·m;

(m1 +m2) · r = r · (m1 +m2) = r ·m1 + r ·m2 = m1 · r +m2 · r;(r1 · r2) ·m = m · (r1 · r2) = m · (r2 · r1) = (m · r2) · r1 = (r2 ·m) · r1 = r1 · (r2 ·m).

En resumen, la teorıa abstracta de modulos se puede desarrollar por la izquierda opor la derecha. Sin embargo, un ejemplo particular de A-modulo derecho no siemprees un A-modulo izquierdo.

De manera inmediata se tienen las siguientes propiedades elementales.

Proposicion 1.1.11. Sea A un anillo y M un A-modulo. Entonces,

(i) Para cada m ∈M y a ∈ A,

0 · a = 0

(−m) · a = − (m · a) = m · (−a)m · 0 = 0

(−m) · (−a) = m · a.

(ii) Si f : A′ −→ A es un homomorfismo de anillos, entonces el producto

m · a′ := m · f (a′), a′ ∈ A′, m ∈M ,

convierte a M en A′-modulo.

Demostracion. La dejamos como ejercicio al lector.

Es posible considerar a ambos lados dos estructuras de modulo sobre un mismogrupo abeliano.

Definicion 1.1.12. Sean A1, A2 anillos. Se dice que el grupo abeliano M es unA1-A2-bimodulo, si M es A1-modulo izquierdo, A2-modulo derecho, y ademas,

(a ·m) · b = a · (m · b), a ∈ A1, b ∈ A2, m ∈M .

1.2. SUBMODULOS 5

Ejemplo 1.1.13. Todo grupo abeliano M es un End(M)-Z-bimodulo:

f ·(m · k) = f (m · k) = f (m+ · · ·+m) = f (m)+· · ·+f (m) = f (m)·k = (f ·m)·k

para f ∈ End(M), m ∈ M , k ∈ Z+. Para k = 0, o, (−k) ∈ Z+, se estableceanalogamente que f · (m · k) = (f ·m) · k.

Ejemplo 1.1.14. Cada anillo A es un A-A-bimodulo. Si R es un anillo conmutativo,cada R-modulo es un R-R-bimodulo.

Ejemplo 1.1.15. Cada A-modulo derecho es un Z-A-bimodulo. Analogamente,cada A-modulo izquierdo es un A-Z-bimodulo.

Ejemplo 1.1.16. Mn (A) es un A-Mn (A)-bimodulo. Tambien A [[x]] es un A [[x]]-A-bimodulo.

Segun los ejemplos 1.1.2 y 1.1.4, los grupos abelianos y los espacios vectorialesson casos particulares de modulos. La teorıa de modulos es tambien generalizacionde las llamadas algebras asociativas, como veremos a continuacion.

Definicion 1.1.17. Sea R un anillo conmutativo. Se dice que el anillo A es unaR-algebra si A tiene estructura de R-modulo, y ademas,

(ab) · r = a (b · r) = (a · r) b, para cada a, b ∈ A y r ∈ R.

Ejemplo 1.1.18. Sea R un anillo conmutativo. Entonces, Mn (R), R [[x]], R [x]son R-algebras. Todo anillo A es una Z-algebra. Si K es un cuerpo y V es unK-espacio vectorial, entonces el anillo de transformaciones lineales de V , EndK (V ),es una K-algebra. Este ultimo es un caso particular de la proposicion 4.1.1 (iv) queveremos mas adelante.

1.2 Submodulos

Definicion 1.2.1. Sea M un A-modulo y N un subconjunto no vacıo de M . Sedice que N es un A-submodulo de M o, simplemente, un submodulo de M , si Nes un subgrupo del grupo (M,+), y ademas

n · a ∈ N , para cada n ∈ N y cada a ∈ A.

Se escribe N ≤ M . Los submodulos triviales de M son 0 = {0} y M . Unsubmodulo de M que no coincide con el se dice propio. El modulo M 6= 0 se dicesimple si sus unicos submodulos son los triviales. Un submodulo N 6= M se dicemaximal en M , si

N ⊆ N ′ ⇔ N ′ = N , o, N ′ = M ,


para cada submodulo N ′ de M . Un submodulo N 6= 0 se dice minimal en M , si

N ′ ⊆ N ⇔ N ′ = N , o, N ′ = 0,

para cada submodulo N ′ de M .

Observacion 1.2.2. En la coleccion de submodulos de un modulo M la relacionser submodulo es reflexiva, antisimetrica y transitiva. Ademas, si N y N ′ sonsubmodulos de M , se tiene que

N ⊆ N ′ ⇐⇒ N ≤ N ′.

Ejemplo 1.2.3. Sea M un A-modulo y m ∈M . El conjunto

{m〉 := {m · a | a ∈ A} = m · A,

es un submodulo de M llamado submodulo cıclico generado por m. Diremosademas que M es cıclico, si existe m ∈ M tal que {m〉 = M . Para modulos aizquierda usaremos la notacion 〈m}.

Considerando A como A-modulo derecho, entonces sus submodulos son pre-cisamente sus ideales derechos; los ideales izquierdos corresponden a la estructuraizquierda (vease el ejemplo 1.1.7).

Ejemplo 1.2.4. Los submodulos de un grupo abeliano son sus subgrupos. Asıpues, los submodulos de Z son de la forma 〈n〉, n ≥ 0, es decir, coinciden con sussubgrupos y con sus ideales. Ademas,

〈p〉 es maximal ⇔ p es primo.

Z no tiene submodulos minimales: 〈2n〉 ( 〈n〉, n 6= 0. Aprovechamos este ejemplopara hacer la siguiente observacion: todo anillo A puede ser considerado como grupoabeliano, como A-modulo o como anillo, segun convenga.

Ejemplo 1.2.5. Si K es un cuerpo y V un K-espacio vectorial, los submodulosde V son sus subespacios. Si V es de dimension finita n, entonces sus submodulosmaximales son los subespacios de dimension n−1, y los minimales los de dimension1. Si V es de dimension infinita con base X, entonces para cada x ∈ X, seaYx := X − {x}. Notese que 〈Yx〉 es maximal. Los subespacios minimales son comoen el caso finito.

Ejemplo 1.2.6. En el ejemplo 1.1.6, A [x] es un A-submodulo de A [[x]].

Ejemplo 1.2.7. Sean T un anillo de division y Mn (T ), n ≥ 2, el anillo de matricesde orden n sobre T . Se conoce que Mn (T ) es un anillo simple (vease [18]), es decir,Mn (T ) posee solo dos ideales bilateros; sin embargo, Mn (T ) como modulo sobre Tno es simple. En efecto, veamos que si

1.2. SUBMODULOS 7

Mr := {A = [aij] ∈Mn (T ) | aij = 0, para i 6= r},

es decir,

Mr =

0T . . . T

0

(fila r-esima),

entonces:

(i) Mr es un T -submodulo no minimal de Mn (T ).

(ii) Mr es un ideal minimal derecho de Mn (T ).

Veamos la demostracion. (i) Claramente Mr es un T -submodulo de Mn (T ). Seaahora M1r el conjunto de matrices A = [aij] ∈ Mn (T ) tales que aij = 0 para i 6= r,o, j 6= 1, es decir,

M1r =

0T 0 · · · 0

0

.

Es claro que 0 (M1r (Mr (ya que n ≥ 2), luego Mr no es minimal en Mn (T ).(ii) Dados A = [aij] ∈ Mr y B = [bij] ∈ Mn (T ), sea C = AB = [cij], donde

cij =∑n

k=1 aikbkj. Para i 6= r, aik = 0, con lo cual cij = 0, de donde C ∈ Mr, y porlo tanto, Mr es un ideal derecho de Mn (T ).

Sea ahora I un ideal derecho no nulo de Mn (T ) incluido en Mr. Si A = [aij] 6= 0es un elemento de I, entonces arq 6= 0 para algun q, 1 ≤ q ≤ n, y para cada j setiene que

AEqj = (∑n

k=1Erk · ark)Eqj = Erj · arq ∈ I,

donde Eij es la matriz cuya unica entrada no nula es 1 y esta en la interseccion dela fila i con la columna j, 1 ≤ i, j ≤ n, vease [18]. Si B = [bij] es un elementocualquiera de Mr, entonces

(Erj · arq)(Ejj · a−1

rq brj

)= Erj · brj ∈ I,

para cada 1 ≤ j ≤ n, de donde B ∈ I. Por lo tanto Mr = I y Mr es minimalderecho en Mn (T ).

Proposicion 1.2.8. Sea M un A-modulo. Entonces,

(i) M es simple ⇔ M 6= 0 y para cada elemento no nulo m ∈ M se cumpleM = {m〉.


(ii) Sea N un submodulo no nulo de M , N es minimal en M ⇔ N es simple.

Demostracion. (i) ⇒) Por definicion M 6= 0. Sea m 6= 0 en M , entonces 0 6={m〉 ≤M , con lo cual M = {m〉.⇐) Sea 0 6= N ≤M ; existe entonces n 6= 0 en N , y por la hipotesis, {n〉 = M ,de aquı M = N .

(ii) Evidente.

1.3 Modulo cociente

Dados un modulo M y un submodulo N , construimos el grupo cociente M/N alcual le damos estructura de A-modulo como sigue:

m · a := m · a, m = m+N, a ∈ A. (1.3.1)

La verificacion de los axiomas que definen la estrucutra de modulo es sencilla.

Definicion 1.3.1. El modulo definido por el producto (1.3.1) se denomina modulocociente de M por N , y se denota por M/N .

Ejemplo 1.3.2. Si M = Z y N = 〈n〉, entonces

M/N = Z/ 〈n〉 = Zn, n ≥ 0.

Notese que Zn puede ser considerado como anillo cociente, grupo cociente o modulocociente.

Dados un moduloM sobre un anillo A y un ideal bilatero propio I de A, es intere-sante saber bajo que condicion se puede definir sobre el grupo M una estructuranatural de A/I-modulo.

Proposicion 1.3.3. Sea M un modulo sobre el anillo A e I un ideal bilatero propiode A, la multiplicacion

m · a := m · a, a = a+ I ∈ A/I, m ∈M (1.3.2)

define una estructura de A/I-modulo sobre M si, y solo si, el conjunto

M · I := {∑n

i=1mi · ai |mi ∈M,ai ∈ I, n ≥ 1}

es nulo.

1.3. MODULO COCIENTE 9

Demostracion. Notese en primer lugar que M · I es un submodulo de M .⇒) Si x =

∑ni=1mi · ai ∈ M · I, entonces, segun (1.3.2), x =

∑ni=1mi · ai =∑n

i=1mi · 0 = 0, ya que ai ∈ I, 1 ≤ i ≤ n.⇐) El producto en (1.3.2) esta bien definido: sea a = a0 con a, a0∈A, entonces

a− a0 ∈ I, y ası m · (a− a0) ∈ M · I, es decir, m · (a− a0) = 0 para cada m ∈ M .Resulta, m · a = m · a0, es decir, m · a = m · a0. Las propiedades que definen sobreM una estructura de A/I-modulo se verifican inmediatamente.

Como observacion final notemos que la condicion M · I = 0 es equivalente am · a = 0 para cada cada m ∈M y cada a ∈ I.

Ejemplo 1.3.4. Si n ≥ 2, no existe ninguna estructura de Zn-modulo para Z: enefecto, si existiera una tal estructura, entonces necesariamente

m · 1 = m = m · 1,

para cada m ∈ Z. De aquı obtendrıamos entonces que m · k = m · k, para cadak ∈ Zn. Pero segun la proposicion anterior este producto define una estructura deZn-modulo para Z si, y solo si, Z · 〈n〉 = 0, lo cual evidentemente no es cierto.

Ejemplo 1.3.5. Sean n, m ≥ 2, Zm es Zn-modulo si, y solo si, m |n. Al igual queen el ejemplo anterior, si existe una estructura de Zn-modulo sobre Zm, entoncesnecesariamente x · k = x · k, para cada k ∈ Zn y cada x ∈ Zm. Segun la proposicion1.3.3 esto ocurre si, y solo si, Zm · 〈n〉 = 0, es decir, si, y solo si, 1 ·n = n = 0, lo cuales equivalente a m |n. Esta ultima condicion garantiza junto con (1.3.1) y (1.3.2),que Zm es un Zn-modulo.

Ejemplo 1.3.6. Dados un grupo abeliano M y un anillo A, es posible definir, enalgunos casos, dos estructuras diferentes de A-modulo sobre M . Por ejemplo, si Res un anillo conmutativo de caracterıstica 2 (vease [18]) y M es un R-modulo con elproducto m · r, entonces el producto definido por

m× r := m · r2 , m ∈M , r ∈ R

da a M otra estructura de R-modulo. En efecto, m × (r1 + r2) = m · (r1 + r2)2 =

m · (r21 + 2r1r2 + r2

2) = m · r21 + m · r2

2 = m × r1 + m × r2; (m1 +m2) × r =(m1 +m2) · r2 = m1 · r2 +m2 · r2 = m1 × r+m2 × r; m× (r1 · r2) = m · (r1 · r2)2 =m · (r2

1r22) = (m · r2

1) · r22 = (m× r1)× r2; m× 1 = m.

Si M = Z2 [x] = R es el anillo de polinomios sobre Z2 y p(x)q (x) es el productocorriente de polinomios, entonces

(1 + x)× (1 + x) = (1 + x) (1 + x)2 = (1 + x) (1 + x2) = 1 + x2 + x+ x3;(1 + x) (1 + x) = 1 + x2,

es decir, resultan dos estructuras diferentes sobre el mismo anillo.


1.4 Ejercicios

1. Demuestre la proposicion 1.1.11.

2. Demuestre que (1.3.1) define una estructura de modulo sobre M/N .

3. En la proposicion 1.3.3, demuestre que M · I es un submodulo de M .

4. Sean A un anillo cualquiera, n, m ≥ 1 y Mm×n (A) el conjunto de matricesde m filas y n columnas con entradas en A. Demuestre que Mm×n (A) es unMm (A)-Mn (A)-bimodulo.

5. Defina sobre Z4[x] tres estructuras diferentes de modulo.

6. Demuestre que Z no posee ninguna estructura de espacio vectorial sobre Q.

7. Sean A un anillo y F una matriz rectangular de tamanom×n con componentesen A. Demuestre que la coleccion de vectores X ∈ An tales que FX = 0 es unsubmodulo de An.

8. Ilustre con un ejemplo que la union de dos submodulos de un modulo no essiempre un submodulo.

9. Sea Af−→ B un homomorfismo de anillos. Demuestre que B tiene estructura

natural de A− A-bimodulo.

10. Considere el conjunto A de matrices cuadradas de la forma[Q R0 R

].

Demuestre que A es una Q-algebra.

11. Sean A, B anillos y M un A-B-bimodulo. Demuestre que[A M0 B

]tiene una estructura natural de anillo.

Capıtulo 2

Modulos finitamente generados

2.1 Operaciones con submodulos

Algunas de las operaciones definidas para los ideales de un anillo pueden formu-larse tambien para submodulos (vease [18]). Ası por ejemplo, si es {Mi}i∈I unacoleccion no vacıa de submodulos de un modulo M , la interseccion

⋂i∈I Mi de

dicha coleccion es claramente un submodulo de M y es, desde luego, el submodulomas grande de M contenido simultaneamente en cada Mi, i ∈ I.

Para definir la suma necesitamos considerar primero la generacion de submodulospor subconjuntos. Sea S un subconjunto del A-modulo M , denotamos por {S〉 lainterseccion de todos los submodulos de M que contienen a S, es decir,

{S〉 =⋂

S⊆N≤M N .

Evidentemente, {S〉 es el menor submodulo de M que contiene a S. Notese que,{∅〉 = 0. Decimos que {S〉 es el submodulo generado por S; si ademas {S〉 =M se dira que S es un sistema de generadores para M . Si A = R es unanillo conmutativo escribiremos 〈S〉. Decimos que M es un modulo finitamentegenerado si existe un subconjunto finito S en M tal que

{S〉 = M .

Proposicion 2.1.1. Sea M un A-modulo y ∅ 6= S ⊆M . Entonces

{S〉 =

{n∑

i=1

si · ai | si ∈ S, ai ∈ A, n ≥ 1

}. (2.1.1)

Demostracion. La prueba es analoga a la de ideales y dejamos los detalles al lector(vease [18]).

Si S = {s1, . . . , sk} es un conjunto finito, entonces

11

12 CAPITULO 2. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS

{S〉 ={∑k

i=1 si · ai | ai ∈ A, 1 ≤ i ≤ k}

,

en particular, si S = {s} es unitario, {S〉 es el submodulo cıclico generado por s, esdecir, {s〉 = s · A.

Ejemplo 2.1.2. Para cada n ≥ 0, Zn es un submodulo cıclico,

Z0 = Z = 〈1〉,Z1 = 0 = 〈0〉,

...Zn = 〈1〉, n ≥ 2.

En general, sea N ≤M y S un sistema de generadores de M . Entonces,

S := {s+N | s ∈ S}

es un sistema de generadores M/N .

Ejemplo 2.1.3. AA y AA son cıclicos.

Ejemplo 2.1.4. Mn (A) es finitamente generado:

{Eij | 1 ≤ i, j ≤ n〉 = Mn (A), n ≥ 1.

Ejemplo 2.1.5. Sea An [x], n ≥ 0, el conjunto de polinomios de grado menor oigual que n con coeficientes en A. Este conjunto es claramente un A-submodulo deA [x], y es finitamente generado:

{1, x, x2, . . . , xn〉 = An [x].

A su vez, el conjunto{xk

}∞k=0

es un sistema de generadores para A [x].

Ejemplo 2.1.6. Sea An = A× . . .× A el modulo del ejemplo 1.1.9, si

ei := (0, . . . , 1, . . . , 0)T , 1 ≤ i ≤ n,

entonces {e1, . . . , en〉 = An.

Sea {Mi}i∈C una coleccion no vacıa de submodulos de un modulo, se denominasuma de la familia dada, y se denota por

∑i∈CMi, al submodulo generado por el

conjunto⋃

i∈CMi. Segun la proposicion 2.1.1,∑i∈CMi =

{∑nj=1mj | mj ∈

⋃i∈CMi, n ≥ 1

}.∑

i∈CMi es claramente el submodulo mas pequeno de M que contiene simultanea-mente a cada Mi, i ∈ C. Si la familia es vacıa, es decir, I = ∅, entonces

∑i∈∅Mi = 0.

Para una familia finita se tiene

2.2. SUBMODULOS MAXIMALES 13

M1 + · · ·+Mn ={∑n

j=1mj | mj ∈Mj, 1 ≤ j ≤ n}

.

La igualdad (2.1.1) ahora puede escribirse en la forma

{S〉 =∑

s∈S s · A.

Es de gran utilidad la siguiente relacion entre las operaciones de suma e interseccion.

Proposicion 2.1.7 (Ley de modularidad). Sea M un modulo y sean N,P, Lsubmodulos de M tales que P ≤ L. Entonces,

(N + P ) ∩ L = (N ∩ L) + P .

Demostracion. Sea x ∈ (N + P ) ∩ L, entonces x = n + p, n ∈ N , p ∈ P . ComoP ≤ L y x ∈ L entonces n = x− p ∈ L, es decir, x ∈ (N ∩ L) + P .

Recıprocamente, si x = n+ p ∈ (N ∩ L) + P , entonces x ∈ (N + P )∩L, ya quen, p ∈ L.

2.2 Submodulos maximales

Proposicion 2.2.1. Sea N un submodulo propio del A-modulo M . Entonces,

N es maximal ⇔M = N +m · A, para cada m ∈M −N .

Demostracion. ⇒) Evidente a partir de la maximalidad de N .⇐) Sea N � N ′ ≤ M y sea m ∈ N ′ − N . Entonces M = N +m· A ≤ N ′, con

lo cual N ′ = M y ası N es maximal.

Ejemplo 2.2.2. En el ejemplo 1.2.5 vimos que todo espacio vectorial finito dimen-sional posee subespacios maximales y minimales. El presente ejemplo muestra queesto no es en general cierto para modulos sobre anillos arbitrarios. Consideremosel Z-modulo Q; este modulo no posee submodulos minimales: en efecto, para cadaracional no nulo r se tiene que 〈r · 2〉 � 〈r〉. De otra parte, el modulo Q tiene unapropiedad bastante particular de la cual se desprende la carencia de submodulosmaximales: de cualquier sistema de generadores de QZ se puede suprimir un ele-mento y el nuevo sistema tambien genera a Q. En efecto, sea S un sistema degeneradores para QZ y sea a ∈ S. Consideremos el conjunto S0 := S − {a}. Si seprueba que a ∈ 〈S0〉, entonces queda demostrado que 〈S〉 = 〈S0〉 = QZ. Puesto que〈S〉 = QZ, entonces

a2

= a · k0 +∑n

i=1 ai · ki, con ai ∈ S0, k0, ki ∈ Z, 1 ≤ i ≤ n.

Resulta


a = a · (2k0) +∑n

i=1 ai · (2ki)a · (1− 2k0) =

∑ni=1 ai · (2ki)

a ·m =∑n

i=1 ai · (2ki),

donde m := 1− 2k0 6= 0 es entero. Consideremos ahora el racional am

:

am

= a · k′0 +∑t

i=1 bi · k′i con bi ∈ S0, k

′i ∈ Z, 1 ≤ i ≤ t,

a = a ·mk′0 +∑t

i=1 bi ·mk′i

=∑n

i=1 ai · 2k′0ki +

∑ti=1 bi ·mk

′i, con ai,bi ∈ S0,

con lo cual a ∈ 〈S0〉.De esta propiedad se desprende que QZ no es finitamente generado. Probemos

por ultimo la no existencia de submodulos maximales: si N 6= Q un submodulomaximal de QZ entonces existe x ∈ Q−N tal que N + 〈x〉 = Q, lo cual indica queN ∪ {x} es un sistema de generadores para QZ. Por la propiedad demostrada seobtiene que 〈N〉 = Q = N , lo cual es una contradiccion. Por lo tanto, QZ no tienesubmodulos maximales.

Es conocido que todo anillo tiene ideales bilateros maximales (vease [18] ). Dichaprueba es valida para ideales izquierdos o derechos, como se muestra en la siguientegeneralizacion.

Teorema 2.2.3. Cada modulo no nulo finitamente generado tiene un submodulomaximal.

Demostracion. Sea M no nulo y {m1, . . . ,mk} un conjunto de generadores para M .Sea

P := {N ≤M | N 6= M}.

P es no vacıo (0 ∈ P) y parcialmente ordenado por la inclusion. Sea T un subcon-junto totalmente ordenado de P y sea

N1 :=⋃

N∈T N .

N1 es un submodulo de M y es una cota superior de P . Ademas N1 ∈ P ya que sisuponemos N1 = M = {m1, . . . ,mk〉, entonces para cada mi, 1 ≤ i ≤ k se encuentraNi ∈ T con mi ∈ Ni; como T es totalmente ordenado existe i0, 1 ≤ i0 ≤ k, tal queNi ≤ Ni0 para cada 1 ≤ i ≤ k, pero entonces M = Ni0 ∈ T , lo cual es contradictorio.Por el lema de Zorn, P tiene elemento maximal N0, el cual obviamente es submodulomaximal de M .

Corolario 2.2.4. Todo anillo posee ideales maximales derechos e ideales maximalesizquierdos.

Proposicion 2.2.5. Sea N un submodulo de M tal que N y M/N son finitamentegenerados. Entonces M es finitamente generado

2.3. EJEMPLOS 15

Demostracion. Si {m1, . . . ,mk}, mi ∈ M , 1 ≤ i ≤ k, es un sistema de generado-res de M/N , y {n1, . . . , nt} es un conjunto generador de N , entonces el conjunto{n1, . . . , nt,m1, . . . ,mk} genera a M .

Ejemplo 2.2.6. De la proposicion anterior se obtiene que el cociente Q/Z no esfinitamente generado.

2.3 Ejemplos

Ejemplo 2.3.1. Los submodulos de un modulo finitamente generado no son nece-sariamente finitamente generados: sea A un anillo cualquiera y B := AN el anillo desucesiones en A. BB es finitamente generado (vease el ejemplo 2.1.3). Sea

I := {f ∈ B | f (k) = 0 para casi todo k ∈ N},

notese que I es un submodulo de B (en realidad I es un ideal bilatero de B).Supongase que I es finitamente generado, es decir, existen {f1, . . . , fn} en I talesque {f1, . . . , fn〉 = I. Sea

Xi := {k ∈ N | fi (k) 6= 0}, 1 ≤ i ≤ n;

por definicion cada Xi es finito. Entonces

X := X1 ∪ . . . ∪ Xn

es finito. Sea m ∈ N−X y sea

f (k) :=

{1, k = m.0, k 6= m.

f entonces esta en I y existen g1, . . . , gn ∈ B tales que

f = f1 · g1 + · · ·+ fn · gn.

Resulta pues una contradiccion:

1 = f (m) = f1 (m) · g1 (m) + · · ·+ fn (m) · gn (m) = 0.

En consecuencia, I no es finitamente generado.

Mostramos ahora un modulo que no es finitamente generado, pero con todos sussubmodulos propios cıclicos.

Ejemplo 2.3.2. Sea R un dominio de ideales principales y sea K := Q(R) su cuerpode fracciones (vease [18]). Sea p un elemento irreducible de R y


Kp :=

{a

pk| a ∈ R, k ≥ 0

}.

Claramente Kp es un R-submodulo de K que contiene a R. Notese que Kp es lareunion de la cadena infinita de submodulos cıclicos:

R � 〈1p〉 � 〈 1

p2〉 � . . . , Kp =

∞⋃k=0

〈 1

pk〉. (2.3.1)

Ademas, para cada k ≥ 0, 〈 1

pk〉 es maximal en 〈 1

pk+1〉: en efecto, 〈 1

pk〉 6= 〈 1

pk+1〉 ya

que en caso contrario encontrarıamos un a ∈ R tal que1

pk+1=

1

pk· a, obteniendose

la contradiccion p | 1. Seaa

pk+1/∈ 〈 1

pk〉, entonces el maximo comun divisor de a y p

es 1 y existen r, s ∈ R tales que

1 = ar + ps.

Para completar la prueba de la maximalidad aplicaremos la proposicion 2.2.1. Seab

pk+1∈ 〈 1

pk+1〉. Tenemos que b = arb+ psb, de donde

b

pk+1=

arb

pk+1+sb

pk∈ 〈 a

pk+1〉+ 〈 1

pk〉,

es decir,

〈 1

pk+1〉 = 〈 a

pk+1〉+ 〈 1

pk〉.

Denotemos por Rp∞ := Kp/R; (2.3.1) induce la siguiente cadena de submoduloscıclicos de Rp∞ ,

0 � 〈1p〉 � 〈 1

p2〉 � . . . , Rp∞ =

∞⋃k=0

〈 1

pk〉. (2.3.2)

Como antes, es posible probrar que para cada k ≥ 0, 〈 1

pk〉 es maximal en 〈 1

pk+1〉.

Se tiene entonces que Rp∞ no es finitamente generado. Mostraremos por ultimo quelos submodulos propios de Rp∞ son los de la cadena (2.3.2): sea 0 6= N � Rp∞ ,

existe entonces m ≥ 1 tal que1

pm/∈ N ; sea m el mınimo que cumple tal condicion,

es decir,

1

pm−1∈ N ,

1

pm/∈ N .

2.4. EJERCICIOS 17

Resulta entonces

〈 1

pm−1〉 ≤ N .

Veamos que en esta relacion se da la igualdad: supongase contrariamente que existea

pren N que no esta en 〈 1

pm−1〉, entonces r ≥ m y podemos suponer sin perdida de

generalidad que el maximo comun divisor de a y pr es 1. De aquı existen l, t ∈ Rtales que 1 = prl + at. Tenemos pues que

1

pr= l +

at

pr, es decir,

1

pr=at

pr,

y se obtiene la contradiccion1

pm∈ 〈 1

pr〉 ⊆ N .

Si tomamos en particular R = Z obtenemos

0 � 〈1p〉 � 〈 1

p2〉 � . . . , Zp∞ =

∞⋃k=0

〈 1

pk〉, (2.3.3)

Zp∞ es pues un grupo no cıclico donde todos sus grupos propios son cıclicos.

2.4 Ejercicios


2. Complete la demostracion de la proposicion 2.2.5.

3. Pruebe que la suma finita se submodulos finitamente generados en un submodulofinitamente generado.

4. Sea M un A-modulo derecho y ∅ 6= X ⊆M . Se denomina anulador de X alsubconjunto

Ann (X) := {a ∈ A | x · a = 0 para cada x ∈ X}

Pruebe que:

(i) Ann (X) es un ideal derecho de A.

(ii) Si X es un submodulo de M , Ann (X) es un ideal bilatero.

(iii) Ann (M) =⋂

m∈M Ann (m).

(iv) Si N,P ≤M entonces Ann (N + P ) = Ann (N) ∩ Ann (P ).


(v) M tiene estructura de A/Ann (M)-modulo.

5. Se dice que un A-modulo M es exacto son respecto a A si Ann (M) = 0.Pruebe que si M es un A-modulo, entonces M es exacto con respecto aA/Ann (M).

6. Demuestre que A/Ann (M) es isomorfo a un subanillo de EndZ (M)0 (si M esunA-modulo a izquierda se tiene el isomorfismo con un subanillo de EndZ (M)).

7. Sean N,P ≤M . Se denomina cociente de N por P al subconjunto

(N : P ) := {a ∈ A | P · a ⊆ N}

Pruebe que (N : P ) es un ideal bilatero de A. Tambien pruebe que (0 : M) =Ann (M) y (N : P ) = Ann ((N + P ) /N).

8. Sea A un anillo. Sea I la coleccion de todos los ideales maximales derechos deA y sea S la coleccion de todos los A-modulos derechos simples. Demuestreque ⋂

I∈I

I =⋂

MA∈S

Ann(MA).

9. Sea R un anillo conmutativo local , es decir, R tiene un unico ideal maximalJ . Sea MR un modulo finitamente generado tal que MJ = M . Demuestre queM = 0.

10. Sea R un anillo conmutativo local con ideal maximal J . Sea MR un modulofinitamente generado y sea N un submodulo de M . Demuestre que MJ+N =M si, y solo si, N = M .

11. Sean R, J y M como en el ejercicio anterior. Demuestre que si {x1, . . . , xn} esun sistema minimal de generadores de M , entonces {x1, . . . , xn} es un sistemaminimal de generadores del R/J-modulo M/MJ .

Capıtulo 3

Homomorfismos

Al igual que en anillos, es posible definir funciones entre modulos que sean compa-tibles con las operaciones, dando origen a los homomorfismos de modulos. Debido ala gran analogıa que guarda este tema con el correspondiente de anillos, omitiremosalgunas pruebas, las cuales quedan a cargo del lector.

3.1 Definicion y propiedades basicas

Definicion 3.1.1. Sean M y N A-modulos. Una funcion f : M −→ N sedice que es un A-homomorfismo, o tambien un homomorfismo de modulos, si:

(i) f (m+m′) = f (m) + f (m′)

(ii) f (m · a) = f (m) · a

para cualesquiera elementos m,m′ ∈M y a ∈ A.

Los conceptos de nucleo, imagen , homomorfismo inyectivo, homomor-fismo sobreyectivo, isomorfismo y endomorfismo de modulos, se definencomo en el caso de anillos (vease [18]). Notemos en particular que ker(f) := {m ∈M |f(m) = 0} es un submodulo de M e Im(f) := {f(m)|m ∈M} es un submodulode N . El homomorfismo identico es iM : M → M , m 7→ m y el homo-morfismo nulo se define por 0 : M → N , m 7→ 0. Si f es un homomorfismosobreyectivo, entonces se dice que N es una imagen homomorfa de M . Si M ′ esun submodulo de M , entonces el homomorfismo canonico j : M −→ M/M ′ sedefine por j(m) := m, para cada m ∈M . Los cocientes

coker (f) := N/Im (f) y coim (f) := M/ ker (f)

se denominan conucleo y coimagen de f , respectivamente.

19

20 CAPITULO 3. HOMOMORFISMOS

Proposicion 3.1.2. Sea f : M −→ N un homomorfismo de modulos. En-tonces,

(i) Si M ′ ≤M entonces f (M ′) ≤ N . Ademas, f−1 (f (M ′)) = M ′ + ker (f).

(ii) Si N ′ ≤ N , entonces ker (f) ≤ f−1 (N ′) ≤ M . Ademas, f (f−1 (N ′)) =N ′ ∩ Im (f).

(iii) Si ker (f) ≤ M ′ ≤ M , entonces f−1 (f (M ′)) = M ′. Si N ′ ≤ Im(f), entoncesf(f−1(N ′)) = N ′.

(iv) Si f es sobreyectivo y N ′ ≤ N es maximal, entonces f−1 (N ′) es maximal enM .

(v) Sea f es sobreyectivo y ker (f) ≤ M ′. Si M ′ es maximal en M , entoncesf (M ′) es maximal en N .

Demostracion. Dejamos al lector las pruebas de las partes (i)-(iii) .

(iv) Sea f−1 (N ′) ≤ M ′ ≤ M . Entonces, teniendo en cuenta la sobreyectividad def y (iii), se tiene que

f (f−1 (N ′)) = N ′ ≤ f (M ′) ≤ f (M) = N .

Por la maximalidad de N ′, f (M ′) = N , o, f (M ′) = N ′. Segun (iii),

f−1 (f (M ′)) = M ′ = f−1 (N) = M , o, M ′ = f−1 (N ′).

(v) Sea f (M ′) ≤ N ′ ≤ N . Segun (iii),

f−1 (f (M ′)) = M ′ ≤ f−1 (N ′) ≤ f−1 (N) = M .

Por la sobreyectividad de f y la maximalidad de M ′,

f (f−1 (N ′)) = N ′ = f(M) = N , o, N ′ = f(M ′).

Proposicion 3.1.3. La composicion de homomorfismos inyectivos (sobreyectivos)es un homomorfismo inyectivo (sobreyectivo). Si f , g son homomorfismos tales quefg existe y es inyectivo (sobreyectivo), entonces g es inyectivo (f es sobreyectivo).

Demostracion. Ejercicio para el lector.

3.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO 21

Proposicion 3.1.4. Sean Mf−→ N , N

g−→ P y Mh−→ P homo-

morfismos tales que h = gf . Entonces,

(i) ker (h) = f−1 (ker (g)), Im (h) = g (Im (f)).

(ii) Im (f) + ker (g) = g−1 (Im (h)). Si h es sobreyectivo, Im (f) + ker (g) = N .

(iii) Im (f) ∩ ker (g) = f (ker (h)). Si h es inyectivo, Im (f) ∩ ker (g) = 0.

Demostracion. Las pruebas son consecuencia directa de las definiciones y por tantoquedan a cargo del lector.

Una ultima afirmacion sobre el comportamiento de sumas e intersecciones atraves de isomorfismos. La prueba queda a cargo del lector.

Proposicion 3.1.5. Sea f : M −→ N un homomorfismo y sean {Mi}i∈C,{Nj}j∈D familias de submodulos en M y N , respectivamente. Entonces

(i) f(∑

i∈CMi

)=

∑i∈C f (Mi).

(ii) f(⋂

i∈CMi

)≤

⋂i∈C f (Mi). Si ker (f) ⊆ Mi para cada i ∈ C, entonces se

verifica la igualdad.

(iii)∑

j∈D f−1 (Nj) ≤ f−1

(∑j∈DNj

). Si Nj ⊆ Im (f) para cada j ∈ D, entonces

se verifica la igualdad.

(iv) f−1(⋂

j∈DNj

)=

⋂j∈D f

−1 (Nj).

3.2 Teoremas de homomorfismo e isomorfismo

Los teoremas de homomorfismo, correspondencia e isomorfismo para modulos seenuncian y demuestran en forma completamente analoga a como se hace en anillos(vease [18]).

Teorema 3.2.1 (Teorema de homomorfismo). Sea M un modulo y M ′ unaimagen homomorfa de M . Entonces, existe un submodulo N de M tal que M/N ∼=M ′. Recıprocamente, cada cociente de M es una imagen homomorfa de M .

Teorema 3.2.2 (Teorema de correspondencia). Sea M un modulo y N unsubmodulo de M . Sea I la coleccion de submodulos de M que contienen a N , eI0 la coleccion de los submodulos de M/N . Existe entonces una correspondenciabiyectiva entre I e I0 definida por

j : I −→ I0

K 7−→ j (K)


donde j (K) es la imagen del submodulo K mediante el homomorfismo canonicoj : M −→M/N . Es decir,

j (K) ={k ∈M/N | k ∈ K

}:= K/N .

Ademas, para K1, K2 ∈ I se tiene

K1 ≤ K2 ⇔ j (K1) ≤ j (K2).

Teorema 3.2.3 (Teoremas de isomorfismo). Sea M un modulo y L, K submo-dulos de M . Entonces,

(i) Si K ⊆ L entonces, (M/K) / (L/K) ∼= M/L.

(ii) (L+K) /K ∼= L/ (L ∩K).

Los teoremas precedentes pueden ser utilizados para caracterizar los moduloscıclicos y simples sobre un anillo A.

Corolario 3.2.4. Sea A un anillo.

(i) Los modulos cıclicos sobre A son de la forma A/I, donde I es un ideal derechode A.

(ii) Sea M un A-modulo y N � M . Entonces, N es maximal en M si, y solo si,M/N es simple.

(iii) Los modulos simples sobre A son de la forma A/I, donde I es un ideal maximalderecho de A.

(iv) Cada submodulo propio de un modulo finitamente generado esta contenido enun submodulo maximal.

Demostracion. (i) Claramente A/I ={1⟩

es cıclico. Sea M = m · A el submodulocıclico generado por m ∈M . La funcion

f : A −→ Ma 7−→ m · a

es un homomorfismo sobreyectivo. Segun el teorema 3.2.1, M ∼= A/I, donde I esun submodulo de AA, es decir, I es un ideal derecho de A.

(ii) ⇒) Sea K ≤M/N . Segun el teorema de correspondencia, K es de la formaJ = M ′/N , con N ≤ M ′ ≤ M . Por la maximalidad de N se tiene que M ′ = M , o,M ′ = N , es decir, K = M/N , o, K = 0, en otras palabras, M/N es simple.

(iii) Se sigue de (i) y (ii) y del hecho que todo modulo simple es cıclico.(iv) Basta aplicar los teoremas 2.2.3 y 3.2.2.

3.3. EJEMPLOS 23

3.3 Ejemplos

Ejemplo 3.3.1. Calculemos las imagenes homomorfas del Z-modulo Zm, m ≥ 0.Comencemos considerando por separado tres casos.

m = 0: Z0 = Z/ 〈0〉 ∼= Z. Segun el teorema 3.2.1, las imagenes son Z/ 〈n〉 = Zn,n ≥ 0 (notese adicionalmente que Z es isomorfo a cada uno de sus submodulos nonulos: Z ∼= n · Z).

m = 1: Z1 = Z/ 〈1〉 = Z/Z ∼= 0, en este caso la unica imagen homomorfa es elZ-modulo nulo 0.

m ≥ 2: Zm = Z/ 〈m〉. De acuerdo al teorema de correspondencia, los submodulosde Zm son

〈n〉 / 〈m〉 = 〈n〉, n | m.

De los teoremas 3.2.1 y 3.2.3 obtenemos que las imagenes homomorfas de Zm

para m ≥ 2 estan dadas por

Z/ 〈m〉 / 〈n〉 / 〈m〉 ∼= Z/ 〈n〉 = Zn, con n | m.

Adicionalmente notemos que los modulos 〈n〉 / 〈m〉, con n | m, y Zmn, son iso-

morfos. En efecto, como 〈n〉 / 〈m〉 = 〈n〉 es cıclico, entonces considerando el homo-morfismo sobreyectivo

Z f−→ 〈n〉 = n · Zk 7−→ n · k

encontramos que ker (f) =⟨

mn

⟩. Resta aplicar el teorema fundamental de homo-

morfismo.

Ejemplo 3.3.2. El ejemplo anterior admite la siguiente generalizacion a un dominiode ideales principales R: los submodulos de RR son de la forma 〈m〉, m ∈ R, y lasimagenes homomorfas son

Rm = R/ 〈m〉, m ∈ R.

Como en Z, R es isomorfo a cada uno de sus submodulos no nulos, R ∼= m · R,m 6= 0.

Para m, n ∈ R se tiene 〈m〉 ≤ 〈n〉, si, y solo si, n | m. Para m ∈ R lossubmodulos de Rm son de la forma

〈n〉 / 〈m〉 = 〈n〉, n | m;

y las imagenes homomorfas son de la forma


R/ 〈m〉 / 〈n〉 / 〈m〉 ∼= R/ 〈n〉 = Rn, n | m.

Se tiene ademas el R-isomorfismo 〈n〉 / 〈m〉 = Rd, n 6= 0, donde d ∈ R es tal quem = nd (notese que d es unico en R: si m = nd′, entonces d = d′).

Ejemplo 3.3.3. Sean R un DIP y p un elemento irreducible de R. Sea 〈 1

pk〉 uno

de los eslabones de la cadena (2.3.2) del ejemplo 2.3.2. Entonces 〈 1

pk〉 ∼= Rpk :

Rg−→ 〈 1

pk〉 =

1

pk·R

r 7−→ 1

pk· r,

g es claramente un R-homomorfismo sobreyectivo, y ademas,

r ∈ ker (g) ⇔ r

pk∈ R⇔ r ∈

⟨pk

⟩.

Las cadenas (2.3.2) y (2.3.3) del ejemplo 2.3.2 pueden ahora escribirse en la forma

0 � Rp � Rp2 � . . .; Rp∞ =⋃∞

k=0Rpk

0 � Zp � Zp2 � . . .; Zp∞ =⋃∞

k=0 Zpk .

3.4 Ejercicios





5. Demuestre los teoremas 3.2.1, 3.2.2 y 3.2.3.

6. Demuestre que la relacion de isomorfismo en la coleccion de todos los A-modulos es de equivalencia.

7. Sea f : M −→ N un A-homomorfismo y M ′ ≤M . Demuestre que

f : M/M ′ −→ N/f (M ′)

m 7−→ f (m)

3.4. EJERCICIOS 25

es un A-homomorfismo. Ademas, f es inyectivo si, y solo si, ker (f) ≤ M ′; fes sobreyectivo si, y solo si, f es sobreyectivo.

8. Sean f,M y N como en el ejercicio anterior. Si N ′ ≤ N , pruebe que se induceel homomorfismo inyectivo

f : M/f−1 (N ′) −→ N/N ′

m 7−→ f (m).

Si ademas f es sobreyectivo, entonces f es un isomorfismo.

9. Sean M1,M2 submodulos de un modulo M , con M1 ≤M2. Demuestre que

M/M1 −→ M/M2

m 7−→ m

es un homomorfismo sobreyectivo.

10. Calcule, salvo isomorfismo, todos los Z-modulos simples.

11. Sean f : M −→ N , g : M −→ L A-homomorfismos. Se dice quef se puede factorizar a traves de g, si existe un homomorfismo de modulosh : L −→ N tal que hg = f . Demuestre que si f : M −→ N es unhomomorfismo y K ≤ M , entonces f se puede factorizar de manera unicaa traves de j : M −→ M/K (homomorfismo canonico) si, y solo si,K ≤ ker (f).

12. Sea f : M → N un homomorfismo de modulos cancelable a derecha , esdecir, g ◦ f = h ◦ f si, y solo si, g = h, donde g, h : N → L son homomorfis-mos de modulos. Demuestre que f es cancelable a derecha si, y solo si, f essobreyectivo.

13. Sea f : M → N un homomorfismo de modulos cancelable a izquierda , esdecir, f ◦g = f ◦h si, y solo si, g = h, donde g, h : L→M son homomorfismosde modulos. Demuestre que f es cancelable a izquierda si, y solo si, f esinyectivo.

Capıtulo 4

Hom

4.1 El grupo HomA(M,N)

Es conocido que el conjunto de endomorfismos de un grupo abeliano M es un anilloen el cual la adicion de dos endomorfismos f, g : M −→ M se define por(f + g) (m) = f (m) + g (m), m ∈ M (vease el [18]). Considerando dos gruposabelianos M y N se prueba, definiendo la adicion como antes, que el conjuntoHom (M,N) de homomorfismos de M en N es un grupo abeliano. Ademas, siM , N , L son grupos abelianos y f, g : M −→ N , h : N −→ L sonhomomorfismos de grupos, entonces se cumple que

h (f + g) = hf + hg. (4.1.1)

En efecto, para cada m ∈ M se tiene que (h (f + g)) (m) = h ((f + g) (m)) =h (f (m) + g (m)) = hf (m) + hg (m). Desde luego que para homomorfismos com-patibles la distributiva por el lado derecho tambien se cumple.

Como corresponde al tema que nos ocupa, consideraremos queM yN son ademasA-modulos. Es claro que cada A-homomorfismo de M en N es un homomorfismode grupos.

Proposicion 4.1.1. Sean M y N modulos sobre un anillo A y sea HomA (M,N)el conjunto de A-homomorfismos de M en N . Entonces

(i) HomA (M,N) es un subgrupo de Hom (M,N).

(ii) Si A = R es un anillo conmutativo, entonces HomR (M,N) es ademas unR-modulo.

(iii) Si M = N , entonces EndA (M) := HomA (M,N) es un subanillo del anilloEnd (M) de endomorfismos del grupo abeliano M .

(iv) Si A = R es un anillo conmutativo, entonces EndR (M) es una R-algebra.

26

4.1. EL GRUPO HOMA(M, N) 27

Demostracion. (i) HomA (M,N) es no vacıo ya que contiene por lo menos el ho-morfismo nulo. Como vimos arriba, HomA (M,N) ⊆ Hom (M,N). Ademas,si f, g son A-homomorfismos, entonces f − g es un A-homomorfismo: en efecto(f − g) (m · a) = f (m · a)− g (m · a) = f (m) · a− g (m) · a = (f − g) (m) · a, paracada m ∈M , a ∈ A.

(ii) Para cada f ∈ HomR (M,N) y r ∈ R definimos

(f · r) (m) := f (m) · r,m ∈M (4.1.2)

f · r es un R-homomorfismo: (f · r) (m1 +m2) = f (m1 +m2) · r = f (m1) · r +f (m2) · r = (f · r) (m1) + (f · r) (m2); (f · r) (m · s) = f (m · s) · r = (f (m) · s) · r =f (m) · (s · r) = f (m) · (r · s) = (f (m) · r) · s = (f · r) (m) · s, con m,m1,m2 ∈ M ;r, s ∈ R. Encomendamos al lector la verificacion de las propiedades restantes deR-modulo.

(iii) Se desprende del hecho que la suma y composicion de A-endomorfismos esun A-endomorfismo. Ademas, el homomorfismo identico esta en EndA (M).

(iv) Por (ii)-(iii) solo basta observar que (fg) · r = f (g · r) = (f · r) g dondef, g ∈ EndA (M), r ∈ R: ((fg) · r) (m) = (fg) (m)·r = f (g (m))·r = f (g (m) · r) =f (g · r (m)) = (f (g · r)) (m), m ∈ M , es decir, la primera igualdad esta probada.Ademas, ((fg) · r) (m) = f (g (m)) · r = (f · r) (g (m)) = ((f · r) g) (m), con lo cualhemos probado que (fg) · r = (f · r) g.

Corolario 4.1.2. Sea M un A-modulo. Entonces, M es un EndA (M)-A-bimodulo.

Demostracion. Ya habıamos observado en el ejemplo 1.1.3 que M es un End (M)-modulo a la izquierda. El resultado se obtiene entonces de (iii) y de 1.1.11 (ii).

Consideremos un par de situaciones particulares.

Lema 4.1.3 (Lema de Schur). Sea M un A-modulo simple. Entonces, EndA (M)es un anillo de division.

Demostracion. Sea f un endomorfismo no nulo del modulo M . Entonces, Im (f)es un submodulo no nulo de M , y ası, Im (f) = M . De otra parte, como f 6= 0,entonces ker (f) 6= M , y ası, ker (f) = 0. f es entonces un isomorfismo, de donde fes un invertible del anillo EndA (M).

Proposicion 4.1.4. Sea A un anillo, entonces

EndA (AA) ∼= A (isomorfismo de anillos).

Demostracion. Si definimos

28 CAPITULO 4. HOM

h : A −→ EndA (AA)a 7−→ ha

ha : A −→ Ab 7−→ ab

es facil probar que ha es un A-homomorfismo para cada a ∈ A, y que h es unhomomorfismo de anillos. ker (h) = 0: si h (a) = 0, entonces ab = 0 para cadab ∈ A, en particular a · 1 = 0 = a. h es sobreyectivo: en efecto, si f ∈ EndA (AA),entonces hf(1) = f .

Observacion 4.1.5. Para AA se tiene el isomorfismo

EndA (AA) ∼= Aop (isomorfismo de anillos),

donde Aop es el anillo definido sobre A con la misma adicion pero con producto dadopor a · b := ba, con a, b ∈ A.

4.2 Ejemplos

Calcularemos ahora los homomorfismos de Zm en Zn considerados como Z-modulos,es decir, como grupos abelianos (vease [18] para este mismo calculo pero vistos comoanillos). Para ello probamos primero el siguiente hecho mas general, vease [7].

Proposicion 4.2.1. Sea R un anillo conmutativo y sean I, J ideales de R. Entoncesse tiene el R-isomomorfismo

HomR (R/I,R/J) ∼= (J : I) /J ,

donde

(J : I) := {x ∈ R | Ix ⊆ J} ⊇ J ,

es el ideal cociente de J por I.

Demostracion. Se definen h y hx de la siguiente manera

h : (J : I) −→ HomR (R/I,R/J)x 7−→ hx

hx : R/I −→ R/Jr 7−→ xr

,

donde r = r + I, xr = xr + J . El lector puede probar a partir de estas definicionesque para cada x ∈ (J : I), hx es un R-homomorfismo correctamente definido y queh es un R-homomorfismo sobreyectivo con nucleo J .

4.2. EJEMPLOS 29

Ejemplo 4.2.2. Sean M y N grupos cıclicos y consideremos el grupo Hom (M,N).Notese que en general para grupos abelianos cualesquiera se tiene que

Hom (M,N) = HomZ (M,N).

Teniendo en cuenta que salvo isomorfismo los grupos cıclicos son de la forma Zm,m ≥ 0 (vease [17]), entonces el problema se reduce a calcular HomZ (Zm,Zn) me-diante la proposicion 4.2.1.

(i) m = n = 0: HomZ (Z,Z) ∼= (0 : 0) /0 = Z/0 = Z. Ası pues,

HomZ (Z,Z) ∼= Z.

(ii) m = 1, o, n = 1. Teniendo en cuenta que Z1 = 0, entonces obviamente

HomZ (0,Zn) = 0, para cada n ≥ 0,

HomZ (Zm, 0) = 0, para cada m ≥ 0.

(iii) m = 0, n ≥ 2:

HomZ (Z,Zn) ∼= (〈n〉 : 0) / 〈n〉 = Zn.

(iv) m ≥ 2, n = 0:

HomZ (Zm,Z) ∼= (0 : 〈m〉) /0 = 0/0 = 0.

(v) m, n ≥ 2:

HomZ (Zm,Zn) ∼= (〈n〉 : 〈m〉) / 〈n〉 = 〈n / d〉 / 〈n〉 = Zd,

donde d = m.c.d. (m,n).

Ejemplo 4.2.3. EndZ (Zm) = EndZm (Zm) ∼= Zm, con m = 0, o, m ≥ 2. Segunla proposicion 4.1.1 (iii), EndZm (Zm) es un subanillo de End (Zm) = EndZ (Zm).Recıprocamente, si f un Z-endomorfismo de Zm, entonces f es un Zm-endomorfismo:sean a, r ∈ Zm, entonces f (ar) = f (ar) = f (a) r = f (a) r.

Ejemplo 4.2.4. EndZ (Q) = EndQ (Q) ∼= Q. Por la proposicion 4.1.1 se tieneque EndQ (Q) ⊆ EndZ (Q). Sea f un Z-endomorfismo de Q y sean a

b, p

q∈ Q con

f(

ab

pq

)= m

n. Entonces

f(

abp)

= mqn

= f(

ab

)p,

Si p = 0, pq

= 0, y ası

f(

ab

pq

)= f (0) = 0 = f

(ab

)pq.

Supongase por tanto que p 6= 0. Resulta f(

ab

)= mq

np, o tambien, f

(ab

)pq

= mn, es

decir, f es un Q -endomorfismo.

30 CAPITULO 4. HOM

4.3 Bimodulos

Las siguientes proposiciones tienen un caracter mucho mas general que el que nece-sitamos en el ejemplo 4.3.5. Las pruebas son rutinarias y las encomendamos allector.

Proposicion 4.3.1. Sean B, C, D anillos, M un B −C-bimodulo y N un D−C-bimodulo. Entonces, el grupo HomC (M,N) de C-homomorfismos es un D − B-bimodulo con los productos dados por

(d · f) (m) := d · f (m) (4.3.1)

(f · b) (m) := f (b ·m) (4.3.2)

donde d ∈ D, f ∈ HomC (M,N), b ∈ B, m ∈M .

Proposicion 4.3.2. Sean B, C, D anillos, M un C −B-bimodulo y N un C −D-bimodulo. Entonces el grupo HomC (M,N) de C-homomorfismos es un B − D-bimodulo con los productos dados por

(b · f) (m) = f (m · b) (4.3.3)

(f · d) (m) = f (m) · d, (4.3.4)

donde b ∈ B, d ∈ D, m ∈M , f ∈ HomC (M,N).

Definicion 4.3.3. Los bimodulos AMB y ANB se dice que son isomorfos si existeuna funcion biyectiva f : M −→ N tal que para cualesquiera m1, m2 ∈ M ,a ∈ A y b ∈ B se cumple f (m1 +m2) = f (m1) + f (m2), f (a ·m1) = a · f (m1),f (m1 · b) = f (m1) · b.

Proposicion 4.3.4. Sea M un B-A-bimodulo. Entonces, se tiene el siguiente B−A-isomorfismo

HomA (A,M) ∼= M. (4.3.5)

Analogamente, si M es un A-B-bimodulo se tiene el A−B-isomorfismo HomA (A,M) ∼=M .

Demostracion. Basta con mostrar la funcion h que establece el isomorfismo (4.3.5),lo demas es rutinario:

h : HomA (A,M) −→ Mf 7−→ f (1) .

4.4. EJERCICIOS 31

Ejemplo 4.3.5. La proposicion 4.3.1 y la relacion (4.3.5) permiten probar el iso-morfismo HomZ (Z,Q) ∼= Q: tomando A = Z y M = Q podemos aplicar (4.3.5) yobtener lo anunciado.

A medida que avancemos en el estudio de los modulos nos iremos introduciendoen el ambito de las categorıas y del algebra homologica; muestra de ello lo constituyenlas afirmaciones anteriores y el homomorfismo que presentamos a continuacion. Esteisomorfismo sera utilizado al final del capıtulo 7 para establecer la dimensionalidadde los anillos conmutativos.

Proposicion 4.3.6. Sea f : MA −→ NA un A- isomorfismo y sea P un B-A-bimodulo. Entonces,

f ∗ : HomA (N,P ) −→ HomA (M,P )h 7−→ hf

es un B- isomorfismo.

Demostracion. Segun la proposicion 4.3.1 HomA (N,P ) y HomA (M,P ) son B-modulos. Sean h1, h2 ∈ HomA (N,P ), b ∈ B. Entonces,

f ∗ (h1 + h2) = (h1 + h2) f = h1f + h2f = f ∗ (h1) + f ∗ (h2);f ∗ (b · h1) = (b · h1) f ,

y para todo m ∈M se tiene

((b · h1) f) (m) = (b · h1) (f (m))= b · (h1 (f (m)))= b · ((h1f) (m))= (b · (h1f)) (m) ,

con lo cual f ∗ (b · h1) = b · f ∗ (h1).De otra parte, si f ∗ (h1) = f ∗ (h2), h1f = h2f , con lo cual h1ff

−1 = h2ff−1 y

ası, h1 = h2, es decir, f ∗ es inyectivo. Sea por ultimo, g ∈ HomA (M,P ). Entonces,f ∗ (gf−1) = gf−1f = g y ası f ∗ es sobreyectivo.

4.4 Ejercicios


2. Demuestre las proposiciones 4.3.1 y 4.3.2.

3. Sea f : MA −→ NA un A- isomorfismo y sea P un B − A-bimodulo.Entonces,

32 CAPITULO 4. HOM

f∗ : HomA (P,M) −→ HomA (P,N)h 7−→ fh

es un B-isomorfismo.

4. Sea f : MA −→ NA un A-homomorfismo sobreyectivo y sea P un B-A-bimodulo. Demuestre que

f ∗ : HomA (N,P ) −→ HomA (M,P )h 7−→ hf

es un B-homomorfismo inyectivo.

5. Sea f : MA −→ NA un A-homomorfismo inyectivo y sea P un B − A-bimodulo. Entonces,

f∗ : HomA (P,M) −→ HomA (P,N)h 7−→ fh

es un B-homomorfismo inyectivo.

6. Sean M,N A-modulos. Demuestre que HomA (M,N) es un C-B-bimodulo,donde B = EndA (M) y C = EndA (N).

7. Calcule HomZ (Q,Z), HomZ (Q,Zn), n ≥ 2.

8. Calcule HomZ (Z,Zp∞), HomZ (Zp∞ ,Z).

9. Demuestre que Zp∞∼= Zq∞ si, y solo si, p = q, donde p y q son primos.

10. Sean A un anillo e I un ideal derecho de A. Se define el idealizador de I (eningles, idealizer) por I(I) := {a ∈ A|aI ⊆ I}. Demuestre que:

(i) I(I) es el mayor subanillo de A en el cual I es un ideal bilatero.

(ii) Si I es propio, note que I 6= I(I) y demuestre el isomorfismo de anillos,I(I)/I ∼= EndA(A/I) (el anillo I(I)/I se denomina el anillo propio deI (en ingles, eigenring. Vease [22]).

(a) Si R es un anillo conmutativo, note que I(I) = R e I(I)/I ∼= R/I.

Capıtulo 5

Producto y suma directa

Este capıtulo esta dedicado a realizar dos construcciones universales clasicas del al-gebra en el caso de los modulos: el producto y la suma directa externa, esta ultimaconocida tambien como coproducto.

5.1 Producto

Sean C un conjunto no vacıo, A,B anillos, {Mi}i∈C una familia no vacıa de B − A-bimodulos y

∏i∈CMi el producto de la familia dada, es decir,∏

i∈CMi ={f : C −→

⋃i∈CMi | f (i) ∈Mi, para cada i ∈ C

}.

Al escribir fi := f (i) para cada i ∈ C, los elementos del producto cartesiano puedenser denotados mas sencillamente como f = (fi)i∈C, o simplemente, f = (fi).

∏i∈CMi

tiene una estructura natural de B − A-bimodulo de la siguiente manera:

(i) Dados f = (fi), g = (gi) ∈∏

i∈CMi, definimos

f + g = (fi + gi).

(ii) Dados f = (fi) ∈∏

i∈CMi, a ∈ A y b ∈ B, definimos

b · f = (b · fi),

f · a = (fi · a).

Proposicion 5.1.1. Las operaciones anteriores definen en∏

i∈CMi una estructurade B−A-bimodulo, y se denomina el producto cartesiano de la familia de B−A-bimodulos {Mi}i∈C.

Demostracion. Las propiedades de B−A-bimodulo de cadaMi inducen la estructurasobre el producto cartesiano.

33

34 CAPITULO 5. PRODUCTO Y SUMA DIRECTA

Observacion 5.1.2. El producto de una familia vacıa de bimodulos, es decir,cuando C = ∅, es por definicion nulo. Si B = Z, entonces la construccion ante-rior puede interpretarse como el producto de una familia de A-modulos derechos.

Proposicion 5.1.3. Las proyecciones del producto cartesiano definidas por

πj :∏

i∈CMi −→ Mj

πj (f) := fj

son B − A-homomorfismos sobreyectivos.

Demostracion. La extraccion de la j-esima componente respeta las sumas y el pro-ducto por escalares.

5.2 Suma directa externa

Sea f = (fi) ∈∏

i∈CMi, se define el soporte de f por Cf := {i ∈ C|fi 6= 0}. Consi-deremos entonces en

∏i∈CMi el subconjunto

⊕i∈CMi constituido por los elementos

f = (fi) tales que Cf es finito. Es decir,⊕i∈CMi :=

{f ∈

∏i∈CMi| Cf es finito

}.

Proposicion 5.2.1.⊕

i∈CMi es un sub-bimodulo de∏

i∈CMi, llamado la sumadirecta externa de la familia {Mi}i∈C.

Demostracion.⊕

i∈CMi 6= ∅ ya que 0 ∈⊕

i∈CMi (C0 = ∅). Para f = (fi), g =(gi) ∈

⊕i∈CMi; sea h = f + g, entonces Ch ⊆ Cf ∪Cg es finito, luego y h ∈

⊕i∈CMi.

De otra parte, si a ∈ A, sea k := f · a, entonces y Ck ⊆ Cf y por tanto k ∈⊕i∈CMi. En forma similar, si b ∈ B, entonces b · f ∈

⊕i∈CMi.

Proposicion 5.2.2. Las inyecciones de la suma directa externa definidas por

µj : Mj −→⊕

i∈CMi

µj (m) := f = (fi), con m ∈Mj y

fi :=

{0, para i 6= j.m, para i = j.

son B − A-homomorfismos inyectivos.


5.3. PROPIEDADES 35

Observacion 5.2.3. (i) Notese que para una familia finita de bimodulos se tienela igualdad

∏ni=1Mi =

⊕ni=1Mi, es decir, el producto cartesiano y la suma di-

recta externa coinciden. Este producto finito se acostumbra a denotar por M1 ×M2 × . . . × Mn, y sus elementos por medio de n-plas, M1 × M2 × . . . × Mn ={(m1, . . . ,mn) | mi ∈Mi, 1 ≤ i ≤ n}.

(ii) Cuando todos los elementos de la familia dada {Mi}i∈C son un mismo bimo-dulo M , entonces el producto se denota por MC y la suma directa externa por M (C).Si C es finito se escribe simplemente Mn.

(iii) Si I = ∅, entonces por definicion∏

i∈∅Mi = 0 y⊕

i∈∅Mi = 0.(v) Cada elemento no nulo f = (fi) ∈

⊕i∈CMi se puede escribir en la forma

f = (fi) =∑

i∈Cfµi (fi), donde los µi son las inyecciones de la suma.

5.3 Propiedades

Lema 5.3.1. Dada {Mi}i∈C una familia de B −A-bimodulos,∏

i∈CMi su productocartesiano,

⊕i∈CMi su suma directa externa, {πj}j∈C las proyecciones y {µj}j∈C las

inyecciones, entonces

(i) (Propiedad universal del producto) Para cada B−A-bimodulo M y cadafamilia de B−A-homomorfismos

{pj : M −→ Mj

}j∈C, existe un unico

B − A-homomorfismo p : M −→∏

i∈CMi tal que πjp = pj, para cadaj ∈ C.

(ii) (Propiedad universal de la suma) Para cada B − A-bimodulo M y cadafamilia de B−A-homomorfismos

{vj : Mj −→ M

}j∈C, existe un unico

B − A-homomorfismo v :⊕

i∈CMi −→ M tal que vµj = vj, para cadaj ∈ C.

Demostracion. (i) Para m ∈ M se define p : M −→∏

i∈CMi por p (m) :=(pj(m)). Es inmediato que p es un B − A-homomorfismo para el cual se cumple larelacion πjp = pj, para cada j ∈ C. p es unico con esta condicion: en efecto, seap′ : M −→

∏i∈CMi otro B − A-homomorfismo tal que πjp

′ = pj, para cadaj ∈ C. Entonces, dado m ∈ M se tiene que (πjp

′) (m) = πj (p′ (m)) = πj ((gj)),donde p′ (m) := g = (gi) ∈

∏i∈CMi. Resulta, (πjp

′) (m) = gj = pj (m); es decir,g = (pj (m)) y por tanto, p′ (m) = p (m).

(ii) Para f = (fi) ∈⊕

i∈CMi se define v de la siguiente manera:

v (f) :=

{0, si f = 0.∑

j∈Cfvj (fj), si f 6= 0.

v es un B − A-homomorfismo. En efecto, sean f = (fi), g = (gi) ∈⊕

i∈CMi. Sif = 0, o, g = 0, entonces evidentemente v (f + g) = v (f) + v (g). Supongase pues


que f 6= 0 y g 6= 0, y sea h = (hi) = f + g. Si h = 0, entonces gi = −fi para cadai ∈ C, y entonces

v (h) = 0 =∑

j∈Cfvj (fj) +

∑j∈Cg

vj (gj)

= v (f) + v (g) .

Sea h 6= 0; puesto que Ch ⊆ Cf∪Cg entonces v (h) =∑

j∈Chvj (hj) =

∑j∈Cf∪Cg

vj (hj).Resulta

v (h) =∑

j∈Cf∪Cgvj (fj + gj)

=∑

j∈Cf∪Cgvj (fj) +

∑j∈Cf∪Cg

vj (gj)

=∑

j∈Cfvj (fj) +

∑j∈Cg

vj (gj)

= v (f) + v (g).

De manera analoga se prueba que para f ∈⊕

i∈CMi, a ∈ A y b ∈ B, v (f · a) =v (f) · a, v(b · f) = b · v(f).

Sea ahora m ∈ Mj, entonces (vµj) (m) = v (f), donde f = (fi), con fj = m, yfi = 0 para i 6= j. De aqui resulta que v (f) = vj (fj), es decir, vµj = vj, para cadaj ∈ I.

Probemos ahora la unicidad del homomorfismo v. Sea v′ un B−A-homomorfismode

⊕i∈CMi de M tal que v′µj = vj, para cada j ∈ C y f = (fi) de

⊕i∈CMi. Si

f = 0, entonces v′ (f) = v (f). Si f 6= 0, entonces

v (f) =∑

j∈Cfvj (fj)

=∑

j∈Cf(v′µj) (fj)

=∑

j∈Cfv′ (µj (fj))

= v′(∑

j∈Cfµj (fj)

)= v′ (f) .

Corolario 5.3.2. Dada {Mi}i∈C una familia de bimodulos, su producto y su sumadirecta externa estan caracterizados unıvocamente, salvo isomorfismo, por sus res-pectivas propiedades universales.

Demostracion. Sea P un B−A-bimodulo y pj : P −→ Mj , j ∈ C, homomor-fismos con la propiedad universal (i) del lema anterior; existen homomorfismos p yp′ tales que para cada j ∈ C, πjp = pj y pjp

′ = πj. De aquı obtenemos las relaciones

πj (pp′) = πj, pj (p′p) = pj, j ∈ C.

Aplicando nuevamente la propiedad universal para∏

i∈CMi y P encontramos nece-sariamente que

i∏i∈C Mi

= pp′ e iP = p′p,

5.3. PROPIEDADES 37

es decir, P ∼=∏

i∈CMi.La propiedad para la suma se demuestra de manera analoga.

Otra consecuencia inmediata del lema 5.3.1 es el siguiente corolario.

Corolario 5.3.3. Sea θ : C −→ C una funcion biyectiva. Entonces∏i∈CMi

∼=∏

i∈CMθ(i),⊕

i∈CMi∼=

⊕i∈CMθ(i).


Las dos proposiciones siguientes establecen relaciones entre sumas, productos yB−A-homomorfismos. Las pruebas de ellas constituyen un interesante ejercicio quequeda para los lectores.

Proposicion 5.3.4. Sea {Mi}i∈C una familia de B−A-modulos y∏

i∈CMi,⊕

i∈CMi

su producto y su suma directa externa junto con sus proyecciones {πj}j∈C e inyec-ciones {µj}j∈C. Entonces

(i) πiµj =

{0, i 6= jiMj

, i = j.

(ii) (µjπj)2 = µjπj, para cada j ∈ C.

(iii) Existe un unico B − A-homomorfismo δ :⊕

i∈CMi −→∏

i∈CMi

tal que

πiδµj = δij =

{0, i 6= jiMj

, i = j.

(iv) Si C := {1, 2, . . . , n}, entonces δ = iM1×M2×...×Mn, y ademas,∑n

j=1 µjπj =iM1×M2×···×Mn.


Proposicion 5.3.5. Dadas {Mi}i∈C y {Ni}i∈C dos familias de B − A-bimodulos(indizadas por un mismo conjunto C), y

{αi : Mi −→ Ni

}i∈C, una familia de

B − A-homomorfismos, entonces

(i) Existe un unico B −A-homomorfismo∏

i∈C αi :∏

i∈CMi →∏

i∈C Ni, denomi-nado producto cartesiano de la familia de homomorfismos {αi}i∈C, tal que paracada i ∈ C el diagrama ∏

i∈CMi

∏i∈C αi−−−−→

∏i∈C Ni

πi

y yπi

Mi −−−→αi

Ni

es conmutativo.


(ii) Existe un unico B − A-homomorfismo⊕

i∈C αi :⊕

i∈CMi →⊕

i∈C Ni, deno-minado suma directa externa de la familia de homomorfismos {αi}i∈C, tal quepara cada i ∈ C el diagrama

⊕i∈CMi

⊕i∈C αi−−−−−→

⊕i∈C Ni

µi

x xµi

Mi −−−→αi

Ni

es conmutativo.

(iii) (a)∏

i∈C αi es inyectivo si, y solo si, para cada i ∈ C, αi es inyectivo si, ysolo si,

⊕i∈C αi es inyectivo.

(b)∏

i∈C αi es sobreyectivo si, y solo si, para cada i ∈ C, αi es sobreyectivosi, y solo si,

⊕i∈C αi es sobreyectivo.

(c)∏

i∈C αi es isomorfismo si, y solo si, para cada i ∈ C, αi es isomorfismosi, y solo si,

⊕i∈C αi es isomorfismo.

(iv) (a) ker(∏

i∈C αi

) ∼= ∏i∈C ker (αi).

(b) ker(⊕

i∈C αi

) ∼= ⊕i∈C ker (αi).

(v) (a) Im(∏

i∈C αi

) ∼= ∏i∈C Im (αi).

(b) Im(⊕

i∈C αi

) ∼= ⊕i∈C Im (αi).


El teorema que presentamos a continuacion habitualmente se prueba para fami-lias de A-modulos, donde el isomorfismo resultante es de grupos abelianos. Nosotroslo demostramos en una forma mas general para bimodulos.

Teorema 5.3.6. Si {Mi}i∈C y {Nj}j∈D son familias de B-A-bimodulos y C-A-bimodulos respectivamente, entonces se tiene el C-B-isomorfismo

HomA

(⊕i∈CMi,

∏j∈DNj

)∼=

∏(i,j)∈C×DHomA (Mi, Nj).

En particular, se tienen los C-B-isomorfismos

HomA

(M,

∏j∈DNj

)∼=

∏j∈DHomA (M,Nj),

y

HomA

(⊕i∈CMi, N

) ∼= ∏i∈C HomA (Mi, N),

5.3. PROPIEDADES 39

donde M es un B-A-bimodulo y N un C-A-bimodulo.

Demostracion. Simplificamos la notacion y escribimos

H := HomA

(⊕i∈CMi,

∏j∈DNj

)y

P :=∏

(i,j)∈C×DHomA (Mi, Nj).

Por la proposicion 4.3.1, H y P son C-B-modulos. Para (i, j) ∈ C ×D fijo y f ∈ Hse induce una funcion de Mi en Nj por medio del siguiente diagrama:⊕

i∈I Mif−−−→

∏j∈J Nj

µi

x yπj

Mi −−−→πjfµi

Nj

Puesto que µi, f y πj son A-homomorfismos, entonces µifπj es un A-homomorfismo.Definimos entonces

α : H → P, α (f) := (πjfµi).

Veamos ahora que α es un C-B-homomorfismo. En efecto, sean f1, f2 ∈ H, entonces

α (f1 + f2) = (πj (f1 + f2)µi)= (πjf1µi + πjf2µi)= α (f1) + α (f2).

Dados f ∈ H, c ∈ C se tiene que α (c · f) = (πj (c · f)µi). Si m ∈Mi, entonces

[πj (c · f)µi] (m) = [πj (c · f)] (µi (m))= πj [(c · f) (µi (m))]= πj [c · (f (µi (m)))]= c · [πj(f (µi (m)))]= c · [(πjfµi) (m)]= [c · (πjfµi)] (m),

con lo cual πj (c · f)µi = c · (πjfµi); es decir, α (c · f) = c · α (f). Analogamente,α (f · b) = α (f) · b para b ∈ B.

Falta mostrar que α es inyectiva y sobreyectiva. Si f1, f2 ∈ H, son tales queα (f1) = α (f2), entonces se tiene que πjf1µi = πjf2µi, para cada i ∈ C y cadaj ∈ D. Por la propiedad universal del producto resulta f1µi = f2µi, y por lapropiedad universal de la suma, f1 = f2.

Para ver que α es sobreyectiva, sea w = (wij) ∈ P . Fijando i ∈ C, conside-remos la familia de A-homorfismos wij, j ∈ D. La propiedad universal del pro-ducto

∏j∈DNj, considerado como A-modulo, garantiza la existencia de un unico


A-homomorfismo γi : Mi −→∏

j∈C Nj , tal que πjγi = wij, para cada j ∈ D.Como lo anterior es valido para cada i ∈ C, entonces la propiedad universal dela suma

⊕i∈CMi, considerada como A-modulo, garantiza la existencia de un A-

homorfismo f :⊕

i∈CMi −→∏

j∈DNj tal que fµi = γi, para cada i ∈ C.Resulta entonces que πjfµi = wij, para cada (i, j) ∈ C × D, es decir, α (f) =(πjfµi) = (wij) = w.

Finalizamos esta seccion con un resultado tecnico sobre anillos conmutativos, elcual usaremos en el ultimo capıtulo. Sean R un anillo conmutativo, I un ideal de Ry r ∈ R. El conjunto

(I : r) := {s ∈ R | rs ∈ I}

es un ideal de R (en efecto, (I : r) = (I : 〈r〉)) y se tiene el R-modulo cocienteR/(I : r). De otra parte, (R/I) · r := {s · r | s ∈ R} es un R-modulo. Tenemos elR-isomorfismo

R/(I : r) ∼= (R/I) · r (5.3.1)

inducido por el homomorfismo sobreyectivo f : R → (R/I) · r definido por f(s) :=s · r, y con nucleo (I : r).

Proposicion 5.3.7. Sean R un anillo conmutativo e I1, I2, . . . , It; J1, J2, . . . , Jr

ideales propios de R tales que

(i) I1 ≥ I2 ≥ · · · ≥ It; J1 ≥ J2 ≥ · · · ≥ Jr.

(ii) R/I1 ⊕ · · · ⊕R/It ∼= R/J1 ⊕ · · · ⊕R/Jr (R-isomorfismo).

Entonces t = r e Ii = Ji, para cada 1 ≤ i ≤ t.

Demostracion. Sea I un ideal maximal de R que contiene a I1, como 1 ∈ (I : Ii),entonces (I : Ii) = R para cada 1 ≤ i ≤ t. Aplicamos HomR( , R/I) a (ii) yobtenemos el R/I-isomorfismo

t⊕i=1

HomR(R/Ii, R/I) ∼=r⊕

i=1

HomR(R/Ji, R/I). (5.3.2)

Segun la proposicion 4.2.1 se tienen los siguientes R-isomorfismos

HomR(R/Ii, R/I) ∼= (I : Ii)/I, 1 ≤ i ≤ t, (5.3.3)

HomR(R/Jj, R/I) ∼= (I : Jj)/I, 1 ≤ j ≤ r. (5.3.4)

5.3. PROPIEDADES 41

Recordemos como estan definidos estos isomorfismos:

fi : (I : Ii)/I → HomR(R/Ii, R/I)

x 7→ fx

donde

fx : R/Ii → R/I

r 7→ xr.

Pero como ((I : Ii)/I) · I = 0, entonces (I : Ii)/I es un R/I-modulo mediante elproducto x·r := xr, con x ∈ (I : Ii) y r ∈ R. Notese que entonces cada fi es tambienun R/I-isomorfismo: fi(x · s) = fi(xs) = fxs, fxs(r) = xsr = xr · s = fx(r) · s =(fx ·s)(r), es decir, fi(x ·s) = fi(x) ·s. De manera analoga se establece que en (5.3.4)se tienen R/I-isomorfismos. De (5.3.3) obtenemos el R/I-isomorfismo

(R/I)t ∼=r⊕

j=1

(I : Jj)/I. (5.3.5)

Puesto que I es maximal y para cada 1 ≤ j ≤ r, I ⊆ (I : Jj), resulta (I : Jj) = R o(I : Jj) = I. De (5.3.5) se obtiene entonces el R/I-isomorfismo

(R/I)t ∼= (R/I)s, s ≤ r.

Teniendo en cuenta la dimensionalidad del cuerpo R/I obtenemos t = s ≤ r. Porla simetrıa del problema, r ≤ t, es decir t = r.

Supongase ahora que existe un i tal que Ii 6= Ji y sea i0 mınimo con dichapropiedad. Sea a ∈ Ii0 , a /∈ Ji0 . Entonces,

(Ik : a) = R para k ≤ i0;

(Jk : a) = R para k < i0 ya que Ik = Jk;

(Jk : a) 6= R para k ≥ i0.

Sean M :=⊕t

i=1R/Ii y N =⊕t

i=1R/Ji, ya que M ∼= N entonces M · a ∼= N · a;aplicando el isomorfismo de (5.3.1) encontramos

R/(Ii0+1 : a)⊕ · · · ⊕R/(It : a) ∼= R/(Ji0 : a)⊕ · · · ⊕R/(Jt : a), (5.3.6)

ademas (Ji0 : a) ≥ (Ji0+1 : a) ≥ · · · ≥ (Jt : a) son ideales propios de R ya queel primero de ellos es propio. Tambien, (Ii0+1 : a) ≥ (Ii0+2 : a) ≥ · · · ≥ (It : a)son ideales de R, posiblemente no todos propios, pero de todos modos el numero desumandos en la parte izquierda de (5.3.6) es estrictamente menor que en la derecha,lo cual contradice lo establecido en (i). En consecuencia Ii = Ji para 1 ≤ i ≤ t.


5.4 Ejercicios


2. Demuestre el corolario 5.3.3.



5. Calcule HomZ(Z3,Z6⊕Z15), HomZ(Z6⊕Z15,Z3) y HomZ(Z6⊕Z15,Z6⊕Z15).

6. Calcule HomZ(Z⊕ Zp∞ ,Z⊕ Zp∞).

7. Sean A un anillo y An[x] el conjunto de polinomios con coeficientes en A degrado ≤ n. Considere a An[x] como modulo sobre A. CalculeHomA(An[x], A).

8. Calcule HomZ(Zn[x],Zp∞).

9. Sean A un anillo y A[x] el conjunto de polinomios con coeficientes en A.Considere a A[x] como modulo sobre A. Calcule HomA(A[x], A).

10. Calcule HomZ(Z[x],Zp∞).

Capıtulo 6

Suma directa interna

En este capıtulo se estudia la suma directa de una familia de submodulos de unmodulo dado, y su relacion con la suma externa de modulos. Este estudio sera utilen el proximo capıtulo para la descripcion de los modulos libres.

6.1 Definicion y caracterizaciones

Definicion 6.1.1. Sean M un A-modulo y {Mi}i∈C una familia de submodulos deM . Se dice que M es suma directa interna de la familia si

(i) M =∑

i∈I Mi.

(ii)(∑

i6=j Mi

)∩Mj = 0, para cada j ∈ I.

En tal caso se denotaM =

∑i∈I

⊕Mi.

Si I = In es finito se escribe M = M1 ⊕ · · · ⊕Mn.

Proposicion 6.1.2. Sea {Mi}i∈I una familia de submodulos del modulo M tal queM =

∑i∈I Mi. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) M =∑

i∈I ⊕Mi.

(ii) Para cada subconjunto finito {i1, . . . , in} de ındices diferentes de I se cumpleque

mi1 + · · ·+ min = 0 ⇔ mik = 0,

con mik ∈Mik , 1 ≤ k ≤ n.

43

44 CAPITULO 6. SUMA DIRECTA INTERNA

(iii) Para cada subconjunto finito {i1, . . . , in} de ındices diferentes de I se cumpleque

mi1 + · · ·+min = m′i1

+ · · ·+m′in ⇔ mik = m′

ik, (6.1.1)

con mik , m′ik∈Mik , 1 ≤ k ≤ n.

Demostracion. (i)⇒(ii): sea {i1, . . . , in} un subconjunto de ındices diferentes de Itales que mi1 + · · ·+ min = 0, donde mik ∈ Mik para cada 1 ≤ k ≤ n. Fijando elsubındice k se tiene

mik = −mi1− mi2 − · · ·− mik−1−mik+1

− · · ·− min ,

luego

mik ∈Mik ∩∑

j 6=ikMi,

de donde, mik = 0, para cada 1 ≤ k ≤ n.Recıprocamente, si se da esta ultima condicion se cumple quemi1+· · ·+min = 0.(ii)⇒(iii): sea {i1, . . . , in} un subconjunto de ındices diferentes de I tales que se

cumple (6.1.1). Entonces,(mi1 −m′

i1

)+· · ·+

(min −m′

in

)= 0, y por (ii) obtenemos

que mik = m′ik

, para cada 1 ≤ k ≤ n.Recıprocamente, si se da esta ultima condicion entonces mi1 + · · ·+ min = m′

i1+

· · ·+ m′in .

(iii)⇒(i): sea j ∈ I un ındice fijo, y sea m ∈ Mj ∩∑

j 6=ikMj; entonces existen

ındices diferentes i1, . . . , in ∈ I, tales que j /∈ {i1, . . . , in} y ademas,

m = mi1 + · · ·+ mim , donde mik ∈Mik , para cada 1 ≤ k ≤ m.

La igualdad anterior se puede escribir como

m′i1

+ · · ·+ m′in +m = mi1 + · · ·+ mim +mj,

donde m′ik

= 0, para cada 1 ≤ k ≤ m y mj = 0. Segun (iii), m = mj, por lo tantoMj ∩

∑i6=j Mi = 0.

Corolario 6.1.3. Sea {Mi}i∈I una familia de submodulos del A-modulo M , M essuma directa interna de la familia si, y solo si, cada elemento m ∈ M tiene unarepresentacion unica (salvo sumandos nulos) en la forma

m = mi1 + · · ·+min , (6.1.2)

donde mik ∈Mik , 1 ≤ k ≤ n, y los ındices i1, . . . , in son diferentes.

Demostracion. Esto es consecuencia directa de la proposicion anterior.

Proposicion 6.1.4. Sea {Mi}i∈I una familia de A-modulos y M =⊕

i∈I Mi susuma directa externa. Si M ′

i := µi (Mi) es la imagen de Mi mediante la inyeccioncanonica µi, entonces

6.1. DEFINICION Y CARACTERIZACIONES 45

(i) M =∑

i∈I ⊕M ′i .

(ii) M ′i∼= Mi, para cada i ∈ I.

Demostracion. Teniendo en cuenta que µi es un A - homomorfismo inyectivo paracada i ∈ I, entonces la afirmacion (ii) es evidente.

Sea m = (mi) ∈M ; si m = 0, entonces m ∈∑

i∈I M′i . Si m 6= 0, entonces

m =∑

j∈Imµj (mj) ∈

∑i∈I M

′i ,

es decir, M =∑

i∈I M′i .

Sea {i1, . . . , in} un subconjunto de ındices diferentes de I, y

m′i1∈M ′

i1, . . . ,m′

in ∈M′in ,

tales que m′i1

+ · · ·+ m′in = 0. Entonces, existen mi1 ∈Mi1 , . . . ,min ∈Min tales que

m′ik

= µik (mik), 1 ≤ k ≤ n. Resulta µi1 (mi1) + · · · + µin (min) = 0. Consideremosen M =

⊕i∈I Mi el elemento m = (mj), donde

mj =

{0, si j /∈ Im = {i1, . . . , in}mik si j = ik, 1 ≤ k ≤ n.

Entonces, m =∑

j∈Imµj (mj) = 0, de donde se desprende que mj = 0 para cada

j ∈ I; en particular, mik = 0 para cada 1 ≤ k ≤ n. Esto implica que m′ik

= 0 paracada 1 ≤ k ≤ n, y ası la suma es directa.

Observacion 6.1.5. Si I = In := {1, 2, . . . , n}, entonces

M ′i = {(0, . . . ,mi, . . . 0) | mi ∈Mi}, 1 ≤ i ≤ n.

La siguiente proposicion es en cierto sentido el recıproco de la proposicon 6.1.4.

Proposicion 6.1.6. Si {Mi}i∈I es una familia de submodulos de M tales que M =∑i∈I ⊕Mi, entonces M ∼=

⊕i∈I Mi.

Demostracion. La idea central es aplicar la propiedad universal de la suma directaexterna. Los detalles quedan a cargo del lector.

Proposicion 6.1.7. Sea {Mi}i∈I una familia de A-modulos. Entonces, para cadaj ∈ I

(⊕

i∈I Mi)/Mj∼=

⊕i6=j Mi.

Demostracion. Asignando a cada elemento f : I −→⋃Mi de

⊕i∈I Mi su

restriccion a I − {j}, obtenemos un A-homomorfismo sobreyectivo de⊕

i∈I Mi en⊕i6=j Mi con nucleo Mj.


6.2 Sumando directo

De particular importancia en la teorıa de modulos es el concepto de irreducibilidadque presentamos a continuacion.

Definicion 6.2.1. Sean M un A-modulo y N un submodulo de M .

(i) Se dice que N es un sumando directo de M si existe un submodulo N ′ deM tal que M = N ⊕N ′.

(ii) Se dice que M es irreducible (o indescomponible) si 0 y M son sus unicossumandos directos. M es reducible si M no es irreducible. El modulo nulopor definicion es irreducible.

Ejemplo 6.2.2. Evidentemente todo modulo simple es irreducible. La afirmacionrecıproca no es cierta, tal como lo ilustran los siguientes ejemplos:

(i) Z es irreducible: en efecto, sean 〈m〉, 〈n〉 subgrupos de Z tales que Z =〈m〉 ⊕ 〈n〉. Puesto que mn ∈ 〈m〉 ∩ 〈n〉 = 0, entonces m = 0, o, n = 0.

(ii) Sea R un DIP y p un irreducible de R. Segun el ejemplo 2.3.2, Rp∞ es unR-modulo irreducible.

Ejemplo 6.2.3. Sea m ≥ 2 y Zm el grupo de los enteros modulo m. Segun elejemplo 3.3.1, los subgrupos de Zm son de la forma Zr con r | m. Veamos que

Zr es sumando directo de Zm ⇔ m.c.d.(r, mr) = 1.

⇒) Existe s | m tal que Zm = Zr ⊕ Zs. Por razones de cardinalidad m = rs. Sead = (r, s). Entonces d | r, d | s y tanto en Zr como en Zs hay un subgrupo de ordend. Pero Zr ∩ Zs = 0 y en Zm solo hay un subgrupo de orden d. Resulta entoncesque d = 1.

⇐) Sean r, s positivos tales que (r, s) = 1 y rs = m. Entonces, 〈s〉 ⊕ 〈r〉 = Zm.En efecto, de (r, s) = 1 resulta Zm = 〈s〉 + 〈r〉. Como rs = m, entonces el mınimocomun multiplo de r y s es m, por tanto, 〈r〉 ∩ 〈s〉 = 0.

Notese que Zm es irreducible si, y solo si, m es primo.

Definicion 6.2.4. Sea f : M1 −→ M2 un A-homomorfismo.

(i) Si f es inyectivo, se dice que f es hendido si Im (f) es un sumando directode M2.

(ii) Si f es sobreyectivo, se dice que f es hendido si ker (f) es un sumando directode M1.

Proposicion 6.2.5. Sea f : M1 −→ M2 un A-homomorfismo. Entonces,

6.2. SUMANDO DIRECTO 47

(i) f es inyectivo hendido si, y solo si, existe un homomorfismo de modulosg : M2 −→ M1 tal que gf = iM1.

(ii) f es sobreyectivo hendido si, y solo si, existe un homomorfismo de modulosg : M2 −→ M1 tal que fg = iM2.

Demostracion. (i) ⇒): sea M ′2 un submodulo de M2 tal que M2 = M ′

2 ⊕ Im (f).Cada elemento m ∈ M2 tiene una representacion unica en la forma m = m′ + y,donde m′ ∈M ′

2 y, y ∈ Im (f). Como f es inyectivo, existe un unico x ∈ M1 tal quef (x) = y, luego m = m′ + f (x), donde x esta unıvocamente determinado por m.Se define

g : M2 −→ M1

m 7−→ g (m) := x,

el cual, por lo que se acaba de decir, es evidentemente un A-homomorfismo. Paraw ∈M1 se tiene que (gf) (w) = g (0) + gf (w) = w, con lo cual gf = iM1 .

⇐) Segun la proposicion 3.1.3, f es inyectivo. Veamos ahora que

M2 = ker (g)⊕ Im (f) (6.2.1)

Sea y ∈M2, entonces y = y−(fg) (y)+(fg) (y), donde (fg) (y) = f (g (y)) ∈ Im (f),y ademas, y− f (g (y)) ∈ ker (g), pues g (y − f (g (y))) = g (y) − (gf) (g (y)) =g (y) − g (y) = 0. Se tiene ası que M2 = ker (g) + Im (f). Supongamos ahora quey ∈ ker (g) ∩ Im (f), entonces g (y) = 0 y y = f (x) para algun x ∈ M1, luegog (f (x)) = x = g (y) = 0, de donde y = 0.

(ii) ⇒) Sea M ′1 un submodulo de M1 tal que M1 = M ′

1⊕ ker (f). Dado m ∈M2,existe x ∈ M1 tal que f (x) = m; x determina unıvocamente elementos x1 ∈ M ′

1 yx2 ∈ ker (f) tales que x = x1 + x2. Se define

g : M2 −→ M1

m 7−→ g (m) := x1.

Veamos que g esta correctamente definido. Sea x′ ∈ M1 tal que f (x′) = m; parax′ := x′1 + x′2, con x′1 ∈ M ′

1 y x′2 ∈ ker (f), se tiene que f (x− x′) = 0, con lo cualx− x′ ∈ ker (f) y entonces x = x′ + s, con s ∈ ker (f). Resulta x = (x′1 + x′2) + s =x′1 + (x′2 + s) = x1 + x2, y por la unicidad, x1 = x′1, lo cual demuestra que gesta correctamente definida. Claramente g es un A-homomorfismo. De otra parte,(fg) (m) = f (g (m)) = f (x1) = f (x− x2) = f (x) − f (x2) = f (x) = m, es decir,fg = iM2 .

⇐) De la proposicion 3.1.3 se desprende que f es sobreyectivo. Resta probarque ker (f) es sumando directo de M1, para lo cual se demostrara que

M1 = ker (f)⊕ Im (g) . (6.2.2)


Dado x ∈ M1, entonces m = m − (gf) (m) + (gf) (m), donde (gf) (m) ∈ Im (g)y m − (gf) (m) ∈ ker (f). Esto demuestra que M1 = ker (f) + Im (g). Sea x ∈M1 = ker (f) ∩ Im (g), entonces x = g (z), con z ∈ M2, y ademas f (x) = 0, luegof (g (z)) = 0, de donde x = 0.

Corolario 6.2.6. Sean M un A-modulo y N un submodulo de M . Entonces, N essumando directo de M si, y solo si, existe un endomorfismo π : M −→ M ,tal que π2 = π y π (M) = N .

Demostracion. ⇒): sea N ′ submodulo de M tal que M = N ⊕N ′. Considerese enla primera parte de la proposicion anterior f := µ, donde µ es el homomorfismo quesumerge a N en M , µ es un A-homomorfismo inyectivo hendido y existe entoncesg : M −→ N tal que gf = iN . Segun la demostracion de la proposicion anterior,g es sencillamente la proyeccion de M sobre N . Dado que m ∈ M se tiene quem = n + n′, con n ∈ N y, n′ ∈ N ′, luego g (m) = n. Tomando π := µg resulta(ππ) (m) = π (π (m)) = π (n) = π (n+ 0) = n = π (m), es decir, π2 = π. Ademas,π (M) = N .

⇐) Sean µ : N −→ M la inclusion de N en M y π : M −→ M talque π (M) = N y π2 = π. Para g : M −→ N definida por g (m) := π (m), setiene que gµ = iN . En efecto, para n ∈ N existe m ∈ M tal que n = π (m), luegoµ (n) = π (m), de donde

g (µ (n)) = g (π (m)) = π (π (m)) = π (m) = n.

Entonces, µ es hendido con imagen N .

Ejemplo 6.2.7. QZ es irreducible. En efecto, sea N un sumando directo de QZ.Segun el corolario 6.2.6, existe un endomorfismo π de QZ tal que π2 = π, y π (Q) =N . Pero por el ejemplo 4.2.4, π = 1, o, π = 0, con lo cual N = Q, o, N = 0.

6.3 Ejercicios


2. Sea R un DIP , demuestre que R es un R-modulo irreducible.

3. Sea R un dominio de integridad y sea Q(R) su cuerpo de fracciones (vease[18]); demuestre que Q(R) es un R-modulo irreducible.

4. Sean A un anillo y e un idempotente de A. Demuestre que A = eA⊕ (1−e)A.

5. Sea A un anillo. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) AA es irreducible.

6.3. EJERCICIOS 49

(ii) AA es irreducible.

(iii) Los unicos idempotentes de A son los triviales.

6. Sean M un A-modulo y B := EndA (M). Demuestre que las siguientes condi-ciones son equivalentes:

(i) MA es irreducible.

(ii) BB es irreducible.

(iii) BB es irreducible.

(iv) 0 y 1 son los unicos idempotentes de B.

7. Sea A un anillo y Mn(A) el conjunto de matrices cuadradas de orden n, n ≥ 2.Muestre que Mn(A) es reducible como A-modulo y como Mn(A)-modulo.

8. Un modulo N es inyectivo si para cada homomorfismo inyectivo f y cadahomomorfismo g, existe un homomorfismo h tal que el siguiente diagramaconmuta:

N

M L

6g

-f

ppppppppI h

Demuestre que cada sumando directo de un modulo inyectivo es inyectivo.

9. Sea {Ni}i∈C una familia de A-modulos. Si Ni es inyectivo para cada i, entonces∏i∈C Ni es inyectivo.

10. Un modulo P es proyectivo si para cada homomorfismo sobreyectivo f ycada homomorfismo g, existe un homomorfismo h tal que el siguiente diagramaconmuta:

P

M N

pppppppph

?

g

-f

Demuestre que si {Pi}i∈C una familia de A-modulos, entonces,⊕i∈C Pi es proyectivo ⇐⇒ ∀i ∈ C , Pi es proyectivo.

Capıtulo 7

Modulos libres

Estudiaremos ahora los conceptos de independencia lineal y base para modulos,advirtiendo que varias propiedades de las bases de los espacios vectoriales no se con-servan en este caso. Veremos como no todo modulo posee una base, dos bases finitaspueden tener diferente numero de elementos, no todo submodulo de un modulo librees libre.

7.1 Definicion y caracterizaciones

Definicion 7.1.1. Sea M un modulo sobre el anillo A y X = {x1, . . . , xk} unsubconjunto finito de M . Se dice que X (los elementos de X) es (son) linealmentedependiente (s), si existen a1, . . . , ak ∈ A no todos nulos tales que

x1 · a1 + · · ·+ xk · ak = 0.

En caso contrario se dira que X es linealmente independiente, es decir, paracualesquiera elementos a1, . . . , ak de A se cumple∑k

i=1 xi · ai = 0 ⇔ ai = 0, para cada 1 ≤ i ≤ k.

Un subconjunto no vacıo X de M se dice linealmente dependiente si contiene almenos un subconjunto finito linealmente dependiente. Se dira que X es linealmenteindependiente si cada subconjunto finito de X es linelamente independiente. Elconjunto vacıo es linealmente independiente. Sea ∅ 6= X ⊂M , se dice que X es unabase de M si X es linealmente independiente y {X〉 = M . Se dice que M es libresi posee al menos una base.

0 es libre con base ∅ y notemos que el anillo A es libre con base X = {1}.

50

7.1. DEFINICION Y CARACTERIZACIONES 51

Proposicion 7.1.2. Sea M no nulo y ∅ 6= X ⊂M . X es una base de M si, y solosi, cada elemento m de M tiene una representacion unica en la forma

m = x1 · a1 + · · ·+ xk · ak, (7.1.1)

con xi ∈ X, ai ∈ A, 1 ≤ i ≤ k.

Demostracion. ⇒): la existencia de una representacion es consecuencia directa delconcepto de base. Supongamos que m tiene otra representacion en la forma

m = y1 · b1 + · · ·+ yt · bt,

con yi ∈ X, bj ∈ A, 1 ≤ j ≤ t. Sin perdida de generalidad (completando consumandos nulos) podemos suponer que {x1, . . . , xk} = {y1, . . . , yt}; tambien pode-mos asumir que xi = yi, 1 ≤ i ≤ k. Resulta entonces

0 = x1 · (a1 − b1) + . . .+ xk · (ak − bk),

y por la independencia lineal se tiene que ai = bi para 1 ≤ i ≤ k.⇐): la existencia de representaciones como en (7.1.1) implica {X〉 = M . La

unicidad garantiza la independencia lineal.

Proposicion 7.1.3. Sean M un modulo no nulo y ∅ 6= X ⊂ M . X es una base deM si, y solo si,

M =∑

x∈X ⊕{x〉 y Ann (x) := {a ∈ A | x · a = 0} = 0, para todo x ∈ X.

Demostracion. ⇒): de las proposiciones 6.1.3 y 7.1.2 resulta M =∑

x∈X ⊕{x〉. Envista de la independencia de X, la igualdad x · a = 0, con x ∈ X y a ∈ A, implicaa = 0.

⇐): la igualdad M =∑

x∈X ⊕{x〉 implica {X〉 = M . Sean xi, . . . , xk elementosdiferentes de X y a1, . . . , ak ∈ A tales que x1 · a1 + · · ·+ xk · ak = 0. Supongase quealgun ai 6= 0. Sin perdida de generalidad asumamos que a1 6= 0. Entonces,

x1 · a1 ∈ {x1〉 ∩∑

x∈X,x 6=x1

{x〉 .

Resulta, x1 · a1 = 0, es decir, a1 ∈ Ann (x1), lo cual es contradictorio. Ası pues,a1 = · · · = ak = 0, y X es una base de M .

Los siguientes ejemplos muestran la diferencia entre los espacios vectoriales sobrecuerpos y los modulos sobre anillos.

Ejemplo 7.1.4. QZ no es libre. Supongase contrariamente que ∅ 6= X ⊂ Q es unabase. Sea x0 ∈ X. De acuerdo con el ejemplo 2.2.2, Q = 〈X0〉, X0 = X − {x0}.Existen entonces k1, . . . , kn ∈ Z y x1, . . . , xn ∈ X0 tales que x0+x1 ·k1+· · ·+xn ·kn =0, de donde {x0, x1, . . . , xn} es linealmente dependiente, lo cual es contradictorio.

Ejemplo 7.1.5. No todo submodulo de un modulo libre es libre. En efecto, segunvimos, A es un A-modulo libre con base {1}. En particular, Z4 es Z4-libre. Noteseque N = {0, 2} ≤ Z4 no posee base.

52 CAPITULO 7. MODULOS LIBRES

7.2 Cardinalidad de las bases

En la seccion anterior vimos que no todo modulo tiene base. Ahora, si M es unmodulo no nulo libre con base X, entonces cambiando algun elemento x ∈ X porx · a, con a ∈ A∗, el nuevo conjunto es tambien una base de M , ası pues, si A∗

es infinito, M tiene infinitas bases distintas. Con esto queda claro que no tienesentido estudiar la unicidad de las bases, pero si es interesante revisar el problemadel tamano de cada una de ellas.

Proposicion 7.2.1. Todo modulo libre finitamente generado posee una base finita.

Demostracion. La proposicion se cumple evidentemente para modulos nulos. SeanM 6= 0, X una base de M y M = {m1, . . . ,mk〉. Cada elemento m ∈ M es unacombinacion lineal de los generadores m1, . . . ,mk; a su vez cada mi determina unsubconjunto finito Xi ⊂ X tal que mi ∈ {Xi〉. Resulta entonces M = {

⋃ki=1Xi〉,

con lo cual⋃k

i=1Xi es una base finita de M .

Corolario 7.2.2. En un modulo libre, o todas las bases son finitas, o todas soninfinitas.

Demostracion. El caso M = 0 es trivial. Sea M 6= 0 y X una base finita de M .Segun la prueba de la proposicion 7.2.1, para cualquier otra base Y de M existeY0 ⊂ Y finito tal que Y0 es base. Resulta entonces Y0 = Y .

El contenido de la siguiente proposicion es conocido para espacios vectorialessobre anillos de division. Como veremos a continuacion, la prueba es valida paraanillos arbitrarios.

Proposicion 7.2.3. Sea M un modulo libre sobre A con bases infinitas X, Y .Entonces, Card (X) = Card (Y ).

Demostracion. Cada elemento z de Y es representable mediante una combinacionlineal finita de elementos de X. Ademas, dado x ∈ X existe z ∈ Y tal que x estaen la representacion de z. En efecto, sea

x = z1 · α1 + · · ·+ zm · αm (7.2.1)

la representacion de x en terminos de elementos de Y . Cada elemento zi, 1 ≤ i ≤ m,es representable como combinacion lineal de elementos de X. Si suponemos que xno aparece en la representacion de ninguno de los elementos de Y , entonces x noaparece en la representacion de ninguno de los elementos zi, 1 ≤ i ≤ m. Sea Xi elconjunto (finito) de elementos de X que intervienen en la representacion de zi y sea

X0 =⋃m

i=1Xi.

7.2. CARDINALIDAD DE LAS BASES 53

Claramente X0 es finito y x /∈ X0. De (7.2.1) se desprende que el subconjunto finito

X ′0 := X0 ∪ {x}

es linealmente dependiente, lo cual contradice el hecho de ser X una base para M .Ası pues, dado x ∈ X existe al menos un z ∈ Y tal que x esta en la representacionde z. Con ayuda del axioma de eleccion definimos la funcion

φ : X −→ Y

mediante la regla φ (x) := z, donde z es un elemento de Y tal que x esta en larepresentacion de z. Sea Y ′ := φ (X) y sea z′ ∈ Y ′. φ−1 (z′) es el conjunto (finito)de elementos deX que intervienen en la representacion de z′. Esto permite estableceruna correspondencia entre Y ′ y el conjunto de partes finitas de X:

Y ′ φ∗−→ Xz′ 7→ φ−1 (z′)

φ∗ es una funcion inyectiva. En efecto, sea φ−1 (z′) = φ−1 (z′′) con z′, z′′ ∈ Y ′. Seax ∈ φ−1 (z′). Entonces φ (x) = z′ = z′′ (notese ademas que para elementos diferentesz′ y z′′ de Y ′ se cumple que φ−1 (z′) ∩ φ−1 (z′′) = ∅). Sea Γ := Im (φ∗). Puesto queφ∗ es inyectiva entonces Card (Γ) = Card (Y ′).

Queremos ahora probar que Γ es una particion del conjunto X. Por lo queanotamos hace un momento entre parentesis, basta probar que

X =⋃

z′∈Y ′ φ (z′).

Evidentemente⋃

z′∈Y ′ φ (z′) ⊆ X. sea x ∈ X. Entonces, φ (x) = z′ ∈ Y ′ y, por lotanto,

x ∈ φ−1 (z′) ⊆⋃

z′∈Y ′ φ−1 (z′).

Puesto que X es infinito entonces Γ es tambien infinito. En total se tienen que Γes una particion infinita de partes finitas del conjunto infinito X, de donde

Card (X) = Card (Γ) = Card (Y ′) ≤ Card (Y ).

De manera simetrica se establece que Card (Y ) ≤ Card (X). Por el teorema deCantor-Berstein-Schoder de la teorıa de conjuntos podemos conlcuir que Card (X) =Card (Y ) (vease [3]).

Al final del capıtulo mostraremos que la proposicion 7.2.3 no es siempre ciertapara el caso de bases finitas.

Proposicion 7.2.4. Sean X un conjunto no vacıo y A(X) la suma directa externade la familia {Mx}x∈X , con Mx := AA. Entonces, A(X) es libre con una basecanonica de cardinalidad igual a la de X.

Demostracion. Para cada x ∈ X consideremos la inyeccion canonica


µx : A −→ A(X).

Probaremos que {µx (1)}x∈X es una base para A(X). En primer lugar, es claroque µx (1) 6= µx′ (1) para x 6= x′ en X. Sea z = (zx)x∈X un elemento de A(X).Si z = 0, entonces z ∈ {µx (1) | x ∈ X〉. Si z 6= 0 existe un subconjunto finitoXz = {x1, . . . , xn} ⊂ X tal que z =

∑ni=1 µxi

(ai), con a1, . . . , an ∈ A. Entonces

z =∑n

i=1 µxi(1) · ai ∈ {µx (1) | x ∈ X〉.

Sean ahora X0 = {x1, . . . , xm} un subconjunto finito de X y a1, . . . , am ∈ A talesque

µx1 (1) · a1 + . . .+ µxm (1) · am = 0.

Entonces, el elemento z = (zx) ∈ A(X) es nulo, donde

zx =

{0, x /∈ X0

ai, x = xi, 1 ≤ i ≤ m.

Esto implica que ai = 0 para cada 1 ≤ i ≤ m, de donde {µx (1)}x∈X es linealmenteindependiente.

Teorema 7.2.5. Sea M un A-modulo libre con base X. Entonces M ∼= A(X).

Demostracion. Segun la proposicion 7.1.3, M =∑

x∈X ⊕{x〉 y Ann (x) = 0, paracada x ∈ X. Se tiene ademas la familia de isomorfismos

Afx−→ {x〉

a 7→ x · a

la cual, de acuerdo con las proposiciones 5.3.5 y 6.1.6, induce el isomorfismo

A(X) ∼=⊕

x∈X {x〉 ∼=∑

x∈X ⊕{x〉 = M .

Corolario 7.2.6. An es libre con base canonica {e1, . . . , en},

ei := (0, . . . , 1, . . . , 0)T ,

donde 1 esta en la i-esima posicion, 1 ≤ i ≤ n. Recıprocamente, sean A un anillo yM un A-modulo libre con una base de n ≥ 1 elementos. Entonces, M ∼= An.

Observacion 7.2.7. De acuerdo con el teorema 7.2.5, los modulos libres sobre Ano son mas que sumas directas externas de AA. Ademas, podemos complementar elcorolario 7.2.6 y definir A(∅) := A0 := 0.

7.3. MODULOS LIBRES Y HOMOMORFISMOS 55

7.3 Modulos libres y homomorfismos

Es posible caracterizar los modulos libres a traves de homomorfismos.

Teorema 7.3.1. Sea M un A-modulo no nulo y sea ∅ 6= X ⊂M . Entonces, M es li-bre con base X si, y solo si, para cada modulo N y cada funcion ψ : X −→ N

existe un unico A-homomorfismo ψ : M −→ N tal que ψ (x) = ψ (x), paracada x ∈ X.

Demostracion. ⇒): m ∈ M tiene una unica representacion en la forma m = x1 ·a1 + · · ·+xk ·ak, con xi ∈ X y ai ∈ A, 1 ≤ i ≤ k. La aplicacion ψ : M −→ N

definida por ψ (m) := ψ (x1) ·a1 + · · ·+ψ (xk) ·ak es claramente un A-homomorfismoque satisface ψ (x) = ψ (x), para cada x ∈ X. Otro A-homomorfismo que cumplaesta condicion coincide con ψ.

⇐): notese que si M es un modulo libre con base X y N es un modulo conisomorfismo α : M −→ N , entonces N es libre con base {α (x)}x∈X . Seapues M un A-modulo y X un subconjunto no vacıo de M que cumple la propiedaddel enunciado del teorema. Segun la proposicion 7.2.4, A(X) es libre con base X ′ :={µx (1)}x∈X , donde µx : A −→ A(X) es la inyeccion canonica correspondientea x ∈ X. La funcion

ψ : X −→ A(X)

x 7−→ µx (1)

induce el A-homomorfismo

ψ : M −→ A(X)

tal que ψ (x) := ψ (x) = µx (1), para cada x ∈ X. La funcion

θ : X ′ −→ Mµx (1) 7−→ x

induce el A-homomorfismo

θ : A(X) −→ M

tal que θ (µx (1)) = θ (µx (1)) = x, para cada x ∈ X. Se tiene pues el homomorfismoθ ◦ ψ : M −→ M , θ ◦ ψ (x) = x, para cada x ∈ X. Nuevamente por hipotesis, lafuncion

i : X −→ Mx 7−→ x

induce un unico A-homomorfismo i : M −→ M tal que i (x) = x, para cada

x ∈ X. Pero tanto iM como θ◦ψ cumplen esta condicion, por lo tanto, iM = i = θ◦ψ.Analogamente, apoyandonos en la primera parte ya probada, y teniendo en cuenta


que A(X) es libre, obtenemos que ψ ◦ θ = iA(X) . Ası pues, θ es un isomorfismo, conlo cual M es libre con base X = θ (X ′).

Corolario 7.3.2. Sean M y N modulos libres con bases X y Y respectivamente,con Card (X) = Card (Y ). Entonces, M ∼= N .

Demostracion. Sea ψ : X −→ Y una funcion biyectiva de X en Y . Segun

el teorema anterior, existe un unico A-homomorfismo ψ : M −→ N tal que

ψ (x) = ψ (x), para cada x ∈ X. Analogamente, existe un unico A-homomorfismoθ : N −→ M tal que θ (y) = ψ−1 (y), para cada y ∈ Y . Se tiene pues que

θ ◦ ψ (x) = x, para cada x ∈ X. De otra parte, la identica iX : X −→ X se

extiende de manera unica, con lo cual necesariamente θ ◦ ψ = iM .Por simetrıa, ψ ◦ θ = iN , con lo cual ψ es un isomorfismo.

Corolario 7.3.3. Sea M un modulo libre con base X. Entonces,

(i) Si θ : M −→ N es un A-homomorfismo tal que θ (x) = 0 para cadax ∈ X, entonces θ = 0.

(ii) Si θ, α : M −→ N son A-homomorfismos que coinciden en los elemen-tos de X, entonces θ = α.

(iii) Si θ : M −→ M es tal que θ (x) = x para cada x ∈ X, entonces θ = iM .

(iv) Si θ : N −→ M es un homomorfismo sobreyectivo, entonces existe unhomomorfismo inyectivo α : M −→ N tal que N = ker (θ)⊕Im (α), esdecir, θ es hendido.

Demostracion. Las tres primeras afirmaciones son consecuencia directa del teorema7.3.1.

(iv) Por ser θ una funcion sobreyectiva, podemos, mediante el axioma de eleccion,definir una funcion α′ : X −→ N tal que α′ (x) = n, si θ (n) = x. Puestoque M es libre con base X, existe un unico A-homomorfismo α : M −→ Ntal que α (x) = α′ (x), para cada x ∈ X. Como la inclusion de X en M se extiendede manera unica a la identica y θ ◦ α (x) = x, entonces necesariamente θ ◦ α = iM .De la proposicion 6.2.5 resulta que α es inyectivo hendido, y ademas N = ker (θ)⊕Im (α).

La siguiente proposicion muestra que todo modulo puede “cubrirse” con unmodulo libre.

Proposicion 7.3.4. Todo modulo es imagen de un modulo libre.

Demostracion. Sea M un A-modulo. Si M = 0, entonces no hay nada que probar.Sea M un modulo no nulo. Segun la proposicion 7.2.4, A(M) es un modulo libre yX = {µm (1)}m∈M es una base, donde

7.3. MODULOS LIBRES Y HOMOMORFISMOS 57

µm : A −→ A(M)

es la inyeccion canonica correspondiente a m. Se tiene entonces la funcion

ψ : X −→ Mµm (1) 7−→ m

(notese que si µm (1) = µm′ (1) entonces m = m′). La funcion ψ se puede extender aun homomorfismo ψ : A(M) −→ M . Puesto que ψ es sobreyectiva (mas aun,

biyectiva), entonces ψ es sobreyectivo.

Corolario 7.3.5. Cada modulo finitamente generado es imagen de un modulo librede bases finitas.

Demostracion. Si M = 0, entonces M es imagen de A0 = 0. Sea M un modulo nonulo generado por el subconjunto finito Y = {y1, . . . , yn}. Sea An la suma directaexterna de n copias del modulo AA con la bse canonica X = {e1, . . . , en} definidaen el corolario 7.2.6. Se tiene entonces la funcion

ψ : X −→ Mei 7−→ yi,

la cual puede ser extendida hasta un homomorfismo ψ : An −→ M . Notese

que ψ es en realidad sobreyectivo. En efecto, sea m ∈ M , existen a1, . . . , an en Atales que

m = y1 · a1 + · · ·+ yn · an

= ψ (x1) · a1 + · · ·+ ψ (xn) · an

= ψ (x1) · a1 + · · ·+ ψ (xn) · an

= ψ (x1 · a1 + · · ·+ xn · an).

Ası pues, M es la imagen de An.

Terminamos el capıtulo presentando el concepto de dimensionalidad. La proposi-cion 7.2.3 puso en claro que para un anillo arbitrario A y un modulo libre M de basesinfinitas podemos definir la dimension de M como el cardinal de una cualquiera desus bases. Para bases finitas la situacion puede cambiar, como lo ilustra el siguienteejemplo.

Ejemplo 7.3.6. Sea M un modulo libre sobre un anillo B con base numerableX = {xi}∞i=1, y sea A = EndB (M) su anillo de endomorfismos. Consideremos laestructura natural de A-modulo a izquierda sobre A. A es entonces libre con base{1}. Construimos una base de A con dos elementos: sean f , g funciones definidaspor


f, g : X −→ M

f (xi) =

{xn, si i = 2n,0, si i = 2n− 1.

g (xi) =

{0, si i = 2n,xn, si i = 2n− 1.

ComoM es libre, f , g pueden ser extendidas a B-endomorfismos deM , f , g. Veamosque

{f, g

}es una base de A. Sea h ∈ A y consideremos las funciones

tj : X −→ M , j = 1, 2.

t1 (xi) = h (x2i)

t2 (xi) = h (x2i−1),

para cada i = 1, 2, . . . . Sean t1, t2 los B-endomorfismos inducidos por t1 y t2. Noteseque h = t1f + t2g. En efecto, si i = 2n, entonces(

t1 f + t2 g)(xi) = t1

(f (xi)

)+ t2 (g (xi))

= t1 (xn) + t2 (0)= t1 (xn)

= h (x2n)

= h (xi).

Si i = 2n− 1, entonces(t1f + t2g

)(xi) = t1

(f (xi)

)+ t2 (g (xi))

= t1 (0) + t2 (xn)= t2 (xn)

= h (x2n−1)

= h (xi).

Consideremos por ultimo la independencia lineal: sean h1, h2 ∈ A tales que

h1 f + h2 g = 0.

Entonces, para cada i = 1, 2, . . . se tiene(h1 f + h2 g

)(xi) = 0,

en particular, (h1 f + h2 g

)(x2i) = h1

(f (x2i)

)= h1 (xi) = 0,(

h1 f + h2 g)(x2i−1) = h2 (g (x2i−1)) = h2 (xi) = 0,

es decir, h1 = h2 = 0.Segun el corolario 7.2.6 se tiene la curiosa relacion A ∼= A2.

7.4. EJERCICIOS 59

Definicion 7.3.7. El anillo A se dice dimensional si para cualesquiera enterospositivos m, n se cumple

Am ∼= An ⇔ m = n.

Si A es dimensional y M es un A-modulo libre de bases finitas, se define la di-mension de M , y se denota por dim(M), como el cardinal de una cualquiera desus bases.

En la literatura los anillos dimensionales se conocen tambien como anillos IBN(Invariant Basis Number). En [16] se puede consultar un estudio recopilativo delos anillos dimensionales. Demostraremos a continuacion que los anillos conmuta-tivos son dimensionales, apoyandonos en la proposicion 4.3.6. Sean R un anilloconmutativo y m, n enteros tales que Rm ∼= Rn. Sean I un ideal maximal deR y R := R/I el respectivo cuerpo residual, se tiene entonces el R-isomorfismoHomR

(Rn, R

) ∼= HomR

(Rm, R

). El teorema 5.3.6 garantiza el R-isomorfismo[

HomR

(R,R

)]n ∼=[HomR

(R,R

)]m.

Segun (4.3.5), Rn∼=Rm

y, puesto que los cuerpos son dimensionales (vease [14]),entonces m = n.

7.4 Ejercicios

1. Demuestre que los vectores v1 := (1, 2)T , v2 := (3, 4)T ∈ Z2 son linealmenteindependientes pero no constituyen una base de Z2.

2. Sea A un anillo. Calcule dos bases distintas del A-modulo A[x].

3. Sea A un anillo. Calcule dos bases distintas del A-modulo Mn(A), con n ≥ 1.

4. Demuestre que los anillos finitos son dimensionales.

5. Demuestre que todo modulo sobre un anillo de division es libre.

6. Demuestre que los anillos de division son dimensionales.

7. Demuestre que cada sistema minimal de generadores de un modulo libre dedimension finita sobre un anillo de division es una base.

8. Sea A un anillo y sea J un ideal propio de A tal que A/J es un anillo dimen-sional. Demuestre que A es tambien un anillo dimensional.

9. Sea A un anillo. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:


(a) A es dimensional.

(b) Para cualesquiera m,n ≥ 1, dadas dos matrices F ∈ Mm×n(A), G ∈Mn×m(A) con FG = Em, GF = En, se tiene que m = n (Em es la matrizidentica de orden m, vease [18]).

10. Ilustre con un ejemplo que si un modulo MA es libre y M ′ es un sumandodirecto de M , entonces no necesariamente M ′ es libre.

11. Sea R un anillo conmutativo y sean M y N modulos libres de bases finitas.Demuestre que HomR(M,N) es libre. Calcule su dimension.

12. Sea R un anillo conmutativo y sea M un R-modulo libre de dimension 2.Demuestre que no existe ningun epimorfismo de R en M .

Capıtulo 8

Modulos finitamente generadossobre DIPs

El tema central del presente capıtulo es el estudio de los modulos finitamente gene-rados sobre DIPs (dominios de ideales principales, vease [18]), y como aplicacionde esta teorıa general, demostrar el teorema de estructura de los grupos abelianosfinitamente generados. A pesar que la mayorıa de las definiciones y propiedadespresentadas en este capıtulo son validas para dominios de integridad arbitrarios, sino se advierte lo contrario, R denotara un DIP .

8.1 Modulos de torsion

Sea K el cuerpo de fracciones de R y sea M un R-modulo. Notese que si V es unK-espacio y v ∈ V, k ∈ K son tales que v · k = 0, entonces necesariamente v = 0 ok = 0. Sin embargo en modulos sobre anillos tal situacion no es siempre cierta.

Definicion 8.1.1. Sea M un R-modulo y sea m ∈M , se dice que m es un elementode torsion si existe r 6= 0 en R tal que m·r = 0. La coleccion de todos los elementosde torsion de M se denota por T (M). Se dice que M es un modulo de torsion siT (M) = M , y que M es sin torsion si T (M) = 0. El modulo nulo por definiciones un modulo sin torsion.

Proposicion 8.1.2. Sea M un R-modulo. Entonces,

(i) T (M) es un submodulo de M .

(ii) M/T (M) es sin torsion.

(iv) Si M es un modulo sin torsion y N ≤M , entonces N es sin torsion.

61

62 CAPITULO 8. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE DIPS

Demostracion. Todas las afirmaciones son consecuencia directa de las definiciones.

Ejemplo 8.1.3. R como R-modulo es sin torsion; K como R-modulo es sin torsion.En cambio, K/R es de torsion. Sea p un elemento irreducible de R, y sea

Kp := { apn

| a ∈ R, n ≥ 0}.

Notese que Kp es un R-modulo sin torsion; en cambio Rp∞ := Kp/R es de torsion(vease [18]).

Sea P la coleccion de elementos irreducibles de R (recordemos que en un DIP ,P coincide con la coleccion de elementos primos, vease [18]).

Definicion 8.1.4. Sea M un R-modulo y sea p ∈ P. Se dice que M es un modulop-primario si para cada m ∈M existe n ≥ 0 tal que m · pn = 0.

Sea M un R-modulo y sea p ∈ P ; definimos

M (p) := {m ∈M | m · pn = 0, para algun n ≥ 0}.

M (p) se denomina la componente p -primaria de M .

Proposicion 8.1.5. Sea M un R-modulo y sea p ∈ P, entonces M (p) ≤ T (M).

Demostracion. La prueba es un sencillo ejercicio que dejamos al lector.

Teorema 8.1.6. Sea M un R-modulo de torsion. Entonces, M es suma directa desus componentes primarias, es decir,

M =∑p∈P

⊕M (p).

Demostracion. Sea 0 6= m ∈ M (si m = 0, claramente m ∈∑

p∈PM(p)). Como M

es de torsion, existe r 6= 0 en R−R∗ tal que m · r = 0. Como R es un DFU , r tieneuna (unica) descomposicion en producto de irreducibles

r = pk11 · · · pkt

t , pj ∈ P , kj ≥ 1, pi 6= pj, para i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ t.

Searj := pk1

1 · · · pkj−1

j−1 pkj+1

j+1 · · · pktt , 1 ≤ j ≤ t.

Claramente m.c.d.(r1, . . . , rt) = 1 y por tanto existen s1, . . . , st ∈ R tales que

r1s1 + · · ·+ rtst = 1.

8.2. MODULOS SIN TORSION 63

De esta manera m = m · r1s1 + · · · + m · rtst, donde claramente m · rjsj ∈ M (pj)

para 1 ≤ j ≤ t, es decir, m ∈∑

p∈PM(p). Sea ahora q un elemento fijo de P y sea

m ∈ M (q) ∩∑

p6=q M(p). Existen p1, . . . , pr irreducibles distintos y diferentes de q,

n ≥ 1, y mj ∈M (pj), 1 ≤ j ≤ r, tales que

m · qn = 0, m = m1 + · · ·+mr.

Sea pnj

j tal que mj · pnj

j = 0, para cierto nj ≥ 1, 1 ≤ j ≤ r. Entonces

m · pn11 · · · pnr

r = m1 · pn11 · · · pnr

r + · · ·+mr · pn11 · · · pnr

r = 0.

Como el m.c.d. entre qn y pn11 · · · pnr

r es 1, existen a, b ∈ R tales que 1 = pn11 · · · pnr

r a+qnb. De esta igualdad tenemos

m = m · pn11 · · · pnr

r a+m · qnb = 0.

Esto muestra que la suma∑

p∈PM(p) es directa.

Corolario 8.1.7. Sea M un R-modulo de torsion finitamente generado. EntoncesM es suma directa finita de sus componentes primarias no nulas.

Demostracion. Sea M = 〈x1, . . . , xm〉, entonces la descomposicion de cada xi de-termina un subconjunto finito Pi ⊆ P de tal forma que M ⊆

∑p∈PM

⊕M (p), donde

PM := P1 ∪ · · · ∪ Pm y M (p) 6= 0 para p ∈ PM . Pero como la suma total es directa,entonces M (p) = 0 para p /∈ PM , y de esta forma M =

∑p∈PM

⊕M (p).

8.2 Modulos sin torsion

Ahora estudiaremos los R-modulos finitamente generados sin torsion.

Proposicion 8.2.1. Cada R-modulo libre es sin torsion.

Demostracion. En efecto, sea M libre; si M = 0, entonces M es sin torsion. SeaM 6= 0, y sea X una base de M . Sea m ∈ M y sea r 6= 0 en R tal que m · r = 0,entonces m = x1 · r1 + · · · + xk · rk, con ri ∈ R y xi ∈ X, 1 ≤ i ≤ k. Luego,m · r = x1 · r1r + · · · + xk · rkr, y entonces rir = 0 para cada i, de donde ri = 0 yaque R es un dominio de integridad. Esto implica que m = 0 (notemos que en estaprueba R puede ser cualquier DI).

Proposicion 8.2.2. Sea M un R-modulo libre de dimension finita y sea N ≤ M .Entonces, N es libre y dim (N) ≤ dim(M).


Demostracion. Si M = 0, entonces N = 0 es libre de dimesion 0. Sea M no nulo;sea X = {x1, . . . , xn} una base de M , para cada 1 ≤ k ≤ n definimos

Nk := N ∩ 〈x1, ..., xk〉.

Demostremos que Nk es libre con dimension ≤ k. De esto resulta en particular queNn = N ∩ 〈x1, . . . , xn〉 = N ∩M = N es libre con dimension ≤ n. Para k = 1tenemos que N1 = N ∩ 〈x1〉; definimos I1 := {r ∈ R | x1 · r ∈ N}. Notese que I1 esun ideal de R y por tanto I1 = 〈a1〉. Ademas, N1 = 〈x1 · a1〉: en efecto, sea x ∈ N1,entonces x = x1 · r ∈ N , luego r ∈ I1 y de esta forma r = a1s. Esto garantiza quex = (x1 · a1) · s ∈ 〈x1 · a1〉, es decir, N1 ⊆ 〈x1 · a1〉 De otra parte, por definicionx1 · a1 ∈ N , es decir, x1 · a1 ∈ N ∩ 〈x1〉 = N1, de donde 〈x1 · a1〉 ⊆ N1.

Suponemos ahora que Nk es libre de dimension ≤ k, y consideremos el caso k+1.Sea Ik+1 := {r ∈ R | xk+1 · r ∈ N + 〈x1, . . . , xk〉}. Existe entonces ak+1 ∈ R tal queIk+1 = 〈ak+1〉. Se tiene entonces que

xk+1 · ak+1 = z + x1 · b1 + · · ·+ xk · bk,

con z ∈ N y bi ∈ R, 1 ≤ i ≤ k. Vamos a mostrar que

Nk+1 = Nk + 〈z〉. (8.2.1)

En efecto, sea x ∈ Nk+1, entonces x ∈ N y x = x1 · c1 + · · ·+xk+1 · ck+1, esto implicaque xk+1 ·ck+1 = x−(x1 · c1 + · · ·+ xk · ck) ∈ N+〈x1, . . . , xk〉, o sea que ck+1 ∈ Ik+1,por tanto, ck+1 = ak+1d. De esta forma, x = x1 ·c1+· · ·+xk ·ck+xk+1 ·ak+1d =x1 ·c1+· · ·+xk ·ck+z·d+x1·b1d+· · ·+xk ·bkd =x1·c1+· · ·+xk ·ck+x1·b1d+· · ·+xk ·bkd+z·d ∈Nk+〈z〉 ya que x1·c1+· · ·+xk·ck+x1·b1d+· · ·+xk·bkd = x−z·d ∈ 〈x1, . . . , xk〉∩N . Esdecir, Nk+1 ⊆ Nk + 〈z〉. Recıprocamente, como Nk ⊆ Nk+1 y z ∈ N ∩〈x1, . . . , xk+1〉,entonces z ∈ Nk+1, y de esta forma tambien Nk + 〈z〉 ⊆ Nk+1. Esto completa laprueba de (8.2.1).

Si z = 0, Nk+1 = Nk y de esta forma dimNk+1 = dimNk = k < k + 1. Seaz 6= 0; si ak+1 = 0, entonces z ∈ N ∩ 〈x1, . . . , xk〉 = Nk y nuevamente Nk+1 = Nk.Sean pues ak+1 6= 0, veamos que en este caso la suma es directa. Sea x ∈ Nk ∩ 〈z〉,entonces x = x1 · c1 + · · ·+ xk · ck ∈ N y x = z · c, luego x = x1 · c1 + · · ·+ xk · ck =(xk+1 · ak+1) · c − (x1 · b1 + · · ·+ xk · bk) · c, y por la independencia lineal se tieneque ak+1c = 0. Como ak+1 6= 0, entonces c = 0 y de esta forma x = 0. Se tieneentonces que Nk+1 = Nk ⊕ 〈z〉 con z 6= 0; si Y es una base de Nk, entonces Y ∪ {z}es una base de Nk+1 (como M es libre entonces M es un modulo sin torsion, luegoAnn(z) = 0). Esto implica que dim(Nk+1) ≤ k + 1.

Observacion 8.2.3. Se puede demostrar (vease [20]) que la condicion de finitudpuede ser eliminada en la proposicion 8.2.2, es decir, en DIPs cada submodulo deun modulo libre es libre.

8.3. RANGO 65

Teorema 8.2.4. Sea M un R-modulo sin torsion finitamente generado. EntoncesM es libre.

Demostracion. El modulo nulo es por definicion libre. Sea M no nulo generadopor el subconjunto finito X = {x1, . . . , xm} de elementos no nulos de M . Sea L lacoleccion de subconjuntos de X no vacıos y linealmente independientes. Como Mes sin torsion, los subconjuntos unitarios de X estan en L, con lo cual este ultimo noes vacıo. Sea X0 = {x1, . . . , xn}, n ≤ m, uno de los elementos de L de cardinalidadmaxima (se reordenan los ındices si es necesario). Para cada x ∈ X, el subconjunto{x1, . . . , xn, x} es linealmente dependiente. Por tanto, para cada x ∈ X existenelementos no todos nulos rx, r1, ..., rn ∈ R tales que

x · rx + x1 · r1 + · · ·+ xn · rn = 0. (8.2.2)

rx es no nulo, ya que de lo contrario X0 serıa linelamente dependiente. Sea r :=rx1 · · · rxm , entonces r 6= 0 y definimosM ·r := {m·r | m ∈M}; notese queM ∼= M ·ry ademas M ·r ⊆ 〈X0〉. Esto ultimo se tiene ya que m ·r = (x1 · a1 + · · ·+ xm · am) ·r = x1 · a1rx1 · · · rxm + · · ·+xm · amrx1 · · · rxm , pero segun (8.2.2) cada sumando estaen 〈X0〉. El resultado se desprende entonces de la proposicion 8.2.2.

Ejemplo 8.2.5. Sin la condicion de finitud el teorema anterior es falso: QZ.

8.3 Rango

Basados en el siguiente resultado, definiremos el rango de un R-modulo finitamentegenerado.

Teorema 8.3.1. Sea M un R-modulo finitamente generado. Entonces,

(i) Existe N ≤M libre tal que

M = T (M)⊕N. (8.3.1)

(ii) Sean N,N ′ tales que M = T (M) ⊕ N = T (M) ⊕ N ′, entonces N y N ′ sonlibres e isomorfos.

Demostracion. (i) Sabemos que M/T (M) es un modulo sin torsion, ademas como Mes finitamente generado, entonces M/T (M) es tambien finitamente generado. Segunel teorema 8.2.4, M/T (M) es libre (de dimension finita). Entonces, el homomorfismocanonico j : M → M/T (M) es hendido (corolario 7.3.3), esto implica que M =ker(j) ⊕ N , con N ≤ M , pero ker(j) = T (M), luego, M = T (M) ⊕ N . Noteseentonces que N ∼= M/T (M) es libre de dimension finita.

(ii) Si M = T (M)⊕N = T (M)⊕N ′, entonces N ∼= M/T (M) ∼= N ′


El teorema anterior divide el estudio de los R-modulos finitamente generadossobre DIPs en dos partes: los modulos de torsion y los que no tienen torsion. Estosultimos son libres; ademas, la parte libre N de M es unica, salvo isomorfismo, y esfinitamente generada, por tanto, N es un modulo de dimension finita, digamos n.Ası pues, N ∼= Rn y n es un invariante para M .

Definicion 8.3.2. Sea M un R-modulo finitamente generdo sobre un DIP, se de-nomina rango de M , y se denota por rank(M), a la dimension de la parte libre deM .

Segun la proposicion 8.2.1, si M es libre, entonces T (M) = 0 y rank(M) =dim(M).

8.4 Componentes primarias

La parte de torsion T (M) en la descomposicion (8.3.1) es unica para M y agrupa loselementos de torsion de M . Segun el teorema 8.1.6, T (M) es suma directa finita desus componentes primarias. La idea ahora es estudiar cada componente primaria.Para la prueba del teorema 8.4.2 necesitamos el siguiente resultado valido en DIPs.

Proposicion 8.4.1. Sea M un R-modulo finitamente generado. En M cada cadenaascendente de submodulos se detiene, es decir, dada la cadena de submodulos

M1 ≤M2 ≤M3 ≤ · · ·

existe n ≥ 1 tal que Mn+k = Mn para todo k ≥ 0.

Demostracion. Como R es un DIP , cada cadena ascendente de ideales de R sedetiene (vease [18]). Aplicando el teorema de correspondencia (teorema 3.2.2), seobtiene inmediatamente que en R/I, con I un ideal de R, cada cadena ascendentede R-submodulos se detiene. Sea M = 〈x1, . . . , xn〉 = x1 · R + · · · + xn · R. Paracada 1 ≤ i ≤ n se tiene el R-isomorfismo R/Ann(xi) ∼= xi ·R. Por tanto, cada xi ·Rtiene la propiedad exigida.

Resta probar que si M1, M2 son submodulos de M que tienen la propiedadrequerida, entoncesM1+M2 tambien la tiene: (M1+M2)/M2

∼= M1/(M1∩M2), comoM1 cumple la condicion de cadena ascendente, entonces claramente M1/M1 ∩M2

satisface tambien dicha condicion, y en consecuencia, (M1 +M2)/M2 goza tambiende la propiedad mencionada. El problema se reduce ahora a demostrar que si N/L yL son modulos con la condicion, entonces N es un modulo con condicion de cadenaasecendente: en efecto, sea N1 ⊆ N2 ⊆ · · · una cadena ascendente de submodulosde N ; resultan en L y N/L las cadenas ascendentes

N1 ∩ L ⊆ N2 ∩ L ⊆ · · · ,

8.4. COMPONENTES PRIMARIAS 67

(N1 + L)/L ⊆ (N2 + L)/L ⊆ · · · ;

por consiguiente, existen k, l tales que Nk∩L = Nk+i∩L y (Nl+L)/L = (Nl+i+L)/Lpara todo i ≥ 0, luego Nl + L = Nl+i + L para i ≥ 0. Sea n = max{l, k}, entoncesNn + L = Nn+i + L y Nn ∩ L = Nn+i ∩ L para i ≥ 0. Resulta (Nn + L) ∩ Nn+i =(Nn+i+L)∩Nn+i, de donde Nn+(L∩Nn+i) = Nn+i, por tanto, Nn+(L∩Nn) = Nn+i

y en consecuencia, Nn = Nn+i para todo i ≥ 0.

Teorema 8.4.2. Sea M un R-modulo p-primario finitamente generado. Entonces,M es suma directa finita de submodulos cıclicos.

Demostracion. Si M es cıclico, el resultado se tiene trivialmente. Supongamos queM no es cıclico.

Paso 1. Sea M = 〈x1, . . . , xm〉, xi 6= 0, 1 ≤ i ≤ m, entonces existen n1, . . . , nm ≥1, mınimos, tales que xi · pni = 0, 1 ≤ i ≤ m. Notese que Ann(xi) = 〈pni〉: enefecto, sea Ann(xi) = 〈r〉, como xi · pni = 0, entonces pni ∈ 〈r〉, de donde r | pni , esdecir, r = psi , con si ≤ ni; pero como ni es mınimo, entonces si = ni. Sin perdidade generalidad podemos asumir que n1 ≥ ni para cada 1 ≤ i ≤ m. Entonces,Ann(x1) = 〈pn1〉 = Ann(M).

Paso 2. Vamos a probar que 〈x1〉 es sumando directo de M . Puesto que M noes cıclico se tiene que M 6= 〈x1〉.

Paso 2.1. Probemos que existe 0 6= y ∈M tal que

〈x1〉 ∩ 〈y〉 = 0. (8.4.1)

Sea z ∈ M − 〈x1〉; existe un entero mınimo j ≥ 1 tal que z · pj ∈ 〈x1〉 (sabemosque z · pn1 = 0 ∈ 〈x1〉), luego z · pj = x1 · a, a ∈ R, n1 ≥ j. Sea pk la mayorpotencia de p que divide a, es decir, a = pkb, con m.c.d.(b, p) = 1. Veamos quek ≥ 1: 0 = z · pn1 = (z · pj) · pn1−j = (x1 · a) · pn1−j =

(x1 · pkb

)· pn1−j, de donde

pkbpn1−j ∈ Ann(x1) = 〈pn1〉, luego pn1−j+kb = pn1c, y como p no divide a b entoncesk−j ≥ 0, de donde k ≥ j ≥ 1. Definimos y := z·pj−1−x1·bpk−1, notese que y 6= 0 (delo contrario z · pj−1 ∈ 〈x1〉). Probemos entonces que 〈x1〉 ∩ 〈y〉 = 0: supongamos locontrario, sea 0 6= y·s ∈ 〈x1〉, entonces p no divide a s ya que de otra manera s = pt yy·s = y·pt =

(z · pj−1 − x1 · bpk−1

)·pt =

(z · pj − x1 · bpk

)·t = (x1 · a− x1 · a)·t = 0.

Se tiene entonces que m.c.d. (pn1 , s) = 1, con lo cual 1 = ds + epn1 , y de estose obtiene que y = y · ds + y · epn1 = y · ds + 0 = y · ds ∈ 〈x1〉, resultandoz · pj−1 = y+ x1 · bpk−1 ∈ 〈x1〉, lo cual es falso (si en el razonamiento anterior a = 0,entonces z · pj = 0, y y := z · pj−1 satisface y 6= 0 y 〈x1〉 ∩ 〈y〉 = 0).

Paso 2.2. Sea L la coleccion de submodulos no nulos N deM tales que 〈x1〉∩N =0; segun (8.4.1), L 6= ∅, y por el lema de Zorn, existe un submodulo no nulo N enM que es maximal para esta propiedad. Vamos a mostrar que M = 〈x1〉 + N .Consideremos el cociente M/N , notemos que 0 6= x1 ∈ M/N y probemos queM/N = 〈x1〉. Supongamos lo contrario; puesto que M/N es p-primario finitamente


generado y Ann(x1) = 〈pn1〉 = Ann(M/N), entonces por lo probado antes, existe0 6= y en M/N tal que 〈y〉 ∩ 〈x1〉 = 0, luego (〈y〉+N) ∩ 〈x1〉 = 0 (en efecto, siy · s+ q = x1 · r, con q ∈ N , entonces y · s+ q = x1 · r, luego y · s = x1 · r, de dondex1 · r = 0. Resulta pues que x1 · r ∈ 〈x1〉 ∩N = 0). Pero 〈y〉+N ) N pues y /∈ N ,lo cual contradice la maximalidad de N .

Paso 2.3. En total se obtiene que M/N = 〈x1〉. Sea x ∈M , entonces x = x1 · r,luego x−x1 · r ∈ N , de donde M = 〈x1〉+N , y por la construccion, M = 〈x1〉⊕N .

Paso 3. Podemos ahora completar la prueba del teorema. Denotemos z1 := x1

y N1 := N ; segun vimos en el Paso 2, M = 〈z1〉 ⊕ N1. Notese que N1 satisfacelas mismas hipotesis que M . Si N1 es cıclico, hemos terminado. Supongamos queN1 no es cıclico. Entonces, N1 = 〈z2〉 ⊕ N2, donde Ann(z2) = 〈pn2〉. Notese quen1 ≥ n2 ya que N1 ·pn1 = 0. De esta forma podemos continuar y obtener una cadena〈z1〉〈z1〉 ⊕ 〈z2〉 · · · . Pero en vista de la proposicion 8.4.1 esta cadena debedetenerse, es decir, para algun t, Nt es cıclico, luego M = 〈z1〉 ⊕ 〈z2〉 ⊕ · · · ⊕ 〈zt〉 esuna suma directa finita de submodulos cıclicos.

En la demostracion del teorema 8.4.2 vimos que M = 〈z1〉 ⊕ 〈z2〉 ⊕ · · · ⊕ 〈zt〉,ademas Ann(zi) = 〈pni〉 y n1 ≥ n2 ≥ · · · ≥ nt ≥ 1. Pero notese que 〈zi〉 ∼=R/Ann(zi) = R/〈pni〉 = Rpni . Hemos probado el siguiente resultado.

Corolario 8.4.3. Sea M un R-modulo p-primario finitamente generado. Entoncesexisten enteros 1 ≤ n1 ≤ n2 ≤ · · · ≤ nt tales que

M ∼= Rpn1 ⊕ · · · ⊕Rpnt . (8.4.2)

Demostracion. Basta renombrar los exponentes y tener en cuenta que la suma di-recta externa es conmutativa.

Veamos ahora la unicidad de la descomposicion (8.4.2).

Corolario 8.4.4. Sea p un irreducible de R y sean 1 ≤ n1 ≤ n2 ≤ · · · ≤ nt;1 ≤ l1 ≤ l2 ≤ · · · ≤ lr enteros positivos tales que se tiene el siguiente R-isomorfismo

Rpn1 ⊕ · · · ⊕Rpnt∼= Rpl1 ⊕ · · · ⊕Rplr .

Entonces r = t y ni = li para 1 ≤ i ≤ t.

Demostracion. Basta aplicar la proposicion 5.3.7 con Ii = 〈pni〉, Jj = 〈plj〉, 1 ≤ i ≤t, 1 ≤ j ≤ r.

8.5. DIVISORES ELEMENTALES Y FACTORES INVARIANTES 69

8.5 Divisores elementales y factores invariantes

Sea M un R-modulo p-primario finitamente generado. El invariante de M definidopor los corolarios 8.4.3 y 8.4.4 se denota por

(n1, . . . , nt)p, 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt.

Recordemos que si M es un R-modulo finitamente generado y de torsion, el conjuntoPM , definido por

PM := {p ∈ P |M (p) 6= 0},es finito y unico para M , donde P es la coleccion de irreducibles de R y M (p) es lacomponente p-primaria de M (vease la demostracion del corolario 8.1.7).

Definicion 8.5.1. Sea M un R-modulo finitamente generado y de torsion. Lacoleccion

{(n1, . . . , nt)p | 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt}p∈PM

definida por las componentes primarias de M se denomina sistema de divisoreselementales de M .

Los resultados de las secciones precedentes se pueden resumir en el siguiente teo-rema de estructura de los modulos finitamente generados sobre dominios de idealesprincipales.

Teorema 8.5.2. Sea M un R-modulo finitamente generado. Entonces, M se des-compone en suma directa de su submodulo de torsion T (M) y un submodulo libreN :

M = T (M)⊕N.

La parte libre N esta unıvocamente determinada salvo isomorfismo. Mas exacta-mente, existe un unico entero n ≥ 0 tal que N ∼= Rn (si M es de torsion n = 0 yN = 0). La parte de torsion T (M) es unica y esta conformada por los elementos detorsion de M . T (M) es suma directa finita de sus componentes primarias, es decir,existe un conjunto finito p1, . . . , ps de elementos irreducibles de R, unicos para M ,tales que

T (M) = T (M)(p1) ⊕ · · · ⊕ T (M)(ps).

Cada componente primaria T (M)(p) es una suma directa finita de submodulos cıclicos

T (M)(p) ∼= Rpn1 ⊕ · · · ⊕Rpnt ,

con 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt. T (M)(p) esta unıvocamente determinado por (n1, . . . , nt)p, ya su vez, T (M) esta unıvocamente determinado por sus divisores elementales:

(n11, · · · , n1t1)p1 , 1 ≤ n11 ≤ · · · ≤ n1t1...

...(ns1, · · · , nsts)ps , 1 ≤ ns1 ≤ · · · ≤ nsts .


Demostracion. La demostracion se sustenta con todos los resultados precedentes.

Sea M un R-modulo fintamente generado y de torsion; reordenando las compo-nentes primarias de M se obtiene una version alterna del teorema de estructura atraves de los llamados factores invariantes de M . Sean

(n11, · · · , n1t1)p1 , 1 ≤ n11 ≤ · · · ≤ n1t1...

...(ns1, · · · , nsts)ps , 1 ≤ ns1 ≤ · · · ≤ nsts

los divisores elementales de M ; completando con ceros desde la izquierda en cadafila y reindizando podemos suponer que t1 = · · · = ts = m y construir la matrizn11 · · · n1j · · · n1m

......

...ns1 · · · nsj · · · nsm

,con 0 ≤ ni1 ≤ · · · ≤ nim, 1 ≤ i ≤ s. Notese que cada columna tiene por lo menosun elemento no nulo.

Definicion 8.5.3. Se denomina j-esimo factor invariante de M al elementoaj ∈ R definido por

aj :=s∏

i=1

pnij

i , 1 ≤ j ≤ m.

Notese que aj 6= 0, aj /∈ R∗ para cada 1 ≤ j ≤ m y ademas

para j ≤ k , aj | ak. (8.5.1)

De otra parte, para cada 1 ≤ j ≤ m se tiene el R-isomorfismo

Raj∼= R

pn1j1⊕ · · · ⊕R

pnsjs.

En efecto, la funcion

Rfj−→ R/〈pn1j

1 〉 ⊕ · · · ⊕R/〈pnsjs 〉

r 7→ (r, . . . , r)

es un R-homomorfismo con nucleo ker(fj) =s⋂

i=1

〈pnij

i 〉 = 〈pn1j

1 · · · pnsjs 〉 = 〈aj〉. Por el

teorema chino de residuos fj es sobreyectivo (vease [18]). Ya que los sumandos deuna suma directa son permutables, los isomorfismos anteriores inducen a su vez

M ∼= Ra1 ⊕ · · · ⊕Ram . (8.5.2)


Por la proposicion 5.3.7, los factores invariantes a1, . . . , am de M son unicos salvoinvertibles de R, es decir, si b1, . . . , bn son elementos no nulos y no invertibles de Rque satisfacen (8.5.1) y (8.5.2), entonces n = m y ademas aj = bjuj con ui ∈ R∗,1 ≤ j ≤ m. Hemos demostrado la siguiente proposicion.

Proposicion 8.5.4. Sea M un R-modulo finitamente generado y de torsion. En-tonces existen elementos a1, . . . , am ∈ R, no nulos y no invertibles, tales que

ai | aj, para 1 ≤ i ≤ j ≤ m

y

M ∼= Ra1 ⊕ · · · ⊕Ram.

Salvo factores invertibles, la sucesion (a1, . . . , am) es unica para M (losfactoresinvariantes de M).

Queremos extender el resultado anterior a cualquier modulo finitamente gene-rado. Para esto necesitamos algunos conceptos y resultados de algebra lineal sobreanillos (vease [19]). Recordemos que Mn(R) denota el anillo de matrices cuadradassobre R de tamano n × n, la equivalencia de dos matrices F,G ∈ Mn(R) se de-fine por G = DFC, con D,C ∈ GLn(R) = Mn(R)∗ = grupo de matrices in-vertibles de Mn(R). En GLn(R) se tienen tres tipos de matrices elementales ,correspondientes a la realizacion de operaciones elementales sobre las filas y colum-nas de matrices de Mn(R): las permutaciones , es decir, matrices de la formaPij := E−Eii−Ejj +Eij +Eji, las diagonales Di(r) := diag(1, . . . , 1, r, 1 . . . , 1) =E + Eii · (r − 1), con r ∈ R∗ en la i-esima componente, y las propiamente ele-mentales, tambien llamadas transvecciones, Tij(a) := E + Eij · a, con a ∈ R,i 6= j.

Teorema 8.5.5 (Forma normal de Smith). Sea F ∈ Mn(R). Entonces existenelementos d1, . . . , dn ∈ R tales que F es equivalente a una matriz diagonald1 0

. . .

0 dn

,

en la cual si i ≤ j y di 6= 0, entonces di | dj.

Demostracion. La prueba se efectuara por induccion sobre n. Para n = 1 no hay algoque mostrar. Sea n ≥ 2. Supongase la afirmacion cierta para todas las matricesde orden n − 1 y sea F = [aij] ∈ Mn(R). Si F = 0 no hay mas que establecer.Sea F 6= 0. Multiplicando por matrices de permutacion, si es necesario, podemossuponer que a11 6= 0. Consideremos entonces tres casos posibles.

Caso 1. a11 ∈ R∗. Multiplicando por una matriz diagonal y por matrices pro-piamente elementales, F resulta equivalente a una matriz de la forma


[1 00 B

],

B ∈Mn−1(R). Aplicando induccion y el homomorfismo natural de grupos

GLn−1(R) → GLn(R) (8.5.3)

se obtiene el resultado pedido.Caso 2. a11 /∈ R∗, pero a11 | a1j, a11 | ai1, para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Multiplicando pormatrices propiamente elementales, F es equivalente a una matriz de la forma[

a11 00 B

],

B ∈Mn−1(R). Aplicando induccion y el homomorfismo (8.5.3) F resulta equivalentea una matriz de la forma

a11

d2

. . .

dn

, (8.5.4)

donde di | dj, para 2 ≤ i ≤ j, di 6= 0. Si a11 | d2 la prueba ha terminado. En casocontrario la matriz de (8.5.4) resulta equivalente a la matriz

a11 d2 · · · 00 d2

. . .

0 dn

(8.5.5)

y podemos proceder como en el siguiente caso 3.Caso 3. a11 /∈ R∗ y existe al menos un elemento no diagonal en la primera

fila o en la primera columna de F al cual a11 no divide. Consideremos la primeraposiblidad (la segunda es de tratamiento analogo). Utilizando permutaciones, si elloes necesario, podemos suponer que a11 - a12. Sea d =: m.c.d.(a11, a12) = ra11 + sa12,r, s ∈ R. Sean ademas r′, s′ ∈ R tales que a11 = dr′, a12 = ds′. Entonces d =rdr′ + sds′, 1 = rr′ + ss′ y la matriz

C :=

r −s′ 0s r′

1. . .

0 1

∈ GLn(R),


ası pues, multiplicando la matriz F por C a la derecha resulta F equivalente a lamatriz

d 0 ∗ · · · ∗∗... ∗∗

,donde * indica elementos de R. Si d ∈ R∗ regresamos al caso 1 y la prueba termina.Si d /∈ R∗ podemos repetir el razonamiento de los casos 2 y 3. Sin embargo, notemosque 〈a11〉 � 〈d〉 (de ser iguales se tendrıa que a11|a12, lo cual es falso) y el procesoterminara al cabo de un numero finito de pasos.

Si se observa con detalle la prueba efectuada, esta se puede aplicar tambien amatrices rectangulares. Los elementos d1, . . . , dn se denominan los factores in-variantes de F .

Proposicion 8.5.6. Los factores invariantes de una matriz F ∈Mn(R) son unicos,salvo factores invertibles.

Demostracion. Sean P,Q,H,G matrices invertibles tales que

PFQ =

d1 0. . .

0 dn

, HFG =

p1 0. . .

0 pn

.

Sea f : Rn → Rn el R-homomorfismo defindo por F , es decir,

f [r1, . . . , rn]T := F [r1, . . . , rn]T ,

entonces PFQ y HFG definen el mismo homomorfismo f (simplemente en diferen-tes bases de Rn, vease [19]). Por lo tanto, Im(f) = 〈[d1, . . . , 0]T , . . . , [0, . . . , dn]T 〉 =〈[p1, . . . , 0]T , . . . , [0, . . . , pn]T 〉, y de esta manera [0, . . . , di, . . . , 0]T = [p1, . . . , 0]T ·u1+· · · + [0, . . . , pi, . . . , 0]T · ui + · · · + [0, . . . , pn]T · un, con ui ∈ R. Resulta, di = piui.Simetricamente, pi = dizi, con zi ∈ R. De esta forma, di = diziui, y entonces paracada 1 ≤ i ≤ n se tiene que di = 0 = pi o pi = dizi, con zi ∈ R∗.

Proposicion 8.5.7. Sea M un R-modulo libre de dimension finita n ≥ 1 y sea0 6= N ≤ M . Entonces, existen una base X = {x1, . . . , xn} en M y elementosd1, . . . , dn ∈ R tales que para i ≤ j con di 6= 0 se tiene que di | dj, y ademas,{x1 · d1, . . . , xm · dm} es una base de N , donde m = dim(N).

Demostracion. Sea X ′ = {x′1, . . . , x′n} una base de M . Segun la proposicion 8.2.2,N tiene una base Y = {w′

1, . . . , w′m}, con 1 ≤ m ≤ n, m = dim(N). Expresamos

cada w′j a traves de X ′:

w′j =

n∑i=1

x′i · bij, i ≤ j ≤ m.


Con notacion matricial las relaciones anteriores se pueden escribir de la siguientemanera:

[w′1, . . . , w

′m, 0, . . . , 0] = [x′1, . . . , x

′n]B,

con

B =

b11 · · · b1m 0 · · · 0b21 · · · b2m 0 · · · 0...

......

...bn1 · · · bnm 0 · · · 0

∈Mn(R).

Por el teorema 8.5.5, existen matrices invertibles H y G de orden n tales que

D := HBG = diag(d1, . . . , dn),

ademas, si i ≤ j y di 6= 0, entonces di | dj. Resulta

[w′1, . . . , w

′m, 0, . . . , 0]G = [x′1, . . . , x

′n]BG

= [x′1, . . . , x′n]H−1D.

Sean

[w1, . . . , wn] := [w′1, . . . , w

′m, 0, . . . , 0]G

y

[x1, . . . , xn] := [x′1, . . . , x′n]H−1.

Observemos que {x1, . . . , xn} es una base de M y

[w1, . . . , wn] = [x1, . . . , xn]D = [x1 · d1, . . . , xn · dn],

es decir,wj = xj · dj, 1 ≤ j ≤ n.

Notese que [w′1, . . . , w

′m, 0, . . . , 0] = [w1, . . . , wn]G−1, luego N = 〈w′

1, . . . , w′m〉 =

〈w1, . . . , wn〉 ⊆ N , es decir, 〈x1 · d1, . . . , xn · dn〉 = N . Reordenando, y conservandola divisibilidad, sea {d1, . . . , dp} la coleccion de elementos no nulos en el sistema{d1, . . . , dn}. Entonces, {x1 · d1, . . . , xp · dp} es una base de N y p = m.

Estamos ya en condiciones de presentar la version general de la proposicion 8.5.4.

Teorema 8.5.8. Sea M un R-modulo finitamente generado. Entonces existe unconjunto finito de elementos d1, . . . , dn ∈ R tales que

si i ≤ j y di 6= 0 , entonces di | dj

M ∼= Rd1 ⊕ · · · ⊕Rdn .(8.5.6)

Los elementos d1, . . . , dn que cumplen (8.5.6) son unicos para M , salvo factoresinvertibles, y se denominan los factores invariantes de M .

8.6. GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE GENERADOS 75

Demostracion. Si M = 0, entonces M = R1. Sea M no nulo. Existen L libre de

dimension finita n ≥ 1 y f un homomorfismo sobreyectivo Lf−→M . SeaN := ker(f);

segun la proposicion 8.5.7, existe una base X = {x1, . . . , xn} en L y d1, . . . , dn ∈ Rtales que para N 6= 0, {x1 · d1, . . . , xm · dm} es una base de N , con m = dim(N)(para N = 0, M es libre y sus factores invariantes son d1 = · · · = dn = 0). De estemodo,

M ∼= L/N =x1 ·R⊕ · · · ⊕ xm ·R⊕ xm+1 ·R⊕ · · · ⊕ xn ·R

x1d1 ·R⊕ · · · ⊕ xmdm ·R.

Veamos por ultimo que este cociente es isomorfo a

Rd1 ⊕ · · · ⊕Rdm ⊕R⊕ · · · ⊕R︸︷︷︸n−m

, (8.5.7)

completando ası la prueba de (8.5.6) con factores invariantes (d1, . . . , dm, 0, . . . , 0).Para esto basta considerar el homomorfismo sobreyectivo

x1 ·R⊕ · · · ⊕ xm ·R⊕ xm+1 ·R⊕ · · · ⊕ xn ·Rg−→ Rd1 ⊕ · · · ⊕Rdm ⊕R⊕ · · · ⊕R

x1 · r1 + · · ·+ xm · rm + xm+1 · rm+1 + · · ·+ xn · rn 7→ (r1, . . . , rm, rm+1, . . . , rn)

cuyo nucleo es precisamente N . La unicidad de los factores invariantes es conse-cuencia de la proposicion 5.3.7.

8.6 Grupos abelianos finitamente generados

Las definiciones y resultados del presente capıtulo pueden ser aplicados al caso par-ticular de los Z-modulos, es decir, de los grupos abelianos.

Proposicion 8.6.1. Sea G un grupo abeliano, entonces:

(i) G(p) es la componente p-primaria de G.

(ii) Si G es finito, entonces G(p) es el p-subgrupo de Sylow de G.

(iii) Si G es de torsion, entonces G es suma directa de sus componentes primarias.

(iv) Si G es de torsion finitamente generado, entonces G es suma directa finita desus componentes primarias.

(v) Si G es finito, entonces G es suma directa finita de sus subgrupos de Sylow.

Demostracion. Consecuencia directa de la defincion de componente primaria, delconcepto de subgrupo de Sylow (vease [17]) y de los resultados de las seccionesanteriores.


Podemos ahora complementar las propiedades de la proposicion 8.6.1 y probarel teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.

Teorema 8.6.2. Sea G un grupo abeliano finitamente generado.

(i) Si G es p-primario, entonces G es suma directa de subgrupos cıclicos en laforma

G ∼= Zpn1 ⊕ · · · ⊕ Zpnt ,

donde 1 ≤ n1 ≤ n2 ≤ · · · ≤ nt. En consecuencia, G es finito.

(ii) G es suma directa finita de subgrupos cıclicos. Mas exactamente, existen irre-ducibles p1, . . . , pr y enteros no negativos n11 ≤ · · · ≤ n1t1 ; . . . ;nr1 ≤ · · · ≤ nrtr

y n tales que

G ∼= Zpn111

⊕ · · · ⊕ Zp

n1t11

⊕ · · · ⊕ Zpnr1r

⊕ · · · ⊕ Zpnrtrr

⊕ Zn.

Demostracion. (i) Esta parte es consecuencia directa del corolario 8.4.3.(ii) Segun el teorema 8.3.1, G ∼= T (G) ⊕ Zn, donde n = rank(G). Si G es

de torsion, entonces n = 0 y G = T (G). Si G es libre entonces T (G) = 0 yG ∼= Zn. Si G no es libre y no es de torsion, por el teorema 8.1.6 se tiene queG ∼= G(p1) ⊕ · · · ⊕ G(pr) ⊕ Zn. Ahora aplicamos la parte (i) a cada componenteG(pi).

Ejemplo 8.6.3. Con los resultados del presente capıtulo podemos calcular (salvoisomorfismo) todos los grupos abelianos finitos de un orden dado n. Ası por ejemplo,los grupos abelianos de orden pm con p irreducible y m ≥ 1 son Zpk1 ⊕ · · · ⊕ Zpkt

con 1 ≤ k1 ≤ · · · ≤ kt, k1 + · · · + kt = m. Sea p = 5, m = 4, entonces tenemos 5grupos abelianos (no isomorfos) de orden 625: Z5 ⊕ Z5 ⊕ Z5 ⊕ Z5, Z5 ⊕ Z5 ⊕ Z52 ,Z5 ⊕ Z53 = Z5 ⊕ Z125, Z52 ⊕ Z52 = Z25 ⊕ Z25, Z54 = Z625.Con ayuda de los divisores elementales calculemos todos los grupos abelianos (no iso-morfos) de orden 1440 = 25 ·5·32: (5)2, (1, 4)2, (2, 3)2, (1, 1, 3)2, (1, 2, 2)2, (1, 1, 1, 2)2,(1, 1, 1, 1, 1)2, (1)5, (2)3, (1, 1)3. Se presentan entonces 14 grupos:Z32 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z32 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3; Z2 ⊕ Z16 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z2 ⊕ Z16 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3;Z4⊕Z8⊕Z5⊕Z9; Z4⊕Z8⊕Z5⊕Z3⊕Z3; Z2⊕Z2⊕Z8⊕Z5⊕Z9; Z2⊕Z2⊕Z8⊕Z5⊕Z3⊕Z3;Z2 ⊕Z4 ⊕Z4 ⊕Z5 ⊕Z9; Z2 ⊕Z4 ⊕Z4 ⊕Z5 ⊕Z3 ⊕Z3; Z2 ⊕Z2 ⊕Z2 ⊕Z4 ⊕Z5 ⊕Z9;Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z4 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3; Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z2 ⊕ Z2 ⊕Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3.

Ejemplo 8.6.4. En el ejemplo 4.2.2 calculamos los grupos de homomorfismos entregrupos cıclicos. Ahora, con el teorema anterior y el teorema 5.3.6, podemos calcularlos grupos de homomorfismos entre grupos abelianos finitamente generados. Enefecto, sean G, H dos grupos abelianos finitamente generados con descomposiciones

8.7. EJERCICIOS 77

G = T (G)⊕ Zn, H = T (H)⊕ Zm,

T (G) = Zpn111

⊕ · · · ⊕ Zp

n1t11

⊕ · · · ⊕ Zpnr1r

⊕ · · · ⊕ Zpnrtrr

,

T (H) = Zqm111

⊕ · · · ⊕ Zq

m1k11

⊕ · · · ⊕ Zqms1s

⊕ · · · ⊕ Zq

mskss

.

Entonces, para calcular Hom(G,H) = HomZ(G,H) debemos realizar por separadolos siguientes calculos:

(i) HomZ (T (G), T (H)): en este caso el problema se reduce a calcular todos losgrupos de la forma HomZ(Zpα ,Zqβ) y luego realizar el producto cartesiano.Pero sabemos que

HomZ(Zpα ,Zqβ) ∼= Zd,

con d = m.c.d.(pα, qβ

).

(ii) HomZ (T (G),Zm) = 0.

(iii) HomZ (Zn, T (H)) ∼= T (H)n.

Si n = 0, HomZ (Zn, T (H)) = 0.

(iv) HomZ (Zn,Zm), n,m ≥ 1:

HomZ (Zn,Zm) ∼= HomZ(Z,Z)⊕ · · · ⊕HomZ(Z,Z︸︷︷︸nm-veces

) ∼= Znm.

Si n = 0 o m = 0, entonces HomZ (Zn,Zm) = 0.

En particular, hemos probado que si G y H son grupos abelianos finitamente gene-rados de rangos n y m respectivamente, entonces Hom (G,H) es un grupo abelianofinitamente generado de rango nm.

8.7 Ejercicios



3. Calcule HomZ(Z2 ⊕ Z8 ⊕ Z9 ⊕ Z2,Z4 ⊕ Z5 ⊕ Z25 ⊕ Z).

4. Calcule el rango y los divisores elementales del grupo abeliano del ejercicioanterior.


5. Demuestre que Z72 ⊕ Z84∼= Z36 ⊕ Z168.

6. ¿Son Z72 ⊕ Z12 y Z18 ⊕ Z48 isomorfos?

7. Sea R un DIP y sean M,N dos R-modulos finitamente generados. Demuestreque HomR(M,N) es finitamente generado.

8. Calcule la forma normal de Smith y los factores invariantes de la siguientematriz con entradas en Z: 1 2 4

4 1 24 4 3

.

9. Calcule la forma normal de Smith y los factores invariantes de la siguientematriz con entradas en R[x] (recuerde que R[x] es un DIP , vease [18]):1 + x −x 1− x2

−x x 1 + x2

−x3 x2 x− 1

.

10. SeaR unDIP y seaM unR-modulo libre de dimension n ≥ 1. Sea 0 6= x ∈M .Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) x es parte de una base de M .

(b) Existe f ∈ HomR(M,R) tal que f(x) = 1.

(c) El ideal generado por las coordenadas de x en toda base X de M coincidecon R.

(d) El ideal generado por las coordenadas de x en una base X de M coincidecon R.

(e) Si x = x′ · r, con r ∈ R y x′ ∈M , entonces r ∈ R∗.

(f) Si x · r = x′ · r′, con x′ ∈M , r, r′ ∈ R, r 6= 0, entonces r es multiplo de r′.

11. Sean R un DIP , M un R-modulo y 0 6= r ∈ R. El elemento m ∈ M se dicedivisible por r, si existe m′ ∈ M tal que m = m′ · r. M es divisible porr si cada elemento de M es divisible por r. Se dice que M es divisible si esdivisible por cada r 6= 0, r ∈ R. Demuestre que:

(a) Si 0 6= r ∈ R, el conjunto de elementos de M divisibles por r constituyenun submodulo de M .

(b) El conjunto de elementos de M divisibles por cada r 6= 0, r ∈ R, es unsubmodulo de M .

8.7. EJERCICIOS 79

(c) Existe un submodulo divisible d(M) en M el cual es maximal en lacoleccion de submodulos divisibles deM , respecto de la inclusion: d(M) =∑

W∈CW , donde C es la coleccion de subespacios divisibles de M .

(d) M es divisible ⇔ d(M) = M .

(e) El cuerpo K de fracciones de R es divisible. Q es divisible.

(f) Si M es divisible y f : M → N es un homomorfismo, entonces Im(f) esdivisible.

(g) Cada sumando directo de un modulo divisible es divisible.

(h) El producto y suma directa de divisibles es divisible.

(i) Para cada irreducible p en R, Rp∞ es divisible.

(j) Sea M un modulo finitamente generado, N ≤ M y f : N → P un ho-momorfismo con P divisible. Entonces f se extiende a un homomorfismof : M → P .

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