cuaderno trabajo fisica1
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INSTITUTO HIDALGUENSE DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR Y SUPERIOR
TELEBACHILLERATO DEL ESTADO DE HIDALGO
TRABAJO DE ACADÉMIA
REGIÓN ZONA SIERRA
CUADERNILLO
DE
FÍSICA I
ELABORÓ:
ING. ANGÉLICA MARÍA CALLEJAS LARA
LIC. IVAN HERNÁNDEZ LÓPEZ
LIC. MA. DE LOS ÁNGELES AGUILAR AMADOR
ING. DONACIANO VÍCTOR CAMPOY SÁNCHEZ
M.C. MARIO CALLEJAS JUÁREZ
ING. EMILIANO ARRAZOLA HERNÁNDEZ
ING. KARINA HERNÁNDEZ BARRERA
LIC. MAGDALENO HERVER HIGUERON
LIC. VÍCTOR MANUEL CASTILLO JIMÉNEZ.
JULIO DE 2004 - DICIEMBRE 2004
INTRODUCCIÒN
LA FÍSICA Y EL MUNDO FÍSICO.- Cuando miramos a nuestro alrededor y observamos la
realidad, inmediatamente nos damos cuenta de que estamos inmersos en un mundo dominado por los
avances científicos. En todos estos avances la Física ha tenido y tiene un papel fundamental, ya que
estudia las leyes que rigen los fenómenos de la Naturaleza y la relación entre ellos.
El mundo físico (inanimado) en el que habitamos los seres vivientes se rige por una serie de
principios fijos. El conocimiento que el hombre, a lo largo de su historia, ha ido adquiriendo de estos
principios lo ha plasmado en un conjunto de leyes que constituyen lo que conocemos con el nombre de
Física. Estas leyes, que se han ido estableciendo con la ayuda de la Lógica y de las Matemáticas, han
servido, a su vez, para que, sobre la base de ellas, se hayan desarrollado, hasta el grado extraordinario
que todos conocemos, la Ingeniería y la Tecnología en sus diversas ramas.
La Física es una ciencia esencialmente experimental, puesto que se basa en la observación de la
Naturaleza. En unos casos las teorías físicas se deducen de estos experimentos, generalizando, y en
otros se parte de una serie de hipótesis, que al desarrollarse originan una teoría cuya validez debe ser
confirmada por el hecho experimental. En cualquier caso, el método físico nos lleva a la medida de las
magnitudes cuya relación nos interesa conocer. Por esto la Física ha sido llamada también la ciencia de
las medidas.
La palabra física proviene del vocablo griego physiké que significa “naturaleza”. Y la podemos
definir como, “La ciencia que estudia la materia y la energía, así como la forma en que estas se
relacionan”.
COMIENZOS DE LA FÍSICA
Aunque las ideas sobre el mundo físico se remontan a la antigüedad, la física no surgió como
un campo de estudio bien definido hasta principios del siglo XIX.
Antigüedad
Los chinos, los babilonios, los egipcios y los mayas observaron los movimientos de los planetas
y lograron predecir los eclipses, pero no consiguieron encontrar un sistema subyacente que explicara el
movimiento planetario. Las especulaciones de los filósofos griegos introdujeron dos ideas
fundamentales sobre los componentes del Universo, opuestas entre sí: el atomismo, propuesto por
Leucipo en el siglo IV a.C., y la teoría de los elementos, formulada en el siglo anterior.
Siglos XVI y XVII
Galileo, que había oído hablar de la invención del telescopio, construyó uno, y en 1609 pudo
confirmar el sistema heliocéntrico observando las fases del planeta Venus. También descubrió las
irregularidades en la superficie de la Luna, los cuatro satélites de Júpiter más brillantes, las manchas
solares y muchas estrellas de la Vía Láctea. Los intereses de Galileo no se limitaban a la astronomía:
empleando planos inclinados y un reloj de agua perfeccionado ya había demostrado que los objetos
tardan lo mismo en caer, independientemente de su masa (lo que invalidaba los postulados de
Aristóteles), y que la velocidad de los mismos aumenta de forma uniforme con el tiempo de caída. Los
descubrimientos astronómicos de Galileo y sus trabajos sobre mecánica precedieron la obra del
matemático y físico británico del siglo XVII Isaac Newton, uno de los científicos más grandes de la
historia.
La física a partir de Newton
A partir de 1665, cuando tenía 23 años, Newton desarrolló los principios de la mecánica,
formuló la ley de la gravitación universal, separó la luz blanca en sus colores constituyentes e inventó el
cálculo diferencial e integral. Las contribuciones de Newton cubrieron una gama muy amplia de
fenómenos naturales. Por ejemplo, demostró que tanto las leyes de Kepler sobre el movimiento
planetario como los descubrimientos de Galileo sobre la caída de los cuerpos se deducen de la
segunda ley del movimiento (segunda ley de Newton) combinada con la ley de la gravitación. Newton
también logró explicar el efecto de la Luna sobre las mareas, así como la precesión de los equinoccios.
El desarrollo de la mecánica
El posterior desarrollo de la física debe mucho a las leyes del movimiento o leyes de Newton,
especialmente a la segunda, que afirma que la fuerza necesaria para acelerar un objeto es igual a su
masa multiplicada por su aceleración. Si se conocen la posición y velocidad iniciales de un cuerpo, así
como la fuerza aplicada, es posible calcular las posiciones y velocidades posteriores aunque la fuerza
cambie con el tiempo o la posición; en esos casos es necesario aplicar el cálculo infinitesimal de
Newton. La segunda ley del movimiento también contiene otro aspecto importante: todos los cuerpos
tienen una propiedad intrínseca, su masa inercial, que influye en su movimiento. Cuanto mayor es esa
masa, menor es la aceleración que adquiere cuando se aplica una fuerza determinada sobre el cuerpo.
Hoy sabemos que esta ley es válida siempre que el cuerpo no sea extremadamente pequeño, grande o
rápido. La tercera ley de Newton, que afirma que “a cada fuerza de acción corresponde una fuerza de
reacción igual y opuesta”, podría expresarse en términos modernos como que todas las fuerzas entre
partículas se producen en pares de sentido opuesto, aunque no necesariamente situados a lo largo de
la línea que une las partículas.
Gravedad
La contribución más específica de Newton a la descripción de las fuerzas de la naturaleza fue
la explicación de la fuerza de la gravedad. En la actualidad los científicos saben que sólo hay otras tres
fuerzas, además de la gravedad, que originan todas las propiedades y actividades observadas en el
Universo: el electromagnetismo, la llamada interacción nuclear fuerte (que mantiene unidos los
protones y neutrones en los núcleos atómicos) y la interacción nuclear débil (o interacción débil) entre
algunas de las partículas elementales, que explica el fenómeno de la radiactividad.
En líneas generales, y para su mejor comprensión, el estudio de la Física se suele estructurar en
grandes ramas que consideran los distintos campos de la realidad que, por otra parte, están
estrechamente relacionados.
FÍSICA
se divide
MECÁNICA TERMOLOGÍA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
estudia observa analiza
FUERZAS Y FENÓMENOS FENÓMENOS
MOVIMIENTOS CALORÍFICOS ELECTROMAGNÈTICOS
OPTICA FÍSICA ATÓMICA Y NUCLEAR
Investiga estudia
FENÓMENOS ESTRUCTURA INTERNA
LUMINOSOS DE LA MATERIA
INTERPRETACIÓN DE TABLAS DE VALORES Y GRÁFICAS
GRÁFICA: Diagrama que muestra relaciones entre números. Las gráficas organizan la
información numérica en forma de figura de manera que es posible encontrar tendencias o patrones en
la información.
La gráfica de la figura 1 ilustra una tendencia de ventas
35
30
25
20
15
10
5
1 2 3 4 5 6 7
Figura 1: gráfica de puntosLas gráficas dan una representación visual de ciertos datos. Esta gráfica muestra el número de vasos degaseosa vendidos cada día a lo largo de una semana. La coordenada horizontal es el número del día. Lacoordenada vertical es el número de vasos vendidos.
Esta gráfica muestra el número de vasos de gaseosa vendidos cada día de la semana. Para saber
cuántos vasos se vendieron el tercer día, primero se busca el número 3 en el eje horizontal y después
se toma el punto que está justo encima. La posición de este punto corresponde al valor 10 del eje
vertical, lo que quiere decir que se vendieron 10 vasos el tercer día. En el primer día, es difícil saber
exactamente cuántos vasos se vendieron, pero se observa que fue entre 15 y 20. Aunque esta gráfica,
al igual que todas las gráficas, no tiene tanta exactitud como la lista numérica, sirve para ilustrar
claramente la tendencia del incremento de ventas hacia el final de la semana.
GRÁFICA 2 RELACIONES MATEMÁTICAS
La gráfica de la figura 2 ilustra un ejemplo de relaciones matemáticas.
Figura 2: solución gráficaLas gráficas son de gran ayuda para resolver sistemas de ecuaciones. En vez de resolver las dos ecuacionesmatemáticamente, es posible representarlas en una gráfica y encontrar el punto de corte, que es la solución delsistema. Esta gráfica muestra que x = 2 e y = 6 es el punto de intersección de las ecuaciones y = 3x e y = x + 4.
Se sabe que Yolanda tiene cuatro años más que Javier. Si se usa la y para representar la edad de
Yolanda y la x para la de Javier, esta relación se puede escribir matemáticamente como y = x + 4. Una
de las posibles parejas de valores de la x y la y es x = 1 e y = 5, pues 5 = 1 + 4. Esta pareja de valores
se escribe (1,5). El conjunto de todas las parejas (x,y) para las que se cumple y = x + 4 se han
representado en la figura 2 con la línea de color azul.
Las gráficas se pueden utilizar también para resolver sistemas de ecuaciones. Supongamos que
además de saber que Yolanda es cuatro años mayor que Javier, se sabe que la edad de Yolanda es
tres veces la de Javier. La solución al problema es encontrar los valores de la x y de la y que cumplen
las ecuaciones y = x + 4 e y = 3x simultáneamente. En la figura 2, estas dos ecuaciones se han
dibujado juntas, y la solución de este sistema de ecuaciones es el punto en que las dos gráficas se
cortan, (2,6), que equivale a decir que Javier tiene dos años y Yolanda seis.
Las gráficas se pueden utilizar también para mostrar desigualdades
La curva de la figura 3 es la gráfica de la parábola y = x2 - 1. El área sombreada, excluyendo la
propia curva, es la representación gráfica de la desigualdad y > x2 - 1.
Figura 3: representación gráfica de inecuacionesLa curva parabólica de esta gráfica está formada por todos los puntos del plano que satisfacen la ecuacióny = x2 - 1. El área sombreada dentro de la parábola son aquellos puntos para los que y > x2 - 1.
GRÁFICAS DE DISTANCIA CONTRA TIEMPO
Al estudiar el desplazamiento de un objeto en movimiento, a menudo es conveniente trazar una
gráfica de la distancia recorrida contra el tiempo transcurrido.
La figura 1. nos muestra un automóvil que viaja a lo largo de un camino recto, la distancia se
mide desde un poste de referencia a un lado del camino. Se comienza a medir el tiempo cuando el
automóvil pasa por el poste.
Poste de
referencia
distancia
t tiempo
fig. 1. Automóvil que viaja por una carretera recta
Las gráficas de distancia contra tiempo para un automóvil que realiza cuatro recorridos como
este a lo largo del camino recto, se muestran a continuación. Figura 2.
distancia
El automóvil viaja a una
Velocidad constante
tiempo
En la figura “ 2 “ el automóvil viaja a una velocidad constante; o sea, cada segundo avanza la
misma distancia después de haber pasado por el poste de referencia, por lo que la gráfica es una línea
que aumenta la misma altura sobre el eje de la distancia por cada unidad en el eje de tiempo; es decir es
una línea recto.
distancia
El automóvil viaja a una
velocidad constante mayor
Cuando el automóvil viaja a una velocidad constante superior, como se muestra en la figura
recorre una distancia mayor cada segundo, de tal manera que la línea de la gráfica se eleva más
marcadamente que antes. La pendiente de la gráfica es, por lo tanto, un indicativo de la velocidad del
automóvil.
distancia El automóvil se acelera
tiempo
Cuando el auto se acelera como en la figura, la pendiente de la gráfica se eleva a medida que
pasa el tiempo. Ocurre lo opuesto cuando el automóvil desacelera, como se indica en la siguiente
Figura:
distancia
El automóvil esta detenido
El automóvil desacelera
El automóvil acelera
Tiempo
Cuando el automóvil se detiene, la línea de la gráfica permanece a la misma altura, puesto que
la distancia ala automóvil, desde el poste de referencia no cambia.
La velocidad de un objeto en movimiento puede determinarse a partir de una gráfica de distancia contra
tiempo. Como se muestra en la fig.
distancia : m
48
36
24 y (36)
12 x (3)
tiempo : s
Por ejemplo, la línea se eleva 12 (m), sobre la escala de distancia, cada 1seg, sobre la escala
de tiempo, de manera que la velocidad de doce metros sobre segundo. La velocidad también puede
determinarse calculando la pendiente de la gráfica.
La pendiente es la razón de Y/X, del triángulo en líneas punteadas.
Su valor que en este caso es 12, también puede determinarse a partir de cualquier otro
triángulo al indicado. El ejemplo anterior muestra una regla que se aplica a cualquier gráfica de
distancia contra tiempo.
La pendiente de una gráfica de distancia contra tiempo es numéricamente igual a la velocidad.
Pendiente = y / x = 12
Velocidad = 12 m / s
GRÁFICA DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO
Recorridos a lo largo de un camino r También pueden trazarse gráficas que ilustren como
cambia la velocidad de un objeto a medida que pasa el tiempo. Las gráficas de velocidad contra tiempo
para un automóvil, que hace diferentes recorridos a lo largo de un camino recto se muestran en la sig.
Figura. “a”
Velocidad: m / s
12
9
6
3
0 1 2 3 tiempo: s
Según se ha explicado anteriormente, el tiempo comienza a medirse en cada caso cuando el
automóvil pasa enfrente del poste de referencia.
Cuando la velocidad del automóvil es constante, como en la fig. “a” la gráfica es una línea recta
de altura constante.
Cuando el automóvil se acelera constante como en la sig. fig. La gráfica es una línea que se
eleva a la misma altura sobre la escala de la velocidad por cada unidad, sobre la escala del tiempo.
15 Velocidad: m / s
12
9
6
3
0 1 2 3 4 tiempo: s
Área = 48Distancia = 48 mRecorrida.
Fig. Gráfica de velocidad contratiempo de un automóvil que sedesplaza con una aceleraciónconstante.
Fig. Gráfica de velocidadcontra tiempo de unautomóvil que se mueve avelocidad constante.
MEDICIÓN
Desde tiempos muy remotos el hombre ha tenido la necesidad de medir, es decir, saber cuál es
la magnitud de un objeto comparándolo con otro de la misma especie que le sirva de base o patrón.
Para la física y la química, en su calidad de ciencias experimentales, la medida constituye una
operación fundamental. Sus descripciones del mundo físico se refieren a magnitudes o propiedades
medibles. Las unidades, como cantidades de referencia a efectos de comparación, forman parte de los
resultados de las medidas. Cada dato experimental se acompaña de su error o, al menos, se escriben
sus cifras de tal modo que reflejen la precisión de la correspondiente medida.
El gran físico inglés Lord Kelvin consideraba que solamente puede aceptarse como
satisfactorio nuestro conocimiento si somos capaces de expresarlo mediante números. Aun cuando la
afirmación de Lord Kelvin tomada al pie de la letra supondría la descalificación de valiosas formas de
conocimiento, destaca la importancia del conocimiento cuantitativo, particularmente en el tipo de ciencia
que él profesaba.
La operación que permite expresar una propiedad o atributo físico en forma numérica es
precisamente la medida.
MEDIR: Es comparar una magnitud con otra de la misma especie que de manera arbitraria o
convencional se toma como base, unidad o patrón de medida.
MAGNITUD, CANTIDAD Y UNIDAD:
La noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan
magnitudes ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser
expresados en forma numérica. En otros términos, las magnitudes son propiedades o atributos
medibles o bien es todo aquello que puede ser medido.
La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad y la cantidad de sustancia son ejemplos
de magnitudes físicas. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones porque no es
posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita determinar cuántas veces una
persona o un objeto es más bello que otro.
La sinceridad o la amabilidad tampoco lo son. Se trata de aspectos cualitativos porque indican
cualidad y no cantidad.
En el lenguaje de la física la noción de cantidad se refiere al valor que toma una magnitud dada
en un cuerpo o sistema concreto; la longitud de esta mesa, la masa de aquella moneda, el volumen de
ese lapicero, son ejemplos de cantidades.
Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema físico que encarna la cantidad
considerada como una unidad se denomina patrón.
Por lo tanto la unidad de medida o patrón es toda aquella magnitud de valor conocido y
perfectamente definido que se utiliza como referencia para medir y expresar el valor de otras
magnitudes de la misma especie.
Tipos de magnitudes
Entre las distintas propiedades medibles puede establecerse una clasificación básica. Un grupo
importante de ellas quedan perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un
número seguido de la unidad correspondiente. Este tipo de magnitudes reciben el nombre de
magnitudes escalares. La longitud, el volumen, la masa, la temperatura, la energía, son sólo algunos
ejemplos.
Sin embargo, existen otras que precisan para su total definición que se especifique, además de
los elementos anteriores, una dirección o una recta de acción y un sentido: son las llamadas
magnitudes vectoriales o dirigidas. La fuerza es un ejemplo claro de magnitud vectorial, pues sus
efectos al actuar sobre un cuerpo dependerán no sólo de su cantidad, sino también de la línea a lo
largo de la cual se ejerza su acción.
Al igual que los números reales son utilizados para representar cantidades escalares, las
cantidades vectoriales requieren el empleo de otros elementos matemáticos diferentes de los números,
con mayor capacidad de descripción. Estos elementos matemáticos que pueden representar
intensidad, dirección y sentido se denominan vectores.
Las magnitudes que se manejan en la vida diaria son, por lo general, escalares. El
dependiente de una tienda de autos, el comerciante o incluso el contable, manejan masas, precios,
volúmenes, etc., y por ello les es suficiente saber operar bien con números. Sin embargo, el físico, y en la
medida correspondiente el estudiante de física, al tener que manejar magnitudes vectoriales, ha de
operar, además, con vectores.
SISTEMA DE UNIDADES
Cuando el hombre primitivo tuvo la necesidad de encontrar referencias que le permitieran hablar
de lapsos menores transcurridos entre la salida del sol o de la luna o distancias recorridas, es en este
momento que recurre a medidas tomadas ya sea de su propio cuerpo o con el uso de diversos
instrumentos.
La elección de la unidades de medida de longitud, tiempo y masa se convirtió en una cuestión
de prestigio, pues era inconcebible que una nación utilizara la medida de alguna parte del cuerpo del
soberano de otro país. Por lo tanto cada vez crearon unidades diferentes, y cada país poderoso tenía
sus propias medidas, lo que dificultó el comercio entre los pueblos.
Cuando Roma se integra en un imperio y conquista a los diferentes territorios establece a la libra
como unidad de peso y al pie como unidad de longitud, para ello modela un cuerpo representativo del
peso de una libra patrón y una barra de bronce que muestre la longitud equivalente al pie.
Fue hasta 1790 cuando la Asamblea constituyente de Francia, por medio de la Academia de
Ciencias de París, extendió una invitación a los países para enviar a sus hombres de ciencia con el
objeto de unificar los sistemas de pesas y medidas, para adoptar uno solo a nivel mundial.
A) Sistema métrico decimal.
Es el primer sistema de unidades que hubo en el mundo, implantado en 1795 como resultado de
la Convención Mundial de Ciencia celebrada en París Francia. Tiene una división decimal y sus unidades
fundamentales son el metro, el kilogramo y el litro.
Para definir las unidades fundamentales utiliza datos de carácter general como las dimensiones
de la tierra y la densidad del agua.
Una ventaja importante del sistema métrico decimal fue su división decimal ya que hace uso de
prefijos como deci, ceti, mili.
B) Sistema cegesimal (cgs).
El sistema cegesimal de unidades o sistema cgs, es un sistema de unidades basado en el
centímetro, gramo y segundo. Su nombre deriva de las iniciales de estas tres unidades. Fue propuesto en
1881 en el congreso Internacional de los Electricistas realizado en París, Francia, propuesto por el
Físico Alemán Karl Gauss.
C) Sistema MKS o absoluto.
En 1935, en el Congreso Internacional de los Electricistas celebrado en Brucelas, Bélgica, el
ingeniero italiano, Giovani Giorgi propone y logra que se acepte su sistema, también llamado absoluto,
pues como magnitud fundamental se habla de la masa y no del peso de los cuerpos. Recibe el nombre
de MKS, cuyas iniciales corresponden al metro, kilogramo y segundo como unidades de longitud, masa y
tiempo.
D) Sistema Inglés:
También llamado sistema convencional de unidades, aún se emplea en Estados Unidos a pesar
de la aceptación del sistema internacional de unidades por el resto del mundo. En este sistema las
unidades de longitud, masa y tiempo son: el pie, el slug y el segundo.
E) Sistema Internacional (SI):
En 1960 científicos y técnicos de todo el mundo se reunieron en ginebra Suiza y acordaron
adoptar el llamado Sistema Internacional de Unidades, el cual se basa en el MKS. Tiene como
magnitudes y unidades fundamentales al metro (m) para longitud, al kilogramo (Kg) para masa, al
segundo (s) para tiempo, al grado kelvin (K) para temperatura, al ampere (A) para intensidad de la
corriente, la candela (cd) para la intensidad luminosa y el mol para cantidad de sustancia.
Se conocen como magnitudes fundamentales aquellas que no se definen en función de otras
magnitudes físicas y por lo tanto sirven de base para obtener las demás magnitudes usadas en la Física.
Existen otras magnitudes llamadas derivadas y son aquellas que resultan de multiplicar o dividir
las magnitudes fundamentales, entre ellas están: área, volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo,
presión, potencia, entre otras. (Anexo 1).
Siendo el SI el sistema más usado a continuación se da la definición de dichas magnitudes
fundamentales.
Magnitud Unidad Símbolo DefiniciónLongitud metro m Distancia que recorre en el vacío la luz en
1/ 299792458 segundos.
Masa Kilogramo Kg En la primera definición de kilogramo fueconsiderado como " la masa de un litro deagua destilada a la temperatura de 4ºC" .En 1889 se definió el kilogramo patróncomo "la masa de un cilindro de unaaleación de platino e iridio que se conservaen el Museo de Pesas y Medidas en París".En la actualidad se intenta definir de formamás rigurosa, expresándola en función delas masas de los átomos.
Tiempo Segundo s La unidad segundo patrón. Su primeradefinición fue: "el segundo es la 1/86,400parte del día solar medio". Pero con elaumento en la precisión de medidas detiempo se ha detectado que la Tierra giracada vez más despacio (alrededor de 5mspor año), y en consecuencia se ha optadopor definir el segundo en función deconstantes atómicas. Desde 1967 se definecomo "la duración de 9, 192, 631, 770períodos de la radiación correspondiente ala transición entre los dos niveles hiperfinosdel estado natural del átomo de cesio-133".
Corrienteeléctrica
Ampere A La magnitud de la corriente que fluye endos conductores paralelos, distanciados unmetro entre sí, en el vacío, que produce unafuerza entre ambos conductores (a causade sus campos magnéticos) de 2 x 10 -7
N/m.
Temperatura Kelvin k La fracción 1/273.16 de la temperaturatermodinámica del punto triple del agua.
Cantidad demateria
Mol mol La cantidad de substancia de un sistemaque contiene un número de entidadeselementales igual al número de átomos quehay en 0,012 Kg de carbono-12.
Intensidadluminosa
Candela cd La intensidad luminosa, en direcciónperpendicular, de una superficie de1/600,000 m2 de un cuerpo negro a latemperatura de congelamiento del platino(2,042ºK), bajo una presión de 101,325N/m2.
PREFIJOS:
Si se observa con detenimiento lo que nos rodea, es evidente que existen cosas de igual tamaño
que los seres humanos, pero también los hay de mayor tamaño como árboles o una montaña o bien,
también existen cosas de menores dimensiones como un insecto o más aún una bacteria.
La pregunta es ¿cómo expresamos estas unidades de medida?, la respuesta la encontraremos
al hacer uso de los prefijos.
El conjunto de símbolos más el prefijo equivale a una nueva unidad que puede combinarse con
otras unidades y elevarse a cualquier exponente ya sea positivo o negativo.
A continuación se muestra una tabla de prefijos.
Potencia Prefijo Abreviatura
10 -24 yocto y
10 –21 zepto z
10 –18 atto a
10 –15 femto f
10 –12 pico p
10 –9 nano n
10 –6 micro µ
10 –3 mili m
10 –2 centi c
10 –1 deci d
10 1 deca da
10 2 hecto H
10 3 kilo k
10 6 mega M
10 9 giga G
10 12 tera T
10 15 peta P
10 18 exa E
10 21 zeta Z
10 24 yota Y
Lo que se ha tratado de hacer cuando se utilizan prefijos en la nomenclatura de múltiplos y
submúltiplos de las unidades patrón de medida, es proporcionar una manera sencilla de expresar
cantidades que de otra forma resultan muy complicadas.
Ejemplo:
Si tenemos un litro y lo dividimos en mil partes iguales y tomamos 50 de estas partes:
05.01000
50 =litro de litro
pasamos esta cantidad a notación científica
0.05 = 5 x 10 -2
Recordando de nuestra tabla de prefijos la potencia 10 –2 es el prefijo centi, con una abreviatura c, por lo
que al efectuar el cambio nos queda 5 clts. y se lee cinco centilitros.
CONVERSIÓN DE UNIDADES.
En virtud de la existencia de un gran número de sistemas, es necesario convertir unidades de un
sistema a otro, teniendo para ello en consideración las equivalencias.
Para poder llevar a cabo las conversiones es necesario realizar los siguientes pasos:
Paso 1.-
Se escribe la cantidad con la unidad de medida que se desea convertir:
2 m
Paso 2.-
Se pone el signo de multiplicación y una raya de quebrado, ambos signos nos indicarán que
haremos dos operaciones, una de multiplicación y una de división.
2 m x
Paso 3.-
Se hace uso de las equivalencias entre las unidades involucradas, la que se desea convertir y la
que se desea obtener, y con ello se encuentra el factor de conversión.
Por ejemplo nosotros deseamos convertir 2 m a cm, entonces:
mcmcmm01.01
1001=
=
Paso 4.-
Conociendo los factores de conversión, se colocan de la siguiente manera:
cmm
mxcmxmcm
mx 20011002
1100
2 ==
De esta forma se pueden eliminar los metros.
Para convertir hrkm
10 a sm
se hace lo siguiente:
1.- Se coloca la cantidad que se desea convertir:
hrkm
10
2.- Se colocan dos líneas precedidas de un signo de multiplicación.
10 hrkm
x x
3.- Se colocan los factores de conversión
shr
kmm
hrkm
36001
11000
10 ××
De esta manera se eliminan km y hr.
Se realiza la operación
sm
77.23600
100010 =×
CONVERSIÓN DE UNIDADES CUADRÁTICAS Y CÚBICAS.
Por ejemplo se desea convertir 0.5 m2 a cm2
1.- Primeramente encontraremos el factor de conversión:
1 m = 100 cm por lo que elevamos al cuadrado cada miembro de la igualdad.
( ) ( )22 1001 =m
22 100001 cmm =
2.- Seguimos los pasos anteriores:
2
22
110000
5.0m
mm ×
24105.01100005.0
cm×=×
Nota:
se anexa un sofware para conversión de unidades (mm Unidades de pesas y medidas)
MÉTODOS DE MEDICIÓN:
La medida de una magnitud física supone, en último extremo, la comparación del objeto que
encarna dicha propiedad con otro de la misma naturaleza que se toma como referencia y que constituye
el patrón.
La medida de longitudes se efectuaba en la antigüedad empleando una vara como patrón, es
decir, determinando cuántas veces la longitud del objeto a medir contenía a la de patrón. La vara,
como predecesora del metro de sastre, ha pasado a la historia como una unidad de medida
equivalente a 835,9 mm. Este tipo de comparación inmediata de objetos corresponde a las llamadas
medidas directas.
Con frecuencia, la comparación se efectúa entre atributos que, aun cuando están relacionados
con lo que se desea medir, son de diferente naturaleza. Tal es el caso de las medidas térmicas, en las
que comparando longitudes sobre la escala graduada de un termómetro se determinan temperaturas.
Esta otra clase de medidas se denominan indirectas.
Método de medición
Fenómeno Directo Indirecto
Circunferencia de la tierra
Estatura de una persona
Población de bacterias
Peso de una persona
Superficie de un terreno
CLASES DE ERRORES EN LA MEDICIÓN:
Error de medición: este se da al comparar (medir) el valor verdadero o exacto de una magnitud con el
valor obtenido y la diferencia de estos se llama error de medición.
Clases de errores:
a) Errores sistemáticos:
Se presentan de manera constante a través de un conjunto de lecturas y las fuentes o
causas de errores son:
Error Ejemplo
Defecto en el instrumento de medición Se produce al determinar el tiempo con un
cronómetro que marcha más rápido o más lento.
De paralaje Se produce por una postura incorrecta del
observador, el cual le impide hacer una
adecuada lectura de la medición.
Mala calibración del aparato o instrumento de
medición.
Se produce por fallas de fabricación.
De escala Se produce por el rango de precisión del
instrumento empleado, lo que provocará una
incertidumbre en la medición.
b) Errores circunstanciales, estocásticos o aleatorios.
Estos errores no se repiten regularmente de una medición a otra, sino que varian y sus causas se
deben a los efectos provocados por variaciones en presión, humedad y temperatura del ambiente sobre
los instrumentos.
TIPOS DE ERROR EN LAS MEDICIONES.
a) Error absoluto: Es la diferencia entre la medición y el valor promedio.
b) Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor promedio.
c) Error porcentual. Es el error relativo multiplicado por 100.
OBTENCIÓN DE UNA LEY
LEY: Norma constante e invariable de las cosas, originada en la causa primera o en sus
propias cualidades y condiciones.
Método científico: Método de estudio sistemático de la naturaleza que incluye las técnicas de
observación, reglas para el razonamiento y la predicción, ideas sobre la experimentación planificada y
los modos de comunicar los resultados experimentales y teóricos.
La ciencia suele definirse por la forma de investigar más que por el objeto de investigación, de
manera que los procesos científicos son esencialmente iguales en todas las ciencias de la naturaleza;
por ello la comunidad científica está de acuerdo en cuanto al lenguaje en que se expresan los
problemas científicos, la forma de recoger y analizar datos, el uso de un estilo propio de lógica y la
utilización de teorías y modelos. Etapas como realizar observaciones y experimentos, formular
hipótesis, extraer resultados y analizarlos e interpretarlos van a ser características de cualquier
investigación.
En el método científico la observación consiste en el estudio de un fenómeno que se produce
en sus condiciones naturales. La observación debe ser cuidadosa, exhaustiva y exacta.
A partir de la observación surge el planteamiento del problema que se va a estudiar, lo que
lleva a emitir alguna hipótesis o suposición provisional de la que se intenta extraer una consecuencia.
Existen ciertas pautas que han demostrado ser de utilidad en el establecimiento de las
hipótesis y de los resultados que se basan en ellas; estas pautas son: probar primero las hipótesis más
simples, no considerar una hipótesis como totalmente cierta y realizar pruebas experimentales
independientes antes de aceptar un único resultado experimental importante.
La experimentación consiste en el estudio de un fenómeno, reproducido generalmente en un
laboratorio, En un experimento siempre existe un control o un testigo, que es una parte del mismo no
sometida a modificaciones y que se utiliza para comprobar los cambios que se producen.
Todo experimento debe ser reproducible, es decir, debe estar planteado y descrito de forma
que pueda repetirlo cualquier experimentador que disponga del material adecuado.
Una hipótesis confirmada se puede transformar en una ley científica que establezca una
relación entre dos o más variables, y al estudiar un conjunto de leyes se pueden hallar algunas
regularidades entre ellas que den lugar a unos principios generales con los cuales se constituya una
teoría.
Las leyes y las teorías encierran a menudo una pretensión realista que conlleva la noción de
modelo; éste es una abstracción mental que se utiliza para poder explicar algunos fenómenos y para
reconstruir por aproximación los rasgos del objeto considerado en la investigación.
EJEMPLO:
Isaac Newton, trabajo en la teoría de la gravitación, un amigo de Newton dijo que esté le
comentó que la caída de una manzana en su huerto fue lo primero que le sugirió la idea de la
gravitación. Se dice que aquélla cayó realmente sobre su cabeza mientras descansaba debajo del
manzano, pero nunca lo dio a conocer. Pensó que la fuerza que hacía que la manzana cayera acaso
era la misma que mantenía en órbita a la luna alrededor de nuestro planeta. Al estudiar las leyes de
Kepler descubrió que la fuerza con la cual el sol atrae a cada uno de los planetas debía ser
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que del mismo lo separa. Posteriormente
descubrió que esta fuerza debía así mismo ser proporcional al producto de las masas de los cuerpos
en atracción.
Siguiendo los pasos del método científico la investigación de newton quedaría de la siguiente
manera.
OBSERVACIÓN: La caída de la manzana
PLANTEAMIENTO: Se cuestiona por que caen los cuerpos.
HIPÓTESIS: La fuerza que hace que la manzana caiga, es la misma fuerza con la que se mantiene
en órbita a la luna alrededor de nuestro planeta.
EXPERIMENTACIÓN: Deja caer varios cuerpos como canicas, plumas, pelotas etc.
LEY: Descubrió que la fuerza con la cual el sol atrae a cada uno de los planetas debía ser
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que del mismo lo separa. Posteriormente
descubrió que esta fuerza debía así mismo ser proporcional al producto de las masas de los cuerpos
en atracción.
Ley de gravitación universal.
Toda partícula en el universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza que es directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que los separa
Esta proporcionalidad se suele enunciar en forma de una ecuación.
F = G . (m1 m 2 / r 2 )
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Algunas cantidades como el tiempo, la temperatura, la masa, las identificamos únicamente con
un número y una unidad (magnitud) sin preocuparnos por nada más. Otras sin embargo tienen una
dirección, es decir que no pueden ser descritas por un solo número, por lo que se requiere además que
se indique hacia donde está dirigida esa cantidad. Ejemplos:
* Velocidad; además de indicar su rapidez (magnitud) es importante mencionar su
dirección y sentido.
El autobús lleva una rapidez de 120 km/ hr, dirigiéndose hacia el ESTE.
El autobús lleva una rapidez de 120 km/ hr, dirigiéndose hacia el OESTE.
El autobús lleva una rapidez de 120 km/ hr, dirigiéndose hacia el SURESTE, y con un
sentido de 30° con respecto a la horizontal.
CONCLUSIÓN: La velocidad tiene que ser indicada con una cantidad (Magnitud:120
Km/hr), además de su dirección (Horizontal, vertical, o ángulo de inclinación) y sentido (Norte,
sur, Este u OESTE)
120 Km/hr
120 Km/hr
120 Km/hr
30°
PARTES FUNDAMENTALES DE UN VECTOR
¬ Punto de aplicación
¬ Magnitud
¬ Dirección
¬ Sentido
Punto de aplicación: Es el punto de origen del segmento; a partir de él empieza el vector. Si medimos
la velocidad de un coche, el vector que representa dicha velocidad tendrá su
punto de aplicación en el vehículo y se desplazará con él.
Punto de aplicación
Escalares Vectoriales
• Se expresan únicamente a
través de un número
(magnitud) y una unidad.
Ejemplos:
♦ Volumen
♦ Temperatura
♦ Tiempo
• Se debe indicar su
magnitud, y además su
dirección y sentido.
Ejemplos
♦ Desplazamiento
♦ Velocidad
♦ Fuerza
♦ Aceleración
TIPOS DE CANTIDADES FÍSICAS
Magnitud: Está determinada por un número y su unidad.
Ejemplos:
¬ 80 Km
¬ 120 Km/hr
¬ 32 m/s2
Dirección: Mide la inclinación del segmento; el segmento puede ser horizontal, vertical o tener una
inclinación determinada entre estas dos.
Sentido: Indica hacia qué lado se produce el desplazamiento o hacia dónde apunta el móvil; puede ser
norte, sur, esto u oeste, hacia arriba, abajo, izquierda o derecha; y se representa con la flecha,
(ver siguiente figura).
30°Horizontal
Vertical Ángulo de 30°
ESTE
NORTE
OESTE
EJEMPLOS
Magnitud: 140 Km/hr
Dirección: 30° con respecto a la horizontal
Sentido: Sureste
Ubicación en el plano cartesiano
140 Km/hr
30°30°
SUR
ESTE
NORTE
OESTE 30°
140 Km/hr
Magnitud: 140 Km/hr
Dirección: 30° con respecto a la horizontal
Sentido: Noreste
Ubicación en el plano cartesiano
140 Km/hr
30°
SUR
ESTE
NORTE
OESTE30°
120 Km/hr
Magnitud: 400 Km/hr
Dirección: Horizontal
Sentido: Este
Ubicación en el plano cartesiano
400 Km/hr
SUR
ESTE
NORTE
OESTE
400 Km/hr
Magnitud: 10 metros
Dirección: 45°
Sentido: Noreste
Punto de aplicación: f
Ubicación en el plano cartesiano
SUR
ESTE
NORTE
OESTE45°
10 Km/hr
ESCALA DE UN VECTOR
Frecuentemente las cantidades vectoriales son muy grandes, por lo cuál resulta difícil
representarlas gráficamente. Debido a esto es necesario recurrir a una escala; la cual se representa por
ejemplo como:
1cm: 1m
Que se lee, 1cm representa un metro real.
Ejemplos:
¬ Representar un vector desplazamiento de 40 metros. Si se utiliza una escala de: 1
cm:1 m; entonces se tiene:
4 cm: 4m
Por lo tanto lo tanto la representación del vector desplazamiento deberá tener una longitud
de 4cm, quedando representado como:
¬ Un avión lleva una velocidad de 800 km/ hr
Representándolo por medio de la escala 1cm:1Km ; entonces se tiene:
8 cm: 8 Km
Por lo tanto lo tanto la representación del vector velocidad deberá tener una longitud de
8cm, quedando representado como:
800 Km/hr
4 cm
8 cm
SISTEMA DE VECTORES Y SU CLASIFICACIÓN
Al conjunto de vectores que actúan sobre un cuerpo en forma simultanea, se le llama sistema
vectorial y cada uno de los vectores que lo forman, recibe el nombre de vector componente. Todos los
vectores componentes pueden ser sustituidos por un vector único que cause el mismo efecto; al cual se
le llama vector suma o vector resultante.
Los sistemas vectoriales se clasifican dependiendo de la dirección de los componentes en:
a)sistemas de vectores colineales.
b)sistemas de vectores paralelos.
c)sistemas de vectores concurrentes.
a)VECTORES COLINEALES: Son aquellos que se encuentran actuando sobre una misma línea de
acción (dirección); dicho vectores pueden actuar en el mismo sentido o sentido contrario. La magnitud del
vector resultante es la suma algebraica de los vectores componentes, con la misma dirección y sentido
cuando el sentido de ambas es el mismo, pero cuando son de sentido opuesto la resultante tendrá el
sentido de la mayor (numéricamente).
A B
F1= 200 N f2=300 N R= 500 N
Ejemplo:
Fig. Cada autobús es una fuerza componente con la misma dirección y sentido.
Ejemplo con vectores:
FUERZAS COMPONENTES FUERZAS RESULTANTES
F1= 3 N f2=4 N FR = 7 N
1 ____ = 1 NEWTON.
La resultante tiene una intensidad que es la suma de los componentes; su dirección y sentido no cambia.
Las componentes tienen distinto sentido:
F1= 300 N f2=250 N FR = 50 N
Ejemplos con vectores:
F1= 6 N f2=4 FR = 2 N
F1= 500 N FR = 0 N f2=500 N
b)SISTEMA DE VECTORES PARALELOS: En este tipo de sistema de vectores componentes se
encuentra actuando en la misma dirección y con sentido igual u opuesto, sin embargo, su punto de
aplicación no esta ubicado en la misma línea de acción sino en una línea paralela y aunque el vector
resultante tiene la magnitud, dirección y sentido al igual que los colineales, el punto de aplicación cambia.
A
F1 = 4000 N
B
f2= 3000 N
En ambos sistemas las fuerzas que se ejercen son paralelas, ambas son sistemas de fuerzas paralelas.
Ejemplo con vectores:
d1 d2
F1 f2 f3
c) VECTORES CONCURRENTES: La mayor parte de los vectores tienen la propiedad de cambiar su
punto de aplicación a lo largo de la misma dirección, sin perder sus propiedades. Esta propiedad
permite desplazar a un vector sobre su línea de acción sin que se alteren sus efectos.
=
figura. Dos vectores coplanares no paralelas puede convertirse en concurrentes.
Ejemplos de vectores:
F1 FR
45 °
F2
F1 = 5 N
F2 = 7 N
FR = 11 N
F1
F2 F3
F1equlibrada a F2 y F3
F2equlibrada a F1 y F3
F3equlibrada a F1 y F2
SUMA DE VECTORES
Sumar dos o más vectores es determinar su resultado o el efecto total que ejerce los vectores del
sistema. Para determinar la resultante de un sistema de vectores concurrentes, se emplean diferentes
métodos.
M. del triangulo
Métodos gráficos M. del paralelogramo
M. del polígono.
Suma de vectores
M. del teorema de Pitágoras
Métodos analíticos M. de la ley de senos y cosenos.
( Matemáticos) M. complementación del triangulo
Rectángulo.
M. de los componentes.
MÉTODO GRAFICOS: Como su nombre lo indica, son métodos en los que para determinar el vector
suma o resultante, se debe trazar gráficas de los vectores componentes, a escala y respetando sus
direcciones. Tanto la magnitud como la dirección de la resultante se determinan por medición directa en
la gráfica.
a) MÉTODO DEL TRIANGULO: Este método nos sirve para sumar dos vectores de acuerdo a las
siguientes reglas:
1.-Se traza el primer vector escala, respetando su dirección.
2.-Al final del primero, se traza el segundo.
3.-Se une el principio del primero con el final del segundo y esa será su resultante.
4.-Se mide la magnitud y la dirección del vector resultante directamente en la gráfica, obteniéndose
valores aproximados.
Ejemplo:
Suma de vectores a y b.
b
2 N
a 3 N R a
b
b) MÉTODO DEL PARALELOGRAMO: Recibe también el nombre de método del rectángulo y sólo sirve
para sumar dos vectores de acuerdo a las siguientes reglas.
1.-Se traza dos vectores con un solo origen (deben de coincidir sus puntos de aplicación).
2.-Al final de cada vector, se traza paralelas al otro vector.
3.-Se une el origen con el punto donde se cruzan las paralelas y esa será resultante.
4.-Se mide la magnitud y al dirección de la resultante directamente sobre la gráfica obtenido valores
aproximados.
Ejemplo:
b
a 3N 2 N
paralelas
a R
A
b
R= 3.6 N
A= 56 °
Resulta obvio que no importa el método que se emplee para sumar dos vectores, el resultado será el
mismo.
c) MÉTODO DEL POLIGONO: Este método sirve para sumar 3 ó más vectores y se considera como una
extensión del método del triángulo. La resultante se obtiene de acuerdo al siguiente procedimiento:
1.-Se traza el primer vector.
2.-Al final del primero, se traza el segundo.
3.-Al final del segundo, el tercero y así sucesivamente hasta que se agoten todos los vectores (no importa
que se superpongan).
4.-Se une el principio del primero con el final del último y esa será la resultante.
5.-La magnitud y la dirección de la resultante, se miden directamente en la gráfica.
6.-No importa el orden en que se toman los vectores, el resultado será el mismo.
Ejemplo:
a b d e
c
d
e b
c
R a
MÉTODOS ANALITICOS: Estos métodos sirven para determinar la magnitud y la dirección de la
resultante, utilizando leyes o teoremas matemáticas; son más exactos y precisos que los métodos
gráficos ya que se realizan a base de cálculos. Aunque como se puede apreciar en el cuadro sinóptico,
son cuatro, en este curso sólo trataremos dos; el teorema de Pitágoras y el método de los componentes.
a)TEOREMA DE PITAGORAS; Este método se basa en el teorema de Pitágoras y nos sirve para sumar
dos vectores cuando forman un ángulo de 90° entre (1). El valor de la resultante se calcula por medio del
teorema de Pitágoras, mientras que la dirección o ángulo de la resultante se determina por medio de
cualquier función trigonométrica, aunque lo más frecuente es la utilización de la tangente.
22 baR +=
tg Ô = CO CA
R
a = y
b
b = x = CA = cateto adyacente.
a = y = CO = cateto opuesto.
R = vector resultante.
Ô = ángulo de la resultante.
Esto es posible, ya que la gráfica de los sectores componentes y la resultante, dan triángulo
rectángulo.
a
R
a
è
b
Ejemplo:
Determinar: a) la grafica, b)la resultante c)el ángulo de la resultante, en la suma de los siguientes
vectores:
b = 30 N a 0º
a = 60 N a 90º
22 baR +=
22 )30()60( NNR +=
22 9003600 NNR +=
24500NR =
R = 67.08 N
T g è = CACO
= ba
T g è = NN
3060
T g è = 2
È = arc tag 2
È = 63º 26’
b) MÉTODO DE LAS COMPONETES: Esté método tiene la ventaja de que se pueden sumar dos o más
vectores sin importar el ángulo que forma entre si. Sin embargo , para efectuar la suma por este método,
es necesario aprender la descomposición de vectores.
b.1) DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL: Descomponer un vector en sus componentes es encontrar dos
vectores que produzcan el mismo efecto que el vector dado. Para descomponer un vector en sus
vectores componentes, se emplea en orden inverso el método del paralelogramo o del triángulo. Aunque
los componentes se pueden determinar de acuerdo a una dirección dada, lo más común es realizarlo de
acuerdo al plano cartesiano, sobre el eje de la “X y sobre el eje de la “Y”.
Ejemplo:
Descomponer el siguiente vector en sus componentes a 0º y 60 º.
a
f
b donde a y b son los componentes f.
Para determinar los vectores componentes sobre el plano de coordenadas cartesianas se emplea
las reglas siguientes:
Método del paralelogramo:
1.-Se traza el vector a escala y con su dirección (ángulo) sobre el plano de coordenadas cartesianas.
2.-Al fina del vector se trazan paralelas al eje de las “X” y al eje de las “Y”.
3.-El punto donde las paralelas cortan a los ejes, serán los vectores componentes.
4.-Los valores numéricos se determinan por medio de funciones trigonométricas; cuando se toman el
ángulo del vector hacia el eje de las “X” ya sea positivas o negativas, se utilizan las siguientes fórmulas.
Cx= V cos è Cy= V sen è
Cx = componentes del vector sobre el eje de las “X”
Cy = componentes del vector sobre el eje de las “y”
V = valor del vector
È = ángulo que forma el vector con respecto al eje de las “X”
5.-Si la componente de las “X” se dirige hacia la derecha es positivo y si va hacia a la izquierda es
negativo.
6.-Si la componente de las “Y” se dirige hacia a la arriba es positivo y si va hacia abajo es negativo.
Ejemplo:
Determina las componentes del siguiente vector:
A = 50 N a 60 º
cy
a
60º
cx
Cx = V cos è Cy = V sen è
Cx = (50 N)(cos 60º) Cy = (50 N) ( sen 60 º)
Cx= (50 N) 0.5) Cy = (50 N ) ( 0.8660)
Cx = 25 N ((positivo) Cy = 43.3 N (positivo)
Ejemplo:
Determina los componentes del siguiente vector.
F = 80 N < 27º
Fy
R
27º
Fx
Fx= F cos è Fx = F sen è
Fx = 80 N cos 27 º Fx = 80 N sen 27º
Fx = 80 N ( 0.891) Fx = 80 N (0.454)
Fx = 71.28 N Fx = 36.32 N
Si los vectores se dirigen hacia abajo o a la izquierda se les asigna convencionalmente signo
negativo.
b.2) SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE LAS COMPONENTES:
Como ya se mencionó; por este método se puede sumar dos o más vectores sin importar al
ángulo formado entre ellos. Lo único que se requiere, es obtener los vectores componentes y
posteriormente, se aplica las reglas siguientes:
1.-descomponer cada uno de los vectores que se van a sumar en sus componentes ( tema anterior).
2.-Se suman algebraicamente todas las componentes en el eje de las “X” (Cx), obteniéndose la suma de
las componentes en equis (Cx).
3.-Se suman algebraicamente todas las componentes en el eje de las “Y” (Cy), obteniéndose la suma de
las componentes en “y” (Cy).
4.-Debido a que las Cx y la Cy forman 90, la resultante se calcula por medio del teorema Pitágoras.
∑ ∑+= 22 CYCXR
5.-El ángulo se calcula utilizando las funciones trigonométricas, de preferencia por la tangente:
∑∑=
Cx
Cytgφ
nota: para calcular la • Cx y la • Cy, se puede utilizar las fórmulas s iguientes :
•Cx= v1cos è2 + v2cos è2+ v3cos è3+....... vncos èn
•Cy= v1cos è2 + v2cos è2+ v3cos è3+....... vncos èn
Ejercicio:
Determinar la resultante de los siguientes vectores aplicados en forma concurrente:
F1= 60 N < 30º
F2= 25 N < 0º
F3= 70 N < 90º
F4= 30 N < 45º
SOLUCIÓN:
Fx = F1 cos < 1+= F2 cos < 2+= F3 cos < 3+= F4 cos < 4
Fx = 60 N cos 60º +25 N cos 0º+70 N cos 90º + 30 N cos 45º
Fx = 60 N (0.5) +25 N (1)+70 N (0.0) + 30 N cos (0.70.71)
Fx = 30 N + 25 N + 0 + 21.213 N
Fx = 76.213 N
Fy = F1 sen < 1+= F2 sen < 2+= F3 sen < 3+= F4 sen < 4
Fy = 60 N sen 60º +25 N sen 0º+70 N sen 90º + 30 N sen 45º
Fy = 60 N (0.866) +25 N (0)+70 N (1.0) + 30 N cos (0.70.71)
Fy = 51.96 N + 0 + 70 N + 21.13 N
Fy = 143.173 N
Se puede ver que la resultante se puede calcular por medio del teorema de Pitágoras.
(hipotenusa) 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2
22 catcathip +=
22 )()( fyfxR +=
22 )173.143()213.76( += NR
R= 162.19 N
È = arc tg fxfy
È = arc tg NN
213.76173.143
È = arc tg 1.878
È =61º58’
MOVIMIENTO EN UNA Y DOS DIMENSIONES
MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS
En un sentido estricto todo se mueve. Para ello es importante considerar que, al mencionar que
un objeto se mueve éste siempre lo hace en referencia a otro, es aquí donde se representa una relación
dual que se justifica en el hecho de que se considera al objeto en movimiento pero en relación con otro.
Lo podemos representar con el siguiente diagrama.
En general se dice que el movimiento es relativo, ya que, para decir que algo se mueve, hay que
mencionar con respecto (o en relación) a que o a quien se mueve.
Ejemplos:
" un pasajero en un taxi, no se esta moviendo con respecto al piso del taxi o al mismo taxi, pero si lo esta
haciendo con respecto a un punto especifico de la tierra"
"al conducir una bicicleta podemos argumentar que estamos en movimiento con respecto a un punto en
la carretera, pero en reposo con respecto a la misma bicicleta"
Sobre la mesa se encuentra un libro, a primera vista y sin
otra consideración se puede afirmar que esta en reposo con
respecto a la mesa, aunque se este moviendo
aproximadamente a 30 kilómetros por segundo con respecto
al sol. Para cualquier explicación de movimiento, nosotros
comúnmente tomamos a la tierra como marco de referencia.
"retomando el ejemplo del libro, se dice que el libro esta en reposo con respecto a la mesa, la mesa esta
en reposo con respecto a la tierra, pero la tierra esta en movimiento con respecto al sol, el sol esta en
movimiento con respecto al centro de la galaxia, la galaxia esta en movimiento con respecto a otra
galaxia; entonces, ¿se mueve o no se mueve el libro?"
Para considerar que en objeto se encuentra en movimiento es primordial considerar un marco de
referencia inercial o sistema inercial que se define como aquel en el que se cumplen las leyes del
movimiento de Newton. Por lo general el marco más empleado, al no considerarla en movimiento.
Ahora hay que mencionar que el hombre ha creado conceptos como el de posición, tiempo,
sentido y velocidad para indicar y describir un objeto que esta en movimiento. Estos son conceptos
incluidos por Galileo para dar las razones que describen el movimiento. "la razón de cambio respecto al
tiempo de una cantidad, es esta cantidad entre el tiempo. Indica que tan rápido sucede algo o en cuanto
tiempo cambia algo”
Tipos de movimientos
TIPOS DE MOVIMIENTOS
En una dimensión ϖ Sistema de
referencia
Lineal
ϖ En dos sentidos
opuestos
ϖ Simple. lineal
ϖ En referencia a un solo sistema.
ϖ Movimiento a la derecha o la
izquierda
En dos
dimensiones
ϖ Sistema de
referencia
Rectangular
ϖ En dos pares
perpendiculares
de sentidos
opuestos
ϖ Compuesto. Parabólico, circular y
armónico.
ϖ Movimiento a la derecha, izquierda,
arriba y abajo
En tres
dimensiones
Sistema de
referencia
tridimensional
ϖ En tres pares de
sentidos
perpendiculares
opuestos
ϖ Movimiento real de una partícula.
Movimiento a la derecha, izquierda,
arriba, abajo, al frente y atrás.
POSICION Y DISTANCIA
¿Dónde está un objeto? ¿Cómo lo localizamos? en un dibujo de dos autos sobre una carretera.
¿Dónde esta el auto A? Más exactamente, ¿cuál es la posición de un pequeño punto sobre el auto A?
Primero, coloquemos una escala sobre el dibujo. Para localizar el auto A, describimos su posición en
términos de su relación con cualquier otro punto de la escala, como el punto cero. La escala muestra que
la separación entre el punto cero y el auto A es de 8.0 m, esto es, A está 8.0 m a la derecha del cero.
¿Cuál es la posición del auto B? Es 1.0 m a la izquierda del cero.
Al hacer cero el punto de referencia, se ha elegido un sistema de referencia. También pudo
haberse elegido cualquier auto, cualquier punto a la izquierda de ambos, o a la derecha o entre ellos. En
cada caso la separación entre el auto A y el punto de referencia sería diferente. La posición de un
objeto es la separación entre el objeto y un punto de referencia; usaremos el símbolo D para representar
la posición.
De otra parte, la distancia no necesita sistema de referencia. Usted mide la distancia entre dos
objetos midiendo su separación. El auto A esta a 9.0 m de distancia de B sin importar dónde haya elegido
el punto de referencia.
Existe otra diferencia entre la distancia y la posición. Para describir la posición se necesitan
una distancia y una dirección. El punto A está a 8.0 m a la derecha de 0. Aunque la dirección puede
describirse en términos de derecha y de izquierda, es más conveniente emplear los signo más (+) y
menos(-). Las direcciones positivas están a la derecha del punto de referencia; las direcciones negativas
están a la izquierda. En cambio la distancia requiere solo de una medida de longitud, nunca una
posición.
Con frecuencia, el cambio de posición de un objeto se denomina desplazamiento.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
B A
VELOCIDAD MEDIA
Es importante relacionar correctamente, que el cambio de su posición por el objeto lo realizará
en virtud de un determinado tiempo. Luego entonces hay dos intervalos que se conjugan directamente, la
diferencia de posición (desplazamiento), que se encuentra restando la posición final de la inicial, y el
intervalo de tiempo que le lleva realizar este cambio de posición se encuentra restando el tiempo final al
tiempo inicial del desplazamiento. El cociente del desplazamiento, que es una cantidad vectorial que
puede ser positiva o negativa, y el intervalo de tiempo; se conoce como: velocidad media. Su unidad es
el kilómetro por hora (Km. / h ) o el metro por segundo (m / s ).
•d = d2 – d1 •t = t2 – t1
v = •d / •t = d2 – d1 / t2 – t1
Ejemplo:
En los juegos olimpos de verano de 1988, Florence Griffith Joyner gano la carrera de los 100 men 10. 54 seg. Suponiendo que los 100 m se miden con una aproximación de 0.1 m, ¡cual fue suvelocidad media en m/s y Km. / h?
Conocido: el desplazamiento incógnita: la velocidad media
•d = + 100.0 m Ecuación básica: v = •d / •t El intervalo de tiempo•
• t = 10.54 s
solución:
v = •d / •t = +100.0 m / 10.54 s = +9.488 m/s
+9.488 m/s (3600 s/h / 1000 m/Km) = +34.16 Km / h
Esto es, ella corrió a razón de +9.488 m en un segundo.
Un tren de alta velocidad viaja de París a Lión con una velocidad media de +227 Km. / h. el viajedura 2.00h. ¿Qué distancia hay de Lión a París?
Conocido: la velocidad mediaincógnita: el desplazamientoEcuación básica: v = •d / •tsolución:
•d = v •t
•d = (+227km/h)(2.00h) = +454 km
VELOCIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS
Imagine un balón sobre la línea de +20 m de un campo de juego, el jugador puede patear el
balón en cualquier dirección. Si el balón se mueve a 10 m/s constantes, alcanzaría una de las dos líneas,
+10 m o +30 m en un segundo. En cada caso la magnitud de la velocidad sería la misma, pero el signo
algebraico sería diferente. La rapidez es la magnitud de la velocidad. En cambio, la velocidad de un
objeto incluye su rapidez y el signo algebraico, o su dirección. Un objeto que se mueve a posiciones más
positivas tiene velocidad positiva. Entonces el balón que avanza de +20 m hasta +30 m tendrá una
velocidad media de +10 m/s, mientras que un balón que retrocede desde +20 m hasta +10 m tendrá v = -
10 m . las flechas que apuntan a la derecha indican velocidades positivas, y las que apuntan a la
izquierda indican velocidades negativas.
Note que la posición de un objeto puede ser negativa pero su velocidad puede ser positiva. Si el balón
fuera pateado de -47 m hasta -27 m en 2.0 s, tendría una velocidad media de +10 m/s.
20
vv
30
vv
10
vv
ACELERACIÒN
Cuanto más rápidamente cambie la velocidad de un móvil, mayor es la emoción. ¿Con que
rapidez cambia la velocidad? La razón a la cual cambia la velocidad es un concepto tan útil que se le a
dado un nombre especial, aceleración. Consideremos movimiento en una sola dimensión. Los cambios
en la velocidad pueden ser positivos o negativos; su dirección la indicaremos con los signos más y
menos.
Cuando un avión se encuentra en reposo en la cabecera de la pista, su velocidad es cero.
Cuando el piloto recibe la autorización para despegar, inicia el carreteo. Después de 10 segundos, el
indicador de rapidez respecto al aire muestra +30 m/s. después de 20 segundos, muestra +60 m/s.
cuando han transcurrido 30 segundos, la rapidez es de +90 m/s y el avión comienza a elevarse. En cada
intervalo de 10 segundos la rapidez del avión se incremento en 30 m/s. Así pues, en cada segundo, la
velocidad del avión aumento 3 m/s. El avión aceleró a lo largo de la pista.
Sea • v el cambio en la velocidad, y • t el intervalo de tiempo durante el cual cambia la velocidad.
Considere la razón • v / • t. ¿Cuando es grande? La razón es grande cuando hay un cambio grande en
la velocidad en un intervalo de tiempo pequeño. La razón se denomina aceleración en dos tiempos.
Suponga que un objeto tiene una velocidad v1 en un tiempo t1 y una velocidad v2 en un tiempo t2.
La variación de la velocidad • v = v2 – v1. La variación ocurre durante el intervalo de tiempo • t = t2 – t1.
De manera que la aceleración media, o sea, el cambio de velocidad dividido por el intervalo de tiempo,
está dada por:
a = v2 – v1 / t2 – t1 = •v / • t
Como la velocidad se mide en metros por segundo, m/s, la aceleración se mide en (m/s)/s, o
m/s/s, lo que se lee “metros por segundo por segundo”, pero, generalmente, la unidad de la aceleración
se escribe m/s2, y se lee “metros por segundo al cuadrado”. La aceleración indica en cuantos metros por
segundo cambia la velocidad cada segundo.
Ejemplos:
La velocidad de un auto aumento desde 2.0 m/s en t = 1.0 s hasta 16 m/s en t = 4.5 s ¿Cuál es la
aceleración media del auto?
Conocido: la primera velocidad incógnita: la aceleración
V1 = 2.0 m/s
Ecuación básica: a = •v / • t
La segunda velocidad,
V2 = 16 m/s
El intervalo de tiempo, t1 = 1.0s ; t2 = 4.5 s
Solución:
el cambio de velocidad, •v = v2 – v1 = 16m/s – 2 m/s = 14 m/s
el intervalo de tiempo • t = t2 – t1 = 4.5 s -1.0 s = 3.5 s
la aceleración a = •v / • t = 14 m/s / 3.5s = 4.0 m/s 2
Un auto en reversa va cada vez más rápidamente por una calzada de entrada. Definimos la
velocidad hacia adelante positiva, y hacia atrás negativo. La velocidad del auto cambia de -2.0 m/s
hasta -9.0 m/s en un intervalo de tiempo de 2.0 s. Hallar su aceleración
Conocido: la primera velocidad incógnita: la aceleración
V1 = - 2.0 m/s
Ecuación básica: a = •v / • t
La segunda velocidad,
V2 = -9.0 m/s
El intervalo de tiempo • t = 2.0 s
Solución:
el cambio de velocidad, •v = v2 – v1 = -9.0 m/s –(- 2 m/s) = -7 m/s
la aceleración a = •v / • t = -7.0 m/s / 2.0s = -3.5 m/s 2
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Rara vez una pelota de béisbol, o una bala sigue una trayectoria recta, estos objetos son
proyectiles muy comunes, y al movimiento que describen se le da el nombre de tiro parabólico.
Nota:
Un proyectil se desplaza horizontalmente a una rapidez constante al ir cayendo verticalmente
con una aceleración g.
Justificaremos este comportamiento con un hecho experimental que, cuando son despreciables
los efectos de fricción (rozamiento), un proyectil presenta dos movimientos perpendiculares al mismo
tiempo: se mueve verticalmente con una aceleración descendente g y horizontalmente con una
velocidad horizontal constante.
Este movimiento se muestra con detalle en la siguiente figura.
A
vh
9.8 m/s vh
19.6 m/s vh
29.4 m/s
C
39.2 m/s
Se proyecta horizontalmente una pelota de béisbol en A con una velocidad de vh. Si la fricción
del aire es despreciable, la pelota conserva la misma velocidad horizontal mientras no golpee algun
objeto.
Al mismo tiempo, su velocidad vertical descendente aumenta 9.8 m/s cada segundo al
producirse la caída libre.
Análisis del movimiento.
Como los dos movimientos perpendiculares son independientes entre sí, es posible analizarlos
por separado. Considérese primero el movimiento horizontal, el cual es extremadamente simple por ser
un movimiento que con velocidad constante vh. Por tanto, en la parte horizontal del movimiento, la
aceleración de la pelota es cero y tenemos
El movimiento vertical no es mucho más complicado pues la pelota simplemente desplaza en la
dirección y bajo la aceleración debida a la gravedad. Así, el movimiento en dirección y es el de un cuerpo
en caída libre. En consecuencia, el movimiento vertical no debe ser nuevo para nosotros, y deberíamos
estar en condiciones de analizarlo sin dificultad.
Nuestro procedimiento consistirá, pues, en reconocer que el movimiento libre de una pelota,
bala, o cualquier otro proyectil contiene dos problemas individuales. El problema horizontal es de
movimiento con una velocidad constante, y el movimiento vertical es el de un cuerpo libre en una línea
vertical. Se calcula cada parte del problema del movimiento del proyecto por separado y luego se
combinan las soluciones para conseguir la respuesta.
Examínese detenidamente la situación descrita en la figura anterior.
Supóngase que la pelota sale de la mano de la que la lanza en A y que recorre horizontalmente
2.0 m sobre la tierra, con una velocidad de 15 m/s. ¿Dónde caerá al suelo?( Es decir, ¿a qué distancia de
C se halla D?)
tvtvx
vvvv
h
f
==
===−
−
0
Razonamiento: comenzaremos dividiendo el problema en dos partes:
Horizontal Vertical (positivo hacia abajo)
para encontrar t, se resuelve el problema vertical
V o = o
a =9.8 m/s2
Y = 2.0 m
Para calcular t se utiliza
Y= Vo t + 1/2 a t2
2.0 = 4.9 t2
=
t = 0.639 s.
Una vez calculado a partir del problema vertical el tiempo de recorrido, es decir, el tiempo que
tarda la pelota en caer al suelo, el resultado podrá usarse en el problema horizontal:
X = (v) ( t )
X = (15m/s) (0.639s) = 9.58 m
En otras palabras la pelota recorre apenas 9.58 m horizontalmente antes que la gravedad la
haga caer al suelo. En realidad, por lo regular se lanza un proyectil un poco hacia arriba si se desea que
se recorra una gran distancia. Si tiene un componente inicial hacia arriba en su velocidad, tardara más
tiempo en caer al suelo y por lo mismo, tendrá mas tiempo para desplazarse en una dirección horizontal.
Cálculo de posición utilizando un ángulo de referencia
A continuación te señalamos algunos pasos que resultan útiles en la resolución de problemas con
estas características.
1. siempre que se reconozca la velocidad inicial Vo debes descomponerla
tvx
smvvv
15
/150
==
===−
−
αα
sen
cos
00
00
vyv
vxv
==
9.4/0.2
2. Recuerda que las componentes horizontal y vertical en cualquier instante están por separadas
la posición x = Vo xt
y = Vo y t + ½ gt 2
la velocidad Vx = Vox
vy = Voy + gt
3. Una vez determinados los signos y las unidades en el problema no se deberán cambiar
Problema
• Una piedra es lanzada en un ángulo de 60° y a una velocidad inicial de 36 km/h, ¿ Cual es su
posición y su velocidad después de 1 seg.?
Solución: convierte los 36 km/h a m/s = 10 m/s.
Los componentes de la velocidad inicial son:
Las componentes de la posición son:
sm
sm
smVoVox
sm
smsmVoVoy
/5)5000)(./10(
º60cos)/10(cos/66.8
)866(./10º60sen)/10(sen
==
===
==
θ
θ
m
mm
segsm
segsmsegsm
gtVoytY
segsm
Voxtx
76.39.466.8
)1)(/9.466.8(
)1)(/8.9(2/1)1(/66.8
2/1
5)1(/5
22
22
2
=−=
−=
−+=+=
==
=
Luego entonces, la piedra después de un segundo se encuentra a 5 m de alcance horizontal y a
3.76 m del suelo.
Para encontrar las componentes de la velocidad serian las siguientes
El signo negativo de la componente vertical indica que la piedra esta en su camino hacia abajo
Donde tan de =.024
Por lo tanto = 13º30'
Así la magnitud de la velocidad es
sm
smsm
smsm
gtVoyVy
sm
VoXV
/14.1/8.9/66.8
)1)(/8.9(/66.8
./5
−=−=
−+=+=
==
αVx
VVy
smsm
VxVy
tan/5
/2.1−==α
αα
14.52334.
2.1'30º13sen
2.1sen
−=
−=−==α
VyV
MOVIMIENTO CIRCULAR
¿Que se mueve más rápido en un carrusel, un caballo cerca del carril exterior o un caballo cerca
del carril interior? Pregunta lo anterior a diferentes personas y obtendrás deferentes respuestas. Esto
sucede por que es fácil confundir rapidez lineal con rapidez rotatoria.
Rapidez lineal: Es lo que sé a estado llamando simplemente rapidez; la distancia en metros o
kilómetros cubierta por unidad de tiempo. Un punto en el exterior de un carrusel o disco se mueve una
mayor distancia en una rotación completa que un punto en el interior. La rapidez lineal es mayor en el
exterior de un centro giratorio que en el interior y más cerca del eje.
Rapidez rotacional: (con frecuencia llamada rapidez angular) Se refiere al numero de
rotaciones por unidad de tiempo. Todas las partes de un carrusel dan la vuelta al eje de rotación en la
misma unidad de tiempo. Todas las partes comparten la misma razón de rotación o numero de
rotaciones por unidad de tiempo. Por lo general las razones de rotación se expresan en revoluciones por
minuto(RPM)
La rapidez lineal y la rapidez rotacional están relacionadas. ¿Quién no se ha subido alguna vez
ha una gigantesca plataforma redonda giratoria en un parque de diversiones?.
Mientras más rápido dé vuelta mayor será la rapidez lineal de cada persona a bordo. Esto tiene
sentido: a mas RPM, mayor rapidez en metros por segundo. Se dice que la rapidez lineal es directamente
proporcional a la rapidez rotacional.
La rapidez lineal a diferencia de la rapidez rotacional depende de la distancia desde el eje. En el
mero centro de la plataforma giratoria, la persona a bordo no tiene rapidez en absoluto; tan solo rota.
Pero a medida que se aproxima ala borde de la plataforma, la persona se encuentra en movimiento cada
vez más rápido. ( la rapidez lineal es directamente proporcional a la distancia desde el eje)
En una plataforma giratoria, si te sientas a medio camino entre el eje de rotación y el borde
exterior y tienes una rapidez rotatoria de 20 RPM y una rapidez lineal de 2m/s, ¿Cuál será la rapidez
rotatoria y la rapidez lineal de una amiga que se sienta en el borde exterior? Respuesta = el doble 4m/s.
La rapidez con que un cuerpo gira se llama velocidad de rotación o frecuencia y esta se mide de
acuerdo al numero de revoluciones completas que realiza en una determinada unidad de tiempo y la
designaremos con la letra n.
n = Numero de revoluciones por seg.
La cual es conveniente expresarla en radianes y no en grados o revoluciones. Un radian,
abreviado RAD. Es la unidad de medida angular que se define como:
El ángulo subtendido por el arco del círculo, cuya longitud es igual al radio del mismo.
Y puesto que la circunferencia de un circulo es justo 2 veces el radio r, hay 2 radianes en un
circulo.
2 rad. = 360º
= 3.14159
uego entonces:
ángulo en radianes = longitud del arco = = X_
radio r
así como el movimiento rectilíneo, la velocidad media se define como la variación de la distancia
dividida por el tiempo invertido en dicha variación.
y se definirá a la velocidad angular media en forma similar, es decir, el ángulo girado (en RAD) por el
tiempo invertido.
En donde W simboliza la velocidad angular.
Un ejemplo de lo anterior seria:
Una piedra al final de una cuerda de 6m de largo, da 6 revoluciones en 2 seg. Hallar la velocidad
angular en radianes por seg.
Solución:
Sabemos que:
1 revolución = 2 RAD.
Entonces :
= 6 * 2 RAD
= 6 * 2 (3.14159)RAD
= 37.7 RAD
sustituyendo
= 18.85 RAD/ seg.
π π
ππ
θ
ts
v =_
tW
θ=
π
θ π
θθ
tW
θ= = 37.7 RAD
2 seg
No es natural que un cuerpo por si solo se desplace en una trayectoria circular; Newton conocía
esto al formular la primera ley, la cual en parte nos dice que un cuerpo se moverá en línea recta a menos
que sea forzada a hacerlo de otra manera, así, si un hombre sostiene el extremo de una cuerda a su hijo
sentado en una plataforma sobre hielo, al moverse en circulo la velocidad permanecerá constante.
Pero la dirección de su velocidad está cambiando cada instante y mientras ninguno suelte la
cuerda, así continuará por que de lo contrario dejaría su trayectoria curva para empezarse a mover en
línea recta en la dirección en que se movía en el instante en que se soltó la cuerda. La fuerza que lleva a
cabo el cambio de dirección de una partícula se denomina fuerza centrípeta y siempre tirara del cuerpo
hacia el centro del círculo, o sea, es perpendicular a la velocidad, cambiando a cada momento de
dirección pero no de magnitud.
Es importante recalcar que el único cuerpo que tira del muchacho es la cuerda, la fuerza
centrípeta F ejercida por la cuerda sobre el niño es una fuerza no equilibrada, es decir, diferente de cero
por lo que el cuerpo del muchacho debe acelerarse. Esto parece una paradoja física que un cuerpo se
mueva con una velocidad constante en un círculo y además de que sea acelerado hacia el centro del
mismo sin llegar a acercarse a él.
Para llegar ala expresión matemática de la aceleración y la fuerza centrípeta, procedamos de la
siguiente manera.
La figura muestra en los puntos A y B la velocidad instantánea y un diagrama de velocidades que
señala a V como el cambio de velocidad que tiene lugar a ir A o B. Puesto que este triángulo de
velocidades es semejante al triángulo ABC cuyos correspondientes datos son proporcionales uno al otro,
luego entonces:
∆ r
V
V
rr
C
BA
∆
Dividiendo ambos miembros por t que es el tiempo requerido para trasladarse de A a B, se
tiene que:
Como la distancia se hace más pequeña y más pequeñas t > 0, entonces:
En función de la velocidad angular:
Y por la segunda ley de Newton:
Esta es la fuerza centrípeta en cantidades angulares:
Ejemplo:
Una flecha de tracción de 6cm de diámetro gira a 9 rev/seg ¿Cuál es la aceleración centrípeta en
la superficie de la flecha?
= 9 * 2 RAD
= 9 *2(3.14159)RAD
= 56.55RAD
XrV
V
rX
VV
∆=∆
∆=∆
____
∆
tx
rv
tv
∆∆==
∆∆
∆
tx
limrv
a
tX
rV
limtv
lim
t
tt
∆∆==
∆∆=
∆∆
→∆
→∆→∆
0
00
rv
a
vrv
a
2
=
=
2rwa =
rv
mF
amF2
.
=
=
2mrwF =
θ π
θ
2
222
2
/9.9503.0
/8781.203.0
)/6965.1(
76965.1)/55.56(03.0
../55.56
155.56
segmam
segmm
segma
rv
a
segmv
segRADmv
trv
segRADwseg
RADw
tw
=
==
=
====
=
= θ
MOVIMIENTO CIRCULAR
INTRODUCCIÓN
Un cuerpo tiene movimiento circular cuando su trayectoria descrita es una circunferencia. Este
movimiento recibe también el nombre de circular uniforme, debido a que el móvil recorre ángulos en
tiempos iguales, cualesquiera que sean esos tiempos es decir, el vector velocidad tiene una magnitud
constante, pero varía en forma continua su dirección.
Cuando un cuerpo efectúa un movimiento circular, su giro se realizara alrededor de un punto fijo
denominado eje de rotación.
NUMERO DE VUELTAS
En el MCU a veces es importante conocer el número de vueltas que el móvil da en la unidad de
tiempo ( 1 segundo), es decir su frecuencia, la cual se simboliza con f o con n y se mide en el sistema
internacional en Hertz (Hz). La relación entre la frecuencia y el periodo esta determinada por la ecuación.
tf
1
DISTANCIA ANGULAR
Representa la cantidad de rotación que adquiere un cuerpo u objeto.
Sean los parámetros : θ (distancia angular), s ( longitud de arco de un circulo) y r (radio de la
trayectoria) para un citado móvil, la distancia angular se considera directamente proporcional al arco que
describe, cuyo radio actúa en forma inversa a esta distancia angular.
La expresión matemática que identifica a la distancia angular.
rS=θ
donde:
s= longitud del arco
t= tiempo empleado para recorrer el arco.
radrr ππθ 2
2 ==
Nota: Es importante notar que el radian (medida de arco en la circunferencia, cuya magnitud es
equivalente al radio de la misma) se identifica como una unidad adimensional, por lo que la distancia
angular se expresa en radianes.
VELOCIDAD ANGULAR
La velocidad angular de un cuerpo que experimenta un movimiento de rotación con respecto a su
eje, se considera como el cambio de distancia angular de tiempo.(figura 1).
Sea w la velocidad angular de un cuerpo en movimiento de rotación, θ la distancia angular y t el
tiempo, su velocidad angular (w) es directamente proporcional a la distancia angular ( θ ) e inversamente
proporcional al tiempo ( t), por lo tanto su expresión matemática es :
tθ=w
w=velocidad angular
t= tiempo
θ=ángulo (tetha) o desplazamiento angular
La velocidad angular se expresa en :
Rad/s o bien grados/s, rev/s(rps) o rev/min(rpm).
Ahora, es importante hacer notar que como:
1rev/s=2πrad/s, w = 2πf, para tal efecto f representa la frecuencia de rotación en rev/s y es
equivalente a 1 Hertz (Hz).
Figura 1 V
s
w = θ / t
Radián. Es el ángulo central al que corresponde un arco “s” de longitud igual al radio “r” (fig.2.37). La
medida en radianes se obtiene mediante el cociente entre la longitud del arco y la longitud del radio, es
decir:
Un radián en grados sexagesimales se expresa: 1 radián = 57.2950, de manera que para
convertir grados en radianes , y viceversa, hay que cons iderar la s iguiente equivalencia 2 ð radianes =
360º y la relación de los radianes con los ángulos se obtiene de:
r Aw
ACELERACIÓN CIRCULAR UNIFORME
La aceleración angular de un cuerpo en movimiento de rotación respecto a su eje, es el cambio
de su velocidad angular en la unidad de tiempo.
Existe una variación en forma uniforme de la velocidad angular de un cuerpo, es decir de
wi a wf, en la unidad de tiempo, cuyas unidades son : rad/s2.
Cuando un móvil describe un movimiento circular, al ir aumentando su velocidad angular en
forma constante por cada unidad de tiempo, se dice que su aceleración permanece constante o uniforme.
Este tipo de movimiento que representa una variación de una variación de velocidad uniforme en
intervalos de tiempo uniforme se denomina: movimiento circular uniforme acelerado o movimiento de
rotación uniformemente acelerado.
También es conocido este tipo de movimiento como: aceleración angular, media y su calcula de
la manera siguiente:
twiwf −=α
wi = velocidad angular inicial en rad/s
wf = velocidad angular final en rad/s
t= tiempo en segundos.
α = aceleración angular
La aceleración angular (α) varía en relación directa al cambio de velocidad y en relación
al tiempo.
RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES.
Para relacionar las magnitudes lineales con las angulares, se tomará como base el siguiente
ejemplo:
Suponiendo que un móvil recorre una velocidad lineal (movimiento rectilíneo ), en caso de que
encontrarse un obstáculo frente a él, se concluye que si su trayectoria siguiera siendo rectilínea, chocara
contra dicho obstáculo, pero evitar esto, tendería a desviarse experimentando una cantidad angular.
La velocidad angular se obtiene dividiendo a la velocidad lineal por el radio ya que existe una
parte adimensional en la unidad de longitud, las unidades de la velocidad angular serán:
radianes/segundos (rad/s), revoluciones /segundo (rev/s) y revoluciones /minuto (rpm).
La relación entre las magnitudes lineales y angulares se expresa de la siguiente manera:
s= θr
v=wr
a=α r
donde:
s= longitud del arco en metros, centímetros.
r =radio en m, cm.
v =velocidad lineal en m/s, cm/s.
θ = desplazamiento angular en radianes.
w= velocidad angular en rad/s
a= aceleración lineal en m/s2
α = aceleración angular en rad / s2
Las ecuaciones del movimiento circular uniforme acelerado y las correspondientes del
movimiento lineal son:
PARÁMETROS LINEALES PARÁMETROS ANGULARES
1.-d = v.t
2.- d= ( vf + vi ) t
2
3.-vf = vi + at
4.-d = vit + ½ at2
5.-2ad = vf2 - vi2
6.- vf 2= 2ad
7.- d = at2
2
8.- vf = a.t
1.− θ = w.t
2.− θ =(Wf + Wi) t
2
3.- wf = wi + tα
4.- θ =wit + ½ αt2
5.- 2αθ = wf2- wi2
6.- wf = 2αθ
7.- θ = αt2
2
8.- w = αt
APLICACIONES
Entre las aplicaciones técnicas del movimiento circular se encuentra las siguientes:
Un satélite puede moverse alrededor de la tierra con este tipo de movimiento. Las particular de
los objetos giratorios, como engranes y volantes están en movimientos.
El movimiento circular uniforme puede ser transmitido de una rueda a otra por medio de bandas,
cables, cadenas o engranes, lo cual se aprovecha en diversas máquinas para cambiar la velocidad o el
plano de rotación, por ejemplo: la bicicleta, el automóvil, motores electrónicos, etc.
Un satélite en órbita recibe la acción de una fuerza centrípeta dirigida hacia al centro de la tierra.
En los juegos electromecánicos como lo es en “la rueda de la fortuna “ la fuerza centrípeta
mantiene a la gente en posición fija sobre la rueda cuando gira rápidamente.
Existen máquinas centrifugas para separar crema y leche, para purificar combustible y aceites
lubricantes a bordo de un barco en altamar, para separar plasma y células sanguíneas.
La fuerza centrifuga también se aplica en las lavadoras, para secar la ropa, etc.
PROBLEMAS RESUELTOS:
1.-Convertir
a)50 revoluciones en radianes
50 rev ( 2 π rad ) = 314 rad
1 rev
b)48 πrad en rev.
48πrad ( 1 rev ) = 24 rev
2πrad
c) 72 rps en rad/s
72 rev/s ( 2 π rad ) = 452.16 rad/s
1 rev
d) 1500 rpm en rad/s
1500 rev ( 2 π rad ) ( 1 min ) = 157 rad/s
min 1 rev 60 s
e)2 rad/s en grados /s
2rad /s ( 180 grados ) = 114.64 grados /s
2.-Una rueda gira a 480 rpm hallar:
a) la velocidad angular en rad/s de un punto cualquiera de la misma
b) la velocidad lineal de un punto situado a 1 m de su centro.
DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADO
f=480 a) w=2 π f a) w= ( 2 π rad/1rev) (1min/60s )(480 rev/min)
w= 50.24rad/s
r=1m b)v=wr b) v= (50.24 rad/s)(1m) = 50.24 m/s
3.-Una rueda que gira a razón de 120 rpm incremente uniformemente su velocidad hasta en 6 s.
Calcular:
a)aceleración angular en rad/s
b)la aceleración lineal de un punto situado a 80 cm del eje.
DATOS FORMULA
wi= 120 rpm a) α= wf –wi = 2 π fi - 2 π f
wf=660rpm t t
t=6seg
α= ?
a=?
r=0.8m
SUSTITUCIÓN
α= (660 rev/min (2 π rad/1rev)(1min/60s) + (120rev/min(2 π rad/1rev) (1min/60s)= 9.42 rad /s2
6 s
b) FORMULA: a = α r
SUSTITUCIÓN Y RESULTADO
a = ( 9.42 rad /s ) ( 0.8 m) = 7.536 m/s2
4.- a) ¿Cuantas vueltas dará una rueda en 5 segundos si partiendo del reposo su aceleración angular esde 20 rad/s2
b ) ¿Cuantas vueltas dará durante el tercer segundo?
Datos formula sustitución y resultado
T= 5s θ=1/2 αt2 θ=1/2 (20 rad/s2 ) (5s)2
α=20 rad/s2 θ=250 radθ=? θ= 250 rad x 1 rev/2πrad = 39.8 rev
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1.-calcular la velocidad angular de un automóvil que toma una curva de 8m de radio a una velocidad de45 Km/h.
2.-Hallar la velocidad angular de una rueda de 25 cm de radio para que la velocidad lineal de un punto desu periferia sea de 400m/min expresar el resultado en rpm y en rad/s.
3.-La velocidad angular de un disco disminuye unifórmenle desde 12 a 14 rad/s en 16 segundos. Calcularla aceleración angular y el número de vueltas que efectúa es ese tiempo.
PESO Y MASA
Masa:
Todo objeto o material posee inercia. ¿Qué tanto depende de la cantidad de materia en la
sustancia del objeto? A más materia más inercia. Al hablar de cuanta materia tiene algo, se utiliza un
termino masa. Cuanto mayor sea la masa de un objeto, mayor será su inercia, la masa es la medida de
inercia de un objeto material.
Es fácil confundir las ideas de masa y peso, principalmente por que son directamente
proporcionales entre sí. Si se duplica la masa de un objeto, su peso también se duplica; si la masa se
reduce a la mitad, su peso se reduce a la mitad. Pero hay una distinción entre masa y peso.
Es posible definir cada magnitud como sigue:
Masa: cantidad de materia de un objeto material. Más específicamente, es la medida de inercia o
inactividad que un objeto exhibe en respuesta a cualquier esfuerzo hecho para ponerlo en movimiento,
detenerlo o cambiar de alguna manera su estado de movimiento.
Peso: fuerza sobre un objeto a causa de la gravedad.
Hemos definido la masa en términos de una masa patrón de un 1Kg; las otras masas se definen
comparándolas con ese patrón. En la practica, las masas suelen determinarse en formas más fáciles
basadas en el peso, que es la fuerza con que la gravedad lo atrae. A semejanza de las manzanas y las
peras, la masa y el peso son cantidades totalmente diferentes, pero sin duda se relacionan de alguna
manera, ya que los objetos voluminosos son pesados.
Hay un experimento simple que nos indica la relación existente entre masa y peso. Se trata de un
objeto en caída libre, como el que se advierte en la figura.
Peso = w
La fuerza sin equilibrar que actúa sobre el
objeto es w. Impartiéndole una aceleración
de caída libre g.
Sabemos que un objeto en caída libre acelera hacia abajo con la aceleración de la caída libre (g),
o sea la causada por la gravedad, la fuerza que lo acelera hacia abajo es la atracción que la gravedad
ejerce sobre él, es decir, su peso (w). Y por su puesto el objeto debe obedecer la segunda ley de
Newton, F neta =ma. En la situación de caída libre descrita en la figura anterior, F neta es simplemente w, o
sea el peso del objeto. Además, en este caso la aceleración (a) es (g), o sea la aceleración en caída libre.
Por tanto, en este experimento F neta = m.a se convierte en
w = mg
Se trata de una relación de extrema constancia ya que nos señala cómo el peso w de un objeto,
de cualquier objeto, se relaciona con su masa. Aun cuando el peso es una fuerza y la masa es una
medida de la inercia, ambas cantidades muy diferentes entre sí son proporcionales, siendo g la constante
en proporcionalidad para las masas de los objetos equiparando su peso, (así, un objeto que pese 3.7
veces más que el kilogramo patrón tendrá una masa de 3.7 kilogramos.) sin embargo, deben compararse
los pesos en el mismo lugar de manera que (g) sea igual en las dos masas. Por ejemplo, no puede
pesarse una masa en la tierra y otro en la luna. Una masa de 1 kg. pesa 9.8 N. en la tierra apenas 1.67
m/s2. en consecuencia, si pesamos un objeto en la luna y otro en la tierra y si su peso es igual , su masa
no lo será. Desde luego, en los experimentos normales en que se pesan los objetos, el valor de (g) es
constante y por lo mismo, es fácil determinar las masas comparendo los pesos.
MASA CONTRA PESO. Lo primero que se debe recordar es que la masa es una magnitud
escalar medida en kilogramos, mientras que el peso al igual que cualquier fuerza, es una magnitud
vectorial medida en Newton. Lo seguro es que, mientras la masa es una propiedad intrínseca que no
cambia con la posición, es decir, mientras su resistencia al cambio de velocidad se mantiene invariable
sin importar el lugar donde se encuentre el cuerpo, peso, por el contrario depende del valor local de (g),
de la altitud y otros factores.
Cuadro comparativo de la masa contra el peso
Magnitud símbolo Tipo demagnitud
Unidad demedida del S.I.
Formulapara sucálculo
características Aparato para
su medición
Masa mEscalar
Kilogramos(Kg.)
1 ton.=1000 Kg.1Kg = 1000 g.
gP
m =No cambia conrespecto a su
posición
Balanza
Peso P vectorialNewton (N)
21s
KgmN =
P = mg Cambia al variarsu posición Dinamómetro
EJERCICIOS
En la superficie de Marte, g = 3.72 m/s2. una sandía pesa 52.0N. en la superficie terrestre.
a)¿Qué masa tiene en la superficie terrestre?
b)¿Qué masa y peso tiene en la superficie marciana?
¿Qué masa tiene un libro que pesa 3.60N. en un punto donde g = 9.80 m/s2?
b) En ese lugar, ¿Cuánto pesa un perro de 16.0 kg.?
Superman lanza un peñasco de 2800N. A un adversario.
¿Qué fuerza horizontal debe aplicar para darle una aceleración horizontal de 15.0m/s2?
Una bola de bolos pesa 71.2N. el jugador aplica una fuerza horizontal de 178 N. A la bola
¿Qué magnitud tiene la aceleración horizontal de la bola?
FUERZAS DE FRICCIÓN o ROZAMIENTO
FUERZAS DE FRICCIÓN: Es una fuerza que se opone al movimiento de dos objetos
La dirección de la fuerza de fricción es paralela a las superficies en contacto y opuestas al
movimiento
FUERZAS FRICCIÓN
FUERZAS DE FRICCIÓN VISCOSA: existe cuando un cuerpo se mueve en un fluidoo hay movimiento entre fluidos
FUERZAS DE FRICCIÓN SECAS:
existen cundo dos cuerpos sólidos están
en contacto
FUERZAS DE FRICCIÓNESTÁTICA
FUERZAS DE FRICCIÓNDINÁMICA O CINÉTICA
FUERZAS DE FRICCIÓN PORRODAMIENTO
fS
Fexterna
N
Peso delcuerpo ( W)
La fuerza de fricción estática fs se opone al movimiento de los cuerpo y es la responsable
de que un cuerpo que se opone o jalado no se mueva
La fuerza de fricción (f) entre dos objetos en contacto es proporcional a la fuerza normal (N) que
se ejerce entre las superficies de los dos objetos.
Matemáticamente f = α N ⇒⇒ f = µµ N
(Fuerza de fricción) = (Coeficiente de proporcionalidad ) X (Fuerza normal)
µ coeficiente de fricción, este depende la naturaleza de las superficies que estén en contacto,
normalmente es menor de la unidad, además de es adimensional ( sin unidades)
Fuerzas de fricción estáticas. Es la que impide el movimiento de un cuerpo sobre una
superficie, cuando dicho cuerpo se le aplica una fuerza externa.
fs = µµs N
fs = Fuerza de fricción estática
µµs = Coeficiente de fricción estático
Fuerzas de fricción dinámicas. También conocida como fuerza de fricción cinética, se presenta si el
cuerpo se mueve a velocidad constante cuando se le aplica una fuerza neta externa igual a la fuerza de
fricción dinámica.
fd = µµd N
fs = Fuerza de fricción dinámico
µµd = Coeficiente de fricción dinámico
fS
Fexterna
El coeficiente de fricción dinámica es independiente de la velocidad y menor que el coeficiente de
fricción estática para el mismo par de superficies de contacto (µµd << µµs ), ver tabla
Tabla de coeficientes de fricción
Materiales µµs µµd µµr
Madera- madera 0.4 0.3 0.002
Acero - acero 0.8 0.5 0.0025
Neumáticos-pavimento 0.8 0.5 0.0025
Metal – acero 0.6 0.5 -
Moviento de rotación (gira a la derecha) Movimiento de traslación
La fuerza de fricción por rodamiento se opone al movimiento del cuerpo
La fuerza de fricción por rodamiento, se presenta en caso de un cuerpo circular se desplace
sobre una superficie en un movimiento de rotación (giro en un mismo lugar, ejemplo: cuando patina una
llanta) o traslación (giro con desplazamiento, ejemplo: cuando una rueda empieza a moverse hacia
delante o hacia atrás).
frfr
LAS LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
PRIMERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO
Isaac newton (1642-1727).
Para que un cuerpo adquiera movimiento, sea del tipo traslación o rotación, es necesaria la
existencia de una fuerza exterior que provoque dicho movimiento. Con el inicio del estudio de las causas
que producen el movimiento se inicia también el estudio de la dinámica, que es la parte de la mecánica
que se encarga del estudio de las causas del movimiento.
Se debe entender como fuerza, aquella causa externa aplicable a un cuerpo cualquiera con la
posibilidad de cambiarlo de posición o de mantenerlo en movimiento. La fuerza es una cantidad vectorial
y puede ser de dos tipos: de tensión (jalar) y de empuje.
El físico Isaac Newton, estableció la primera ley del movimiento o también llamada ley de la
Inercia que enuncia:
“Todo cuerpo tenderá a conservar su estado de reposo o movimiento uniforme a menos
que exista una fuerza externa que modifique dicho estado”
Al sumar Las fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo, si la resultante tiene su valor x, el
cuerpo tendrá como resultado un movimiento y si la resultante vale 0 el cuerpo estará en reposo.
Hay que considerar que la inercia es una propiedad de la materia definida como la oposición de la
misma a cambiar su estado de reposo o de movimiento.
INERCIA
Es la tendencia de un objeto en reposo a permanecer en ese estado y de un objeto en movimiento a
seguir moviéndose con su velocidad original.
La primera ley de Newton se refiere a los objetos que tienen una fuerza resultante nula (cero)
que actúa sobre ellos. Todos estamos familiarizados con tales situaciones. La fuerza resultante (neta)
que actúa sobre un libro colocado encima de una mesa, es cero; la atracción de la gravedad sobre él está
equilibrada por el empuje hacia arriba. Puede mencionarse muchos casos similares y, desde luego,
puede expresarse lo que sucede al objeto en cada caso: Permanece en reposo.
SEGUNDA LEY DE NEWTON
Al emplear una fuerza sobre un objeto o cuerpo, este tendrá a ser desplazado o habrá
recorrido una distancia. Dicho desplazamiento tiene lugar a un intervalo de tiempo; por lo tanto, se genera
una velocidad, y si hay cambio en ella, una aceleración. La obtención de una aceleración en mayor o
menor proporción, depende directamente de la fuerza aplicada, así, si la fuerza se ve incrementada al
doble, la aceleración aumentará en la misma proporción.
La segunda ley del movimiento propuesta también por Isaac Newton. Se enuncia de la siguiente
forma:
“La aceleración en un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza inversamente
proporcional a la masa del mismo cuerpo”
Expresión Matemática:
mfa =
letra significa unidades básicas
a aceleración m/seg ó cm/ seg
m masa kg g
f fuerza Newton ó dinas kilopond
1 Dina=dn= 1g-cm/seg2
• 1 Newton =Nw= 1kg-m/ seg2
MASA Y PESO:
Aunque los conceptos de masa y peso son más usados indistintamente, existe una diferencia
notable entre ellos. Todos los cuerpos difieren entre si por la cantidad de materia que contienen, a esto
se le conoce como masa, entendiéndose como la medida de la inercia de un cuerpo y considerada como
una cantidad escalar. En cambio si se observa un cuerpo cualquiera en caída libre, debido a la
aceleración de la gravedad, la masa de dicho cuerpo da origen a lo que se conoce como Peso, que se
define como la fuerza con que la tierra atrae a todos los cuerpos y se considera como cantidad vectorial.
El peso es una fuerza cuya magnitud se calcula:
mgfg=
letra significa unidad básica
fg peso Newton, dinas
m masa kilogramos, gramos
g aceleración de la gravedad m/s2, cm/s2
CANTIDAD DE MOVIMIENTO:
Cuando se aplica una fuerza de un cuerpo se observa la generación de un movimiento y su
magnitud o parámetro se le conoce como cantidad de movimiento.
La cantidad de movimiento se obtiene por el producto de la masa del cuerpo que se ha puesto
en movimiento multiplicado por la velocidad adquirida en dicho movimiento. Pueden surgir dos casos:
1.-Cuando el cuerpo estaba en reposo y se pone en movimiento.
mvp =2.-Cuando el cuerpo ya se encontraba en movimiento con una velocidad inicial:
if mvmvp −=
letra significa unidades básicas
p cantidad de movimiento Kgm/s, gcm/s
m masa Kg, g
vf velocidad final m/s, cm/s
vi velocidad inicial m/s, cm/s
v velocidad m/s, cm/s
IMPULSO:
El impulso se considera como la fuerza aplicable en un lapso de tiempo, por ejemplo, en un
choque donde la fuerza se aplica en un lapso muy breve, el cuerpo adquiere impulso.
FtI =
letra significa unidades básicas
I Impulso Kgm/s, gcm/s
F Fuerza Newtons, Dinas
T tiempo segundos
Como se observa, la cantidad de movimiento y el impulso, tienen unidades y para el mismo
cuerpo:
IMPULSO = CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Ft = mv
Ft = mvf - mvi
TERCERA LEY DE NEWTON
Para poder explicar esta ley, se puede citar numerosos ejemplos que la explican; de los cuales
podemos mencionar "“un puñetazo dado sobre una mesa”, existe una acción que es el golpe mismo y
una reacción el dolor que queda en la mano después de haber dado el golpe. La tercera ley de Newton,
llamada también ley de la acción y la reacción, explica estos fenómenos de la vida cotidiana.
“A toda fuerza de acción corresponde una reacción de igual magnitud y en sentido
contrario a la fuerza aplicada” ejemplos:
situación fuerza de acción fuerza de reacción
El palo golpea una pelota de golf. Fuerza del palo en la pelota. Fuerza de la pelota en el palo.
Un gato golpea una bola de hilaza. Fuerza de la garra en la hilaza. Fuerza de la hilaza en la
garra.
Un satélite gira alrededor de la
tierra.
Atracción de la tierra sobre el
satélite.
Atracción del satélite sobre la
tierra.
Un imán atrae un clavo. Atracción del imán sobre el
clavo.
Atracción del clavo sobre el
imán.
Un clavadista se lanza de la
plataforma de clavados.
Empuje del pie sobre la
plataforma.
Empuje de la plataforma
sobre el pie.
Newton analizo muchas de estas situaciones y llego a una conclusión cuantitativa, la tercera ley:
“Si el objeto A ejerce una fuerza F sobre el objeto B, entonces el objeto B ejerce una fuerza – F
sobre el objeto A, la cual tiene igual magnitud pero dirección contraria a F”
A una de estas fuerzas (cualquiera de las dos) se le llama fuerza de acción, la otra recibe el
nombre de fuerza de reacción. La tercera ley establece que fuerza de reacción es exactamente de igual
magnitud que la de acción y de dirección contraria. Pero afirma algo más, pues nos dice que las fuerzas
actúan sobre los objetos diferentes. La fuerza de acción se ejerce sobre el cuerpo, y este produce una
fuerza de reacción en el otro cuerpo. Según la tercera ley, puede afirmarse que las fuerzas de acción y
reacción son de igual magnitud pero de dirección contraria.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.-Una masa de 2kg. Recibe una aceleración constante de 0.5 m/s2. Calcular la fuerza requerida de:
a)Newtons
b)dinas
m=2kg=2000g
a=0.5m/s2 =50cm/s2
a) f=ma =2kg (0.5m/s2)=1Nw
b) f=ma =2000g(50cm/s2) = 1x10 5 dinas
2.-Una fuerza de 25Nw. Actúa sobre una masa de 80 kg. Calcula la aceleración.
Datos Formula Sustitución Resultado
f = 25 Nw a= f/m a= 25kg.m/s2 a=0.125m/s2
m = 80 Kg. 80 kg.
3.-Un mazo de 5 kg. Se mueve con una velocidad de 4 m/s, al golpear la cabeza de un clavo,
encajándolo 1 cm en un trozo de madera. Calcular:
a)aceleración
b)el tiempo de impacto
c)la fuerza
d)el impulso
Datos Formulas sustitución Resultado
m=5kg. a) tv
a = 3105
/4−=
xsm
a a = 800m/s2
v=4m/s
d= 1cm=0.01m b)td
v2=
smm
t/4
)01.0( 2
= t = 5 x 10-3 s
c) maf = F= (5kg) (800m/s2) F= 4000 N
d) ftI = I = 4000 (5 x 10-3 s) I = 22kgm/s
4.-Un proyectil de 2 kg. es disparado por un cañón de 3.2m de largo a una velocidad de 840m/s. Calcular
la fuerza con que se lanza.
Datos Formula Sustitución resultado
kgm 2= v2= 2ad )2.3(2)/840( 2
msm
a =
d= 3.2m a= v2 a= 110250m/s2
v= 840m/s 2d
maF = f= 2kg(110250m/ s2) f= 220500N
5.-Un cuerpo que se mueve a la velocidad de 1.5 m/s tiene una cantidad de movimiento de 780 kgm/s
encuentre su masa.
Datos formula sustitución resultado
smv /5.1= mvcm = sm
skgmm
/5.1/780= .520kgm =
skgmcm /780= v
cmm =
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
El primero en describir la forma en que actúa la gravedad, fue Newton, quien encontró que todos
los cuerpos ejercen entre sí una fuerza de atracción a la que llamó fuerza gravitacional.
Newton explicó que la atracción gravitatoria mantenía a los planetas en sus órbitas alrededor del
sol, al igual que la misma fuerza mantenía a la luna en órbita alrededor de la tierra.
En 1867 Newton publicó su ley de la Gravitación universal, en ella expuso que la atracción
gravitatoria está en función de la masa de los cuerpos y de la distancia entre ellos.
Cuando mayor masa tenga un cuerpo mayor será la fuerza conque atraerá a los demás cuerpos.
Debido a ello, un hombre tiene mayor peso en la luna que en la tierra, toda vez que la masa de la tierra
es mayor a la de la luna y por lo tanto, también será mayor su fuerza gravitatoria. La fuerza gravitatoria
con la que se atraen dos cuerpos será mayor a medida que disminuya la distancia que hay entre ellos.
La tierra y los demás planetas describen una órbita, casi circular alrededor del sol. Newton sugirió
que la fuerza centrípeta que mantiene este movimiento planetario es sólo un ejemplo de una fuerza
universal denominada gravitación, que actúa sobre todas las masa que existen en el universo.
Él enunció su tesis de una ley de gravitación universal.
“Toda partícula en el universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza que es directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los
separa”
Esta proporcionalidad se suele enunciar en forma de una ecuación.
F = G . (m1 m 2 / r 2 )
Donde m1 y m2 son las masas de dos partículas cualquiera separadas por una distancia r2, tal
como se ilustra en la siguiente figura:
F = G ( m1 m2 / r2 )
m1 m2
r2
Donde F = Valor de la fuerza de atracción gravitacional en newton (N) o dinas
La constante de proporcionalidad G es una constante universal igual a :
En el SI G = 6.67 x 10 -11 N. M2 / kg2.
En en CGS G= 6.67 x 10 - 8 dina / cm2 / g2.
Resolución de problemas SOBRE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL.
1.- Calcular la fuerza gravitacional con la que se atraen dos personas, si una de ellas tiene una masa de
60 kg. Y la otra de 70 kg, y la distancia que hay entre ellas es de 1.5m.
DATOS FORMULA
F=?
m1= 60 kg. F = G . (m1 m 2 / r 2 )
m2= 70 kg
r2= 1.5 m.
G = 6.67 x 10-11 N. m2 / kg2.
SUSTITUCIÓN Y RESULTADO
F=6.67 x 10-11 N. m2 / kg2. (60kg x 70 kg, )
(1.5 m ) 2
= 12 450.66 x 10-11 N
2.- Calcular la masa de una silla si la fuerza gravitacional con que se atrae con una mesa de 20 kg es de
40 x 10-11 N y la distancia a la que se encuentran es de 4 m.
DATOS FORMULA
m = ?
m = 20 kg. . F = G . (m1 m2 / r2 )
F= 40 x 10 -11N
r= 4m DESPEJANDO
G= 6.67 x 10-11 N. m2 / kg2. m1 = F r 2
G m2
SUSTITUCION Y RESULTADO
m1 = 40 x 10 -11 N ( 4 m)2
6.67 x 10-11 N. m2 / kg2 x 20 kg
m1 = 4.79 kg.
3.- Determinar la fuerza gravitacional que ejercerá la tierra sobre un cuerpo cuya masa es de 1kg, al estar
colocada en un punto donde el radio terrestre es de 6.336 x 106 m. La masa de la tierra es de 5.9 x1024
kg.
DATOS FORMULA
m1= 1 kg
m2= 5.9 x 1024 kg F = G . (m1 m2 / r2 )
r= 6.336 x 106 m
F = ?
G= 6.67 x 10-11 N. m2 / kg2.
SUSTITUCIÖN Y RESULTADO
F=6.67 x 10-11 N. m2 / kg2 x (1 kg x 5.9 x 1024 kg)
(6.336 x 106 m)2
F= 9.8 N
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1.- Determine la fuerza gravitacional con la que se atraen un miniauto de 1 200 kg. Con un camión de
carga de 4 500 kg. al estar separados a una distancia de 5 m.
2.-Una barra metálica cuyo peso es de 800 N se acerca a otra de 1 200 N, hasta que la distancia entre
sus centros de gravedad es de 80cm. ¿Con qué fuerza se atraen?.
3.- ¿A qué distancia se encuentran dos elefantes cuyas masas son: 1.2 x 103 kg, y 1.5 x 103 kg, y se
atraen con una fuerza gravitacional de 4.8 x 10-6 N?
4.- Calcular la distancia que debe haber entre un libro de 850 g y un pisapapeles de 300 g, para que se
atraigan con ene fuerza de 1.9 x 10-5 N.
TRABAJO Y POTENCIA
Siempre que una fuerza actúa a distancia se realiza un trabajo, el cual es posible predecir o
medir. La capacidad de realizar trabajo se define como energía y el ritmo al cual se lleva a cabo
serán definido como potencia (Tippens, 1998).
Cuando tratamos de arrastrar un bloque con una cuerda, no pasa nada si la fuerza que se aplica
es menor que el peso del objeto, sin embargo estamos ejerciendo una fuerza. Por otro lado, si
incrementamos en forma continua esta fuerza, llegará un momento en que él bloque se desplazará.
En este caso hemos logrado el desplazamiento del bloque a cambio del incremento de fuerza. Este
logro se define en física como trabajo (Tippens, 1998; Stephen, 1997).
Según ( Tippens, 1998) menciona que para que se realice trabajo deben de reunir las siguientes
condiciones.
• Debe de existir una fuerza aplicada
• La fuerza debe de actuar a través de cierta distancia, llamada desplazamiento.
• La fuerza debe de tener un componente a lo largo del desplazamiento.
Suponiendo que se cumplen estas tres condiciones se puede dar una definición formal de lo que
es trabajo:
Trabajo: Es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes del desplazamiento y de la
componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. (Tippens, 1998; Stephen, 1997).
Matemáticamente trabajo lo expresamos de la siguiente forma:
Donde:
T = trabajo realizado ( Joules, watt)
Fx = Es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento (N)
s = Distancia (metros)
Como el desplazamiento no siempre es lineal, hay ocasiones que tiende a formar un ángulo con
la horizontal entonces, para esto, se utiliza generalmente la trigonometría particularmente el coseno por
lo tanto la ecuación anterior se convierte en:
))(( sFT X=
))(*( sCOSFT X θ=
Para la resolución de problemas es importante que el alumno este bien relacionado con algunas
medidas de conversión:
1J = 0.7376 ft.Lb
1ft.lb= 1.356 Joules
1 Kilo joule (KJ) = 1000J (103 J)
1Megajoule (MJ) = 1000,000 J ( 106 J)
EJERCICIOS DE TRABAJO:
1. - ¿ Qué trabajo realiza una fuerza de 60 N al arrastrar un bloque. A través de una distancia de 50 m,
cuando la fuerza es trasmitida por medio de una cuerda que forma un ángulo de 30° con la horizontal?.
DATOS FORMULAS SUSTITUCIÓN
°===
30506
COS
msNF
θ
))((
))((
sFT
COSFF
X
X
== θ
NF
COSNF
X
X
0.52
)38)(60(
=°=
mNT
mNT
.26000)50)(52(
==
2. - ¿Qué trabajo realiza una carreta que emplea una fuerza de 2 N al arrastrar un objeto hasta una
distancia de 200 metros. Si para tal efecto utiliza una cuerda de dos pulgadas de espesor y el ángulo
que forma esta con la horizontal es de 45°?.
DATOS FÓRMULAS SUSTITUCIÓN
°===
452002
COS
mSNF
θ
))((
))(
sFT
COSFF
X
X
== θ
NF
COSNF
X
X
04.1
)45)(2(
=°=
mNT
MNT.208
)200)(04.1(==
3. -Un remolcador ejerce una fuerza constante de 4000N sobre un barco y lo mueve una distancia de 15
m a través del puerto ¿Qué trabajo realiza el remolcador?
DATOS FÓRMULAS SUSTITUCIÓN
===
T
msNF
154000
SFT *= mNT
mNT
.000,60)15)(4000(
==
Resuelva los siguientes ejercicios
1. - Un martillo de 12 lb. tiene una masa de aproximadamente 5.44 Kg. Si el martillo se eleva hasta una
altura de 3 m, ¿Cuál es el trabajo mínimo que se requiere para hacerlo, en joules y lb.ft? R = 160J,
118ft.lb.
2. - Se aplica un trabajo externo de 400ft.lb al levantar un motor de 30 lb a velocidad constante. Si todo
este trabajo se aprovecha para ese desplazamiento, ¿A qué altura sé podrá levantar el motor? R=13.3ft
3. -Un baúl es arrastrado 24 m del suelo, usando una carga que forma un ángulo con la horizontal. La
tensión de la cuerda es de 8 N. Compare el trabajo realizado para ángulos de 0, 30 y 60°. R=192J;
166.28J; 96J.
4. - Se aplica una fuerza de 30 lb. Sobre el mango de una segadora de césped, haciendo que ésta
recorra una distancia de 40 ft a lo largo del prado. Si el mango forma un ángulo de 30° con el suelo, ¿qué
trabajo se realizo en virtud de la fuerza de 30lb así aplicada? R =1040ft.lb.
POTENCIA
En nuestra definición de trabajo, el tiempo no participa en forma alguna. Si se le da tiempo
suficiente, aun el motor menos potente puede levantar una carga enorme, sin embargo, si deseamos
realizar un trabajo con eficiencia, la rapidez con que se efectúa el trabajo se vuelve una cantidad
importante de esta forma podemos definir potencia como:
Potencia: rapidez con la que se realiza trabajo (Tippens, 1998; Stephen, 1997.
Matemáticamente la definición la podemos expresar como:
P = Potencia (Joules/s; Watt)
T = Trabajo (joules)
t = Tiempo (segundos)
también sabemos que T = F *S sustituyendo esta ecuación en la ecuación de potencia queda:
Como ts
es igual a velocidad (v) entonces, la fórmula de potencia queda:
P = F * V
Unidades de equivalencia:
1 kilowatt (KW) = 1000W (1000 J/S).
1 Megawatt ( M W ) = 1000, 000 ( 1000, 000 J /s)
1 hp = 746W = 0.746 KW
1 hp = ¾ Kw
1 hp = 550ft. lb/s
1 kw = 1. 34 hp
DondetT
P =
( )
=
tS
FP
Ejercicios:
1. -Una carga de 40 kilogramos se eleva hasta una altura de 25 m. Si la operación requiere 1
minuto, encuentre la potencia necesaria ¿ cuál es la potencia en unidades de caballos de fuerza?
DATOS FÓRMULAS SUTITUCIÓN
===
==
p
segmint
mS
KgF
6012540
tT
p
mghF
=
= JF
msmKgF
9800)25)(/81.9)(40( 2
==
WsJ
P 16360
9800==
Ahora realizando la siguiente conversión encontramos la respuesta:
hpw
Whp219.0
746163*1 =
2. -Un motor de 60 hp acciona el ascensor de un hotel. Si el peso del ascensor es de 2000 lb. ¿ Cuánto
tiempo se requiere para que el ascensor suba 120 ft?
DATOS FÓRMULAS SUTITUCIÓN
====
t
ftS
lbFhpP
12020060
PFS
t
SFT
=
= ))((
lbftXT
lbT
.104.2
)120)(2000(5=
=
y como 1 hp es igual 550 ft.lb/s, entonces realizando una regla de tres simple encontramos la
potencia desarrollada:
3. -Una masa de 40kg es elevada una distancia de 20m en 3 s.¿ Qué potencia promedio se empleó?
DATOS FÓRMULAS SUTITUCIÓN
st
smg
mh
kgm
3/81.9
2040
2
==
==
t
hgmP
**=
sJmsmkg
P /26163
20*/81.9*40 2
==
Ahora realizando conversiones:
WsJ
sJW2616
/1/2616*1 = y Kw
wWkw
61.22616
1000*1 =
sslbftX
lbftXP 27.7
/.103.3.104.2
4
5
==
Realiza los siguientes ejercicios
1. - Un transportador de banda eleva 500 ton de mineral por hora a una altura de 90 ft. ¿Cuántos caballos
de fuerza se requieren en promedio para su operación? R = 3.65 hp
2. - Un ascensor de 300 kg se eleva con una velocidad constante hasta una distancia vertical de 100m
en 2 min. ¿Cuánta potencia útil desarrolló el ascensor? R = 2452.5 J/s
¿3? - ¿A qué velocidad constante podría levantar un ascensor de 40 hp una carga de 2 ton, si fuera
posible utilizar toda la potencia desarrollada?
R = 5.50 f t/s
ENERGÍA CINÉTICA Y POTENCIAL.
El concepto de energía es uno de los más importantes en el mundo de la ciencia. En su uso
ordinario, el término energía tiene que ver con el costo del combustible para el transporte y la calefacción,
de la electricidad para el alumbrado y los aparatos eléctricos, y de los alimentos que consumimos. Sin
embargo, en la realidad estas ideas no definen la energía. Ellas nos dicen sólo que se necesitan
combustibles para hacer un trabajo y que estos nos proporcionan algo que llamamos energía.
La energía está presente en el universo en una diversidad de formas, entre las que se cuentan
la energía mecánica, la energía química, la electromagnética y la nuclear. Es una propiedad inherente
a los cuerpos materiales, los cuales al transformarse por medio de reacciones químicas, o por cambios
de tipo físico, pueden liberar parte de su energía en nuevas formas de energías, por lo tanto la
definición más acertada de energía es aquella que menciona que es la capacidad que tienen los
cuerpos para realizar un trabajo.
La unidad usada para cuantificar la energía es la misma que se emplea para medir el trabajo, es
decir el joule:
2
2
2.1s
kgmm
skgm
mNJ =
==
Fuentes de energía:
Clases de energía:
a) Energía solar: Se produce y es liberada por el Sol. Es fundamental para la vida en la Tierra. La
energía solar llega hasta la tierra en forma de luz y calor.
El sol emite radiaciones en todas las direcciones, pero un pequeño porcentaje de esta energía es
ocupada por la Tierra.
De esto se deduce que la energía solar se manifiesta y llega al planeta como energía lumínica, la
cual permite la visión o ver los objetos o cosas durante el día y además, que ocurra un proceso
vital para la vida de los animales y del hombre, la fotosíntesis.
a) Energía radiante: es la producida por ondas electromagnéticas que se caracterizan por su
propagación en el vacío a una velocidad de 300 000 s
km.
b) Energía nuclear: Es la originada por la energía que mantiene unidas las partículas en el núcleo
de los átomos. Es liberada en forma de energía calorífica y radiante cuando se produce una
reacción de fusión, caracterizado por la unión de dos núcleos ligeros para formar uno mayor.
c) Energía química: Es producida cuando las sustancias reaccionan entre sí alterando la
constitución íntima . La energía química está almacenada en los cuerpos, por lo tanto, es una
forma de energía potencial. Por ejemplo: el carbón, la bencina, el pan, la parafina, petróleo, la
madera, alcohol, vegetales, etcétera, por su composición, tienen energía química y esta se puede
transformar en otras formas de energía cuando estos se ocupan.
En el caso de una estufa a parafina, cuando esta se enciende, la parafina al combustionarse se
transforma en energía calórica que sirve para calefaccionar una habitación, además, se produce
energía luminosa. La combustión de la gasolina en un automovil en el motor del auto, permite
que este adquiera y permanezca en movimiento, hasta que la gasolina se agote.
d) Energía eléctrica: Se produce cuando a través de un conductor se logra un movimiento o flujo
de electrones.
e) Energía calorífica: Se produce por la combustión de carbón, madera petróleo, gas natural y otros
combustibles.
f) Energía hidráulica: Se aprovecha cuando la corriente de agua mueve un molino o la caída de
agua de una presa mueve una turbina.
g) Energía eólica: Es producida por el movimiento del viento. Esta forma de energía se utiliza hace
muchos años; desde el pasado han existido los molinos de viento conectados con una piedra
grande, la que al girar muele y tritura el trigo. De este modo se obtenía antiguamente la harina.
Actualmente, la energía eólica se utiliza para obtener agua por bombeo de los pozos, además,
permite obtener energía eléctrica. En las centrales eólicas existen varias hélices que se mueven
gracias al viento. El movimiento genera energía cinética, la cual se transforma en energía
eléctrica por medio de un generador eléctrico. Este tipo de energía es muy usada en el estado de
California (Estados Unidos), en Holanda y en España. Es muy económica y quizás sea una
excelente alternativa para el futuro en aquellos países que cuentan con las condiciones climáticas
adecuadas.
h) Energía calórica: Es la producida por la fricción de los cuerpos.
i) Energía sonora: Se produce por ondas vibratorias a través del aire.
j) Energía geotérmica: Proviene del centro de la Tierra y se libera como energía calórica. El calor
que se libera en este tipo de energía derrite las rocas y además calienta las aguas subterráneas,
provocando vapor de agua, el que está a una presión tal, que al hacerlo pasar por un generador
es capaz de producir energía eléctrica.
k) Energía magnética: Esta la encontramos en las manifestaciones de campos magnéticos
producidos por imanes y en cuerpos cargados energizados.
l) Energía mecánica: Es aquella forma de energía que poseen los cuerpos capaces de producir
movimiento en otros cuerpos. Involucra dos tipos de energía que son:
a) Energía cinética: es la que posee todo cuerpo en movimiento. Por ejemplo, cuando se lanza una
pelota, esta adquiere energía cinética, también poseen esta forma de energía una persona que corre, una
cascada, un automóvil en marcha, etcétera.
Para que un cuerpo adquiera energía cinética es necesario realizar un trabajo sobre él, de tal
forma que una fuerza constante al actuar sobre el cuerpo lo desplace aumentando su velocidad. Por
tanto, el trabajo realizado por la fuerza al actuar sobre el cuerpo será igual al cambio en la energía
cinética del mismo.
Energía cinética (Ec ó k ) = Trabajo (T)
FdTEc == ........(1)
donde:
Ec = Energía cinética
T = Trabajo
F = Fuerza
d = Distancia
De la segunda ley de Newton tenemos que:
maF = ..........(2)
Sustituimos la ecuación 2 en la 1 y tenemos:
madEc = ..............(3)
Cuando un cuerpo se acelera desde el reposo, la distancia será:
2
21
atd = .........(4)
Sustituimos la ecuación 4 en la 3.
( )22
21
21
atmatmaEc == ..........(5)
Cuando un cuerpo se acelera desde el reposo, la velocidad que adquiere durante un intervalo de tiempo
es:
atv = ........(6)
Se eleva al cuadrado la ecuación 6:
( )22 atv = ...............(7)
Ahora sustituimos al ecuación 7 en la 5 tenemos:
2
21
mvEc =
Donde: la energía cinética de un cuerpo es igual a ”un medio del producto de su masa por el
cuadrado de la velocidad que lleva”.
La energía cinética es una cantidad escalar y tiene las misma unidades que el trabajo, el Joule.
Jjoules
kgmEc ===
2
2
Recordemos que cuando un cuerpo se encuentra en movimiento es capaz de realizar un
trabajo, el cual será igual al cambio que experimenta e su energía cinética.
21 EcEcEcT −=∆=
b) Energía potencial: Es la energía que tienen los cuerpos que están en reposo y depende de la
posición del cuerpo en el espacio: a mayor altura, mayor será su energía potencial. Por ejemplo, una roca
que está en la punta de un cerro posee energía potencial. También poseen esta forma de energía un
macetero que está en el balcón de un edificio, un cuadro colgado en la pared, etcétera.
Cuando levantamos un cuerpo una cierta altura (h) debemos efectuar un trabajo, igual al producto de
la fuerza aplicada por la altura a la que fue desplazado. Este trabajo se convierte en energía potencial , el
cual al caer, será capaz de realizar un trabajo del mismo valor sobre cualquier objeto en el que caiga
FhTEp ==
Donde:
Ep = Energía potencial
T = Trabajo
F = Fuerza
h= Altura
Como la fuerza que se debe aplicar a un cuerpo para elevarlo a una cierta altura es igual a su
peso, tenemos que:
mgPF ==
donde la energía potencial es igual a:
mghEp =
La unidad usada para mediar la energía potencial en el sistema internacional es el Joule, por lo
siguiente:
Tomando como base la fórmula anterior:
msm
kgEp2
= por lo tanto
JJoules
kgmEp ===
2
2
Es importante tomar en cuenta que la energía potencial de un cuerpo localizado a cierta altura
depende del nivel que se tome como referencia.
La energía potencial también puede transformarse en otras formas de energía, por ejemplo,
cuando se suelta una pelota u otro objeto situada a una cierta altura, la energía potencial se transforma
en energía cinética.
Ejercicios:
1.- ¿Cuál es la energía cinética de un balón de futbol si pesa 4.5 N y lleva un velocidad de 15 .sm
a) Primero sacamos los datos:
Ec = ?
P =4.5 N
V= 15 sm
b) Escribimos la fórmula para obtener la energía cinética.
2
21
mvEc =
Observamos que para poder resolver el problema nos hace falta un dato, la masa, pero ésta la
podemos obtener del peso, porque mgP = despejando masa:
gp
m =
2
2
8.9
5.4
sms
kgm
m = = 0.46 kg
c) Ahora sustituimos nuestros valores en la fórmula de energía cinética:
2
1546.021
=
sm
kgEc
JEc 75.51=
2.- Calcular la energía potencial de una piedra de 2.5 Kg si se eleva a una altura de 2 m.
a) Escribimos los datos:
Ep= ?
m = 2.5 kg
h = 2 m
b) Escribimos la fórmula de energía potencial:
mghEp =
c) Sustituimos nuestros datos:
( ) ( )msm
kgEp 28.95.22
=
2
2
49s
kgmEp =
JEp 49=
Ejercicios:
1.- Un carburador de 250 gr. Se mantiene a 200 mm sobre un banco de trabajo que está a 1m del
suelo. Calcule la energía potencial con respecto a:
a) La parte superior del banco.
b) El piso.
2.- ¿Cuál es la energía cinética de:
a) Una bala de 5 gr. Que se mueve a una velocidad de 200 m/s.
b) Un proyectil de 64 lb cuando su velocidad es de 40 ft/s.
3.- ¿Cuántos Joules de energía cinética tiene un libro de 1 kg cuando es arrojado a través de una
habitación a una rapidez de 2 m/s?.
4.- ¿ Cuantos Joules de energía potencial tiene un libro de 1 kg cuando es levantado 4m?.
Anexo 1
Unidades derivadas
Magnitud Unidad Símbolo En términos de
otras unidades
Ángulo plano radián rad
Ángulo Sólido esterradián sr
Superficie metro cuadrado m2
Volumen metro cúbico m3
Frecuencia hertz Hz
Densidadkilogramo entre metro
cúbicokg/m3
Velocidad metro por segundo m/s
Velocidad angular radián por segundo rad/s
Aceleraciónmetro por segundo al
cuadradom/s2
Aceleración angularradián por segundo al
cuadradorad/s2
Fuerza newton N 1 N = 1 kg m/s2
Presión (tensión mecánica) pascal Pa 1 Pa = 1 N/m2
Viscosidad cinemáticametro cuadrado por
segundom2/s (m)(m)
Viscosidad dinámicanewton-segundo por
metro 2N s/m2
Trabajo, energía, cantidad de calor Joule J 1 J = 1 N m
Potencia watt W 1 W = 1 J/s
Carga eléctrica coulomb C 1 C = 1 A s
Tensión eléctrica, diferencia de
potencial, fuerza electromotrizvolt V 1 V = 1 W/A
Intensidad de campo eléctrico volt por metro V/m
Resistencia eléctrica ohm • 1 = 1 V/A
Conductancia eléctrica siemens S 1 S = 1
Capacidad eléctrica farad F 1 F = 1 A s/V
Flujo de inducción magnética weber Wb 1 Wb = 1 V s
Inductancia heny H 1 H = 1 V s/A
Inducción magnética tesla T 1 T = 1 Wb/m2
Intensidad de campo magnético ampere por metro A/m
Flujo eléctrico ampere A
Flujo luminoso lumen lm 1 lm = 1 cd sr
Luminanciacandela por metro
cuadradocd/m2
Iluminación lux lx 1 lx = 1 lm/m2
Número de ondas metro a la menos uno m -1
Entropia joule por Kelvin J/K
Calor específico joule por kilogramo Kelvin J/kg K
Conductividad térmica watt por metro Kelvin W/m K
Intensidad energética watt por estéreo-radián W/sr
Actividad (de una fuente radiactiva) uno por segundo s -1
UNIDADES NO MÉTRICAS DE USO PERMITIDO EN EL S.I.
Magnitud Nombre Símbolo Equivalencia S.I.
Ángulo grado º1=( pi/180)rad
minuto '1'=(pi/10.8)rad=(1/60)º
segundo "1"=(1/60)"=(pi/648)rad
Tiempo minuto min1min=60s
hora h1h=60min=3,600s
día d1d=24h=86,400s
Volumen litro LL=10dm3=10-3m-3
Masa tonelada t1t=103kg=1Mg
Área hectárea ha1ha=1hm2=104m2
BIBLIOGRAFÍA
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