cuaderno parte 1.docx

8/18/2019 cuaderno parte 1.docx

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INTRODUCCION AL MUESTREO

1.1INTRODUCCION

Estadística

Censo Población

Variable

Cuantificar Continuas

Discretas

Cualificar Variables ordinales

Variables nominales

MUESTRA: Proporcion de toda la población

Estadística descriptiva: Describe datos

Estadística Inferencial: Percibir

Población Parámetro

Muestra Estadístico

InformaciRecopilar

Analizar

Interpreta

Representativa

Característica

Muestra


2/34

1.TI!OS DE MUESTREO

Muestra Probabilístico

Muestreo No Probabilístico

1."DETERMINACION DEL TAMA#O DE LA MUESTRA

Población

Ele$ent% de la $&estra

• Nivel de significancia: Es la probabilidad ue podamos incurrir en un error de

muestreo!

• Nivel de confian"a: Es la probabilidad de cuan confiable ueremos ue sea el muestreo!

• Varian"a:

p: proporción positiva

: proporción negativa• Error: Es el error a causa de observar una muestra en lugar de la población completa!

e2=(5 )2=0.052 Como má#imo puede ser $%

E'ERCICIO

Interval% de c%nfian(a para diferencia de $edias si esta$%s )a*land% de pr%$edi%s.

A :65… … … … ..95→ n A=9→ δ A2 =110,25→ ´ X A=80

B :39… … … … ..80→nB=4→ δ

B

2=174→ ´ X B=65

!as%s para &n est&di% de $&estre%

Definir %*+etiv%o &ipótesis

o Variables

o Definir población

MuestreosimpleSistemáticoEstraticado

DiscretoPor cuotas

inita

n= z2

N × p ×qe2

× ( N −1 )+ z2× p× q

p!


3/34

o Determinar tipo de muestreo

o Determinar tama'o de la muestra

o Recopilar información

o (nálisis

Ta*&lar

Inferencial

1.,. MUESTREO ALEATORIO SIM!LE

)in reposición

Meinteresa orden: N !

n ! ( N −n )!

Nome interesa orden: N !

( N −n )!

E'EM!LON*$

n*+

Numero de cal"ado ,: -+./+0/12/1+/134

5 3 + ´ X S

2=∑ ( x−´ x )

2

n

5 +. 12 12 +0/.6 +/$.

3 +. 12 +. +6/++ +/$.

+ +. 12 +. +6/++ +/$.1 12 12 +. +0/.6 +/$.

$ 12 12 +. +0/.6 +/$.

. +. 12 +. +6/++ +/$.

6 +. +. 12 +. +/$.

0 +. +. +. +6/++ +/$.

7 +. 12 +. +6/++ +/$.

52 +. 12 +. +6/++ +/$.

P ( x>37 )

N ( μ , σ ) N (38,1.87 )

)i #: peso de 8airo

P ( x>37 )=1− P ( z−37 )=1− P( z< 37−381.87 )


4/34

P ( x>37 )=1− P ( z37 )=1−0,2981

P ( x>37 )=0.7019

z=

x− μσ

P ( x


5/34

Coeficiente de elevación

n*3

k =22

6=3,67

1.. MUESTREO ESTRATI/ICADO

Considera la clasificación conforme una determinada característica

E'EM!LO

N =100

N 1=50

N 2=5

N 3=45

k = N

n

N = N 1+ N

2+ N

3+ N

4+ N

5+ N

6

Proporciona i"a n

N =

n1= N

1

n2= N

2

n1= N

1=7,5=7

n2= N

2=0,75=1n

N == 15

100=0,15


6/34

n=15

E'EM!LO

N 1=c #icos60

N 2=c #icos50

N 3=c # icos40

)olución: Desventa9a: e#iste diferencia significativa en cantidad

n N = n1

N 1= n2

N 2= n3

N 3

1.0. MUESTREO !OR CONLOMERADO

(grupación de elementos eterog;neos

Nivel acad;mico: Edad en ue ingresan los estudiantes a las universidades!

1.2. A!LICACI3N !R4CTICA

-. Cantidad total

/. conglomerado

0na de las caracter1sticas es

muestrear el conglomerado

0P20MS

0-I3A440C2

EMI 0PSA

CARIMBO

SALUDO: Objetivo de la encuesta

Información bsica:

Se!o

"dad #ona

$ %re&unta bater'a ()re&unta )rinci)al*

Consume mermelada+

Si ,o

- .u/ marca consume+

0 %referencia de consumo

Mu1 bueno Im)ortante %oco im)ortante ,ada im)ortante

Calidad

Sabor

%recio

"nvase

M


7/34

MUESTRA,: Edad

50/33/3+/3$/56/35/32/35/3+/31/57/32/32/33/3$/3./31/35/17

xi $ i i $ i /n $ i i

56 3 3 2!5 52 2!5 52

50 3 1 2!5 52 2!3 32

57 3 . 2!5 52 2!+ +2

32 + 7 2!5$ 5$ 2!1$ 1$

35 + 53 2!5$ 5$ 2!.2 .2

33 3 51 2!5 52 2!62 62

3+ 5 5$ 2!2$ $ 2!6$ 6$

31 3 56 2!5 52 2!0$ 0$

3$ 3 57 2!5 52 2!7$ 7$

3. 5 32 2!2$ $ 5!22 522

R*52


8/34

%an&o= xmax− xmin=26−17=9


9/34

xi N ( μ , σ )

( ( xi )= μ=∑ xi

n

) ( xi )=σ 2=∑ ( x i−n )

2

n

nm*estra→ ´ xi distri+*ci n m*estra

• )i la población es finita > acemos muestreo con reempla"o

xi=∑ xi

n

((∑ xin )=1n ( (∑ xi )=1n∑ x in

( ( x i )=1

n+nμ

• Población finita sin reempla"o

( ( ´ x )= μ

σ x

2=σ

2

n ( N −n N −1 )

• Estandari"ación de la media

( ( xi )= μ

σ x2=

σ 2

n

n -30 z´ x=´ xi− μ

σ

√ n


10/34

E'EM!LO

)ea una población con variables aleatorias iguales a 2/5/3/+ se toman pares de variables

aleatorias con reempla"amiento sin considerar el orden/ determine:

a4 Media > varian"a poblacional!

b4 ?a distribución de la media muestral!c4 Verifiue los teoremas de la media > desviación estándar de la media!

S%l&ci6n

Población 2/5/3/+

Población ´ x i

2!2 22!5 2!$

2!3 5

2!+ 5!$

5!2 2!$

5!5 5

5!3 5!$

5!+ 3

+!2 3!$

+!5 +!$

+!3 5

+!+ +!$

+!1 +!$

3!2 5

3!5 5!$

3!3 3

3!+ 3!$

( ( x )= μ=∑ xi

n =

0+1+2+34

n=15

) ( x )=σ 2=∑ ( x i−15 )

2

4


11/34

'

&

#

*

)

*6( '6(' & &6( #

σ 2=1,25

σ =1,118

´ xi 2 2/$ 5 5/$ 3 3/$ +

$ i 5 3 + 1 + 3 5

*

*6(

'

'6(

&

&6(

#

#6(

)

)6(

( ( ´ x )=∑ ´ xi

n =1,5

( ( ´ x )=∑ $ i ´ xi

n =1,5

σ 2

2=σ

2

n =

1,25

2


12/34

σ x

2=∑ ´ xi− [ ( ( ´ xi ) ]

2

N =

10

16=0,625

σ x2=0.625

E'EM!LO

@na empresa ue produce focos considera ue la vida Atil en oras de su producto sigue una

distribución normal con media de $2 > desviación estándar de +/$! Calcular la probabilidad ue

de una muestra de 5. focos tenga una vida Atil media mínima de 10 oras!

x i=.iempode /ida0 ti #oras

N (50,3.5 )

n=16

P ( ´ xi -48)=1− P ( ´ x 148)

z´ x=´ xi− μ

σ

√ n

¿1−( P´ xi− μ

σ

√ n


13/34

¿1−0,0113=0,9887

E'EM!LO

)e toma un foco al a"ar cuál la probabilidad ue dure a lo sumo $5 oras

P ( xi 151)= P( z 1 61−503,5 )

P ( xi 151)= P ( z


14/34

P ( ´ x>65 )=1− P( z 1 65−67

55

25×√

1000−25

1000−1 )

P ( ´ x>65 )=1− P ( z 11.88 )

P ( ´ x>65 )=1−0.0324=0.9671

b4 P (651 x 169 )= P ( x 169 )− P ( x 165 )

P (651 ´ xi 169)= P ( ´ xi 169 )− P ( ´ xi -65)

P (651 ´ xi 169)=1− P ( ´ xi>69)− P ( ´ xi -65)

P (651 ´ xi 169)= P( z 1 69−67

5.5

25 √100−25100−1

)−1+ P( 65−67

5.5

25×√

100−25100−1

) P (651 ´ xi 169)= P ( z 11.89 )−1+ P ( z 1−1.89 )

P (651 ´ xi 169)=0.0648


15/34

.1.". DISTRI5UCION MUESTRAL DE UNA !RO!ORCI3N

Distri*&ci6n 5in%$ial

B (n , p )= N !

x ! ( N − x )!× p

x× q

N − x

∴ p= 4

1203 xito

q=1− p

p Proporción

2 $ 2 44 0×1164 5=160389488 2

5 1 2!3 44 1×1164 4=28640980 $63057.

3 + 2!1 44 2×1164 3=1520760 .20+21

+ 3 2!. 44 3×1164 2=26680 5.220

1 5 2!0 44 4×1164 1=116 73!0

Muestra

s

572$60231

T%$and% para n7-1204 5=

120!

5 ! (120−5) !=190578024

) productos

defectuosos

'&* unidades

n7(

xi= prod*ctosde$ect*osos (0,1,2,3,4)


16/34

μ p=∑n*mera P i

n*mera =

0+5728196+608304+16008+928

190578024

μ p=0.033 Media de a proporci n

x i B (n , p ) N (np ,√ npq )

Proporci n N (np ,√ npq ) Par 5 metro ^ p N ( p ,√ pq )

p= x

n

x i B (n , p )

p= x i

n N (np ,√ npq )

( ( p )= (( xn )=1

n ( ( x )=

1

n np

( ( p )= P

σ 2=npq

μ=np

σ 2 p= pq

E'EM!LO

)e a estimado ue el $$% de los $2 estudiantes de estadística aprobaran/ se toma unamuestra de 0 personas! Calcule la probabilidad ue por lo menos $ o más est;n aprobados

S%l&ci6n

N*$2


17/34

xi apr*e+an

p=0.55

∴q=0.45

n=8

p ( x -5 )

media np=50×0.55=27.5

√ npq=3.517des/iaci n estandar

mediam*estra=np=8×0.55=4.4

des/iaci 6 n estandar=√ npq=1.407

P ( x -5 )=1− P ( x


18/34

¿1− P( z< 0.425−0.550.497 )

¿1− P ( z 10.15 )

¿1−(1−0.4404 )

¿0.4404

P N ( p ,√ pq )

μ= p

σ 2= pq

( ( p )= μ

σ 2 p=

pq

n

σ x

2=σ

2

n

Si 8&ere$%s deter$inar c&9ntas pre&ntas resp%ndier%n *ien

xi=n*mero de pre&*ntas +*enas

# 2 5 3 + 1 $

$ ( x ) 2!25231 2!26.0 2!3+21 2!+1$. 2!3$1 2!260

p 2 2!3 2!5 2!. 2!0 5!2

B (n , p ) 7istri+*ci n +inomia

n=5

p=0.6 Pro+a+iidad de acertar *na de eas


19/34

P ( X = x )= n !

x ! (n− x )!× p

x× q

n− x

( ( x )=np= μ

) ( x )=npq=σ 2

Proporci n P= x

n

P ( X = x )=∑ xPx

P ( P= p )=∑ pPp

→ P ( P=0.4 )=0×0.012×0.2×0.07×0.4 ×0.230=0.107

( ( p )= (( xn )× 1

n ( ( x )=np

n = p

σ 2

( p )= pq

n

( ( p )= p

E'EM!LO

()& #'*


20/34

De la totalidad de alumnos ue cursan estadística en todos los cursos de verano se estableció

ue el porcenta9e de alumnos aprobados es el 62%! )i se toma una muestra de 12 personas/

determinar la probabilidad de ue al menos +2 esten aprobados!

S%l&ci6n

xi=a*mnos apro+ados

p=0.7

q=0.3

n=40

P ( x>30 )

( ( x )=np=40×0.7=28

) ( x ) → σ x=√ npq=2.89

P ( x>30 )= P( z>29.5−282.89 )= P ( z>0.52 )

P ( x>30)=0.3015


21/34

Con proporciones

p=0.7

q=0.3

n=40

pi= x

n=

30

40=0.75

P ( p>0.75 )

) ( p ) σ ( p)=

√

pq

n

=

√

0.7×0.3

40

σ ( p)=0.072

P ( p>0.75 )= P( z> 0.7375−0.70.072 )

P ( p>0.75 )=0.3015

E'EM!LO

)i el porcenta9e de personas ue no aceptan el Puma atari es el 12% de una muestra de +2

personas determinar la probabilidad de ue al menos el .2% acepte el Puma atari!

S%l&ci6n


22/34

xi=si aceptan e P*ma 8atari

p=0.55

q=0.45

n=30

P ( x>18 )

( ( x )=np=16.15

σ ( x ) → σ x=√ npq=2.72

P ( x>18 )= P( z>17.5−16.52.72 )= P ( z>0.37 )

P ( x>18)=0.3332

C%n pr%p%rci%nes

p=0.55

q=0.45

n=30

p=0.6

( ( p )= p=0.55

) ( p ) σ ( p)=√ pq

n =√

0.55×0.45

30

σ ( p)=0.09


23/34

P ( p>0.6)= P( z> 0.583−0.550.09 )= P ( z>0.37 )

P ( p>0.6)=0.3037

2.1. DISTRIBUCION MUESTRAL DE DIFERENCIA DE MEDIAS

PROPORCIONES

N 1

N 2

μ1− μ2

´ x1−´ x

2

( ( x )= μ

( ( ´ x )= μ

( ( ´ x1−´ x2)= ( ( ´ x1 )− ( ( ´ x2 )

( ( ´ x1−´ x2)= μ1− μ2

σ ( x )2=∑ ( x i−´ x )

2

n σ

2

87notas

n4 x

4

n3 x

3

n x

N 1

N ( μ1 , σ 1 ) 9

N 2

N ( μ2 , σ 2 )n4 x

4

n3 x

3

n x

M


24/34

σ ( x )2 =

σ 2

n

σ ( ´ x1−´ x2 )2 =

σ 12

n1+

σ 22

n2

Sesgo7Estimado : Real

Ses&o=n−1

n × σ

2−σ 2

Ses&o=n σ

2−σ 2−n σ 2

n

Ses&o=−σ 2

n

Me9or estimador de la varian"a será:Ŝ

2=

n

n−1× S

2 9nses&ado

S2=∑ ( x i−´ x )

2

n−1

x2=

n−1

σ 2

× S2

& ' '=n−1

E'EM!LO

El supervisor de una planta asegura ue la varian"a del diámetro del producto es 5cm/ si

tomamos de 56 unidades cual será la probabilidad ue la varian"a muestral e#ceda a 3cm!

S%l&ci6n

σ 2=1

n=17

P ( S2>2)=2


25/34

x2=

( n−1 )

σ 2

S2=

16

1×2=32

?a probabilidad es 2!5

E'EM!LO

?a varian"a poblacional de la estatura de alumnos es s $!$cm/ si tomamos una muestra aleatoria

de 5$ personas/ cual es la probabilidad ue la varian"a de la muestra tomada sea a lo sumo

1!5cm

S%l&ci6n

σ 2=5.5

n=15

P ( S2>4.1)=2

x2=

( n−1 )

σ 2 S

2=14

5.5×4.1=10.44


26/34

1−0.75=0.25

E'EM!LO

?a varian"a poblacional de una variable aleatoria es igual a . si se toma una muestra de 3$

unidades determine la probabilidad ue la varian"a muestral sea:

a4 ( 7!5

b4 )e encuentre entre +!1. > 52!61

S%l&ci6n

σ 2=6

n=25

a¿ P ( S2>9.1)=2

x2=

( n−1 )

σ 2

S2=

24

6×9.1=36.4

?a probabilidad ue e#cede a 7!5 es de $%

+¿ P (3.46


27/34

x2=24

6×10.74=42.96

P (¿10.74 )− P (S2>3.46 )=0.95−0.01=0.94

R( PRP3.46 )=1− P (S2>10.74 )−(1− P ( S2>3.46 ))

P (¿10.74 )− P (S2>3.46 )=− P ( S2>1074 )+ P (S2>3.46 )

P (¿10.74 )− P (S2>3.46 )=−0.01+0.95

P (¿10.74 )− P (S2>3.46 )=0.94

E'EM!LO

?a varian"a poblacional de una variable aleatoria es 52 si se toma una muestra de 3$

unidades cual la probabilidad ue la desviación estándar de la muestra

a4 sea ma>or a 3!12

b4 cual la probabilidad ue la varian"a muestral sea como mínimo $!56 > a lo sumo

55!6$


28/34

c4

S%l&ci6n

σ 2=10

n=25

a¿ P ( S2>5.76)=2

x2=

( n−1 )

σ 2

S2=

24

10×5.76=13.824

P ( S2

>5.76

)=0.95

+¿ P (5.17


29/34

Ses%: Estimado=Real*2

Estimadores*insesgado

μ( ´ x )= μ inses&ado

Ses&o=−σ 2

n

Eficiente: ) ( x1) 1) ( x2)

C%nsistencia:

σ x2=

σ 2

n

μ ( x )= μ

S&ficiente: odas las características de la , en la población!

Estimadores ue ueremos predecir la media > la varian"a/ con estos dos estimadores se

puede e#plicar las características de dica variable!

.". ESTIMACION !UNTUAL

3!+!5 M;todos de estimación por momento

→ ( ( x )=∑ xi

n

( ( ´ x )=∑ x i

n =´ x= μ

→ ( ( x2 )=∑ x2

n =2momento=/arianza de a po+acion

n4


30/34

( ( xk )=∑ xik

n

N x (2,4,6,8 ) po+acion q*etoma esos c*atro /aores

$== ∑

n

# u i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

# # i 33333

3 $0$.$1$3 −+−+−+−=−

= ∑

σ

1

$3

=

=

σ

u

omar dos valores con repetición para asegurar/ ue cada uno de estos valores sean

independientes!

523$ =C


31/34

muestra una es ellos de uno Cada

00

.0

10

30

0.1.

3.

01

.1

11

31

03

.3

13

33

iable una constitu>e )e

u sesgada es corregida no Varian"a #

var

20

56

1.76

2.

5$

11

1.

5$

21

5+7$

11

5+

23

$F$F 33

↓

==⇒ σ σ

( ) u # E =

media poblacional

( ) $== ∑n

# # E

i

n sale del total de muestras

Varian"a partiendo de mis muestras

$/33 =s

$/3$3

5

5

3

33

==

−=

s

n

n

s σ

Cuasi;arianza

( )$/35

3

5G 33 =

−

= s n

n s


32/34

⇒= $G3s estimador sesgado

Dada una población cu 4adistribución muestral de la media b>4a distribución muestral de la ;arianza c> la

media < la ;arianza poblacional a tra;?s de las muestras6

- !@*=#='=(=)> con reposición

Muestras

11

$1+1

51

21

1$

$$

5$

+$

2$

15

$5

55

+5

25

1+

$+

5+

++2+

12

$2

52

+2

22

21

63/53$

3$/2$/1

3$/3$/3

3/2$/+

13

3$/2$/1

2$

1+

51

3$/.$/33$/3$/3

1+

25

53

3$/2$/2

3$/2$/+

51

53

3$/3$/5

13

3$/.$/3

3$/2$/2

3$/3$/5

22

3

3

=

∑σ

σ #

( )

( )

( )

./3G

+/553

3G

5G

+/5

./33

53

5

11/+

./3

./3

3

3

33

3

3

33

3

=

−=

−=

=

−=

−=

=

=

== ∑

s

s

s n

n s

s

s

n

n s

u n

# # E i

σ

σ

21/25220/2$/221/22 ⋅+⋅+⋅Para obtener media poblacional


33/34

2 2/$ 5 5/$ 3 3/$ + +/$ 1 1/$ $

5 3 5 3 1 1 + 3 + 3 5

2/21 2/20 2/21 2/20 2/5. 2/5. 2/53 2/20 2/53 2/20 2/21


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cuaderno parte 1.docx

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