cuadernillos de 2º eso. catalán

________________________________ INS ____________________________

INS _______________________

QUADERN Núm. 1 NOM: ______________________________ DATA: / /

Potències i arrels amb nombres enters - 1 -

Potències i arrels amb nombres enters

Continguts

1. Potències d’un nombre enter

Què és una potència? Signe d’una potència

2. Operacions amb potències

Potència de productes i quocients Producte i quocient de potències Potència d’una potència

3. Potències de base 10. Notació científica

Potències de base 10 Notació científica

4. Quadrats perfectes. Arrels quadrades

Quadrats perfectes Arrels quadrades

Objectius

• Expressar multiplicacions d’un nombre per ell mateix en forma de potència.

• Efectuar operacions amb potències.

• Treballar amb potències de base 10.

• Expressar nombres en notació científica.

• Calcular arrels quadrades.

• Realitzar càlculs amb l’ajut d’una calculadora. Autora: Montserrat Gelis Bosch Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________



Segur que més d’una vegada hauràs parlat de _____________ o de _________ en referir-te a un ordinador. Però, a què ens referim realment quan anomenem aquestes unitats? La unitat ______________ per representar la informació emmagatzemada en un ordinador és el bit. _____ (de binary digit, dígit binari) equival a escriure un 0 o un 1 en un ordinador.

Per representar més informació s’usen ______________. Per exemple 11001110 és un Byte. A partir d’aquí, les unitats es calculen fent servir ________________ 1 Kilobyte equival a __________ Bytes 1 KB = 210 Bytes

Després del Kilobyte s’utilitzen dues mesures que de ben segur que et sonaran més: El ____________, que equival a 1024 KB : 1 MB = 210 KB El ____________, que equival a 1024 MB : 1 GB = 210 MB

Y què tenim després del Giga?

El _________________, 1 TB = 210 GB

El _________________, 1 PB = 210 TB

El _________________, 1 EB = 210 PB

El _________________, 1 ZB = 210 EB

El _________________, 1 YB = 210 ZB

Per tal que et facis una idea de les enormes quantitats d’emmagatzemament d’informació que estem manipulant, veiem un exemple: Quants MB equivalen a 1 YB? 1 YB = ______ = ________ = 230 PB = 240 TB = = ________________ = 260 MB = 1152921504606846976 MB

Una potència de base un enter i exponent un natural és una multiplicació repetida.

Fes clic al botó

que apareix a la pantalla per repassar les operacions combinades.

Prem Per anar a la pàgina següent

INS _______________________



1. Potències d’un nombre enter

1.a. Què és una potència? Llegeix el text de la pantalla. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Què és una potència? Com s’anomena el factor que es repeteix? Què indica l’exponent? Modifica la base i l’exponent de l’escena i comprova el resultat. Prem Per seguir les indicacions Seguint les indicacions de l’escena, observa el resultat d’una potència quan la base és zero i en quan la base sigui negativa. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Quin és el resultat d’una potència de base zero? Què és el que no has d’oblidar quan desenvolupis una potència de base negativa?

Calcula les següents potències i comprova els resultats a l’escena de la pantalla:

=37 ( ) =− 26 ( ) =− 53

=05 =71 ( ) =− 51

( ) =− 08 =211 =30

En acabar pots anar al següent apartat Prem per anar a la pàgina següent

1.b. Signe de potències de nombres enters Quan es calculen potències de base un nombre enter, hem d’estar atents al signe de la base i al de l’exponent. També és important distingir exactament a quin nombre afecta l’exponent. Llegeix amb atenció el text de l’ escena Prem per seguir les indicacions. Comprova els resultats amb diversos exemples i completa la taula següent:

BASE EXPONENT RESULTAT Positiva Parell o Senar

Negativa Parell

Negativa Senar

INS _______________________



Fes clic sobre el botó

Per fer exercicis.

Quan s’obre l’escena pots veure sis potències i sis nombres que has de col·locar a la dreta de la potència de igual valor. Si estan tots ben col·locats l’escena t’ho indicarà. Repeteix l’exercici les vegades que necessitis. Fes correspondre amb fletxes les potències i el resultat que els correspongui:

=29 -343

=23 81

( ) =32 9

=− 21 8

( ) =− 29 -1

( ) =−− 37 81

Ha arribat el moment de comprovar tot el que has après. Realitza els següents exercicis sense l’ordinador. Un cop els hagis fet el/la professor/a et dirà si els pots comprovar amb l’ordinador utilitzant les escenes de Descartes amb les quals has treballat.

En acabar pots anar al següent apartat Prem Per anar a la pàgina següent

EXERCICIS 1. Calcula el valor de les potències següents: 42, -42, (-4)2 i -40

42 = -42 =

(-4)2 = -40 =

2. Calcula el valor de les potències: -35, (-3)5, (-3)0 i -30

-35 = (-3)5 =

(-3)0 = -30 =

INS _______________________



2. Operacions amb potències 2.a. Potència de productes i quocients Llegeix a la pantalla l’explicació d’aquestes dues operacions i comprova les propietats amb diversos exemples. Prem per seguir les indicacions. EXERCICI: Escriu les fórmules i exemples que pots obtenir de l’escena: Exemples (tria la propietat a l’escena) Propietat Fórmula Desenvolupament Resultat

Producte amb la mateixa potència

Quocient amb la mateixa potència


Per fer exercicis.

Quan s’obre l’escena podràs practicar amb potències de productes i quocients.


2.b. Producte i quocient de potències de la mateixa base Llegeix a la pantalla l’explicació d’aquestes dues operacions. Practica amb l’escena fins que entenguis bé els conceptes. Per veure un exemple fes clic a Producte o Quocient. Prem Un altre exemple fins que vegis clar la forma de multiplicar i dividir potències de la mateixa base. EXERCICI: Escriu les fórmules i tres exemples que pots obtenir de l’escena:

Exemples (tria la propietat a l’escena)

Propietat Fórmula Desenvolupament Resultat

Producte amb la mateixa base

Quocient amb la mateixa base

INS _______________________




Per fer exercicis.


2.c. Potència d’una potència Llegeix a la pantalla l’explicació de com s’efectua la potència d’una potència. Observa uns quants exemples de l’escena fins que entenguis bé la manera de fer el càlcul. Fes clic Per veure com es calcula.

EXERCICI: Escriu la fórmula i tres exemples que pots obtenir de l’escena:

Exemples

Propietat Fórmula Desenvolupament Resultat

Potència d’una potència


Per fer exercicis de potències

Abans de veure la solució, fes-los amb llapis i paper i després comprova si els has fet bé. Realitza diversos exercicis fins a tenir quatre èxits consecutius. Ha arribat el moment de comprovar tot el que has après. Realitza els següents exercicis sense l’ordinador. Un cop els hagis fet el/la professor/a et dirà si els pots comprovar amb l’ordinador utilitzant les escenes de Descartes amb les quals has treballat.


EXERCICIS 3. Calcula el valor de les següents productes i quocients:

a) 3)52( ⋅ b) ( )4310 ⋅ c) 5

36

d) 2

25

4. Expressa en forma de potència:

a) 323 )5·(5 b) 2

74

2

2·2 c)

59

42

INS _______________________



3. Potències de base 10. Notació científica 3.a. Potències de base 10. Descomposició polinòmica d’un nombre Per veure com es realitza la descomposició polinòmica d’un nombre:

Fes clic sobre el botó per començar l’animació Fes clic sobre Un exemple més i intenta fer la descomposició abans de començar l’animació. Repeteix l’exercici unes quantes vegades i després comprova si la teva solució és la correcta.


Per fer exercicis.

Escriu la descomposició a la taula següent: Nombre Descomposició


3.b. Notació científica Para facilitar la lectura de quantitats molt grans o molt petites que apareixen sovint en el treball científic s’utilitza la notació científica. Llegeix a la pantalla l’explicació de com es pot passar un nombre decimal a notació científica i a l’inrevés. Practica amb l’escena fins a entendre bé la forma de fer el càlcul i escriu un exemple de cada opció: Exemples Nombre Resultat

Passar Nombre Gran a Notació Científica

Passar Nombre Petit a Notació Científica

Passar de Notació Científica a Nombre Gran

Passar de Notació Científica a Nombre Petit

EXERCICI: Com s’anomena el decimal que multiplica a la potència de 10? ________________


Per fer exercicis de notació científica.

Repeteix l’exercici tantes vegades com faci falta .


INS _______________________





4. Quadrats perfectes. Arrels quadrades 4.a. Quadrats perfectes Llegeix a la pantalla l’explicació i respon. 1.- Què és un quadrat perfecte? ________________________________ Utilitza el control i tria diversos nombres per obtenir quadrats perfectes. 2.- Perquè als quadrats perfectes se’ls anomena quadrats? _________________________ Escriu els quadrats perfectes dels deu primers nombres naturals:


Per fer exercicis de quadrats perfectes.

En acabar pots anar al següent apartat


4.b. Arrels quadrades Selecciona un nombre de dues xifres i observa a la pantalla el procediment per obtenir l’arrel quadrada. Fes clic sobre Un exemple més fins que entenguis bé el mètode. EXERCICI: Fes clic sobre Un exemple més per obtenir un nombre de dues xifres. Calcula l’arrel quadrada i comprova el resultat a l’escena. �

EXERCICIS 5. Fes la descomposició polinòmica de 18067.

6. Troba la descomposició polinòmica d’un nombre que té 4 desenes, 5 unitats, 8 centenes i 7 unitats de miler.

7. Expressa 4560000000 en notació científica.

8. Expressa 0,000000000000243 en notació científica.

9. Quin nombre decimal es correspon amb 5,27·108?

10. Quin nombre decimal es correspon amb 1,327·10-9?

11. El nombre 345,9·10-12 no està escrit correctament en notació científica. Escriu-lo de forma correcta.

INS _______________________



Ara selecciona un nombre de tres xifres i observa com s’obté l’arrel quadrada. Fes clic sobre Un exemple més fins que entenguis bé el mètode. EXERCICI: Fes clic sobre Un exemple més per obtenir un nombre de tres xifres. Calcula l’arrel quadrada i comprova el resultat a l’escena. �

Tria un nombre de dues xifres i calcula l’arrel quadrada. Comprova la solució a l’escena Repeteix l’exercici unes quantes vegades.

Repeteix l’exercici amb un nombre de tres xifres i calcula l’arrel quadrada. Comprova la solució a l’escena. Repeteix l’exercici unes quantes vegades.




Per fer exercicis sobre arrels quadrades.

EXERCICIS

12. Indica si els nombres 123, 169 y 258 són quadrats perfectes.

13. Amb un decimal, calcula l’arrel quadrada de 83.

14. Calcula l’arrel quadrada de 798, amb una xifra decimal.

INS _______________________



Recorda el més important – RESUM

Com es fa la potència d’un producte?

Com es fa la potència d’un quocient?

Com es multipliquen potències amb la mateixa base?

Com es divideixen potències amb la mateixa base?

Com es fa la potència d’una potència?

Quines parts té un nombre en notació científica?

Com es fa una arrel quadrada?


INS _______________________



Per practicar

Ara pots practicar resolent diferents EXERCICIS. A les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de:

Operacions amb potències Notació científica, quadrats perfectes i arrels quadrades

Procura fer-ne almenys un de cada classe i un cop resolt comprova la solució. Completa l’enunciat amb les dades dels que t’apareixen a cada EXERCICI a la pantalla i després el resols. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si l’has fet bé. En els següents EXERCICIS d’operacions amb potències tria una de les opcions i escriu a continuació l’enunciat, després resol en el requadre de la dreta i finalment comprova la solució a l’ordinador.

Fes-ne com a mínim dos de cada tipus.

1. Definició de potència: Enunciat Solució

a)

b)

2. Potència d’un producte: Enunciat Solució

a)

b)

3. Potència d’un quocient: Enunciat Solució

a)

b)

4. Producte de potències: Enunciat Solució

a)

b)

5. Potència d’una potència: Enunciat Solució

a)

b)

INS _______________________



En els següents EXERCICIS de Notació científica, quadrats perfectes i arrels quadrades tria una de les opcions i escriu a continuació l’enunciat, després resol en el requadre de la dreta i finalment comprova la solució a l’ordinador.

Fes-ne com a mínim dos de cada tipus.

1. Notació científica: Solució

a) Escriu en notació científica:_______________________

b) Escriu en notació científica: _______________________

c) Quin nombre decimal és __________________________ ?

d) Quin nombre decimal és __________________________ ?

2. Quadrats perfectes: Solució

a) És quadrat perfecte el nombre ______________ ?

b) És quadrat perfecte el nombre ______________ ?

3. Arrels quadrades:

a)

b)


INS _______________________



Autoavaluació

Completa aquí cadascun dels enunciats que va proposant l’ordinador i resol, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

Quin és el resultat de __________ ?

Quin és el resultat de __________ ?

Quin és el valor de __________ ?

Calcula el valor de _______ (fins a quatre decimals si els té)

Indica el resultat en forma de potència de fer ________________

En forma de potència, digues el resultat de ________________

Dóna el resultat en forma de potència, en calcular ________

Escriu en notació científica el nombre ________

Escriu el decimal que correspon a ______

Troba amb una xifra decimal

INS ________________________

QUADERN Núm. 2 NOM: ____________________________ DATA: / /

Fraccions - 1 -

Fraccions

Continguts 1. Fraccions

Fraccions equivalents Simplificació de Fraccions

2. Fraccions amb el mateix denominador Reducció a comú denominador Comparació de fraccions

3. Operacions amb fraccions Suma i resta Producte Quocient Potència Arrel quadrada Operacions combinades

4. Aplicacions Problemes d'aplicació

Objectius

• Veure si dues fraccions són equivalents.

• Simplificar fraccions.

• Reduir fraccions al mateix denominador.

• Sumar i restar fraccions.

• Multiplicar i dividir fraccions.

• Obtenir la inversa d'una fracció.

• Calcular potències d'una fracció.

• Trobar l'arrel quadrada d'una fracció. Autora: Montserrat Gelis Bosch Sota llicència

Versió en català: Francesc Casassas Canals Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS ________________________


Fraccions - 2 -

Ja coneixes el treball amb fraccions. Ja saps que una fracció es pot veure des d'una triple perspectiva. Completa: Pots veure una fracció simplement com un _____________. També com una ________________________. O també pots interpretar una fracció com un ________________.

Recorda

Quan treballis amb fraccions, de vegades necessitaràs descompondre un nombre en factors, i també calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres.

Fes clic al botó

Si necessites repassar la factorització d'un nombre, i el mínim comú múltiple de dos o més nombres.

Clica

Per anar a la pàgina següent.

1. Fraccions

1.a. Fraccions equivalents Llegeix el text de pantalla. CONTESTA AQUESTES QUESTIONS: RESPOSTES

Què significa que dues fraccions siguin equivalents?

Si

Indica quins valors són els extrems i quins els mitjans.

Quina condició compleixen els mitjans i els extrems de dues fraccions equivalents?

A l'escena de la dreta de la pantalla, observa amb diversos exemples com comprovar si dues fraccions són equivalents.

Fes clic al botó

Per fer exercicis de fraccions equivalents.

Trobaràs dos tipus d'exercicis diferents:

• Donada una fracció trobar-ne una altra d'equivalent a ella. • Estudiar si són equivalents dues fraccions donades.

INS ________________________


Fraccions - 3 -

Escriu exercicis de cada tipus en els següents requadres i resol-los. Donada una fracció trobar-ne una altra d'equivalent a ella:

Fracció proposada

Resposta Fracció proposada



Resposta

Estudiar si són equivalents dues fraccions donades:

Fraccions proposades

Són equivalents?


Són equivalents?


Són equivalents?

Clica


1.b. Simplificació de Fraccions Llegeix amb atenció el text de la pantalla i observa a l'escena de la dreta com es simplifica una fracció.

Clica Per seguir les indicacions.

Observa diversos exemples i completa:

Fes clic al botó

per fer exercicis de simplificació de fraccions.

Escriu quatre fraccions de les proposades a l'escena i simplifica-les: Fracció proposada

Simplificada Fracció proposada



Simplificada

Clica


EXERCICI

Comprova si les següents fraccions són o no són equivalents:

a) 540162

i24075

b) 43272

i14427

Si _____________ el numerador i el denominador d'una fracció per

un mateix nombre, s'obté una fracció ____________________.

INS ________________________


Fraccions - 4 -

2. Fraccions amb el mateix denominador 2.a. Reducció a comú denominador Observa amb atenció les operacions que cal realitzar per reduir dues fraccions a comú

denominador. Utilitza la fletxa per seguir les indicacions. Repeteix amb diversos exemples fins que entenguis el procediment. Completa:

Fes clic al botó

Per fer exercicis de reducció a comú denominador.

Fes uns quants exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que te'n surtin bé quatre de seguits, com a mínim. Tria dos dels exercicis proposats a l'escena (un de dues fraccions i un altre de tres). Realitza els càlculs necessaris per reduir a comú denominador i completa aquests dos exemples en els requadres següents: Exercici 1. Exercici 2. Fraccions proposades: Fraccions proposades:

mcm dels denominadors:

mcm dels denominadors:

Fraccions equivalents que tinguin per denominador el mcm dels denominadors:

Fraccions equivalents que tinguin per denominador el mcm dels denominadors:

Solució: Solució:

Clica


EXERCICI

Redueix a común denominador:

a) 18045

i14438

b) 124

i249

c) 18022

i3623

d) 1024

i18021

Per reduir dues o més fraccions a denominador comú:

1º Trobem el ______________________ dels denominadores

2º Busquem fraccions ______________ a les donades que tinguin per denominador el mcm trobat.

Per calcular el nou _______________ de cada fracció, dividim el mcm entre el denominador i multipliquem el resultat pel numerador.

INS ________________________


Fraccions - 5 -

2.b. Comparació de fraccions Observa en el text de la pantalla el procediment a seguir per comparar les fraccions 8/11 i 5/7. Completa:

Observa els exemples a l'escena de la dreta de la pantalla. Utilitza la fletxa per seguir les indicacions. Repeteix amb diversos exemples fins que entenguis el procediment.

Fes clic en el botó

Per fer exercicis de comparació de fraccions.

Redueix a denominador comú les fraccions propostes, tria la resposta i comprova la solució. Practica fins que en facis bé quatre de seguits.


Quan hagis acabat pots passar al següent apartat. Clica


EXERCICI

Compara les següents fraccions:

a) 51

i97

b) 73

i144

c) 32

i178

d) 43

i95

EXERCICIS

1. Són equivalents 1440720

i14427

?

2. Simplifica la fracció 2850

510

3. Redueix al mateix denominador les fraccions: 105

17 i

144

14

4. Redueix al mateix denominador les fraccions: 576

6,

192

48 i

72

25

Per comparar dues o més fraccions les reduïm a denominador comú i comparem els _____________________.

Convé que facis servir els símbols major que, _______, i menor que, _______.

INS ________________________


Fraccions - 6 -

3. Operacions amb fraccions 3.a. Suma i resta A partir del text de la pantalla, escriu els passos que cal seguir per sumar fraccions i completa la fórmula: Per sumar fracciones amb el mateix ________________ es deixa el ______________ i se sumen els __________________:

Si són fraccions de diferent ____________________________ les reduirem primer a ________________________________.

Observa els exemples a l'escena de la dreta de la pantalla. Utilitza la fletxa per seguir les indicacions. Repeteix amb diversos exemples fins que entenguis el procediment.

Fes clic al botó

Per fer exercicis de suma i resta de fraccions.

Fes cinc dels exercicis proposats. Si és possible simplifica les fraccions, redueix a comú denominador i opera anant en compte amb els signes. Comprova el resultat a l'escena. Escriu aquí els exercicis: Exercici 1: Exercici 2: Exercici 3:

INS ________________________


Fraccions - 7 -

Exercici 4: Exercici 5:

En acabar pots passar al següent apartat. Clica


3.b. Producte Llegeix amb atenció la informació d'aquest apartat. Escriu els passos que cal seguir per multiplicar fraccions i completa la fórmula: Per calcular el valor del producte de fraccions, si és possible _____________________ les fraccions, multipliquem els __________________ i _____________________ i finalment ________________ el resultat.

Practica la multiplicació de fraccions a l'escena de la dreta de la pantalla. Utilitza la fletxa per seguir les indicacions. Repeteix amb diversos exemples fins que entenguis el procediment.

Fes clic al botó

Per fer exercicis sobre producte de fraccions.

Fes cinc dels exercicis proposats. Si és possible simplifica les fraccions, opera i simplifica el resultat. Escriu els exercicis en els requadres següents i després de resoldre'ls comprova el resultat a l'escena.

EXERCICI

Calcula el valor de:

a) 32

272

2875

1625 − b) 69

39

19

11 +

c) 368

208

2375

1375 − d) 2

17

1863

1053 +

INS ________________________


Fraccions - 8 -

Exercici 1: Exercici 2: Exercici 3: Exercici 4: Exercici 5:



3.c. Quocient

Llegeix amb atenció l'explicació del tex de la pantalla. CONTESTA AQUESTES QUESTIONS: RESPOSTES

Quan diem que dues fraccions són inverses?

Com escriurem

En general, com escriurem la inversa d'una fracció

Escriu els passos que cal seguir per dividir fraccions i completa la fórmula: Per calcular el valor del quocient de fraccions, si és possible _____________________ les fraccions, ________________ els numeradors i denominadors _____________________ i finalment ________________ el resultat.

INS ________________________


Fraccions - 9 -

Practica la multiplicació de fraccions a l'escena de la dreta de la pantalla. Utilitza la fletxa per seguir les indicacions. Repeteix amb diversos exemples fins que entenguis el procediment.

Fes clic al botó

Per fer exercicis sobre divisió de fraccions.

Fes cinc dels exercicis proposats. Si és possible simplifica les fraccions, opera i simplifica el resultat. Comprova el resultat a l'escena. Escriu aquí els exercicis: Exercici 1: Exercici 2: Exercici 3: Exercici 4: Exercici 5:



EXERCICI

Calcula el valor dels quocients:

a) 24

19:

36

44 b)

18

29:

24

69 c)

3

44:

12

73 d)

10

56:

40

52

INS ________________________


Fraccions - 10 -

3.d. Potència Observa en el text de la pantalla com es calcula (5/2)3:

Escriu els passos que cal seguir per obtenir la potència d'una fracció i completa la fórmula:

Per obtenir la potència d'una fracció elevem _______________ i ____________ a l'exponent i calculem les __________________.

Practica la potència d'una fracció a l'escena de la dreta de la pantalla. Utilitza la fletxa per seguir les indicacions. Repeteix amb diversos exemples fins que entenguis el procediment.

Fes clic al botó

Per fer exercicis sobre potència d'una fracció.

Fes uns quants exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que en facis bé quatre de seguits.



3.e. Arrel quadrada

Observa en el text de la pantalla com es calcula l'arrel quadrada d'una fracció. Escriu els passos que cal seguir i completa la fórmula: Per obtenir l'arrel quadrada d'una fracció fem la _______________ del numerador i el ____________. Com que és una arrel quadrada tindrà dues solucions, una arrel _______________ i una _____________.

Practica l'arrel quadrada d'una fracció a l'escena de la dreta de la pantalla. Utilitza la fletxa

per seguir les indicacions. Repeteix amb diversos exemples fins que entenguis el procediment.

EXERCICI

Calcula el valor de les potències:

a)

6

7

2

b)

4

5

3

c)

6

2

7

d)

7

13

2

INS ________________________


Fraccions - 11 -

Fes clic al botó

Per fer exercicis sobre arrels quadrades.

Fes uns quants exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que te'n surtin bé quatre de seguits.



3.f. Operacions combinades Per fer operacions combinades amb fraccions has de tenir en compte les prioritats de les operacions. Llegeix amb atenció les normes que es citen en el text de la pantalla i escriu-les en el següent requadre:

Practica les operacions combinades amb els exemples de l'escena de la dreta de la pantalla. Escriu els exemples proposats, fes les operacions seguint les indicacions de l'escena i

comprova el resultat. Utilitza la fletxa per seguir les indicacions. Fes com a mínim cinc exercicis i escriu-los en els següents requadres:

Exemple 1

EXERCICI


a) 25

49 b)

169

121 c)

36

16 d)

25

81

INS ________________________


Fraccions - 12 -

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

Exemple 5

Si tens dificultats, practica amb més exemples fins que en facis bé quatre de seguits.

INS ________________________


Fraccions - 13 -

Fes clic al botó

Per fer exercicis d'operacions combinades.

Repeteix l'exercici tantes vegades com necessitis.




EXERCICI


7

69

24

11

8

3

++

+

EXERCICIS

5. Simplifica cada fracció i calcula: 17

7

208

80

1375

375 −+−

6. Calcula el valor del següent producte: 15

36·

180

11·

90

24

7. Calcula el valor del següent quocient: 16

43 :

30

11

8. Calcula la següent potència:

6

7

5

9. Indica les dues solucions de l'arrel: 121

4

10. Calcula:

11

2

3

49

7·

6

5

2

11

+

+

11. Calcula: 5

2

11

8

3

42

+

−

12. Calcula:

7

4:

2

11

3

8

4

9·

6

7

−

INS ________________________


Fraccions - 14 -

4. Aplicacions 4.a. Problemes d'aplicació En aquest apartat trobaràs diversos problemes que es resolen operant amb fraccions. Selecciona un exercici prement els botons superiors i completa l'enunciat. Resol el problema i comprova la solució a l'ordinador.

La setmana passada vaig llegir ______ d'un llibre. Durant aquesta setmana he pogut llegir ______ de la resta. En total he llegit _____ pàgines del llibre. Quantes pàgines té el llibre?

Hem buidat aigua des d'un barril a ______ recipients de _______ litres cadascun. Tots han quedat plens menys un que s'ha omplert fins a la meitat. Dins del barril han quedat ______ litres. Quants litres d'aigua hi havia al barril?

Està previst destinar els ______ d'una finca a places d'aparcament. Però s'han destinat _____ del que s'havia previst a zones enjardinades. Quina fracció de la finca s'ha destinat finalment a zones d'aparcament?

D'un dipòsit de cereals, se n'han extret els _______. L'endemà, se n'extreuen ______ de la resta. Quina fracció del total s'ha extret del dipòsit?



INS ________________________


Fraccions - 15 -


Observa bé la informació del quadre resum, respon les preguntes que tens a continuació i escriu un exemple a cada apartat.

Quan són equivalents dues fraccions?

Com es simplifiquen fraccions?

Com es simplifiquen fracciones si saps el mcd del numerador i del denominador?

Com es redueixen fraccions al mateix denominador?

Com se sumen i resten fraccions?

Com es multipliquen fraccions?

Com es divideixen fraccions?

Com s'obté la potència d'una fracció?

Com s'extreu l'arrel quadrada d'una fracció?

Clica


INS ________________________


Fraccions - 16 -

Per practicar

Ara pots practicar resolent diferents EXERCICIS. A les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de:

Fraccions equivalents, simplificació, denominador comú, suma i resta Productes i quocients, potenciació i radicació Operacions combinades i problemes amb fraccions

Procura fer-ne almenys un de cada classe i un cop resolt comprova la solució.

Completa l’enunciat amb les dades dels que t’apareixen a cada EXERCICI a la pantalla i després el resols. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si l’has fet bé. En els següents EXERCICIS de Fraccions equivalents, simplificació, denominador comú, suma i resta tria una de les opcions i tot seguit escriu l'enunciat, després resol-los i finalment comprova la solució a l'ordinador.

Fes-ne un mínim de dos de cada tipus.

1. Equivalència de fraccions:

Exercici 1:

Exercici 2:

2. Simplificació de fraccions:

Exercici 1:

Exercici 2:

3. Reducció a comú denominador:

Exercici 1:

Exercici 2:

INS ________________________


Fraccions - 17 -

4. Suma i resta:

Exercici 1:

Exercici 2:

En els següents EXERCICIS de Productes i quocients, potenciació i radicació tria una de les opcions i tot seguit escriu l'enunciat, després resol-los i finalment comprova la solució a l'ordinador.

1. Producte de fraccions:

Exercici 1:

Exercici 2:

2. Quocient de fraccions:

Exercici 1:

Exercici 2:

3. Potenciació:

Exercici 1:

Exercici 2:

4. Arrel quadrada:

Exercici 1:

Exercici 2:

INS ________________________


Fraccions - 18 -

En els següents EXERCICIS d'Operacions combinades i problemes amb fraccions tria una de les opcions i tot seguit escriu l'enunciat, després resol-los i finalment comprova la solució a l'ordinador. Tria l'opció Operacions combinades i fes cinc exercicis.

1. Operacions combinades:

Exercici 1:

Exercici 2:

Exercici 3:

Exercici 4:

Exercici 5:

INS ________________________


Fraccions - 19 -

Tria l'opció Problemes amb fraccions, completa l'enunciat i resol els problemes.

2. Problemes amb fraccions:

Un camió conté ____________ de patates. Descarrega ______ de la seva càrrega. De la resta, descarrega els _____. Quants Kg de patates queden?

Quantes ampolles de refresc de ____ de litre podem omplir amb ________ litres de refresc?

Expressa en forma de fracció l'àrea d'un rectangle de base ______ m i alçada ______ m.

En una ciutat de _________ habitants, n'hi ha ____ que practiquen esport regularment. Quina fracció del total no practica esport regularment? Quin tant per cent del total és?

Clica


INS ________________________


Fraccions - 20 -

Autoavaluació

Completa aquí cadascun dels enunciats que et proposa l'ordinador i resol, introdueix el resultat per comprovar si la solució és la correcta.

Troba una fracció irreductible equivalent a

Sense simplificar-les, redueix a comú denominador:

Calcula

El resultat ha de ser irreductible.

Calcula

(En forma de fracció irreductible)

Troba la fracció irreductible equivalent a

INS ________________________


Fraccions - 21 -

Troba

Expressat de forma irreductible.

Calcula

Simplifica el resultat.

Troba el valor de

El resultat ha d'estar simplificat.

Una roda avança _______ metres cada volta. Quantes voltes ha de fer per avançar _____ metres?

Troba

INS _______________________

QUADERN Núm. 3 NOM: _______________________________ DATA: / /

Nombres decimals - 1 -

Nombres decimals

Continguts

1. Nombres decimals Elements d'un nombre decimal Arrodoniment i truncament d'un decimal

2. Operacions amb decimals Suma de nombres decimals Resta de nombres decimals Multiplicació de nombres decimals Divisió de nombres decimals Potència d'un nombre decimal Arrel quadrada d'un nombre decimal

3. Fraccions amb nombres decimals Pas de fracció a decimal Fracció generatriu de decimals exactes Fracció generatriu de decimals periòdics purs Fracció generatriu de decimals periòdics mixtos

Objectius

• Identificar els diferents elements d'un nombre decimal.

• Aproximar nombres decimals fent arrodoniments i truncaments.

• Sumar i restar nombres decimals.

• Fer multiplicacions i divisions en què intervenen nombres decimals.

• Calcular potències de nombres decimals.

• Obtenir arrels de decimals senzills sense fer servir la calculadora.

• Distingir si una fracció dóna com a resultat un nombre enter, decimal exacte o periòdic.

• Obtenir la fracció generatriu d'un nombre decimal.

Important: - Si el professor no t'indica el contrari, NO HAS D'UTILITZAR LA CALCULADORA.

−−−− Abans de començar a resoldre els exercicis, has de llegir amb atenció el contingut de cada pàgina.

Autor: Joan Carles Fiol Colomar Sota llicència

Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________



Busca informació a Internet (Wikipedia, Google, ...) sobre Rellotge Atòmic i GPS i escriu un breu resum a continuació:

Rellotge atòmic: GPS:

Fes el mateix amb els següents conceptes:

Mesura:

Precisió:

Exactitud:

Error:

CONTESTA RESPOSTA Quins són els rellotges més precisos? Com s'anomenen els “mil·lèsims de segon”?

Clica per anar a la pàgina següent.

1. Nombres decimals 1.a. Elements d'un nombre decimal Escriu tres nombres de cada classe:

nombre enter nombre decimal exacte nombre decimal periòdic

Subratlla la part entera en blau i la part decimal en vermell.


INS _______________________



1.b. Arrodoniment i truncament d'un decimal Llegeix l'explicació teòrica en la teva pantalla.

CONTESTA RESPOSTA

Quines són les formes que hi ha per aproximar nombres decimals?

En les escenes pots veure exemples de cada una d'aquestes formes.

Explica amb “les teves paraules” la diferència entre les dues formes d'aproximació:

Fes clic en el botó per fer uns exercicis.

Copia a la següent taula 4 exercicis: dos en els que el resultat d'arrodonir o truncar sigui el mateix i dos en que el resultat sigui diferent.

Arrodoniment Truncament

Aproxima el nombre ________________ a ____ xifres decimals





INS _______________________



2. Operacions amb decimals 2.a. Suma de nombres decimals De les següents sumes, indica quines estan posicionades correctament i quines no i, en tal cas, torna-les a escriure de forma correcta. Després calcula el resultat:


En la següent taula, copia 4 sumes de les que se't proposen, calcula el resultat i comprova-ho en l'escena:


2.b. Resta de nombres decimals Ja ho saps! La resta funciona com la suma, però s'ha de restar.

Fes clic en el botó

per fer uns exercicis.

En la següent taula, copia 4 restes de les que se't proposen, calcula el resultat i comprova-ho en l'escena:


123,45 12,456 21,1 +

201,23 12,7 83,07 +

201,203 83,0701

+ 193,03 77,781

+

INS _______________________



2.c. Multiplicació de nombres decimals Recorda: el resultat de la multiplicació de dos nombres decimals ha de tenir tants decimals com té la suma dels decimals dels factors que has multiplicat. Utilitza l'escena per completar amb un exemple:

Per a multiplicar els nombres decimals ___________ · ____________

traiem la coma decimal

multipliquem de forma habitual

El primer nombre té ___ decimals i el segon ___ , per tant, el resultat tindrà

___ +___ = ___ decimals

El resultat de la multiplicació és


En la següent taula, copia 3 multiplicacions de les que se't proposen, calcula el resultat i comprova-ho en l'escena:


INS _______________________



2.d. Divisió de nombres decimals Completa la taula amb una divisió en la qual el divisor sigui un nombre enter:

Calcula la divisió ________ : ________

El divisor és enter, podem efectuar directament la divisió

escriu el quocient i el residu Q = R =

El resultat de la divisió és: dividend=divisor · quocient+residu

Fes el mateix amb una divisió en la qual el divisor sigui un nombre decimal:

Calcula la divisió ________ : ________

Abans de dividir, “eliminem” la coma del divisor ________ : _________

Ara efectuem directament la divisió

escriu el quocient i el residu Q = R =

El resultat de la divisió és: dividend=divisor · quocient+residu


INS _______________________



En la taula següent, copia 3 divisions de les que se't proposen (dues amb decimals en el divisor), calcula el quocient i el residu i comprova el resultat en l'escena:

Divisor sense decimals _______ : ________

Divisor amb decimals _______ : ________

Divisor amb decimals _______ : ________

Q= R= Q= R= Q= R=


2.e. Potència d'un nombre decimal Completa la frase: Un nombre amb m decimals elevat a n, dóna com a resultat un nombre amb _____ decimals. Seguint l'exemple de l'escena, calcula de les dues formes la següent potència:

Calcula directament: 1,023 Calcula sense decimals: 1,023


Calcula quatre potències amb decimals de les que se't proposen. Primer, fes tu els càlculs i després comprova el resultat. Intenta-ho sense utilitzar la calculadora:


INS _______________________



2.f. Arrel quadrada d'un nombre decimal

Recorda: diem que�a= b si b2= a . Raona i escriu perquè són certes les següents afirmacions. Escriu dos exemples de cada cas.

Existeixen dues arrels quadrades d'un nombre positiu.

L'arrel quadrada d'un nombre negatiu no existeix

Completa la frase: L'arrel quadrada d'un nombre amb 2m decimals, resulta un nombre amb ....... decimals.


Per calcular arrels quadrades, normalment ho farem amb la calculadora. Però en determinats casos, podem fer servir el càlcul mental. Igual que en els apartats anteriors, copia 4 exercicis dels proposats, fes els teus càlculs i després comprova el resultat:


INS _______________________



3. Fraccions i nombres decimals 3.a. Pas de fracció a decimal Recorda: Donada una fracció, per obtenir el nombre decimal corresponent, només cal fer la divisió del numerador entre el denominador. Ara completa:

L'expressió decimal d'una fracció: � pot no tenir decimals, és a dir, és un nombre ______________ � pot tenir una quantitat ________ de decimals i s'anomena decimal _____________ , i la fracció s'anomena ____________ ___________ � pot tenir una quantitat ________ de decimals i s'anomena decimal ________________ o _______________ i la fracció s'anomena ____________ ________________

Utilitza l'escena de la dreta per a completar la taula següent amb exemples de cada tipus:

Fracció Fracció

irreductible Factors primers del denominador

Expressió decimal

Tipus de nombre decimal

enter

exacte

periòdic pur

periòdic mixt

CONTESTA

Quins són els factors primers del denominador... RESPOSTA ...quan el decimal és exacte?

...quan el decimal és periòdic pur?

...quan el decimal és periòdic mixt?


Copia 4 de les fraccions proposades i te n'inventes dues més per a completar la taula. Recorda, primer has de simplificar la fracció i descompondre en factors primers el denominador abans d'assenyalar l'opció correcta:

Fracció Assenyala (x) la correcta Fracció Assenyala (x) la correcta

enter enter

exacte exacte

periòdic pur periòdic pur =

periòdic mixt

=

periòdic mixt

Enter enter

Exacte exacte

periòdic pur periòdic pur

=

periòdic mixt

=

periòdic mixt

INS _______________________



Enter enter

Exacte exacte

periòdic pur periòdic pur =

periòdic mixt

=

periòdic mixt


3.b. Fracció generatriu de decimals exactes La fracció generatriu d'un nombre decimal és una fracció decimal irreductible. Completa, seguint l'escena, amb dos exemples per veure com s'obté: Exemple 1:

Nombre decimal exacte

el nombre sense decimalsla unitat seguidade tants zeroscom xifres decimalsté el nombre

Simplifiquem la fracció

Exemple 2

Nombre decimal exacte el nombre sense decimals

la unitat seguidade tants zeroscom xifres decimalsté el nombre

Simplifiquem la fracció


Completa la taula amb 4 exercicis dels proposats i 2 de la teva invenció:

Nombre decimal exacte Fracció generatriu FFracció generatriu simplificada


INS _______________________



3.c. Fracció generatriu de decimals periòdics purs Recorda: Un nombre decimal és periòdic pur si tota la part decimal es repeteix indefinidament, la qual rep el nom de període. Seguint l'exemple, utilitza l'escena per a completar dos exemples de com s'obté la fracció generatriu d'un nombre decimal periòdic pur:

Núm. decimal periòdic pur

Part entera

Període nombre finscompletarunperíode− partentera

nombreamb tants 9 comxifrestéel període Fracció

simplificada

=

=


Completa la taula amb 4 exercicis dels proposats i 2 de la teva invenció. Com sempre, fes-ho tu primer i després comprova el resultat:

Nombre decimal periòdic pur

Fracció generatriu Fracció generatriu

simplificada

=

=

=

=

=

=


INS _______________________



3.d. Fracció generatriu de decimals periòdics mixtos Recorda: Un nombre decimal és periòdic mixt si la part decimal està formada per una o varies xifres decimals (anteperíode) seguida d'una part periòdica.

Per obtenir la fracció generatriu, hem de fer el següent:

numerador: el nombre fins completar un període menys el nombre fins completar l'anteperíode. denominador: el nombre amb tants 9 com xifres té el període, seguit de tants 0 com xifres té l'anteperíode.

Igual que abans i seguint l'exemple, utilitza l'escena per a completar dos exemples de com s'obté la fracció generatriu d'un nombre decimal periòdic mixt:

Núm. decimal periòdic mixt

Part entera

Període Anteperíode Fracció Fracció

simplificada

=

=


Completa la taula amb 4 exercicis dels proposats i 2 de la teva invenció. Com sempre, fes-ho tu primer i després comprova el resultat:

Nombre decimal periòdic mixt

Fracció generatriu Fracció generatriu

simplificada

=

=

=

=

=

=


INS _______________________



EXERCICIS

Arrodoniment i truncament. Operacions amb decimals

1. Aproxima el nombre 83,259219645 amb 4 xifres decimals per arrodoniment i truncament.

2. Calcula la suma dels nombres 259,21 i 96,45.

3. Calcula la resta dels nombres 561,95 i 45,22.

4. Calcula el producte dels nombres 51,46 i 5,99.

5. Indica el residu i el quocient de dividir 62,92 entre 9,4.

6. Quants decimals tindrà la potència 55,616?

7. Intenta obtenir mentalment �0,0000000144 .

Fracció generatriu d'un nombre decimal

8. Esbrina si la fracció 3920 dóna com a resultat un decimal exacte, un periòdic pur o un

periòdic mixt.

9. Troba la fracció generatriu del nombre 0,077.

10. Troba la fracció generatriu del nombre 69,777...

11. Troba la fracció generatriu del nombre 37,37555...

Problemes en què intervenen nombres decimals

12. Si comprem un article que val 645,37 € i per pagar-lo donem 653 €, quant ens tornaran?

Recorda que la moneda més petita en euros és el cèntim.

13. Troba l'àrea d'un rectangle de base 4,4 cm i altura 1,3 cm. Expressa la solució amb un únic decimal arrodonit.

Recorda que l'àrea d'un rectangle és el producte de la seva base per la seva altura.

14. Un cable fa 10,1 m i el seu preu és de 14,14 €. Quant val un metre de cable?

INS _______________________




Quines parts té un nombre decimal?

Té una part ______ i una altra ________, separades per la coma decimal. Un nombre decimal pot ser:

- Decimal ______. Té una quantitat limitada de decimals: 45,128.

- Periòdic _______. Un grup de decimals es repeteix indefinidament, el període: 4,8585...

- Periòdic ______. Té un o més decimals seguits d'un període: 4,21777...

part entera= ___ període= ___

part entera= ___ anteperíode= ____ període= ___

Com es trunca o arrodoneix un decimal?

Per a _________ queda't amb els decimals que necessites i elimina la resta.

Per a _________ fixa't en la primera xifra decimal eliminada. Si és 5 o més, augmenta una unitat la xifra anterior. Si és menor que 5, deixa-la tal qual.

8,4768 es trunca com _____ a dos decimals.

8,4768 s'arrodoneix a ____. En canvi, 8,4738 ho fa a _____ (a centèsims)

Com se sumen i resten decimals?

Col·loca els decimals per a que coincideixi la _______ decimal. Després suma o resta tal i com ho faries normalment. En arribar al lloc de la coma, escriu una coma en el resultat.

Com es multipliquen decimals?

Multiplica sense incloure els decimals. El resultat del producte tindrà tants decimals com la ________ dels decimals que tenien els nombres que inicialment hem multiplicat.

Com es divideixen decimals?

Prepara la divisió per a que només el dividend tingui decimals. En arribar a la coma del dividend, posa'n una en el quocient.

Com s'obté la fracció generatriu d'un decimal?

Decimal exacte Periòdic pur Periòdic mixt

1,3= 6,2323...= = 1,1444...= =

INS _______________________



Per practicar En aquesta unitat trobaràs tres pàgines d'exercicis:

• Arrodoniment i truncament, operacions amb decimals

• Fracció generatriu d'un nombre decimal

• Problemes en què intervenen nombres decimals Arrodoniment i truncament, operacions amb decimals Apareix un menú d'exercicis variats. Has de resoldre els que es proposen a continuació i uns altres quatre de cada tipus dels que apareixen en la teva pantalla. Arrodoniment i truncament 1. Aproxima amb 4 xifres decimals per arrodoniment i truncament:

a) 58,271314153 �

b) 1,7634256 �

c) 2,237653897 �

d) 5,8761233 �

exercicis de l'ordinador:

a) _______________ �

b) _______________ �

c) _______________ �

d) _______________ �

Suma de decimals 2. Calcula les sumes següents:

a) 27,131 + 4,153 =

b) 9315,7 + 3,231 =

c) 91,736 + 77,42 =

d) 144,96 + 9,951 =


a) _______________ =

b) _______________ =

c) _______________ =

d) _______________ =

Resta de decimals 3. Calcula les restes següents:

a) 196,44 – 5,991 =

b) 69,421 – 3,566 =

c) 6831,6 – 8,884 =

d) 49,698 – 3,17 =


a) _______________ =

b) _______________ =

c) _______________ =

d) _______________ =

Multiplicació de decimals 4. Calcula els següents productes:

a) 638,8 · 0,618 =

b) 29,43 · 0,264 =

c) 27,28 · 4,23 =

d) 713,2 · 0,862 =


a) _______________ =

b) _______________ =

c) _______________ =

d) _______________ =

INS _______________________



Divisió de decimals 5. Indica el quocient i el residu en les següents divisions:

a) 2,221 : 6,3 =

b) 8,719 : 6,6 =

c) 52,48 : 82=

d) 66,62: 59 =


a) _______________ =

b) _______________ =

c) _______________ =

d) _______________ =

Potència de decimals 6. Calcula les següents potències:

a) 44,653 =

b) 1,8575 =

c) 34,614 =

d) 6,3483 =

Exercicis de l'ordinador: Quants decimals té cada una de les potències següents?

a) __________ �

b) __________ �

c) __________ �

d) __________ �

Arrel d'un decimal 7. Troba el resultat de les següents arrels quadrades (intenta fer-ho mentalment). Dóna les dues solucions possibles:

a) �0,000121 =

b) �0,000064 =

c) �0,00000016 =

d) �0,00000036 =

Exercicis de l'ordinador:

a) _______________ =

b) _______________ =

c) _______________ =

d) _______________ =

Fracció generatriu d'un nombre decimal Pas de fracció a decimal 8. Estudia si les següents fraccions donen com a resultat un decimal exacte, un periòdic pur o un periòdic mixt:

a) 3977 �

b) 77

250 �

c) 9133 �

d) 91

1650 �


a) �

b) �

c) �

d) �

INS _______________________



Fracció generatriu (decimals exactes) 9. Troba la fracció generatriu dels següents nombres decimals exactes:

a) 9,1 =

b) 0,077 =

c) 3,3 =

d) 0,61 =


a) _______________ =

b) _______________ =

c) _______________ =

d) _______________ =

Fracció generatriu (periòdics purs) 10. Troba la fracció generatriu dels següents nombres decimals periòdics purs:

a) 22,333…=

b) 22,5353… =

c) 21,275275… =

d) 44,527527… =


a) _______________ =

b) _______________ =

c) _______________ =

d) _______________ =

Fracció generatriu (periòdics mixtos) 11. Troba la fracció generatriu dels següents nombres decimals periòdics mixtos:

a) 38,72777… =

b) 62,2777… =

c) 54,275757… =

d) 27,33535… =


a) _______________ =

b) _______________ =

c) _______________ =

d) _______________ =

Problemes amb nombres decimals Estan classificats per tipus de problema. Per a cada tipus d'exercicis se'n planteja un i n'has de fer un altre dels que apareixen a l'ordinador.

Problemes de monedes

12. Si comprem un article que val 1548,16 € i per pagar-lo donem 1566 €, quant ens tornaran?

Exercici de l'ordinador:

Si comprem un article que val _______ € i per pagar-lo donem _______ €, quant ens tornaran?

INS _______________________



Problemes d'àrees (rectangle)

13. Troba l'àrea d'un rectangle de base 4,9 cm. i altura 9,2 cm. Expressa la solució amb un decimal arrodonit.


Troba l'àrea d'un rectangle de base _______ cm. i altura ______ cm. Expressa la solució amb un decimal arrodonit.

Problemes d'àrees (quadrat)

14. Troba l'àrea d'un quadrat de costat 3,2 cm. Expressa la solució amb un decimal arrodonit.


Troba l'àrea d'un quadrat de costat ______cm. Expressa la solució amb un decimal arrodonit.

Problemes de mesures i preus (cable)

15. Un cable fa 8,1 m i el seu preu és de 10,53 €. Quant valdria un metre de cable?


Un cable fa ____ m i el seu preu és de ______ €. Quant valdria un metre de cable?

Problemes de mesures i preus (cable)

16. Hem comprat 6,4 kg de fruita i el seu preu és de 8,32 € Quant valdria un kg de fruita?


Hem comprat ______ de fruita i el seu preu és de _______ € Quant valdria un kg de fruita?

INS _______________________



Autoavaluació

Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l'ordinador i resol-lo, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

Troba l’aproximació de _____________ a ____ decimals, per arrodoniment i truncament.

Troba la suma de ________ i ________.

Calcula la diferència entre ________ i ________.

Calcula el producte de ________ i ________.

Indica el quocient i el residu de dividir ________ entre ________.

Quants decimals tindrà la potència _______ ?

Troba la fracció generatriu simplificada de _____.

Troba la fracció generatriu simplificada de _______.

Troba la fracció generatriu simplificada de _______.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

INS __________________________


Proporcionalitat - 1 -

Proporcionalitat

Continguts 1. Proporció numèrica

Raó i proporció

2. Proporcionalitat directa Raó de proporcionalitat Regla de tres directa Reducció a la unitat

3. Proporcionalitat inversa Constant de proporcionalitat Regla de tres inversa Reducció a la unitat

4. Proporcionalitat composta Proporcionalitat composta

5. Repartiments proporcionals Directament proporcionals Inversament proporcionals

6. Percentatges Tant per cent d'una quantitat Tant per cent corresponent a una proporció

7. Variacions percentuals Augments percentuals Disminucions percentuals Augments i disminucions percentuals

Objectius • Distingir entre magnituds directament i inversament proporcionals.

• Resoldre diferents situacions sobre proporcionalitat directa i inversa amb dues o més magnituds.

• Fer repartiments directament i inversament proporcionals.

• Calcular percentatges.

• Calcular directament augments i disminucions percentuals.

• Resoldre diferents exercicis sobre percentatges. Autora: Montserrat Gelis Bosch Sota llicència

Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS __________________________



Algunes aplicacions: ofertes de supermercats Contínuament veiem ofertes en supermercats i botigues que intenten atraure l'atenció del consumidor:

• Emporti-se'n 3 i pagui 2. • La segona uniat a meitat de preu. • Quatre pel preu de tres. • 15% de descompte en tots els productes.

En aquesta unitat obtindràs els coneixements necessaris per saber la que més t'interessa.

A l'escena de la dreta de la pantalla, utilitza les fletxes per veure algunes aplicacions

sobre proporcionalitat i percentatges.

Recorda

En el curs anterior vas veure una introducció a la proporcionalitat i als percentatges.

Clica el botó

Si necessites repassar la proporcionalitat i els percentatges.

Fes clic


1. Proporció numèrica

1.a. Raó i proporció

Llegeix el text de la pantalla i completa:

Raó entre dos nombres

Una Raó entre dos nombres a i b és _______________ entre a i b.

Proporció numèrica

En qualsevol proporció el producte dels ______________ es igual al _____________ dels mitjos.

a i d s'anomenen ____________, b i c ___________ .

Raó entre a i b = ---

INS __________________________



A l'escena de la dreta de la pantalla, pots veure diferents exercicis de raó i proporcionalitat entre magnituds. Observa com es resolen i després practica realitzant els exercicis següents. Quan acabis comprova el resultat.

Fes clic


EXERCICIS 1. A la meva classe hi ha 14 noies i 12 nois. Quina és la raó entre noies i nois? Y entre

nois i noies?

2. Un equip ha marcat 68 gols i n'ha encaixat 44. Quina és la raó entre les dues quantitats?

3. A la taula següent pots veure les dades sobre la quantitat de pluja enregistrada en dues ciutats A i B, en un any complet. Compara les raons de l'aigua del gener i de tot l'any.

Any Gener

Ciutat A 1100 130

Ciutat B 320 40

4. Calcular el valor de “x” per tal que les quantitats d'aigua enregistrades en un any complet i en un mes en ambdues ciutats siguin proporcionals.

Any Gener

Ciutat A x 130

Ciutat B 320 40


Any Gener

Ciutat A 1100 x

Ciutat B 320 40


Any Gener

Ciutat A 1100 130

Ciutat B x 40


Any Gener

Ciutat A 1100 130

Ciutat B 320 x

INS __________________________



2. Proporcionalitat directa 2.a. Raó de proporcionalitat Llegeix amb atenció l'explicació del text de la pantalla. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Quan diem que dues magnituds són directament proporcionals?

Donades dues magnituds directament proporcionals, el quocient entre dos valors que es corresponen és sempre constant. Com s'anomena aquesta quantitat?

A l'escena de la dreta de la pantalla, hi trobaràs tres exercicis de proporcionalitat directa. Observa com es resolen i després practica modificant les quantitats i comprovant el resultat.

Clica el botó

Per fer uns exercicis.

Realitza diversos exercicis. Practica fins que en facis bé cinc de seguits.

Fes clic


2.b. Regla de tres directa

La regla de tres és una forma de resoldre una activitat de proporcionalitat directa aprofitant la raó o constant de proporcionalitat directa per calcular el quart terme. A l'escena de la dreta de la pantalla, hi trobaràs tres exercicis de proporcionalitat directa en la resolució dels quals s'utilitza la regla de tres. Observa com es col·loquen les dades i es resol. Modifica els valors i comprova la seva resolució. Realitza els següents exercicis sense l'ordinador i després comprova el resultat.

Si 20 quilograms de Un cotxe ha donat 3 Sabent que les dues

pomes valen 23 euros. Quant costaran 25 quilos?

voltes a un circuit en 57 minuts. Calcula el temps que tardarà en recórrer en el mateix circuit 27 voltes.

magnituds són directament proporcionals, calcula el quart terme.

Regla de tres directa

1a magnitud 2a magnitud

Núm. quilos euros

----------

----------



Núm. voltes minuts

----------

----------



213 ---------- 42

94 ---------- x

Clica el botó

Per fer uns exercicis aplicant la regla de tres directa.

Realitza diversos exercicis. Practica fins que en facis bé cinc de seguits.

Quan acabis pots passar al següent apartat. Fes clic


INS __________________________



2.c. Reducció a la unitat Aquest mètode consisteix en calcular primer el valor de la segona magnitud corresponent a la unitat de la primera (constant de proporcionalitat directa). Observa com es resolen els exercicis de l'escena de la dreta. Realitza els següents exercicis reduint primer a la unitat. Comprova el resultat a l'escena de la dreta de la pantalla.

Si 20 quilograms de Un cotxe ha donat 12 Sabent que les dues

pomes valen 23 euros. Quant costaran 25 quilos?

voltes a un circuit en 57 minuts. Calcula el temps que tardarà en recórrer en el mateix circuit 45 voltes.

magnituds són directament proporcionals, calcula el quart terme.



Núm. quilos euros

----------

1 ----------

----------



Núm. voltes minuts

----------

1 ----------

----------



213 ---------- 42

1 ----------

94 ---------- x

Clica

per fer uns exercicis aplicant el mètode de reducció a la unitat.

Realitza diversos exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que en facis bé cinc de seguits. Ha arribat el moment de comprovar tot el que has aprés. Realitza cadascun dels exercicis següents aplicant els dos mètodes (regla de tres directa i reducció a la unitat) i comprova que obtens el mateix resultat.



EXERCICIS

8. Un cotxe ha donat 60 voltes a un circuit en 105 minuts. Calcula el temps que tardarà en recórrer en el mateix circuit 40 voltes.

Regla de tres directa Reducció a la unitat

9. Si 12 boles d'acer iguals pesen 7200 grams, quant pesaran 50 boles iguals a les anteriors?


10. A certa hora del dia un bastó d'1,5 metres de llarg projecta una ombra de 60 centímetres. Quina és la llargada d'un arbre que a la mateixa hora projecta una ombra de 2,40 metres?


INS __________________________



3. Proporcionalitat inversa 3.a. Constant de proporcionalitat Llegeix atentament l'explicació del text de la pantalla. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Quan diem que dues magnituds són inversament proporcionals?

Donades dues magnituds inversament proporcionals, el producte entre dos valors que es corresponen és sempre constant. Com anomenem aquesta quantitat?

A l'escena de la dreta de la pantalla, hi trobaràs tres exercicis de proporcionalitat inversa. Comprova que les magnituds són inversament proporcionals i observa com es resolen. Practica modificant les quantitats i comprovant el resultat.

Clica el botó


Realitza diversos exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que en facis bé cinc de seguits.



3.b. Regla de tres inversa Llegeix atentament la informació d'aquest apartat. Fixa't com es col·loquen les dades i els càlculs necessaris per trobar el quart terme. A l'escena de la dreta de la pantalla, hi trobaràs tres exercicis de proporcionalitat inversa en la resolució dels quals s'utilitza la regla de tres inversa. Observa com es resolen modificant diverses vegades les dades. Realitza els següents exercicis sense l'ordinador i després comprova el resultat.

Si 11 alumnes han pagat Un cotxe que circula a Sabent que les dues 6,20 euros cadascun per comprar un regal a una companya, quant hauran de pagar si al final hi participen 21 alumnes?

87 km/h ha trigat 13 hores en realitzar un viatge. Quant temps trigarà a fer el mateix trajecte a una velocitat de 100 Km/h?

magnituds són inversament proporcionals, calcula el quart terme.

Regla de tres inversa


Núm. persones euros

----------

----------



Km / h hores

----------

----------



16 ---------- 42

24 ---------- x

Clica el botó

Per fer uns exercicis aplicant la regla de tres inversa.

Realitza diversos exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que en facis bé cinc de seguits.



INS __________________________



3.c. Reducció a la unitat Un altre mètode per resoldre activitats de proporcionalitat inversa consisteix a calcular el valor de la segona magnitud corresponent a la unitat de la primera (constant de proporcionalitat inversa) i a partir d'aquí calcular el valor final de la segona magnitud. A l'escena de la dreta de la pantalla, hi trobaràs tres exercicis de proporcionalitat inversa en la resolució dels quals s'utilitza la reducció a la unitat. Observa com es resolen modificant diverses vegades les dades. Realitza els següents exercicis sense l'ordinador i després comprova el resultat.

15 alumnes han pagat Un cotxe que circula a Sabent que les dues

5,60 euros cadascun per comprar un regal a una companya, quant hauran de pagar si al final hi participen 11 alumnes?

94 km/h ha tardat 7 hores en realitzar un viatge. Quant temps trigarà a fer el mateix trajecte a una velocitat de 85 Km/h?

magnituds són inversament proporcionals, calcula el quart terme.



Núm. persones euros

----------

1 ----------

----------



Km / h hores

----------

1 ----------

----------



16 ---------- 42

1 ----------

24 ---------- x

Clica

Per fer uns exercicis aplicant el mètode de reducció a la unitat.

Realitza diversos exercicis. Practica fins que en facis bé cinc de seguits. Ha arribat el moment de comprovar tot el que has aprés. Realitza cadascun dels exercicis següents aplicant els dos mètodes.



EXERCICIS 11. Un cotxe que circula 90 km/h ha tardat 12 hores en realitzar un viatge. Quant temps

trigarà a fer el mateix trajecte a una velocitat de 80 km/h?

Regla de tres inversa Reducció a la unitat

12. 6 fotocopiadores triguen 6 hores en realitzar un gran nombre de còpies, quant temps trigarien 4 fotocopiadores en realitzar el mateix treball?


13. Si repartim una certa quantitat d'euros entre 7 persones cadascuna rep 12 euros. Quants diners rebrien si el repartiment fos entre 6 persones?


INS __________________________



4. Proporcionalitat composta 4.a. Proporcionalitat composta Llegeix amb atenció el text de la pantalla i completa: Una activitat de proporcionalitat composta relaciona ___________________ magnituds que poden ser ______________ o ____________________ proporcionals. Per resoldre una activitat de proporcionalitat composta es fa de manera ordenada amb el procediment _______________________.

1. En primer lloc, es deixa fixa la ___________ magnitud i es relaciona la 1a amb la 3a. 2. En segon lloc, es deixa fixa la __________ magnitud i es relaciona la 2a amb la 3a.

A l'escena de la dreta de la pantalla, hi trobaràs quatre exercicis de proporcionalitat composta en la resolució dels quals s'utilitza la reducció a la unitat. Observa com es resolen

clicant Per seguir les indicacions. Modifica diverses vegades les dades.

Realitza els exercicis següents sense l'ordinador i després comprova el resultat.

Cinc motors iguals que funcionen 15 Sis aixetes omplen un dipòsit de 20 m3 en

Hores necessiten 10000 litres d'aigua per refrigerar-se. Quants litres d'aigua necessitaran 3 motors que funcionen 12 hores

12 hores. Quant trigaran en omplir un dipòsit de 15 m3 quatre aixetes iguals a les anteriors?

Relació de proporcionalitat entre elles: ____________________________________ La 1a i la 3a magnitud són ______________ La 2a i la 3a magnitud són ______________ 1a magnitud 2a magnitud 3a magnitud motors hores litres

Relació de proporcionalitat entre elles: ____________________________________ La 1a i la 3a magnitud són ______________ La 2a i la 3a magnitud són ______________ 1a magnitud 2a magnitud 3a magnitud aixetes metres cúbics hores

Set obrers treballant 9 hores diàries Amb 21 kg de pinso 12 conills mengen

Fan una feina en 24 dies. Quants dies trigaran en fer la feina 6 obrers treballant 8 hores?

durant 10 dies. Quants dies trigaran 6 conills en menjar 14 quilos de pinso?

Relació de proporcionalitat entre elles: ____________________________________ La 1a i la 3a magnitud són ______________ La 2a i la 3a magnitud són ______________ 1a magnitud 2a magnitud 3a magnitud

obrers hores dies

Relació de proporcionalitat entre elles: ____________________________________ La 1a i la 3a magnitud són ______________ La 2a i la 3a magnitud són ______________ 1a magnitud 2a magnitud 3a magnitud Kg de pinso conills dies

Clica el botó

Per fer uns exercicis de proporcionalitat composta.

Fes diversos exercicis. Practica fins que en facis bé cinc de seguits.



INS __________________________



5. Repartiments proporcionals 5.a. Repartiments directament proporcionals Es vol repartir una certa quantitat en unes quantes parts amb unes determinades condicions. Cadascuna de les parts ha de rebre una quantitat directament proporcional a uns valors inicials. Diem que el repartiment és directament proporcional si a major valor inicial d'una part li correspon major quantitat en el repartiment. A l'escena de la dreta, hi trobaràs quatre exercicis de repartiments directament proporcionals.

Observa com es resolen clicant Per seguir les indicacions.

Escriu els passos que cal seguir per resoldre aquest tipus de problemes:

Pas 1:

Pas 2:

Pas 3:

Pas 4:

Fes els següents exercicis sense l'ordinador i després comprova el resultat.

Dues nenes reuneixen 2,70 y 2,30 euros Per un reportatge fotogràfic tres fotògrafs

que tenien per comprar un paquet d'adhesius d'una sèrie de dibuixos animats. El paquet conté 150 adhesius. Com s'han de repartir aquests adhesius de manera justa?

van cobrar 14500 euros. Del reportatge, 15 fotos eren del primer fotògraf, 21 del segon i 22 del tercer. Quina quantitat d'euros li correspon a cadascú?

Repartir 270 caramels entre quatre nens Cinc concursants es reparteixen 605 punts

de forma directament proporcional a les edats de cadascun d'ells, que són 5, 6, 7 i 9 anys.

Segons el nombre d'objectes que recullin dels fons d'una piscina. Quina quantitat de punts obtindrà cadascun d'ells si han recollit respectivament 10, 11, 14, 8 i 12?

Clica

Per fer uns exercicis de repartiments directament proporcionals.




INS __________________________



5.b. Repartiments inversament proporcionals Es vol repartir una certa quantitat en unes quantes parts amb unes determinades condicions. Cadascuna de les parts ha de rebre una quantitat inversament proporcional a uns valors inicials. Diem que el repartiment és inversament proporcional si a major valor inicial d'una part li correspon menor quantitat en el repartiment. A l'escena de la dreta, hi trobaràs quatre exercicis de repartiments inversament proporcionals

Observa com es resolen clicant per seguir les indicacions.

Escriu els passos que cal seguir per resoldre aquest tipus de problemes:

Pas 1:

Pas 2:

Pas 3:

Pas 4:

Fes els següents exercicis sense l'ordinador i després comprova el resultat.

Els dos cambrers d'un bar es reparteixen Segons un testament una fortuna de

un pot amb 150 euros de propina de forma inversament proporcional al nombre de dies que han faltat, que ha estat, respectivament, 4 i 6 dies. Quants euros els correspon a cadascú?

211000 € es reparteix entre tres persones en parts inversament proporcionals al sou de cadascuna que és 1100, 1500 i 1800 €. Quina quantitat li correspon a cadascun dels hereus?

Repartir 270 caramels entre quatre nens Cinc concursants es reparteixen 658 punts

de manera inversament proporcional a les seves edat, que són 4, 5, 8 i 10 anys.

de forma inversament proporcional al temps que triguen a realitzar una prova. Quants punts obtindrà cadascun si han trigat: 10, 11, 14, 8 i 12 minuts?

Clica

Per fer exercicis de repartiments inversament proporcionals.




INS __________________________



6. Percentatges 6.a. Tant per cent d'una quantitat Llegeix amb atenció les explicacions del text de la pantalla i escriu les operacions que hauràs de fer per calcular el r% d'una quantitat Q:

Per calcular el r% d'una quantitat Q es ________________ Q per r i es _____________per 100.

A l'escena hi trobaràs quatre exercicis de tant per cent. Els pots resoldre de diverses maneres (regla de tres directa, reducció a la unitat o directament). Observa les diferents maneres de

resolució clicant Modifica les dades i comprova el resultat.

Resol els següents exercicis aplicant el mètode que prefereixis i comprova el resultat a l'escena corresponent.

La capacitat d'un El cens electoral d'una

Embassament és de 34 hm3. Quants litres d'aigua té si està ple en un 22%?

població és de 124000 persones. En unes eleccions un partit polític ha obtingut el 32% dels vots. Quantes persones l'han votat?

Calcular el 12,25 % de 500.

Clica el botó

Per fer exercicis de tant per cent.

Fes diversos exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que en facis bé cinc de seguits.



6.b. Tant per cent corresponent a una proporció

Llegeix amb atenció les explicacions del text de la pantalla i escriu les operacions que hauràs de fer per calcular el % que representa una quantitat P d'un total Q:

Per calcular el % que representa una quantitat P d'un total Q es __________ P per ____ i es ______________________ per 100.

%100QP ⋅

100Qr

Qde%r⋅=

INS __________________________



A l'escena pots veure-hi exercicis resolts. Es poden resoldre de diverses maneres (regla de tres directa, reducció a la unitat o directament). Observa les diferents maneres de resolució

clicant Modifica les dades i comprova el resultat.

Resol els següents exercicis aplicant el mètode que vulguis i comprova el resultat a l'escena corresponent.

A la meva classe hi ha Una màquina fabrica al dia

27 estudiants. Si 15 d'ells són noies, quin percentatge del total representen?

375 peces de les quals 21 presenten algun defecte i no es fan servir. Quin percentatge de peces defectuoses fabrica la màquina?

Quin percentatge representa 4325 de 6457?

Clica el botó

Per fer exercicis.

Fes diversos exercicis. Practica fins que en facis bé cinc de seguits. Ha arribat el moment de comprovar tot el que has aprés. Fes cadascun dels següents exercicis.



EXERCICIS

14. a) Calcular el 32 % de 125. b) a) Calcular el 78 % de 4960.

15. a) Quin percentatge representa 396 d'un total de 600?

b) Quin percentatge representa 3576 d'un total de 4622?

16. a) El 83 % d'una quantitat és 9130. Calcular aquesta quantitat.

b) El 12 % d'una quantitat és 8,4. Calcular aquesta quantitat. 17. El 34% de les persones que assisteixen a un congrés són espanyols. Sabent que hi

ha 85 espanyols, quantes persones assisteixen al congrés?

INS __________________________



7. Variacions percentuals 7.a. Augments percentuals Llegeix amb atenció les explicacions del text de la pantalla i completa: Per augmentar una quantitat Q, un r %, es calcula ___________________ i després ____________ el resultat obtingut a la quantitat ______. Anomenem índex de variació al ____________ que correspon a una ______________.

Per calcular l'augment que correspon a una quantitat inicial Q, podem resoldre de dues maneres diferents. Explica a la taula següent la manera de procedir en cada cas. 1r Pas a pas 2n Directament A l'escena hi trobaràs tres exemples d'augments percentuals. Observa les diferents maneres

de resolució clicant Modifica les dades i comprova el resultat.

Resol els exercicis següents aplicant el mètode que prefereixis i comprova el resultat a l'escena corresponent.

El preu d'una bicicleta Si pugem el preu d'una En augmentar el preu

era de 420 euros. A aquest preu se li ha d'afegir el 18% d'IVA. Quin és el preu final?

bicicleta un 17% el preu final és de 351 euros. Quin era el seu preu inicial?

d'una bicicleta ha passat de 530 euros a 583 euros. Quin tant per cent ha pujat?

Clica el botó


Fes diversos exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que en facis bé cinc de seguits.


per anar a la pàgina següent.

Índex de variació: r

I.V.=1+100

INS __________________________



7.b. Disminucions percentuals Llegeix amb atenció les explicacions del text de la pantalla i completa: Per disminuir una quantitat Q, un r %, es calcula ___________________ i després ____________ el resultat obtingut a la quantitat ______. Anomenem índex de variació al ____________ que correspon a una ______________.

Per calcular la disminució que correspon a una quantitat inicial Q, podem resoldre de dues maneres diferents. Explica a la taula següent la manera de procedir en cada cas. 1r Pas a pas 2n Directament A l'escena hi trobaràs tres exemples d'augments percentuals. Observa les diferents maneres

de resolució clicant Modifica les dades i comprova el resultat.

Resol els exercicis següents aplicant el mètode que prefereixis i comprova el resultat a l'escena corresponent.

El preu d'un ordinador Després de rebaixar el En rebaixar el preu d'un

era de 950 euros, però m'han fet un 12% de descompte. Quin és el preu final?

preu d'un ordinador un 9%, m'ha costat 1092 euros. Quin era el seu preu inicial?

ordinador ha passat de 1050 euros a 924 euros. Quin tant per cent ha baixat?

Clica el botó





Índex de variació: r

I.V.=1-100

INS __________________________



7.c. Augments i disminucions percentuals encadenats

Llegeix amb atenció el text de la pantalla i completa:

Per aplicar de forma consecutiva dos o més augments o disminucions percentuals a una quantitat apliquem el primer _______________________ a la quantitat ___________, el segon a la quantitat _____________ en el pas anterior i així successivament.

A l'escena pots veure diversos exercicis d'encadenament d'augments i disminucions

percentuals. Observa les diferents formes de resolució clicant

Modifica les dades i comprova el resultat. Resol els exercicis següents aplicant el mètode que prefereixis i comprova el resultat a l'escena corresponent.

La meva mare té un sou de 2100 euros. Una joguina val en una botiga de joguines

A principis d'any li han augmentat un 4% i a la primavera li han tornat a pujar un 1%. Quant cobrarà ara?

55 euros. Durant les festes de Nadal puja un 17% i després de festes, baixa un 10%. Calcular el seu preu final.

El preu d'un vestit és de 320 euros. El preu d'un mòbil era de 230 euros.

En les rebaixes se li aplica un primer descompte del 20% i després se'l torna a rebaixar un 25%. Quin és el seu preu final?

M'han rebaixat un 18%, però després m'han carregat el 18% d'IVA Quant m'ha costat?

Clica el botó


Fes diversos exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que facis bé cinc exercicis seguits.



INS __________________________




Llegeix amb atenció la informació del resum i completa.

1. Proporció numèrica.

S'anomena raó entre a i b al __________ a

b.

Una proporció numèrica és una __________ ____________numèriques.

Si =a c

b d es verifica que

2. Proporcionalitat directa.

Magnituds directament proporcionals.

Si es multiplica (o divideix) una d'elles per un nombre, l'altra queda multiplicada (o dividida) pel _______________ nombre.

El quocient entre cada parella de valors de les dues magnituds és constant. S'anomena _________________________________

3. Proporcionalitat inversa.

Magnituds inversament proporcionals.

Si es multiplica (o divideix) una d'elles per un nombre, l'altra queda dividida (o multiplicada) pel ___________________ nombre.

El producte entre cada parella de valors de les dues magnituds és constant. S'anomena ______________________________________

4. Proporcionalitat composta.

La proporcionalitat composta consisteix en relacionar tres o més magnituds.

En resoldre una activitat de proporcionalitat composta es relacionen les magnituds __________________________ i es manté _____________ les altres.

5a. Repartiments directament proporcionals.

Consisteix en ______________ una quantitat en parts de manera que cada una d'elles rebi una quantitat _____________________________ ___________________ al valor inicial de cada part.

Es divideix la quantitat a repartir per la ___________ dels valors inicials de cada part i es multiplica el resultat obtingut per cada valor inicial.

5b. Repartiments inversament proporcionals.

Consisteix en dividir una quantitat en parts de manera que cada una d'elles rebi una quantitat ________________________________________ a un valor inicial de cada part.

Es fa el repartiment de forma directament proporcional als ______________________ dels valors inicials de cada una de les parts.

6. Tant per cent.

Per aplicar un percentatge r% a una quantitat Q, es pot plantejar una activitat de magnituds ____________________ proporcionals.

100r

Q100

rQQde%r ⋅=⋅⋅=

Amb aquesta fórmula es pot deduir que per calcular un percentatge, només cal _______________ la quantitat Q per r/100.

7. Variacions percentuals.

Per augmentar o disminuir un percentatge r% a una quantitat Q, es pot calcular el r% de Q i _________________________ aquesta quantitat a la quantitat inicial Q.

Es pot calcular directament la quantitat final calculant la __________________________ corresponent a cada unitat, anomenada índex de variació, i _________________ per la quantitat inicial.

Per a un augment: 100

r1.V.I +=

Per a una disminució: 100

r1.V.I −=

Fes clic


INS __________________________



Per practicar

Practica ara resolent diferents EXERCICIS. Trobaràs EXERCICIS de

Proporcionalitat directa, proporcionalitat inversa, proporcionalitat composta, repartiments proporcionals, tant per cent i variacions percentuals.

Procura fer-ne almenys un de cada classe, i un cop resolt comprova la solució.

Completa l’enunciat amb les dades dels que t’apareixen a cada EXERCICI a la pantalla i després el resols. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si l’has fet bé. En els següents EXERCICIS de Proporcionalitat directa tria una de les opcions i escriu l'enunciat, després resol-lo i finalment comprova la solució a l'ordinador.

1. Recepta de cuina

Un pastís per a 6 persones necessita els següents ingredients: 1,5 litres de llet, 600 grams de farina, 180 grams de xocolata, 3 ous, 100 grams de vainilla i 24 galetes. Calcular la quantitat necessària de cada ingredient per elaborar un altre pastís per a _______ persones.

2. Canvi de divises 1

Quina quantitat de cadascuna de les divises ens donaran en canviar ___________ euros?

Dòlars?

Lliures?

Iens?

INS __________________________




Quants euros ens donaran en canviar les quantitats indicades en cada divisa?

__________ dòlars? ___________ lliures? ____________ Iens?


Quants ____________ ens donaran en canviar ____________ ___________?

5. Plànols i escales I

Calcular la distància aproximada entre dos punts de la Península Ibèrica. Pots calcular la distància en línia recta entre la teva província i qualsevol altra de la Península.

6. Plànols i escales II

Un plànol s'ha realitzat a escala 1 : __________ Calcular la distància en el plànol entre dues ciutats, sabent que la seva distància en línia recta en la realitat, és de _____ quilòmetres.

7. Plànols i escales III

Calcular l'escala amb què s'ha realitzat el plànol d'una casa, sabent que dos punts que en la realitat disten _________ metres, en el plànol estan a una distància de _______ centímetres.

INS __________________________



En els següents EXERCICIS de Proporcionalitat inversa tria una de les opcions i escriu l'enunciat, després resol-lo i finalment comprova la solució a l'ordinador.

1. Velocitat i temps I

Es vol fer un viatge entre dues ciutats que estan a ___________ quilòmetres. Calcula el temps que es trigarà en viatjar des d'una a l'altra de diferents maneres. Caminant: 5 km/h. Bicicleta: 30 km/h. Cotxe: 120 km/h. Tren: 240 km/h. Avió:720 km/h. Nau espacial: 20000 km/h. Caminant: Cotxe: Avió:

Bicicleta: Tren: Nau espacial:

2. Velocitat i temps II

Quant de temps es trigarà en fer el segon recorregut amb el segon mitjà de transport, si amb el primer s'han invertit _____ hores?

3. Excursió

Un grup de _______ nois i noies de 2n d'ESO va de excursió. El preu que ha de pagar cadascú és de _____ euros. Quant hauran de pagar si al final van a l'excursió ___________ persones?

4. Organització de la feina

Un professor proposa als seus alumnes la traducció d'un llibre d'anglès de __________ pàgines. Els dóna un termini de _______ dies. Per traduir una pàgina es triga uns 10 minuts. Tres alumnes adopten diferents actituds per a la traducció. Indicar el nombre de pàgines traduïdes per dia i el temps invertit.

La Júlia:

En Pere:

L'Agnès:

INS __________________________



En els següents EXERCICIS de Proporcionalitat composta tria una de les opcions i escriu l'enunciat, després resol-lo i finalment comprova la solució a l'ordinador.

1. Màquines treballant

Si ________ màquines en ______ hores fabriquen _________ peces, quantes peces fabricaran _______ màquines en _______ hores?

2. Criant animals

Amb ______ quilograms de pinso _____ conills mengen durant __________ dies. Quants dies trigaran _________ conills a menjar-se ________ quilos de pinso?

3. Aixetes i dipòsits

________ aixetes iguals omplen un dipòsit de ______ m3 en _______ hores. Quant de temps trigaran _______ aixetes a omplir un dipòsit de _________ m3?

4. Enllestir la feina

_______ obrers treballant ______ hores diàries triguen a fer una feina ______ dies. Quant de temps trigaran a fer la feina ______ obrers treballant _______ hores?

INS __________________________



En els següents EXERCICIS de Repartiments proporcionals tria una de les opcions i escriu l'enunciat, després resol-lo i finalment comprova la solució a l'ordinador. Repartiments directament proporcionals

1. Bossa de bales I

Un pare té una bossa de 36 bales i vol repartir-la entre els seus dos fills de manera directament proporcional a la seva edat. Fes el repartiment sabent que els fills tenen _______ i ______ anys respectivament.

2. Bossa de bales II

Un pare té una bossa de 36 bales i vol repartir-la entre els seus tres fills de manera directament proporcional a la seva edat. Fes el repartiment sabent que els fills tenen _______, _______ i ______ anys respectivament.

3. El pagès i el rec

Un pagès té quatre parcel·les i disposa de _____________ litres d'aigua per regar-les. Vol regar-les de manera directament proporcional al nombre d'arbres que té plantats en cada una, que és ______, _______, _______ i _______. Calcula el nombre de litres d'aigua que ha de dedicar a cada parcel·la.

4. Treball compartit

Cinc alumnes s'encarreguen de passar en net una certa quantitat de fulls. Quan acaben, reben per la seva feina ___________ euros. Se'ls reparteixen de forma directament proporcional al nombre de fulls que ha escrit cadascú. Com ha de fer-ho, si han escrit per ordre ______, _____, ______, ______ i _____ ?

INS __________________________



Repartiments inversament proporcionals

5. Bossa de bales III

Un pare té una bossa de 36 bales i vol repartir-les entre els seus dos fills de forma inversament proporcional a la seva edat. Fes el repartiment sabent que els seus fills tenen _______ i ______ anys respectivament.

6. Bossa de bales IV

Un pare té una bossa de 36 bales i vol repartir-les entre els seus dos fills de forma inversament proporcional a la seva edat. Fes el repartiment sabent que els seus fills tenen _______, _______ i ______ anys respectivament.

7. Competició estiuenca

En una competició estiuenca, una de les proves consisteix en fer un llarg de piscina. Es reparteixen __________ punts de forma inversament proporcional al temps que triguen els participants. Quants punts s'emportarà cadascun dels finalistes si han trigat respectivament _______ i ________ segons?

8. L'herència

Una persona deixa en herència a tres nebots una quantitat de ______________ euros, que s'han de repartir de manera inversament proporcional a les edats de cadascun d'ells, que són respectivament _______, ______ i ______ anys. Com han de repartir-se l'herència?

INS __________________________



En els següents EXERCICIS de Tant per cent tria una de les opcions i escriu l'enunciat, després resol-lo i finalment comprova la solució a l'ordinador.

1. El dipòsit d'aigua I

Un dipòsit d'aigua té una capacitat de __________ litres. Quants litres d'aigua conté si està ple en un _________ %?

2. El dipòsit d'aigua II

Un dipòsit d'aigua té una capacitat de __________ litres. Quin percentatge d'aigua conté si té _________ litres?

3. El dipòsit d'aigua III

Un dipòsit d'aigua conté __________ litres, que són un _______ % del total. Calcula la seva capacitat.

4. Ofertes de supermercats

Quatre supermercats d'una mateixa ciutat ofereixen diferents ofertes:

A. Pagui dos i emporti-se'n tres. B: Quatre pel preu de tres.

C: La segona unitat a meitat de preu. D: 15% de descompte en tot.

Quina és la millor oferta?

Descompte supermercat A

Descompte supermercat C

Solució:

Descompte supermercat B

Descompte supermercat D

INS __________________________



5. Interessos anuals

Quin interès produirà un capital inicial de ____________________ euros, en ______ anys, a un rèdit del _______ %?

6. Interessos mensuals

Quin interès produirà un capital inicial de ____________________ euros, en ______ mesos, a un rèdit del _______ %?

7. Interessos diaris

Quin interès produirà un capital inicial de ____________________ euros, en ______ dies, a un rèdit del _______ %?

En els següents EXERCICIS de Variacions percentuals tria una de les opcions i escriu l'enunciat, després resol-lo i finalment comprova la solució a l'ordinador.

1. Augment de sou

El meu pare cobra ___________________ euros. L'any que ve, li augmentaran el sou un _______ %. Quin serà el seu nou sou?

INS __________________________



2. Les rebaixes

En època de rebaixes una tenda fa un descompte d'un _______ %. Quin serà el preu final d'un article que valia ____________ euros?

3. El preu de l'habitatge

Fa dos anys el preu d'un habitatge era ________________ euros. Primer va pujar un _____ % i després va tornar a augmentar un _____ %. Quin és el seu preu actual?

4. El preu de la benzina

El preu d'un litre de benzina és de ____________ euros. En augmentar el preu del petroli, la benzina ha pujat un _________ % però després ha baixat un _____ %. Quin és el preu actual?

5. Comprant un cotxe

El preu d'un cotxe és de __________________ euros. Quan l'he comprat m'han fet un descompte del ________ % però després he pagat un _________ % d'impostos de matriculació. Quin ha estat el preu final?

6. Rebaixant les rebaixes

Una botiga d'esports fa un descompte en els seus articles del _______ %. Més tard, i per liquidació, torna a rebaixar el ________ %. Quin serà el preu final d'un article que tenia un preu inicial de ________ euros?

Fes clic


INS __________________________



Autoavaluació

Completa aquí cadascun dels enunciats que proposa l'ordinador i resol, introdueix el resultat per comprovar si la solució és la correcta.

En una canalització, les fuites fan perdre _________ litres d'aigua cada _______ minuts. En quant temps es perdran ________ litres?

________ persones fan una feina en ______ dies. Quant de temps trigaran en fer la mateixa feina _______ persones?

En una campanya publicitària ______ persones reparteixen __________ fulletons en ______ dies. Quants dies trigaran ______ persones en repartir ____________ fulletons?

Repartir _________ objectes de forma directament proporcional a _____, ______ i ______.

Repartir _______ objectes de forma inversament proporcional a _____ i _____.

INS __________________________



A una reunió assisteixen ________ persones. El ______ % són dones. Quantes dones hi ha a la reunió?

El _______ % dels arbres d'un bosc són pins. Si sabem que hi ha _________ pins, quants arbres té el bosc?

El curs passat, a l'institut hi havia __________ alumnes, i aquest any ha disminuït un ______ %. Quants alumnes hi ha ara?

La població del meu poble ha passat en un any de ___________ a __________ habitants. Quin tant per cent ha augmentat o disminuït?

El preu d'una bicicleta era de _________ euros. En primer lloc, s'aplica __________________ del _______% i després ________________ del _______%. Quin és el seu preu final?

INS _______________________


Expressions algebraiques - 1 -

Expressions algebraiques

Continguts

1. Expressions algebraiques

Què són? Com les obtenim? Valor numèric

2. Monomis

Què són? Sumar i restar Multiplicar

3. Polinomis

Què són? Sumar i restar Multiplicar per un monomi

Objectius

• Crear expressions algebraiques a partir d'un enunciat.

• Trobar el valor numèric d'una expressió algebraica.

• Classificar una expressió algebraica en monomi, binomi, ... polinomi.

• Operar amb monomis (sumar, restar i multiplicar).

• Operar amb polinomis (sumar, restar i multiplicar per un monomi). Autora: Eva Mª Perdiguero Garzo Sota llicència Versió en català: Zoila Pena i Terrén Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________



Observa l’escena que apareix a la dreta de la pantalla. Clica les fletxes laterals per obtenir diferents expressions i completa la taula següent.

Llenguatge Expressió

El doble de x per y

3 · x3

La meitat de l’invers

- 2 · x2

Menys el triple de x i y

- ½ · (x + y)

L’arrel de x entre y

0,27 · (x – y)

Et convé repassar les potències i la propietat distributiva del producte respecte de la suma, aquesta escena t’ajudarà a entendre-la.

Clica sobre el botó

que apareix a la pantalla per repassar.

Realitza uns quants exercicis per familiaritzar-te amb l’escena. Després copia dos tal i com veus en el següent exemple:

DIBUIX EXPRESSIÓ


INS _______________________



1. Expressions algebraiques

1.a. Què són? Llegeix el text de la pantalla. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Què és una expressió algebraica?

Què és una variable?

Quan se sobreentén que hi ha un signe de multiplicació?

Observa l’escena de la dreta, pots veure diferents exemples clicant sobre el botó del triangle verd. Completa les expressions corresponents a les següents figures.


NOM: PERÍMETRE: ÀREA:



INS _______________________



1.b. Com les obtenim? Llegeix atentament el text de l’escena RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

A partir de què obtenim l’expressió algebraica?

Què representem amb una lletra?

Observa els exemples de l’escena de la dreta. Clica sobre per veure la solució.

Després pots veure un altre exemple clicant sobre el botó: Copia a continuació quatre dels exemples que hagis fet. Fes-ne tants com necessitis fins que els entenguis. Enunciat Enunciat

Solució

Solució

Enunciat

Enunciat

Solució

Solució


per fer exercicis.

En entrar, apareixen deu activitats que pots realitzar en l’ordre que vulguis. Si t’equivoques tens la possibilitat de corregir la teva errada quan acabis, però només podràs fer aquesta correcció una sola vegada. Repeteix l’exercici les vegades que necessitis.

Quan acabis … Clica per anar a la pàgina següent.

INS _______________________



1.c. Valor numèric Llegeix atentament el text de l’escena. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

A què anomenem valor numèric?

Quin és l’ordre de prioritat en les operacions?

1.- 2.- 3.-

Observa els exemples de l’escena de la dreta. Clica sobre per veure la solució.

Després pots veure un altre exemple clicant sobre el botó: Copia a continuació quatre dels exemples que hagis fet. Fes-ne tants como necessitis fins que els entenguis. Enunciat

Enunciat

Solució

Solució

Enunciat

Enunciat

Solució

Solució


per fer exercicis.

Repeteix l’exercici les vegades que necessitis. Ha arribat el moment de comprovar tot el que has après. Realitza els següents exercicis sense l’ordinador. Un cop els hagis fet, el professor/a et dirà si pots comprovar-los utilitzant les escenes de Descartes amb les que has treballat.

INS _______________________




EXERCICIS 1. Troba les expressions algebraiques que donen el perímetre i l’àrea de cada figura:

2. Tria l’expressió algebraica en cada cas:

1. El triple d’un nombre més sis.

2. La cinquena part d’un nombre més 10.

3. Un quart de la suma un d’un nombre més 7.

4. La semisuma de dos nombres.

5. La meitat del producte de dos nombres.

6. L’arrel quadrada de la suma de dos quadrats.

7. El 40% d’un nombre.

8. El quadrat de la suma de dos nombres.

9. El quadrat de la semisuma de dos nombres.

10. La mitjana aritmètica de tres nombres.

3. Troba el valor numèric indicat en cada cas:

2 – 7 · x5 en (- 2) 3 + 5 · x3 en 2/3 en 9 en

INS _______________________



2. Monomis 2.a. Què són? Llegeix atentament el text de l’escena. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Què és un monomi?

Quin és el coeficient i la part literal d’un monomi?

Què és el grau d’un monomi?

Quan dos monomis són semblants?

Què és l’oposat d’un monomi?

Prova a interactuar amb l’escena de la dreta. Quan ja hagis comprès com funciona i completis uns quants exemples, mira de completar la següent imatge:


per fer exercicis.

S’obre un quadre amb una escena en la qual has de trobar parelles. Realitza uns quants exercicis amb l’escena per comprendre com funciona.


2.b. Sumar i restar monomis Llegeix atentament el text de l’escena. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Com han de ser dos monomis per poder sumar-los o restar-los?

Què fem quan no podem sumar o restar dos monomis?

INS _______________________



Practica amb l’escena de la dreta, fes deu exemples diferents. Si cliques sobre el + veuràs el resultat de la suma, si cliques sobre el – veuràs la resta. Abans de veure el resultat, mira de pensar-ho per tu mateix, després comprova si el que has pensat està bé. A continuació apunta el resultat d’operar els següents monomis:


2.c. Multiplicar monomis Llegeix l’explicació de com es realitza el producte entre dos monomis. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Per multiplicar dos monomis, és necessari que siguin semblants?

Com es multipliquen monomis?

Practica amb l’escena de la dreta. Fes uns quants exemples diferents, fins que et quedi clar com s’efectuen les multiplicacions. Després calcula el producte dels següents monomis:

INS _______________________




per fer multiplicacions de potències.

Realitza’n, al menys, 10 o més, tantes com necessitis per assegurar-te que entens com es fa. Ha arribat el moment de comprovar tot el que has après. Realitza els següents exercicis sense l’ordinador. Un cop els hagis fet, el professor/a et dirà si pots comprovar-los utilitzant les escenes de Descartes amb les que has treballat.


EXERCICIS

4. Aparella cada monomi amb la seva etiqueta, pintant les parelles del mateix color:

5. Suma i resta les següents parelles de monomis:

a) 3/2 x3y, 2 x3y

b) x2y3, -7/4 x2y3

c) 2xy, x3y

d) πx, 6x

6. Tria l’etiqueta que dóna el resultat correcte del producte dels monomis:

INS _______________________



3. Polinomis 3.a. Què són? Llegeix atentament l’explicació a la pantalla. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Què és un polinomi?

Què és el terme independent d’un polinomi?

Com determinem el grau d’un polinomi?

Observa l’escena de la dreta. Realitza uns quants exercicis (cinc o més) perquè comprenguis les diferents preguntes i com es realitzen els exercicis. Després completa els següents exercicis de la mateixa manera:

Els seus coeficients, ordenats de major a menor grau.

Els seus coeficients, ordenats de major a menor grau.

El seu grau

Quants monomis el formen?

El seu grau

Quants monomis el formen?

Valor numèric en – 1.

Valor numèric en – 3.


per fer exercicis.

Realitza deu exercicis en aquesta finestra. Si necessites fer-ne més per entendre’ls, fes-ne tants com necessitis. Després completa els següents: Escriu els elements en el rectangle inferior per escriure ordenadament, començant pel major exponent de x, el polinomi P(x) que acompleix les següents condicions.

Escriu els elements en el rectangle inferior per escriure ordenadament, començant pel major exponent de x, el polinomi P(x) que acompleix les següents condicions.

El grau de P(x) és 6 El coeficient de major grau és - 4 El coeficient de grau 5 és - 2 El coeficient de grau 3 és – 1 El coeficient de grau 2 és 1 El coeficient de grau 1 és 1 Els altres coeficients són tots zero

El grau de P(x) és 7 El coeficient de major grau és 3 El coeficient de grau 6 és 5 El coeficient de grau 3 és – 1 El coeficient de grau 1 és - 2 El coeficient de grau 0 és 4 Els altres coeficients són tots zero

INS _______________________





El grau de P(x) és 4 El coeficient de major grau és - 3 El coeficient de grau 3 és - 5 El coeficient de grau 2 és – 1 El coeficient de grau 0 és 1 Els altres coeficients són tots zero

El grau de P(x) és 6 El coeficient de major grau és - 1 El coeficient de grau 5 és - 2 El coeficient de grau 3 és – 3 El coeficient de grau 2 és - 1 El coeficient de grau 0 és 3 Els altres coeficients són tots zero


3.b. Sumar i restar polinomis

Llegeix en la pantalla l’explicació de com s realitza la suma i la resta de dos monomis. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Explica breuement com sumar o restar dos polinomis

Com aconseguim l’oposat d’un polinomi?

Observa l’escena de la dreta, realitza uns quants exercicis fins que comprenguis com es realitzen. Després completa els següents exercicis:

P(x) + Q(x)

P(x) - Q(x)

- P(x)

Suma, resta i troba els oposats dels polinomis:

- Q(x)

INS _______________________



P(x) + Q(x)

P(x) - Q(x)

- P(x)

Suma, resta i troba els oposats dels polinomis:

- Q(x)


per fer exercicis.

Realitza vuit exercicis, a continuació tens espai per anotar-los i realitzar les operacions que necessitis. Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8


INS _______________________



3.c. Multiplicar per un monomi Llegeix atentament la informació de la pàgina. Experimenta amb l’escena de la dreta per esbrinar com funciona. Practica fent alguns dels exercicis proposats a l’escena, i després fes-la servir per obtenir els següents productes, utilitzant els controls de les fletxes vermelles i blaves per aconseguir els coeficients i els graus corresponents: Exercici 1: 2x · (3x2 – 1) =

Exercici 2: - 7x2 · (xy + 3x5y) =

Exercici 3: - y · (x - y) =

Exercici 4: - 5x4y2 · (- 5y + 7x) =

Exercici 5: -3 · (2y – 5x) =

Exercici 6: - y3 · (8x3y + 4xy3) =


per fer exercicis.

Realitza uns quants exercicis i anota aquí les operacions que necessitis per fer-ne quatre. Si necessites fer més exercicis anota les operacions a la teva llibreta. Exercici 1

Exercici 2

INS _______________________



Exercici 3

Exercici 4

Ha arribat el moment de comprovar tot el que has après. Realitza els següents exercicis sense l’ordinador. Un cop els hagis fet, el professor/a et dirà si pots comprovar-los utilitzant les escenes de Descartes amb les que has treballat.


EXERCICIS

7. Amb els elements de l’esquerra, escriu el polinomi P(x) que acompleixi les condicions de la dreta.

El grau de P(x) és 7 El coeficient de major grau és - 4 El coeficient de grau 5 és - 2 El coeficient de grau 3 és – 3 El coeficient de grau 0 és - 5 Els altres coeficients són tots zero.

8. Troba P(x)-Q(x) Troba P(x)+Q(x)

9. Troba l’expressió en coeficients dels següents productes.

Multiplica el polinomi P(x) = -9x4 + 8x a) per – 4 b) per 11x4

INS _______________________




Llenguatge algebraic Monomis Polinomis Exemples de traducció d’enunciats Un nombre x sumat al seu triple _____________________ La suma de dos nombres naturals consecutius si x és el menor d’ells. _____________________ El doble d’un nombre x menys dotze.

_____________________

Exemple: Monomi de grau 2

Suma de polinomis

Resta de polinomis

Exemples de valor numèric El valor numèric de x2 – x per a x = 6 és: _____________________ El valor numèric de 2x + 3y per a x = 10 i y = 5 és: ___________________ El valor numèric de x3 - 1 per a x = 1 és: ____________________

Suma i resta de monomis

Multiplica monomis

Multiplica un polinomi per un monomi Multiplica un polinomi per un monomi

Clica Per anar a la pàgina següent.

INS _______________________



Per practicar

Ara practicaràs resolent diferents exercicis. En les següents pàgines trobaràs exercicis de:

Obtenir expressions algebraiques i calcular valors. Polinomis: Identificar els seus elements. Operacions amb polinomis.

Procura fer, al menys, un de cada classe i, una vegada resolt, comprova la solució. Completa l’enunciat amb les dades amb les quals apareix cada EXERCICI a la pantalla i després resol-lo.. És important que primer el resolguis tu, i després comprovis amb l’ordinador si l’has fet bé. En els següents EXERCICIS per Obtenir expressions algebraiques i calcular valors, tria una de les opcions i escriu a continuació l’enunciat. Després resol-lo i, finalment comprova la solució a l’ordinador.

Fes-ne un de cada, si necessites fer més, fes-los a la teva llibreta. NOMBRES Troba l’expressió algebraica que dóna la quantitat d’unitats que determina un nombre de ___ xifres.

PASSES La meva passa és de ___ cm. Quantes passes donaré per fer ___ voltes a un circuit de ___ metres?

PUNT QUILOMÈTRIC Si fa ___ hores era al Km ___ de la carretera i vaig a una velocitat mitjana de x Km/h, en quin punt quilomètric de la carretera on em trobo?

HORES En ¾ d’hora hi ha 45 minuts. Saps quants minuts hi ha en ___________ d’hora?

INS _______________________



DESCOMPTES L’expressió algebraica que defineix el preu d’un article de y € si ens descompten un x% és Troba el preu rebaixat un _____% d’un article de ____€

VALORS FÁCILS Troba el valor numèric de P(x) = ___________ en 10 i en 0,1

MÉS FÁCIL Troba el valor numèric de per x = ___ y = _____

ÀREA Fem un rectangle doblegant un filferro de 40 cm. Troba l’expressió algebraica que defineix l’àrea del rectangle (veure la figura) i calcula el seu valor en x = _____


Operacions amb polinomis COEFICIENT Quin és el grau del polinomi de l’esquerra? Quin és el seu coeficient de grau 2? I el de grau 1? Calcula el seu valor numèric per x = ___

MULTIPLICA GRÀFICAMENT Multiplica (__) · (________) i (___) · (________)

INS _______________________



SUMA MONOMIS Opera: [_____] + [____]

RESTA MONOMIS Opera: [_____] - [____]

MULTIPLICA MONOMIS Opera: [_____] · [____]

SUMA POLINOMIS Suma els polinomis:

__________________

___________________

RESTA POLINOMIS Resta els polinomis: __________________ ___________________

MONOMI PER POLINOMI _________ · (_________________)


INS _______________________



Autoavaluació

Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

Troba l’expressió algebraica que dóna les unitats del _____ d’un nombre de tres xifres xyz.

Troba l’àrea del rectangle de la figura.

Troba el valor numèric de _____________________ per x = ____

Quin és el grau del polinomi

______________________________ ?

Quin és el coeficient de grau __ de ____________________ ?

INS _______________________



P(x) és un polinomi de grau ___ tal que P(10) = ____, P(0,1) = _____. Tria l’opció correcta.

1.- P(x) = ____________

2.- P(x) = ________________

3.- Necessitem més dades per determinar el polinomi.

4.- Les dades són suficients però el polinomi no és cap dels anteriors.

Fes la següent suma de monomis _____ + ______

1.- La suma és ________

2.- _________

3.- L’expressió no es pot simplificar.

Troba el valor numèric per x = ____ de la resta dels polinomis P(x) i Q(x).

P(x)=_______________ y

Q(x)= ________________

Quina és l’opció que dóna exactament i simplificada la suma dels polinomis ___________ i __________

1.- La suma és ______________

2.- La suma és _______________

3.- Cap dels resultats anteriors és correcte.

Quin és el grau del producte de ______ per _____________________?

INS _______________________

QUADERN Núm. 6 NOM: ___________________________ DATA: / /

Equacions - 1 -

Equacions

Continguts

1. Equacions: idees bàsiques Igualtats i equacions Elements d’una equació Equacions equivalents

2. Regles per a resoldre una equació Sense denominadors Amb denominadors Resolució general d’equacions

3. Aplicacions Problemes amb equacions

Objectius

• Reconèixer situacions que es poden resoldre amb equacions.

• Traduir al llenguatge matemàtic enunciats del llenguatge ordinari.

• Conèixer els elements d’una equació.

• Resoldre equacions de primer grau.

• Resoldre problemes fent servir les equacions.

Autor: Juan José López Ordóñez Sota llicència Versió en català: Conxa Sanchis Sanz Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________


Equacions - 2 -

Investiga Llegeix el text sobre el papirus de Rhind i intenta resoldre el problema següent: "Un munt més la setena part del munt és igual a 32. Quant hi ha en el munt?"

Recorda

Clica al botó

per tal de repassar el que sabies d’equacions.

Clica per passar a la pàgina següent.

1. Equacions: idees bàsiques 1.a. Igualtats i equacions Llegeix el text de la pantalla: "Fem servir equacions quan hem de trobar..." RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Com es diu la quantitat desconeguda que es representa amb una lletra?

Com es diu la igualtat algebraica que expressa la condició que verifica la quantitat desconeguda?

Com es diu trobar el valor o valors de les lletres que verifiquen la igualtat?

A l’escena de la dreta tens diversos exemples de situacions que s’expressen amb equacions. Clica per tal de veure els passos que es fan per expressar cada situació amb una equació. Tria dos exemples i copia’ls tot seguit:

Situació:

La "x" representa:

Les altres dades:

Equació:

Situació:

La "x" representa:

Les altres dades:

Equació:


Exemple 1

Exemple 2

INS _______________________


Equacions - 3 -

1.b. Elements d’una equació Llegeix quins són els elements d’una equació. A l’escena de la dreta tens diferents exemples. Tria’n quatre i completa la taula següent:

Equació 1er membre 2o membre Grau Incògnita Solucions

Clica al botó


A l’escena de la nova finestra trobaràs exercicis en què cal comprovar si un nombre determinat és solució d’una equació. Té dues sèries: la primera són dos exemples i la segona consta de deu exercicis guiats. Llegeix atentament els exemples i fes clic en ">>" per passar als exercicis. Fes els exercicis anotant a la teva llibreta tots els passos. Tot seguit, copia la resolució dels tres últims exercicis de la sèrie 2, i respon a la pregunta de si el nombre és o no solució de l’equació:

Exercici 8

Exercici 9 Exercici 10


INS _______________________


Equacions - 4 -

1.c. Equacions equivalents Llegeix el text de la pantalla: "S’anomenen equacions equivalents..." RESPON AQUESTES QÜESTIONS RESPOSTES

Què són equacions equivalents?

Quina propietat que té a veure amb la suma i la resta s’aplica per tal d’obtenir una altra equació equivalent?

Quina propietat que té a veure amb la multiplicació i la divisió s’aplica per tal d’obtenir una altra equació equivalent?

A l’escena de la dreta tens molts exemples d’obtenció d’equacions equivalents. Clica per veure els passos per tal d’obtenir una equació equivalent fent servir una de les dues propietats que hem vist anteriorment. Fixa’t que en alguns exemples s’aplica la propietat distributiva i que al final es simplifica l’equació reduint termes semblants: és a dir, es sumen o resten els termes amb la mateixa part literal.

Tria quatre exemples i copia’ls tot seguit:

Equació:

Propietat que apliquem:

Equació equivalent:

Reduïm termes semblants:

Equació:




Equació:




Equació:




Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

INS _______________________


Equacions - 5 -

Fes clic al botó per fer uns exercicis.

A l’escena de la nova finestra trobaràs exercicis en què cal trobar una equació equivalent a una altra. Té dues sèries: la primera són dos exemples i la segona consta de nou exercicis guiats. Llegeix atentament els exemples i fes clic a ">>" per passar als exercicis. Fes els exercicis i anota a la teva llibreta tots els passos. A continuació, tria tres exercicis de la sèrie 2 i copia’n la resolució:

Exercici __

Exercici __ Exercici __

Fes els exercicis següents a la teva llibreta sense l’ordinador.


EXERCICIS de Reforç

A. Expressa mitjançant una equació la situació següent: “Repartim 92 € entre dos amics de manera que un rebi el triple que l’altre”.

B. Indica quins són els termes de les equacions següents:

a) 2x+7=8–5x c) 4y

1y213 +−=−

b) 10x2=–4 d) 3x3–x2+x–234=0

C. Esbrina si x=–3 és solució de les equacions següents:

a) x+7=7–x c) 3x

23x216 −=−

b) 10x–4=2(3x–8) d) x3–x2+5x+51=0

D. Esbrina si són equivalents les equacions 25x+50=–100 i x+2=–4 .

E. L’equació x3–20x+a=2 té solució x=4. Esbrina el valor de a .

INS _______________________


Equacions - 6 -

2. Regles per resoldre una equació 2.a. Equació sense denominadors Llegeix els passos que s’han de seguir per resoldre una equació sense denominadors i copia’ls:

1r

2n

A l’escena de la dreta tens molts exemples de resolució d’equacions amb i sense parèntesis. Tria un tipus d’equació i clica per veure els passos per tal de resoldre cada equació.

Tria quatre exemples i copia’ls a continuació:

Equació sense

parèntesis:

Resolució:

Solució:

Equació sense

parèntesis:

Resolució:

Solució:

Equació amb parèntesis:

Resolució:

Solució:

Equació amb parèntesis:

Resolució:

Solució:

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

INS _______________________


Equacions - 7 -


A l’escena de la nova finestra trobaràs exercicis de resolució d’equacions sense denominadors. Té dues sèries: la primera són dos exemples i la segona consta de vuit exercicis guiats. Llegeix atentament els exemples i fes clic en ">>" per passar als exercicis. Fes els exercicis i anota tots els passos a la teva llibreta. Tot seguit, copia la resolució dels tres últims exercicis de la sèrie 2, i indica clarament quina és la solució de l’equació.

Exercici 6



2.b. Equació amb denominadors Llegeix els passos que s’han de seguir per tal de resoldre una equació amb denominadors i copia’ls:

1r

2n

3r

4t

A l’escena de la dreta tens molts exemples de resolució d’equacions amb denominadors. Clica per tal de veure els passos que cal fer per a resoldre cada equació. Tria quatre exemples i copia’ls a continuació:

INS _______________________


Equacions - 8 -

Equació:

Resolució:

Solució:

Equació:

Resolució:

Solució:

Equació:

Resolució:

Solució:

Equació:

Resolució:

Solució:


En l’escena de la nova finestra trobaràs exercicis de resolució d’equacions amb denominadors. Té dues sèries: la primera són dos exemples i la segona consta de vuit exercicis guiats. Llegeix atentament els exemples i fes clic a ">>" per passar als exercicis. Fes els exercicis anotant tots els passos. A continuació, copia la resolució dels tres últims exercicis de la sèrie 2, i indica clarament quina és la solució de cada equació.

Exemple 4

Exemple 3

Exemple 2

Exemple 1

INS _______________________


Equacions - 9 -

Exercici 6



2.c. Resolució general d’equacions de primer grau Escriu a continuació els passos que s’han de seguir per resoldre qualsevol equació de primer grau:

1º

2º

3º

4º

A l’escena de la dreta tens molts exemples de resolució d’equacions de primer grau. Clica per veure els passos que es fan per a resoldre cada equació. Tria tres exemples i copia’ls a continuació:

Equació:

Resolució:

Solució:

Exemple 1

INS _______________________


Equacions - 10 -

Equació:

Resolució:

Solució:

Equació:

Resolució:

Solució:


A l’escena de la nova finestra trobaràs vuit equacions de primer grau. Resol-les i indica tots els passos i la solució a continuació:

Equació 1:

Resolució:

Solució:

Equació 2:

Resolució:

Solució:

Equació 3:

Resolució:

Solució:

Exemple 3

Exemple 2

INS _______________________


Equacions - 11 -

Equació 4:

Resolució:

Solució:

Equació 5:

Resolució:

Solució:

Equació 6:

Resolució:

Solució:

Equació 7:

Resolució:

Solució:

Equació 8:

Resolució:

Solució:

Quan hagis resolt les vuit equacions, clica en el botó "Solucions" i comprova si les has resolt correctament.


INS _______________________


Equacions - 12 -

3. Aplicacions 3.a. Problemes amb equacions Llegeix el text de la pantalla: "Per traduir un problema al llengutge algebraic..." RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Què és el primer que cal fer per tal de resoldre un problema amb l’ajut d’una equació?

Quins són els passos que s’han de seguir per a resoldre un problema fent servir una equació?

A l’escena de la dreta tens sis exemples de resolució de problemas fent servir equacions de primer grau. Clica per veure els passos que es fan per a resoldre cada problema.

Fixa’t bé en cadascun. Tria tres exemples i copia’ls a continuació:

Problema:

Incògnita:

Equació:

Resolució:

Solució:

Comprovació:

Exemple __

INS _______________________


Equacions - 13 -

Problema:

Incògnita:

Equació:

Resolució:

Solució:

Comprovació:

Problema:

Incògnita:

Equació:

Resolució:

Solució:

Comprovació:

Fes els exercicis següents a la teva llibreta sense l’ordinador.

Exemple __

Exemple __

INS _______________________


Equacions - 14 -


EXERCICIS

1. Si al triple d’un nombre li restem 16 s’obté 20. Quin és aquest nombre?

2. En Pere, que actualmente té 42 anys, té 8 anys més que el doble de l’edat de l’Antoni.Quina és l’edat de l’Antoni?

3. Si sumem 34 unitats a un nombre, s’obté el mateix resultat que en multiplicar-lo per 3. Quin és aquest nombre?

4. La suma de tres nombres naturals consecutius és igual al més petit més 19. Quins són aquests tres nombres?

5. En una feina, en Miquel ha guanyat el doble de diners que l’Anna, i l’Abel el triple que en Miquel. Si en total han obtingut 144 €, quant ha guanyat cadascú?

6. Tres germans es reparteixen 89 €. El més gran ha de rebre el doble que el mitjà, i aquest, 7 € més que el petit. Quant rep cadascú?

Resol les equacions següents:

7. )5x3(4x3)3x2(74 −−=−−

8. 75

x234 =−−

9.

−=−37

x31

21

3x2

10. 15x2

31

310x3

3x

5x

2 −

+=−

+

11. 4

1x312

1x3

x1 −=−−−

12.

−+=

+− 12x

310x

15x

25

INS _______________________


Equacions - 15 -

Recorda el mès important – RESUM

Equacions: idees bàsiques

• Quan volem trobar una certa quantitat, la ___________, que sabem que compleix una condició, representem la quantitat desconeguda per "x" (o qualsevol altra _______) i la condició que compleix és _____________________ • _______ una equació és trobar el o els valors de la o les __________ amb els quals es verifica la igualtat.

• Membres: Són les _________ que apareixen a cada costat de la _______. El de la esquerra es diu___________. El de la dreta es diu __________. • Termes: són els __________ que formen els membres. • Solucions: Són els ___________ que han de prendre les __________ per tal que la igualtat sigui certa. • Grau d’una equació: És el __________ dels graus dels __________ que formen els membres.

Equacions equivalents. Resolució d’equacions.

Per resoldre equacions de primer grau

• S’anomenen equacions equivalents les que tenen _________________ _____________. • Si es ____________ una quantitat o expressió als dos membres d’una equació se n’obté una altra _______________. • Si es ____________________ els dos __________ d’una equació per un nombre (o una expressió algebraica) se n’obté una altra equivalent.

Regles pràctiques:

“El que està ___________ passa restant i el que està _______ passa sumant” “El que està ___________ passa dividint i el que està _________ passa multiplicant”

Passos a seguir:

• Treure_____________. • _________ denominadors. • Agrupar els __________ que porten la incògnita en un membre i els ______________________ a l’altre. • Aïllar ______________.

Per resoldre problemes, després de comprendre l’enunciat:

• Establir amb precisió quina serà la _____________. • Expressar amb __________________ la relació que conté l’enunciat. • ______________ l’equació. • _____________ la solució de l’ equació en el context de l’enunciat. • Comprovar que la solució obtinguda compleix ________________________.


INS _______________________


Equacions - 16 -

Per practicar Practica ara resolent diferents exercicis. Trobaràs exercicis de:

• Resolució de problemes • Equacions de primer grau

Completa l’enunciat amb les dades de cada exercici en la pantalla i després resol-lo. És important que primer resolguis tu els exercicis i que després comprovis a l’ ordinador si els has fet bé. Resolució de problemes

L’edat del Frederic és ___________ de la de la Maria i la d’en Pau és la _____________ de la de la Maria. La suma de les edats del Frederic i d’en Pau és ____ anys. Esbrina les edats de tots tres.

La suma de les edats de dos amics és ____. Sabem que un d’ells és ___ anys més gran que l’altre. Esbrina l’edat de cadascun.

INS _______________________


Equacions - 17 -

D’aquí a ____ anys en Joan duplicarà l’edat que tenia fa _____ anys. Quina és la seva edat actual?

Si a la _______________ d’un nombre li sumem el seu __________________ i a més li afegim ____, obtenim aquest nombre. Quin nombre és?

El preu de ___ iogurts grecs i ___ iogurts de coco és _____ €. El iogurt grec val _____________ més que el de coco. Calcula el preu de cadascun.

Tres germans es reparteixen ____ € de la següent manera: el mitjà rep ____ € menys que el més gran, i el petit rep la __________ que el mitjà. Quant rep cadascú?

INS _______________________


Equacions - 18 -

Trobar els costats d’un rectangle de ___ cm de perímetre si l’altura és ____ de la base.

La Paloma, en Pau i l’Andreu comparteixen la propietat d’un terreny de _______ ha. En Pau té el ________ de terreny que l’Andreu i la Paloma el _______ que en Pau. Quina superfície de terreny té cadascú?


Equacions de primer grau

Resol l’equació:

Resol l’equació:

INS _______________________


Equacions - 19 -

Resol l’equació:

Resol l’equació:

Resol l’equació:

Resol l’equació:

Resol l’equació:


INS _______________________


Equacions - 20 -

Autoavaluació Completa aquí cadascun dels enunciats que apareixen a l’ordinador i resol-lo. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

És __ solució de l’equació _________ ?

Són equivalents les equacions _____________ i _____________ ?

L’equació ________________ té solució x=___. Quin és el valor de c ?

¿Són equivalents _______________ i _______________ ?

Resol l’equació __________________.

Resol l’equació __________________.

Resol l’equació __________________.

Hem pagat ____ € per ___ pantalons i ___ samarretes. Si un pantaló costa ___ € més que una samarreta, quant costa una samarreta?

La suma de tres nombres consecutius és _____. Troba el menor de tots tres.

La superfície d’una finca és de _____ ha. Un olivar ocupa la meitat de superfície que un alzinar, i el blat ocupa la tercera part que l’alzinar. També hi ha una superfície de ____ ha dedicada a horta. Quant ocupa l’alzinar?

INS _______________________


Semblança. Teorema de Pitàgores - 1 -

Semblança. Teorema de Pitàgores

Continguts

1. Teorema de Tales Enunciat i posició de Tales Aplicacions

2. Semblança de figures

Figures semblants Semblança de triangles Aplicacions Relació entre àrees

3. Ampliació i reducció de figures

Ampliació, reducció i escala 4. Teorema de Pitàgores

Enunciat Aplicacions

Objectius

• Aplicar correctament el Teorema de Tales.

• Reconèixer i dibuixar figures semblants.

• Aplicar els criteris de semblança de triangles.

• Calcular la raó de semblança.

• Utilitzar la relació entre las àrees de figures semblants.

• Calcular distàncies en mapes i plànols.

• Construir figures a escala.

• Resoldre problemes geomètrics aplicant el Teorema de Pitàgores.

Autor: Xosé Eixo Blanco Sota llicència Versió en català: Ramon Codorniu Torà Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________



Aplicant la semblança aprendràs, entre altres coses a mesurar altures d’edificis amb un mirall sense necessitat de pujar-hi. També pots fer-ho utilitzant les seves ombres ...

Investiga

En una pizzeria, la pizza petita té 23 cm de diàmetre i és per a una persona. Però, la pizza familiar té 46 cm de diàmetre, just el doble que la petita, i diuen que és per a 4 persones. Ens estan enredant??


1. Teorema de Tales i aplicacions 1.a. Enunciat i posició de Tales Llegeix de la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat.

Completa l’enunciat del Teorema de Tales:

Si diverses rectes paral·leles es tallen amb dues secants r i s, ________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

(Completa el dibuix i la fórmula)

INS _______________________



Clica a Triangles en posició de Tales.

S’obre una finestra amb l’explicació. Completa el text, fes el dibuix i escriu la fórmula.

Els triangles ABC i AB'C'________________________, estan encaixats. Els costats oposats a l’angle A _______ _____________________. En aquests casos es diu que els dos triangles estan en posició de Tales. Quan els dos triangles es poden col·locar en posició de Tales, __________________________________.

Fes clic al botó


A la finestra que s’obre apareix en primer lloc un exercici resolt. Observa’l detingudament per comprendre la resolució. Clica a UN EXERCICI MÉS i apareixerà un enunciat que has de resoldre i introduir el resultat en l’espai reservat. Per veure si és correcte clica VEURE SOLUCIÓ. Escriu a continuació dos d’aquests exercicis:

EXERCICI 1

Operacions: Resultat: x =

EXERCICI 2


Tanca la finestra d’exercicis i clica per anar a la pàgina següent.

INS _______________________



1.b. Aplicacions Llegeix de la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat on es fa referència a una de les aplicacions més conegudes del Teorema de Tales. A l’escena de la dreta es pot veure amb més detall aquesta i altres aplicacions. Completa el text de passos a seguir en cadascuna de les aplicacions i fes el dibuix en cada cas:

Clica per a continuar.

Divisió d’un segment en parts iguales

Clica per veure el Pas 1

Es traça ____________________________

___________________________________


Sobre la semirecta ___________________

___________________________________


S’uneix _____________________________

___________________________________


Es tracen ___________________________

___________________________________


El segment queda dividit en __ parts iguales.

Per veure l’explicació teòrica clica

Clica per a continuar. Ara podràs escollir la mida del segment i el nombre de parts.

Hauràs de repetir tots els passos anteriors.

Clica per a continuar amb una altra aplicació del teorema de Tales.

INS _______________________



Quarta proporcional

Un segment és quarta proporcional a tres segments de longituds a, b i c si la seva longitud, x, verifica que: =


Es col·loca ________________________________

________________________________________


Es dibuixa ________________________________

________________________________________


Es traça ________________________________

________________________________________


Es traça ________________________________

________________________________________


El segment obtingut és la ___________________ Clica per a continuar.

Tercera proporcional

Un segment és tercera proporcional a dos segments de longituds a i b si la seva longitud, x, verifica que =


Es col·loca ________________________________

________________________________________


Es dibuixa ________________________________

________________________________________


Es traça ________________________________

________________________________________


Es traça ________________________________

________________________________________


El segment obtingut és la __________________

INS _______________________



Clica a

per fer exercicis.

Observa la solució d’algun d’ells i resol els dos següents: EXERCICIS

Representa sobre aquesta recta la fracció: 35

Representa sobre aquesta recta la fracció: 58


EXERCICIS

1. Fes servir el teorema de Tales per calcular x.

2. Calcula el valor de x.

3. Divideix el segment en 7 parts iguales.

INS _______________________



2. Semblança de figures 2.a. Figures semblants Llegeix de la pantalla l’explicació teòrica d’aquesta apartat.

Completa l’enunciat del Teorema de Tales:

Dos figures són semblants si ________________________________________________

__________________________________________________________________________

És a dir ___________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

(Completa el dibuix i les fórmules)

Cada longitud en una de les figures s’obté ________________________________________

__________________________________________________________________________

Observa l’escena de la dreta. Clica per a continuar. En primer lloc apareix l’explicació del concepte de figures semblants. Apareixen dos quadrilàters. Mou els vèrtexs del de l’esquerra per modificar les longituds dels seus costats i observa com en el de la dreta també es modifiquen els seus constats de la mateixa manera. Para veure un altra explicació clica

EXERCICI. Contesta:

Quantes vegades és més gran la figura de la dreta que la de l’esquerra? ________________

Com són els angles corresponents de les dues figures? ________________________

Clica per a continuar. Ara pots escollir el valor de la raó de semblança amb els botons

que apareixen a la part inferior de l’escena.

Clica per a continuar. A continuació completa els textos dels passos a seguir per a construir un polígon semblant a un altre.

INS _______________________



Construcció de polígons semblants

Pas 0

Es tria ____________________________

� Raó de semblança: 2,0


Es tracen ___________________________

___________________________________


En la semirecta AB ___________________

___________________________________

Clica per veure el Passos 3, 4, 5

Des de B’ ___________________________

___________________________________


S’obté __________________________ ___________________________________


2.b. Criteris de semblança de triangles Llegeix de la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat.

A diferencia d’altres polígons, per saber si dos triangles són semblants, no és necessari comprovar que els seus angles són iguals i que els seus costats són proporcionals. N’hi ha prou que es verifiqui algun dels següents criteris:

(Completa los criteris)

INS _______________________



Observa l’escena de la dreta. Apareixen dos triangles en posició de Tales. EXERCICI. Contesta:

Quines dues condicions han de complir dos triangles per estar en posició de Tales?

1.- ____________________________________________________________________

2.- ____________________________________________________________________

Com són sempre entre ells dos triangles que estan en posició de Tales? _____________

Clica per a continuar. Apareix l’enunciat del primer criteri de semblança i dos triangles. A la part inferior hi ha uns controls per canviar els angles del primer triangle. Fes-los servir fins aconseguir que els dos triangles es quedin en posició de Tales. Completa l’enunciat del criteri i fes el dibuix dels dos triangles en la posició final: Primer criteri de semblança:

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

Clica per a continuar. Apareix l’enunciat del segon criteri de semblança, dos triangles i les raons entre les longituds dels seus costats. A la part inferior hi ha els controls per canviar les longituds dels costats del segon triangle. Fes-los servir fins aconseguir que els dos triangles siguin semblants. Fixa’t que les tres raons han de ser iguals. Completa l’enunciat del criteri i fes el dibuix dels dos triangles en la posició final: Segon criteri de semblança:

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

Clica per a continuar. Apareix l’enunciat del tercer criteri de semblança, dos triangles, les raons entre les longituds de dos dels seus costats i l’angle comprès entre ells. A la part inferior hi ha els controls per canviar les longituds dels dos costats del segon triangle i també l’amplitud de l’angle comprès entre ells. Fes-los servir fins aconseguir que els dos triangles seguin semblants.

INS _______________________



Completa l’enunciat del criteri i fes el dibuix dels dos triangles en la posició final: Tercer criteri de semblança:

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________


2.c. Aplicacions Llegeix de la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat on s’indiquen alguns tipus de problemes que es poden resoldre fent servir la semblança de triangles. A l’escena de la dreta apareixen desenvolupats dos d’aquests problemes. Completa els passos a seguir en els següents requadres i fes el dibuix corresponent:

(Pots canviar cada dibuix amb els controls que apareixen a l’escena)

CÀLCUL DE L’ALTURA D’UN OBJECTE VERTICAL A PARTIR DE LA SEVA OMBRA


Es clava ________________________________


Es mesura ________________________________

________________________________________ Clica per veure el Pas 3

Els dos triangles que apareixen a l’escena són ________________.


=

Aïllant x: x = = Per tant ________________________________


CÀLCUL DE L’ALTURA D’UN OBJECTE VERTICAL AMB UN MIRALL


Es col·loca ________________________________


L’observador es situa de manera que, dret, pot veure reflectida en el mirall la part més alta de l’objecte. Els dos triangles són ____________ ja que tenen ___________________________. Clica per veure el Pas 3

Es mesura ________________________________

________________________________________ Clica per veure el Pas 4

Per tant ________________________________

=

Aïllant x: x = =

INS _______________________



Com va mesurar Tales l’altura d’una piràmide?. Clica

i ho veuràs.

Llegeix atentament les explicacions per comprendre el mètode que s’explica. Possiblement és semblant al que va fer servir Tales de Milet per mesurar l’altura d’una piràmide.

Has de clicar per anar veient els Passos a seguir. Quan hagis entès el procediment, clica la fletxa que apareix a la part inferior. Imitaràs a Tales i hauràs de fer els càlculs per mesurar una piràmide.

EXERCICI. Anota les dades en el següent dibuix i fes les operacions. Després introdueix el resultat en el requadre de la pantalla i clica VEURE SOLUCIÓ per comprovar si és correcte:



2.d. Relació entre las àrees Llegeix de la pantalla l’explicació d’aquest apartat. Es proposa el problema inicial i per poder comprendre la seva resolució, observa que passa amb els dos rectangles de l’escena de la dreta. Introdueix diferents valors a la Raó de semblança, fent servir el control que apareix a la part inferior de l’escena i completa la següent taula:

Raó de semblança Rectangle 1 Rectangle 2 Raó entre àrees

r = 2 A = A’ = =A 'A

r = 2,5 A = A’ = =A 'A

r = 3 A = A’ = =A 'A

Clica per a continuar. Ara apareixen dos cercles i a la part inferior els controls per poder canviar els seus radis. És evident que dos cercles sempre són semblants.

INS _______________________



Observa la relació existent entre les seves àrees. Completa la taula següent:

Raó de semblança Cercle 1 Cercle 2 Raó entre àrees

r = 2 A = A’ = =A 'A

Clica per a continuar. Completa ara la fórmula que s’ha trobat.

Raó entre les àrees = (_________________________)


EXERCICIS 4. Són semblants els triangles? En cas afirmatiu calcula la raó de semblança.

a)

b)

5. Raona si són semblants les figures. En cas afirmatiu, calcula la raó de semblança.

a)

b)

6. Un observador, que mesura des dels seus ulls fins al terra 1,65 m, veu reflectida en un mirall la part més alta d’un edifici. El mirall es troba a 2,06 m dels seus peus i a 5 m de l’edifici. Troba l’altura de l’edifici.

7. Un mur projecta una ombra de 2,51 m al mateix temps que un pal de 1,10 m projecta una ombra de 0,92 m. Calcula l’altura del mur.

8. Un rectangle de 1 cm x 1,5 cm té una superfície de 1x1,5=1,5 cm2. Quina superfície tindrà un rectangle el triple d’ample i el triple de llarg?

INS _______________________



3. Ampliació i reducció de figures 3.a. Ampliació, reducció i escales Llegeix de la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Completa:

La semblança de figures ens permet fer representacions d’objectes reals ______________ ________________________________________________________________________

En les representacions d’objectes la _______________________ rep el

nom de _____________________.

El factor d'escala és 200, les dimensions del menjador en la realitat són 200 vegades més grans que en el plànol.

Clica: Més sobre escales L’escala s’expressa en forma de quocient:

1:200

En aquest cas, 200 és la ____________________ o ______________________. En un plànol a escala 1:200___________________________________________________.

En aquest mapa l’escala és 1:14.000.000, que significa que

_____________________________________________________

__________________________________________________.

A l’escena de la dreta es poden veure més exemples d’ampliació i reducció de figures. Clica per a continuar. En primer lloc apareix l’explicació del funcionament de:

EL PANTÒGRAF

És un instrument que s’utilitza per obtenir figures semblants a una donada. Clica a l’extrem del punxó negre i observa la figura que dibuixa el llapis. Neteja la pantalla, canvia el paràmetre r i tornar a observar.

Clica per a continuar. Apareix una explicació del funcionament del PANTÒGRAF. � Llegeix-la detingudament per a comprendre el motiu pel qual les figures dibuixades són

semblants. Clica per a continuar. Podràs llegir la història i ús del pantògraf.

Clica per a continuar. Podràs fer una pràctica de gravació amb el PANTÒGRAF.

Introdueix el factor d’escala: r = 3

Desplaça suaument el punxó per sobre les lletres RD i es farà una gravació dins del petit requadre.

INS _______________________



Clica per a continuar. Podràs fer una altra pràctica de gravació amb el PANTÒGRAF.

Introdueix el factor d’escala: r = 2

El pantògraf també serveix per a fer ampliacions, si intercanviem el llapis i el punxó. Demostra que tens bon pols i, utilitzant adequadament els controls, fes una ampliació al triple del logotip Descartes. Desplaça suaument el punxó per sobre del logotip per realitzar una ampliació.

Clica per a continuar. Apareix un mapa d’Espanya.

DESCARTES AIRLINES S.A. Observa l’escala del mapa i calcula aproximadament la distància recorreguda, en Km, per un avió de Màlaga a Barcelona. Introdueix el resultat a la finestra inferior i prem intro. Distància: _______

Clica per a continuar. Apareix un plànol d’una ciutat Avança pel procediment per esbrinar l’escala i després calcula la distància entre els punts A i B marcats en el plànol.


EXERCICIS. 9. Calcula la distància real entre A i B.

10. Calcula l’escala del mapa sabent que el camp de futbol mesura 110m de llarg en la realitat. Quina distància aproximada hi ha entre A i B en la realitat, si en el plànol és de 5,2 cm?

11. En un plànol amb escala 1:40, quines mides tindrà una taula rectangular de 0,96 m x 0,72 m?

12. Una maqueta d’un cotxe, a escala 1:50, té 8 cm de longitud, 3,5 cm d’amplada i 2,8 cm d’altura. Calcula les dimensiones reals del cotxe.

INS _______________________



4. Teorema de Pitàgores 4.a. Enunciat Llegeix de la pantalla l’enunciat del Teorema de Pitàgores i escriu la fórmula i el text del requadre:

En tot triangle rectangle es verifica que

______________________________________

______________________________________

A l’escena de la dreta pots veure més explicacions sobre aquest important teorema. En primer lloc es parla d’aspectes històrics. Llegeix atentament. Clica per a continuar. A l’escena apareix ara un triangle i a sota dos controls amb els que es pot modificar la midad dels catets i veure que sempre es compleix el Teorema de Pitàgores. Clica per a continuar.

Completa les dades que falten en el dibuix i escriu la fórmula en el requadre �

Clica per a continuar. Completa pas a pas les explicacions i els dibuixos.

DEMOSTRACIÓ

Pas 0

Els dos quadrats són _________

___________________________.

(Completa el dibuix posant les

longituds dels costats)

Clica per veure el Pas 1 La superfície de color vermell ___________________ ___________________________________

Clica per veure el Pas 2 Per tant la superfície de color taronja ____________ ___________________________________.

Clica per veure el Pas 3 La superfície taronja del primer quadrat és ____ i la del segon és ________________.

Clica per veure el Pas 4 CONCLUSIÓ:


Llegeix l’explicació sobre el RECONEIXEMENT DE TRIANGLES RECTANGLES.

INS _______________________



EXERCICI: Comprova si són o no triangles rectangles els que tenen les següents ternes de costats: Costat

a Costat

b Costat

c És rectangle?

SI / NO Costat

a Costat

b Costat

c És rectangle?

SI / NO 3 4 5 6 8 10 4 5 6 12 16 20 5 8 9 5 12 13


4.b. Aplicacions Llegeix de la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat on es veuen alguns tipus de problemes que es poden resoldre utilitzant el TEOREMA DE PITÀGORES. A l’escena apareixen desenvolupats dos d’aquests exercicis. Completa els passos a seguir en els següents requadres i fes el dibuix corresponent:

(Pots canviar cada dibuix amb els controls que apareixen a l’escena

2 =1,414213562373095048801…

Es pot trobar un segment que mesuri exactament 2 ? Pas 0 Representem ___________________________

Clica per veure el Pas 1 Representem ___________________________ _______________________________________.

Clica per veure el Pas 2 Unim _________________________________ _______________________________________.

Clica per veure el Pas 3 Només tenim que calcular__________________ _______________________________________.


Apliquem el ____________________________.


DIAGONAL D’UN RECTANGLE

d =

Amb el teorema de Pitàgores és molt fàcil calcular la diagonal d’un rectangle sabent els seus costats. Fent servir els controls inferiors es poden canviar les seves mides. Introdueix els valors: 3,6 i 4,8 i calcula d. Clica per a continuar.

INS _______________________



ALTURA D’UN TRIANGLE ISÒSCELES

h =

També podem calcular l’altura d’un triangle isòsceles coneixent els seus costats. Fent servir els controls inferiors pots canviar les seves mides. Introdueix els valors: 4 i 5 i calcula h.


APOTEMA D’UN HEXÀGON REGULAR

Els sis triangles que es formen al dibuixar els radis són equilàters. L’apotema serà l’altura d’un d’aquests triangles. Fent servir el control inferior pots canviar la seva mida. Introdueix el valor: 2,4 i calcula h.

h =

Clica

per fer exercicis.

Fes-ne tres amb enunciats diferents i introdueix el resultat per comprovar si són correctes.

EXERCICI 1

Operacions: Resultat:

EXERCICI 2


EXERCICI 3


INS _______________________




EXERCICIS

13. Calcula la diagonal del rectangle.

14. Calcula l’altura d’un triangle isòsceles que els costats iguals mesuren 4,8 cm i l’altre 3,6 cm.

15. Troba la diagonal d’un hexàgon regular de 2,8 cm de costat.

16. L’interior del senyal de circulació és un triangle equilàter de 74 cm de costat. La línea que separa la zona blanca de la negra és una altura. Quant mesura aquesta altura?

17. En una urbanització s’han protegit 310 finestres quadrades de 126 cm de costat amb una cinta adhesiva especial, com es veu a la figura. Quants metres de cinta s’han necessitat?

18. Una escala de 3,7 m de longitud està recolzada sobre una paret. El peu de l’escala es troba a 1,5 m de la paret. Fins quina altura de la paret es pot arribar amb l’escala?

INS _______________________



Recorda el més important – RESUM Teorema de Tales

Si diverses rectes paral·leles es tallen amb dues secants r i s, _____________________ ____________________________________ ___________________________________ Figures semblants

Criteris de semblança de triangles

Dos figures són semblants si ___________

___________________________________

_________________________________.

És a dir, ____________________________

___________________________________.

Cada longitud en una de les figures s’obté

____________________________________

___________________________________

En les representacions d’objectes aquesta raó s’anomena ______________________.

1.-

Teorema de Pitàgores

2.- El teorema de

Pitàgores dóna una relació entre la hipotenusa i els catets d’un triangle rectangle:

a2 = b2 + c2

3.-

En tot triangle rectangle es verifica que ______________

____________________________________________________.

______________________________________________.


INS _______________________



Per practicar Practica ara resolent diferents exercicis a la teva llibreta. Trobaràs exercicis de:

• Teorema de Tales i aplicacions • Semblança • Escales • Teorema de Pitàgores

Completa l’enunciat amb les dades que apareixen a cada exercici i després el resols. És important que primer resolguis tu sol els exercicis i que després comprovis a l’ordinador si l’has fet bé o no. Teorema de Tales i aplicacions Posició de Tales (Resol un mínim de tres exercicis diferents)

1. Calcula raonadament el valor de x

a)

b)

c)

INS _______________________



Divisió d’un segment

2. Dibuixa un segment de ____ cm i divideix-lo en ___ parts iguals.


Semblança Triangles semblants (Resol un mínim de tres exercicis diferents, un de cada tipus)

3. Són semblants els triangles de la figura? Raona la resposta. (Fes els dibuixos)

a)

b)

c)

INS _______________________



Figures semblants (Resol un mínim de tres exercicis diferents)

4. Són semblants les dues figures? (Fes els dibuixos)

a)

b)

c)

Mesura d’altures

5. Calcula l’altura, H, d’un mur sabent que un observador, amb els ulls a _______ d’altura, veu la seva part més alta reflectida en un mirall que es troba a _____ del mur i a ____ de l’observador.

6. Calcula l’altura, H, d’un mur sabent que projecta una ombra de _____ en el mateix moment que una estaca de ______ projecta una ombra de ________


INS _______________________



Escales Distàncies reals

7. En un mapa a escala 1:_______ la distància entre dues ciutats és de ______. A quina distància es troben realment?

Càlcul de l’escala

8. La distància real entre dues ciutats, que en el mapa es troben a ______, és de ______. Quina és l’escala del mapa?

Mesures en un plànol (Resol un mínim de tres exercicis diferents, un de cada tipus)

9. En un plànol a escala 1:_____, quines mides tindrà una taula rectangular de ______x_______?

10. En un plànol a escala 1:____, quines mides tindrà un objecte quadrat de ________ de costat?

11. En un plànol a escala 1:____, quines mides tindrà un tamboret de __________ de diàmetre?


INS _______________________



Teorema de Pitàgores Las finestres

12. En una urbanització s’han protegit ____ finestres quadrades de _____ de costat amb una cinta adhesiva especial, com es veu a la figura. Quants metres de cinta s’han utilitzat?

La escala

13. Una escala de 3,7 m de longitud es troba recolzada en una paret, quedant el peu a 1,5 m de la paret. A quina alçada queda l’escala recolzada en la paret?

Els senyals

14. Calcula l’altura que tindran ___ senyals de circulació apilades com en la figura, suposant que cada senyal és un octàgon de _____ de costat i ____ de radi.


INS _______________________



AutoevaluacióCompleta aquí cadascun dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i els resols. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

Calcula el valor de x per tal que els dos parells de segments siguin proporcionals.

Calcula, de forma raonada, el valor de x.

Los dos polígons de la imatge són semblants. Calcula la raó de semblança.

Un observador, dret, veu reflectida la part més alta d’un edifici en un mirall situat a terra. Calcula l’altura de l’edifici sabent que l’altura de l’observador, des dels seus ulls fins a terra, és 1,58 m, i que el mirall està a 2,96m de l’observador i a 10,66m de l’edifici.

INS _______________________



Determina l’altura de l’edifici sabent que projecta una ombra de 11,14 m en el mateix moment que un pal de 1,61 m projecta una ombra de 2,56 m.

En un mapa, a escala 1:10000, la distància entre dos pobles és 10,6 cm. A quina distancia, en Km., estan realment?

La distància en un mapa entre dos pobles, que en la realitat estan a 22,4 Km., és de 11,2 cm. Quina és l’escala del mapa?

Les dues figures de la imatge són semblants. Quina és la raó entre les seves àrees?

Fent servir el teorema de Pitàgores, calcula la longitud de la hipotenusa del triangle que apareix a la imatge.

El triangle de la imatge és rectangle. Calcula x.

INS _______________________


Cossos geomètrics - 1 -

Cossos geomètrics

Continguts

1. Poliedres Definició Elements d’un poliedre

2. Tipus de poliedres

Prismes Prismes regulars Desenvolupament d’un prisma recte Paral·lelepípedes

Piràmides Piràmides regulars Desenvolupament d’una piràmide recta

Poliedres regulars Desenvolupament de poliedres regulars

Relació d’Euler

3. Cossos rodons Cilindre

Desenvolupament del cilindre recte Con

Desenvolupament del con recte Esfera

Objectius

•••• Identificar que és un poliedre. •••• Determinar els elements d'un poliedre: Cares, Arestes i Vèrtexs. •••• Classificar els poliedres. •••• Especificar quan un poliedre és un prisma o una piràmide. •••• Distingir els poliedres regulars convexos també anomenats sòlids platònics. •••• Construir els poliedres a partir del seu desenvolupament pla. •••• Diferenciar i catalogar alguns dels sòlids de revolució: Cilindre, Con i Esfera. •••• Construir cilindres i cons rectes a partir del seu desenvolupament pla.

Autor: José Luis Alcón Camas Sota llicència Versió en català: Zoila Pena i Terrén Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________



Llegeix el text i després clica el botó per recordar els polígons que has vist el curs anterior. Manipula l’escena. EXERCICI 1. Contesta:

Quants i quins són els polígons regulars amb els quals es pot construir una pilota de futbol?

Què és un pentàgon?

Què és un hexàgon?

Què és un dodecaedre?

Què és un icosàedre?

Quan acabis... clica per anar a la pàgina següent.

1. Poliedres 1.a. Definició Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i visualitza a l’escena les aclaracions i exemples que hi ha. A continuació, respon les preguntes següents: EXERCICI 1. Completa les frases següents:

•••• Un poliedre és _____________________________________________ i poden ser _____________________.

•••• Un angle díedre convex és __________________________________________ . •••• El significat de poli és _____________________________ i de edre és ________

_______________________ . •••• Un exemple de no poliedre és ________________. •••• El poliedre convex amb 20 cares triangulars s’anomena ______________ . •••• Un exemple de poliedre còncau seria _________________.

Clica…

per realitzar un test. Escriu en el requadre la nota obtinguda: �

INS _______________________




EXERCICIS Tria l’opció correcta:

1. Els cilindres són:

a) Convexos

b) Poliedres

c) Còncaus

2. Un con:

a) És un poliedre còncau

b) És un poliedre convex

c) No és un poliedre perquè les seves cares no són polígons

3. El octaedre

a) Té vuit cares i és còncau

b) Té sis cares i és convex

c) Té vuit cares i és convex

4. El poliedre de 24 cares

a) És convex

b) És còncau

c) No és ni còncau ni convex

5. El poliedre de 24 cares

a) És un cos rodó i convex

b) És un poliedre i és convex

c) És un poliedre i és còncau

INS _______________________



1.b. Elements d’un poliedre Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i l’escena per comprendre millor les explicacions. Pots detenir la figura quan et convingui per observar millor. EXERCICI 1. Completa les frases següents:

Els cinc elements d’un poliedre són:

•••• _________ són: _____________________________________________________ .

•••• _________ són: _____________________________________________________ .

•••• _________ són: _____________________________________________________ .

•••• _________ són: ____________________________________________________

__________________________________ .

•••• _________ són: ____________________________________________________

__________________________________ .

EXERCICI 2. Assenyala en els dibuixos cada un dels elements:

Cara Aresta Vèrtex Angle díedre Angle poliedre

Clica…


INS _______________________





6. El tetraedre:

a) Té 6 cares, 4 arestes i 4 vèrtexs

b) Té 4 cares, 6 arestes i 4 vèrtexs

c) Té 4 cares, 4 arestes i 6 vèrtexs

7. El cub:

a) Té 12 arestes i 12 angles díedres

b) Té 8 vèrtexs i 8 angles díedres

c) Té 6 cares i 6 angles díedres

8. El el·lipsoide:

a) No és un poliedre

b) És un poliedre sense vèrtexs

c) És un poliedre amb 4 vèrtexs

9. La figura següent:

a) Té 6 arestes

b) Té 8 arestes

c) Té 12 arestes

INS _______________________



2. Tipus de poliedres 2.a. Prismes Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. Utilitza l’escena per veure diferents prismes variant els costats de la base, i observa les característiques d’aquests cossos geomètrics. EXERCICI 1. Completa les frases següents:

Un prisma és un _________________________ . Les seves cares acompleixen:

•••• ________________________________________________________________ .

•••• ________________________________________________________________ .

Es diu que és un prisma recte quan ________________________________________

_________________________________ i les seves cares són ___________________ . En

cas contrari s’anomena ______________ .

EXERCICI 2. Observa l’escena i completa les dades corresponents del següent prisma:

Nom:

Tipus de base :

Tipus de cares :

Nombre de cares :

Còncau o convex ?

Oblic o recte ?

EXERCICI 3. Observa l’escena i dibuixa els següents prismes

Prisma quadrangular oblic Prisma pentagonal recte


INS _______________________



2.a.1. Prismes regulars Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1. Completa les frases següents:

Un prisma és regular si __________________________________________________ .

Les cares laterals _______________________________________________________ .

Les bases ______________________________________________________________ .

EXERCICI 2: Observa l’escena i completa les dades corresponents del següent prisma.

Escriu sobre la figura els següents cartells : Base,

altura, cara lateral, apotema i radi .

Nom:

Tipus de base :

Tipus de cares :

Nombre de cares :

Còncau o convex

Oblic o recte ?

EXERCICI 3: Observa l’escena i dibuixa els següents prismes amb les etiquetes.

Prisma triangular regular Prisma quadrangular recte


INS _______________________



2.a.2. Desenvolupament d’un prisma recte Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1. Contesta la pregunta següent:

Què significa que un prisma es pot desenvolupar?

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ .

EXERCICI 2. Observa l’escena i dibuixa plegat o desplegat els següents prismes:

Prisma desplegat o desenvolupat Prisma plegat


2.a.3. Paral·lelepípedes Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1. Completa les frases següents:

Els paral·lelepípedes són __________________________________________________ .

•••• El ortoedre _______________________________________________.

•••• El cub ________________________________________________.

•••• El romboedre _____________________________________________________.

•••• El romboiedre _________________________________________________.

INS _______________________



EXERCICI 2. Observa l’escena i dibuixa els següents paral·lelepípedes:

Ortoedre Cub

Clica…




10. Si les cares laterals d’un prisma són rectangles:

a) És recte

b) És un ortoedre

c) És oblic

11. Les cares laterals d’un prisma:

a) Depenent de la forma de la base

b) Paral·lelograms

c) Triangles

12. Un prisma pentagonal:

a) 10 arestes, 7 vèrtexs, 15 cares

b) 7 arestes, 15 vèrtexs, 10 cares

c) 15 arestes, 10 vèrtexs, 7 cares

13. Un prisma triangular:

a) És sempre convex

b) Mai és convex

c) Pot ser còncau o convex

14. Un romboedre:

a) Un paral·lelepípede

b) Un prisma recte

c) Un ortoedre

INS _______________________



2.b. Piràmides Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. Utilitza l’escena per veure les característiques d’aquests cossos geomètrics. EXERCICI 1. Completa les frases següents:

Les dues característiques d’una piràmide són:

•••• _______________________________________________ .

•••• ________________________________________________ .

El vèrtex _________________________________________________________________ .

L’altura __________________________________________________________________ .

Si la base és convexa aleshores________________________________________________ .

EXERCICI 2. Observa l’escena i dibuixa les següents piràmides:

Piràmide triangular Prisma quadrangular


2.b.1 Piràmides regulares Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. Utilitza l’escena per veure les característiques d’aquests cossos geomètrics. EXERCICI 1. Completa les frases següents:

Una piràmide és regular si ____________________________________________________ .

Els triangles isòsceles són les cares____________________________________________ .

Es denomina apotema a _____________________________________________________ .

INS _______________________



EXERCICI 2. Observa l’escena i completa les dades corresponents de la següents piràmide:

Escriu sobre la figura els següents cartells: Base,

altura, cara lateral, apotema i radi.

Nom:

Tipus de base :

Tipus de cares :

Nombre de cares :

Còncau o convex ?

Oblic o recte ?

EXERCICI 3. Observa l’escena i dibuixa les següents piràmides:

Piràmide triangular regular Piràmide quadrangular regular


2.b.2. Desenvolupament d’una piràmide recta

Totes les piràmides són desenvolupables. Tenint això en compte i visualitzant l’escena: EXERCICI 1. Observa l’escena i dibuixa plegat o desplegat les següents piràmides:

Piràmide desplegada o

desenvolupada

Piràmide plegada Piràmide plegada Piràmide desplegada o

desenvolupada

INS _______________________



Clica…




15. Les piràmides poden ser:

a) Convexes

b) Només còncaves

c) Només convexes

16. Una piràmide amb 8 arestes:

a) És quadrangular

b) És octogonal

c) No pot existir

17. Una piràmide amb 8 cares:

a) Una piràmide heptagonal

b) Una piràmide enneagonal

c) Una piràmide octogonal

18. L’altura d’una piràmide és la distància de la cúspide a la base:

a) Només si és recta

b) Només si és convexa

c) Sempre

19. Les cares laterals d’una piràmide són:

a) Triangles

b) Paral·lelograms

c) Rectangles

20. La piràmide:

a) Tantes bases com cares laterals

b) Una base

c) Dues bases

21. Una piràmide amb 7 vèrtexs:

a) És hexagonal

b) És pentagonal

c) És heptagonal

INS _______________________



2.c. Poliedres regulars Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1. Contesta la pregunta següent:

Què caracteritza un poliedre regular?

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ .

EXERCICI 2. Observant l’escena, escriu a la part superior el nom de cada poliedre platònic i en els requadres inferiors els detalls que el caracteritzen:


2.c.1. Desenvolupament de poliedres regulars Tots els poliedres són desenvolupables. Tenint això en compte i visualitzant l’escena: EXERCICI 1. Observa l’escena i relaciona el desenvolupament pla amb el poliedre platònic corresponent:

Clica…


INS _______________________





22. En el cub incideixen en cada vèrtex:

a) 3 cares

b) 4 cares

c) 5 cares

23. L’ icosàedre:

a) 20 arestes

b) 30 arestes

c) 12 arestes

24. En el tetraedre incideixen en cada vèrtex:

a) 2 cares

b) 3 cares

c) 4 cares

25. Per tal que un poliedre sigui regular, a més de tenir les cares iguals:

a) Han d’incidir en cada aresta el mateix nombre de vèrtexs

b) Han d’incidir en cada vèrtex el mateix nombre d’arestes

c) Han d’incidir en cada aresta el mateix nombre de cares

26. Poliedres regulars amb cares triangulars n’hi ha:

a) 2

b) 3

c) 1

27. En l’ icosàedre incideixen en cada vèrtex:

a) 3 cares

b) 5 cares

c) 4 cares

28. En l’octaedre incideixen en cada vèrtex:

a) 5 cares

b) 3 cares

c) 4 cares

INS _______________________



2.d. Relació d’Euler EXERCICI 1. Amb l’ajuda de l’escena que apareix, completa el següent quadre:

Descriu els poliedres comptabilitza els seus elements

Tipus de poliedre Cares (C) Vèrtexs (V) Arestes (A) Cares + Vèrtexs (C+V)


3. Cossos rodons 3.a. Cilindre Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1. Completa les frases següents:

Un cilindre recte és ________________________________________________________.

L’eix és _________________________________________________________________.

La generatriu _____________________________________________________________.

L’altura i la generatriu _____________________________________________________.


Escriu sobre la figura els següents cartells :

Eix de rotació, generatriu, base, altura, superfíci e lateral i radi .


INS _______________________



3.a.1 Desenvolupament del cilindre recte

EXERCICI 1. Completa les frases següents:

El desenvolupament d’un cilindre es compon de:

• _________________________________________________________________ .

• _________________________________________________________________ .

EXERCICI 2. Observa l’escena i dibuixa el desenvolupament d’un cilindre:


3.b. Con Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1. Completa les frases següents:

Un con recte és __________________________________________________________.

L’eix és _________________________________________________________________.

La generatriu _____________________________________________________________.

L’altura _________________________________________________________________.

En un con distingim _____________________________________________________.


Escriu sobre la figura els següents cartells:

Eix de rotació, generatriu, vèrtex, base, altura, s uperfície lateral i radi.


INS _______________________



3.b.1. Desenvolupament del con recte


El desenvolupament d’un con es correspon amb ____________________i ______________.

La generatriu es correspon amb ___________________________________________ i el

perímetre ________________________________________________________________ .

EXERCICI 2. Observa l’escena i dibuixa el desenvolupament d’un con:


3.c. Esfera Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat.


L’esfera és _____________________________________________________________

______________________________________________________________________.

La superfície __________________________________________________________ .


Escriu sobre la figura els següents cartells:

Eix de rotació, generatriu i radi.

Clica…


INS _______________________





29. Un con:

a) Té dues bases

b) Té una base

c) No té base

30. Un cilindro:

a) Té una base

b) Té dues bases

c) No té base

31. En un cilindre les bases són:

a) Circumferència

b) Cercles

c) Polígons

32. La generatriu d’un con:

a) És menor que la seva altura

b) És major que la seva altura

c) És igual que la seva altura

33. L’esfera:

a) És un cos rodó

b) És un cos de revolució

c) És un poliedre

34. Un con s’obté en girar:

a) Una circumferència al voltant d’un diàmetre

b) Un rectangle al voltant d’un costat

c) Un triangle rectangle al voltant d’un catet

35. Un cilindre:

a) Sí és un poliedre

b) No és un poliedre

c) Segons com es miri, pot ser un poliedre

INS _______________________




1. Dibuixa de diferents colors els elements d’un poliedre (cares, arestes, vèrtexs, angle

díedre i angle poliedre):

2. Un prisma oblic es diferencia d’un recte en _____________________________, l’altura

coincideix amb ___________________________________________________ . Les

cares laterals són _______________ .

3. Una piràmide obliqua se diferencia d’una recta en ____________________________

______________________________________________________ . La cares laterals

són ______________________ .

4. El tetraedre és un poliedre regular amb ___ cares, ____ vèrtexs i ___ arestes.

5. El cub és un poliedre regular amb ___ cares, ____ vèrtexs i ___ arestes.

6. El octaedre és un poliedre regular amb ___ cares, ____ vèrtexs i ___ arestes.

7. El dodecaedre és un poliedre regular amb ___ cares, ____ vèrtexs i ___ arestes.

8. L’ icosàedre és un poliedre regular amb ___ cares, ____ vèrtexs i ___ arestes.

9. La relació d’Euler acompleix: ___________ + __________ = ___________ + ___

10. Com cossos rodons hem vist:

a) ______________

b) ______________

c) ______________


INS _______________________



Per practicar

En aquesta unitat trobaràs exercicis de:

• Prismes, piràmides, poliedres regulars i relació d’Euler. • Cossos de revolució, Cilindre, Con i Esfera.

Observa les escenes, completa els enunciats i resol-los. Després comprova si ho has fet bé. Exercicis de Prismes, piràmides, poliedres regulars i relació d’Euler Prismes

1.1. Dibuixa un prisma ____________________________

1.2. Dibuixa un prisma ____________________________

1.3. El nombre d’arestes d’un prisma és ____ Quins polígons són les seves bases?

1.4. El nombre de vèrtexs d’un prisma és _____ Quantes cares té?

1.5. Un prisma té ___ vèrtexs. Quin polígon té per base?

1.6. Un prisma té ___ arestes. Quins polígon té per base?

1.7. Un prisma té ___ cares, per tant és un prisma …

1.8. Un prisma té ___ vèrtexs, per tant les cares són …

INS _______________________



Piràmides

2.1. Dibuixa un piràmide _____________________________.

2.2. Dibuixa una piràmide irregular __________________

2.3. Esbrina el polígon de la base d’una piràmide si té ___ vèrtexs.

2.4. Esbrina el polígon de la base d’una piràmide si té ___ cares laterals.

2.5. Esbrina el polígon de la base d’una piràmide si té ___ arestes.

2.6. Esbrina el polígon de la base d’una piràmide si té ___ cares.

2.7. Dibuixa el desenvolupament pla d’una piràmide que té cares iguals.

2.8. Quina de les figures es correspon amb el desenvolupament pla d’una piràmide?

INS _______________________



Poliedres regulars

3.1. Dibuixa el desenvolupament d’un _________________ de ____ cm.



3.4. Pot existir un poliedre regular amb ____ triangles equilàters en cada vèrtex?

3.5. Pot existir un poliedre regular les cares del qual siguin ____________?

3.6. Quants costats poden tenir com a màxim les cares d’un poliedre regular?

3.7. Quantes cares triangulars poden incidir en un vèrtex d’un poliedre regular?

3.8. Quantes cares quadrades poden incidir en un vèrtex d’un poliedre regular?

INS _______________________



Relació d’Euler

4.1. Un poliedre eulerià, pot tenir el mateix nombre de cares i arestes?

4.2. Un poliedre eulerià, pot tenir el mateix nombre de vèrtexs i arestes?

4.3. Comprova que s’acompleix la relació d’Euler en un prisma la base del qual és un _____________.

4.4. Comprova que s’acompleix la relació d’Euler en un prisma la base del qual és un _____________.

4.5. Comprova que s’acompleix la relació d’Euler en el __________

4.6. Comprova que s’acompleix la relació d’Euler en el __________

4.7. Un poliedre eulerià té ___ cares i ___ vèrtexs. Quantes arestes té?

4.8. Un poliedre eulerià té ___ cares i ___ arestes. Quants vèrtexs té?


Exercicis de Cossos de revolució, Cilindre, Con i Esfera Sòlids de revolució

1.1. El cartró d’un rotlle de paper té un diàmetre de ____ cm i una altura de ____ cm. Quines dimensions té el desenvolupament pla del cartró?

1.2. Quina figura de l’espai es genera en fer girar la figura al voltant del seu costat __________ ?

INS _______________________









INS _______________________



Cilindro

2.1. Dibuixa el desenvolupament d’un cilindre de __ cm de radi i ___ cm d’altura.

2.2. Pot ser el desenvolupament de la figura que apareix a l’escena, el corresponent a un cilindre?

2.3. Si agafem un rectangle, s’obté el mateix cilindre si el pleguem per la base o per l’altura?

2.4. Volem construir un pot cilíndric que tingui _____ d’altura i el radi de la base mesuri _____. Dibuixa el seu desenvolupament pla.

Con

3.1. Dibuixa el desenvolupament pla d’un con amb radi de la base ___ cm i de generatriu ___ cm.

3.2. Calcula l’altura d’un con si la generatriu mesura __ cm i el radi de la base és de __ cm.

3.3. Agafen un triangle rectangle de base __ cm i altura __ cm. En fer-lo girar sobre l’altura obtenim un con. Quant mesura la generatriu?

INS _______________________



3.4. El desenvolupament pla de la cara lateral d’un con, pot ser un cercle complet?

Esfera

4.1. Dibuixa el desenvolupament pla de la superfície esfèrica.

4.2. En fer girar un quart de cercle al voltant d’un dels radis que el limiten, quina figura obtenim?

4.3. En fer girar un cercle al voltant d’un eix exterior a ell, quina figura obtenim?

4.4. Quina forma tenen les gotes d’aigua?


Realitza el...

Escriu aquí la nota obtinguda en el test:


INS _______________________



Autoavaluació


Un prisma __________, quants vèrtexs té?

Una piràmide ___________, quants vèrtexs

té?

Un prisma ___________, quantes arestes té?

Una piràmide ____________, quantes

arestes té?

Un poliedre convex té ___ cares i ___

vèrtexs. Quantes arestes té?

Un poliedre convex té ___ cares i ___

arestes. Quants vèrtexs té?

Un poliedre regular de ___ vèrtexs, quin és?

El poliedre regular convex de ___ cares, quin

és?

Com s’anomena el poliedre representat en

aquesta figura? (Observa l’escena)

Indica si el sòlid de la figura és desenvolupable (Observa l’escena)

INS _______________________


Àrees de cossos geomètrics - 1 -

Àrees de cossos geomètrics

Continguts

1. Àrea dels prismes Àrea dels prismes

2. Àrea de la piràmide i del tronc de piràmide Àrea de la piràmide Àrea del tronc de piràmide

3. Àrea dels cossos de revolució Àrea del cilindre Àrea del con Àrea del tronc de con Àrea de l’esfera

4. Resolució de problemes Resolució de problemes

Objectius

• Calcular l'àrea de prismes rectes de qualsevol nombre de cares.

• Calcular l'àrea de piràmides de qualsevol nombre de cares.

• Calcular l'àrea d'un tronc de piràmide.

• Calcular l'àrea d'un cilindre.

• Calcular l'àrea d'un con.

• Calcular l'àrea d'un tronc de con.

• Calcular l'àrea d'una esfera.

• Calcular l'àrea de cossos geomètrics obtinguts per la composició de tot o part dels cossos anteriors.

Autor: Xosé Eixo Blanco Sota llicència Versió en català: Zoila Pena i Terrén Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________



A l’escena pots veure un resum de les fórmules més importants que ja has de saber i que són necessàries per comprendre millor aquesta nova unitat. Completa: Teorema de Pitàgores: En un triangle rectangle ______________________________________________________

___________________________________________________________________________.

Escriu el nom de les següents figures i els dels seus elements, i també la fórmula per calcular la seva àrea:


INS _______________________



1. Àrea dels prismes 1.a. Àrea dels prismes Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. Respon:

Què és l’àrea d’un prisma o de qualsevol poliedre?

Completa:

Àrea lateral: ____________________________________________________________.

En el prisma les cares laterals són _______________.

Àrea total: ______________________________________________________________.

Les bases són _______________________.

A l’escena apareixen 5 botons numerats. En cada un dels prismes que apareixen has de variar les dades i prendre nota de la resolució que apareix clicant la fletxa per avançar.

Altura: 20 cm Amplada: 15 cm Llargada: 10 cm

Desenvolupament Àrea lateral:

Àrea de les bases:

Àrea total:

Altura: 20 cm Aresta de la base: 15 cm


Àrea de les bases:

Àrea total:



Àrea de les bases:

Àrea total:

INS _______________________



Altura: 25 cm Aresta de la base: 17 cm Apotema:


Àrea de les bases:

Àrea total:



Àrea de les bases:

Àrea total:

Ara clica sobre el botó per fer exercicis.

S’obre una escena amb un enunciat. Resol-lo i introdueix els resultats en el lloc corresponent per comprovar si l’has fet bé.

Practica l’exercici fins que aconsegueixis, al menys, dos encerts consecutius.


EXERCICIS 1. Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un prisma triangular de 40 centímetres d’altura i 25

centímetres d’aresta de la base.

2. Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un prisma de base quadrada de 36 centímetres

d’altura i 21 centímetres d’aresta de la base.

3. Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un prisma hexagonal de 10 centímetres d’altura i

10 centímetres d’aresta de la base.

INS _______________________



2. Àrea de la piràmide i del tronc de piràmide 2.a. Àrea de la piràmide Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. Respon:

En desenvolupar una piràmide, quins polígons s’obtenen?

Completa:

Àrea lateral: ____________________________________________________________.

Àrea total: ______________________________________________________________.

La base es _______________________.


Aresta lateral: 20 cm Aresta base: 15 cm


Àrea de la base:

Àrea total:



Àrea de la base:

Àrea total:

Altura: 30 cm Aresta base: 17 cm Apotema:


Àrea de la base:

Àrea total:

INS _______________________





Àrea de la base:

Àrea total:


S’obre una escena amb un enunciat. Resol-lo i introdueix els resultats en el lloc corresponent per comprovar si l’has fet bé.


2.b. Àrea del tronc de piràmide Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. Respon:

Quins polígons s’obtenen en desenvolupar un tronc de piràmide?

Completa:

Àrea lateral: ____________________________________________________________.

Àrea total: ______________________________________________________________.


Arestes de les bases: 10 cm i 20 cm Aresta lateral:15 cm


Àrea de les bases:

Àrea total:

INS _______________________



Arestes de les bases: 16 cm i 20 cm Aresta lateral: 25 cm


Àrea de les bases:

Àrea total:

Arestes de les bases: 17 cm i 25 cm Aresta lateral: 24 cm Apotemes: 11,7 cm i 17,2 cm


Àrea de les bases:

Àrea total:

Arestes de les bases: 10 cm i 16 cm Aresta lateral: 20 cm


Àrea de les bases:

Àrea total:




EXERCICIS 4. Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’una piràmide hexagonal de 30 cm d’aresta

lateral i 12 cm d’aresta de la base.

5. Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un tronc de piràmide pentagonal de 15 cm d’aresta lateral, i 18 cm i 24 cm d’arestes de les bases, respectivament. Les apotemes de les bases mesuren 12,39 cm i 16,52 cm, respectivament.

INS _______________________



3. Àrees dels cossos de revolució 3.a. Àrea del cilindre Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. Respon:

En desenvolupar un cilindre, quines figures el componen?

Completa:

Àrea lateral: ____________________________________________________________.

Àrea total: ______________________________________________________________.

A l’escena apareix un exemple. Varia les dades i pren nota de la resolució que apareix clicant la fletxa per avançar.

Altura: 15 cm Radi de la base: 10 cm


Àrea de les bases:

Àrea total:




3.b. Àrea del con Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. Respon:

En desenvolupar un con, quines figures s’obtenen?

Completa:

Àrea lateral: ____________________________________________________________.

Àrea total: ______________________________________________________________.

A l’escena apareixen 4 botons numerats.

INS _______________________



En el primer s’obtenen les fórmules i en els altres tres pots veure exemples.

Càlcul de l’àrea lateral i total d’un con

Desenvolupament lateral (Sector circular)

Àrea lateral:

La base és un cercle de radi r.

Àrea de la base:

Àrea total:

Relació entre el radi, l’altura i la generatriu:

Quin teorema s’aplica?

Quina és la fórmula que s’obté?

En cada un dels exemples següents has de variar les dades i prendre nota de la resolució que apareix clicant la fletxa per avançar.

Altura: 15 cm Radi: 10 cm


Àrea de la base:

Àrea total:

Generatriu: 15 cm Radi: 10 cm


Àrea de la base:

Àrea total:

INS _______________________



Altura: 15 cm Generatriu: 15 cm


Àrea de la base:

Àrea total:




3.c. Àrea del tronc de con Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. Respon:

En desenvolupar un tronc de con, quines figures s’obtenen?

Completa:

Àrea lateral: ____________________________________________________________.

Àrea total: ______________________________________________________________.

A l’escena apareixen 3 botons numerats. En el primer s’obtenen les fórmules i en els altres dos pots veure exemples.

Càlcul de l’àrea lateral i total d’un tronc de con

Desenvolupament lateral (Trapezi circular)

Àrea lateral:

Les bases són dos cercles de radis r i R.

Àrees de les bases:

Àrea total:

INS _______________________



Relació entre els radis, l’altura i la generatriu:

Dibuix del trapezi: Quin teorema s’aplica?

Quina és la fórmula que s’obté?

En cada un dels exemples següents has de variar les dades i prendre nota de la resolució que apareix clicant la fletxa per avançar.

Altura: 25 cm Radis de les bases: 10 cm i 20 cm


Àrea de les bases:

Àrea total:

Generatriu: 15 cm. Radis de les bases: 8 cm i 10 cm


Àrea de les bases:

Àrea total:




INS _______________________



3.d. Àrea de l’esfera Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. Respon:

És possible desenvolupar una esfera?

Completa:

Àrea de l’esfera: ________________________________________________________.

A l’escena apareix un exemple. Varia la dada del radi i pren nota de la resolució que apareix clicant la fletxa per avançar.

Radi: 10 cm

Àrea:




EXERCICIS 6. Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un cilindre de 19 cm d’altura i 7 cm de radi de la

base.

7. Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un con de 40 cm d’altura i 9 cm de radi de la base.

8. Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un tronc de con de 22 cm d’altura, 18 cm de radi de la base menor i 24 cm de radi de la base major.

9. Calcula l’àrea d’una esfera d’1 metre de radi.

A =

INS _______________________



4. Resolució de problemes 4.a. Resolució de problemes Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. A l’escena apareixen 6 botons numerats. Pren nota de la resolució dels exemples: 2, 3 i 6.

Composta per una piràmide

hexagonal recolzada en un

prisma hexagonal.

Dades Prisma: Aresta de la base: 20 cm Altura: 12 cm Piràmide: Aresta de la base: 30 cm Aresta lateral: 40 cm

Àrea lateral: Àrea de les bases: Àrea total:

Composta per una piràmide

quadrangular sobre un

prisma quadrangular,

recolzat aquest en un tronc

de piràmide quadrangular.

Dades Piràmide: Aresta de la base: 12 cm Aresta lateral: 17 cm Prisma: Aresta de la base: 18 cm Altura: 6 cm Tronc de Piràmide: Arestes de les bases: 12 cm i 6 cm Aresta lateral: 8,5 cm


INS _______________________



Composta per dos troncs de

con recolzats sobre les

seves bases menors.

Dades Radis de les bases: 50 cm i 25 cm Generatriu: 30 cm



EXERCICIS

10. Calcula l’àrea de la figura de l’exemple 1, sabent

que les mesures estan expressades en centímetres.





INS _______________________




ÀREES DE COSSOS GEOMÈTRICS Àrea lateral: _________________________________ _________________________________ Àrea total:

_________________________________ _________________________________

PRISMA

Al =

At =

PIRÀMIDE

Al =

At =

TRONC DE PIRÀMIDE

Al =

At =

CILINDRE

Al =

At =

CON

Al =

At =

TRONC DE CON

Al =

At =

ESFERA

A =

INS _______________________



Per practicar En aquesta unitat trobaràs tres pàgines d’exercicis:

• Prismes • Piràmides i troncs de piràmides • Cossos de revolució

Prismes Apareix un menú amb diversos exercicis. Completa l’enunciat i resol-lo en el requadre següent. Després de resoldre’l, comprova amb l’ordinador si l’has fet correctament.

La piscina

1. Estic construint una piscina de ____ m de llarg, ___ m d’amplada i ____ m de profunditat. Vull recobrir les parets i el fons amb rajoles de forma quadrada de ____ cm de costat. Quantes rajoles necessitaré si aproximadament se’n malmeten un ____?

El regal

2. Una mare compra a la seva filla una capsa dels seus bombones favorits. La capsa té forma de prisma triangular de __ cm de llarg i __ cm de costat de la base. Quina és la quantitat mínima de paper que se necessita per embolicar-la?

INS _______________________



Restauració 3. Es vol a restaurar el lateral i la part superior d’una torre amb forma de

prisma de __ m d’altura. La base és un polígon regular de 8 costats, de __ metres de costat i ____ metres d’apotema. Si l’empresa de restauració cobra ___ € per cada metre quadrat, quin serà el preu de la restauració?

Pizza

4. Una pizzeria fa pizzes de diverses mides i les ven en capses hexagonals de ___ cm de costat i ____ cm d’altura. Quina quantitat de cartró es necessita per cada capsa, tenint en compte que la part superior ha d’encaixar completament en la part inferior?

Piràmides i troncs de piràmide

Piràmide

5. Una piràmide egípcia de base quadrada té ____ metres d’altura i _____ metres d’aresta de la base. Quina és la seva superfície?

INS _______________________



Para-sol

6. Calcula los metres quadrats de tela que es necessiten per fabricar un para-sol amb forma de piràmide dodecagonal de _____ d’aresta de la base i _____ d’aresta lateral.

Teulada

7. La part exterior de la teulada d’un edifici té forma de tronc de piràmide de bases quadrades de _____ i _____ de costat, respectivament. L’aresta lateral de la teulada mesura _____. Calcula’n la superfície.

Test 8. Un test de plàstic té forma de tronc de piràmide hexagonal. Els costats de

les bases mesuren, respectivament, ____ i _______ i l’aresta lateral mesura _______. Calcula la quantitat de plàstic que es necessita per a la seva fabricació.

INS _______________________



Cossos de revolució

Llauna de conserva

9. Una llauna de conserva té _____ d’altura i _____ de radi de qualsevol de les seves bases. Quant de metall cal per a la seva fabricació? Quant de paper cal per a l’etiqueta?

Dipòsit

10. Es volen tractar dos dipòsits amb pintura antioxidant. Els dipòsits tenen _____ d’altura i _____ de radi. El preu de la pintura per cada metre quadrat és de ___ euros. Quin és el preu final de la pintura?

Copa 11. Una copa té forma de con de _____ de generatriu i _____ de diàmetre de

circumferència superior. La base és una circumferència de _____ de radi. Cada cop que es neteja, quina és la superfície de cristall que s’ha de netejar? (Per resoldre l’exercici s’ha de suposar que el cristall no té gruix)

INS _______________________



Sitja 12. Es vol condicionar un sitja antiga amb forma de con. Per això s’aplicarà una

capa aïllant a la paret interior i al terra. Les dimensions de la sitja són de _____ d’altura i _____ de radi de la base. Quina quantitat de superfície s’ha de tractar?

Got de plàstic

13. Un got de plàstic té _____ de diàmetre superior i _____ de diàmetre inferior. La generatriu mesura _____. Quants metres quadrats de plàstic s’han necessitat per fabricar ___ gots?

Làmpada

14. He comprat un paper resistent a la calor per fabricar-me una làmpada amb forma de tronc de con, de _____ de diàmetre superior i _____ de diàmetre inferior. L’altura fa _____. Quant de paper necessito?

INS _______________________



Superfície de La Terra

15. Sabent que el radi de la Terra és de 6370 km, calcula la superfície del nostre planeta fent servir diferents aproximacions del nombre π. a) 3 b) 3,14 c) 3,1416 d) π

Pilotes 16. a) Calcula la superfície d’una pilota de radi ___ cm.

b) Calcula la superfície d’una pilota de radi el doble de l’anterior. c) Calcula la superfície d’una pilota de radi ___ vegades major que la primera. d) Quina relació hi ha entre les superfícies de les esferes?

INS _______________________



Autoavaluació


Calcula l’àrea total d’un ortoedre de ___ metres de llarg, ___ metres d’ample i ___ metres d’alt.

Calcula l’àrea total d’un prisma triangular de ___ metres d’altura i ___ metres d’aresta de la base.

Calcula l’àrea total d’una piràmide de base quadrada de ___ metres d’altura i ___ metres d’aresta de la base.

Calcula l’àrea total d’una piràmide hexagonal de ___ metres d’aresta lateral i ___ metres d’aresta de la base.

Calcula l’àrea total d’un tronc de piràmide de __ cares laterals sabent que les arestes de les bases mesuren, respectivament, ___ i ___ metres, l’aresta lateral mesura ___ metres i les apotemes de les bases mesuren, respectivament, _____ _____ metres.

INS _______________________



Calcula l’àrea total d’un cilindre de ___ metres d’altura i ___ metres de radi de la base.

Calcula l’àrea total d’un con de ___ metres d’altura i ___ metres de radi de la base.

Calcula l’àrea total d’un tronc de con, la generatriu del qual mesura ___ metres i els radis de les bases mesuren, respectivament, ___ i ___ metres.

Calcula l’àrea d’una esfera de ___ metres de radi.

Calcula l’àrea total d’aquest cos geomètric, sabent que l’aresta del cub petit mesura ___ metres i la del cub gran, el triple.

INS _______________________

QUADERN Núm. 10 NOM: _____________________________ DATA: / /

Volum dels cossos geomètrics - 1 -

Volum dels cossos geomètrics

Continguts

1. Volum i capacitat Unitats de volum Capacitat i volum

2. Volum de prismes i piràmides Cub Ortoedre Prisma recte qualsevol

2. Volum d’una piràmide

Relació entre prismes i piràmides

3. Cossos de revolució Volum d’un cilindre Volum d’un con Volum d’una esfera

4. Altres cossos

Tronc de con Tronc de piràmide Paral·lelepípede

Objectius

• Comprendre el concepte de “mesura de volum” i utilitzar les unitats de mesura del sistema mètric decimal.

• Obtenir i aplicar expressions per al càlcul de volums de cossos geomètrics bàsics. Observar les possibles similituds entre algunes d'aquestes expressions.

• Discriminar i comparar correctament els conceptes de volum i capacitat.

• Conèixer el principi de Cavalieri i aplicar-lo a l'obtenció d'expressions per al càlcul de volums de determinats cossos oblics.

Autor: Xosé Eixo Blanco Sota llicència Versió en català: Zoila Pena i Terrén Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________



En aquest tema aprendràs a calcular amb soltesa els volums dels cossos geomètrics elementals i també els volums d’altres cossos més complexos, per descomposició en cossos senzills. D’aquesta manera, podràs resoldre molts problemes reals, com els que pots veure a l’escena.

Per recordar les unitats de superfície i volum i els canvis d’unitats, clica


1. Volum i capacitat 1.a. Unitats de volum

Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat.

Respon les qüestions següents: Respostes

Quin és el volum d’un cos?

Quina és la unitat principal de volum?

Completa:

Clica per avançar en l’escena.

Relació entre les unitats de volum

Cada unitat de volum és ______________________ que la de l’ordre immediat _________ i ___________ que la de l’ordre immediat ___________ Exemple: 1 dm3 =


Completa en els següents espais 2 dels exemples que apareixen a l’escena

Per anar veient els passos, clica:

INS _______________________




Practica fins que aconsegueixis al menys dos encerts consecutius.


1.b. Capacitat i volum Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat.

Respon les qüestions següents: Respostes

Quina diferència hi ha entre volum i

capacitat?

Quina és la unitat principal de capacitat?

Què és un litre?

A l’escena de la dreta apareix una imatge i una pregunta que hauràs de contestar després d’avançar per l’escena per comprendre l’explicació:

Clica per avançar en l’escena. Relació entre les unitats de volum i capacitat Completa

En general, s’anomena capacidad d’un recipient al seu volum. Tant les unitats de volum com els múltiples i divisors del litre s’utilitzen per mesurar volums i capacitats.

Clica per avançar en l’escena. Apareix l’enunciat d’un exercici. Resol-lo i introdueix el resultat en l’espai reservat per fer-ho. Clica UN ALTRE EXERCICI. Fes un mínim de tres exercicis diferents.

Abans d’avançar, resol aquí el problema que s’havia plantejat inicialment:

Aquest pantà té una capacitat de 180 hm3, sabries expressar-ho en litres?


Apareix la solució del problema inicial. Comprova si l’has resolt correctament.


EXERCICIS 1. Expressa en mm3 4,3 m3.

2. Expressa en dam3 2,4 m3.

3. Quants mm3 són 4,9 dm3?

INS _______________________



2. Volum d’un prisma recte 2.a. Cub Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i completa:

Un cub és _______________________________________________.

Volum (V)=

A l’escena de la dreta veuràs una imatge i un problema que hauràs de resoldre després d’avançar per l’escena per comprendre l’explicació:

Clica per avançar en l’escena. Indica el volum dels següents cubs, que pots veure a l’escena:

V =

V =

V =


Veuràs una animació en la qual es mostra la fórmula per calcular el volum d’un cub.

Clica per avançar en l’escena. Ara apareix a l’escena un cub i un regle amb la qual has de mesurar l’aresta i introduir el resultat del volum en el requadre corresponent. Després clica VEURE SOLUCIÓ, per comprovar si l’has fet bé.

Ara resol el problema inicial: En l’ampliació d’un port esportiu s’estan fent servir blocs cúbics de formigó armat de 285 cm de costat. Quant pesa cada bloc si la densitat del formigó és de 2350 kg per cada metre cúbic?

Clica Apareix la solució del problema inicial. Comprova si la teva solució és correcta.


2.b. Ortoedre Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i completa:

Un ortoedre és ________________________________________.

Volum (V)=


INS _______________________



Clica per avançar en l’escena. Indica la mesura de les arestes i el volum dels següents ortoedres (utilitza l’escena):

Arestes:

V =

Arestes:

V =

Arestes:

V =


Veuràs una animació en la qual es mostra la fórmula per calcular el volum d’un ortoedre.

Clica per avançar en l’escena. Ara apareix a l’escena un ortoedre amb la mesura de les seves arestes. Calcula els seu volum i introdueix el valor en el requadre corresponent. Després clica VEURE SOLUCIÓ, per comprovar si l’has fet bé. Pots fer més exercicis.

Ara resol el problema inicial: Com a norma general es recomana que en un aquari domèstic no s’introdueixi més d’un peix, petit o mitjà, cada quatre litres d’aigua. Quants peixos, com a màxim, podríem posar en un aquari com el de la foto, de mesures interiors 75 cm x 28 cm x 49 cm?



Resol, al menys, tres exercicis amb enunciats diferents. 2.c. Prisma recte qualsevol Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i completa:

Un prisma recte és _____________________________________ ____________________________________________________.

Volum (V)=


Clica per avançar en l’escena. Després de 6 passos arribaràs a la fórmula:

Volum d’un prisma recte de base triangular.


V =

INS _______________________



Clica per avançar en l’escena. Després de 4 passos arribaràs a la fórmula: Volum d’un prisma recte

Es comprova que la fórmula anterior es válida per a qualsevol prisma recte. En aquest cas la demostració es fa amb un prisma recte de base pentagonal


V =


Veuràs una animació en la qual es mostra la fórmula per calcular el volum d’un prisma recte.

Clica per avançar en l’escena. Ara apareix a l’escena un prisma recte amb la longitud de les seves arestes i l’apotema de la base. Calcula el seu volum i introdueix el valor en el requadre corresponent. Després clica VEURE SOLUCIÓ, per comprovar si l’has fet bé. Pots fer més exercicis.

Ara resol el problema inicial: Surarà en aigua? Àrea de la base =11,3 cm2, altura =2,6 cm, massa = 30 g


Apareix la solució del problema inicial. Comprova si l’has resolt correctament.


3. Volum d’una piràmide 3.a. Relació entre prismes i piràmides Llegeix l’explicació teòrica d’aquests apartat y completa:

El volum d’una piràmide és _______________ __________________________________________ __________________________________________.

V =


Clica per avançar en l’escena. Amb el mateix nombre de costats es construeix un prisma de la mateixa altura. Relació entre el volum d’una piràmide i el

volum d’un prisma Apareix en pantalla una piràmide a la qual li pots canviar el nombre de costats.


En els passos següents, 2, 3 i 4, s’observa que, efectivament, el volum de la piràmide és la tercera part del volum del prisma sempre que tinguin la mateixa base i la mateixa altura.

INS _______________________




Veuràs una animació en la qual s mostra la fórmula per calcular el volum d’una piràmide.

Clica per avançar en l’escena. Ara apareix a l’escena una piràmide amb la longitud de la seva altura, del costat de la base i l’apotema de la base. Calcula els seu volum. Clica VEURE SOLUCIÓ per comprovar si la teva solució és la correcta. Pots fer més exercicis clicant en UN ALTRE EXERCICI.

Ara resol el problema inicial: La Gran Piràmide de Giza és l’única que encara perdura de les set meravelles del mon antic. És la major de les piràmides i va servir com a tomba al faraó Keops. Actualment té una alçada de 137 m, i la base és un quadrat de 230 m de costat. Quin serà el seu volum?



Resol, al menys, DOS exercicis amb enunciats diferents.



EXERCICIS 4. Calcula, por tempteig, la longitud de l’aresta d’un cub de 343 m3 de volum.

5. Calcula el pes d’un bloc cúbic de formigó d’1,9 m de costat. (Un metre cúbic de formigó pesa 2350 kg)

6. Quants peixos, petits o mitjans, es poden introduir en un aquari les mesures interiors del qual són 88 x 65 x 70 cm? (Es recomana introduir, com a màxim, un peix mitjà o petit cada quatre litres d’aigua)

7. La base d’un prisma és un polígon regular de costat 1,7 cm i apotema 1,5 cm. Calcula el seu volum sabent que la seva altura és 3,9 cm.

8. La base d’una piràmide és un polígon regular de costat 1,3 cm i apotema 0,9 cm. Calcula el seu volum sabent que la seva altura és 2,7 cm.

9. La Gran Piràmide de Giza és l’única que perdura de les set meravelles del mon antic. Actualment té una altura de 137 m i la base és un quadrat de 230 m de costat. Quin és el seu volum aproximat?

INS _______________________



4. Cossos de revolució 4.a. Volum d’un cilindre Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i completa:

En créixer el nombre de cares d’un prisma indefinidament, aquest es transforma en______________. Com en el prisma, el volum d’un cilindre és

_____________________________________________.

V =


Clica per avançar en l’escena. Relació entre el volum d’un cilindre i el volum d’un prisma

Apareix en pantalla un cilindre i un prisma. Observa que en augmentar el nombre de costats del prisma, aquest s’assembla cada vegada més al cilindre.


Veuràs una animació en la qual es mostra la fórmula per calcular el volum d’un cilindre.

Clica per avançar en l’escena. Ara apareix a l’escena un cilindre amb la longitud de la seva altura i la del radi de la base. Calcula el seu volum. Clica VEURE SOLUCIÓ per comprovar si la teva solució és la correcta. Pots fer més exercicis clicant en UN ALTRE EXERCICI.

Ara resol el problema inicial: El diàmetre interior d’aquesta llauna d’olives mesura 6 cm i la seva altura interior 7 cm. Quina capacitat té aquest envàs?



Resol, al menys, TRES exercicis amb enunciats diferents.


4.b. Volum d’un con Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i completa:

En créixer el nombre de cares d’una piràmide indefinidament, aquesta es transforma en _____________. Com en la piràmide, el volum d’un con és ____________________________________________.

V =

INS _______________________




Clica per avançar en l’escena. Relació entre el volum d’un con i el volum d’una piràmide:

Apareix en pantalla un con i una piràmide. Observa que en augmentar el nombre de costats de la piràmide, aquest s’assembla cada vegada més al con.


Veuràs una animació en la qual s mostra la fórmula per calcular el volum d’un con.

Clica per avançar en l’escena. Ara apareix a l’escena un cilindre amb la longitud de la seva altura i la del radi de la base. Calcula el seu volum. Clica VEURE SOLUCIÓ per comprovar si la teva solució és la correcta. Pots fer més exercicis clicant en UN ALTRE EXERCICI.

Ara resol el problema inicial: Es pot abocar tot el contingut d’una llauna de refresc en aquesta copa cònica el con superior de la qual té un diàmetre interior de 10 cm i una altura interior de 9 cm?





4.c. Volum d’una esfera Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i completa:

El volum d’una esfera es pot obtenir a partir _____________________________________________.

V =


Clica per avançar en l’escena. Una propietat important

En seccionar els tres cossos per un pla horitzontal, s’obté que la suma de les àrees de les seccions de l’esfera i del con és igual a l’àrea de la secció del cilindre.

Per veure els passos amb els quals es comprova aquesta propietat, clica:

Volum d’una esfera De la propietat anterior es dedueix que el volum de l’esfera més el volum dels dos cons és igual al volum del cilindre. D’aquí obtenim la fórmula del volum de l’esfera.

INS _______________________




Veuràs una animació en la qual es mostra la fórmula per calcular el volum d’un con.

Ara resol el problema inicial: He comprat 244 boles de ferro d’1 cm de diàmetre. La densitat del ferro és 7,87 g/cm3. Quant pesen?





EXERCICIS

10. S’aboquen 7 cm3 d’aigua en un recipient cilíndric d’1,3 cm de radi. Quina alçada assolirà l’aigua?

11. Quants cubs cilíndrics, de 47 cm d’altura i 16 cm de radi, s’han de buidar en una piscina de 10x6x1,5 m per omplir-la?

12. Quantes copes es poden omplir amb 6 litres de refresc, si el recipient cònic de cada copa té una altura interior de 6,5 cm i un radi interior de 3,6 cm?

13. S’introdueix una bola de plom, d’1 cm de radi, en un recipient cilíndric de 3,1 cm d’altura i 1,5 cm de radi. Calcula el volum d’aigua necessari per omplir el recipient.

INS _______________________



5. Altres cossos 5.a. Tronc de con Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i completa:

Per calcular el volum d’un tronc de con n’hi ha prou amb conèixer _______________________________________.

V =


Clica per avançar en l’escena. Càlcul del volum d’un tronc de con Anem a veure un exemple. Escriu les dades de l’exemple en la figura i pren nota a la seva dreta dels càlculs necessaris per obtenir el seu volum.



Ara resol el problema inicial: El recipient de la imatge té 10 cm d’altura i els radis de les seves bases són 3 cm i 5 cm. Té més d’un litre de capacitat?





5.b. Tronc de piràmide Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i completa:

Per calcular el volum d’un tronc de piràmide s’utilitza la fórmula que s’observa en la imatge:

V =


INS _______________________



Clica per avançar en l’escena. Càlcul del volum d’un tronc de piràmide Anem a veure un exemple. Escriu les dades de l’exemple en la figura i pren nota a la dreta dels càlculs necessaris per obtenir el seu volum.



Ara resol el problema inicial: El recipient de la imatge té 12 cm d’altura i les seves bases són hexàgons regulars de costats 3 cm i 6 cm i apotemes 2,6 cm i 5,2 cm, respectivament. Té més d’un litre de capacitat?



5.c. Paral·lelepípede Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i completa:

El volum d’un paral·lelepípede coincideix amb el de ___________________ que tingui _______________ __________________________________________.

V =

A l’escena de la dreta veuràs una imatge. Hi ha tres piles de monedes. Cada pila té 21 monedes de 20 cèntims. És evident, per tant, que les tres piles tenen el mateix volum. Aquesta senzilla observació ens permetrà calcular el volum d’alguns cossos geomètrics a partir de la deformació d’altres.

Clica per avançar en l’escena. Teorema de Cavalieri

Si dos sòlids tenen la mateixa altura i les seccions planes paral·leles a les seves bases, a la mateixa distància d’ambdues, tenen àrees iguals, ambdós sòlids tenen el mateix volum.

A la imatge apareixen dos cilindres i com pots veure les seccions tenen la mateixa àrea.


INS _______________________



Volum d’un paral·lelepípede Si apliquem el Teorema de Cavalieri, el volum d’un paral·lelepípede serà igual que el d’un ortoedre que tingui la mateixa altura i igual àrea de la base. Les seccions planes tenen àrees iguals.

V =


EXERCICIS

14. El recipient de la imatge té 10 cm d’altura i els radis de les seves bases són 3 i 5 cm. Té més d’un litre de capacitat?

15. Calcula el volum d’un tronc de con de 7,2 cm d’altura, sabent que els radis de les seves bases mesuren 2,9 i 6,9 cm

16. El recipient de la imatge té 12 cm d’altura i les seves bases són hexàgons regulars de costats 3 i 6 cm i apotemes 2,6 i 5,2 cm. Té més d’un litre de capacitat?

17. Calcula l’altura de l’edifici de la imatge sabent que les seves bases són quadrats de 35 m de costat i que la seva altura és 115 m.

INS _______________________




VOLUM DELS COSSOS ELEMENTALS

ORTOEDRE

V =

PRISMA RECTE

V =

PIRÀMIDE

V =

CILINDRE

V =

CON

V =

ESFERA

V =


INS _______________________



Per practicar En aquesta unitat trobaràs quatre pàgines d’exercicis:

• Volums i capacitats • Prismes i piràmides • Cilindres, cons i esferes • Descomposició

Volums i capacitats Apareix un menú amb diversos exercicis. Completa l’enunciat i el resols en l’espai següent. Després de resoldre’l, comprova amb l’ordinador si els has fet correctament. Canvi d’unitats (Fes al menys 4 exercicis de canvi d’unitats.)

1. Expressa en la unitat que s’indica les següents quantitats:

a) En ____ : ___________ �

b) En ____ : ___________ �

c) En ____ : ___________ �

d) En ____ : ___________ �

L’aigua de la cisterna

2. Quants metres cúbics d’aigua es consumeixen en buidar ___ vegades al dia una cisterna de ____, durant ___ dies?

La dosi de xarop

3. El metge m’ha receptat ___ cm3 de xarop, cada 8 hores. El dosificador ve en ml. Quants ml he de prendre cada 8 hores?

El pantà

4. Un pantà té una capacitat de ____ hm3. Expressa aquesta quantitat en litres.


INS _______________________



Prismes i piràmides

Capacitat d’un dipòsit

5. Quants litres d’aigua pot contenir el dipòsit de la figura si les seves mides interiors són _______________ cm?

Fonent gel

6. Quina quantitat d’aigua s’obté quan es fon un bloc cúbic de gel de ___ cm d’aresta? La densitat del bloc de gel és 0,917 g/cm3

Peixos en l’aquari

7. Quants peixos, petits i mitjans, podem introduir en un aquario les mesures interiors del qual són ___________________ cm? Es recomana introduir un màxim d’un peix, petit o mitjà, per cada 4 litres d’aigua.

L’aixeta

8. Quant de temps trigarà una aixeta en omplir el dipòsit de la figura, si hi aboca ___ litres per minut? Nombre de costats de la base: ___ Apotema de la base: ___ Costat de la base: ___ Altura del dipòsit: ___

El pes de la piràmide

9. Calcula el pes, en tones, d’una piràmide de formigó, amb una base quadrada de ____ de costat i _____ d’altura. Un metre cúbic de formigó pesa 2,35 tones.


INS _______________________



Cilindres, cons i esferes

Omplir un dipòsit

10. Quantes vegades s’ha de buidar un cub cilíndric de ____ cm d’altura i ____ cm de radi per omplir un dipòsit cilíndric de _____ m d’altura i ___ m de radi?

Altura de l’aigua

11. S’aboquen _________ cm3 d’aigua en un recipient cònic la base del qual té ____ cm de radi i una altura de _____ cm. Quin percentatge de la capacitat del recipient omplirem?

Els gots

12. Quants gots cilíndrics de ___ cm d’altura i ___ cm de radi es poden omplir amb ___ litres de refresc?

El líquid que falta

13. Introduïm una bola de plom, de ___ cm de radi, en un recipient cilíndric de ____ cm d’altura i ____ cm de radi. Calcula el volum d’aigua que cal per tal d’omplir el recipient.


INS _______________________



Descomposició

Descomposició 1

14. Calcula el volum del cos geomètric de la figura.

El radi del cilindre és ____ cm, l’altura ___ cm, la generatriu del con mesura ____ cm i el radi ____ cm.

Descomposició 2

15. Calcula el volum del cos geomètric de la figura.

El radi de la semiesfera és ___ cm i la generatriu del con mesura___ cm.

Tronc de con

16. Calcula el volum d’un tronc de con de ___ cm d’altura, sabent que els radis de les seves bases són ___ cm i ___ cm.

L’edifici

17. Calcula el volum de l’edifici del la imatge, sabent que les seves bases són quadrats de 35 m de costat i que té una altura de 115 m.


INS _______________________



Autoavaluació


La capacitat d’un embassament és de ____ hm3. Expressa aquesta capacitat en litres.

Calcula el pes en grams d’un lingot de plata de _______ cm. (La densitat de la plata és ____ g/cm3)

Calcula el volum del prisma de la figura, sabent que l’altura és __ cm, el costat de la base mesura ___ cm. L’apotema de la base mesura ___ cm.

L’apotema d’una piràmide regular mesura ___ dm i la base és un quadrat de ___ dm de costat. Calcula el seu volum.

Quants blocs cúbics de pedra, de ___ cm d’aresta, fan falta per construir una piràmide regular amb una base quadrada de ___ m de costat i ___ m d’altura?

INS _______________________



S’aboquen ____ cm3 d’aigua en un recipient cilíndric de ___ cm de radi. Fins a quina alçada arribarà l’aigua?

Quantes copes puc omplir amb ___ litres de refresc, si el recipient cònic de cada copa té una altura interior de ___ cm i un radi interior de ___ cm?

Quants kg pesa una bola de plom de ___ cm de radi? El plom té una densitat d’11,4 g/cm3

Calcula el volum d’un tronc de con de ___ cm d’altura, sabent que els radis de les bases mesuren ___ cm i ___ cm.

Calcula el volum de l’escultura de la imatge, sabent que les bases són rectangles de _____ dm i l’altura ___ dm.

INS _______________________



Per practicar més

1. Expressa els següents volums en litres:

a) 3 dm3

b) 50 dam3

c) 1200 cm3

d) 0,0007 m3

2. Expressa les següents quantitats en cm3:

a) 0,00001 dam3

b) 10 dm3

c) 30000mm3

d) 1,5 m3

3. Quants gots de 250 cm3 es poden omplir amb 0,04 m3 d’aigua?

4. Transforma en m3: a) 0,006 hm3

b) 788 dm3

c) 0,00008 km3

d) 16000 mm3

5. Un embassament té una capacitat de 450 hm3. Si actualment està a un 76% de la seva capacitat, quants metres cúbics d’aigua conté?

6. Expressa:

a) 34 hm3 en km3

b) 3440 cm3 en m3

c) 2,34 km3 en dam3

d) 0,000008 dm3 en mm3

e) 34567 cm3 en dm3

f) 0,02 m3 en cm3

7. M’han encarregat 6 litres de refresc de taronja. A la botiga només queden ampolles de 250 cl. Quantes n’he de comprar?

8. Dóna un valor que et sembli raonable per cadascuna de les següents capacitats:

a) Capacitat d’un got d’aigua. b) Capacitat d’un embassament gran. c) Capacitat d’una piscina d’un xalet. d) Capacitat del maleter d’un cotxe.

9. Quina quantitat és més gran, mig metre cúbic o el volum d’un cub de mig metre d’aresta? Raona la resposta.

10. Calcula el volum, en litres, d’un cub de 2 m d’aresta.

11. Troba el pes d’un bloc cúbic de formigó de 2,3 m d’aresta. (Un metre cúbic de formigó pesa 2350 Kg.)

12. Calcula, en litres, el volum d’un tetrabrik les dimensiones del qual són 12x7x15 cm.

13. Durant una tempesta es van enregistrar unes precipitacions de 80 litres per metre quadrat. Quina alçada assoliria l’aigua en un recipient cúbic de 10 cm d’aresta?

14. Una piscina té unes dimensions de 7x4x2 m. Quan de temps trigaran en omplir-la dues aixetes el cabal de les quals és de 70 litres per minut per cadascuna d’elles?

15. Calcula, en litres, el volum d’un con que té 12 cm d’altura i la base del qual té un radi de 5 cm.

INS _______________________



16. Quantes vegades cal buidar un cub cilíndric de 40 cm d’altura i 20 cm de radi per omplir un dipòsit cilíndric de 2,5 m d’altura i 3 m de radi?

17. S’aboquen 2,5 cm3 d’aigua en un recipient cònic la base del qual té 1,7 cm de radi i una altura de 2,8 cm. Quin percentatge de la capacitat del recipient omplim?

18. Quants vasos cilíndrics de 19 cm d’altura i 2,7 cm de radi es poden omplir amb 3,8 litres de refresc?

19. Introduïm una bola de plom, de 0,6 cm de radi, en un recipient cilíndric de 3,1 cm d’altura i 0,9 cm de radi. Calcula el volum d’aigua necessari per omplir el recipient.

20. Quants metres cúbics d’aigua es consumeixen en buidar 6 vegades al dia una cisterna de 7,5 litres durant 30 dies?

21. Quants litres d’aigua pot contenir un dipòsit amb forma d’ortoedre, si les seves mides interiors són 189x60x58 cm?

22. Quina quantitat d’aigua s’obté en desfer un bloc cúbic de gel de 31,4 cm d’aresta? (La densitat del bloc de gel és 0,917 g/cm

3).

23. Quants peixos, petits o mitjans, podem introduir en un aquari les mides interiors del qual són 129x51x47 cm? (Es recomana introduir, com a màxim, un peix, petit o mitjà, cada quatre litres d’aigua).

24. Quant temps trigarà una aixeta en omplir un dipòsit si aboca 130 litres d’aigua per minut? El dipòsit és un prisma de 3,6 m d’altura i base hexagonal, de 2 m de costat i 1,7m d’apotema.

25. Calcula el pes, en tones, d’una piràmide de formigó, amb una base quadrada de 6 m de costat i 17 m d’altura. Un metre cúbic de formigó pesa 2,35 tones.

26. Calcula el volum d’un tronc de con de 6,1 cm d’altura, sabent que els radis de les seves bases són 6,1 cm i 3,8 cm.

27. Troba el volum, en litres, d’una esfera de 25 cm de radi.

28. Un paral·lelepípede té una altura de 12 cm i les seves bases són rombes les diagonals dels quals mesuren 7 cm i 4 cm. Calcula el seu volum.

29. S’aboquen 150 cm3 d’aigua en un got cilíndric de 4 cm de radi. Quina altura assolirà l’aigua?

30. Calcula el pes en grams d’un lingot de plata de 24x4x3 cm. La densitat de la plata és 10,5 g/cm3.

31. L’etiqueta lateral de paper, que envolta completament una llauna cilíndrica de tomata fregida, fa 25x13 cm. Calcula el volum de la llauna.

32. Calcula el pes d’un fil cilíndric de coure de 2 mm de diàmetre i 1350 m de longitud, sabent que la densitat del coure és 8,9 g/cm3.

INS _______________________


Funcions - 1 -

Funcions

Continguts

1. Relaciones funcionals

Taules, gràfics i fórmules Variables Domini i recorregut

2. Representació gràfica

A partir de taula o fórmula Uns símbols molt útils

3. Propietats generals

Creixement decreixement Tall amb els eixos Màxims i mínims

4. Primeres funcions elementals

De proporcionalitat directa De proporcionalitat inversa

Objectius

• Comprendre, distingir i valorar el concepte de funció.

• Interpretar i relacionar taula, gràfic i fórmula d’una relació funcional.

• Distingir els conceptes de variable dependent i independent, domini i recorregut.

• Apreciar i interpretar sobre un gràfic les primeres propietats generals d’una funció.

• Distingir, formular i representar situacions mitjançant una funció de proporcionalitat directa i inversa.

Autor: Joan Carles Fiol Colomar Sota llicència Creative Commons si no s’indica el contrari.

INS _______________________


Funcions - 2 -

CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

La Pedra Rosetta conté un document escrit, de quantes formes diferents?

Quines?

Busca i escriu un enllaç per saber-ne més sobre aquesta pedra.

Recorda Per treballar amb funcions hauràs de recordar com: representar punts en el pla, calcular les coordenades d’un punt, construir i interpretar gràfics cartesians i taules de dades i reconèixer magnituds directament proporcionals donades per taules o per representació gràfica.

Clica el botó

si necessites repassar aquests temes.


1. Relacions funcionals

1.a. Expressió d’una relació funcional Llegeix el text de la pantalla. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES En una relació funcional, quants elements del segon conjunt li poden correspondre a cada element del primer conjunt?

Escriu les diferents formes d’expressar una relació funcional.

A l’escena de la dreta de la pantalla, observa els diferents exemples i completa:

INS _______________________


Funcions - 3 -

La gràfica representa la distància a la qual es troba en Joan de casa seva al llarg del dia. En Joan camina durant un temps, esmorza i llegeix la premsa, segueix caminant una estona fins a la casa d’uns amics. Després d’un temps torna de pressa perquè s’ha fet una mica tard.

Si va sortir a les ____________ torna a les hores

A casa dels seus amics hi va estar hores

La casa d’en Joan està a m de la dels seus amics

(Completa la gràfica)

Clica el botó


Quan entres apareixen tres opcions diferents. Introdueix les dades i completa la taula següent amb dos exercicis de cada opció. Imatges en taules:

(Un cop completada la taula fes-ne la gràfica i després clica “Veure gràfica” per comprovar si ho has fet bé)

Escriu aquí els teus càlculs:


INS _______________________


Funcions - 4 -

Imatge sobre gràfics: (Còpia el gràfic i calcula la imatge demanada. Després “Clica” per comprovar si els teus càlculs són correctes)

f( )= f( )=

Imatges per fórmules:

Completa la taula i després clica per comprovar si els teus càlculs són correctes. A continuació fes la gràfica i després clica “Veure gràfica” per comprovar si ho has fet bé)




INS _______________________


Funcions - 5 -

1.b. Variable dependent i independent Llegeix amb atenció el text de la pantalla i observa a l’escena de la dreta els diferents exemples que es plantegen. Després completa:

Ara clica el botó


Practica fins que aconsegueixis, com a mínim, dos encerts consecutius.

Resol ara els quatre exercicis següents, similars als que apareixen a l’escena anterior. Indica quina és la gràfica que NO correspon a una funció i el per què:

Perquè …

Perquè …

Perquè …

Perquè …


1.c. Domini i recorregut Completa:

El ___________ o __________________ d’una funció és el conjunt de tots els

valors que pren la variable ________________.

El _____________, ___________ o __________ d’una funció és el conjunt de

valors que pren la variable ______________.

En una relació funcional, a la magnitud que depèn de l’altra se l’anomena ________________________, i aquesta segona magnitud se l’anomena ________________________.

INS _______________________


Funcions - 6 -

Observa l’escena de la dreta i escriu el domini i el recorregut en cada una de les imatges següents:

Clica el botó


Tria quatre exercicis dels proposats a l’escena (dos de domini i dos de recorregut). Realitza els càlculs necessaris per determinar els respectius dominis i recorreguts:

Domini de f(x)= Recorregut de f(x)=

Explicació/càlculs: Explicació/càlculs:

Domini= Recorregut=

Domini de f(x)= Recorregut de f(x)=

Explicació/càlculs: Explicació/càlculs:

Domini= Recorregut=

INS _______________________


Funcions - 7 -


2. Representació gràfica 2.a. Gràfica d’una funció. Llegeix amb atenció el text de la pantalla i completa: Per representar gràficament una funció, es forma la _______________ corresponent. Cada

parella s’identifica amb un punt del _________________ de forma que:

• La variable independent x es representa a _________________________.

• La variable dependent y es representa a _________________________.

EXERCICIS

1. La taula representa els valors d’una funció. Completa els forats que falten.

x f(x) 4 13 5 15 6 17 8 23

2. Fes una taula de valors per la funció f(x) = 2 x+1, i després dibuixa la seva gràfica de

punts.

3. Entre les següents representacions gràfiques n’hi ha una que no correspon a una

funció.

4. Troba el domini de 2243

)(2 ++=

xx

xf

5. Troba el domini de 544

)(++=

xx

xf

6. Troba el recorregut de 12)( += xxf

7. Troba el recorregut de 4

4)(

+=

xxf

INS _______________________


Funcions - 8 -

Observa diferents exemples de representació gràfica a l’escena de la dreta i copia’n un de cada tipus a la taula següent:

A partir d’una taula A partir d’una fórmula


2.b. Uns símbols molt útils Llegeix atentament el text de la pantalla de l’ordinador i contesta:

CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Per què s’utilitzen determinats símbols en la representació gràfica d’algunes funcions?

En la gràfica d’una funció, què significa un punt blanc?

I un punt ple?

Clica el botó

per fer uns exercicis sobre dominis i recorreguts.

Després de practicar una estona, contesta:

Indica quin dels conjunts representa el domini de la funció el gràfic de la qual és el de la figura. Assenyala aquest conjunt sobre l’eix corresponent.

INS _______________________


Funcions - 9 -

Indica quin dels conjunts representa el domini de la funció el gràfic de la qual és el de la figura. Assenyala aquest conjunt sobre l’eix corresponent.

Indica quin dels conjunts representa el recorregut de la funció el gràfic de la qual és el de la figura. Assenyala aquest conjunt sobre l’eix corresponent.

Indica quin dels conjunts representa el recorregut de la funció el gràfic de la qual és el de la figura. Assenyala aquest conjunt sobre l’eix corresponent.


EXERCICIS

8. Representa la gràfica següent unint els seus punts:

x 0 1 2 3 4

f(x) 0 2 3 1 2

9. Expressa en forma d’intervals i sobre el gràfic de la funció,

quin és el seu domini i quin és el seu recorregut.

INS _______________________


Funcions - 10 -

3. Propietats generals 3.a. Tall amb els eixos Llegeix amb atenció l’explicació del text de la pantalla. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Quants punts de tall pot tenir una funció amb l’eix d’ordenades?

Verdader o fals: “el punt (0,f(0)) sempre és un punt de tall”.

Quants punts de tall pot tenir una funció amb l’eix d’abscisses?

Per trobar els punts de tall d’una funció amb l’eix d’abscisses, quina equació hem de resoldre?

Després d’observar diferents exemples, copia’n dos a la taula següent:

Una funció sense punts de tall: Una funció amb dos punts de tall:

Clica el botó


Escriu aquí tres exercicis de punts de tall de funcions amb característiques diferents: Exercici 1: f(x)=

Operacions: Punts de tall:

INS _______________________


Funcions - 11 -

Exercici 2: f(x)=


Exercici 3: f(x)=



3.b. Creixement i decreixement Llegeix amb atenció la informació d’aquest apartat i completa:

Una funció és _____________ en un punt quan "_________" en tots els punts del seu entorn

Una funció és ____________ en un punt quan "_________" en tots els punts del seu entorn

Clica el botó

per fer uns exercicis sobre creixement i decreixement.

Realitza aquests sis exercicis proposats

La funció que és

creixent en el punt d’abscissa x=0 és la número:

_______

La funció que és


_______

INS _______________________


Funcions - 12 -

La funció que és


_______

La funció que és

decreixent en el punt d’abscissa x=0 és la número:

_______

La funció que és


_______

La funció que és


_______


3.c. Màxims i mínims relatius

Llegeix amb atenció l’explicació del text de la pantalla i completa:

Una funció presenta un __________ en un punt si és creixent a ___________ d’aquest punt i decreixent a ____________.

Una funció presenta un __________ en un punt si és ___________ a l’esquerra d’aquest punt i ____________ a la dreta.

INS _______________________


Funcions - 13 -

Clica el botó


Després de practicar amb l’ordinador, realitza aquests sis exercicis. Indica les coordenades del punt en el qual creguis que la funció té un MÍNIM:

Altres mínims: Altres mínims: Altres mínims:

Indica les coordenades del punt en el qual creguis que la funció té un MÀXIM:

Altres màxims: Altres màxims: Altres màxims:

INS _______________________


Funcions - 14 -


EXERCICIS 10. Calcula els punts de tall amb els eixos de les funcions següents:

a) 14)( −= xxf b) 16)( 2 −= xxf c) x

xf3

)(−=

11. Entre les següents funcions indica la que correspondria a una funció creixent en el punt d’abscissa x=0:

12. Entre les següents funcions indica la que correspondria a una funció decreixent en el punt d’abscissa x=0:

13. Per cada una de les següents funcions, escriu les coordenades de tots els punts en els que creguis que la funció té un màxim i en els que té un mínim:

INS _______________________


Funcions - 15 -

4. Primeres funcions elementals 4.a. Funció de proporcionalitat directa Llegeix amb atenció l’explicació del text de la pantalla. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Explica a la teva manera què entens per funció de proporcionalitat directa.

Com són les variables que relacionen aquest tipus de funcions?

Les funcions de proporcionalitat directa són de la forma: f(x)=

Quin tipus de gràfica té una funció de proporcionalitat directa?

Quina característica tenen en comú totes les gràfiques d’aquestes funcions?

Observa atentament l’escena de la dreta i copia aquí un exemple de cada tipus:

Combustibles: Per ____ litres de _________ hem pagat ____ euros.

La funció que permet calcular el preu del combustible: f(x)=

Taula de valors:

El cistell de la compra:

Per _____ kg de ___________ hem pagat ______ euros.

La funció que permet calcular el preu de les _____________: f(x)=

Taula de valors:

INS _______________________


Funcions - 16 -

Longituds: El perímetre d’un ____________ és de ____ cm.

La funció que permet calcular el perímetre en funció del costat és: f(x)=

Taula de valors:


4.b. Funció de proporcionalitat inversa Llegeix amb atenció l’explicació del text de la pantalla. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Explica a la teva manera que entens per funció de proporcionalitat inversa.

Verdader o fals: el producte de dos variables relacionades per una funció de proporcionalitat inversa és constant.

Les funcions de proporcionalitat inversa són de la forma: f(x)=

Quin tipus de gràfica té una funció de proporcionalitat inversa?

Quina característica tenen en comú el domini de totes aquestes funcions?

Observa atentament l’escena de la dreta i copia aquí un exemple:

Copia l’enunciat

_________________________ _________________________ _________________________

La funció que permet relacionar les dues magnituds és: f(x)= _____

Taula de valors:

INS _______________________


Funcions - 17 -

Clica el botó

per fer uns exercicis sobre magnituds proporcionals.

Practica amb l’ordinador fins que no t’equivoquis. Després completa la taula següent amb 10 exemples dels que es proposen:

Inversa Directa Cap

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



Llegeix atentament la informació del resum, després completa i respon les qüestions que hi ha a continuació i, si és el cas, representa un exemple en cada apartat. Una funció és una _______________ entre dos conjunts, de manera que cada element del primer conjunt es relaciona, com a màxim, amb un ________ element del segon, el qual s’anomena ___________.

Tria la opció correcta�

SI NO és una funció

SI NO és una funció

EXERCICIS 14. Un mapa té per escala 1:50000. Qualsevol distància en el mapa es tradueix en la seva

corresponent distància real i a l’inrevés. a) Escriu la funció que relaciona aquestes distàncies i representa-la gràficament. b) Calcula la distància corresponent a 5,50 cm en el mapa.

15. Una aixeta de cabal constant omple un dipòsit en 6 hores.

a) Escriu i representa la funció que correspon a la relació entre el nombre d’aixetes (x) i el temps que tardarien en omplir el dipòsit (f(x)). b) Quant temps tardarien 4 aixetes?

INS _______________________


Funcions - 18 -

Domini o camp d’existència és el conjunt de ________ els valores que pren la variable _____________.

Recorregut, imatge o rang és el conjunt de valors que pren la variable _____________.

Assenyala el domini/recorregut sobre l’eix corresponent domini recorregut

Per representar gràficament una funció, es forma la ___________________. Cada parell s’identifica amb un ______ del ____________.

Quina variable es representa a l’eix d’abscisses? ______________________

¿I a l’eix d’ordenades? _______________

Construeix una taula de valors i representa-la Si la gràfica d’una funció passa pels eixos de coordenades, diem que té _______________. Si una funció “puja” diem que és _______________ i quan “baixa” diem que és ________________ . Representa una funció de cada tipus marcant els punts de

tall creixent decreixent Una funció té un ___________ en un punt si la funció és ____________ a la seva esquerra i ___________ a la seva dreta. I diem que té un ___________ en un punt en el qual és _____________ a la seva esquerra i ____________ a la seva dreta.

Assenyala quina funció presenta un màxim i quina un mínim

________________

____________

Una funció de proporcionalitat _________ és aquella que relaciona dues magnituds _____________ proporcionals. La seva gràfica és una _________ que sempre passa per ____________________. Una funció de proporcionalitat _________ és aquella que relaciona dues magnituds _____________ proporcionals. La seva gràfica s’anomena _____________ .

Completa

F. Proporc. _________

F. Proporc. _________


INS _______________________


Funcions - 19 -

Per practicar Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. A les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de: Taules, gràfics i fórmules És el gràfic d’una funció? Domini i recorregut algebraicament Domini i recorregut gràficament Tall amb els eixos i creixement Tall amb els eixos i decreixement Extrems Funcions de proporcionalitat

Procura fer-ne al menys un de cada tipus i un cop resolt comprova’n la solució. Completa l’enunciat amb les dades de cada EXERCICI de la pantalla i després resol-lo. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé. En els següents EXERCICIS de Taules, gràfics i fórmules tria una de les opcions, resol-los i finalment comprova la solució a l’ordinador. Fes-ne un de cada tipus.

Imatges en taules:

Completa els valors de la taula i representa-la.

Imatges i gràfica:

Amb la funció f calcula la imatge del valor indicat. Dibuixa la gràfica d’aquesta funció.

f(x)=

f( )=

Imatges per fórmules:

Completa la taula de valors corresponent a la funció f. Dibuixa la gràfica d’aquesta funció.

f(x)=

En els següents EXERCICIS de És el gràfic d’una funció? practica fins que no t’equivoquis i després resol els tres següents:

INS _______________________


Funcions - 20 -

Entre els següents gràfics n’hi ha un que no correspon al d’una funció, quin és?

En els següents EXERCICIS de Domini i recorregut algebraicament tria una de les opcions, després resol-los i finalment comprova la solució a l’ordinador. Fes-ne dos de cada tipus.

Domini d’una funció

Calcula el domini de f(x)= Calcula el domini de f(x)=

Recorregut d’una funció

Calcula el recorregut de f(x)= Calcula el recorregut de f(x)=

INS _______________________


Funcions - 21 -

En els següents EXERCICIS de Domini i recorregut gràficament practica fins que no t'equivoquis i després resol-ne dos de cada tipus fent el dibuix i escrivint la resposta correcta en cada cas:

Domini d’una funció

Domini:

Domini:

Recorregut d’una funció

Recorregut:

Recorregut:

En els següents EXERCICIS de Tall amb els eixos i creixement tria una de les opcions, resol-los i finalment comprova la solució a l’ordinador. Fes-ne dos de cada tipus.

Tall amb els eixos

Troba els punts de tall de la funció f amb els eixos de coordenades: f(x)=


INS _______________________


Funcions - 22 -

Creixement

Entre les següents funcions indica quina es correspon amb una funció CREIXENT en el punt d’abscissa x=0

En els següents EXERCICIS de Tall amb els eixos i decreixement tria una de les opcions, resol-los i finalment comprova la solució a l’ordinador. Fes-ne dos de cada tipus.

Tall amb els eixos



INS _______________________


Funcions - 23 -

Decreixement

Entre les següents funcions indica quina es correspon amb una funció DECREIXENT en el punt d’abscissa x=0

En els següents EXERCICIS d’Extrems practica fins que no t’equivoquis i després resol els quatre següents:

Màxims

Dels punts indicats, determina en quin té un MÀXIM.

Mínims

Dels punts indicats, determina en quin té un MÍNIM.

INS _______________________


Funcions - 24 -

En els següents EXERCICIS de Funcions de proporcionalitat tria una de les opcions, resol-los i finalment comprova la solució a l’ordinador. Completa els següents:

Funció de proporcionalitat directa:

Un mapa té per escala 1: ______. La distància real que correspon a ___ cm en el mapa és:

Funció de proporcionalitat inversa:

Una aixeta de cabal constant omple un dipòsit en ___ hores. Calcula el temps per omplir-lo amb ___ aixetes.

Magnituds proporcionals:

INS _______________________


Funcions - 25 -

Autoavaluació

Completa aquí cada un dels enunciats que proposa l’ordinador i resol-lo, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és la correcta.

Una funció associa a cada valor el resultat de multiplicar per ____ i restar ____. Quina és la imatge de ____?

Una funció associa a cada nombre el seu doble menys ____. Quin és el nombre que té per imatge ____?

Una funció té per fórmula f(x)=_________ Indica quin és el valor f(___).

Una funció té per fórmula f(x)= Indica quin és el valor de x a f(x)=

Un conductor va a una velocitat uniforme de _____ km/h. Indica la distància que haurà recorregut al cap de ____ hores.

INS _______________________


Funcions - 26 -

Una persona inspira, de mitjana, una vegada cada ____ segons. Si per cada inspiració consumeix ____ litres d’aire, calcula el volum d’aire que ha consumit en ____ hores.

Si una funció té per fórmula y=. Quin valor no pertany al seu domini?

Indica el valor en el que la funció f(x)=______ talla l’eix d’abscisses (OX).

Indica el valor en el que la funció f(x)=______ talla l’eix d’ordenades (OY).

Indica si la funció que relaciona: _____________________________________ és de proporcionalitat directa, inversa o cap de les dues.

INS ________________________

QUADERN Núm. 12 NOM: _________________________ DATA: / /

Estadística - 1 -

Estadística

Continguts 1. Vocabulari estadístic

Població, mostra, individu i caràcter

2. Caràcter. Variable estadística Caràcter qualitatiu. Atributs Variables discretes Variables contínues

3. Ordenació de dades. Tabulació Per a variable discreta Per a variable qualitativa

4. Gràfics per a una variable qualitativa Diagrama de barres Diagrama de sectors

5. Gràfics per a una variable discreta Diagrama de barres Polígons de freqüències Diagrama de sectors

6. Mesures de centralització Mitjana Mediana Moda

Objectius • Recordar els conceptes de població, mostra, individu i caràcter. • Valorar la importància del concepte de variable estadística i distingir entre els diferents

tipus. • Resumir mitjançant una taula de freqüències qualsevol sèrie de dades. • Associar i interpretar gràfics estadístics valorant el seu ús en diferents àrees de

coneixement. • Calcular, valorar i interpretar la mitjana, mediana i moda en una variable discreta.

Autora: Montserrat Gelis Bosch Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS ________________________


Estadística - 2 -

L’Estadística ha calat en múltiples aspectes de la vida quotidiana fent familiars termes com població, mostra, mitjana, mediana, moda... L’esport no és una excepció. En tots ells i en particular en el bàsquet l’ús de les dades estadístiques constitueix un aspecte a estudiar i manejar tan important a vegades com les tàctiques i la tècnica implícites del propi joc. L’exemple de l’escena de la dreta de la pantalla simula un servei de fons en bàsquet. Es representa amb punts vermells els jugadors atacants i amb verds els defensors. L’estudi que realitzen els cossos tècnics dels equips s’encarrega de calcular quina estadística de tir té cada jugador. Observa els percentatges en tirs lliure de cada jugador de l’equip vermell. Per això situa’t a sobre seu amb el ratolí. Segueix les indicacions que apareixen situant el ratolí sobre el botó "previ". Utilitza les fletxes per començar el joc.

Recorda En el curs anterior vas veure una introducció a l’estadística i la probabilitat.

Clica el botó

si necessites repassar alguns conceptes estadístics.

Fes clic Per anar a la pàgina següent.

1. Vocabulari estadístic

1.a. Població, mostra, individu i caràcter

Llegeix el text de la pantalla i escriu tot seguit les definicions dels conceptes bàsics que es necessiten per començar qualsevol estudi estadístic: Població:

Individu:

Abans de començar

INS ________________________


Estadística - 3 -

Mostra:

Caràcter:

A l’escena de la dreta de la pantalla practica identificant població, mostra, individu i caràcter triant diferents opcions. Completa la taula següent i comprova el resultat a l’ordinador:

Estudi sobre la possible existència de vida en altres estrelles

Població: Individu:

Mostra: Caràcter:

Estudi sobre l’evolució de la talla de la joventut espanyola


Mostra: Caràcter:

Control estadístic de qualitat en els productes fabricats


Mostra: Caràcter:

Estudi sobre el diàmetre mitjà dels grans de cafè d’una producció


Mostra: Caràcter:

Estudi sobre la nota de selectivitat dels estudiants cordovesos


Mostra: Caràcter:


INS ________________________


Estadística - 4 -

2. Caràcter. Variable estadística 2.a. Caràcter qualitatiu. Atributs Llegeix amb atenció l’explicació del text de la pantalla. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Com s’anomena el caràcter d’una variable estadística quan els valors que pren no són mesurables numèricament?

Quina és la principal diferència entre un caràcter qualitatiu i un caràcter quantitatiu?

En què consisteix el treball de camp?

A l’escena de la dreta de la pantalla, pots veure tres exemples en què l’ús de l’ordinador permet una simulació de situacions. Tria una situació i llegeix amb atenció l’enunciat.

Utilitza el botó per simular el treball de camp.

Observa les característiques de cadascun dels exemples prement la fletxa


2.b. Variables discretes

Llegeix amb atenció l’explicació del text de la pantalla. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Com s’anomena el caràcter d’una variable estadística quan els valors que pren es poden representar amb nombres?

Quins dos tipus es distingeixen dins dels caràcters quantitatius?

Quina condició compleix un caràcter quantitatiu discret?

A l’escena de la dreta de la pantalla, pots veure tres exemples de variables quantitatives discretes. Tria una situació i llegeix amb atenció l’enunciat.




INS ________________________


Estadística - 5 -

2.c. Variables contínues A partir de la lectura del text de la pantalla, completa la següent definició: Diem que estem davant d’un caràcter quantitatiu continu quan les variables poden prendre valors d’un conjunt de _____________________________________________ o un ______________________. A l’escena de la dreta de la pantalla, pots veure tres exemples de variables quantitatives contínues. Tria una situació i llegeix amb atenció l’enunciat.



Clica el botó per fer exercicis de classificació de variables.

Fes diversos exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que classifiquis correctament totes les variables proposades. Ha arribat el moment de comprovar tot el que has aprés. Realitza cadascun dels exercicis següents sense l’ordinador aplicant els conceptes estudiats.

En acabar pots passar al següent apartat. Fes clic Per anar a la pàgina següent.

EXERCICIS

1. Classifica les variables següents: qualitatives, discreta o contínua, escrivint una X en el requadre corresponent.

QUALITATIVA DISCRETA CONTÍNUA Nre. de fills barons Tipus de música preferida Nre. de fills Pes de nadons Pàgines d’un llibre Alçada

2. Classifica les variables següents: qualitatives, discreta o contínua, escrivint una X en el requadre corresponent.

QUALITATIVA DISCRETA CONTÍNUA Raça de gossos Nre. de fills Llargada de peu Assignatures pendents Perímetre cranial Cantant preferit

INS ________________________


Estadística - 6 -

3. Ordenació de dades. Tabulació 3.a. Tabulació per a variable discreta A partir de la lectura del text de la pantalla, completa: Anomenem tabulació al procés de disposar les __________________ de manera ____________, _____________ i visualment atractiva. Observa la taula de l’escena de la dreta de la pantalla. Passant el ratolí per sobre de les caselles de color rosa pots llegir la descripció dels valors que es col·loquen a cada fila i a cada columna.

Clica el botó

per veure com s’aplica en un cas particular.

Per a la tabulació de dades clica la fletxa Selecciona diversos exemples fins que entenguis el procediment a seguir.

Clica el botó

per fer exercicis.

Has de realitzar una tabulació de les dades proposades a l’exercici. Utilitza la fletxa per passar de les dades a la taula. Fes uns quants exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que te’n surtin bé cinc de seguits.


3.b. Tabulació per a variable qualitativa Llegeix amb atenció la informació d’aquest apartat. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

En els casos de caràcter qualitatiu, a què fan referència les columnes que tenen sentit?

Quin és el valor de la suma de totes les freqüències absolutes?

Quin és el valor de la suma de totes les freqüències relatives?

Observa la taula de l’escena de la dreta de la pantalla, passant el ratolí per sobre de les caselles de color rosa pots llegir la descripció dels valors que es col·loquen a cada fila i a cada columna.

INS ________________________


Estadística - 7 -

Clica el botó

Per veure com s’aplica la tabulació per a una variable qualitativa.

Per a la tabulació de dades clica la fletxa Selecciona uns quants exemples fins que entenguis com es realitza la tabulació.

Clica el botó

per fer exercicis.

Has de fer una tabulació amb les dades proposades a l’exercici. Utilitza la fletxa per passar de les dades a la taula Fes uns quants exercicis i comprova si els has fet bé. Practica fins que te’n surtin bé cinc de seguits. Ha arribat el moment de comprovar tot el que has aprés. Realitza una tabulació de les dades dels següents exercicis.

En acabar pots passar al següent apartat. Fes clic per anar a la pàgina següent.

EXERCICIS 3. Per a un estudi d’accessibilitat, durant 30 dies anotem el nombre de places lliures

d’aparcament a les 5 de la tarda.

1 2 1 2 0 1 3 2 1 5 0 2 2 1 3

3 2 1 1 5 0 5 3 0 3 3 2 2 3 1

Realitza una tabulació de les dades en la qual apareguin les columnes corresponents a les freqüències absolutes, relatives, acumulades absolutes i relatives.

4. Preguntem a 20 estudiants escollits aleatòriament pel tipus de música que prefereixen

escoltar. Els resultats són: disco, rock, rock, clàssica, rock, llatina, pop, rock, llatina, rock, flamenc, flamenc, flamenc, llatina, rock, clàssica, disco, disco, llatina, rock. Realitza una tabulació de les dades en la qual apareguin les columnes corresponents a les freqüències absolutes i relatives.

INS ________________________


Estadística - 8 -

4. Gràfics per a una variable qualitativa 4.a. Diagrama de barres Llegeix amb atenció la informació d’aquest apartat. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Per què és molt habitual en Estadística recórrer a gràfics?

Quins són els gràfics més habituals per representar variables qualitatives?

En un diagrama de barres, quin valor representa l’altura de cadascuna de les barres?

Observa l’exemple de l’escena de la dreta de la pantalla. Utilitza la fletxa per veure el diagrama de barres corresponent. Selecciona diversos exemples fins que entenguis com es realitza un diagrama de barres.

Clica el botó

per fer alguns exercicis.

Utilitza la fletxa per passar de les dades al diagrama. Per dibuixar el diagrama de barres, arrossega amb el ratolí cadascun dels punts vermells per construir el rectangle fins a l’altura corresponent. Quan acabis el gràfic clica COMPROVAR. Realitza diversos exercicis. Practica fins que en facis bé cinc de seguits.


4.b. Diagrama de sectors Per realitzar un diagrama de sectors necessites calcular l’angle del sector que correspon a cada valor de la freqüència. Completa: Observa l’exemple de l’escena de la dreta de la pantalla.

Total dades 360º

x =

INS ________________________


Estadística - 9 -

Utilitza la fletxa per passar de les dades al diagrama de sectors. Comprova l’angle de cada sector amb la teva calculadora. Selecciona diversos exemples fins que entenguis com es realitza el diagrama.

Clica el botó

per fer exercicis.

Utilitza la fletxa per passar de les dades al diagrama. Fes els càlculs necessaris per trobar els angles dels sectors que corresponen a cada valor de la freqüència. Situa el ratolí sobre els punts del cercle i arrossega fins que els angles coincideixin amb els teus càlculs. Per veure si ho has fet bé clica COMPROVAR. Realitza diversos exercicis. Practica fins que en facis bé cinc de seguits. Ha arribat el moment de comprovar tot el que has aprés. A la teva llibreta, realitza un diagrama de barres i un diagrama de sectors amb les dades dels següents exercicis.


EXERCICIS 5. Les dades corresponen a les respostes realitzades per 22 persones escollides aleatòriament,

sobre del sabor preferit en els refrescos d’una determinada marca. Taronja, poma, cola, taronja, llimona, cola, préssec, cola, llimona, cola, cola, poma, llimona, taronja, cola, pinya, poma, taronja, cola, taronja, poma i préssec. Dibuixa el diagrama de barres que representa les dades anteriors.

6. Els resultats corresponen a les respostes realitzades per 15 estudiants sobre quin és el seu color preferit. Les respostes que donaren són: blau, marró, taronja, groc, blau, taronja, verd, verd, blau, marró, blau, taronja, groc, marró i blau. Dibuixa el diagrama de sectors que representa les dades anteriors.

INS ________________________


Estadística - 10 -

5. Gràfics per a una variable discreta 5.a. Diagrama de barres Llegeix amb atenció les explicacions del text de la pantalla. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES En un diagrama de barres, quins valors es situen a l’eix d’abscisses?

On es representa el valor corresponent a la freqüència de cada variable?

A l’escena de la dreta, pots veure les dades d’un exemple de variable discreta. Clica per veure el diagrama de barres corresponent. Fes lliscar el ratolí sobre cada una de les variables i observa la relació entre la freqüència i l’altura de la barra. Selecciona diversos exemples fins que entenguis el procediment que cal seguir per realitzar el diagrama.

Clica el botó

per fer exercicis de diagrama de barres.

Utilitza la fletxa per passar de les dades al diagrama. Fes uns quants exercicis i comprova el resultat a l’ordinador. Practica fins que te’n surtin bé cinc de seguits.


5.b. Polígons de freqüències Llegeix amb atenció les explicacions del text de la pantalla. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Com es construeix el polígon de freqüències?

Quina és la diferència entre el polígon de freqüències i el polígon de freqüències acumulades?

A l’escena de la dreta, pots veure diversos exemples. Clica I tria opció segons vulguis veure el polígon de freqüències o el polígon de freqüències acumulades.

Clica el botó

per fer exercicis.

Per a cada exercici construeix el polígon de freqüències i el polígon de freqüències acumulades a la teva llibreta i comprova el resultat a l’ordinador. Practica fins que te’n surtin bé cinc de seguits.


INS ________________________


Estadística - 11 -

5.c. Diagrama de sectors Llegeix amb atenció les explicacions del text de la pantalla. Per representar el sector que correspon a cada valor de la freqüència hauràs de calcular l’angle del sector. Completa la següent proporció: A l’escena de la dreta, pots veure les dades d’un exemple de variable discreta. Clica per veure el diagrama de sectors corresponent. Observa la relació entre freqüències i graus situant el cursor sobre la llegenda. Selecciona diversos exemples fins que entenguis el procediment que cal seguir per realitzar el diagrama.

Clica el botó per fer exercicis de diagrama de sectors.

Fes uns quants exercicis i comprova el resultat a l’ordinador. Practica fins que te’n surtin bé cinc de seguits. Ha arribat el moment de comprovar tot el que has aprés. Realitza cadascun dels següents exercicis.


EXERCICIS 7. Les edats de 30 estudiants d’un institut d’ensenyament secundari són les següents:

15 15 16 15 16 16 16 16 16 12 13 12 15 16 14 12 14 12 15 13 14 16 15 15 12 15 12 15 15 12

Representa el diagrama de barres corresponent.

8. Les dades corresponen al nombre de trucades telefòniques que reben al dia 30 persones: 0 8 8 8 3 9 0 4 4 7 9 7 2 7 4 4 9 1 4 1 4 5 6 4 9 8 1 8 4 8

Dibuixa el diagrama, els polígons de freqüència i de freqüència acumulada que representa les dades anteriors.

9. Les dades corresponen al nombre d’errades ortogràfiques en el mateix text de 30 estudiants: 2 2 2 1 1 2 3 2 0 0 3 2 1 0 3 3 3 2 3 0 0 1 2 2 1 3 0 3 2 2

Representa el diagrama de sectors corresponent.

Total dades

fi

x =

INS ________________________


Estadística - 12 -

6. Mesures de centralització 6.a. Mitjana aritmètica Llegeix amb atenció les explicacions del text de la pantalla i completa: Els paràmetres o mesures estadístiques que informen sobre la _________________

____________ o __________ de les dades d’una distribució s’anomenen en estadística

______________________________________________.

La mitjana aritmètica es defineix com la _____________ de totes les dades

______________ entre el nombre total d’aquestes.

Escriu la fórmula per calcular la mitjana aritmètica a partir d’una taula de dades (xi) amb les seves freqüències (fi):

_ X =

Completa les tres propietats destacades de la mitjana aritmètica:

• La mitjana _____________ per què ser un _________________ de la variable.

• És _____________________ a valors _______________ en les dades.

• Es comporta de forma natural en relació a les _________________aritmètiques.

RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Què vol dir que la mitjana no té per què ser un valor propi de la variable?

Per què la mitjana és molt sensible als valors extrems de les dades?

A l’escena pots observar diversos exemples de càlcul de la mitjana aritmètica. Pots triar exemples amb poques dades o amb moltes, a partir de la taula de freqüències. Clica el botó per veure com es calcula la mitjana aritmètica en cada cas. Fes uns quants exercicis i comprova els resultat a l’ordinador. Practica fins que te’n surtin bé cinc de seguits.


INS ________________________


Estadística - 13 -

6.b. Mediana Llegeix amb atenció les explicacions del text de la pantalla i completa: La mediana es el valor de la variable estadística que deixa el ________ d’observacions

inferiors a ell; així doncs, la mediana _________________ en dues parts ______________ la

distribució estadística.

Completa les tres propietats destacades de la mediana:

• Como mesura descriptiva ____________________________________________ per la presència de _________________________.

• És de _____________________ i de fàcil interpretació.

• Té __________________________________________________ que fan que sigui poc utilitzada en inferència estadística.

A l’escena pots observar diversos exemples de càlcul de la mediana.

Clica el botó . Pots triar diverses opcions:

Poques dades (senars), poques dades (parells) i moltes dades (taula de freqüències). Escriu els passos que cal seguir per calcular la mediana en cadascun dels cassos següents: OPCIÓ: PROCEDIMENT:

Poques dades (senars)

1.- ___________________________________________________ 2.- ___________________________________________________

Poques dades (parells)

1.- ___________________________________________________ 2.- ___________________________________________________

Moltes dades (Taula de freqüències)

1.- ___________________________________________________ 2.- ___________________________________________________ 3.-____________________________________________________

Realitza alguns exemples de cada opció i comprova si els has fet bé.

En acabar pots passar al següent apartat... Fes clic per anar a la pàgina següent.

INS ________________________


Estadística - 14 -

6.c. Moda Llegeix amb atenció les explicacions del text de la pantalla i completa:

Es defineix la moda com el valor de la variable estadística que té la _____________________

_______________ més gran.

Si existeixen diversos valors amb aquesta característica llavors es diu que la distribució té

diverses modes, es diu que és ___________________.

S’utilitza com a ______________________________ a la mitjana aritmètica i la mediana

perquè ella sola no dóna una informació determinant de la distribució.

A l’escena pots veure exercicis resolts. Clica per veure com es calcula la moda.

Clica el botó

Per fer exercicis.

A cada exercici has de calcular la mitjana, la mediana i la moda de les dades proposades. Realitza diversos exercicis. Practica fins que te’n surtin bé cinc de seguits. Ha arribat el moment de comprovar tot el que has aprés. Realitza cadascun dels següents exercicis.


EXERCICIS

10. Les edats d’un grup de 9 amigues són: 12, 14, 13, 16, 13, 15, 15, 17 i 13. Calcula la mitjana, mediana i moda.

11. El nombre de trucades telefòniques que reben al dia els 9 integrants d’una família són:

7, 8, 15, 12, 13, 5, 10, 4, 8 Calcula la mitjana, mediana i moda.

INS ________________________


Estadística - 15 -


Llegeix amb atenció la informació del resum i completa. Les primeres definicions necessàries per a l’inici de qualsevol estudi estadístic són: ________________, _______________, ______________ i ______________.

Classificació:

QUALITATIUS: ______________________________________________________ QUANTITATIUS: _________________________________________________________ Moda: Valor que té la ________________ absoluta més ________

És l’única que es pot calcular per a una variable _____________. No és tan sensible com la mitjana aritmètica als valors ______________.

Mitjana aritmètica: Suma de totes les dades ___________ entre el ________________ d’aquests.

Molt sensible als valors _____________ en les dades. No ha de ser necessàriament un valor ___________ de la variable.

Mediana: Divideix en _____ parts iguals la distribució _____________________.

De càlcul _____________ i de fàcil _________________. No és tan sensible com la mitjana aritmètica a valors ______________.

Diagrama de barres:

Polígon de freqüències:

Diagrama de sectors:


CARÀCTERS

INS ________________________


Estadística - 16 -

Per practicar

Practica ara resolent diferents EXERCICIS. A les pàgines següents trobaràs EXERCICIS de

Variable estadística i ordenació de dades de variable discreta Ordenació de dades de variable qualitativa Gràfics per a variable qualitativa: Diagrama de barres o de sectors Gràfics per a variable discreta: Diagrama de barres, polígons o sectors, Mesures de centralització.

Procura fer-ne almenys un de cada classe, i un cop resolt comprova la solució. En els següents EXERCICIS de Variable estadística i ordenació de dades de variable discreta tria una de les opcions i escriu l’enunciat, després resol-lo i finalment comprova la solució a l’ordinador.

1. Variables estadístiques

Analitza el caràcter de cada variable estadística.

QUALITATIVA DISCRETA CONTÍNUA

2. Tabulació de variable discreta

Realitza una tabulació de les dades següents que es corresponen amb __________________

__________________________________________________________________________

fi hi Fi Hi


INS ________________________


Estadística - 17 -

En el següent EXERCICI d’Ordenació de dades de variable qualitativa escriu l’enunciat, després resol-lo i finalment comprova la solució a l’ordinador.

Tabulació variable qualitativa

Fes una tabulació de les dades en què apareguin les columnes de freqüències absolutes i relatives. Quan sigui necessari aproxima fins a les centèsimes. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

fi hi


En els següents EXERCICIS de Gràfics per a variable qualitativa: Diagrama de barres o de sectors escriu l’enunciat, després resol-lo i finalment comprova la solució a l’ordinador.

1. Gràfics per a variable qualitativa. Diagrama de barres

Dibuixa el diagrama de barres corresponent a les respostes donades en l’enquesta que es detalla: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ (Fes el recompte de cada categoria)

Dades fi

Diagrama de barres:


INS ________________________


Estadística - 18 -

2. Gràfics per a variable qualitativa. Diagrama de sectors

Dibuixa el diagrama sectors corresponent a les respostes donades en l’enquesta que es detalla: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ (Fes el recompte de cada categoria)

Dades fi angle



En els següents EXERCICIS de Gràfics per a variable discreta: Diagrama de barres, polígons o sectors tria una de les opcions i escriu l’enunciat, després resol-lo i finalment comprova la solució a l’ordinador.

1. Gràfics per a variable discreta. Diagrama de barres

Dibuixa el diagrama de barres corresponent a les dades que es detallen: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ (Fes el recompte de cada categoria)

Dades fi

Diagrama de barres:


INS ________________________


Estadística - 19 -

2. Gràfics per a variable discreta. Polígon de freqüències

Dibuixa el diagrama de barres i el polígon de freqüències corresponent a les dades que es detallen: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ (Fes el recompte de cada categoria)

Xi fi Fi

Polígon de freqüències:


3. Gràfics per a variable discreta. Polígon de freqüències acumulades

Dibuixa el diagrama de barres i el polígon de freqüències corresponent a les dades que es detallen: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ (Fes el recompte de cada categoria)

Xi fi Fi

Polígon de freqüències acumulades:


INS ________________________


Estadística - 20 -

4. Gràfics per a variable discreta. Diagrama de sectors

Dibuixa el diagrama de sectors corresponent a les dades que es detallen: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ (Fes el recompte de cada categoria)

Xi fi angle


En el següent EXERCICI de Mesures de centralització escriu l’enunciat, després resol-lo i finalment comprova la solució a l’ordinador.

1. Mesures de centralització

Determina la mitjana aritmètica, la mediana i la moda corresponent a les dades que es detallen:

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Xi fi hi Fi Hi Paràmetres

Mitjana:

Mediana:

Moda:


INS ________________________


Estadística - 21 -

Autoavaluació

Completa aquí cadascun dels enunciats que proposa l’ordinador i resol, introdueix el resultat per comprovar si la solució és la correcta.

Donades les dades ____, ____, ____, ____, ____, ____. Calcula la mitjana aritmètica amb dues xifres decimals.

La nota mitjana obtinguda en cinc exàmens ha estat _______. Si quatre de les notes han estat ____; ____; ____; ____ Quina és la cinquena?

La nota mitjana de quatre notes és ______, Si he tret ara un_____ Quina nota mitjana tindré ara?

En una prova de gimnàstica la puntuació de cada atleta es calcula eliminant la pitjor i la millor nota dels jutges. Si les puntuacions obtingudes han estat: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____. Quina nota li correspon? (Si hi ha una nota màxima o mínima repetida només se’n treu una)

Calcula la mediana d’aquestes dades:

____, ____, ____, ____, ____, ____, ____.

INS ________________________


Estadística - 22 -


____, ____, ____, ____, ____.

En una distribució estadística de _______ dades, la freqüència absoluta d’un valor de la variable és ______. Quants graus correspondrien a aquest valor en un diagrama de sectors?

Per obtenir la nota de final del curs ens donen a triar entre la mitjana, la mediana i la moda de les nou notes obtingudes. Quina triaries?

Les notes són:

___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___.


____, ____, ____, ____, ____, ____.

Indica si la variable és discreta, contínua o qualitativa:________________

cuadernillos de 2º eso. catalán

Documents