cuadernillo de matematicas/ · las potencias de 10 se pueden expresar: cantidades muy grandes de...
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LES SOL DE PORTOCARRERO
CUADERNILLO DE MATEMATICAS
1deg DE LA ESO
0
En queacute orden se hacen las
12 (6 + 2 - 4) - 2 + 3 X 2 = Y Pareacutentesis 12(84) -2+3X2=
o Multiplicaciones y divisiones 12 4 -2+3x2= I I ---1
I --- shyo Sumas y restas 3 -2+ 6=[2]
ndo dos operaciones tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
Realiza las siguientes operaciones
a) 14 + 3 x 4 - 8 2 = d) 24 x (13 + 7 - 8) 2 =
b) (7 + 5) (4 - 2) x 2 = e) 32 (8 x 4) x 18 3 =
e) 8 2 x 4 - (9 + 1) = f) (49 7 + 3) x (3 x 5 - 4 2) =
Resuelve por separado cada uno de los miembros de las siguientes igualdades
a) 5 x (7 + 8) = 5 x 7 + 5 x 8 b) 9 x (12 + 8) = 9 x 12 + 9 x 8
~Completa las siguientes igualdades con el nuacutemero que falta
a) (5 + O x 3 = 27
b) (O -5) 3 = 7
e) (8 + 4) (6 - =6
bull Completa las siguientes igualdades con el signo que falta
a) (22 - 6) O 8 = 2
b) (4+12)02X4=32
e) 5 + 5 + 5 O 8 = 50
shy
Queacute es una potencia y coacutemo se escribe
Base ______ Nuacutemero _ ~54 que se repite Exponente
Nuacutemero de veces que se repite la base
e Expresa en forma de potencia los siguientes productos
25gta) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = e
b) 6 x 6 x 6 x 6 x 6 X 6
e) 15 x 15 x 15 = m
d) 23 x 23 x 23 =
el 10 x 10 =
f) 4x4x4x4
El) Expresa en forma de producto las siguientes potencias
al 53 =
35b) =
44e) =
11 7d) =
122el =
96f) =
e Expresa en forma de producto y calcula el resultado de las siguientes potencias
75a) =
bl 56 =
44el =
d 182 =
el = 123
26f) =
~ Escribe de forma numeacuterica las siguientes expresiones
al Seis elevado al cuadrado =
b) Siete elevado al cubo = ~
e) Trece elevado a la sexta =
~Escribe y calcula el resultado de las siguientes potencias
al Base 8 y exponente 6
bl Base 4 y exponente 3
e) Base 1 y exponente 7
d) Base 10 Yexponente 5
------------~~~~-
dl Ocho elevado a la octava =
e) Diecinueve elevado a la novena
f) Dos elevado a la deacutecima =
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan potencias de base 10 y para queacute se utilizan
103 = 1 000 100000 = lOS
las potencias de 10 se pueden expresar cantidades muy grandes de forma maacutes sencilla
rlln la distancia de la TIerra al Sol son ciento cincuenta millones de kiloacutemetros es decir
150000000 km = 15 x lO km
bull Escribe el resultado de las siguientes potencias
a) 1 05 =
b) lOS =
e) lOS =
d) laz =
el Escribe en forma de potencia los siguientes nuacutemeros
a) 1000 =
b) 10000000 =
e) 1000 000 000 =
dJ 10000=
bull Expresa las siguientes cantidades de forma numeacuterica y posteriormente simplifica su expresioacuten utilizando potencias de 10
gt a) la poblacioacuten de Espantildea es de cuarenta millones de habitantes 40000000 = 4 X lO
b) En la loteriacutea de ayer hubo un premio de un milloacuten doscientos mil euros
el Un antildeo luz es aproximadamente nueve billones de kiloacutemetros
d) El universo contiene unas cien mil millones de galaxias
e) En el mundo hay mil doscientos millones de personas sin acceso al agua potable
f) El Sol lleva luciendo unos cinco mil millones de antildeos
g) En la cabeza de una persona hay aproximadamente trescientos mil pelos
h) Una tonelada son mil millones de gramos
i) En la actualidad se conocen maacutes de un milloacuten de especies animales
bull Desarrolla cada una de las potencias y expresa el resultado en forma de una sola potencia
82 x 83 X 81 8sgta) = (8 x 8) x (8 x 8 x 8) x 8 = 82+3+1 = 0
b) 123 x 12 x 12 =
e) 55 x 55 =
d 106 X 103 X 10 =
bull Escribe los teacuterminos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades
82 811X 84al x D =
42 48 x 43b) X D =
el 103 X 10 x D = 105
d) D x 1003 = 1007
7 = 78el 7 x D f) 14x~W~ D = 148
22 x 22 22 22 210g) X X X D =
255h 25 x 25 x D x 25 =
Expresa el resultado directamente en forma de una sola potencia
e 274 x 273 X 272 = a) 52 x 54 = -
b 323 x 32 X 323 = __
e 156 x 153 = - g) 10010 x 100 =
h 24 x 24 X 22 X 2 = d 10 x 102 X 103 =
C) Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa
62 x 42a = 1 04
43 94b) x 43 X 43 =
e) 103 x 10 x 10 = 103
d) 100 x 1003 = 10 0003
77e) x 77 = 77
f) 14 x 143 x 43 147
22 x 22 X 22 X 22 28g) =
h) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 -- 53
Coacutemo se dividen potencias de igual base
la base del resultado (7) es la misma que la de las potencias
El exponente del resultado (3) es la diferencia de los exponentes de las potenciasbull
27
Expresa el resultado en forma de una sola potencia
d) ~~ =
206
b) 205 = e) =
78
e) 7 = 130 -
bull Expresa el resultado en forma de una sola potencia_ ----
93a) 54 52 = d) 96 =
b) 253 25 == el 1007
1004 =
e) 199 198 = f) 3221
323 =
bull Halla el resultado de los siguientes cocientes de potencias
127
a) 1 =
1010
b) -5 = 10
98
e) 96 =
1006
d) 1006 =
20e) y =
f) ~= 38
bull Calcula el teacutermino que falta en cada uno de los siguientes cocientes de potencias
e) 0=1 106
612
d) --= 1
O Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa
22
a) 22 = 1
10S _b) 10S - 10
207
el - = 207
207
25 d) --iexcl = 2
2
Coacutemo se halla la potencia de una
102X3(102J3= = 106
La base del resultado (10) es la misma
El exponente del resultado (6) es el producto de los exponentesbull
_ Expresa el resultado en forma de una sola potencia
a) (83y=
b) (3st =
e) (5sy=
d) (11 3)3 =
e) (42)2 =
f) (234)S =
g) (44)2 =
h) (24t =
i) (1002y=
J) (72)7_1 - bullbull
Calcula el resultado de las siguientes expresiones
a) (33Y=
b) (25)2 =
e) (52)2 =
d) (62)3 =
e) ( 22)2 -~ bullbulll
f) (32)2 =
g) (42)4 =
h) (32)3 =
bull Completa el exponente que falta en cada una de las siguientes igualdades
a) (183)0 = 189
724b) (7 0 t ==
2525e) (255) O =
512d) (54)0 =
e) (11 0)3 = 11 15
f) (40 )2 = 48
1010g) (1~)0 =
316h) (34)0 =
24i) (20y =
518
12
j) (50t =
k) (1007)0 = 10014
211) (12 0 r =
e Indica si cada una de las siguientes igualdades es verdadera o falsa
913a) (133)3 =
b) (44)4= 1~
2515e) (253t =
1516d) (154t =
99e) (93)3 = ~
Raiacuteces
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es la raiacutez cuadrada exacta de un nuacutemero y queacute es un cuadrado perfecto
Ejemplo 3 es la raiacutez cuadrada exacta de 9ya que 32 = 9 se esiribe
179 31 Se lee raiacutez cuadrada de nueve~ Los nuacutemeros que tienen raiacutez cuadrada exacta se llaman cuadrados perfectos
Ejemplo 9 es un cuadrado perfecto ya que tiene una raiacutez cuadrada exacta que es 3 bull
Escribe queacute nuacutemero multiplicado por siacute mismo da com9 resultado gta) 36 6 d) 121 _
e b) 4 e) 196 __bull
e) 64 f) 225
ce Escribe los nuacutemeros que faltan para que las siguientes igualdades sean ciertas
a) JI I= 5 d) V49 =
b) V100 D e) JD = 13
e) JD=12 f) Va1 = D Sentildeala los tres cuadrados perfectos de nuacutemeros comprendidos entre 10 y 20 que hay entre los siguientes
nuacutemeros
144 200 500 262
343 256 361
~ Relaciona mediante flechas cada cuadrado perfecto con su raiacutez cuadrada exacta
Cuadrados perfectos Raiacuteces cuadradas
25 36
49- 4 6
9 7
81 9
1
2
3 5
Muacuteltiplos y divisores de un nuacutemero
PARA EMPEZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es muacuteltiplo o divisor de otro Nuacutemeros 1~0~~~~~~~~~1]~~~~3~~4i~~~~If~H~~~E~1iexcl~~~4f~~middotJJ~~r~~~~~lr~f13~iQIjIiJiJr1~]~jamp~~~~~~~Hr~lS~
n numero es muffipfo ce Otro SI resurta (fe multiplicar o por o o Ejemplo 128 es muacuteltiplo de 71 ya que resulta de 7x 4 = 28
Un nuacutemero es divisor de otro si la divisioacuten del segundo por el primero es exacta Ejemplo 17 es divisor de 281 ya que 28 7= 4 Se dice que )28 es divisible por 71
su nuacutemero de divisores los nuacutemeros pueden ser primos o compuestos
Nuacutemero primo es el que solo tiene dos divisores eacutel mismo y la unidad Ejemplo 17 es un nuacutemero primo Iya que tiene solo dos divisores 1 y 7 Nuacutemero compuesto es el que tiene maacutes de dos divisores Ejemplo 112 es un nuacutemero compuesto Iporque tiene como divisores 12 1 Yademaacutes 234 Y6
e Dados los nuacutemeros 18 10 15621827 129 Y 24 indica cuaacuteles de ellos son
a) Muacuteltiplos de 2
b) Muacuteltiplos de 3
fj Escribe todos los divisores de los siguientes nuacutemeros
a) 12 b) 27
Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa
a) 5 es divisor de 25
b) 36 es muacuteltiplo de 9
e) 5 Y 3 son divisores de 15 -
d) 3 Y 7 son muacuteltiplos de 21
Completa la tabla
[)ivisores iexclUna o maacutes formasdeprodlJdo 1 PrimoocompIacuteJesto
I 22 22 1211 22 x 1 2 x 11 I Compuesto
15 I 23 I
_- -_---6~ ________________________shy
--
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible por 2 o por 3
22 24 10 66 50 bull son divisibles por 2 ya que todos terminan en O o cifra par
Un nuacutemero es divisible por 3 cuando ra sUl1a de sus cifras es muacuteltiplo de 3
Ejemplos 27 es divisible por 3 ya que 2 + 7 = 9 Y 9 es muacuteltiplo de 3
53 no es divisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 Y 8 no es muacuteltiplo de 3
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 2
73 42 54 71 80 15
bull Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 3
21 45 14 73 20 87
G Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 2
e) a9al a8
gtb) 17a a = O 2 4 6 8 d) 7a
e Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 3
a) 38a
b) 171 a
e) 77a
d) 9a
el 7a9
t) 101 a
g) a77
h) 10a1
D Haz cuatro grupos con los siguientes nuacutemeros 108 7 la 115 6 231 8 27 101 12 9 Y 24
a) Los que solo son divisibles por 2 son
b) Los que solo son divisibles por 3 son
el Los que son divisibles a la vez por 2 y por 3 son
d) los que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
PARA AVANZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible )~jT~(m~iquest~~~~~J~gi~~fi~1~~~~
25 lOO 10 65 so Un nuacutemero es divisible por 10 cuando su uacuteltima cifra es O
Ejemplos 20 SO 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 100 cuando sus dos uacuteltimas cifras son OO
Ejemplos 200500 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o muacuteltiplo de 11
Ejemplos 1 + 2 = 3 2+5=7 rI rI 1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11 2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
LiexclJ LiexclJ 8 + 6 = 14 3+3=6
~ Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 5 por 10 o por 100
752 420 541 7100 805 1500
Divisibles por 5
Divisibles por 10 _
Divisibles por 100 ~
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 11
352 420 514 627 1045 151
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 11
a) 601 e) 705
ii Escribe los nuacutemeros que cumplen las condiciones siguientes
a) El mayor nuacutemero de tres cifras que se puede dividir entre 5 ~
b) El menor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 10
e) El mayor nuacutemero de dos cifras que se puede dividir entre 11
d) El mayor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 100 ~
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
0
En queacute orden se hacen las
12 (6 + 2 - 4) - 2 + 3 X 2 = Y Pareacutentesis 12(84) -2+3X2=
o Multiplicaciones y divisiones 12 4 -2+3x2= I I ---1
I --- shyo Sumas y restas 3 -2+ 6=[2]
ndo dos operaciones tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
Realiza las siguientes operaciones
a) 14 + 3 x 4 - 8 2 = d) 24 x (13 + 7 - 8) 2 =
b) (7 + 5) (4 - 2) x 2 = e) 32 (8 x 4) x 18 3 =
e) 8 2 x 4 - (9 + 1) = f) (49 7 + 3) x (3 x 5 - 4 2) =
Resuelve por separado cada uno de los miembros de las siguientes igualdades
a) 5 x (7 + 8) = 5 x 7 + 5 x 8 b) 9 x (12 + 8) = 9 x 12 + 9 x 8
~Completa las siguientes igualdades con el nuacutemero que falta
a) (5 + O x 3 = 27
b) (O -5) 3 = 7
e) (8 + 4) (6 - =6
bull Completa las siguientes igualdades con el signo que falta
a) (22 - 6) O 8 = 2
b) (4+12)02X4=32
e) 5 + 5 + 5 O 8 = 50
shy
Queacute es una potencia y coacutemo se escribe
Base ______ Nuacutemero _ ~54 que se repite Exponente
Nuacutemero de veces que se repite la base
e Expresa en forma de potencia los siguientes productos
25gta) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = e
b) 6 x 6 x 6 x 6 x 6 X 6
e) 15 x 15 x 15 = m
d) 23 x 23 x 23 =
el 10 x 10 =
f) 4x4x4x4
El) Expresa en forma de producto las siguientes potencias
al 53 =
35b) =
44e) =
11 7d) =
122el =
96f) =
e Expresa en forma de producto y calcula el resultado de las siguientes potencias
75a) =
bl 56 =
44el =
d 182 =
el = 123
26f) =
~ Escribe de forma numeacuterica las siguientes expresiones
al Seis elevado al cuadrado =
b) Siete elevado al cubo = ~
e) Trece elevado a la sexta =
~Escribe y calcula el resultado de las siguientes potencias
al Base 8 y exponente 6
bl Base 4 y exponente 3
e) Base 1 y exponente 7
d) Base 10 Yexponente 5
------------~~~~-
dl Ocho elevado a la octava =
e) Diecinueve elevado a la novena
f) Dos elevado a la deacutecima =
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan potencias de base 10 y para queacute se utilizan
103 = 1 000 100000 = lOS
las potencias de 10 se pueden expresar cantidades muy grandes de forma maacutes sencilla
rlln la distancia de la TIerra al Sol son ciento cincuenta millones de kiloacutemetros es decir
150000000 km = 15 x lO km
bull Escribe el resultado de las siguientes potencias
a) 1 05 =
b) lOS =
e) lOS =
d) laz =
el Escribe en forma de potencia los siguientes nuacutemeros
a) 1000 =
b) 10000000 =
e) 1000 000 000 =
dJ 10000=
bull Expresa las siguientes cantidades de forma numeacuterica y posteriormente simplifica su expresioacuten utilizando potencias de 10
gt a) la poblacioacuten de Espantildea es de cuarenta millones de habitantes 40000000 = 4 X lO
b) En la loteriacutea de ayer hubo un premio de un milloacuten doscientos mil euros
el Un antildeo luz es aproximadamente nueve billones de kiloacutemetros
d) El universo contiene unas cien mil millones de galaxias
e) En el mundo hay mil doscientos millones de personas sin acceso al agua potable
f) El Sol lleva luciendo unos cinco mil millones de antildeos
g) En la cabeza de una persona hay aproximadamente trescientos mil pelos
h) Una tonelada son mil millones de gramos
i) En la actualidad se conocen maacutes de un milloacuten de especies animales
bull Desarrolla cada una de las potencias y expresa el resultado en forma de una sola potencia
82 x 83 X 81 8sgta) = (8 x 8) x (8 x 8 x 8) x 8 = 82+3+1 = 0
b) 123 x 12 x 12 =
e) 55 x 55 =
d 106 X 103 X 10 =
bull Escribe los teacuterminos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades
82 811X 84al x D =
42 48 x 43b) X D =
el 103 X 10 x D = 105
d) D x 1003 = 1007
7 = 78el 7 x D f) 14x~W~ D = 148
22 x 22 22 22 210g) X X X D =
255h 25 x 25 x D x 25 =
Expresa el resultado directamente en forma de una sola potencia
e 274 x 273 X 272 = a) 52 x 54 = -
b 323 x 32 X 323 = __
e 156 x 153 = - g) 10010 x 100 =
h 24 x 24 X 22 X 2 = d 10 x 102 X 103 =
C) Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa
62 x 42a = 1 04
43 94b) x 43 X 43 =
e) 103 x 10 x 10 = 103
d) 100 x 1003 = 10 0003
77e) x 77 = 77
f) 14 x 143 x 43 147
22 x 22 X 22 X 22 28g) =
h) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 -- 53
Coacutemo se dividen potencias de igual base
la base del resultado (7) es la misma que la de las potencias
El exponente del resultado (3) es la diferencia de los exponentes de las potenciasbull
27
Expresa el resultado en forma de una sola potencia
d) ~~ =
206
b) 205 = e) =
78
e) 7 = 130 -
bull Expresa el resultado en forma de una sola potencia_ ----
93a) 54 52 = d) 96 =
b) 253 25 == el 1007
1004 =
e) 199 198 = f) 3221
323 =
bull Halla el resultado de los siguientes cocientes de potencias
127
a) 1 =
1010
b) -5 = 10
98
e) 96 =
1006
d) 1006 =
20e) y =
f) ~= 38
bull Calcula el teacutermino que falta en cada uno de los siguientes cocientes de potencias
e) 0=1 106
612
d) --= 1
O Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa
22
a) 22 = 1
10S _b) 10S - 10
207
el - = 207
207
25 d) --iexcl = 2
2
Coacutemo se halla la potencia de una
102X3(102J3= = 106
La base del resultado (10) es la misma
El exponente del resultado (6) es el producto de los exponentesbull
_ Expresa el resultado en forma de una sola potencia
a) (83y=
b) (3st =
e) (5sy=
d) (11 3)3 =
e) (42)2 =
f) (234)S =
g) (44)2 =
h) (24t =
i) (1002y=
J) (72)7_1 - bullbull
Calcula el resultado de las siguientes expresiones
a) (33Y=
b) (25)2 =
e) (52)2 =
d) (62)3 =
e) ( 22)2 -~ bullbulll
f) (32)2 =
g) (42)4 =
h) (32)3 =
bull Completa el exponente que falta en cada una de las siguientes igualdades
a) (183)0 = 189
724b) (7 0 t ==
2525e) (255) O =
512d) (54)0 =
e) (11 0)3 = 11 15
f) (40 )2 = 48
1010g) (1~)0 =
316h) (34)0 =
24i) (20y =
518
12
j) (50t =
k) (1007)0 = 10014
211) (12 0 r =
e Indica si cada una de las siguientes igualdades es verdadera o falsa
913a) (133)3 =
b) (44)4= 1~
2515e) (253t =
1516d) (154t =
99e) (93)3 = ~
Raiacuteces
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es la raiacutez cuadrada exacta de un nuacutemero y queacute es un cuadrado perfecto
Ejemplo 3 es la raiacutez cuadrada exacta de 9ya que 32 = 9 se esiribe
179 31 Se lee raiacutez cuadrada de nueve~ Los nuacutemeros que tienen raiacutez cuadrada exacta se llaman cuadrados perfectos
Ejemplo 9 es un cuadrado perfecto ya que tiene una raiacutez cuadrada exacta que es 3 bull
Escribe queacute nuacutemero multiplicado por siacute mismo da com9 resultado gta) 36 6 d) 121 _
e b) 4 e) 196 __bull
e) 64 f) 225
ce Escribe los nuacutemeros que faltan para que las siguientes igualdades sean ciertas
a) JI I= 5 d) V49 =
b) V100 D e) JD = 13
e) JD=12 f) Va1 = D Sentildeala los tres cuadrados perfectos de nuacutemeros comprendidos entre 10 y 20 que hay entre los siguientes
nuacutemeros
144 200 500 262
343 256 361
~ Relaciona mediante flechas cada cuadrado perfecto con su raiacutez cuadrada exacta
Cuadrados perfectos Raiacuteces cuadradas
25 36
49- 4 6
9 7
81 9
1
2
3 5
Muacuteltiplos y divisores de un nuacutemero
PARA EMPEZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es muacuteltiplo o divisor de otro Nuacutemeros 1~0~~~~~~~~~1]~~~~3~~4i~~~~If~H~~~E~1iexcl~~~4f~~middotJJ~~r~~~~~lr~f13~iQIjIiJiJr1~]~jamp~~~~~~~Hr~lS~
n numero es muffipfo ce Otro SI resurta (fe multiplicar o por o o Ejemplo 128 es muacuteltiplo de 71 ya que resulta de 7x 4 = 28
Un nuacutemero es divisor de otro si la divisioacuten del segundo por el primero es exacta Ejemplo 17 es divisor de 281 ya que 28 7= 4 Se dice que )28 es divisible por 71
su nuacutemero de divisores los nuacutemeros pueden ser primos o compuestos
Nuacutemero primo es el que solo tiene dos divisores eacutel mismo y la unidad Ejemplo 17 es un nuacutemero primo Iya que tiene solo dos divisores 1 y 7 Nuacutemero compuesto es el que tiene maacutes de dos divisores Ejemplo 112 es un nuacutemero compuesto Iporque tiene como divisores 12 1 Yademaacutes 234 Y6
e Dados los nuacutemeros 18 10 15621827 129 Y 24 indica cuaacuteles de ellos son
a) Muacuteltiplos de 2
b) Muacuteltiplos de 3
fj Escribe todos los divisores de los siguientes nuacutemeros
a) 12 b) 27
Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa
a) 5 es divisor de 25
b) 36 es muacuteltiplo de 9
e) 5 Y 3 son divisores de 15 -
d) 3 Y 7 son muacuteltiplos de 21
Completa la tabla
[)ivisores iexclUna o maacutes formasdeprodlJdo 1 PrimoocompIacuteJesto
I 22 22 1211 22 x 1 2 x 11 I Compuesto
15 I 23 I
_- -_---6~ ________________________shy
--
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible por 2 o por 3
22 24 10 66 50 bull son divisibles por 2 ya que todos terminan en O o cifra par
Un nuacutemero es divisible por 3 cuando ra sUl1a de sus cifras es muacuteltiplo de 3
Ejemplos 27 es divisible por 3 ya que 2 + 7 = 9 Y 9 es muacuteltiplo de 3
53 no es divisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 Y 8 no es muacuteltiplo de 3
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 2
73 42 54 71 80 15
bull Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 3
21 45 14 73 20 87
G Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 2
e) a9al a8
gtb) 17a a = O 2 4 6 8 d) 7a
e Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 3
a) 38a
b) 171 a
e) 77a
d) 9a
el 7a9
t) 101 a
g) a77
h) 10a1
D Haz cuatro grupos con los siguientes nuacutemeros 108 7 la 115 6 231 8 27 101 12 9 Y 24
a) Los que solo son divisibles por 2 son
b) Los que solo son divisibles por 3 son
el Los que son divisibles a la vez por 2 y por 3 son
d) los que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
PARA AVANZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible )~jT~(m~iquest~~~~~J~gi~~fi~1~~~~
25 lOO 10 65 so Un nuacutemero es divisible por 10 cuando su uacuteltima cifra es O
Ejemplos 20 SO 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 100 cuando sus dos uacuteltimas cifras son OO
Ejemplos 200500 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o muacuteltiplo de 11
Ejemplos 1 + 2 = 3 2+5=7 rI rI 1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11 2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
LiexclJ LiexclJ 8 + 6 = 14 3+3=6
~ Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 5 por 10 o por 100
752 420 541 7100 805 1500
Divisibles por 5
Divisibles por 10 _
Divisibles por 100 ~
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 11
352 420 514 627 1045 151
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 11
a) 601 e) 705
ii Escribe los nuacutemeros que cumplen las condiciones siguientes
a) El mayor nuacutemero de tres cifras que se puede dividir entre 5 ~
b) El menor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 10
e) El mayor nuacutemero de dos cifras que se puede dividir entre 11
d) El mayor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 100 ~
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Queacute es una potencia y coacutemo se escribe
Base ______ Nuacutemero _ ~54 que se repite Exponente
Nuacutemero de veces que se repite la base
e Expresa en forma de potencia los siguientes productos
25gta) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = e
b) 6 x 6 x 6 x 6 x 6 X 6
e) 15 x 15 x 15 = m
d) 23 x 23 x 23 =
el 10 x 10 =
f) 4x4x4x4
El) Expresa en forma de producto las siguientes potencias
al 53 =
35b) =
44e) =
11 7d) =
122el =
96f) =
e Expresa en forma de producto y calcula el resultado de las siguientes potencias
75a) =
bl 56 =
44el =
d 182 =
el = 123
26f) =
~ Escribe de forma numeacuterica las siguientes expresiones
al Seis elevado al cuadrado =
b) Siete elevado al cubo = ~
e) Trece elevado a la sexta =
~Escribe y calcula el resultado de las siguientes potencias
al Base 8 y exponente 6
bl Base 4 y exponente 3
e) Base 1 y exponente 7
d) Base 10 Yexponente 5
------------~~~~-
dl Ocho elevado a la octava =
e) Diecinueve elevado a la novena
f) Dos elevado a la deacutecima =
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan potencias de base 10 y para queacute se utilizan
103 = 1 000 100000 = lOS
las potencias de 10 se pueden expresar cantidades muy grandes de forma maacutes sencilla
rlln la distancia de la TIerra al Sol son ciento cincuenta millones de kiloacutemetros es decir
150000000 km = 15 x lO km
bull Escribe el resultado de las siguientes potencias
a) 1 05 =
b) lOS =
e) lOS =
d) laz =
el Escribe en forma de potencia los siguientes nuacutemeros
a) 1000 =
b) 10000000 =
e) 1000 000 000 =
dJ 10000=
bull Expresa las siguientes cantidades de forma numeacuterica y posteriormente simplifica su expresioacuten utilizando potencias de 10
gt a) la poblacioacuten de Espantildea es de cuarenta millones de habitantes 40000000 = 4 X lO
b) En la loteriacutea de ayer hubo un premio de un milloacuten doscientos mil euros
el Un antildeo luz es aproximadamente nueve billones de kiloacutemetros
d) El universo contiene unas cien mil millones de galaxias
e) En el mundo hay mil doscientos millones de personas sin acceso al agua potable
f) El Sol lleva luciendo unos cinco mil millones de antildeos
g) En la cabeza de una persona hay aproximadamente trescientos mil pelos
h) Una tonelada son mil millones de gramos
i) En la actualidad se conocen maacutes de un milloacuten de especies animales
bull Desarrolla cada una de las potencias y expresa el resultado en forma de una sola potencia
82 x 83 X 81 8sgta) = (8 x 8) x (8 x 8 x 8) x 8 = 82+3+1 = 0
b) 123 x 12 x 12 =
e) 55 x 55 =
d 106 X 103 X 10 =
bull Escribe los teacuterminos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades
82 811X 84al x D =
42 48 x 43b) X D =
el 103 X 10 x D = 105
d) D x 1003 = 1007
7 = 78el 7 x D f) 14x~W~ D = 148
22 x 22 22 22 210g) X X X D =
255h 25 x 25 x D x 25 =
Expresa el resultado directamente en forma de una sola potencia
e 274 x 273 X 272 = a) 52 x 54 = -
b 323 x 32 X 323 = __
e 156 x 153 = - g) 10010 x 100 =
h 24 x 24 X 22 X 2 = d 10 x 102 X 103 =
C) Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa
62 x 42a = 1 04
43 94b) x 43 X 43 =
e) 103 x 10 x 10 = 103
d) 100 x 1003 = 10 0003
77e) x 77 = 77
f) 14 x 143 x 43 147
22 x 22 X 22 X 22 28g) =
h) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 -- 53
Coacutemo se dividen potencias de igual base
la base del resultado (7) es la misma que la de las potencias
El exponente del resultado (3) es la diferencia de los exponentes de las potenciasbull
27
Expresa el resultado en forma de una sola potencia
d) ~~ =
206
b) 205 = e) =
78
e) 7 = 130 -
bull Expresa el resultado en forma de una sola potencia_ ----
93a) 54 52 = d) 96 =
b) 253 25 == el 1007
1004 =
e) 199 198 = f) 3221
323 =
bull Halla el resultado de los siguientes cocientes de potencias
127
a) 1 =
1010
b) -5 = 10
98
e) 96 =
1006
d) 1006 =
20e) y =
f) ~= 38
bull Calcula el teacutermino que falta en cada uno de los siguientes cocientes de potencias
e) 0=1 106
612
d) --= 1
O Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa
22
a) 22 = 1
10S _b) 10S - 10
207
el - = 207
207
25 d) --iexcl = 2
2
Coacutemo se halla la potencia de una
102X3(102J3= = 106
La base del resultado (10) es la misma
El exponente del resultado (6) es el producto de los exponentesbull
_ Expresa el resultado en forma de una sola potencia
a) (83y=
b) (3st =
e) (5sy=
d) (11 3)3 =
e) (42)2 =
f) (234)S =
g) (44)2 =
h) (24t =
i) (1002y=
J) (72)7_1 - bullbull
Calcula el resultado de las siguientes expresiones
a) (33Y=
b) (25)2 =
e) (52)2 =
d) (62)3 =
e) ( 22)2 -~ bullbulll
f) (32)2 =
g) (42)4 =
h) (32)3 =
bull Completa el exponente que falta en cada una de las siguientes igualdades
a) (183)0 = 189
724b) (7 0 t ==
2525e) (255) O =
512d) (54)0 =
e) (11 0)3 = 11 15
f) (40 )2 = 48
1010g) (1~)0 =
316h) (34)0 =
24i) (20y =
518
12
j) (50t =
k) (1007)0 = 10014
211) (12 0 r =
e Indica si cada una de las siguientes igualdades es verdadera o falsa
913a) (133)3 =
b) (44)4= 1~
2515e) (253t =
1516d) (154t =
99e) (93)3 = ~
Raiacuteces
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es la raiacutez cuadrada exacta de un nuacutemero y queacute es un cuadrado perfecto
Ejemplo 3 es la raiacutez cuadrada exacta de 9ya que 32 = 9 se esiribe
179 31 Se lee raiacutez cuadrada de nueve~ Los nuacutemeros que tienen raiacutez cuadrada exacta se llaman cuadrados perfectos
Ejemplo 9 es un cuadrado perfecto ya que tiene una raiacutez cuadrada exacta que es 3 bull
Escribe queacute nuacutemero multiplicado por siacute mismo da com9 resultado gta) 36 6 d) 121 _
e b) 4 e) 196 __bull
e) 64 f) 225
ce Escribe los nuacutemeros que faltan para que las siguientes igualdades sean ciertas
a) JI I= 5 d) V49 =
b) V100 D e) JD = 13
e) JD=12 f) Va1 = D Sentildeala los tres cuadrados perfectos de nuacutemeros comprendidos entre 10 y 20 que hay entre los siguientes
nuacutemeros
144 200 500 262
343 256 361
~ Relaciona mediante flechas cada cuadrado perfecto con su raiacutez cuadrada exacta
Cuadrados perfectos Raiacuteces cuadradas
25 36
49- 4 6
9 7
81 9
1
2
3 5
Muacuteltiplos y divisores de un nuacutemero
PARA EMPEZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es muacuteltiplo o divisor de otro Nuacutemeros 1~0~~~~~~~~~1]~~~~3~~4i~~~~If~H~~~E~1iexcl~~~4f~~middotJJ~~r~~~~~lr~f13~iQIjIiJiJr1~]~jamp~~~~~~~Hr~lS~
n numero es muffipfo ce Otro SI resurta (fe multiplicar o por o o Ejemplo 128 es muacuteltiplo de 71 ya que resulta de 7x 4 = 28
Un nuacutemero es divisor de otro si la divisioacuten del segundo por el primero es exacta Ejemplo 17 es divisor de 281 ya que 28 7= 4 Se dice que )28 es divisible por 71
su nuacutemero de divisores los nuacutemeros pueden ser primos o compuestos
Nuacutemero primo es el que solo tiene dos divisores eacutel mismo y la unidad Ejemplo 17 es un nuacutemero primo Iya que tiene solo dos divisores 1 y 7 Nuacutemero compuesto es el que tiene maacutes de dos divisores Ejemplo 112 es un nuacutemero compuesto Iporque tiene como divisores 12 1 Yademaacutes 234 Y6
e Dados los nuacutemeros 18 10 15621827 129 Y 24 indica cuaacuteles de ellos son
a) Muacuteltiplos de 2
b) Muacuteltiplos de 3
fj Escribe todos los divisores de los siguientes nuacutemeros
a) 12 b) 27
Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa
a) 5 es divisor de 25
b) 36 es muacuteltiplo de 9
e) 5 Y 3 son divisores de 15 -
d) 3 Y 7 son muacuteltiplos de 21
Completa la tabla
[)ivisores iexclUna o maacutes formasdeprodlJdo 1 PrimoocompIacuteJesto
I 22 22 1211 22 x 1 2 x 11 I Compuesto
15 I 23 I
_- -_---6~ ________________________shy
--
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible por 2 o por 3
22 24 10 66 50 bull son divisibles por 2 ya que todos terminan en O o cifra par
Un nuacutemero es divisible por 3 cuando ra sUl1a de sus cifras es muacuteltiplo de 3
Ejemplos 27 es divisible por 3 ya que 2 + 7 = 9 Y 9 es muacuteltiplo de 3
53 no es divisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 Y 8 no es muacuteltiplo de 3
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 2
73 42 54 71 80 15
bull Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 3
21 45 14 73 20 87
G Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 2
e) a9al a8
gtb) 17a a = O 2 4 6 8 d) 7a
e Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 3
a) 38a
b) 171 a
e) 77a
d) 9a
el 7a9
t) 101 a
g) a77
h) 10a1
D Haz cuatro grupos con los siguientes nuacutemeros 108 7 la 115 6 231 8 27 101 12 9 Y 24
a) Los que solo son divisibles por 2 son
b) Los que solo son divisibles por 3 son
el Los que son divisibles a la vez por 2 y por 3 son
d) los que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
PARA AVANZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible )~jT~(m~iquest~~~~~J~gi~~fi~1~~~~
25 lOO 10 65 so Un nuacutemero es divisible por 10 cuando su uacuteltima cifra es O
Ejemplos 20 SO 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 100 cuando sus dos uacuteltimas cifras son OO
Ejemplos 200500 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o muacuteltiplo de 11
Ejemplos 1 + 2 = 3 2+5=7 rI rI 1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11 2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
LiexclJ LiexclJ 8 + 6 = 14 3+3=6
~ Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 5 por 10 o por 100
752 420 541 7100 805 1500
Divisibles por 5
Divisibles por 10 _
Divisibles por 100 ~
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 11
352 420 514 627 1045 151
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 11
a) 601 e) 705
ii Escribe los nuacutemeros que cumplen las condiciones siguientes
a) El mayor nuacutemero de tres cifras que se puede dividir entre 5 ~
b) El menor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 10
e) El mayor nuacutemero de dos cifras que se puede dividir entre 11
d) El mayor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 100 ~
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan potencias de base 10 y para queacute se utilizan
103 = 1 000 100000 = lOS
las potencias de 10 se pueden expresar cantidades muy grandes de forma maacutes sencilla
rlln la distancia de la TIerra al Sol son ciento cincuenta millones de kiloacutemetros es decir
150000000 km = 15 x lO km
bull Escribe el resultado de las siguientes potencias
a) 1 05 =
b) lOS =
e) lOS =
d) laz =
el Escribe en forma de potencia los siguientes nuacutemeros
a) 1000 =
b) 10000000 =
e) 1000 000 000 =
dJ 10000=
bull Expresa las siguientes cantidades de forma numeacuterica y posteriormente simplifica su expresioacuten utilizando potencias de 10
gt a) la poblacioacuten de Espantildea es de cuarenta millones de habitantes 40000000 = 4 X lO
b) En la loteriacutea de ayer hubo un premio de un milloacuten doscientos mil euros
el Un antildeo luz es aproximadamente nueve billones de kiloacutemetros
d) El universo contiene unas cien mil millones de galaxias
e) En el mundo hay mil doscientos millones de personas sin acceso al agua potable
f) El Sol lleva luciendo unos cinco mil millones de antildeos
g) En la cabeza de una persona hay aproximadamente trescientos mil pelos
h) Una tonelada son mil millones de gramos
i) En la actualidad se conocen maacutes de un milloacuten de especies animales
bull Desarrolla cada una de las potencias y expresa el resultado en forma de una sola potencia
82 x 83 X 81 8sgta) = (8 x 8) x (8 x 8 x 8) x 8 = 82+3+1 = 0
b) 123 x 12 x 12 =
e) 55 x 55 =
d 106 X 103 X 10 =
bull Escribe los teacuterminos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades
82 811X 84al x D =
42 48 x 43b) X D =
el 103 X 10 x D = 105
d) D x 1003 = 1007
7 = 78el 7 x D f) 14x~W~ D = 148
22 x 22 22 22 210g) X X X D =
255h 25 x 25 x D x 25 =
Expresa el resultado directamente en forma de una sola potencia
e 274 x 273 X 272 = a) 52 x 54 = -
b 323 x 32 X 323 = __
e 156 x 153 = - g) 10010 x 100 =
h 24 x 24 X 22 X 2 = d 10 x 102 X 103 =
C) Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa
62 x 42a = 1 04
43 94b) x 43 X 43 =
e) 103 x 10 x 10 = 103
d) 100 x 1003 = 10 0003
77e) x 77 = 77
f) 14 x 143 x 43 147
22 x 22 X 22 X 22 28g) =
h) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 -- 53
Coacutemo se dividen potencias de igual base
la base del resultado (7) es la misma que la de las potencias
El exponente del resultado (3) es la diferencia de los exponentes de las potenciasbull
27
Expresa el resultado en forma de una sola potencia
d) ~~ =
206
b) 205 = e) =
78
e) 7 = 130 -
bull Expresa el resultado en forma de una sola potencia_ ----
93a) 54 52 = d) 96 =
b) 253 25 == el 1007
1004 =
e) 199 198 = f) 3221
323 =
bull Halla el resultado de los siguientes cocientes de potencias
127
a) 1 =
1010
b) -5 = 10
98
e) 96 =
1006
d) 1006 =
20e) y =
f) ~= 38
bull Calcula el teacutermino que falta en cada uno de los siguientes cocientes de potencias
e) 0=1 106
612
d) --= 1
O Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa
22
a) 22 = 1
10S _b) 10S - 10
207
el - = 207
207
25 d) --iexcl = 2
2
Coacutemo se halla la potencia de una
102X3(102J3= = 106
La base del resultado (10) es la misma
El exponente del resultado (6) es el producto de los exponentesbull
_ Expresa el resultado en forma de una sola potencia
a) (83y=
b) (3st =
e) (5sy=
d) (11 3)3 =
e) (42)2 =
f) (234)S =
g) (44)2 =
h) (24t =
i) (1002y=
J) (72)7_1 - bullbull
Calcula el resultado de las siguientes expresiones
a) (33Y=
b) (25)2 =
e) (52)2 =
d) (62)3 =
e) ( 22)2 -~ bullbulll
f) (32)2 =
g) (42)4 =
h) (32)3 =
bull Completa el exponente que falta en cada una de las siguientes igualdades
a) (183)0 = 189
724b) (7 0 t ==
2525e) (255) O =
512d) (54)0 =
e) (11 0)3 = 11 15
f) (40 )2 = 48
1010g) (1~)0 =
316h) (34)0 =
24i) (20y =
518
12
j) (50t =
k) (1007)0 = 10014
211) (12 0 r =
e Indica si cada una de las siguientes igualdades es verdadera o falsa
913a) (133)3 =
b) (44)4= 1~
2515e) (253t =
1516d) (154t =
99e) (93)3 = ~
Raiacuteces
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es la raiacutez cuadrada exacta de un nuacutemero y queacute es un cuadrado perfecto
Ejemplo 3 es la raiacutez cuadrada exacta de 9ya que 32 = 9 se esiribe
179 31 Se lee raiacutez cuadrada de nueve~ Los nuacutemeros que tienen raiacutez cuadrada exacta se llaman cuadrados perfectos
Ejemplo 9 es un cuadrado perfecto ya que tiene una raiacutez cuadrada exacta que es 3 bull
Escribe queacute nuacutemero multiplicado por siacute mismo da com9 resultado gta) 36 6 d) 121 _
e b) 4 e) 196 __bull
e) 64 f) 225
ce Escribe los nuacutemeros que faltan para que las siguientes igualdades sean ciertas
a) JI I= 5 d) V49 =
b) V100 D e) JD = 13
e) JD=12 f) Va1 = D Sentildeala los tres cuadrados perfectos de nuacutemeros comprendidos entre 10 y 20 que hay entre los siguientes
nuacutemeros
144 200 500 262
343 256 361
~ Relaciona mediante flechas cada cuadrado perfecto con su raiacutez cuadrada exacta
Cuadrados perfectos Raiacuteces cuadradas
25 36
49- 4 6
9 7
81 9
1
2
3 5
Muacuteltiplos y divisores de un nuacutemero
PARA EMPEZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es muacuteltiplo o divisor de otro Nuacutemeros 1~0~~~~~~~~~1]~~~~3~~4i~~~~If~H~~~E~1iexcl~~~4f~~middotJJ~~r~~~~~lr~f13~iQIjIiJiJr1~]~jamp~~~~~~~Hr~lS~
n numero es muffipfo ce Otro SI resurta (fe multiplicar o por o o Ejemplo 128 es muacuteltiplo de 71 ya que resulta de 7x 4 = 28
Un nuacutemero es divisor de otro si la divisioacuten del segundo por el primero es exacta Ejemplo 17 es divisor de 281 ya que 28 7= 4 Se dice que )28 es divisible por 71
su nuacutemero de divisores los nuacutemeros pueden ser primos o compuestos
Nuacutemero primo es el que solo tiene dos divisores eacutel mismo y la unidad Ejemplo 17 es un nuacutemero primo Iya que tiene solo dos divisores 1 y 7 Nuacutemero compuesto es el que tiene maacutes de dos divisores Ejemplo 112 es un nuacutemero compuesto Iporque tiene como divisores 12 1 Yademaacutes 234 Y6
e Dados los nuacutemeros 18 10 15621827 129 Y 24 indica cuaacuteles de ellos son
a) Muacuteltiplos de 2
b) Muacuteltiplos de 3
fj Escribe todos los divisores de los siguientes nuacutemeros
a) 12 b) 27
Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa
a) 5 es divisor de 25
b) 36 es muacuteltiplo de 9
e) 5 Y 3 son divisores de 15 -
d) 3 Y 7 son muacuteltiplos de 21
Completa la tabla
[)ivisores iexclUna o maacutes formasdeprodlJdo 1 PrimoocompIacuteJesto
I 22 22 1211 22 x 1 2 x 11 I Compuesto
15 I 23 I
_- -_---6~ ________________________shy
--
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible por 2 o por 3
22 24 10 66 50 bull son divisibles por 2 ya que todos terminan en O o cifra par
Un nuacutemero es divisible por 3 cuando ra sUl1a de sus cifras es muacuteltiplo de 3
Ejemplos 27 es divisible por 3 ya que 2 + 7 = 9 Y 9 es muacuteltiplo de 3
53 no es divisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 Y 8 no es muacuteltiplo de 3
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 2
73 42 54 71 80 15
bull Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 3
21 45 14 73 20 87
G Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 2
e) a9al a8
gtb) 17a a = O 2 4 6 8 d) 7a
e Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 3
a) 38a
b) 171 a
e) 77a
d) 9a
el 7a9
t) 101 a
g) a77
h) 10a1
D Haz cuatro grupos con los siguientes nuacutemeros 108 7 la 115 6 231 8 27 101 12 9 Y 24
a) Los que solo son divisibles por 2 son
b) Los que solo son divisibles por 3 son
el Los que son divisibles a la vez por 2 y por 3 son
d) los que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
PARA AVANZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible )~jT~(m~iquest~~~~~J~gi~~fi~1~~~~
25 lOO 10 65 so Un nuacutemero es divisible por 10 cuando su uacuteltima cifra es O
Ejemplos 20 SO 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 100 cuando sus dos uacuteltimas cifras son OO
Ejemplos 200500 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o muacuteltiplo de 11
Ejemplos 1 + 2 = 3 2+5=7 rI rI 1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11 2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
LiexclJ LiexclJ 8 + 6 = 14 3+3=6
~ Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 5 por 10 o por 100
752 420 541 7100 805 1500
Divisibles por 5
Divisibles por 10 _
Divisibles por 100 ~
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 11
352 420 514 627 1045 151
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 11
a) 601 e) 705
ii Escribe los nuacutemeros que cumplen las condiciones siguientes
a) El mayor nuacutemero de tres cifras que se puede dividir entre 5 ~
b) El menor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 10
e) El mayor nuacutemero de dos cifras que se puede dividir entre 11
d) El mayor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 100 ~
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bull Desarrolla cada una de las potencias y expresa el resultado en forma de una sola potencia
82 x 83 X 81 8sgta) = (8 x 8) x (8 x 8 x 8) x 8 = 82+3+1 = 0
b) 123 x 12 x 12 =
e) 55 x 55 =
d 106 X 103 X 10 =
bull Escribe los teacuterminos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades
82 811X 84al x D =
42 48 x 43b) X D =
el 103 X 10 x D = 105
d) D x 1003 = 1007
7 = 78el 7 x D f) 14x~W~ D = 148
22 x 22 22 22 210g) X X X D =
255h 25 x 25 x D x 25 =
Expresa el resultado directamente en forma de una sola potencia
e 274 x 273 X 272 = a) 52 x 54 = -
b 323 x 32 X 323 = __
e 156 x 153 = - g) 10010 x 100 =
h 24 x 24 X 22 X 2 = d 10 x 102 X 103 =
C) Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa
62 x 42a = 1 04
43 94b) x 43 X 43 =
e) 103 x 10 x 10 = 103
d) 100 x 1003 = 10 0003
77e) x 77 = 77
f) 14 x 143 x 43 147
22 x 22 X 22 X 22 28g) =
h) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 -- 53
Coacutemo se dividen potencias de igual base
la base del resultado (7) es la misma que la de las potencias
El exponente del resultado (3) es la diferencia de los exponentes de las potenciasbull
27
Expresa el resultado en forma de una sola potencia
d) ~~ =
206
b) 205 = e) =
78
e) 7 = 130 -
bull Expresa el resultado en forma de una sola potencia_ ----
93a) 54 52 = d) 96 =
b) 253 25 == el 1007
1004 =
e) 199 198 = f) 3221
323 =
bull Halla el resultado de los siguientes cocientes de potencias
127
a) 1 =
1010
b) -5 = 10
98
e) 96 =
1006
d) 1006 =
20e) y =
f) ~= 38
bull Calcula el teacutermino que falta en cada uno de los siguientes cocientes de potencias
e) 0=1 106
612
d) --= 1
O Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa
22
a) 22 = 1
10S _b) 10S - 10
207
el - = 207
207
25 d) --iexcl = 2
2
Coacutemo se halla la potencia de una
102X3(102J3= = 106
La base del resultado (10) es la misma
El exponente del resultado (6) es el producto de los exponentesbull
_ Expresa el resultado en forma de una sola potencia
a) (83y=
b) (3st =
e) (5sy=
d) (11 3)3 =
e) (42)2 =
f) (234)S =
g) (44)2 =
h) (24t =
i) (1002y=
J) (72)7_1 - bullbull
Calcula el resultado de las siguientes expresiones
a) (33Y=
b) (25)2 =
e) (52)2 =
d) (62)3 =
e) ( 22)2 -~ bullbulll
f) (32)2 =
g) (42)4 =
h) (32)3 =
bull Completa el exponente que falta en cada una de las siguientes igualdades
a) (183)0 = 189
724b) (7 0 t ==
2525e) (255) O =
512d) (54)0 =
e) (11 0)3 = 11 15
f) (40 )2 = 48
1010g) (1~)0 =
316h) (34)0 =
24i) (20y =
518
12
j) (50t =
k) (1007)0 = 10014
211) (12 0 r =
e Indica si cada una de las siguientes igualdades es verdadera o falsa
913a) (133)3 =
b) (44)4= 1~
2515e) (253t =
1516d) (154t =
99e) (93)3 = ~
Raiacuteces
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es la raiacutez cuadrada exacta de un nuacutemero y queacute es un cuadrado perfecto
Ejemplo 3 es la raiacutez cuadrada exacta de 9ya que 32 = 9 se esiribe
179 31 Se lee raiacutez cuadrada de nueve~ Los nuacutemeros que tienen raiacutez cuadrada exacta se llaman cuadrados perfectos
Ejemplo 9 es un cuadrado perfecto ya que tiene una raiacutez cuadrada exacta que es 3 bull
Escribe queacute nuacutemero multiplicado por siacute mismo da com9 resultado gta) 36 6 d) 121 _
e b) 4 e) 196 __bull
e) 64 f) 225
ce Escribe los nuacutemeros que faltan para que las siguientes igualdades sean ciertas
a) JI I= 5 d) V49 =
b) V100 D e) JD = 13
e) JD=12 f) Va1 = D Sentildeala los tres cuadrados perfectos de nuacutemeros comprendidos entre 10 y 20 que hay entre los siguientes
nuacutemeros
144 200 500 262
343 256 361
~ Relaciona mediante flechas cada cuadrado perfecto con su raiacutez cuadrada exacta
Cuadrados perfectos Raiacuteces cuadradas
25 36
49- 4 6
9 7
81 9
1
2
3 5
Muacuteltiplos y divisores de un nuacutemero
PARA EMPEZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es muacuteltiplo o divisor de otro Nuacutemeros 1~0~~~~~~~~~1]~~~~3~~4i~~~~If~H~~~E~1iexcl~~~4f~~middotJJ~~r~~~~~lr~f13~iQIjIiJiJr1~]~jamp~~~~~~~Hr~lS~
n numero es muffipfo ce Otro SI resurta (fe multiplicar o por o o Ejemplo 128 es muacuteltiplo de 71 ya que resulta de 7x 4 = 28
Un nuacutemero es divisor de otro si la divisioacuten del segundo por el primero es exacta Ejemplo 17 es divisor de 281 ya que 28 7= 4 Se dice que )28 es divisible por 71
su nuacutemero de divisores los nuacutemeros pueden ser primos o compuestos
Nuacutemero primo es el que solo tiene dos divisores eacutel mismo y la unidad Ejemplo 17 es un nuacutemero primo Iya que tiene solo dos divisores 1 y 7 Nuacutemero compuesto es el que tiene maacutes de dos divisores Ejemplo 112 es un nuacutemero compuesto Iporque tiene como divisores 12 1 Yademaacutes 234 Y6
e Dados los nuacutemeros 18 10 15621827 129 Y 24 indica cuaacuteles de ellos son
a) Muacuteltiplos de 2
b) Muacuteltiplos de 3
fj Escribe todos los divisores de los siguientes nuacutemeros
a) 12 b) 27
Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa
a) 5 es divisor de 25
b) 36 es muacuteltiplo de 9
e) 5 Y 3 son divisores de 15 -
d) 3 Y 7 son muacuteltiplos de 21
Completa la tabla
[)ivisores iexclUna o maacutes formasdeprodlJdo 1 PrimoocompIacuteJesto
I 22 22 1211 22 x 1 2 x 11 I Compuesto
15 I 23 I
_- -_---6~ ________________________shy
--
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible por 2 o por 3
22 24 10 66 50 bull son divisibles por 2 ya que todos terminan en O o cifra par
Un nuacutemero es divisible por 3 cuando ra sUl1a de sus cifras es muacuteltiplo de 3
Ejemplos 27 es divisible por 3 ya que 2 + 7 = 9 Y 9 es muacuteltiplo de 3
53 no es divisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 Y 8 no es muacuteltiplo de 3
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 2
73 42 54 71 80 15
bull Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 3
21 45 14 73 20 87
G Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 2
e) a9al a8
gtb) 17a a = O 2 4 6 8 d) 7a
e Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 3
a) 38a
b) 171 a
e) 77a
d) 9a
el 7a9
t) 101 a
g) a77
h) 10a1
D Haz cuatro grupos con los siguientes nuacutemeros 108 7 la 115 6 231 8 27 101 12 9 Y 24
a) Los que solo son divisibles por 2 son
b) Los que solo son divisibles por 3 son
el Los que son divisibles a la vez por 2 y por 3 son
d) los que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
PARA AVANZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible )~jT~(m~iquest~~~~~J~gi~~fi~1~~~~
25 lOO 10 65 so Un nuacutemero es divisible por 10 cuando su uacuteltima cifra es O
Ejemplos 20 SO 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 100 cuando sus dos uacuteltimas cifras son OO
Ejemplos 200500 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o muacuteltiplo de 11
Ejemplos 1 + 2 = 3 2+5=7 rI rI 1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11 2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
LiexclJ LiexclJ 8 + 6 = 14 3+3=6
~ Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 5 por 10 o por 100
752 420 541 7100 805 1500
Divisibles por 5
Divisibles por 10 _
Divisibles por 100 ~
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 11
352 420 514 627 1045 151
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 11
a) 601 e) 705
ii Escribe los nuacutemeros que cumplen las condiciones siguientes
a) El mayor nuacutemero de tres cifras que se puede dividir entre 5 ~
b) El menor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 10
e) El mayor nuacutemero de dos cifras que se puede dividir entre 11
d) El mayor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 100 ~
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Coacutemo se dividen potencias de igual base
la base del resultado (7) es la misma que la de las potencias
El exponente del resultado (3) es la diferencia de los exponentes de las potenciasbull
27
Expresa el resultado en forma de una sola potencia
d) ~~ =
206
b) 205 = e) =
78
e) 7 = 130 -
bull Expresa el resultado en forma de una sola potencia_ ----
93a) 54 52 = d) 96 =
b) 253 25 == el 1007
1004 =
e) 199 198 = f) 3221
323 =
bull Halla el resultado de los siguientes cocientes de potencias
127
a) 1 =
1010
b) -5 = 10
98
e) 96 =
1006
d) 1006 =
20e) y =
f) ~= 38
bull Calcula el teacutermino que falta en cada uno de los siguientes cocientes de potencias
e) 0=1 106
612
d) --= 1
O Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa
22
a) 22 = 1
10S _b) 10S - 10
207
el - = 207
207
25 d) --iexcl = 2
2
Coacutemo se halla la potencia de una
102X3(102J3= = 106
La base del resultado (10) es la misma
El exponente del resultado (6) es el producto de los exponentesbull
_ Expresa el resultado en forma de una sola potencia
a) (83y=
b) (3st =
e) (5sy=
d) (11 3)3 =
e) (42)2 =
f) (234)S =
g) (44)2 =
h) (24t =
i) (1002y=
J) (72)7_1 - bullbull
Calcula el resultado de las siguientes expresiones
a) (33Y=
b) (25)2 =
e) (52)2 =
d) (62)3 =
e) ( 22)2 -~ bullbulll
f) (32)2 =
g) (42)4 =
h) (32)3 =
bull Completa el exponente que falta en cada una de las siguientes igualdades
a) (183)0 = 189
724b) (7 0 t ==
2525e) (255) O =
512d) (54)0 =
e) (11 0)3 = 11 15
f) (40 )2 = 48
1010g) (1~)0 =
316h) (34)0 =
24i) (20y =
518
12
j) (50t =
k) (1007)0 = 10014
211) (12 0 r =
e Indica si cada una de las siguientes igualdades es verdadera o falsa
913a) (133)3 =
b) (44)4= 1~
2515e) (253t =
1516d) (154t =
99e) (93)3 = ~
Raiacuteces
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es la raiacutez cuadrada exacta de un nuacutemero y queacute es un cuadrado perfecto
Ejemplo 3 es la raiacutez cuadrada exacta de 9ya que 32 = 9 se esiribe
179 31 Se lee raiacutez cuadrada de nueve~ Los nuacutemeros que tienen raiacutez cuadrada exacta se llaman cuadrados perfectos
Ejemplo 9 es un cuadrado perfecto ya que tiene una raiacutez cuadrada exacta que es 3 bull
Escribe queacute nuacutemero multiplicado por siacute mismo da com9 resultado gta) 36 6 d) 121 _
e b) 4 e) 196 __bull
e) 64 f) 225
ce Escribe los nuacutemeros que faltan para que las siguientes igualdades sean ciertas
a) JI I= 5 d) V49 =
b) V100 D e) JD = 13
e) JD=12 f) Va1 = D Sentildeala los tres cuadrados perfectos de nuacutemeros comprendidos entre 10 y 20 que hay entre los siguientes
nuacutemeros
144 200 500 262
343 256 361
~ Relaciona mediante flechas cada cuadrado perfecto con su raiacutez cuadrada exacta
Cuadrados perfectos Raiacuteces cuadradas
25 36
49- 4 6
9 7
81 9
1
2
3 5
Muacuteltiplos y divisores de un nuacutemero
PARA EMPEZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es muacuteltiplo o divisor de otro Nuacutemeros 1~0~~~~~~~~~1]~~~~3~~4i~~~~If~H~~~E~1iexcl~~~4f~~middotJJ~~r~~~~~lr~f13~iQIjIiJiJr1~]~jamp~~~~~~~Hr~lS~
n numero es muffipfo ce Otro SI resurta (fe multiplicar o por o o Ejemplo 128 es muacuteltiplo de 71 ya que resulta de 7x 4 = 28
Un nuacutemero es divisor de otro si la divisioacuten del segundo por el primero es exacta Ejemplo 17 es divisor de 281 ya que 28 7= 4 Se dice que )28 es divisible por 71
su nuacutemero de divisores los nuacutemeros pueden ser primos o compuestos
Nuacutemero primo es el que solo tiene dos divisores eacutel mismo y la unidad Ejemplo 17 es un nuacutemero primo Iya que tiene solo dos divisores 1 y 7 Nuacutemero compuesto es el que tiene maacutes de dos divisores Ejemplo 112 es un nuacutemero compuesto Iporque tiene como divisores 12 1 Yademaacutes 234 Y6
e Dados los nuacutemeros 18 10 15621827 129 Y 24 indica cuaacuteles de ellos son
a) Muacuteltiplos de 2
b) Muacuteltiplos de 3
fj Escribe todos los divisores de los siguientes nuacutemeros
a) 12 b) 27
Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa
a) 5 es divisor de 25
b) 36 es muacuteltiplo de 9
e) 5 Y 3 son divisores de 15 -
d) 3 Y 7 son muacuteltiplos de 21
Completa la tabla
[)ivisores iexclUna o maacutes formasdeprodlJdo 1 PrimoocompIacuteJesto
I 22 22 1211 22 x 1 2 x 11 I Compuesto
15 I 23 I
_- -_---6~ ________________________shy
--
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible por 2 o por 3
22 24 10 66 50 bull son divisibles por 2 ya que todos terminan en O o cifra par
Un nuacutemero es divisible por 3 cuando ra sUl1a de sus cifras es muacuteltiplo de 3
Ejemplos 27 es divisible por 3 ya que 2 + 7 = 9 Y 9 es muacuteltiplo de 3
53 no es divisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 Y 8 no es muacuteltiplo de 3
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 2
73 42 54 71 80 15
bull Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 3
21 45 14 73 20 87
G Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 2
e) a9al a8
gtb) 17a a = O 2 4 6 8 d) 7a
e Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 3
a) 38a
b) 171 a
e) 77a
d) 9a
el 7a9
t) 101 a
g) a77
h) 10a1
D Haz cuatro grupos con los siguientes nuacutemeros 108 7 la 115 6 231 8 27 101 12 9 Y 24
a) Los que solo son divisibles por 2 son
b) Los que solo son divisibles por 3 son
el Los que son divisibles a la vez por 2 y por 3 son
d) los que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
PARA AVANZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible )~jT~(m~iquest~~~~~J~gi~~fi~1~~~~
25 lOO 10 65 so Un nuacutemero es divisible por 10 cuando su uacuteltima cifra es O
Ejemplos 20 SO 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 100 cuando sus dos uacuteltimas cifras son OO
Ejemplos 200500 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o muacuteltiplo de 11
Ejemplos 1 + 2 = 3 2+5=7 rI rI 1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11 2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
LiexclJ LiexclJ 8 + 6 = 14 3+3=6
~ Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 5 por 10 o por 100
752 420 541 7100 805 1500
Divisibles por 5
Divisibles por 10 _
Divisibles por 100 ~
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 11
352 420 514 627 1045 151
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 11
a) 601 e) 705
ii Escribe los nuacutemeros que cumplen las condiciones siguientes
a) El mayor nuacutemero de tres cifras que se puede dividir entre 5 ~
b) El menor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 10
e) El mayor nuacutemero de dos cifras que se puede dividir entre 11
d) El mayor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 100 ~
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Coacutemo se halla la potencia de una
102X3(102J3= = 106
La base del resultado (10) es la misma
El exponente del resultado (6) es el producto de los exponentesbull
_ Expresa el resultado en forma de una sola potencia
a) (83y=
b) (3st =
e) (5sy=
d) (11 3)3 =
e) (42)2 =
f) (234)S =
g) (44)2 =
h) (24t =
i) (1002y=
J) (72)7_1 - bullbull
Calcula el resultado de las siguientes expresiones
a) (33Y=
b) (25)2 =
e) (52)2 =
d) (62)3 =
e) ( 22)2 -~ bullbulll
f) (32)2 =
g) (42)4 =
h) (32)3 =
bull Completa el exponente que falta en cada una de las siguientes igualdades
a) (183)0 = 189
724b) (7 0 t ==
2525e) (255) O =
512d) (54)0 =
e) (11 0)3 = 11 15
f) (40 )2 = 48
1010g) (1~)0 =
316h) (34)0 =
24i) (20y =
518
12
j) (50t =
k) (1007)0 = 10014
211) (12 0 r =
e Indica si cada una de las siguientes igualdades es verdadera o falsa
913a) (133)3 =
b) (44)4= 1~
2515e) (253t =
1516d) (154t =
99e) (93)3 = ~
Raiacuteces
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es la raiacutez cuadrada exacta de un nuacutemero y queacute es un cuadrado perfecto
Ejemplo 3 es la raiacutez cuadrada exacta de 9ya que 32 = 9 se esiribe
179 31 Se lee raiacutez cuadrada de nueve~ Los nuacutemeros que tienen raiacutez cuadrada exacta se llaman cuadrados perfectos
Ejemplo 9 es un cuadrado perfecto ya que tiene una raiacutez cuadrada exacta que es 3 bull
Escribe queacute nuacutemero multiplicado por siacute mismo da com9 resultado gta) 36 6 d) 121 _
e b) 4 e) 196 __bull
e) 64 f) 225
ce Escribe los nuacutemeros que faltan para que las siguientes igualdades sean ciertas
a) JI I= 5 d) V49 =
b) V100 D e) JD = 13
e) JD=12 f) Va1 = D Sentildeala los tres cuadrados perfectos de nuacutemeros comprendidos entre 10 y 20 que hay entre los siguientes
nuacutemeros
144 200 500 262
343 256 361
~ Relaciona mediante flechas cada cuadrado perfecto con su raiacutez cuadrada exacta
Cuadrados perfectos Raiacuteces cuadradas
25 36
49- 4 6
9 7
81 9
1
2
3 5
Muacuteltiplos y divisores de un nuacutemero
PARA EMPEZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es muacuteltiplo o divisor de otro Nuacutemeros 1~0~~~~~~~~~1]~~~~3~~4i~~~~If~H~~~E~1iexcl~~~4f~~middotJJ~~r~~~~~lr~f13~iQIjIiJiJr1~]~jamp~~~~~~~Hr~lS~
n numero es muffipfo ce Otro SI resurta (fe multiplicar o por o o Ejemplo 128 es muacuteltiplo de 71 ya que resulta de 7x 4 = 28
Un nuacutemero es divisor de otro si la divisioacuten del segundo por el primero es exacta Ejemplo 17 es divisor de 281 ya que 28 7= 4 Se dice que )28 es divisible por 71
su nuacutemero de divisores los nuacutemeros pueden ser primos o compuestos
Nuacutemero primo es el que solo tiene dos divisores eacutel mismo y la unidad Ejemplo 17 es un nuacutemero primo Iya que tiene solo dos divisores 1 y 7 Nuacutemero compuesto es el que tiene maacutes de dos divisores Ejemplo 112 es un nuacutemero compuesto Iporque tiene como divisores 12 1 Yademaacutes 234 Y6
e Dados los nuacutemeros 18 10 15621827 129 Y 24 indica cuaacuteles de ellos son
a) Muacuteltiplos de 2
b) Muacuteltiplos de 3
fj Escribe todos los divisores de los siguientes nuacutemeros
a) 12 b) 27
Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa
a) 5 es divisor de 25
b) 36 es muacuteltiplo de 9
e) 5 Y 3 son divisores de 15 -
d) 3 Y 7 son muacuteltiplos de 21
Completa la tabla
[)ivisores iexclUna o maacutes formasdeprodlJdo 1 PrimoocompIacuteJesto
I 22 22 1211 22 x 1 2 x 11 I Compuesto
15 I 23 I
_- -_---6~ ________________________shy
--
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible por 2 o por 3
22 24 10 66 50 bull son divisibles por 2 ya que todos terminan en O o cifra par
Un nuacutemero es divisible por 3 cuando ra sUl1a de sus cifras es muacuteltiplo de 3
Ejemplos 27 es divisible por 3 ya que 2 + 7 = 9 Y 9 es muacuteltiplo de 3
53 no es divisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 Y 8 no es muacuteltiplo de 3
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 2
73 42 54 71 80 15
bull Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 3
21 45 14 73 20 87
G Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 2
e) a9al a8
gtb) 17a a = O 2 4 6 8 d) 7a
e Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 3
a) 38a
b) 171 a
e) 77a
d) 9a
el 7a9
t) 101 a
g) a77
h) 10a1
D Haz cuatro grupos con los siguientes nuacutemeros 108 7 la 115 6 231 8 27 101 12 9 Y 24
a) Los que solo son divisibles por 2 son
b) Los que solo son divisibles por 3 son
el Los que son divisibles a la vez por 2 y por 3 son
d) los que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
PARA AVANZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible )~jT~(m~iquest~~~~~J~gi~~fi~1~~~~
25 lOO 10 65 so Un nuacutemero es divisible por 10 cuando su uacuteltima cifra es O
Ejemplos 20 SO 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 100 cuando sus dos uacuteltimas cifras son OO
Ejemplos 200500 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o muacuteltiplo de 11
Ejemplos 1 + 2 = 3 2+5=7 rI rI 1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11 2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
LiexclJ LiexclJ 8 + 6 = 14 3+3=6
~ Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 5 por 10 o por 100
752 420 541 7100 805 1500
Divisibles por 5
Divisibles por 10 _
Divisibles por 100 ~
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 11
352 420 514 627 1045 151
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 11
a) 601 e) 705
ii Escribe los nuacutemeros que cumplen las condiciones siguientes
a) El mayor nuacutemero de tres cifras que se puede dividir entre 5 ~
b) El menor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 10
e) El mayor nuacutemero de dos cifras que se puede dividir entre 11
d) El mayor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 100 ~
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Raiacuteces
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es la raiacutez cuadrada exacta de un nuacutemero y queacute es un cuadrado perfecto
Ejemplo 3 es la raiacutez cuadrada exacta de 9ya que 32 = 9 se esiribe
179 31 Se lee raiacutez cuadrada de nueve~ Los nuacutemeros que tienen raiacutez cuadrada exacta se llaman cuadrados perfectos
Ejemplo 9 es un cuadrado perfecto ya que tiene una raiacutez cuadrada exacta que es 3 bull
Escribe queacute nuacutemero multiplicado por siacute mismo da com9 resultado gta) 36 6 d) 121 _
e b) 4 e) 196 __bull
e) 64 f) 225
ce Escribe los nuacutemeros que faltan para que las siguientes igualdades sean ciertas
a) JI I= 5 d) V49 =
b) V100 D e) JD = 13
e) JD=12 f) Va1 = D Sentildeala los tres cuadrados perfectos de nuacutemeros comprendidos entre 10 y 20 que hay entre los siguientes
nuacutemeros
144 200 500 262
343 256 361
~ Relaciona mediante flechas cada cuadrado perfecto con su raiacutez cuadrada exacta
Cuadrados perfectos Raiacuteces cuadradas
25 36
49- 4 6
9 7
81 9
1
2
3 5
Muacuteltiplos y divisores de un nuacutemero
PARA EMPEZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es muacuteltiplo o divisor de otro Nuacutemeros 1~0~~~~~~~~~1]~~~~3~~4i~~~~If~H~~~E~1iexcl~~~4f~~middotJJ~~r~~~~~lr~f13~iQIjIiJiJr1~]~jamp~~~~~~~Hr~lS~
n numero es muffipfo ce Otro SI resurta (fe multiplicar o por o o Ejemplo 128 es muacuteltiplo de 71 ya que resulta de 7x 4 = 28
Un nuacutemero es divisor de otro si la divisioacuten del segundo por el primero es exacta Ejemplo 17 es divisor de 281 ya que 28 7= 4 Se dice que )28 es divisible por 71
su nuacutemero de divisores los nuacutemeros pueden ser primos o compuestos
Nuacutemero primo es el que solo tiene dos divisores eacutel mismo y la unidad Ejemplo 17 es un nuacutemero primo Iya que tiene solo dos divisores 1 y 7 Nuacutemero compuesto es el que tiene maacutes de dos divisores Ejemplo 112 es un nuacutemero compuesto Iporque tiene como divisores 12 1 Yademaacutes 234 Y6
e Dados los nuacutemeros 18 10 15621827 129 Y 24 indica cuaacuteles de ellos son
a) Muacuteltiplos de 2
b) Muacuteltiplos de 3
fj Escribe todos los divisores de los siguientes nuacutemeros
a) 12 b) 27
Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa
a) 5 es divisor de 25
b) 36 es muacuteltiplo de 9
e) 5 Y 3 son divisores de 15 -
d) 3 Y 7 son muacuteltiplos de 21
Completa la tabla
[)ivisores iexclUna o maacutes formasdeprodlJdo 1 PrimoocompIacuteJesto
I 22 22 1211 22 x 1 2 x 11 I Compuesto
15 I 23 I
_- -_---6~ ________________________shy
--
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible por 2 o por 3
22 24 10 66 50 bull son divisibles por 2 ya que todos terminan en O o cifra par
Un nuacutemero es divisible por 3 cuando ra sUl1a de sus cifras es muacuteltiplo de 3
Ejemplos 27 es divisible por 3 ya que 2 + 7 = 9 Y 9 es muacuteltiplo de 3
53 no es divisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 Y 8 no es muacuteltiplo de 3
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 2
73 42 54 71 80 15
bull Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 3
21 45 14 73 20 87
G Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 2
e) a9al a8
gtb) 17a a = O 2 4 6 8 d) 7a
e Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 3
a) 38a
b) 171 a
e) 77a
d) 9a
el 7a9
t) 101 a
g) a77
h) 10a1
D Haz cuatro grupos con los siguientes nuacutemeros 108 7 la 115 6 231 8 27 101 12 9 Y 24
a) Los que solo son divisibles por 2 son
b) Los que solo son divisibles por 3 son
el Los que son divisibles a la vez por 2 y por 3 son
d) los que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
PARA AVANZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible )~jT~(m~iquest~~~~~J~gi~~fi~1~~~~
25 lOO 10 65 so Un nuacutemero es divisible por 10 cuando su uacuteltima cifra es O
Ejemplos 20 SO 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 100 cuando sus dos uacuteltimas cifras son OO
Ejemplos 200500 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o muacuteltiplo de 11
Ejemplos 1 + 2 = 3 2+5=7 rI rI 1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11 2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
LiexclJ LiexclJ 8 + 6 = 14 3+3=6
~ Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 5 por 10 o por 100
752 420 541 7100 805 1500
Divisibles por 5
Divisibles por 10 _
Divisibles por 100 ~
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 11
352 420 514 627 1045 151
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 11
a) 601 e) 705
ii Escribe los nuacutemeros que cumplen las condiciones siguientes
a) El mayor nuacutemero de tres cifras que se puede dividir entre 5 ~
b) El menor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 10
e) El mayor nuacutemero de dos cifras que se puede dividir entre 11
d) El mayor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 100 ~
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Muacuteltiplos y divisores de un nuacutemero
PARA EMPEZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es muacuteltiplo o divisor de otro Nuacutemeros 1~0~~~~~~~~~1]~~~~3~~4i~~~~If~H~~~E~1iexcl~~~4f~~middotJJ~~r~~~~~lr~f13~iQIjIiJiJr1~]~jamp~~~~~~~Hr~lS~
n numero es muffipfo ce Otro SI resurta (fe multiplicar o por o o Ejemplo 128 es muacuteltiplo de 71 ya que resulta de 7x 4 = 28
Un nuacutemero es divisor de otro si la divisioacuten del segundo por el primero es exacta Ejemplo 17 es divisor de 281 ya que 28 7= 4 Se dice que )28 es divisible por 71
su nuacutemero de divisores los nuacutemeros pueden ser primos o compuestos
Nuacutemero primo es el que solo tiene dos divisores eacutel mismo y la unidad Ejemplo 17 es un nuacutemero primo Iya que tiene solo dos divisores 1 y 7 Nuacutemero compuesto es el que tiene maacutes de dos divisores Ejemplo 112 es un nuacutemero compuesto Iporque tiene como divisores 12 1 Yademaacutes 234 Y6
e Dados los nuacutemeros 18 10 15621827 129 Y 24 indica cuaacuteles de ellos son
a) Muacuteltiplos de 2
b) Muacuteltiplos de 3
fj Escribe todos los divisores de los siguientes nuacutemeros
a) 12 b) 27
Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa
a) 5 es divisor de 25
b) 36 es muacuteltiplo de 9
e) 5 Y 3 son divisores de 15 -
d) 3 Y 7 son muacuteltiplos de 21
Completa la tabla
[)ivisores iexclUna o maacutes formasdeprodlJdo 1 PrimoocompIacuteJesto
I 22 22 1211 22 x 1 2 x 11 I Compuesto
15 I 23 I
_- -_---6~ ________________________shy
--
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible por 2 o por 3
22 24 10 66 50 bull son divisibles por 2 ya que todos terminan en O o cifra par
Un nuacutemero es divisible por 3 cuando ra sUl1a de sus cifras es muacuteltiplo de 3
Ejemplos 27 es divisible por 3 ya que 2 + 7 = 9 Y 9 es muacuteltiplo de 3
53 no es divisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 Y 8 no es muacuteltiplo de 3
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 2
73 42 54 71 80 15
bull Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 3
21 45 14 73 20 87
G Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 2
e) a9al a8
gtb) 17a a = O 2 4 6 8 d) 7a
e Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 3
a) 38a
b) 171 a
e) 77a
d) 9a
el 7a9
t) 101 a
g) a77
h) 10a1
D Haz cuatro grupos con los siguientes nuacutemeros 108 7 la 115 6 231 8 27 101 12 9 Y 24
a) Los que solo son divisibles por 2 son
b) Los que solo son divisibles por 3 son
el Los que son divisibles a la vez por 2 y por 3 son
d) los que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
PARA AVANZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible )~jT~(m~iquest~~~~~J~gi~~fi~1~~~~
25 lOO 10 65 so Un nuacutemero es divisible por 10 cuando su uacuteltima cifra es O
Ejemplos 20 SO 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 100 cuando sus dos uacuteltimas cifras son OO
Ejemplos 200500 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o muacuteltiplo de 11
Ejemplos 1 + 2 = 3 2+5=7 rI rI 1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11 2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
LiexclJ LiexclJ 8 + 6 = 14 3+3=6
~ Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 5 por 10 o por 100
752 420 541 7100 805 1500
Divisibles por 5
Divisibles por 10 _
Divisibles por 100 ~
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 11
352 420 514 627 1045 151
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 11
a) 601 e) 705
ii Escribe los nuacutemeros que cumplen las condiciones siguientes
a) El mayor nuacutemero de tres cifras que se puede dividir entre 5 ~
b) El menor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 10
e) El mayor nuacutemero de dos cifras que se puede dividir entre 11
d) El mayor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 100 ~
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
--
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible por 2 o por 3
22 24 10 66 50 bull son divisibles por 2 ya que todos terminan en O o cifra par
Un nuacutemero es divisible por 3 cuando ra sUl1a de sus cifras es muacuteltiplo de 3
Ejemplos 27 es divisible por 3 ya que 2 + 7 = 9 Y 9 es muacuteltiplo de 3
53 no es divisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 Y 8 no es muacuteltiplo de 3
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 2
73 42 54 71 80 15
bull Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 3
21 45 14 73 20 87
G Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 2
e) a9al a8
gtb) 17a a = O 2 4 6 8 d) 7a
e Averigua los posibles valores numeacutericos de la letra a en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 3
a) 38a
b) 171 a
e) 77a
d) 9a
el 7a9
t) 101 a
g) a77
h) 10a1
D Haz cuatro grupos con los siguientes nuacutemeros 108 7 la 115 6 231 8 27 101 12 9 Y 24
a) Los que solo son divisibles por 2 son
b) Los que solo son divisibles por 3 son
el Los que son divisibles a la vez por 2 y por 3 son
d) los que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
PARA AVANZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible )~jT~(m~iquest~~~~~J~gi~~fi~1~~~~
25 lOO 10 65 so Un nuacutemero es divisible por 10 cuando su uacuteltima cifra es O
Ejemplos 20 SO 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 100 cuando sus dos uacuteltimas cifras son OO
Ejemplos 200500 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o muacuteltiplo de 11
Ejemplos 1 + 2 = 3 2+5=7 rI rI 1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11 2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
LiexclJ LiexclJ 8 + 6 = 14 3+3=6
~ Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 5 por 10 o por 100
752 420 541 7100 805 1500
Divisibles por 5
Divisibles por 10 _
Divisibles por 100 ~
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 11
352 420 514 627 1045 151
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 11
a) 601 e) 705
ii Escribe los nuacutemeros que cumplen las condiciones siguientes
a) El mayor nuacutemero de tres cifras que se puede dividir entre 5 ~
b) El menor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 10
e) El mayor nuacutemero de dos cifras que se puede dividir entre 11
d) El mayor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 100 ~
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
Cuaacutendo un nuacutemero es divisible )~jT~(m~iquest~~~~~J~gi~~fi~1~~~~
25 lOO 10 65 so Un nuacutemero es divisible por 10 cuando su uacuteltima cifra es O
Ejemplos 20 SO 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 100 cuando sus dos uacuteltimas cifras son OO
Ejemplos 200500 700 1000
Un nuacutemero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o muacuteltiplo de 11
Ejemplos 1 + 2 = 3 2+5=7 rI rI 1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11 2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
LiexclJ LiexclJ 8 + 6 = 14 3+3=6
~ Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 5 por 10 o por 100
752 420 541 7100 805 1500
Divisibles por 5
Divisibles por 10 _
Divisibles por 100 ~
o Busca entre estos nuacutemeros los que son divisibles por 11
352 420 514 627 1045 151
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el nuacutemero sea divisible por 11
a) 601 e) 705
ii Escribe los nuacutemeros que cumplen las condiciones siguientes
a) El mayor nuacutemero de tres cifras que se puede dividir entre 5 ~
b) El menor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 10
e) El mayor nuacutemero de dos cifras que se puede dividir entre 11
d) El mayor nuacutemero de cuatro cifras que se puede dividir entre 100 ~
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
- Coacutemo se descompone un nuacutemero en factores primos
~
expresarse como menor que sea posible los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor nuacutemero primo que
~J[IOSIOle hasta obtener la unidad
90 En la praacutectica se expresa asiacute 90 2
10 45 3
O 1 5 1 5 lL 15 3
O O 5~ 5 5
O 1 1
190 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 X 32 x 51
bull Descompoacuten en factores primos los siguientes nuacutemeros
a) 48 d) 36
48 = 36 = bullbullbullbullbullbullbullm
b) 80 e) 81
80 = 81 =
e) 70 f) 144
70 = 144 =
~ iquestA queacute nuacutemero corresponde cada una de estas descomposiciones
a) 2 x 3 x 5 = d) 2 = ~
22b) x 33 = _
e) 2 x 52 X 7 = f) 3xSx7xll
reg Relaciona cada nuacutemero con su descomposicioacuten
243100 100 625 64
625
64
243
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Muacuteltiplos y divisores comunes a dos nuacutemeros
PARA EMPEZAR
Cuaacutentos muacuteltiplos comunes tienen dos nuacutemeros
Muacuteltiplos de 6 61218243036424854 Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 18 36 54
Muacuteltiplos de 9 9 18 27 3645 54 63 72
Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
MuacuteItiP I os de 2 _
Muacuteltiplos de 3 _
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 2 y 3
bull Calcula los diez primeros muacuteltiplos que se piden en los siguientes casos
Muacuteltiplos de 6 --
Muacuteltiplos de 8 __
iquestQueacute muacuteltiplos hay entre ellos comunes a 6 y 8
bull Halla el menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15
M uacute Iti plos de 1O __
Muacuteltiplos de 15
Muacuteltiplos comunes de 10y de 15 bull
El menor de los muacuteltiplos comunes de 10 y 15 es
e Dados los nuacutemeros 282150 1526320382 Y 29
a) Los muacuteltiplos de 2 son
b) Los muacuteltiplos de 3 son
e) Los muacuteltiplos comunes de 2 y de 3 son
d) Los nuacutemeros que no son muacuteltiplos ni de 2 ni de 3 son
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Cuaacutentos divisores comunes tienen dos nuacutemeros C7 ~fiquesti~iexcl~h~W~~~~r~~~~t~~~~~~~~l~~t mo ~~~middotiexcl~JJiexcli~~trf~1M~~~~~~~~f)~~~iexcl~~~Wf~i~middoti~iexcl
mo divisor comuacuten al menos el 1
Divisores de 12 12346 Y 12 Divisores comunes de 12 y de 16 1 2 Y 4
Divisores de 16 1248 Y 16
Calcula
a) Todos los divisores de 8 _
b) Todos los divisores de 18 bullbullbullbull___
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18 _
6) Calcula
a) Todos los divisores de 20
b) Todos los divisores de 30
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30
bull Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15
Todos los divisores de 1O
Todos los divisores de 15
Todos los divisores comunes de 10 y de 15 __bullbull
El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es _bullbull
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 8 5 2 3 4 12 Y 6
a) los que son divisores de 12
b) Los que son divisores de 32
e) los divisores comunes de 12 y de 32
d) Los nuacutemeros que no son divisores de 12 ni de 32
) Sentildeala en esta lista de nuacutemeros 2 53 6 8 15 10 Y 4
a) los que son divisores de 30
b) Los que son divisores de 45
e) Los divisores comunes de 30 y de 45
d) los nuacutemeros que no son divisores de 30 ni de 45
--- 13---- _------ - shy
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
Queacute es y coacutemo se calcula el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros
mayor
Ejemplo Los divisores comunes de 12 y de 16 son1 2 Y 4
El mayor de estos divisores es 4 es decir lrshym-c-d--(1-2--6-)-=-4
Para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros 36 Y60
0 Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos 36 2 60 2
r El mcd es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente
18 2 9 3 3 3 1
30 15
5 1
2 3 5
36 = 22 X 32 60 = 22 X 3 x 5
Imed(36 60) = 22 X 3 = 4 x 3 = 2 I
bull Busca todos los divisores comunes de 12 y 24 iquestCuaacutel de ellos es el mayor
bull Enltuentra el maacuteximo comuacuten divisor deacute 42 Y48
42 21 7 1
2 48 3 24 7 12
6 3 1
2 2 2 2 3
l Calcula el maacuteximo comuacuten divisor de
a) 40 y 50
40 50
40 = 50 =
mcd(4O 50) = _
b) 9 y 16 9 16
9 = 16 =
mcd(9 16) =
42 =
48=
mcd(42 48) = -
e) 21 Y35 21 35
21 = 35 =
mcd(21 35) =
d) 25 y 35 25 35
25 = 35 =
mcd(25 35) =
-------------------------------
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Queacute es y coacutemo se calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
~emplo Muacuteltiplos comunes de 6 y de 9 1836547290
El menor de estos muacuteltiplos es 18 es decir r-lm-c-m~(6--9~)=-1181
Para calcular el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos nuacutemeros
1deg Se descomponen los nuacutemeros en sus factores primos
r El mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
36 2 18 2 9 3 3 3
36 Y 60
60 2 30 2 15 3 5 5
Busca los 3 menores muacuteltiplos comunes de 20 y 30 iquestCuaacutel de ellos es el menor
ti Calcula el mcm de 18 y 26
18 26 18 = o
26 =
mcm(1826) =
Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo mediante la descomposicioacuten en factores primos de las siguientes parejas de nuacutemeros
a) 9 y 12
9 12
9 = 12 = o
mcm(9 12) =
b) 27 Y40 27 40
27 40 =
mcm(27 40) =
c) 15 Y 25
15 25
15 25 =
mcm(15 25) =
d) 32 Y48 32 48
32 48 = mcm(32 48) =
---------- -- ---------- _-J$ ____________
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
Queacute son y coacutemo se obtienen fracciones equivalentes
decimales
Ejemplo las fracciones ~ r y 1~ son equivalentes
1 2 5-=05 -=05 10 = 052 4r J
En la praacutectica para comprobar si dos fracciones son equivalentes se realiza el producto cruzado de sus teacuterminos Si el resultado es el mismo son equivalentes
2 3 3 5 3X6=18Ejemplos 6gtlt9 productos cruzados 2 x 9 = 18 4 no es eqUIvalente a6 ya que 4 x 5 =20 6 x 3 = 18
Son equivalentes
Para obtener fracciones equivalmiddotentes a otra fraccioacuten se multiplican o se dividen sus teacuterminos (numerador y denominador) por el mismo nuacutemero
Ejemplos x 3 4 2~6 8~2 - = shy3~9 12~3
x3 4
bull Averigua cuaacuteles de estos pares de fracciones son equivalentes 4 12 3 25
e) -iexcly 56al s Y15
8 32dl g-Y 35
bull Escribe la fraccioacuten equivalente que corresponde en cada caso x 3 3
2al-=shy3~
b) 15~ =shy
18 x 3 3
Escribe el teacutermino que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes
2 3al -=-shy40 b) _5_= 20O 28
el 40 -=-shy9 63
- sshy
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
~ Coacutemo se amplifican y simplifican fracciones
1~~tf~~~~1~W~~~~~1iexcliexcl~(~K~~iiexcllt~iKJf~~ift~JfoU~fiiexcliexcl~l~~~l~iacute1)~ii~~J~isectgjT - ~i Ejemplo - = - = - = shy
~~i1 7 14 21 35
Para simplificar una fraccioacuten se dividen sus teacuterminos por un mismo nuacutemero natural
12 6 4 1 EJemplo 36 = -a = 12 = 3
_ ~tmiddot~ irreducible [~~~
=1~rV~~~iexclo~~i~~~tjJ~~~~~~~~~~Jtjiquest1iexcliexclj~iii~2t~fi bull Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas al lado izquierdo simplificaacutendola y al derecho
Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fraccioacuten irreducible en cada caso
bull Escribe la fraccioacuten irreducible que corresponde a cada una y dibuacutejala
3 9
8 10
7 14
amplificaacutendola
6a) -=-=shy8
8b) -=-=shy10
4 2gta) -0=5 bullbullbull
b) ~ 18
30 e) 45
15e) -=-=shy20
14d) -=-=shy42
9 d) 15
60 e) 75
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bull bull bull bull bull bull bull bullbull
J
J
bull Reduce a comuacuten denominador estas fracciones empleando el mcm
1 7 bullgta) -iexclY ro
Descomposicioacuten en factores primos 4 = 10 =
mcm(4 10) =
1 3cl -Yshy2 5
7 3 8 d) S -iexclY g
8 9f) -Yshy
3 4
- 11-shy
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
_ Coacutemo se comparan fracciones con uno de sus teacuterminos iguales ff~t 2~
Ejemplo n Si dos o maacutes fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador
bull Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordeacutenalas de mayor a menor
a) b) e) d)
Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda en cada caso
40 7 90 9 8 010a) 9 9 e) 8 15 e) 14 14
b) 12 O125 d) sect Osect t) -ordf-O-ordfshy9 9 5 4 7
Ordena de menor a mayor estas fracciones
--lt--lt--lt--lt-shy
5 3 7 10 8 --lt--lt--lt--lt-shyb) 1111
1 1 1 1 1 --lt--lt--lt--lt-shye) 574108
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Coacutemo se comparan fracciones cuando sus teacuterminos son diferentes
15 14 B7Como-gt-~ -gtshy18 18 6 9
bull Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellasgt o lt seguacuten proceda
50 7 50 7 a) 8 10 e) 12 15
b)O~ d) lL O4 6 12 9
) Para cenar en casa Miguel Pedro y Marta han hecho una pizza familiar Miguel come ~ de la pizza7
Pedro y Marta 18 iquestCuaacutel de los tres hermanos ha comido maacutes cantidad y cuaacutel ha comido menos
(Utiliza el mcm para reducir a comuacuten denominador)
_ 211- _____________
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
)- Operaciones con fracciones - - - ~
gt ~
~ bull PARA EMPEZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con el mismo denominador
o Se deja el mismo denominador
~+= 3+2 JI 7 7 7 [1]
En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado si es posible
gta) sect + plusmn = ~ = ~ bull 6 6 6 2bull e
9 3 OO O e) ---=--=-shy4 4
8 2d) - - - =
9 9
13 6f)---=10 10
bull Resuelve estas operaciones combinadas Simplifica el resultado si se puede
al ~~ - U2 + 52)= ~~ - B=B el U7 - 37)+ ( - 57)=
bull Escribe la fraccioacuten que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado
6011 803 al 5 + O =15 el - - O = shy
4 5 O 6 8 24 --=shyb) d) O +-25 + 25 = 257 7
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Coacutemo se multiplica un nuacutemero natural por una fraccioacuten
Se deja el mismo denominador
3 x = 3 x 5 =[[I 7 7x2 lJiI13 x 2 = --3- =ITI]9 9 W En la praacutectica estas operaciones se hacen mentalmente
bull Calcula el doble el triple y el quiacutentuplo de Triple Quiacutentuplo
xO= iexcl xO= Expresa estas sumas en forma de multiplicacioacuten y resueacutelvelas
2 2 2 2 2 2 ITQ] 7 7 7 7 e al 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 x 5 = [[] e) -iexcls + -iexcls + -s + -iexcls =gt e e
Coacutemo se multiplican dos fracciones
MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado
4 1al -3 x-=5
7 3b) - x -x 2 =
8 9
3 5d) - x - = 7 6
12 2e) - x x 4 =
5 3
f)3x-x5=
9
7 9) 4 x 2 x3 =
6h) - x 2 =
5
) 3 5 4J -x-x = 8 2
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador
5 10 15 0 Se reducen las fracciones a comuacuten denominadormiddot -=-=shy
4 8 12(amplificaacutendolas o empleando el mcm)
0 Se suman o restan las fracciones equivalentes 1 + ~ = -ordf- + sect = 8 + 15 = 233 4 12 12 12 12obtenidas
bull Realiza estas sumas y restas empleando la amplificacioacuten de fracciones para reducir a comuacuten denominador Simplifica el resultado
S 3a) - - - =
6 8
4 8b) - + - =
6 9
9 2e) ---=
10 6
1 3d) - + - =
5 4
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta de legumbres y el resto de patatas iquestQueacute parte de la huerta ha sembrado de patatas
-23--middot----------- shy
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
-__-------------------------shy
Ejercicio resuelto
Suma ~ y ~ utilizando el mcm para reducir a comuacuten denominador
Se calcula el mcm de los denominadores 6 y 9 6=2x3 32 mcm(6 9) =2 X = 2 x 9 = 1 8 329 =
Se divide el mcm por cada denominador 18 6 = 3 Y 18 9 = 2
y se multiplican
FRos~
Por uacuteltimo se suman las fracciones equivalentes sumando los numeradores y dejando el denominador comuacuten
5 7 15 14 (NOI6+9=18+18= 18
Haz estas sumas y restas utilizando el mcm Simplifica el resultado
7 3 b) ~+ ~ =a) -- = 8 10 6 8
bull Completa la siguiente tabla
12 4--shy9 15
~++ 836
-24shy
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Coacutemo se dividen fracciones
Ejemplo
inversas
Para dividir una fraccioacuten entre un nuacutemero entero se multiplica por el inverso del nuacutemero
~2=~x1=1slS S 2 [isect]
I I
bull Calcula la mitad la tercera parte y la quinta parte de Mitad Tercera parte Qu inta pa rte
D= ~D=4
Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible
O O O 14a) --= --x --=-shy el 75 = 5 S
O O O 69
4 6 b) 57 =
bull Tenemos 12 litros de agua para envasar en botellas de litro y medio (~ L) iquestCuaacutentas botellas se necesitaran
Calcula estas operaciones combinadas Simplifica los resultados
b) (~+1) ~ = 5 5 10
e) 8 x (lsect _Z) = 15 9 9
el (-4+ -2) x -5= 7 7 8
f) (~ - ~) 4 =
-25shy
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bullbull
Los nuacutemeros decimales
11 NUacuteMEROS DECIMALES)
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se escriben y leen los nuacutemeros decimales
Un nuacutemero declmal consta d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~ -- Ejemplo 26315
e o U
2 6 3 5
-- _ gtf~rt~deacutecimar
m dmd e
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO lOO 1000 partes iguales
1 deacutecima = _1 = O 1 1 mileacutesima = _1- = 000110 1000
1 centeacutesima = 1~ = 001 1 diezmileacutesima = 10~00 = 00001
Ejemplo Por el valor posicional de sus cifras el nuacutemero 26315 se descompone en 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 03 + 001 + 0005
Se lee 26 unidades y 315 mileacutesimas
bull Haz la descomposicioacuten de estos nuacutemeros seguacuten el valor posicional de sus cifras
gta) 8065 = 8U + 6c + 5m =
b) 1738
e) 06317 = ___________
d) 3842 = ________________________
bull Completa la tabla con lo que falta (nuacutemero decimal nombre o descomposicioacuten)
7 unidades y 58 centeacutesimas f--- ---f---------------f--------------iexcl
10 + 6 + 08 + 005 + 0001
273 --------+----------+--------------j
1234 diezmileacutesimas
4 + 005
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bull Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente
8365
026
721864
93176
bull Completa la siguiente tabla
315
72 6
25063
7 unidades y 40 centeacutesimas
6 257
bull Completa la siguiente tabla
10 + 7U + Od + Se
5U + 9d
7C + 10 + OU + 2d + Oc + 8m
1 U + 7d + 3c + 6m + 5dm
2C + 50 + 3U + 1d + Se + 2m
-21-shy
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bull ~~ Suma y resta con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se suman y restan nuacutemeros decimales (con el mismo nuacutemero de cifras decimales)
Para sumar o restar nuacutemeros decimales se coloca uno debajo del otro hadendoeoincidir en columna las unidades dL_ mismo orden y las comas Se opera y se pone la coma en el resultado
Ejemplos 2 3 6 5 4 7 4 3 8 5
+ 8 5 9 7 6 2 4 8 9 1 6
8 8 3 4 1 6 2 5 4 6 9
23654 + 859762 = 1883416 I 74385 - 48916 = 1254691 Minuendo Sustraendo
bull Calcula estas sumas
a 19672 + 6851 = b) 036 + 775 + 16628 =
Calcula el resultado de estas restas
a) 65493 - 18576 = b) 1474 - 697 =
bull iquestCuaacutel es la diferencia entre los periacutemetros de los dos triaacutengulos
al
1052 cm
b)
1432 cm
- 2gshy
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
=Coacutemo se suman y restan dos nuacutemeros decimales si uno tiene -maacutes cifras decimales que el otro
-
_10 Se iguala el nuacutemerode sus cifras decimales con ceros (En la practica los ceros no se escriben pero setienen encueriacuteta)
2deg Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras
Ejemplos 2 8 3 6 5 6 3 5 O
+ 9 5 7 O 2 7 2 9
3 ~ 9 3 5 3 6 2
28365 + 957 = 1379351 635 - 2729 = ~
bull Coloca estas operaciones y calcula su resultado
a) 272 + 15385 + 09234 b) 367 - 18916 =
bull Completa esta tabla de operaciones
2491 86 054
13702 849 15356
bull En un cuadro maacutegico los nuacutemeros suman lo mismo en vertical horizontal y diagonal Completa este
43
505 555
53
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Multiplicacioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por un nuacutemero natural
Para multiplicar lHlnUacutemerodecimal por un nuacutemero natural 5381 x35
l Se multiplican los nuacutemeros como si fueran ambos naturales -
2 En el resultado se separan con la coma empezando por la derecha tantas cifras decimales como tenga el nuacutem iquest
decimal
5 3 8 1 2 6
x
9
3
O
5
5 3 ci fras decimales
-t 5381 x 35 = 188335 I 6 4 3
8 8 3 3 5 -IIi
Calcula el resultado de estas multiplicaciones
a) 1 6 2 4 b) O 6 7 5 8 e) 6 3 9 x 4 6 x 9 x 7 5
bull Pilar recorre a cada paso que da 075 metros El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos iquestCuaacutento mide el pasillo
O Efectuacutea estas operaciones combinadas
a) 9 x (1875 + 3691) = b) (638 - 265) x 34 =
-30shy
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
acompantildean a la unidad Si faltan lugares se antildeaden ceros
654 x 10 = 654
t
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal r 10 100 1000bull ~tl~t~~1i~iexcl~~~~~lJ~~
r un nuacutemero decimal por lO 100 1000 bull se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
654 x 100 = 654 654 x 1000 = 6540 t t Dos lugares Tres lugares
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno En uno recoge una media de 1275 kilos de aceituna por olivo en otro 95 kilos y en el tercero 68 kilos iquestCuaacutentos kilos ha recogido entre los tres
Calcula el resultado
gta) 0385 x 10 = 385- b) 0385 x 100 =
e) 0385 x 1 000 =
d) 0385 x 10000 =
gta) 163 x 100 = 1630- b) 048 x = 48
e) 0035 x = 350
d) 26 x = 2600
e) 13184 x bullm = 13184
bull Elige el resultado correcto en cada caso
al 00065 x 1 000 -7 0065 065
b) 27 x 100 -7 027 27
e) 1408 x 10 -7 1408 1408
d) 03 x 10000 -7 3 30
e) 63 x 1000 =
tJ 0009 x 100 =
g) 164 x 10 =
h) 10386 x 10000 =
f) 06 x = 600
g) 2196 x _ = 2196
h) 807 x = 8070
i) 10026 x = 10026
j) 062 x = 062
65 65
270 2700
1408 14080
300 3000
_____________ -31shy
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bullbull
PARA AVANZAR
Coacutemo se multiplica un nuacutemero decimal por 01 001 0001
497 x 01 = 497
t 497 x 001 = 0497
t 497 x 0001 = 00497
t Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones
gta) 1387 x 001 = 1387
b) 1387 x 01 =
el 1387 x 0001 =
d) 1387 x 00001 =
e) 07 x 01 =
f) 35174 x 0001 =
g) 2004 x 001 =
h) 1432 x 00001 =
bull Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado
gta) 723 x 01 = 723e b) 63194 x = 63194
e) 385 x _ = 0385
d) 475 x _ = 0475
e) 2398 x = 2398
f) 06 x ___ = 00006
g) 708 x = 00708
h) 10032 x _ = 010032
i) 5296 x = 5296
j) 0075 x __ = 00075
(amp Jaime estaacute jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones Averigua el factor que falta en cada secuencia
a) 67 x x 001 = 67
b) 084 x x 1000 = 084
e) 136 x 10 x = 136
a) _ x 001 x 100 = 3725
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bullbull
- Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre 10 100 1000bull
327 1000 = 00327
f) 831562 10000 =
t t
bull Escribe el resultado de estas divisiones
gta) 04 10 = 004
b) 3562 100 =
e) 96165 1000 =
d) 37 100 =
e) 2562 10 =
bull Escribe el divisor que corresponde en cada caso
gte a) 78 10 = 078
b) 6252 ___ = 6252
e) 83965 ____ = 83965
d) 06 _ = 0006
iquestCuaacutentos kiloacutemetros son 356875 metros
bull Escribe el dividendo de estas divisiones
gtal 54 10 = 054 e
b) 100 = 2073
e) 1 000 = 00625
d) 10 = 0059
g) 284 1000 =
h) 23608 100 =
i) 4532 10 =
j) 68 1000 =
e) 745 = 0745
f) 2752 = 002752
g) 6834 __ = 6834
h) 79 = 00079
e) 100 = 0084
f) 1 000 = 38269
g) 100 = 58076
h) 10000 = 000546
-3shy----------------------------------~
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bullbull
Divisioacuten con decimales
bull PARA EMPEZAR
Coacutemo se divide un nuacutemero decimal entre un nuacutemero natural
Para dividir un nuacutemero decimal (dividendo) entre un nuacutemeroacutenatural (divisor)
1deg Se hace la divisioacuten de los nuacutemeros sin tener en cuenta la coma
20 Se separan en el cociente por la derecha tantas cifras decimales como tenga el dividendo
Ejemplos L J J1 5 8 4 1 9 ] 2 df 2 8 7 3 6 12 3 1 iexclf~6 decimales 9 decImal
6 8 1 7 5 7 1 2 4
5 4 1 3
O 2 1 6
O 9
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 8356 7 = e) 49625 15 =
bJ 1836 9 = dJ 268621 43 =
bull Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones
gta) 46 2 = 23
b) 18 2 =
el 16 4 =
d) 28 2 =
el 045 5=
t) 09 3 =
g) 63 7 =
h) 072 8 =
bull Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 4862 minutos iquestCuaacutel ha sido el tiempo medio por cada vuelta
-34shy
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
oacutemo se dividen dos nuacutemeros decimales
- Para dividir dos nuacutemeros decimales 4 3 5 Io 7 4 - 1deg Se convierte el divisor en un nuacutemero entero Para ello iexclx 100se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor 4 3 5 O I 7 4
2deg Se hace la divisioacuten 4 3 5 O 7 4
6 5 O 5 8
5 8
bull Coloca y realiza estas divisiones
a) 83456 15 = b) 325 025 =
bull Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (075 litros) iquestCuaacutentas botellas se necesitan
bull
bull
Calcula mentalmente
a) 18 02 = e) 06 03 =
b) 18 03 = t) 48 08 =
e) 18 06 = g) 08 008 =
d) 18 09 = h) 19 019 =
iquestQueacute nuacutemero hay que multiplicar por 234 para obtener 176904
i) 25 005 =
j) 25 0005 =
k) 12 04 =
1) 04 002 =
-35shy
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
- --
Nuacutemeros enteros
l LOS NUacuteMEROS ENTEROS)
bull PARA EMPEZAR
Cuaacuteles son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros negativos -1 -2 -3 bull
nuacutemeros enteros son Los nuacutemeros positivos +1 +2 +3 (suelen escribirse sin el signo +)
El cero no es ni positivo ni negativo
nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidades menores que O
8 grados bajo cero -8 40 metros de profundidad -40
bull Expresa el significado de las siguientes cantidades
a) - 23deg ____
b) - 63 metros
e) -87 euros
d) Planta (-4) _
Expresa con nuacutemeros enteros las sigu iexclentes situaciones
a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero
b) Quiero ir a la planta seacuteptima del edificio
e) Esa montantildea tiene una altitud de mil doscientos metros
d) Tengo el coche aparcado en el tercer soacutetano
e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros
t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados
bull El siguiente extracto de una cuenta no es correcto Indica doacutende estaacute el error
Saldo anterior 45euro _- shyRecibo de la comunidad 15euro30euro
-25euroRecibo de la luz 4Oeuro
Noacutemina del mes 1200euro 1175 euro
Recibo del teleacutefono 25euro 1200euro
-36shy
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
0
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan los nuacutemeros enteros en la recta numeacuterica
Se traza una liacutenea recta y se toma como origen un punto que representa al cero -----iexclI---- shyO
o A la derecha del cero se elige otro punto que representa al 1 y se toma como 1 1 unidad la distancia del Oal 1 O 1
0 Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el nuacutemero que se quiere representar
~lit1a~la la izquierda del cero se representan los nuacutemeros negativos y hacia la derecha los nuacutemeros positivos
Representa en la siguiente recta numeacuterica ademaacutes del cero los nuacutemeros enteros del -6 al 7
Negativos ~
Positivos
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
Representa en la siguiente recta los nuacutemeros enteros del -5 al 6
-3 o
Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de nuacutemeros enteros
A B e o E F I I I 1 I I I I I 1 I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I
o
A= 0=
B= E=
c= F=
bull Explica doacutende situariacuteas el cero en la siguiente recta de nuacutemeros enteros sabiendo que A representa a -5 y 8 a + 11
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Situacutea los nuacutemeros -S +12 O +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8 y 8 es +8
A B I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-31shy
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Coacutemo se ordenan y comparan los nuacutemeros enteros
I~ I i I I I I I IJ I 11 I I I I I I I I I I I 1 ~1~~~~~~~4~R123456789Wll~
-12 lt -10 ~ -12 es menor que -10 porque estaacute maacutes a la izquierda en la recta
Ogt -3 ------- Oes mayor que -3 porque estaacute maacutes a la derecha en la recta
bull Ordena de menor a mayor los siguientes nuacutemeros enteros
+12 -16 +4 -12 -22 O +33 -66 +1 -3 -7
bull Escribe los nuacutemeros enteros que faltan
-7 lt -6 lt D lt lt -3 lt D lt -1 lt D lt
bull Escribe el signo lt o gt seguacuten corresponda
a -3 D 3 e) 4 -4
b) -6 D -8 -7 D -10d
(1 Escribe los nuacutemeros enteros
a) Comprendidos entre -6 y 3
b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez
e) Negativos mayores que -3
bull Completa la siguiente tabla con los nuacutemeros anterior y posterior a los dados
+19
+100
+ +6
-19
-100
-21
-6
-99
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Queacute es el valor absoluto y el opuesto de un nuacutemero entero
un que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa 1-31 = 3 El valor absoluto de +3 es 3y se representa 1+31 = 3 Por tanto 1-31 = 1+31 = 3
Cuando dos nuacutemeros enteros tienen el mismo valor absoluto se diee que son opuestos Al representarlos en la reeta numeacuterica estaacuten a la misma distancia del eero
-3 o 3bull
bull Completa las siguientes frases
al El valor absoluto de + 12 es e) El valor absoluto de -100 es
b El valor absoluto de -15 es d) El valor absoluto de +27 es
Completa las siguientes expresiones
a 1-111 = O d) 1+01= 10
b) 1+01=7 e) 1-01 = 10
e) 1-01 = 18 f) 1+141 = O el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones
a) 1+191 = 19
b) 1O 1 = O
e) 1-191 = 19
Completa las siguientes frases
al El opuesto de -5 es el El opuesto de +23 es
b) El opuesto de +16 es d) El opuesto de-21 es
bull iquestCuaacuteles son los nuacutemeros opuestos que distan en la recta 14 unidades
iquestQueacute dos nuacutemeros tienen por valor absoluto 17
~31- __________________________
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Operaciones con nuacutemeros enteros
PARA EMPEZAR
Cuacutemo se suman y se restan dos nuacutemeros enteros
ra sumar - Si los dos tienen el mismo signo
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos
Ejemplos (-5) + (-7) = 1-121 (+5) + (+7) = 1+121 - Si los dos tienen diferente signo
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto
Ejemplos (-5) + (+7) = ~ (+5) + (-7) = B Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo
Ejemplos (-5) shy (-9) = (-5) + (+9) = (+5) - (-9) = (+5) + (+9) =
bull Resuelve las siguientes sumas
a) (+4) + (+a) =
b) (-7) + (-7) =
e) (+4) + (-a) =
d) (-3) + (+5) =
e) (+10) + (-20) =
tj (+3) + (+5) =
g) (-13) + (-10) =
h) (-9) + (+2) =
i) (+7) + (-7) =
j) (-13) + (+10) =
Resuelve las siguientes restas transformaacutendolas antes en una suma
a) (+7) - (+a) =
b) (-3) - (-5) =
e) (+11) - (+12) =
d) (+5) - (-a) =
e) (-13) - (+5) =
tj (+11) - (-2) =
g) (-a) - (-12) =
h) (-6) - (+2) =
i) (+a) - (-a) =
j) (-3) - (+10) =
Expresa con nuacutemeros enteros y resuelve la siguiente situacioacuten
al Estaba en el soacutetano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas iquesten queacute planta me encuentro
b) Si ahora bajo a plantas iquestdoacutende me encuentro
Ji- -D-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
-----
PARA AVANZAR
Coacutemo se suman y se restan maacutes de dos nuacutemeros enteros ~~~l~~ ~l~~~(~~~
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los nuacutemeros sucesivamente de izquierda a derecha
Ejemplo + +
-7 + 5 shy 9 + 3 + 10 - 4 = - 2 - 9 + 3 + 10 shy 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 = t t
Se suman por un lado los positivos por otro los valores absolutos de los negativos y se restan los resultados
Ejemplo -7 + 5 - 9 + 3 + 10 - 4 = (5 + 3 + 10) - (7 + 9 + 4) = 18 - 20 = t3J
~Efectuacutea las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una
a) 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 - 10 =
b) -12 + 8 - 12 - 7 - 7 =
e) - 5 - 5 + 15 - 20 + 2 - 3 =
~Efectuacutea las siguientes operaciones agrupando primero los nuacutemeros de igual signo
a) 100 - 200 + 300 - 400 - 500 =
b) 3 + 6 - 9 - 8 - 7 + 3 - 2 =
e) - 20 + 50 - 40 + 70 - 90 - 10 =
E I~JJ-a~rtltlordmgtJ~~It~1Qc~gt-~~~~~_-_ ~~ ~_-_~~ ~ ~
Realiza la siguiente operacioacuten -7 + (5 - 9) - (3 + 10)
Primero se efectuacutean las operaciones que se encuentran dentro de los pareacutentesis A continuacioacuten se opera de izquierda a derecha o agrupando los nuacutemeros de igual signo
-7 + (5 - 9) - (3 + 10) = -7 + (- 4) - (+ 13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
Calcula el resultado de las siguientes operaciones
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20 + (7 - 10) - 6 =
e) (15 - 25) + (8 + 8) - (6 + 9) =
d) -(3 + 3 -9) + (8 - 17) - (13 - 7) =
e) (12 + 12 - 11 ) - 2 - (3 + 7 - 17) =
- 41-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Coacutemo se multiplican dos nuacutemeros enteros
o El resultado obtenido tiene signo
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 4 x 5 = 20 -2 x (-3) = 6
Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 4x (-5) = -20 -2 x 3 = -6
bull Resuelve las siguientes multiplicaciones de nuacutemeros enteros
a) -13 x (- 2)
b) -20 xl =
e) 3 x (-10) =
d) 5x4 =
=
Halla el resultado de las siguientes operaciones
a) -13 x (-1) =
b) -3 x (-1) =
e) 5 x (-6) =
f) -5 x (-8) =
g) -30 x 3 =
h) -1 x (-1) =
e) (-54) x (-1) =
d) (-14) x (-1) =
Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes expresiones
a) -3 x D = 15
b) D x6 = -54
e) DX2 = -14
d) D x (-4) = -16
el -7xD = 35
f) D x (-10) = 10
g) -1 xD = 5
h) D x (-10) = -50
i) 8xD = -24
j) D x 1 = -19
Decide si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas
a) -2 x (-7) = -14 d) 5 x 4 = -20
b) -4 x -9 = 36 e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10) = -30 f) -1 x (-1) = 1
~ - -----=--Z - -
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
--
0
Coacutemo se dividen dos nuacutemeros enteros
Se dividen sus valores absolutos
Positivo si los dos son positivos o los dos son negativos Ejemplos 14 2 = 6 -22 (-11) = 2
o El resultado obtenido tiene signo Negativo si uno es positivo y otro negativo Ejemplos 40 (-5) = -8 -21 3 = -7
Resuelve las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) -12 (- 2) =
b) 2=-4
e) 18 (- 6) =
d) -28 = -4
e) -20 1 =
f) -80 = 40
O) Averigua el nuacutemero que falta en las slguientes igualdades
a) D (-1) = -16 e) D (-1) = 37
b) --D = -34 d) --D =-8 -1 -1
bull Averigua queacute nuacutemero falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de nuacutemeros enteros
a) 15 D -3 d) D 6 = -9
12 e) D =-4b) D =-4 -2
e) D (-4) = 5 f) 35 D =-7
elgt Contesta a las siguientes preguntas
a) iquestEntre queacute nuacutemero hay que dividir -50 para obtener de cociente -5
b) iquestQueacute nuacutemero hay que dividir entre -7 para obtener -37
e) El divisor es 3 el cociente - 3 iquestcuaacutel es el dividendo si el resto es 07
bull Justifica por queacute las siguientes igualdades son falsas
a -12 (-2) = - 6
b) -20 10 = 2
e) 18 (- 6) = 3
-43shy
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bull bull
---------------------
-
Operaciones combinadas con nuacutemeros enteros
bull PARA EMPEZAR
En queacute orden se realizan las operaciones con nuacutemeros enteros
reso opera as nuacutemeros enteros se debe seguir este orden -21 (-3 - 4) -8 =
0 Se resuelven los pareacutentesis = -21 (- 7) - 8 =
o Se calculan los productos y cocientes
o Se realizan las sumas y restas
bull Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros q~e intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
gta) 3 + 4 2 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5
b) -6 3 + 2 =
e) 9 - 3 3 =
d) 12 (-7 + 3) =
e) -8 - 6 x 2 =
t) (-10 + 6) 2 =
8 Subraya en cada caso la operacioacuten que tiene preferencia y los nuacutemeros que intervienen en ella despueacutes halla el resultado resolviendo solo una operacioacuten en cada paso
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3 + 6 =
e) 3 + 4 x 6 3 =
d) 2 (7 - 5) x 4 =
e) (12 2) (-6) + 8 =
- tiexcl1-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
e Efectuacutea las siguientes operaciones
a) 2 - (3 - 7) + 24 =
b) -10X(7 - 20) - 6 =
e) (25 25) + (7 - 8) =
d) -36 (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18) =
f) 20 - 10 (13 + 7 - 18) =
Efectuacutea las siguientes operaciones
a) (6 + 4) (2 + 3) =
b) (-6 3) x (1 + 1) =
el 3 x (9 - 3) 3 =
d) (-9 + 1) (2x4) =
e) -1 - 4 x 4 2 =
f) 5x(-10 + 6)2 =
g) 5 x (-10) + 6 2
-45shy
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
raciones combinadas con rluacutemeros enteros
paso se r va es que se Ilr~Ilnnlt tienen igual preferencia se realiza primero la que se encuentra maacutes a la izquierda
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] (-3) - (3 x 3) = 6 x [(- 5) x (-2)] (-3) - 9 = 6 x 10 (-3) - 9 = = 60 (-3) - 9 = -20 - 9 = 1-291
bull Calcula
a) 8 x [- 5 x (-2 + 4) - (5 - 3)] (-4) =
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)] + 6 x (-4) =
e) (8 - 14) [(7 -12) + (15 - 12] x7 =
d) [-17 + (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)] =
Realiza las siguientes operaciones
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) (-3) =
b) 12 - 2 x 6 + 2 - 5 x (-6) (-3) =
e) -2 2 x (1 - 7) (-2) (-3) =
d) (- 2 + 10) x 3 6 x (-2) - 3 =
e) (18 - 8) - (5 - 9) + 3 x (-3) =
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Porcentajes
11 PROPORCIONALIDAD)
PARA EMPEZAR
Queacute es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes
a) El 45 oto de los nintildeos tiene caries
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJobull
___
e) De las personas que hay en la Tierra el 52 oto son mujeres
e En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire estaacuten formados por 75 litros de nitroacutegeno 21 litros de oxIgeno 2 litros de dioacutexido de carbono 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases iquestQueacute tanto por ciento hay de estos gases
gta) Nitroacutegeno = 75 OJo el Dioacutexido de carbono = e e
b) Oxiacutegeno = d) Vapor de agua =
e De las 100 personas que fuimos de excursioacuten 36 eacuteramos de mi barrio
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto 10 son menores de 10 antildeos 30 tienen entre 10 y 20 antildeos 40 tienen entre 20 y 30 antildeos y el resto son mayores de 30 antildeos
a) Los aficionados menores de 10 antildeos son el 0Al
b) Los aficionados entre 10 Y20 antildeos son el oto
e) Los aficionados entre 20 y 30 antildeos son el oto
d) Los aficionados mayores de 30 antildeos son el oto
-- 4~---- - -------- shy
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bull bull
~ Coacutemo se escriben los porcentajes
Como porcentaje Como fraccioacuten decimal Como nuacutemero decimal
El 30 oro se puede escribir como fraccioacuten decimal 130~ ycomo nuacutemero decimal 030
- bull Escribe primero en forma de fraccioacuten decimal y despueacutes en forma de nuacutemero decimal cada uno de los siguientes porcentajes
12120r0=-=012 e) 15 oro =gta) 100
ee
b) 20 = f) sooro =
e) 100 oro = g) 75 =
d) 25 = h) 40 oro =
bull Los siguientes nuacutemeros decimales expreacutesalos primero en forma de fraccioacuten decimal y posteriormente en forma de porcentaje
al 024 =
b) 045 =
el 001 =
d) 064 =
( Completa la siguiente tabla
e) 004 =
f) 06 =
g) 016 =
h) 08 =
41 OJo
90 100
008
18
6 100
036
-4~-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fraccioacuten decimal equivalente al porcentaje por la cantidad 17 17 x 150 2550 ~
17 OJo de 150 = 100 x 150 = 100 = ----roo = ~
Se multiplica el nuacutemero decimal equivalente al porcentaje por la cantidad
Ejemplo 17 OJo de 150 = 017 x 150 = 12551
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fraccioacuten decimal equivalente
gtal 9 OJo de 1250
-ordf- 1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125 ~ 100 x 100 100 bull
b) 56 OJo de 34
el 19 OJo de 250
dl 6 OJo de 3004
el 100 OJo de 9876
tJ 12 OJo de 524
g) 89 OJo de 89
h) 43 OJo de 2401
bull Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el nuacutemero decimal equivalente
gta) 20 OJo de 250 bull - 020 x 250 = 50
b) 80 OJo de 250
e 50 OJo de 500
d) 7 OJo de 3
ellO OJo de 8
tJ 40 OJo de 250
g 98 010 de 89
h) 45 OJo de 240
i 26 OJo de 10
j) 7 0Al de 5
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 antildeos iquestQueacute tanto por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 antildeos
Me he gastado el 7 010 de los 123 euros que teniacutea en la hucha iquestQueacute porcentaje de los ahorros que teniacutea quedan auacuten en la hucha
bull El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0Agt del que tiene en la Tierra Sabiendo que un astronauta con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra calcula cuaacutento pesaraacute en la Luna
bull El 36 OJo de los animales de un zooloacutegico son africanos el 25 010 son asiaacuteticos el 20 OJo son americanos el 15 OJo son europeos y el resto de Oceaniacutea
a) iquestQueacute porcentaje representan los animales de Oceaniacutea
b) Si hay 900 animales en el zooloacutegico iquestcuaacutentos hay de cada continente
bull De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto el 25 OJo son mujeres De todas ellas el 21 OJo son menores de 20 antildeos
a) iquestCuaacutentas mujeres habiacutea viendo el partido de baloncesto
b) iquestCuaacutentas de las mujeres eran menores de 20 antildeos
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Queacute es una ecuacioacuten
Ecuacioacuten es una igualdad que contiene nuacutemeros letras y operaciones las letras se llaman incoacutegnitas
Solucioacuten de una ecuacioacuten es el nuacutemero que sustituido por la letra convierte la ecuacioacuten en una igualdad numeacuterica
Ejemplo la igualdad x + 4 = 7 es una ecuacioacuten
Si sustituimos la letra x por el nuacutemero 3 resulta una igualdad numeacuterica 3 + 4 = 7
Al nuacutemero 3 se le llama solucioacuten de la ecuacioacuten
bull De las siguientes igualdades iquestcuaacuteles son ecuaciones
a) 8 5 + 3 = 43 I e) 2middot m + 4 = m - 1
b) 12 - 3 b = 6 d) 5 + 4 7 = 3 9 + 6
iquestCuaacutentas incoacutegnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones
a) 3 m + 4 - n + 9 = 7 m-S
b) 8 r - 2 + 5middot r = r + 12
c) 2 bull s + 4 - s = 3 x-S + 14
d) x - 4 + x = 23 - x
De los nuacutemeros 12345 comprueba cuaacutel de ellos es solucioacuten de la ecuacioacuten 3 x + 7 = 19
bull Averigua si el nuacutemero 5 es solucioacuten de alguna de las siguientes ecuaciones
al t + 8 = 14
b) 31 - 2 s = 21
e) 2 x + 6 = 3 bull x + 1
d) 4 a 7 = 8 + a
e) b 5 + 9 = 2 b
-51shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
Coacutemo se resuelve una ecuacioacuten
a Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los teacuterminos que tienen x yen el segundo miembro los que no la tienen
o Se aplica la regla del -producto para aislar o despejar el valor de la incoacutegnitabull
bull 0 Se opera y se obtiene la solucioacutenbull
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
4x - 5 = 2x + 11
4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
4x - 2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = 6
2x 16 -=shy2 2
d) - 2x - 9 = 5 - 3x - 6al 2x + 14 = x + 22
b) 5x + 6 = 4x - 2 el 8x - 6 = 4 + 9x - 2x
el -7 = 10 - x-s f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1 + 6x
-52 shy
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bull Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 5x - 2 = 2x + 7
b) 4x + 5 - 1 = 2x
e) 9 + 3x = 13 + 4x
d) 7x + 4 = 3x + 9 - 1
e) 2 + 3x - x = 5x + 5
t) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3
g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5
h) 11 - 3x + 9 = 6x 10 - 4x
i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x
j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11
- 53shy
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
~ Queacute es una proporcioacuten numeacuterica
proP~~~i6~~slaigUald~d entred~~razonesmiddot ~ iexcl J~~iJl-e~etVllaquoJ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotPJ ~ft~Q
E I L 3 9 ~ bull 3 9 6jemp o as razones 5 y 15 orman una proporclOn ya que 5 = 06 Y15 = 0
9En la proporcioacuten ~ = 15 los teacuterminos 3 y 15 se llaman extremos y los teacuterminos 5 y 9 se llaman medios
bull En cualquier proporcioacuten se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios
Ejemplo En la proporcioacuten ~ = ~ se cumple que x = [sectJ x rnJ
bull Determina si las siguientes razones forman una proporcioacuten o no
11 21 a -yshy3 4
2 6 b iexclY21
) 52 12 e -yshy13 3
2 3d) -yshy
3 2
bull Sentildeala cuaacuteles de las siguientes parejas de nuacutemeros forman una proporcioacuten con 3 y 5
a) 6 Y 10 b By 15
bull Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa
2 1al -=shy8 4
2 5b) -=shy3 6
el 290 = 638 5 11
d) = 125 8 25
-5~-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Coacutemo se calculan los teacuterminos de una proporcioacuten
~middot~~amiddot~I~~I~middotri~ieacute~i~~~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~~middot~~1middotp~~~~Ci6middot~~middotmiddotmiddotlitiexclIiexclamiddotmiddotmiddotmiddotiexcl~middot~~Pi~dadmiddot~~ductomiddotmiddotdemiddot extre~os =middotmiddotp~d~~middotct~~middot~middot~~~imiddot~~middotmiddotmiddot~middot tEjemplo calcula el teacutermino n de la proporcioacuten ~ = 2
1deg Se multiplican los extremos 50 x n
r Se multiplican los medios 4 x 25 = 100
JO Se igualan los productos 50 x n = 100
4deg Se calcula n 50 x n = 50 x 2 In = 2 I
bull Calcula el teacutermino desconocido de las siguientes proporciones
5 15al -=shy3 n
n 1b) -=shy24 2
e) 5 =_n 10 24
d) z = ~ n 8
3 5e) -=shy6 n
t) ~ = 12 10 8
12 n g) 15 = 5
h) B = 10 5
Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla utilizando en todas las proporciones una razoacuten donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor
gta) Primera proporcioacuten e) Tercera proporcioacuten
bull ~
1 159 = - 1 x n 9 x 15 n =
b) Segunda proporcioacuten d) Cuarta proporcioacuten
-55shy
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
= Queacute son magnitudes directamente proporcionales
OOacuteSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale~slas~zci~h~~~t~~~a~~~~r~ja de valores correspondientes dan ~ el mismo cociente que se llama razoacuten de proporcionalidad
-
~middotEjemplo La siguiente tabla muestra la relacioacuten entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante
~eacute~ bull iexcliempOefJIplea~plenhoacuteFismiddot 2 3 4 5
EacutespaciorecorricJo (enkHoacuternetros) 4 8 12 16 20 r - __ o _- _ - _ _
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que 1 2 3 4 5
- 4= 8 =12 16 =20=025
La razoacuten de proporcionalidad es 025
bull Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no
a) ESpaCiorecorrioo(en nIetros) Tiempo empleado(enmiputos
100
5
200 300
10 15
400
20
b) N~rT1e~() bull ~~ tra bajad6tes )bull bull r lt
Tierl1poempleado erirealizar un trabajo (e~horas)
2
18
4
9
6
4
8
2
_ -__ __ c _ Canticlad demanianas (enmiddot kilogramos)middotc) 1 2 3 4
5 7 9
bull Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razoacuten de proporcionalidad en cada caso
a) 17- - ~gt -shybull-----r--------------------
Nuacutemeroacutede tartas 2 7
Razoacuten = 16 20 40
500 Razoacuten =
12 32
-56shy
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Cuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales
iexclDos~~~~i1~des sondirecbriellte propo~~ioales sr J Al aumentar una de ellas al doble triple la otra aumenta al doble triple
Al reducir una de ellas a la mitad la tercera parte la otra se reduce a la mitaacuted la tercera parte
Ejemplo El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado se duplica o triplica el espacio recorrido
IIlxn X3 t x 5
TiempOacuteen1plea(Iacuteo(enhoras) 1 2 3 4 5 4 12 16 208
1 ILJ
x 2 x 3
t x 5
r
bull De los siguientes pares de magnitudes di cuaacuteles son directamente proporcionales y cuaacuteles no
al El nuacutemero de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan
b) El nuacutemero de horas trabajadas y el salario que se obtiene
e) La cantidad de albantildeiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla
bull Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales
al Nuacutemero de horas trabajadas 251 2 4 10 15 205 8
Euros recibidos por el trabajo 10
b) NUacutelJlero dekilogriexcliexclmosmiddotmiddotgt
5 750 1250 20 25 3750 50 100
el 37S 120 210 450
2 5 10 20
1 2 50 100 500
012 20 720 15 90
-5+shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
Coacutemo se representan puntos en un solo cuadrante
= sectf~~o Se dibujan dos rectas perpendiculares una horizontal y otra vertical _ltm que se llaman ejes de coordenadas -- X20 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O
=iexcll- Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad por ejemplo el lado de la _ ~~~ shy cuadricula
~tt~ ~J~~ ~ f)
~ ~~~
_ ~ i
~ -4deg Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre -~~n pareacutentesis y separadas por una coma
~~
~~ ~ X-fjemplo Para representar el punto A de coordenadas (6 5) se cuentan iy~
j - g~~ ~
seis cuadriculas sobre el eje horizontal y despueacutes cinco sobre el vertical
f~~iexcl 0
=th~~ ~middoti~~iexcl~i80l~ampiBi~it~~2l~)~iexcl1middotH~~Jsiquest~1~Eacute~1~mittJ~ic~ampf2~~t~~~~~[euromiddotriJ$~~f~~f~fi~i~ifStin~iquestH(ff~~~diSmiddot7~~~~~~~E~zjampij~ bull Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadriacutecula
I I I I I I
I1 -shy I I I I
I I~
~ I G I-shy~
I I I II
iexcl-3 I I a I o I I I ~2-r~~Tll-i I I I
I ~EL Ir= J I i Ili
~ I
I2 3 4 sect ~ il I I I I
bull Determina las coordenadas de los puntos sentildealados en esta cuadriacutecula
bull Representa en la cuadriacutecula los puntos siguientes E(3 30) F(2 20) G(5 70) H(6 80)
-58shy
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Coacutemo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano
pu se representa en e I o eje de abscisas de forma que los nuacutemeros positivos se
n rcn+ a la derecha del origen y los negativos a la izquierda
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje o eje de ordenadas situaacutendose los nuacutemeros positivos por
ncima del origen y los negativos por debajo
El punto A(-3 6) se encuentra tres unidades a la izquierda del origen y seis unidades por encima
El punto 8(-4 -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen
bull Representa sobre esta cuadriacute~la los siguientes puntos dados P9r sus coordenadas
A(l3) 8(52) C(-23) D(-4l)
E(-l -3) F(-3 -4) 6(2 -1) H(3 -2) I
I I
I o
I
I
1=
iacuteI
I iexcl I
i
i
I I I
bull Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura
8 )
C(OO) 6(00)
i shy
I IBI
Inl A i I 1 I - I
I I Lo i
shy I 1 I J
~
I I o lo I i ~ r iexclji I
r--~ I 11amr1 iFI i~ 1 I 1 I I l 1
1
-$1shy
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Coacutemo se clasifican los aacutengulos i~~i~nguloS se claacutesifican seguacuten su amplitud en
Agudos Rectos Obtusos llanos
Miden menos de 90deg Miden 90deg Miden maacutes de 90deg Miden 180deg
ltiertas parejas de aacutengulos reciben nombres especiales
Aacutengulos complementarios Aacutengulos suplementarios
Suman 90deg Suman 180deg
bull Clasifica estos aacutengulos completando la tabla
A
amp 50 0
CE
aL Fiquest
G
D
1~
~H
bull Comprueba cuaacuteles de estas parejas de aacutengulos son complementarios y cuaacuteles son suplementarios
bull iquestCuaacutento tiene que medir un aacutengulo para ser complementario de otro que mida 59deg iquestY para ser suplementario de otro que mida 133deg
-60shy
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Queacute son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro aacutengulos rectos (90deg)
De las siguientes rectas iquestcuaacuteles son secantes iquestCuaacuteles de las parejas de rectas secantes son perpendiculares
dy e
b e
bull Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r Una tiene que pasar por el punto A y la otra por el punto B
8bull
Abull
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
al Dos rectas que al cortarse forman dos aacutengulos de 50deg son perpendiculares
b) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 72deg no son perpendicularesbull
c) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 90deg no son perpendiculares
d) Dos rectas que al cortarse forman un aacutengulo de 120deg son perpendicularesbullbull
bull En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad Sentildeala cuaacuteles de ellas son perpendiculares
-61shy
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
11 POUGONOS )
Triaacutengulos
PARA EMPEZAR
Queacute es una liacutenea poligonal y queacute es un triaacutengulo
bull Una liacutenea poligonal estaacute formada por varios segmentos unidos las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas
E
F
A
c~--------------
B
C~----------------4D
En la liacutenea poligonal abierta el final En la liacutenea poligonal cerrada el final del uacuteltimo segmento no coincide con del uacuteltimo segmento coincide con el principio del primero el principio del primero
bull Un triaacutengulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados lados
iquestCuaacuteles de las siguientes figuras son liacuteneas poligonales iquestCuaacuteles son abiertas y cuaacuteles son cerradas o FEU bull iquestCuaacuteles de estas figuras son triaacutengulos
B
B
F
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
~---~-~-----------------
El PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los triaacutengulos
bull Seguacuten sus lados los triaacutengulos pueden ser
Equilaacuteteros Isoacutesceles Escalenos
Amiddotmiddot bull bullbull ~ Tienen los tres TIenen dos Tienen los tres lados iguales lados iguales lados distintos
bull Seguacuten sus aacutengulos los triaacutengulos pueden ser
Acutaacutengulos Rectaacutengulos Obtusaacutengulos
Tienen los tres Tienen un Tienen un aacutengulos agudos aacutengulo recto aacutengulo obtuso
Clasifica estos triaacutengulos seguacuten la medida de sus lados
D B (j300
12 cm 12 cm
7575deg 4cm
A B C _ D __
o iquestCoacutemo clasificariacuteas los triaacutengulos de la actividad anterior seguacuten la medida de sus aacutengulos
A __ B _ C D
le Completa esta tabla dibujando si es posible el triaacutengulo correspondiente en cada hueco
Equilaacutetero Isoacutesceles Escaleno
Acutaacutengulo
I
Rectaacutengulo
shy - lt
ObtusaacutengiJlo --
-
-63shy
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bull bull bull
Poliacutegonos Cuadrilaacuteteros
bull PARA EMPEZAR
Queacute es un poliacutegono
elementos de un poliacutegono son
bull Lado segmento de la liacutenea poligonal bull Veacutertice punto en el que se cortan dos lados bull Aacutengulo zona comprendida entre dos lados consecutivos bull Diagonal recta que une dos veacutertices no consecutivos
bull Dibuja un poliacutegono de cinco lados Sentildeala sus veacutertices sus lados y sus diagonales iquestCuaacutentos aacutengulos tiene
bull Dados los siguientes poliacutegonos completa la tabla
gt e o A 4 4 4 2
e
o
bull Dibuja las diagonales de estos dos poliacutegonos iquestQueacute observas
- 61shy
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Queacute es un cuadrilaacutetero
bull iquestCuaacuteles de estas figuras son cuadrilaacuteteros
e B F
Dibuja un cuadrilaacutetero y sentildeala uno de sus veacutertices uno de sus lados y uno de sus aacutengulos
Observa estos cuadrilaacuteteros y fiacutejate en sus formas Sentildeala los que tengan los cuatro lados iguales y los que tengan los cuatro aacutengulos iguales
A E F
G J K L
lados iguales ___ Aacutengulos iguales ___
G Con ayuda de una regla y un transportador de aacutengulos calcula el valor de los aacutengulos y la longitud de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilaacutetero
Aacutengulo a = Aacutengulo ~ = Aacutengulo Y = Aacutengulo 3 =
lado AB = lado BC = lado CD = ___ lado DA =
Diagonal AC = Diagonal BD =
--_--shy
-65shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
Coacutemo se clasifican los cuadrilaacuteteros
Trapecios
Tienen dos pares de Tienen un par de No tienen ninguacuten lado lados paralelos lados paralelos paralelo a otro
paralelogramos pueden ser a su vez de cuatro tipos
Cuadrados Rectaacutengulos Rombos Romboides
Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos Tienen cuatro lados Tienen lados paralelos iguales y cuatro iguales y cuatro iguales y aacutengulos iguales iguales y aacutengulos iguales aacutengulos iguales aacutengulos iguales dos a dos dos a dos
ce Fiacutejate en los lados paralelos de cada figura e indica queacute tipo de cuadrilaacutetero es
B F
e
A _____________ c _~_______ E ____~
B bull_____ o ___________ F _bullbull___
- Dados los siguientes cuadrilaacuteteros sentildeala los que son paralelogramos e indica de queacute tipo son
D e
e iquestLos cuadrados son rombos iquestLos rombos son cuadrados
~~ _~ _ _ bullbullbull_ ___ _ ___ _ _ _ _ _ _Hbullbullbullbullbullbullbullbullbull_bullbullbullbull
~ ~_ __ __u_ _~ ___~ ____
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
El ciacuterculo y la circunferencia
bull PARA EMPEZAR
Queacute es una circunferencia y cuaacuteles son sus elementos
elementos de una circunferencia son
bull Centro bull Cuerda segmento que une dos puntos de la circunferencia bull Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos bull Radio segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos bull Diaacutemetro cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
I diaacutemetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias
En la siguiente circunferencia dibuja un radio un diaacutemetro una cuerda y un arco shy
6) iquestCuaacuteles de los siguientes
objetos podriacutea considerarse una circunferencia
Aro de baloncesto Moneda de euro Anillo Parehe de tambor Plato
iquestA queacute elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases
al Es la mitad del diaacutemetro
b) Donde se cruzan todos los diaacutemetros__
c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar
d) Al trazar un diaacutemetro se forman dos__
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
Coacutemo se calcula la longitud de la circunferencia
~ 1t=314
el diaacutemetro es el doble del radio se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresioacuten~
~ L Ld = 2r = 1t =gt L = 2 bull 1t bull r~ J9
ttmfYIUmiddot La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es L= 2 1t r= 2 314 25 =gt L = 1-57-c-m ~ bullbull Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden - a) 15 m b) 27 cm ~ ~ --f bull Calcula el diaacutemetro de las circunferencias del ejercicio anterior y comprueba que el cocienteentre la longitud y dicho diaacutemetro mide lo mismo en ambas --t a) b) f - (8 La longitud de una circunferencia es de 40 cm Halla su radio --- ~ La rueda de una bicicleta tiene un diaacutemetro de 60 cm iquestQueacute longitud recorre en una vuelta iquestYen tres
vueltas ~
-63 shy-r------------------ -- shy
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
SiacuteST6-t1AS
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 longitud se multiplica o se divide ~~~~~ sucesivamente por 10 bull J_gt bullbullkrri ~middotgt~m middotmiddotJmiddotdaacutemmiddot~ m dmiddotmiddot middot_~cm1mmJ +1 J _ _0 _~i n I
~~F~~~W W W W W W
Para poder comparar distintas longitudes se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros por ejemplo
356 hm = 35600 m y 3351 dam = 33 510 m
Asiacute se puede ver que 1356 hm gt 3351 dam I
Completa estas tablas
b) bull ) a)
a 9
lO
km hm dam middotmiddotm
21 210 2100 21000
178
4567
m mm
11
645
2398
bull Expresa en metros cada una de estas longitudes
a) 7 km = d) 6000 mm =
b) 850 dm = e) 136 hm =
e) 200 cm f) 09 dam =
bull Completa estas igualdades
a) 12 km = _ hm d) 4 d m = 40
b) 85 dam 85000 e) 65 = 6500 m
e) 97 m = m km f) 4679 cm = _ hm
bull Observa el ejemplo y expresa en centiacutemetros las cantidades de los demaacutes apartadosgta) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm + 3000 cm + 500 cm = 83500 cm lO
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 02 m 1 dm 7 cm 40 mm =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes a) 241 hm 2435 m 32987 mm b) 56534 cm 31 243 mm 12 dam
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
~ Coacutemo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 capacidad se multiplica o se ~~~~~~ divide sucesivamente por 10 ~(~~IacuteJ~I~middot~(~rImiddot~~~~middotfiexcllmiddot ~~i2~~fo)i~f~~Z ~fd~~~l~1 ~J~f01riexclfJ(tiJtkMWiexcli
- ~ IIC - - r4-10 10 10 10 10 10
Para poder comparar distintas capacidades se deben pasar a la misma unidad
Ejemplo Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros por ejemplo
1325 dl = 1325l Y 12 dal = 120 l
Asiacute se puede ver que 11325 dl gt 12 dall
Completa estas tablas
gtal kL bullbullbull 45 45 450 4500
897
31
b)
96
341
987
bull Expresa en litros cada una de estas capacidades
al12kl= d) 500 el =
bl 730 dl = e) 37 dal =
el 84 hl = f) 4500 ml =
bull Completa estas igualdades
a) 53 kl = dal d) 26S = 26500 l
b) 0384 hl dl e) hl = 1740 dl
e) 6 dl 600 f) 4632 el = - dal
bull Completa esta tabla
bull bullbull bull
gt bull 48326 ml
745624 el
kC
84 kl
hl
iexcl l
5 hl
middotdaL l Imiddotmiddotmiddotdlmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot SL i ~
4 dal 8 l 3 dl 2 el 6 ml
3 dal 6 l
4 el
bull Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades 23986 daL 76215 L Y 14 kL
-7-0shy
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
bullbull
xW xW
10
x10 x10 ~
lit PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa xW xW xW xW se multiplica o se divide ~~~~~~ sucesivamente por 10 ~~~II ~t~v~~~ro~41~~~ ~1~~~ ~Z~)Xl
- - - - JC 10 10 10 10
Para poder comparar distintas masas se deben pasar a la misma unidad
EjemplQ Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos por ejemplo
2 kg = 2000 9 Y 15432 dg = 15432 9
Asiacute se puede ver que 12 kg gt 15432 dg I
bull Completa estas tablas
gta) 3 30
73
300 3000
40
b)
750
76
975
bull Expresa en gramos cada una de estas masas
a) 83 kg = d) 520 dg =
b) 8600 mg = e) 6 hg =
el 32 dag = f) 745 cg =
bull Completa estas igualdades
a) 45 kg = t d) 236 9 = hg
b) 0384 hg = _ dg e) 762 = 76200 9
e) 52 9 = __ mg f) m q = 16530 mag
bull Observa el ejemplo y completa el resto
gta) 7845 9 = 7000 9 + 800 9 + 40 9 + 5 9 = 7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9
el 4352 9 =
bull Ordena de mayor a menor las siguientes masas 47821 dg 67834 hg y 58 q
-7shy
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Unidades de superficie
- bull PARA EMPEZAR
Queacute es el aacuterea de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m2)
unidades maacutes grandes que el metro cuadrado kiloacutemetro cuadrado (km2) lectoacutemctro cuadrado (hm2) decaacutemetro cuadrado (dam2)
mbieacuten hay unidades maacutes pequentildeas que el metro cuadrado deciacutemetro cuadrado (dm2) centiacutemetro cuadrado (cm2) iliacutemetro cuadrado (mm2
)
Submuacuteltiplos
Indica cuaacuteles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie
__ a) Distancia entre dos ciudades _ d) Tamantildeo de un frigoriacutefico __m
b) largo de una carretera _______ e) Ancho de un puente
e) Superficie de una casa _ t) largo de un boliacutegrafo
Indica queacute unidad de medida utilizariacuteas para expresar la superficie de
Cocina Centiacutemetros cuadrados
Alfiler Kiloacutemetros cuadrados
Posavasos Metros cuadrados
Provincia de Sevilla Deciacutemetros cuadrados
Casa de muntildeecas Miliacutemetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor aacuterea
Rodea con un ciacuterculo cuaacutel de las siguientes cantidades es mayor en cada caso
a) 43 deciacutemetros cuadrados o 43 decaacutemetros cuadrados
b) 215 hectoacutemetros cuadrados o 215 metros cuadrados
e) 658 kiloacutemetros cuadrados o 658 centiacutemetros cuadrados
d) 9194 miliacutemetros cuadrados o 9194 decaacutemetros cuadrados
-12shy
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
PARA AVANZAR
Coacutemo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie se deben pasar a la misma unidad 2
gtTlnlmiddot Para comparar 6 dam2 y 34781 cm se pasan las dos medidas a metros cuadrados por ejemplo 2 2 26 dam2 = 600 m y 34781 cm = 34781 m
16 dam2 gt 34781 cm2 1
Completa estas tablas
gta) b) e e e dege 064 64
2
6400 640000
8543 083
34586
18965
Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie
a) 5 km2 = d) 8000 dm2 =
b) 72 hm2 = e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam2 = f) 12000000 mm2 =
Completa estas 19ualdades
a) 68 hm2 = dam2 d) 0008 = 800000 mm2
b) 56400 cm 2 = 564 e) 6500 m2 = 065
e) dm2 = 4 hm2 f) km 2 = 290 hm2
Observa el ejemplo y completa el resto
2 2 2 2gta) 6 hm2 23 dam2 31 m = 60000 m + 2 300 m2 ++ 31 m = 62331 me
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm2 = _ = mm 2
e) 53 km2 9 hm2 4 dam2 = = m2
bull Ordena de mayor a menor las siguientes superficies 21 441 km2 342765 dam2 y 542987 m2
bull
-~p-~--------------------------~------
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
Periacutemetros y aacutereas
_ bull PARA EMPEZAR
~ Queacute es el periacutemetro de un poliacutegono
ternlmo El periacutemetro del poliacutegono de la figura es
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
bull Calcula el periacutemetro de estos poliacutegonos
b)al
Periacutemetro Periacutemetro
Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida Averigua cuaacutento mide el periacutemetro de la figura
AB= CD=
BC= DA=
Periacutemetro
En los poliacutegonos regulares todos los lados miden lo mismo Calcula el periacutemetro de
gta) Un triaacutengulo equilaacutetero de lado 7 cm cl Un pentaacutegono regular de lado 11 cm ~ Periacutemetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm dl Un hexaacutegono regular de lado 94 cm
iquestCuaacutento mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un periacutemetro de 50 metros
10m
18m
-71shy
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
un es producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad Aacuterea =base x altura
El aacuterea de un cuadrado es el producto del lado por siacute mismo Aacuterea =lado x lado es decir el cuadrado del lado
Coacutemo se calcula el aacuterea de un rectaacutengulo el aacuterea de un cuadrado
bull Halla el aacuterea de las siguientes figuras
Aacuterea = 8 X 8 = 64 cm2 elgtal
176 cm
bullbull bullbullbullbullbull- b) d
dm
Indica cuaacutel de las siguientes cantidades es el aacuterea de este rectaacutengulo
bull iquestQueacute poliacutegono tiene mayor aacuterea un cuadrado de 25 cm de lado o un rectaacutengulo de 26 cm de base y 24 cm de altura
Un rectaacutengulo de base 73 cm tiene un aacuterea de 1752 cm2bull iquestCuaacutento mide su altura
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
-
- Coacutemo se calcula el aacuterea de un triaacutengulo
producto de su base por su altura das en la misma unidad A
base x altura rea =---------shy2
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
e)al
14m23 cm
b) d)cm
Completa la tabla a partir de los datos del dibujo
A
B
e
6
Bm 6m
iquestEl aacuterea de un triaacutengulo depende de su posicioacuten N _N_bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullN bullbullbull N bullbull_
Un triaacutengulo mide 65 m de base y 24 dm de altura Halla su aacuterea en m2 y en dm2 bull
bull El aacuterea de un triaacutengulo es de 225 m2 y su base mide 25 m iquestCuaacutento mide la altura
-+6shy- - -------------shy
- 1eso130
- 1eso3138
- 1eso4076
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