cuadernillo de ingreso

Curso Introductorio

Facultad de Economía

Centro Universitario Concepción

Lic. Graciela Alvarez de Cardozo

Matemática – CUC Lic. Graciela Alvarez de Cardozo

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1

1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES


CONJUNTOS NUMÉRICOS

Antes de iniciar el estudio de los números reales haremos una breve revisión de los conjuntos

numéricos que lo componen, enumerando sus principales propiedades recordando cuáles son las

operaciones que están definidas en ellos y cuáles no.

Usaremos la letra ℝ para denotar el conjunto de los números reales.

El conjunto de los números naturales (ℕ )

{ }1,2,3,4,........, ,.....n=ℕ

Propiedades del Conjunto ℕ

1. ℕ es un conjunto infinito

2. Entre dos números naturales siempre existe un número finito de números naturales. Es

decir, ℕ es un conjunto discreto. Si a y b son números naturales, siendo a < b, entre a y b existen (b – a – 1) números

naturales.

3. ℕ tiene a 1 como primer elemento y no tiene último elemento.

4. Todo número natural tiene sucesor.

8 es el sucesor de 7

Si a y b son números naturales, a es el sucesor de b, si a – b = 1

5. Todo número natural, excepto el 1, tiene antecesor.

7 es el antecesor de 8

Si a y b son números naturales, a es el antecesor de b, si b – a = 1

6. Todo número natural y su sucesor se llaman consecutivos.

51 y 52 son consecutivos

Si a y b son números naturales tales que a < b , a y b son consecutivos si b – a = 1.

7. Ley de Tricotomía

Dado cualquier par de números naturales a y b, se verifica necesariamente una y solamente

una de las siguientes:

a < b ; a = b ó a > b

Así, se define en ℕ una relación de orden. En consecuencia, decimos que el conjunto de los

números naturales está totalmente ordenado por la relación menor o igual.

Representación de ℕ en la recta numérica

Para representar ℕ en la recta numérica elegimos un punto fijo O (origen) y un segmento

unitario.

O A B C

Observa! El “0” no es un número natural

1 2 3 4 5 6 7 8 9


_____________________________________________________________________________________________________

2

A cada número natural le corresponde un punto y sólo uno sobre la recta. Observemos en la

gráfica que existen infinitos puntos como A, B y C sobre la recta, a los que no corresponden números

naturales, es decir, los números naturales no completan la recta.

Por otra parte, por la ley de tricotomía, al representar los números naturales a y b en la recta

numérica, es necesario tener en cuenta que:

� Si a < b , entonces el punto correspondiente a “a” está a la izquierda del punto que

corresponde a “b” .

a b

� S a = b , entonces los puntos correspondientes a “ a” y a “b” coinciden.

a = b

� Si a > b , entonces el punto correspondiente a “a” está a la derecha del punto que

corresponde a “b”.

b a

El conjunto de los números enteros ( ℤ )

Para resolver los casos de imposibilidad de la sustracción en ℕ , el hombre creó los números enteros.

{ }......, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,........= − − − −ℤ

donde { }0 −= ∪ ∪ℤ ℕ ℕ

Siendo −ℕ el conjunto formado por los opuestos de los elementos de ℕ . Es decir que:

{ }1, 2, 3, 4,........− = − − − −ℕ

Recordemos que el 0 no es positivo ni negativo y que los naturales se llaman también enteros positivos.

En ℕ no es posible resolver 3 10− .

En ℤ si se puede resolver pues: 3 10 7− = − ∈ℤ

Propiedades del Conjunto ℤ

1. ℤ es un conjunto infinito. 2. Entre dos números enteros siempre existe un número finito de números enteros. Es decir, ℤ es

un conjunto discreto. Si a y b son números enteros, siendo a < b , entre a y b existen (b – a – 1) números enteros.

3. ℤ no tiene primer elemento y tampoco tiene último elemento.

4. ⊂ℕ ℤ . Todo número natural es entero, pero no todo número entero es natural.

5. El valor absoluto de un número entero a se representa a . Por definición es el propio número

a , si éste es positivo y es su opuesto, si este es negativo.


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3

7 7

7 7

7 7 7

=

− =

= − =

6. Todo número entero tiene un sucesor. 12 11

19 20

es el sucesor de

es el sucesor de− −

7. Un número entero y su sucesor se llaman consecutivos.

Si a y b son números enteros, a y b son consecutivos si 1b a− =

8. Todo número entero tiene antecesor.

Si a y b son números enteros, a es el antecesor de b si se verifica que 1b a− =

9. Ley de Tricotomía Dado cualquier par de números enteros a y b, se verifica necesariamente una y solamente una de

las siguientes:

a < b ; a = b ó a > b

Así, se define en ℤ una relación de orden. En consecuencia, decimos que el conjunto de los

números enteros está totalmente ordenado por la relación menor o igual.

Representación de ℤ en la recta numérica

Para representar ℤ en la recta numérica elegimos un punto fijo O (origen) y un segmento

unitario.

A O B C

Hacemos corresponder al origen O el número entero 0 (cero). Los números enteros positivos se

representan a la derecha del cero y los enteros negativos a la izquierda del cero.

A cada número entero le corresponde un punto y sólo uno sobre la recta, pero existen infinitos

puntos como A, B y C sobre la recta a los que no les corresponden números enteros, es decir, los

números enteros no completan la recta numérica.

El conjunto de los números racionales (ℚ )

Para resolver los casos de imposibilidad de la división en ℤ , se crearon los números racionales.

Son números racionales aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos números

enteros.

El conjunto de los números racionales se denota ℚ

/ 0p

p q qq

= ∧ ∈ ∧ ≠

ℚ ℤ

22 3 3 0

35

5 5 ; 5 1 1 01

porque y y

ya que y y

∈ ∈ ≠

−− ∈ − = − ∈ ≠

ℚ ℤ

ℚ ℤ

Propiedades del conjunto ℚ

1. ℚ es un conjunto infinito.

2. Entre dos números racionales existe siempre un número infinito de racionales; es decir, ℚ es un

conjunto denso.

Recuerda!!!! La división por 0 no

está definida

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7


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4

3. ℚ no tiene primero ni último elemento.

4. ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ . Todo número entero es racional, pero no todo número racional es entero.

5. Ningún número racional tiene sucesor ni antecesor.

6. Ley de tricotomía.

Si a c

yb d

∈ℚ entonces una y sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta:

; ;a c a c a c

b d b d b d< = >

ℚ es un conjunto totalmente ordenado por la relación ≤ .

7. Un número racional puede ser expresado mediante una fracción o en forma decimal; tanto una

como la otra designan exactamente el mismo número.

La expresión decimal de un número racional tiene un número finito de cifras decimales

significativas, o es periódica.

222,444...... 2,4

915

7,521

0,1666.... 0,166

= =

=

− = − = −

⌢

⌢

Representación de ℚ en la recta numérica

Para representar un número racional en la recta numérica se divide el segmento unidad en tantas

partes como indica el denominador la fracción que lo representa y se toma tantas como lo dice el

numerador.

- 3/ 2 1 / 2 7/ 4

A todo número racional le corresponde un punto sobre la recta, ¿corresponderá a cada punto de

la recta un número racional?

En otras palabras, ¿completa la recta el conjunto de los números racionales? La respuesta es no.

El conjunto de los números irracionales ( Ι ) Los números irracionales aparecen en la historia de la matemática vinculados a la geometría. Se

supone que las magnitudes inconmesurables fueron descubiertas por la Escuela Pitagórica en el siglo VI

A.C., al

tratar de resolver problemas tales como la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado o la

longitud de una circunferencia de diámetro igual a 1. Posteriormente, los matemáticos demostraron que

si la raíz enésima de un número entero positivo no es un número entero, entonces es un número

irracional. Es decir,

In nSi a y a a+∈ ∉ ⇒ ∈Z Z

−2 −1 0 1 2


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5

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

Así, 3 42 , 3 , 7 , 8 , 6 , 5,etc. Son números irracionales.

2 representa la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1.

π representa la longitud de una circunferencia de diámetro igual a 1.

2 21 1

2

H

H

= +

=

2

4

c c

c c

l d l

A R A

π πππ

= ⇒ =

= ⇒ =

Estos números no pueden representarse mediante una fracción y se denominan irracionales y

tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

52 1,414213..... 3,141592653..... 18 1,782602.....π= = =

Representación gráfica de los números irracionales

Los números irracionales en general no se pueden representar exactamente, ya que, aunque

conociéramos sus infinitas cifras, no podríamos subdividir infinitas veces la recta. En la práctica, es

suficiente representar sus valores aproximados.

Es posible, sin embargo, representar con exactitud algunos irracionales tales como 2 , 3 , 5,

etc. , cuya ubicación en la recta se puede hallar geométricamente tal como se ve en la siguiente figura:

2

3

Para ubicar en la récta el número n , consideramos

un triángulo rectángulo de catetos 1 1n y− , en el

que la hipotenusa se puede obtener por el Teorema de

Pitágoras : ( )221 1 1 1n n n− + = − + =

Con la ayuda de un compás lo situamos en la recta real .

En el siglo VII a.C. usaban el siguiente

algoritmo para calcular el área del

círculo:

“Tomar el diámetro. Restar la novena

parte. De esta diferencia nuevamente

la novena parte y restar de la anterior.

Multiplicar el resultado por el

diámetro”

¿Era un buen cálculo? Sigue los pasos

y comprueba.


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6

El conjunto de los números reales (ℝ )

El conjunto de los números reales se forma mediante la unión del conjunto de los números

racionales y el conjunto de los números irracionales.

I= ∪ℝ ℚ

Propiedades del conjunto ℝ

1. ℝ es un conjunto infinito

2. ℝ no tiene ni primer ni último elemento.

3. Es un conjunto totalmente ordenado: dados dos números reales distintos, siempre se puede

establecer entre ellos una relación de menor o mayor.

4. Ley de Tricotomía

Dado cualquier par de números reales a y b, se verifica necesariamente una y solamente una de

las siguientes:

a < b ; a = b ó a > b

5. Los números reales completan la recta numérica. Es decir, a todo número real le corresponde un

punto sobre la recta y a todo punto sobre la recta le corresponde un número real.

6. Entre dos números reales existen infinitos números reales, es decir, ℝ es un conjunto denso.

Como además completa la recta, decimos que ℝ es denso y continuo.

Todo lo expresado anteriormente acerca de los conjuntos numéricos se puede sintetizar en el

siguiente cuadro:

Enteros positivos (naturales)

Enteros Cero

Enteros negativos

Racionales

Decimales exactos

Cociente de dos enteros

Decimales periódicos

Números Reales

Irracionales (Infinitas cifras no periódicas)


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7

Axiomas de Campo

A continuación enunciaremos una serie de axiomas que se verifican en el conjunto de los

números reales.

Axioma 1: Propiedades de clausura

,.

a ba b

a b

+ ∈∀ ∈ ⇒ ∈

ℝℝ

ℝ

Axioma 2: Propiedades conmutativas de la adición y la multiplicación

,. .

a b b aa b

a b b a

+ = +∀ ∈ ⇒ =

ℝ

Axioma 3: Propiedades asociativas de la adición y la multiplicación

( ) ( )

( ) ( ), ,. . . .

a b c a b ca b c

a b c a b c

+ + = + +∀ ∈ ⇒ =ℝ

Axioma 4: Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición

( ), , ; . . .a b c a b c a b a c∀ ∈ + = +ℝ

Axioma 5: Existencia de elementos neutros

Existen dos números reales y distintos, el 0 y el 1, tales que a∀ ∈ℝ , se verifica que:

0

.1

a a

a a

+ ==

“0” recibe el nombre de neutro aditivo o idéntico

“1” recibe el nombre de neutro multiplicativo.

Axioma 6: Existencia de elementos inversos

( ) ( )) , / 0i a a a a∀ ∈ ∃ − ∈ + − =ℝ ℝ

a− se llama inverso aditivo u opuesto de a

1 11

) , 0, / . 1ii a con a a a aa

− −∀ ∈ ≠ ∃ = ∈ =ℝ ℝ

1a− se llama inverso multiplicativo o recíproco de a

Propiedades de la igualdad

1. Reflexiva: ,a a a∀ ∈ =ℝ

2. Simétrica: , ,a b Si a b b a∀ ∈ = ⇒ =ℝ

3. Transitiva: ( ), , ,a b c Si a b b c a c∀ ∈ = ∧ = ⇒ =ℝ

4. Uniforme de la adición: , , ,a b c Si a b a c b c∀ ∈ = ⇒ + = +ℝ

5. Uniforme de la multiplicación: , , , . .a b c Si a b a c b c∀ ∈ = ⇒ =ℝ


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8

Diferencia y cociente

a. i) Dados dos números reales cualesquiera “ a” y “b ”, si existe otro real “ x” tal que a x b+ = ,

este real “ x” se llama diferencia entre “b ” y “ a” y lo representamos como x b a= − .

ii) También se suele definir la diferencia entre “b ” y “ a” ∈ℝ como ( )b a b a− = + −

b. i) Dados dos números reales cualesquiera “ a” y “b ”, con 0b ≠ , si existe otro real “ x” tal

que .b x a= , este real “ x” se llama cociente entre “ a” y “b ”, y lo representamos como

ax

b= .

ii) También se suele definir el cociente entre “ a” y “b ”, con 0b ≠ como 1.

aa b

b−=

PARA RESOLVER

1) Escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso. Justifica tu respuesta.

a) –3 es un número natural

b) Todo número natural es entero.

c) Todo número entero es natural.

d) Los múltiplos de 11 son números enteros.

e) El inverso multiplicativo de todo número entero distinto de cero es un número entero.

f) Los números pares son racionales.

g) Los números impares son irracionales.

h) La raíz cuadrada de cinco es un número racional.

i) 2 . 2 es un número irracional.

j) A todo punto sobre la recta le corresponde un número racional.

k) A todo número irracional le corresponde un punto sobre la recta.

2) Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.

a) 6 b) 7

1− c) 3

4 d) π− e) 7 f)

3

3

g) –5 h) e i) 13 j) 0 k) 5

4 l) 12

3) Escribe dos números racionales y dos irracionales que estén comprendidos entre:

a) 7,34 y 7,35

b) 4,0⌢

y 45,0

c) 13

31 y

7

18

4) Sabemos que el cociente de dos números enteros, si el divisor es distinto de cero, es siempre un

racional, pero... ¿ocurre lo mismo con el cociente de dos decimales exactos? Justifica tu respuesta

5) Escribe en la forma más abreviada posible las siguientes expresiones:

a) 23 - =27 d) ( 5 + 2 ) =2 g) ( 5 + 4 ) ( 5 - 4 ) =

b) ( ) =+2

32 e) ( 1 + 2 ) ( 3 + 2 ) = h) 5 + 4 3 - (7 + 2 3 ) =


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9

c) 5 ( )52 + = f) ( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) =

6) ¿Cuáles axiomas o propiedades de la igualdad, si es que los hay, justifican cada enunciado?

a) 6 ( x + 3 ) = 6 x + 18

b) a ( -b + b ) = a . 0

c) Si 2 = x, entonces x = 2.

d) x3 – y3 = x3 + ( - y3 )

e) 4 x + ( 2 y + 5 ) = ( 4 x + 2 y ) + 5

f) x + y = y + x

g) – 1. 3 x = - 3 x = ( - 3 ). X

h) 5 y 3 + 0 = 5 y 3

i) ( x + 2 ) . 2

1

+x= 1 ; x ≠ -2

7) Completá la siguiente tabla. Anotá las observaciones, curiosidades o regularidades que te

parezcan interesantes. Formulá algunas hipótesis a partir de tus observaciones e intentá

demostrarlas.

a

b b

a

a

b

1−

b

a

1. −ba ( ) 1. −ba 1 - b

a

1 -2

2

1

3

4

1− 2

1

0,5

2

1

6,2⌢

3,0⌢

8) Indica para qué valores de x no están definidas en R las siguientes expresiones

a) x

1 b)

2

2

+−

x

x c)

1

122

2

+−

x

x d)

xx

x

2

32 −

e) 4

02 +x

f)

3

14

+x g)

)2(

0

−xx h)

1

253 −

+x

x

9) El costo por rentar una lavadora de alfombras es de $ 4,25 por hora más $ 3,25 por el jabón.

Calcula el costo de lavar una alfombra cuando el tiempo requerido es de 3,5 horas.

10) Una persona compró acciones de una compañía a $ 268

3cada una. Hoy en día el valor de las

acciones es de $ 222

1cada una. ¿A qué porcentaje del valor original corresponde el valor actual

de las acciones?

11) El precio de una computadora fue rebajado a la mitad. Después se le hizo una rebaja adicional de

34 dólares. El nuevo precio es de 338 dólares. ¿Cuál era el precio original?


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10

12) En 1984, un norteamericano promedio comía 55,7 kg de pollo. Esto era 2,8 kg más que el

promedio de 1982. ¿En qué porcentaje se incrementó el consumo de pollo de 1982 a 1984?

LOGARÍTMO

El logaritmo de un número en cierta base, es el exponente al que hay que elevar la base para

obtener dicho número.

En Símbolos:

log 0, 1 0ca b c a b con a a y b= ⇔ = > ≠ >

Ejemplos:

32

210

log 8 3 2 8

log 0,01 2 10 0,01

porque

porque −

= =

= − =

Casos especiales: log 1 log 1 0 log na a aa a n= = =

PARA RESOLVER

Determina:

2 3 5

4 2 2

5 7 10

7 823

11) log 4 2) log 81 3) log

251 1

4) log 64 5) log 6) log42

7) log 1 8) log 7 9) log 0,001

110) log 11) log 4 12) log 1

7

= = =

= = =

= = =

= = =

PROPIEDADES DE LOGARITMOS

( )1) log log

2) log . log log

3) log log log

4) log .log

15) log .log

a a

a a a

a a a

ya a

na a

x y x y

x y x y

xx y

y

x y x

x xn

= ⇔ == +

= −

=

=

Si a = 10, se llama logaritmo

decimal 10log logx x= y si

a = e se llama neperiano

log lne x x=


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11

PARA RESOLVER

( )

4 3

1) : log 2,3 log 5,2

:

1) log . ) log ) log

1) log ) log ) log

a a

a a a

a a a

Sabiendo que x y y

calcula aplicando propiedades

xa x y b c

y x

d y e x fy

= =

= = =

= =

2 2

2 2 2

2 2 2

2) : log 10 3,32 log 3 1,58

:

3) log 0,1 ) log 30 ) log

10) log 1000 ) log 90 ) log 12

Sabiendo que y

calcula aplicando propiedades

a b c

d e f

= =

= = =

= = =

CAMBIO DE BASE

Si deseas calcular un logaritmo cuya base no figura en la calculadora, debes efectuar un

cambio de base:

log

loglog

ba

b

xx

a=

Ejemplo:

2 2

log 7 ln 7log 7 log 7

log 2 ln 2o= =

PARA RESOLVER

Determina, haciendo uso de la calculadora, efectuando cambio de base:

2 3 5

7 2 8

1) log 15 2) log 28 3) log 73

4) log 44 5) log 0,18 6) log 9,81

= = == =


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12

2. POLINOMIOS EN UNA VARIABLE


POLINOMIOS

Definición: Se llama polinomio en una variable a la expresión algebraica de la forma:

1 20 1 2

0

( ) .........

; 0,1,2,........

0 " "

n n nn

i

P x a x a x a x a

los a i n y n

Si a diremos que el polinomio es de grado n

− −= + + + +∈ ∀ = ∈

≠ℝ ℕ

los ia se llaman coeficientes y na término independiente

Ejemplo:

( ) 4 22 5 3 1P x x x x= + − +

� Es de cuarto grado

� Está ordenado en forma decreciente

� Está incompleto, falta el término que corresponde a 3x , si lo queremos completar lo

agregamos con coeficiente “0”

( ) 4 3 22 0 5 3 1P x x x x x Polinomio ordenado y completo= + + − + →

PARA RESOLVER

Determina el grado de los siguientes polinomios, ordénalos en forma decreciente y complétalos:

( ) ( )( ) ( )

4 2 5 2

8 2 5 2

1) 3 5 1 2) 1

3) 3 1 4) 2 3

P x x x x Q x x

R x x x S x x x

= − + − = −

= − + = + −

Igualdad de polinomios

Diremos que los polinomios

( ) ( )1 10 1 0 1...... ......n n m m

n mP x a x a x a y Q x b x b x b− −= + + + = + + +

Son iguales sí y sólo sí son del mismo grado y los coeficientes

i im n y a b i= = ∀

Observa los exponentes de las x


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13

Ejemplo:

Determina los valores de a y b, para que los siguientes polinomios sean iguales

( ) ( )( ) ( )

2

2

1 3 4

2 3 2 1

P x a x x

Q x x x b

= − + −

= + + −

Como vemos los polinomios son del mismo grado, o sea solo debemos hacer cumplir la segunda

condición que tiene que ver con la igualdad de coeficientes:

1 2 2 1 3

3 3

34 2 1 4 1 2

2

a a a

b b b

− = ⇒ = + ⇒ ==

− = − ⇒ − + = ⇒ = −

Valor Numérico

Se llama valor numérico de un polinomio ( )P x para x a= , al valor que se obtiene al sustituir la

variable por a y efectuar las operaciones indicadas, se denota ( )P a .

Ejemplo:

1) Calcular el valor numérico de ( ) 4 22 5 4 2P x x x x para x= − + − =

( )( )( )

4 22 2 2.2 5.2 4

2 16 8 10 4

2 14

P

P

P

= − + −

= − + −

=

2) Si ahora realizamos el cálculo para 1x =

( )( )( )

4 21 1 2.1 5.1 4

1 1 2 5 4

1 0

P

P

P

= − + −

= − + −

=

PARA RESOLVER

1) Determinar los valores de a y b para que ( ) ( )P x Q x= .

a) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 4 3 22 2 5 4 5 2 3 2 3 4 5P x x a x x x y Q x x x b x x= − + + + − = + + + + −

b) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 25 4 2 5 4 2 1P x x x a b x b y Q x x x x a= − + − + = − + + +

c) ( ) ( ) ( ) ( )2 23 1 4 2 1 1P x a b x ax y Q x x b x= + − + = + + +

2) Determina el valor numérico de ( ) 0 , 1 , 1 , 2 , 2P x para x x x x x= = = − = = −

( ) 4 3 23 5 3 2 3P x x x x x= − + + −

3) Determina el valor de k , para que 2x = sea un cero de ( )P x

a) ( ) 2 6P x x kx= + +

b) ( ) 3 2 23P x x x k= − +

Si ( ) 0P a x a= ⇒ = es

un cero del polinomio


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14

c) ( ) ( ) 23 1 2 4P x k x x= + + +

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Adición:

Dados dos polinomios ( ) ( )P x y Q x se define la suma como otro polinomio cuyos términos

se obtienen sumando los términos del mismo grado.

Ejemplo:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

4 3 2 3

4 3 2 3

4 3 2

3 2 5 4 1 4 3 2

3 2 5 4 1 4 3 2

3 6 5 1 3

Si P x x x x x y Q x x x

P x Q x x x x x x x

x x x x

= + − − + = + +

+ = + − − + + + +

= + − − +

Sustracción:

Dados dos polinomios ( ) ( )P x y Q x se define la diferencia ( ) ( )P x Q x− como otro

polinomio que se obtiene sumando a ( )P x el opuesto de ( )Q x

Ejemplo:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 3 2 3

4 3 2 3

4 3 2 3

4 3 2

3 2 5 4 1 4 3 2

3 2 5 4 1 4 3 2

3 2 5 4 1 4 3 2

3 2 5 7 1

Si P x x x x x y Q x x x

P x Q x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

= + − − + = + +

− = + − − + + − + +

= + − − + + − − −

= − − − −

Multiplicación de un número real por un polinomio:

Para multiplicar un número real por un polinomio, se aplica la propiedad distributiva de la

multiplicación con respecto a la adición.

Ejemplo:

( )( ) ( )

5 4 2

5 4 2

5 4 2

2 3 2 7 4 5

5. 5. 2 3 2 7 4

10 15 10 35 20

Sea P x x x x x y el n real k

P x x x x x

x x x x

= + − − + ° =

= + − − +

= + − − +

Multiplicación de polinomios:

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término del primer polinomio por cada término

del segundo y luego se suman los términos semejantes.

Ejemplo:

( )( )3 2 5 4 3 2 2

5 4 3 2

2 5 3 4 2 8 5 20 3 12

2 8 5 23 12

x x x x x x x x x x

x x x x x

+ − − = − + − − +

= − + − +

Recuerda:

.n m n mx x x +=


_____________________________________________________________________________________________________

15

Productos de la suma de dos términos por su diferencia

El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos, es igual a la diferencia de

los cuadrados de dichos términos.

( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −

Ejemplo:

( ) ( )( )( )

2

3 3 2 6

3 3 9

2 3 2 3 4 9

a a a

x y x y x y

+ − = −

+ − = −

Cuadrado de un binomio

Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene un trinomio cuadrado perfecto

( )2 2 22x a x xa a+ = + +

Ejemplo:

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2

2 22

2

5 2. .5 5

10 25

2 3 4 2.2 . 3 3

4 12 9

x x x

x x

x x x

x x

• + = + +

= + +

• − = + − + −

= − +

Cubo de un binomio

Al elevar al cubo un binomio se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto

( )3 3 2 2 33. . 3. .x a x x a x a a+ = + + +

Ejemplo:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 2 2 3

3 2

3 3 2 2 3

3 2

2 3 .2 3 .2 2

6 12 8

4 1 4 3. 4 . 1 3.4 . 1 1

64 48 12 1

x x x x

x x x

x x x x

x x x

• + = + + +

= + + +

• − = + − + − + −

= − + −

División de Polinomios

Para dividir dos polinomios primero debemos completar y ordenar los polinomios, luego

dividimos el primer término del dividendo en el primer término del divisor y nos da como resultado el

primer término del cociente, luego multiplicamos este término por el divisor , le cambiamos el signo y lo

sumamos con el dividendo, con el resultado realizamos los mismos pasos anteriores y continuamos de la

misma manera hasta que nos quede un polinomio de menor grado que el divisor, a este polinomio lo

llamaremos resto.

Ejemplo:

Divide ( ) ( )3 22 4 2 3 1P x x x en Q x x x= − + = + −


_____________________________________________________________________________________________________

16

2x3 + 0x2 - 4x + 2 X2 + 3x - 1

-2x3 - 6x2 + 2x 2x - 6

- 6x2 - 2x + 2

+ 6x2 + 18x - 6

+ 16x - 4

Divide ( ) ( )4 2 3 27 6 5 5 1P x x x x x en Q x x= + + − − = +

0

66

606

55

6565

65

16575

2

2

3

23

224

2234

−−

++

+++−+−

+−−−

++−+−

x

xx

xx

xxx

xxxx

xxxxx

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un método muy cómodo para efectuar divisiones por expresiones de la

forma x a− .

Ejemplo:

Dividir ( ) ( )32 3 5 2P x x x en Q x x= − + = −

1 )Debemos completar y ordenar los polinomios

2) escribimos los coeficientes del dividendo

2 0 3 5

2 4 8 10

2 4 5 15 Resto

−

=

3) Colocamos a la izquierda 2a =

4)El primer coeficiente del dividendo baja sin cambios

5) Se multiplica el coeficiente que bajó por a y se le suma el segundo coeficiente del dividendo y así

sucesivamente hasta llegar al resto

6) El polinomio cociente es de un grado menos que el dividendo y sus coeficientes son los números que se

fueron obteniendo en la tercera fila: ( ) 22 4 5C x x x= + +

Observa: se

completó y

ordenó los

polinomios


_____________________________________________________________________________________________________

17

PARA RESOLVER

Dados los polinomios ( ) ( ) ( )4 3 23 5 3 2 , 3 4 3P x x x x Q x x x y R x x= − + − = − + = +

Calcular:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

3 3

2

1 21) 2 2) . 3) 3 :

2 3

4) 5 2 : 4 5) 2

46) 7 2 7) 2 3

51

8) . :2

P x Q x P x Q x P x Q x R x

P x Q x R x xR x

R x x x Q x P x R x

P x Q x R x

− −

+ −

− − − + −

Factorización de polinomios

Factorear un polinomio significa expresarlo como producto de polinomios primos.

1) Factor Común: Para extraer factor común se debe proceder de manera inversa a la propiedad

distributiva. Primero se debe reconocer cual es el factor que se encuentra repetido en cada

término y luego para encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el

factor común.

Ejemplo:

( )2 3 26 9 3 2 3x x x x− = −

2) Factor común por grupos: Se factorea grupos de términos con factores comunes y luego al

resultado se lo factorea nuevamente.

Ejemplo:

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2

ax x ay y x a y a

a x y

+ − − = + − +

= + −

3) Diferencia de cuadrados: Si un binomio es la diferencia de dos cuadrados, es factoreable como el

producto de la suma de las bases de dichos cuadrados por la diferencia de las mismas.

Ejemplo:

( )( )2 6 3 325 5 5x y x y x y− = + −

4) Trinomio cuadrado perfecto: Cuando desarrollamos el cuadrado de un binomio, obtenemos un

trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto para factorear este trinomio, debemos proceder de

manera inversa.

( )22 22x xa a x a+ + = +

Ejemplo:

( ) ( ) ( )2 22 210 25 2. . 5 5 5x x x x x− + = + − + − = −

5) Cuatrinomio cubo perfecto: Cuando desarrollamos el cubo de un binomio, obtenemos un

cuatrinomio cubo perfecto, por lo tanto para factorear este cuatrinomio, debemos proceder de

manera inversa.

( )33 2 2 33 3x x a xa a x a+ + + = +

( )33 2 3 2 2 36 12 8 3. .2 3. .2 2 2x x x x x x x+ + + = + + + = +


_____________________________________________________________________________________________________

18

6) Trinomios de la forma 2ax bx c+ + : Para factorear este trinomio, lo igualamos a cero y

resolvemos la ecuación obteniendo las raíces 1 2x y x , luego factoreamos de la siguiente

manera:

( )( )21 2.ax bx c a x x x x+ + = − −

Ejemplo:

( )

( )

2

22

1,2

1 2

2

3 5 2

5 5 4.3.2 5 13 5 2 0

2.3 65 1 4 2 5 1 6

; 16 6 3 6 6

23 5 2 3. 1

3

P x x x

x x x

x x

x x x x

= + +

− ± − − ±+ + = ⇒ = =

− + − − − −= = = − = = = −

∴ + + = + +

7) Suma y resta de potencias de igual exponente: Para un polinomio de la forma ( ) n nP x x a= ± ,

existen cuatro posibilidades:

( ) n nP x x a n es par= ± ∧

( ) n nP x x a n es impar= ± ∧

Primero determinamos si x a x a= ∨ = − son raíces del polinomio, lo hacemos aplicando el

teorema del resto, luego “bajamos” un grado el polinomio usando la regla de Ruffini,. Lo veamos con un

ejemplo:

( ) 5 5 532 2P x x x= + = + Probamos las posibles raíces 2 2x x= ∧ = −

( )( ) ( )

5

5

2 2 32 0 2

2 2 32 32 32 0 2

P x no es raíz

P x es raíz

= + ≠ ⇒ =

− = − + = − + = ⇒ = −

Ahora “bajamos” el grado del polinomio aplicando Ruffini:

( ) ( )5 32 : 2x x+ +

1 0 0 0 0 32

2 2 4 8 16 32

1 2 4 8 16 0 resto

− − − −− − =

Por lo tanto, podemos escribir:

( ) ( )( )5 4 3 232 2 2 4 8 16P x x x x x x x= + = + − + − +

Recuerda: Si ( ) 0P a = , entonces

( ) ( ) ( )P x x a Q x= − , donde

( )Q x es el cociente entre

( ) ( )P x y x a−


_____________________________________________________________________________________________________

19

PARA RESOLVER

Factorea los siguientes polinomios:

5 4 2 3 2

4 3 5 4 3 2

2 2

4 6

7 4

2 3 2

6 3 3 2

2 2

1) 24 18 30 2) 4 2 6 3

3) 1 4) 2 6 3 8 4

5) 1 6) 25 4

7) 625 8) 64

9) 1 10) 81

111) 12) 15 75 125

413) 4 4 14) 12 48 64

15) 7 12 16) 6

17)

x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x

x x

x x x x x

x x x x x

x x x x

+ − = − + − =

− + − = − + − + − =− = − =

− = − =+ = + =

− + = + + + =

+ + = − + − =

− + = + − =4 3 2 5 3 2

2 3

6 3 24 12 18) 4 8 32

19) 12 36 20) 1

x x x x x x x

x x x

− − + = − − + =− + = − =


_____________________________________________________________________________________________________

20

3. ECUACIONES E INECUACIONES


ECUACIÓN:

Se llama ecuación a la igualdad algebraica que sólo se verifica para algunos valores

particulares de sus incógnitas. Cada uno de estos valores se denomina solución o raíz de la ecuación.

Resolver una ecuación es determinar esos valores, aplicando los axiomas de los números reales.

Ejemplo:

( ) ( )3 7 2 14 8 1

21 6 14 8 8 utilizando propiedad distributiva

21 6 22 8

8 6 22 21 utilizando propiedad uniforme de la adición

2 1 sumamos términos semejantes

1 utilizando propiedad uniforme de l

2

x x

x x

x x

x x

x

x

− = − −− = − + →− = −− = − →= →

= → a multiplicación

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

1. Utiliza la propiedad distributiva para eliminar paréntesis, si fuera necesario.

2. Elimina fracciones y decimales, si fuera necesario

3. Suma en ambos miembros de la ecuación los términos que sean semejantes.

4. Utiliza las propiedades de la adición y de la multiplicación para despejar la variable.

TEOREMA: , , . 0 0 0a b a b a b∀ ∈ = ⇔ = ∨ =ℝ

Es decir, si el producto de dos números es igual a cero, al menos uno de los factores es igual a

cero.

Ejemplo:

( ) ( )3 . 2 1 0 utilizando el teorema

3 0 2 1 0

13

2

x x

x x

x x

+ − =+ = ∨ − =

↓ ↓

= − =

Por lo tanto tenemos dos soluciones.

PARA RESOLVER

( )1) 33 4 24 7 2) 2 4 7

3 24 23) 3 4) 4 1

5 5

x x x x

xxx x

− = − − − = −−− = + = −


_____________________________________________________________________________________________________

21

( )2 2 5 35) 6) 2 3 5

3 4 4

x x xx

− − −= − = −

( ) ( )

37) 1 2 3 8) 1 2

4 4 3 22 1 3 1 2 3

9) 1 10) 53 4 4 2

3 5 2 14 5 2 511) 12)

3 4 2 4 2

x x x xx

x x x x

x xx x x xx

− − = + + − + =

− − +− = + =

− + −− − −− = − =

( )( ) ( )

( )

113) 3 5 0 14) 2 8 0

2

2 315) . 0 16) 5 2 5 0

3 2

x x x x

x x x x

− + = + − =

− = − − =

17) Una cuerda de 28 metros se corta en dos pedazos. Uno de los trozos es tres metros más largo que el

otro. ¿Cuál es la longitud de los trozos?

18) El precio de una casa rodante se redujo en 11% para alcanzar un valor de $48.950. ¿Cuál era el precio

original?

19) La suma de dos enteros consecutivos es 36. ¿Cuáles son estos enteros?

20) Seis más nueve veces un número es lo mismo que dos menos diez veces el número. ¿Cuál es el

número?

21) Un agricultor está sembrando su campo. El primer día siembra el 20% del mismo,, el segundo día la

tercera parte del resto, y en ese momento le quedan 12 hectáreas sin sembrar. ¿Cuál es la superficie

total del campo?

22) Un matrimonio tiene tres hijos. Cada uno le lleva al siguiente 2 años. Entre los tres suman 26 años.

¿Cuál es la edad de cada uno?

SISTEMAS DE ECUACIONES EN DOS VARIABLES

Un conjunto de dos o más ecuaciones que contienen las mismas variables se llama sistema de

ecuaciones. El conjunto solución de un sistema se compone de todos los pares ordenados que hacen

ciertas a todas las ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

2 3 19

5 34 23

x yLa solución de este sistema es x e y

x y

+ =→ = = + =

ya que verifica simultáneamente las dos ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones puede tener una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución,

pero eso lo analizaremos detalladamente cuando cursemos Matemática 1, ahora sólo veremos los que

tienen solución única.

Como ya viste en la escuela secundaria, existen métodos para resolver este tipo de sistema, ahora

recordaremos sólo los más usados.


_____________________________________________________________________________________________________

22

Método de Sustitución

Vamos a resolver el sistema haciendo notar cada uno de los pasos que se deben seguir para

aplicar este método:

( )

2 3 19

4 23

1) Despejar una incógnita de cualquiera de las dos ecuaciones:

23 4

2) Sustituir en la otra ecuación

2 3 23 4 19

3) Resolver la ecuación resultante

2 69 12 19

x y

x y

y x

x x

x x

+ = + =

= −

+ − =

+ − = ⇒ 10 50 5

4) Reemplazar el valor encontrado en la ecuación que se encuentra despejada la otra incógnita

23 4.5 3

x x

y y

= ⇒ =

= − ⇒ =

Método de Igualación

2 3 19

4 23

1) Despejar la misma incógnita las dos ecuaciones:

19 22 3 19 3 19 2

3

4 23 23 4

2) Igualar las ecuaciones

19 2 23 4

33) Resolver la ecuación resultan

x y

x y

xx y y x y

x y y x

xx

+ = + =

− + = ⇒ = − ⇒ = + = ⇒ = −

− = −

( )te

19 2 3 23 4 19 2 69 12 10 50 5

4) Reemplazar el valor encontrado en la ecuación que se encuentra despejada la otra incógnita

23 4.5 3

x x x x x x

y y

− = − ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =

= − ⇒ =

PARA RESOLVER

1) Aplica los métodos de sustitución e igualación en cada uno de los siguientes sistemas:

2 9 9) )

3 13 2 3

x y x ya b

x y x y

+ = + = − = − = −

2 6 5 3 24) )

3 4 3 5 28

x y x yc d

x y x y

− = − = − + = − + =


_____________________________________________________________________________________________________

23

3 7 278

2 2 2 4) )5 3 7

7 52 2 2 2

xx y y

e fy

x y x

+ = − = − − = + =

2) María compró dos carteras de distinto precio, la primera le costó 200$ menos que el doble de lo

que cuesta la segunda y ésta vale 40$ más que la primera. ¿Cuánto pagó María por cada cartera?

3) Encuentra dos números cuya suma sea 192 y su diferencia 67.

4) Un día una tienda vendió 30 camisetas. Las blancas costaban $9,95, y las amarillas $10,50. En

total se vendieron $310,60 en camisetas. ¿Cuántas camisetas se vendieron de cada color

5) Carlos es 8 años mayor que su hermana María. Hace 4 años la edad de María era dos tercios la de

Carlos. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?

6) El perímetro de un campo rectangular es de 628m. El largo del campo excede a su ancho en 6m.

Calcula las dimensiones.

7) Iván y Luis son profesores de matemáticas. En total llevan 46 años dando clases. Hace dos años

Iván llevaba 2,5 veces los años que tenía Luis como profesor. ¿Cuántos años lleva en la enseñanza

cada uno de ellos?

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

2 0 , , 0ax bx c con a b c a+ + = ∈ ∧ ≠ℝ

A partir de ejemplos vamos a analizar cómo se resuelven este tipo de ecuaciones:

a) 20 0Si b c ax= = ⇒ =

2 22 0 2 0 0 0x como x x= ≠ ⇒ = ⇒ =

b) 20 0 0Si c b ax bx= ∧ ≠ ⇒ + =

( )23 4 0 3 4 0 0 3 4 0x x x x x x+ = ⇒ + = ⇒ = ∨ + =

Por lo tanto las soluciones serán:

1 2

40

3x y x= = −

c) 20 2 0 0Si b y c ax c= ≠ ⇒ + =

2 2 22 18 0 2 18 9 3 3x x x x x− = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±

d) 0 0Si b c la ecuación se dice completa≠ ∧ ≠

2

1,2

:

4

2

y podemos aplicar la siguiente fórmula

b b acx

a

− ± −=


_____________________________________________________________________________________________________

24

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1

2

5 6 0

5 5 4.1.6

2.1

5 25 24 5 1

2 25 1

32

5 12

2

x x

x

x

x

x

− + =

− − ± − −=

± − ±= =

+= =

−= =

PARA RESOLVER

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

1) 3 0 2) 5 0 3) 0

4) 2 5 0 5) 7 0 6) 3 6 0

7) 4 0 8) 3 6 0 9) 1 0

10) 2 5 3 0 11) 7 10 0

4 3 1 112) 0 13) 0

7 49 2 2

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x

x x x x

= − = =− = + = − + =

− = − = + =− − = − + =

− + = + − =

2 2

2 2

14) 3 7 20 15) 9 15 4 0

16) 6 4 10 17) 2 13 15 0

x x x x

x x x x

+ = + + =+ = + + =

18) Encuentra 3 enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 149.

19) Calcula tres enteros consecutivos tales que el cuadrado del primero más el producto de los otros dos

sea 46.

20) El ancho de una fotografía rectangular es 5cm menor que su largo, si su área es de 24cm2 calcula las

dimensiones de la fotografía.

21) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm. La longitud de uno de los catetos es 17cm

menor que la del otro cateto. Calcula las longitudes de los catetos.

22) El área de un triángulo equilátero es de 50m2. Calcula la longitud del lado.

Inecuación:

Una inecuación es una desigualdad de la forma: ( ) ( )P x Q x≤ , donde ( ) ( )P x y Q x son

polinomios, si además son de primer grado la inecuación se llama lineal.

Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y el

conjunto solución es un intervalo real o el conjunto vacío.

Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o multiplique

a ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.

Ejemplo:

( )

[ )

2 5 3 4 20 10 6 4 20

6 4 20 10 10 30

303 3,

10 s

x x x x

x x x

x x C

− ≤ − ⇒ − ≤ −− − ≤ − − ⇒ − ≤ −

−≥ ⇒ ≥ ⇒ = ∞−

Observa que cambió el

sentido de la desigualdad

porque se dividió ambos

miembros por -10


_____________________________________________________________________________________________________

25

PARA RESOLVER

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1) 3 2 0 2) 3 4 3 5 2 3) 5 1 2 3 5

4) 7 2 3 3 4 5) 2 3 3 5 6) 4 5 3

1 2 3 57) 5 1 8) 5 2 1 9)1,6 2 0,4 : 0,2

2 3 4 4

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

+ ≤ − ≥ + + < +

− > − − < − − ≥ +

+ ≤ − − ≥ + − > −

10) Al planear un baile escolar, encuentras que una banda toca por $250, más el 50% del total de ventas

por entradas. Otra banda lo hace por una cuota fija de $550. Para que al colegio le sea más rentable la

primera de las bandas, ¿cuál es el máximo precio que puedes cobrar por entrada, suponiendo que la

asistencia será de 300 personas?


_____________________________________________________________________________________________________

26

4.FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL


_____________________________________________________________________________________

Las funciones desempeñan en la actualidad un papel fundamental en las aplicaciones de la

matemática a otras ciencias. El concepto matemático de función formaliza la idea de asignación, tan

frecuente en nuestra experiencia cotidiana: asignamos a cada persona su edad, a cada círculo su área, a

cada mes su producción, etc.

La información que una función proporciona entra por los ojos de modo muy sencillo a través de

su gráfica. La gráfica te hace capaz, con una sola mirada, de decidir cómo varían las magnitudes que la

función relaciona, dónde están los intervalos de crecimiento y decrecimiento y cuáles son las tendencias

generales del fenómeno que la función describe.

Ejemplo:

En el siguiente gráfico se muestra la evolución de las exportaciones de Yerba Mate, en la provincia

de Misiones.

Elaborado en base de datos INDEC

1) ¿En qué año los volúmenes exportados superaron las 35.000 toneladas?

2) ¿Cuándo fue máximo el volumen de exportación?¿cuándo mínimo?

3) ¿En qué año tuvo mejor precio?

4) ¿Entre qué valores varía el precio por Kg de la Yerba mate?

5) ¿Qué observas con respecto a la variación del precio de la Yerba mate?

6) ¿Qué observas con respecto a la variación de los volúmenes de exportación de este producto?


_____________________________________________________________________________________________________

27

Un gráfico como este nos brinda información, pero por sobre todo nos muestra un panorama general

de la relación entre dos variables. (En este caso, por un lado el tiempo y el volumen de exportación de la

Yerba mate, y por otro el tiempo y el precio por Kg. De la Yerba mate)

Definición 1: Se dice que f es una función de A en B, si a cada valor de x (elemento de A), le

corresponde como imagen uno y sólo un valor de y (elemento de B)

En símbolos:

: se lee " de A en B"

( ) " es función de "

" El valor de depende del valor de "

f A B f

x y f x y x

y x

→→ =

Definición 2: Las variables son magnitudes que pueden tomar cualquier valor. Generalmente las

representamos con las últimas letras del abecedario: , ,x y z.

Como el valor de y depende del valor elegido para x , es la variable dependiente, y xes

la variable independiente.

Definición 3: Al conjunto de valores que puede tomar la variable x , lo llamamos Dominio de la función.

Definición 4:

El valor 0y que le corresponde a 0x del dominio, se llama imagen de 0x y se escribe

0 0( )y f x= . Al conjunto de todos esos valores imagen se lo llama Rango o Imagen de la función.

PARA RESOLVER

Analiza los siguientes gráficos. ¿Representan funciones?.¿Cómo puedes decidir si un gráfico corresponde

a una función?. En cada caso escribe el dominio y el rango correspondiente.

1) 2)

3) 4)

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

No todas las relaciones entre variables son funciones.


_____________________________________________________________________________________________________

28

5) 6)

Formas de definir funciones

Las funciones pueden definirse de varias formas:

1) Mediante un gráfico

2) Mediante un conjunto de pares ordenados

( ) ( ){ }{ }

{ }

1 1 2 2

1 2

1 2

, , , ,..........

, ,.......

Im , ,.......

f x y x y

Dom f x x

f y y

=

=

=

Ejemplo:

( ) ( ) ( ){ }{ }

{ }

1,1 , 2,4 , 3,9 ..........

1,2,3,.......

Im 1,4,9,.......

f

Dom f

f

=

=

=

3) Mediante una fórmula

Cuando la función viene dada por una fórmula, el Dominio es el conjunto de valores de x

para los cuales se puede calcular ( )f x

Por ejemplo:

1. ( ) 2Si f x x= ,

x

y

−2.5π −2π −1.5π −1π −0.5π 0 0.5π 1π 1.5π 2π 2.5π

-2

0

2

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

05.000

10.00015.00020.00025.00030.00035.00040.00045.000

1991 1992 1993 1994 1995

tone

lada

s

años

Té

Yerba Mate

Tabaco


_____________________________________________________________________________________________________

29

xpuede tomar cualquier valor real, ya que siempre se puede calcular 2.x; en este caso Dom f = ℝ

2. 2

( )1

Si f xx

=−

,

En 1x = no puede calcularse 2

1x −

Entonces ( ) ( ),1 1,Dom f = −∞ ∪ ∞

3. ( ) 2Si f x x= +

En este caso, para poder aplicar la fórmula, x debe se mayor o igual a -2.

Por lo tanto [ )2,Dom f = ∞

Calcula el dominio de las funciones dadas por:

2

) ( ) 3 1 ) ( ) 1

2) ( ) ) ( ) .

21

) ( ) 5 ) ( )

a f x x b f x x

xc f x d f x x x

x

e f x x f f xx

= − = +

= =+

= + =

4) Mediante un enunciado

Muchas veces oímos frases como:

� “ a cada alumno le corresponde un número de la lista”

� “la velocidad del automóvil depende de la aceleración aplicada al mismo”

� “los ingresos dependen de las unidades vendidas”

Busca ejemplos de frases que indiquen funciones

5) Mediante una tabla de valores

La siguiente tabla muestra las variaciones mensuales precio del trigo y de la soja en Bs.

As. durante el año 1996.

AÑO 1996 TRIGO ($ / tn) SOJA ($ / tn)

Enero 185 138

Febrero 190 135

Marzo 186 135

Abril 174 140

Mayo 168 148

Junio 152 152

Julio 150 154

Agosto 154 158

Septiembre 161 150

Octubre 170 146

Noviembre 182 140

Diciembre 183 135

El cociente y las raíces de índice par a veces no están definidas para algunos valores de x

No cualquier frase que implique dependencia expresa una función


_____________________________________________________________________________________________________

30

¿Entre qué meses se dio el mayor aumento del precio del trigo?

¿Entre qué meses se dio la mayor disminución en el precio de la soja?

Escala

No es necesario que las escalas de los ejes sean iguales, pues las variables suelen representar

magnitudes diferentes. La elección de la escala debe realizarse atendiendo únicamente a la mejor lectura

de la gráfica o a lo que se quiera mostrar de la situación.

Ejemplo:

Supongamos que el aumento en porcentajes del costo de vida en el primer trimestre del año, en

cierto país, está dado por la siguiente tabla:

ENERO 1,5

FEBRERO 2,3

MARZO 3,5

Un diario oficialista mostraría estos datos de la siguiente manera:

Un diario opositor al gobierno lo presentaría así:

01234

ENERO FEBRERO MARZO

Por

cent

ajes

Meses

COSTO DE VIDA

COSTO DE VIDA

00,5

11,5

22,5

33,5

4

Por

cent

ajes

Meses

COSTO DE VIDA

COSTO …


_____________________________________________________________________________________________________

31

Variaciones de una función Función creciente

Una función es creciente si su gráfica, leída de izquierda a derecha, es

ascendente. Esto significa que al aumentar la variable independiente “ x”, también aumenta la variable

dependiente “ y “.

y

( )1 2 1 2( )Si x x f x f x< ⇒ <

f

2( )f x

1( )f x

1x 2x x

Función decreciente

Una función es decreciente si su gráfica es descendente. Esto significa que

al aumentar la variable independiente “x “, la variable dependiente “ y “ disminuye.

y

( )1 2 1 2( )Si x x f x f x< ⇒ >

f

1( )f x

2( )f x

1x 2x x

Intervalos de crecimiento

Frecuentemente, las funciones poseen tramos donde crecen y tramos

donde decrecen. Así para la función de la figura,


_____________________________________________________________________________________________________

32

( )

( ),

,

f es decreciente en a b

f es creciente en b c

b

a c x

Máximos y mínimos

La gráfica muestra las exportaciones e importaciones de la Comunidad Andina con

Suecia

Máximos:

En el año 1998 y en el año 2001 las importaciones son mayores que en fechas

inmediatamente próximas, los valores correspondientes a esos años son máximos locales o

relativos. Pero el valor de las importaciones correspondientes al año 1998, es mayor en todo el

período estudiado, por lo tanto éste es el máximo absoluto de la función.

Mínimos:

En los años 1996, 2000 y 2002 las importaciones son menores que en fechas

inmediatamente próximas, los valores correspondientes a esos años son mínimos locales o

relativos. Pero el valor de las importaciones correspondiente al año 2002, es el menor en todo el

período estudiado, por lo tanto éste es el mínimo absoluto de la función.

Determina los máximos y mínimos correspondientes a las exportaciones.

Discontinuidades-Continuidad

Observemos estas tres gráficas:

1) Las ganancias mensuales de un representante de de televisores son $1000 fijos más $100 por

cada aparato vendido. Esta es la gráfica de la función.

Observa: En un máximo relativo

la función pasa de ser creciente a

decreciente y en un mínimo

relativo pasa de ser decreciente

a creciente.


_____________________________________________________________________________________________________

33

La variable independiente sólo tiene sentido para los valores 0,1,2,3,4,….. , pues no se puede

vender un número fraccionario de televisores

2) En el envío de un paquete por correo, el precio depende del peso. Para pesos inferiores a 5Kg.,

el franqueo es constante (cuesta lo mismo mandar 1,5Kg. Que 3 Kg.)

3) Esta gráfica describe el crecimiento de una planta con el paso del tiempo

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−500

−400

−300

−200

−100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

x

y

x

y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

5

10

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

20

40

60


_____________________________________________________________________________________________________

34

Hay ocasiones en las que la variable independiente no es continua, sino que pasa dando saltos de

cada valor al siguiente (gráfica 1). Cuando esto sucede la variable se llama discreta, y en esos casos, la

gráfica de la función no es una línea sino una serie de puntos.

En otras ocasiones, aunque la variable independiente sea continua, la función presenta saltos

bruscos (gráfica 2). Esos saltos se llaman discontinuidades, y la función que los tiene se dice que es

discontinua. Como vemos en la gráfica 3, la variación de la altura es suave, sin saltos bruscos. Una función se

llama continua cuando no presenta discontinuidad de ningún tipo.

Tendencias de una función

Volvamos a analizar varias gráficas:

1) Ponemos al fuego una olla de agua hasta que hierva. Apagamos el fuego y la dejamos allí. La

temperatura va bajando paulatinamente a medida que pasa el tiempo, según se ve en la gráfica que

representa la función tiempo-temperatura.

Es claro que la temperatura del agua se aproximará cada vez más a la temperatura de la

habitación. Suponiendo que esta sea de 20o C, diremos que al pasar el tiempo, la temperatura del agua

tiende a 20o C.

temperatura oC

100

20

Tiempo (en horas)

2) El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. La gráfica representa la

función lado-área

x

y

0 1 2 3 40

5

10

15


_____________________________________________________________________________________________________

35

Si el lado crece, el área también. Podemos conseguir que el área sea tan grande como queramos

sin más que hacer crecer el lado. Eso se puede expresar diciendo que si el lado tiende a infinito, entonces

el área también tiende a infinito.

Estos son dos ejemplos de funciones en las que, aunque sólo conozcamos un trozo de ellas, podemos

predecir como se comportarán lejos del intervalo en el que han sido investigadas, porque tienen ramas

con una tendencia muy clara.

3) Este tercer caso es diferente al de los anteriores, pero también conociendo un trozo de la curva

podemos hacer previsiones de lo que ocurrirá más allá.

Período

A este tipo de función se le llama función periódica. La forma de la gráfica se reproduce cada

cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama período. Es evidente que una función periódica

queda perfectamente determinada conociendo su comportamiento en un período.

Estudio comparativo de varias funciones del mismo tipo

En muchas situaciones que se sintetizan con gráficos, la interpretación de las mismas suele ser

más acertada si las funciones que son objeto de estudio se comparan y analizan en forma conjunta, para

ello deben graficarse en un mismo sistema de ejes, con lo que la relación entre las mismas queda muy

clara. Los puntos de intersección y las diferencias entre ellas suelen ser claves para la descripción del

fenómeno.

Ejemplo:

La siguiente gráfica nos muestra los ingresos y gastos de una empresa durante un período de

tiempo.

a) ¿Cuál fue el mejor momento de la empresa? ¿Cuál el peor?

b) ¿Qué significan los puntos de intersección de las dos gráficas?

c) ¿Hubo algún momento en dónde la empresa trabajó en rojo?

x

y

−2.5π −2π −1.5π −1π −0.5π 0 0.5π 1π 1.5π 2π 2.5π

-1

0

1

0

5

10

15

20

25

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Mill

ones

de

peso

s

Año

Ingresos

Gastos


_____________________________________________________________________________________________________

36

d) ¿Si hubieras analizado las gráficas por separado, las respuestas hubieran sido las mismas?,

¿Podrías haber contestado todos los interrogantes?

8.11- Funciones Pares e Impares

Existen funciones cuyas gráficas obedecen a ciertas condiciones de simetría que facilitan la

representación de las mismas.

EJEMPLO 1:

Si analizamos la función 2: ( )f f x x= y observamos su gráfica:

(1) ( 1) ; (2) ( 2) ; ........f f f f= − = −

Vemos que ésta es simétrica respecto al eje “ y “, se dice entonces que es una función par

Definición 1: Una función es par cuando su gráfica es simétrica respecto del eje de las ordenadas.

En símbolos:

: ( ) ( ) ( )f y f x es par f x f x= ⇔ = −

Ejemplo:

( ) ( ) ( )

2

2 2

2

( )

( ) . ( )

( ) ( ) ( )

Si f x x calculamos

f x x x x x f x

f x f x f x x es par

=

− = − = − − = =

∴ = − ⇒ =

EJEMPLO 2:

Si analizamos la función 3: ( )f f x x=

0102030

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004Mill

ones

de

peso

s

Año

IngresosIngre…

05

101520

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004M

illon

es d

e pe

sos

Año

Gas…

x

y

-2 -1 0 1 2

0

2

4

6

8


_____________________________________________________________________________________________________

37

(1) ( 1) ; (2) ( 2) ; .........f f f f= − − = − −

Vemos que su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas, se dice entonces que es una

función impar Definición 2:

Una función es impar cuando su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas.

En símbolos:

: ( ) ( ) ( )f y f x es impar f x f x= ⇔ = − −

Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( )

3

3 3

: ( )

( ) . . ( )

( ) ( )

Si f f x x

f x x x x x x f x

f x f x

=

− = − = − − − = − = −∴ = − −

Determina si las siguientes funciones son pares, impares o no tienen paridad:

2 3

2 2

1) ( ) 5 2) ( ) 5 3) ( ) 2

4) ( ) 5 6 5) ( ) 4 1 6) ( ) 2 1

f x x f x x f x x

f x x x f x x f x x

= = + = += + + = + = −

Ceros de una función

Diremos que a es un cero de la función f sí y sólo si ( ) 0f a = .

Geométricamente son los puntos donde la gráfica de la función f interfecta al eje de las abscisas.

Ejemplo:

Si 2: ( ) 1f f x x= − y queremos encontrar los ceros de f , seguimos el siguiente procedimiento:

a) Igualamos a cero la función

b) Resolvemos la ecuación resultante

c) Las raíces obtenidas son los ceros de la función.

x

y

-2 -1 0 1 2

-5

0

5

Si una función no es par ni impar se dice que no tiene paridad


_____________________________________________________________________________________________________

38

2 2: ( ) 1 0 1

1 1

(1) 0 ( 1) 0

f f x x x

x x

f y f son los ceros de f

= − = ⇒ =⇒ = ⇒ = ±

∴ = − =

Si graficamos la función;

Observamos que los puntos ( 1,0) y ( -1,0) son el resultado de la intersección de la gráfica de f

con el eje de las abscisas.

Encuentra los ceros de las siguientes funciones: 2 3

23 2

1) ( ) 5 6 2) ( ) 1 3) ( ) 2 3

44) ( ) 1 5) ( )

2

f x x x f x x f x x

xf x x x x f x

x

= − + = − = +−= − + − =+

Función Biunívoca

Una función f es biunívoca o uno a uno si no existen dos pares

ordenados, que tengan la misma segunda componente. En otras palabras, cada elemento “ y “

del rango de f , está asociado un solo elemento “ x “ del dominio de f .

En símbolos:

Una función f es biunívoca

( )

( )

,

,

a b f

a cy

c b f

∈⇔ ⇒ = ∈

Esto se puede observar más fácilmente en la gráfica de la función:

Ejemplo 1:

Sea la función: 21

: ( ) 32

f f x x x= + +

x

y

-2 -1 0 1 2

0

2

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 30

2

4

6

8

Trazando una recta paralela al eje OX, si ésta corta a la gráfica en más de un punto no es biunívoca.


_____________________________________________________________________________________________________

39

Si observamos:

( 2) (0) 3

( 4) (2) 7

f f

f f

− = =− = =

Es decir, existen valores de “y” para los cuales corresponde más de un valor de “x”, por lo tanto f

no es biunívoca.

Ejemplo 2:

Sea 3: ( )f f x x=

A cada valor del rango le corresponde un único valor del dominio, por lo tanto f es biunívoca.

Clasificación de funciones

Las funciones se pueden clasificar en ALGEBRÁICAS y TRASCENDENTES, las algebraicas

son aquellas donde su expresión analítica involucra las operaciones de adición, sustracción,

multiplicación, división, potenciación y radicación. Y las trascendentes son las que no son algebraicas.

Ejemplos:

2

3

( ) 5

3( ) son funciones algebraicas

1

( ) 1

f x x x

xg x

x

h x x

= += − = +

( )2

( )

( ) log son funciones trascendentes

( ) x

f x senx

g x x

h x e −

== =

x

y

-2 -1 0 1 2 3

0

2

4


_____________________________________________________________________________________________________

40

Clasifica las siguientes funciones en algebraicas y trascendentes:

( )( )

2

3

1) ( ) 3 5 2) ( ) 5 3) ( ) cos 1

24) ( ) 5) ( ) 2 6) ( ) ln( 2)

1x

f x x f x x f x x

xf x f x f x x

x+

= − = + = −

= = = +−

PARA RESOLVER

1) El siguiente gráfico muestra la inflación en Perú. ¿Te animas a realizar un informe sobre la

situación? Para ello analiza máximos y mínimos de la función, ceros, períodos de igual

comportamiento, etc.

El informe realizado al respecto por el economista internacional Roberto Ayala para FLAR

Estudios Económicos fue el siguiente, luego de leerlo compáralo con el tuyo.

“A diciembre de 2004, la inflación anual fue 3,5%, nivel coincidente con el límite superior de la

meta de inflación anunciada por el Banco Central de Reserva de Perú (1,5% - 3,5%). De esta

manera, 2004 es el sexto año consecutivo en que la inflación anual a diciembre no supera 4%.

Sin embargo, desde junio a noviembre, se registraron niveles de 4% o más, lo que no se

presentaba desde noviembre de 2000. Las bajas tasas de inflación mensual de los últimos meses

del año –incluidas deflaciones mensuales en agosto, octubre y diciembre contribuyeron a que se

alcance el objetivo propuesta por las autoridades.

Adicionalmente, como se observa en el gráfico, la inflación presenta una tendencia ascendente

a partir de 2002. En dicho año, la inflación anual promedio fue de 0,2%, mientras que en 2003 y

2004 fue de 2,3% y 3,7% respectivamente. Dicha tendencia, sin embargo, se ha comenzado a

revertir en los últimos meses de 2004.”

2) La producción mensual de computadoras de cierta empresa en el lapso de un año, es el que se

muestra en la siguiente tabla:

Meses E F M A M J J A S O N D

Nº de comp.

producidas

200 400 700 800 900 800 600 800 900 700 900 500

a) Realiza el gráfico correspondiente


_____________________________________________________________________________________________________

41

b) ¿En qué meses la empresa tuvo mayor producción?

c) ¿Cuál es el total de computadoras que la empresa produce por año?

d) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente?

e) ¿La gráfica es continua o discontinua? Explica.

3) Una agencia de viajes paga a uno de sus promotores un sueldo básico de $400. Si vende en el mes

más de 15 pasajes, le da una bonificación de $20 por cada uno de los que superan dicho número.

a. Realiza el gráfico del sueldo en función de los pasajes vendidos.

A otro vendedor se le ofreció un trato distinto, según se muestra en el gráfico

b. Explica cómo es el trato que se hizo con este vendedor.

c. Encuentra la fórmula que representa esta situación

d. Superponiendo las dos gráficas, podrás comparar los sueldos de ambos promotores.

¿Alguna vez son iguales?¿Alguno de ellos es siempre mayor que el otro?¿Cuál de los dos

tratos elegirías si fueras promotor de esa agencia?

4) Una empresa ofrece la siguiente promoción para un nuevo producto.

a) Investiga los gastos para distintas compras.

b) Identifica las variables. ¿cuál es la dependiente y cuál la independiente?

c) Determina el dominio y la imagen de la función.

d) ¿La función es continua?, en caso de no serlo indica los puntos de discontinuidad.

e) Encuentra la fórmula que permite calcular el gasto y efectúa la gráfica

correspondiente.

Nºpasaj

Sueldo

0 5 10 15 20 25 30 35

0

100

200

300

400

500

600

700

� Menos de 10 litros ↔ $3 el litro � 10 litros o más y menos de 20 litros ↔ $2 el litro � A partir de 20 litros ↔ $1,5 el litro TODAS LAS COMPRAS SIN GASTOS DE ENVÍO


_____________________________________________________________________________________________________

42

f) Si tengo $15, ¿cuántos litros puedo comprar? ¿es única la respuesta?

g) Si tengo $25, ¿cuántos litros puedo comprar? ¿es única la respuesta? ¿cuál es el

significado de esta situación?. ¿Para qué cantidades de dinero sucede lo mismo?

h) Un cliente iba a comprar 39 4 litros y decidió comprar 20 litros. Analiza por qué

habrá cambiado de opinión. ¿Vos qué habrías elegido?

5) Una playa de estacionamiento tiene una tarifa de $ 2 la primera hora, $1 las tres siguientes y $

0,75 cada una de las horas que estacione a partir de ese momento.

a. Grafica el costo del estacionamiento en función del tiempo.

b. ¿Es una función continua? Explica.

c. Expresa en fórmula la función costo.

d. ¿Cuánto más debe pagar un señor que estaciona 7 horas respecto de otro que estaciona

5?

6) Analiza el siguiente gráfico y elabora un informe.

BIBLIOGRAFÍA:

� J. Cólera Jiménez y otros- Matemática 1- Editorial Anaya

� Adriana Berio y otros – Matemática 1 – Editorial Puerto de Palos

� Stanley Smith y otros – Algebra y Trigonometría- Addison Wesley Longman

cuadernillo de ingreso

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