cuadernillo de actividades segundo bimestre

Banco de Actividades Parciales Bloque II Matemáticas III

Escuela Secundaria Diurna No. 135 “Unión de República Socialistas Soviéticas”

Autor: Profesor Jose Javier Ramos Ponce

Ciclo Escolar 2015-2016 Alumno: _____________________

Grado: _______ Grupo: _______

Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce

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Tema: Patrones y Ecuaciones

Contenido: Uso de Ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando factorización.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Las ecuaciones de segundo grado son del tipo: ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas son aquellas en las que o b = 0 o c = 0.

Ejemplo: 2x2 - 32 = 0 (ecuación del tipo ax2 + c = 0, b = 0)

Se suma 32: 2x2 = 32

Se divide por 2: x2 = 16

Se extrae la raíz cuadrada: x = - 4, x = 4

Ejemplo: 2x2 + 3x = 0 (ecuación del tipo ax2 + bx = 0, c = 0)

Se extrae x como factor: x(2x + 3) = 0

Primer factor nulo: x = 0

Segundo factor nulo: 2x + 3 = 0

x = -3:2

Actividad: Indica el valor de los coeficientes a, b y c de las siguientes ecuaciones de

segundo grado.

a b c

a) 3x2 + 2x – 3 = 0

b) x2 + x = 0

c) 23 x – x2 + 5 = 0

d) 6 – x2 = 0

e) 2x – 3 = x2

f) 3 + 5x2 = 23


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Actividad: ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado son incompletas?

¿Por qué?

a) 6x2 + 3x - 1 = 0 d) 2x - 4x2 = 0

b) 4x - x2 = 0 e) 3 - x = x2

c) 2x - 1 = x2 f) x2 - 3 + x = 0

Actividad: Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes

ecuaciones de segundo grado:

a) x1 = 1, x2 = -1 de x2- 1 = 0

b) x1 = 4, x2 = -4 de 80 = 20x2

c) x1 = 9, x2 = -9 de 3x2 - 27 = 0

d) x1 = 1, x2 = -1 de -x2 + 1 = 0


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Actividad: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas,

empleando el método de los binomios conjugados

a) x2 - 16 = 0

b) 3x2 - 147 = 0

c) x2 - 144 = 0

d) 7x2 = 343

e) 3x2 = 243

f) x2 - 24 = 120

g) 3x2 + 12 = 0

h) 7x2 - 28 = 0


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Actividad: Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes

ecuaciones de segundo grado.

a) x1 = 1, x2 = -1 de x - x2 = 0

b) x1 = 0, x2 = 1 de x2 = x

c) x1 = 1, x2 = -10 de 3x2 = 30x

d) x1 = 0, x2 = 12 de 3x2 - 39x = 0

e) x1 = 0, x2 = -5 de 4x2 + 20x = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas, utilizando el método

de factorización común

a) 2x2 + 7x = 0

b) x2 - 64x = 0

c) 5x2 - 40x = 0

d) 4x2 – 9x = 0

e) 5

2x = x


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Ecuaciones de segundo grado completas

La ecuación de segundo grado ax bx c2 0+ + = se dice que está completa cuando todos

los coeficientes son distintos de cero. En este caso las soluciones se obtienen aplicando la

regla:

x b b aca

=− ± −2 4

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El valor del radicando de b ac2 4− permite saber el número de soluciones sin necesidad

de hallarlas. D b ac= −2 4 se llama discriminante.

si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -)

D b ac= −2 4 si D es cero, tiene una solución (solución doble)

si D es negativo, no tiene soluciones

Ejemplo: x x2 3 2 0− + = en esta ecuación a b c= = − =1 3 2, , y aplicando la fórmula

( ) ( )x =

− − ± − − ⋅ ⋅

⋅=

± −=

±=

3 3 4 1 22 1

3 9 82

3 12

2

3 12

42

2+= =

3 12

22

1−= =

x = 2

x = 1


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Actividad: Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de las siguientes

ecuaciones:

a) x x2 7 3 0− + =

b) x x2 16 64 0− + = c) x x2 6 13 0− + =

d) x x2 14 49 0− + =

e) 3 5 2 02x x− + = f) 2 45 02x x− − =

g) x x2 2 0+ + =

h) 4 12 9 02x x− + = i) x x2 8 25 0− + =

j) x x− + =2 7 02

k) x x− + =5 3 02 l) 8 3 02+ + =x x


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Actividad. Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes

ecuaciones de segundo grado:

a) x1 = 1, x2= -1 de x2 - x - 1 = 0

b) x1 = 3, x2 = 4 de x2 - 7x + 12 = 0

c) x1 = -6, x2 = 0 de x2 + 5x - 6 = 0

d) x1 = -2, x2 = 4 de x2 - 2x - 8 = 0

e) x1 = 0, x2 = 1 de x2 - 2x - 3 = 0

Actividad. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:

a) x2 - 5x + 6 = 0 g) 12 = x2 + x

b) x2 + 5x + 6 = 0 h) 3x + 10 = x2

c) x2 – x - 6 = 0 i) x2 - 4x + 4 = 0

d) x2 + x - 6 = 0 j) 9x2 - 6x + 1 = 0

e) 8x2 - 10x + 3 = 0 k) 100x2 + 20x = -1


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Actividad. En cada uno de las siguientes situaciones, plantea la ecuación correspondiente y, resolviéndola, encuentre la solución correspondiente.

1. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo. ¿De qué número se trata?

2. El cuadrado de un número menos el doble del mismo número es igual a 24. ¿Cuál

es ese número?

3. El cuadrado de un número es igual a la tercera parte del mismo más 8. ¿Cuál es

ese número?

4. El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. ¿Cuál es ese número?

5. El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 306. ¿Cuál es ese

número?

6. El producto de dos números consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos números?

7. El largo de un rectángulo mide tres unidades más que el ancho y el área es 270 m2,

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

8. El producto de dos números es 270. Si uno es tres unidades mayor que el otro,

¿cuáles son los números?

9. Juan es tres años mayor que su hermano Luis. Si el producto de sus edades es

270, ¿qué edad tiene cada uno?


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Tema: Medida

Contenido: Análisis de las relaciones entre áreas de cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo

Contenido: Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras (Teorema Jónico de los Triángulos Rectángulos)

Tipos de Triángulos según sus ángulos

“Si la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo, es igual al cuadrado

de la longitud de la hipotenusa, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo”.

Las siguientes propiedades nos permiten saber la clasificación de un triángulo según la

medida de sus ángulos, conociendo sólo la medida de sus lados:

Si a, b y c representan las medidas de los lados de un triángulo, tal que c es la mayor medida, se cumple que:

• Si 222 bac += entonces el Δ es rectángulo.

• Si 222 bac +< entonces el Δ es acutángulo.

• Si 222 bac +> entonces el Δ es obtusángulo.


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Actividad. Indique en cada caso si las medidas de los lados corresponden a un triángulo acutángulo, obtusángulo o rectángulo.

a) 31, 40, 53 ______________________

b) 41, 38, 52 ______________________

c) 18, 30, 24 ______________________

d) 50, 48, 14 ______________________

e) 7, 8, 9 ______________________

f) 10, 26, 24 ______________________

g) 10, 3 , 12 ______________________

h) 2 , 3 , 1 ______________________


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Actividad. Desarrolle y analice la manera de localizar ternas jónicas (¿ternas pitagóricas?)


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Actividad. Desarrolle y analice el teorema jónico de los triángulos rectángulos (¿Teorema de Pitágoras?)


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Actividad. Hallar la medida del lado que falta en cada uno de los siguientes casos.

x8 cm

5 cm

x

3,2 cm

4,1 cm

20 cm

12 cm

x cm

x

3720


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Actividad. Utilizando el teorema jónico, resuelva las siguientes situaciones. (Puede realizar una figura auxiliar)

1. Calcule la medida del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 10 cm.

También se pide el área del cuadrado.

2. Calcular la medida de la diagonal de un rectángulo con lados 3 y 4 centímetros

respectivamente.

3. Calcular la altura de un triángulo equilátero de 5 cm de lado.

4. Para sujetar una antena de 13 m de alto, se proyecta colocar tres cables de acero.

Si se desea que el punto de enganche del cable esté a una distancia de 4 m de la

base de la antena. ¿Cuántos metros de cable se necesitarán?.

5. Calcule la medida de la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 5 cm,

respectivamente.

6. Los lados de un triángulo isósceles miden 13 cm, 13 cm y 10 cm. Calcule su área.

7. Determinar la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los

catetos miden 6 cm y 3 cm respectivamente.


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8. Si en un triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa es 32 cm y la de uno de

sus catetos es 12 cm. Hallar la longitud del otro cateto.

9. La hipotenusa de un t r iángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección

de un cateto sobre e l la 10.8 cm. Hal lar e l otro cateto.

10. En un t r iángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la

h ipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la a l tura re lat iva a la

h ipotenusa.

11. La hipotenusa de un t r iángulo rectángulo mide 4056 m y la

proyección de un cateto sobre e l la 60 m. Calcular:

a) Los catetos.

b) La al tura re lat iva a la h ipotenusa.

c) El área del t r iángulo.

12. Calcular los lados de un t r iángulo rectángulo sabiendo que la

proyección de uno de los catetos sobre la h ipotenusa es 6 cm y la

a l tura re lat iva de la misma cm.


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13. Una escalera de 10 m de longi tud está apoyada sobre la pared.

El p ie de la escalera d ista 6 m de la pared. ¿Qué al tura a lcanza la

escalera sobre la pared?

14. Determinar e l lado de un t r iángulo equi látero cuyo perímetro es

igual a l de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus

áreas?

15. Calcular e l área de un t r iángulo equi látero inscr i to en una

circunferencia de radio 6 cm.

16. Determinar e l área del cuadrado inscr i to en una circunferencia de

longi tud 18.84 m.

17. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado si su lado mide 12 cm?

18. Hallar el área y el perímetro de un rectángulo sabiendo que la medida del ancho

es 15 cm y la medida de la diagonal es 20 cm.

19. Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 10 cm respectivamente. ¿Cuánto

mide cada uno de sus lados?


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Tema: Figuras y Cuerpos

Contenido: Propiedades de la traslación y la rotación de figuras.

Actividad: Elija la opción que responda cada uno de los siguientes cuestionamientos.

1. ¿Cuál de las siguientes letras de nuestro abecedario no tiene ningún eje de simetría?

a) C b) M c) A d) R e) X

2. Los triángulos 2, 3, 4 y 5 han sido obtenidos a partir del triángulo 1. ¿Cuál de ellos corresponde a la reflexión del triángulo 1?

a) triángulo 2 b) triángulo 3 c) triángulo 4 d) triángulo 5 e) Ninguno

3. ¿Cuál de las siguientes alternativas no corresponde a una transformación isométrica?

a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Reflexión e) Permutación


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4. El movimiento de un ascensor panorámico es un ejemplo de:

a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Isometría e) Teselación

5. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura siguiente?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

6. ¿Qué figura muestra todo los ejes de simetrías de un rectángulo?:

a)

b)

c)

d)

e) Ninguna de las anteriores

7. Un carrusel de niños es un ejemplo de:

a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Isometría e) Teselación


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8. ¿Cuál de las alternativas representa la rotación de la figura dada?

a)

b)

c)

d)

e) Ninguna de las anteriores

9. Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,0) y C(3,1), según el vector de traslación (4,1), el vértice homólogo correspondiente a B’ es:

a) (3,6) b) (2,1) c) (6,0) d) (6,1) e) (7,2)

10. Una circunferencia tiene como centro el punto (3,5). Si el vector de traslación de este punto es (-5, 1), ¿Cuál es el centro de la circunferencia trasladada?

a) (-2,6) b) (8,6) c) (-2,4) d) (-15,5) e) (8,4)

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