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Universidad Anáhuac Mayab

Ecuaciones Diferenciales

Profesor: Luciano Domínguez Cherit

Cecilia Reneè Gutiérrez Oropeza

Trabajo Final  

Validación  Experimental  de  los  modelos  obtenidos  con  Ecuaciones  Diferenciales            

Mérida, Yucatán a 14 de mayo del 2015.

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Tabla  de  contenido  

Introducción  ..................................................................................................................................  3  

Objetivo  ..........................................................................................................................................  3  

Marco  teórico.  El  modelo  matemático  ..................................................................................  4  

Metodología  experimental  .......................................................................................................  5  

Resultados  experimentales  .....................................................................................................  6  

Comparación  entre  el  modelo  teórico  y  el  experimental  ..............................................  7  

Conclusiones  .................................................................................................................................  7  

Bibliografía  ....................................................................................................................................  8  

Anexos  .............................................................................................................................................  9    

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Validación  Experimental  de  los  modelos  obtenidos  con  Ecuaciones  Diferenciales    

Introducción  

Existen varios y diversos modelos matemáticos que se utilizan en la actualidad para el estudio de problemas en Biología y otras ciencias experimentales. Sus objetivos principales son describir, explicar y predecir los fenómenos y procesos que se estudian en dichas áreas. La gran parte de tales modelos matemáticos se expresa mediante ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es aquella en que la incógnita es una función: no el valor de la función en uno o varios puntos, sino la función en sí misma. Además, la ecuación involucra no sólo la función (incógnita), sino también sus derivadas hasta un cierto orden.

Debido a que las ecuaciones diferenciales relacionan los valores de una función con los de sus derivadas, son una herramienta fundamental en el tratamiento matemático de cualquier fenómeno dinámico, es decir, que involucre magnitudes que cambian con el tiempo. Por ello, sus campos de aplicación son numerosos en física, química, biología, economía, . . .

En este trabajo se presenta la validación experimental del modelo matemático de Malthus (que se detalla en el apartado de Marco Teórico) para el crecimiento de la población de búlgaros de yoghurt (kéfir). Ya que son microorganismos, en vez de contar a los integrantes de la población, se utilizará su masa.

Objetivo  Con base en el modelo de dinámica de poblaciones de Malthus se validará experimentalmente si el crecimiento de la población de microorganismos que conforman a los nódulos de kéfir responde a dicha ecuación.

A través de este proyecto, se deberán aplicar los conocimientos adquiridos y aplicados en clase sobre las ecuaciones diferenciales e identificarán las condiciones para adaptar el modelo a su experimento.

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Marco  teórico.  El  modelo  matemático  

Dinámica de poblaciones: modelo de Malthus

El comportamiento de una población de seres vivos cuyo número de individuos varía en el tiempo puede ser modelada matemáticamente por medio de ecuaciones diferenciales; este es uno de los principales campos de aplicación de las Matemáticas a la Biología.

Cuando una población no está sujeta a condicionantes externos como la falta de alimentos o la competencia, su ritmo de crecimiento (o decrecimiento) se debe solamente al equilibrio entre su tasa de natalidad y su tasa de mortandad: por lo tanto, la velocidad de crecimiento de la población es proporcional al número de individuos que la componen.

Para expresar esto matemáticamente, denotemos:

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑘𝑁

al integrar la ecuación anterior, se obtiene:

𝑁 = 𝑐𝑒!"  , donde N es el número de habitantes en el instante t.

Donde c y k son unas constantes, que caracterizan la tasa de crecmiento de la población y que usualmente se determinan experimentalmente. Si k > 0 la población aumentará de tamaño, por ser la velocidad de crecimiento positiva, mientras que si k < 0 la población disminuirá de tamaño.

Planteamiento  del  problema:  

El modelo teórico y su procedimiento:

Un cultivo de kéfir tiene inicialmente una masa de 7.9 gramos de microorganismos. Después de 13 días se registraron 9.77 gramos. Si la tasa de crecimiento es proporcional a la masa del nódulo que forman los microorganismos presentes, determina si la fórmula teórica se aproxima a los resultados experimentales del crecimiento de los nódulos de kéfir en masa.

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*Consideraciones iniciales:

𝑑𝑁𝑑𝑡

= 𝑘𝑁

𝑁 0 = 7.9      𝑦        𝑁 13 = 9.77

*Solución:

𝑑𝑁𝑁= 𝑘  𝑑𝑡

ln𝑁 = 𝑘𝑡 + 𝑐

𝑁 = 𝑐𝑒!"                  (1)

Sustituyendo N(0)=7.9

7.9 = 𝑐

Ahora usando el valor de c en (1)

𝑁 = 7.9𝑒!"              (2)

Sustituyendo N(13)=9.77 en (2)

9.77 = 7.9𝑒!"!

𝑘 =𝑙𝑛 9.777.913 = 0.01634

La solución al problema de valores iniciales es:

N = 7.9 e0.01634t

Metodología  experimental    

Materiales  

-­‐ Población inicial de kéfir -­‐ Báscula -­‐ Vaso de vidrio -­‐ 13 tetrapaks de 250 ml de Leche entera de vaca -­‐ Colador de plástico -­‐ Computadora con Excel

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Procedimiento  

1. Se midió la masa del vaso de vidrio en la báscula.

2. Se midió la masa de la población inicial dentro del vaso y se resto a esto la masa del vaso vacío para obtener únicamente la cantidad de masa de los nódulos de kéfir. A esta medición se le asignó el tiempo t=0.

3. El procedimiento se repitió en un transcurso de 14 días 7 veces (debido a que la medición se hizo en el laboratorio y no se asistió en fines de semana) a la misma hora durante una semana y cada día se le sumó una unidad al valor del tiempo t.

4. Los resultados de estas mediciones se documentaron en una tabla de Excel, y con este mecanismo se creó una gráfica con puntos de dispersión y línea de tendencia exponencial.

5. Se resolvió la ecuación diferencial usando como valores iniciales el tiempo inicial (0) y el tiempo final (13).

6. Se comprobaron los resultados teóricos de la ecuación diferencial y se compararon con los datos experimentales.

Resultados  experimentales  Tabla

t (Días) N (masa en gramos)

0   7.9  1   7.91  4   8.52  5   8.58  11   9.01  12   9.55  13   9.77  

 

La tabla muestra las masas que se documentaron en un periódo de 13 días, durante los cuales sólo se realizaron las mediciones 7 días. A simple vista se puede observar que se trata de un caso de crecimiento de población.

En el Anexo 1 se encuentra la gráfica que trazan estos puntos.

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Comparación  entre  el  modelo  teórico  y  el  experimental  

La tabla que se muestra en esta sección ayuda a hacer una fácil comparación entre las masas que se midieron experimentalmente, y las que se esperaban según el modelo matemático que se desarrolló en la sección del Marco Teórico de este trabajo. Cómo se puede observar, el porcentaje de error (tomando como valores reales los experimentales y como aproximados los cálculos) es muy bajo.

En el Anexo 2 se encuentra la gráfica de dispersión con línea de tendencia exponencial que fue realizada a partir de los datos calculados. Se sugiere comparar la forma con la del Anexo 1.

Conclusiones  Las ciencias son multidisciplinarias, es decir, necesitan apoyarse unas de otras para poder comprobar o refutar teorías por medio de la experimenatción. Este proceso es el método científico.

Las matemáticas ofrecen a los científicos e investigadores la facilidad de poder modelar funciones que les ayuden a hacer predicciones sobre el comportamiento de un fenómeno. En el caso de este experimento, gracias a las ecuaciones diferenciales, se aplicaron las Matemáticas a la Biología y se obtuvieron resultados bastante aproximados al comportamiento real de los seres vivos que fueron analizados.

Es muy interesante ver el alcance predictivo de un modelo matemático, sobre todo por el hecho de que tiene un alto nivel de precisión aún cuando se trata de seres vivos que están afectados por varias condiciones, y pareciera difícil poder hacer aproximaciones a futuro de cómo crcerá su población.

  EXPERIMENTAL   CÁLCULO    t (Días) N (masa en gramos) N (masa en gramos)   % de Error

0   7.90   7.90   0%  1   7.91   8.03   1.5%  4   8.52   8.43   1.1%  5   8.58   8.57   0.1%  11   9.01   9.46   4.9%  12   9.55   9.61   0.6%  13   9.77   9.77   0%  

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En este trabajo en particular, el modelo matemático fue muy acertado ya que en promedio, el pocentaje de error fue de 1.17% y para los datos experimentales el coeficiente de determinaión (R2) fue mayor a 0.9 para la gráfica exponencial, lo cual es interpretado como que las variables N y t guardan una alta proporcionalidad.

Bibliografía  Doubova,  A.,  &  Echeverría,  R.  (s.f.).  Depto.  de  ecuaciones  diferenciales.  Recuperado  el  10  de  Abril  de  2015,  de  Universidad  de  Sevilla:  http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICBIO/LBII/Teoria2BIOII0910.pdf  

Facultad  de  Ciencias.  (s.f.).  Recuperado  el  Abril  de  2015,  de  UNAM:  http://lya.fciencias.unam.mx/gfgf/ode/ode_files/result5b.pdf  

 

   

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Anexos  Anexo 1 (Gráfica para datos experimentales)

Anexo 2 (Gráfica para datos calculados)

Imágenes

y  =  7.8912e0.0152x  R²  =  0.95276  

7  

7.5  

8  

8.5  

9  

9.5  

10  

0   2   4   6   8   10   12   14  

N  (masa  en  gramos)  

N  (masa  en  gramos)  

Exponencial  (N  (masa  en  gramos))  

N(t)  

t  en  días  

y  =  7.9e0.0163x  R²  =  1  

7.50  

8.00  

8.50  

9.00  

9.50  

10.00  

0   2   4   6   8   10   12   14  

N  (masa  en  gramos)  

N  (masa  en  gramos)  

Exponencial  (N  (masa  en  gramos))  

N(t)  

t  en  días  

Ilustración  1  La  pantalla  marca  9.04 Ilustración  2  Coladera  y  búlgaros  en  leche