control digital y no lineal introducción. conceptos fundamentales profesor responsable: dr. ing....

Control Digital y No Lineal

Introducción. Conceptos Fundamentales

Profesor Responsable: Dr. Ing. Fernando Botterón

Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de Misiones

Introducción

Conocimientos previos necesarios:

Teoría de Muestreo de Señales.

Modelado de la planta o proceso por:

función de transferencia o entrada-salida.

en espacio de estados.

Efecto de los autovalores del sistema sobre la

respuesta transitoria y de régimen permanente.

Respuesta en frecuencia: análisis de estabilidad y

análisis de desempeño.

Introducción

Historia del Control Digital:

1950 se desarrolla en Columbia, la teoría de sistemas de datos

muestreados con: Ragazzini, Franklin, Zadeh, Jury, Kuo, entre otros.

El interés surge en los (’50) control DDC para misiles y aviones.

Los primeros libros de control por computadora datan de finales de la

década del ’60.

En 1956 se instaló un SCD para refinería de petróleo: 26 caudales y 72

temperaturas y 3 composiciones. MTBF de 50 a 100hs para la CPU.

costos elevados.

baja confiabilidad.

gran consumo de energía.

1 suma en 1ms y 1 multiplicación en 20ms.

Escaso desarrollo en lo que hace a sensores.


En el ’62 en una industria química en UK (Imperial Chemical Industries),

un control digital con 224 entradas y un comando de 129 válvulas.

DDC (Control Digital Directo)

1 suma en 0,1ms y 1 multiplicación en 1ms.

MTBF 1000hs para la CPU.

Incorporación de teclados y pantallas.

Fácil reconfiguración del sistema.

Segunda mitad de los ’60 realidad se altera sustancialmente con las

minicomputadoras.

1 suma en 2 ms y 1 multiplicación en 7ms.

MTBF aumenta a 20.000hs.

Se reducen los costos para pequeños proyectos.


Más aún a mediados de los ’70 e inicio de los ’80 con el surgimiento de

las microcomputadoras y mediados de los ’80 con la PC.

Costo promedio bajo (U$S 500)

Consumo de energía despreciable.

Ya se habla de control dedicado para cada variable o grupo de

ellas.

Se observa un desarrollo importante de la teoría de control

Surgen los PLC para control distribuido y secuenciamiento lógico.

Comienza entonces, el desarrollo de paquetes de software tan

importantes como ORACLS, Program CC, Control-C, PC-Matlab,

MATRIXx, Easy5, SIMNON, SABER y muchos otros.

Introducción

Control Digital versus Control Analógico

¿Porqué Control Digital?

Facilidad de Implementación;

Flexibilidad de Actualización;

Permite reducir el número de

componentes;

Interfaz Hombre-Máquina

Insensibilidad a ruidos y variación

paramétrica de componentes

Gran disponibilidad de DSCs, mC,

PC’s Industriales con periféricos

dedicados y PLC’s.


¿Porqué Control Digital?

Presenta varias ventajas respecto al Control Analógico

Permite implementar técnicas de control sofisticadas que

tienen en cuenta: - Variaciones paramétricas, tolerancias, no

linealidades.

Técnicas de control Clásicas;

Técnicas de control de Auto Análisis y Auto Sintonía;

Técnicas de control de Tiempo Mínimo, (Deadbeat);

Técnicas de control Predictivas.


Técnicas de control adaptativas;

Identificación paramétrica de procesos;

Modelos de referencia;

Técnicas de control robustas.

Múltiples lazos de control a diferentes tazas de muestreo.

Técnicas de Optimización.

Control distribuido o jerárquico.

Posibilita implementar sistemas de alarmas, registro y

envío de datos, etc.

Control de Servo Motores de Corriente Continua,

Fuentes Ininterrumpidas de Energía Eléctrica (UPS),

Industria Aeroespacial,

Control de Motores de Inducción de baja y alta tensión,

Fuentes de Alimentación en Modo Conmutación

Control de tensión y frecuencia, potencia activa y reactiva en usinas de generación:

parques eólicos,

pequeñas centrales hidroeléctricas,

sistemas fotovoltaicos,

motores de combustión interna, entre otros.

Control Digital: Espectro de Aplicaciones

Dispositivos programables disponibles

mC

Arquitecturas Von Neumann, Harvard y Hardvard Modificada: CISC y RISC

DSC’s

CPU’s de hasta 32 bits y gran capacidad de memoria

DSC’s: Procesadores matemáticos de aritmética de punto fijo y punto flotante

DSC’s y Microcontroladores: Diseñados específicamente para tareas de CONTROL y COMANDO

PSoC FPGA

PSoC: Dispositivos programables mixtos, analógicos y digitales

FPGA: Dispositivos programables digitales.

DSC’s

TMS320F241

Consideraciones para seleccionar microcontroladores o DSC’s

DESEMPEÑO DINÁMICO:

Frecuencia de Muestreo del conversor A/D.

Resolución del conversor A/D.

Clock (ciclo mínimo de instrucción) (MIPS).

Tamaño de palabra de la memoria de datos: cuantificación.

Unidad aritmético-lógica de punto fijo o de punto flotante.

Conjunto de instrucciones, cantidad de interrupciones y

periféricos disponible

Modulador PWM y Resolución en bits

Consideraciones para seleccionar microcontroladores o DSC’s

COSTO: Hoy día esta cuestión es relativa y no incide significativamente.

Depende de la dimensión del proyecto.

Disponibilidad de herramientas de desarrollo.

Costos de las placas de evaluación.

DESEMPEÑO DINÁMICO: Módulo de Captura para Codificadores de Posición y Velocidad

Memoria, Conjunto de Instrucciones y Cantidad de Interrupciones

Tamaño de la memoria de datos y de programa.

Diferentes Tipos de Señales

Señal Analógica o de Tiempo Continuo: Está definida en un intervalo continuo de tiempo, cuya amplitud puede adoptar infinitos valores en este intervalo.

Señal de Tiempo Discreto o de Datos Muestreados: Es una señal definida solo a instantes discretos de tiempo.

Señal Cuantificada en Tiempo Continuo: Su amplitud asume un N° finito de diferentes valores en un intervalo de tiempo continuo de tiempo.

Señal Digital: Es una señal de tiempo discreto cuantificada en amplitud y en tiempo. Representada por una secuencia de números, binarios o hexadecimales.

Sistema de Control Digital

S/H+

A/DPlanta

y(t)e(t)

Actuador

e*(t)

T

r(t)

-CPU D/A Hold

Filtro Sensor

Clock (CPU)

µC, DSP o PC

+

Controlador Digital: Es muy importante que las señales estén cuantificadas, tanto en amplitud como en tiempo.

Proceso de Muestreo, Conversión de Datos y Cuantificación

Muestreo: Muestras de la señal analógica a intervalos regulares. Frecuencia de Muestreo debe ser adecuadamente seleccionada: fm ≥ 2xfmax

Retención: Retiene la muestra de la señal analógica por el tiempo que el ADC necesite para efectuar la conversión.

Conversión y Cuantificación: Efectúa la correspondencia entre los valores de la señal analógica muestreada y los estados digitales posibles según el N° de bits del ADC.

El rango de valores de la muestra puede ser infinito y el valor de salida del ADC es finito.


Muestreo y Retención:

+

-ei(t)

RsReloj

C eo(t)

+

-

eo(t)eo(t)

Seguimiento

ei(t)

p

pPulso de reloj

Retención

Muestreo

tst

t

Rs ≈ 0

Muestreo

Retención


Muestreo y Retención: Ta : Tiempo de adquisición

ei (t)± 0,1% Valor

finalTp : Tiempo de

aperturaTs : Tiempo de

asentamiento

Atenuación en Modo Retención

Impedancia de Entrada Elevada

+

-

+

-ei(t) CH

Muestreador

Amplificador de aislación de entrada

Amplificador de aislación

de salida

Comando de muestreo y retención

eo(t)


Muestreo y Retención:

Frecuencia de Muestreo Uniforme

Seguimiento, p


Muestreo y Retención: Diagrama de Bloques

S/Hei(t) eo(t)

Retenedorei(t)

FiltroMuestreador

Retraso

dT seeo(t)

2

2 2( )

2n

fn n

G ss s

d a pT T T

muestreadorT p

10nspT

300nsaT

100nssT

410nsp p T


Muestreo y Retención: Circuito Ideal

t

ei(t) eo(t)

0 T 2T 3T 4T 5T 6Tt

Comando de Muestreo

Retenedorei(t)

MuestreadorIdeal

eo(t)

0p

Modulador de Amplitud de

Pulsos

Proceso de Muestreo: Topologías

Lazo abierto: Seguidor en Cascada

+

-

+

-ei(t) CHS/H control

eo(t)+-

+-

A1A2

+

-

+

-ei(t) CHS/H control

eo(t)+-

+-

A1A2

Lazo cerrado: Seguidor de Salida

+

-

+

-ei(t)

CH

S/H control

eo(t)+-

+-A1 A2

Lazo cerrado: Integrador de Salida

Las configuraciones de los

amplificadores pueden ser tanto

inversoras como no

inversoras.

Proceso de Muestreo: Topologías

S/H Comerciales:

AD582, 583 y 585: (1970 a 1980). 1 S/H en un solo chip

Tiempo total de adquisición y retención: 6,7ms

AD684: 4 S/H en un solo chip

Tiempo total de adquisición y retención de c/u: 1,515ms

AD783: Very High Speed. 1 S/H en un solo chip

Tiempo total de adquisición y retención de c/u: 480ns

Proceso de Conversión de Datos y Cuantificación

Conversión Analógica a Digital:

S/ H Q CodificadorSeñal

analógica

Cuantificador

Señal

digital

Conversión

• Proceso de conversión se realiza en un tiempo Dt finito.

• De aquí la importancia de la retención de la señal adquirida.

• Existen diferentes métodos:

Por aproximaciones sucesivas (Buena resolución y velocidad)

Por contador o tipo servo

En paralelo (Alta velocidad y circuitería compleja)

Por integración. De simple y doble rampa (Muy precisos pero lentos)

S-Delta. (Muy buena precisión. Costos elevados)

Proceso de Conversión de Datos y Cuantificación

Conversión Analógica a Digital:

• Pueden encontrarse conversores A/D desde 6 hasta 24 bits.

• Mayor resolución → Mayor número de bits, incrementa circuitería, resultando más costosos y hace que el tiempo de conversión aumente.

• Los tiempos de muestreo y conversión representan un atraso de transporte

Pueden tener efectos adversos sobre la estabilidad del sistema de control.

Este tiempo dependerá de la resolución y del método de conversión.

• Los conversores AD más utilizados en mC y DSC’s utilizan el método de conversión por aproximaciones sucesivas.

• Con resoluciones entre los 8 y 16 bits.

Conversión Analógica a Digital: Parámetros de interés

1LSB2 1

FSn

Vq

( )100%resolución

FS

V qExactitud

V

Resolución:

max

1

2f

tiempo deconversion

Tiempo de conversión:

Exactitud:

Error máximo:

max

1 1

2 2 1 2FS

n

Ve q

_

_ _

(2 1) ref lown

ref high ref low

Tension Analógica de Entrada VValor Digital

V V

Con:

_ _ 0Vref high DD ref lowV V y V

Dado el N° finito de niveles, el valor analógico resulta redondeado o truncado, cuando se convierte a una

señal digital.

Conversores AD Comerciales

Conversores AD Comerciales:AD7949: Aproximaciones sucesivas, 14bits, 250kS/seg

Tiempo total de adquisición y conversión: 4,0msAD7357: Dual. Aproximaciones sucesivas, 14bits, 4,2MS/seg

Tiempo total de adquisición y conversión: 240nsAD7760: S-Delta, 24bits, 2,5MS/seg.

Tiempo total de adquisición y conversión: 400ns

AD7490: 16 canales Aproximaciones sucesivas, 12bits, 1MS/seg.

Tiempo máximo de adquisición y conversión: 800ns

Conversores AD Controladores Digitales de Señal

Conversores AD DSC’s:

TMS320F240 a 243: Aproximaciones sucesivas, 10bits, 0,5MS/seg

Tiempo total de adquisición y conversión: 1ms (una conversión) o 1,7ms (dos conversiones simultáneas).

TMS320LF2407: Aproximaciones Sucesivas, 10bits, 1MS/seg

Tiempo total de adquisición y conversión: 375ns (una conversión.TMS320F2812 o TMS320F28335: Aprox. Sucesivas, 12bits, 6,25MS/seg

Tiempo total de adquisición y conversión: 80ns (una conversión) o hasta 200ns (dos conversiones simultáneas). TMS320F28377D Dual-Core Delfino: Resolución de 16 o 12 bits. Aprox. Sucesivas, 4,4MS/s o 14MS/s. Diferencial o Simples.

Muestreador y Retenedor de Datos

Muestreador por Impulsos

( )f t

T

*( )f t

( )p

( )T t

( )f t

t

(a)

( )T t

t

T

0p

(b) (c)0 T

t

*( )f t0p

*( ) ( ) ( ), ( ) 0f t f kT t kT con t kT t kT En t = kT:

: ( ) 0 0Se asume que f t t

Siendo:0

( ) ( )Tk

t t kT


Muestreador por Impulsos

(c)0 T

t

*( )f t0p *

0

*

( ) ( ) ( );

( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k

f t f kT t kT o también

f t f t f T t T f kT t kT


Reconstrucción de Señales Muestreadas

*

0

( ) ( ) ksT

k

F s f kT e

cc 0 s 2 s2 s s

*( )F jCaracterística Pasa Bajos Ideal

Espectro de Amplitud de F*(s)

1

0 cc

Amplitud

Característica de amplitud de un filtro ideal


Aproximación deseada por expansión en series de potencia de f(t)

2

2

2

''( )( ) ( ) '( )( ) ( )

2!

( ) ( ) ( 1)

( ) ( )'( ) ''( )

k

k

t kT t kT

f kTf t f kT f kT t kT t kT

donde f t f t para kT t k T

df t d f ty f kT f kT

dt dt

( ) [( 1) ]'( )

'( ) '[( 1) ]''( )

f kT f k Tf kT

Tf kT f k T

f kTT

A mayor aproximación requerida mayor es el

atraso de tiempo involucrado


ZOH( )f t ( )h t( )f kT

Muestreador Ideal p ≅ 0

T

kT

( )f kT( )f t

t t

( )h t

( ) ( ) ( )kf t h t f kT Primera Aproximación: ZOH

1( ) ( ) [ ( ) [( 1) ]( )kf t f kT f kT f k T t kT

T

Segunda Aproximación: FOH (First-Order Hold )


Retenedor de Orden Cero (ZOH): Filtro pasa bajos

*( ) ( )t

t T

h t f d

Impulso Unitario

t

1

0

T

Muestreador

hCAl amplificador

deiZ

A la fuente de señal de

0oZ

t

1

0 T

Respuesta del ZOH

ZOH*( )f t ( )h t


Retenedor de Orden Cero (ZOH)

* * *( )( ) ( ) ( ) ( )

t

t T

dh th t f d f t f t T

dt

ZOH*( )f t ( )h t

Aplicando la Transformada de Laplace:

* * *( ) ( ) ( ) ( )(1 )sT sTsH s F s F s e F s e *

( ) 1( )

( )

sT

zoh

H s eG s

F s s

* *( ) ( ) ( )zohg t f t f t T Respuesta al Impulso del ZOH


Función de Transferencia Retenedor de Orden Cero (ZOH)

0

( ) (0)[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( 2 )] (2 )[ ( 2 ) ( 3 )]

1( ) ( )[ ( ) ( ( 1) )]; : [ ( )] skT

k

h t f r t r t T f T r t T r t T f T r t T r t T

h t f kT r t kT r t k T donde r t kT es

L

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T 12T 13T 14T

15T 16T 17T 18T

19T

*( )f t

t

( )f t

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T 12T 13T 14T

15T 16T 17T 18T

19T 20T

( )h t

t

T

1 sTe

s

( )F s *( )F s *( )H s


Función de Transferencia del Retenedor de Orden Cero (ZOH)

( 1)

0

[ ( )] ( ) ( )skT s k T

k

e eh t H s f kT

s

L

2 2 31( ) (0) ( ) (2 )

sT sT sT sT sTe e e e eH s f f T f T

s s s s s s

0

1( ) ( )

sTskT

k

eH s f kT e

s

*( ) ( ) ( )zohH s G s F s 1( )

sT

zoh

eG s

s


Retenedor de Orden Cero (ZOH): Análisis en frecuencia 1

( )j T

zoh

eG j

j

Puede ser reescrita de la siguiente forma:

/2 sin( / 2)( )

/ 2j T

zoh

TG j Te

T

T

( )zohG j

2

s

0,637

s 2s 3s 4s

Filtro pasa bajos ideal

En régimen permanente senoidal:

102

103

104

105

106

107

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Am

plitu

d [db]

Respuestas de Magnitud y fase de un ZOH

102

103

104

105

106

107

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Frecuencia [Hz]

Fase

[gr

ados

]

Filtro Ideal

Filtro Ideal

ZOH

/2 sin( / 2)( )

/ 2j T

zoh

TG j Te

T


Retenedor de Orden Cero (ZOH): Análisis en frecuencia

El ZOH es un filtro pasa bajos en serie con un atraso de T/2 segundos

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo, segundos

Señal de entrada, f(t)

1º armónica de h(t)

Señal de salida del ZOH, h(t)


Aproximación de Padé de un atraso puro:1 ( / 2)

1 ( / 2)ost o

o

s te

s t

1 ( / 2) 2,

1 ( / 2) 2sT

o

s T sTcon t T e

s T sT

Con esta aproximación, la función de transferencia del ZOH resulta:

_

2( )

(2 )zoh a

TG s

s T

Salida del ZOH presenta componentes de alta frecuenciaDesplaza la fundamental en T/2 segundos


Bode con Aproximación de Padé de primer orden:

102

103

104

105

106

107

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Am

plit

ud [d

b]

Respuestas de Magnitud y fase de un Zero-Order Hold y Aproximacion de 1er Orden

102

103

104

105

106

107

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Frecuencia [Hz]

Fase

[gr

ados

]

_

2( )

(2 )zoh a

TG s

s T

( 2)s TzohG eFinalmente, el ZOH puede

aproximarse por:

Transformada Z

• Herramienta de análisis de sistemas discretos análoga a la transformada de Laplace para sistemas continuos.

• Transforma una secuencia discreta de números en una secuencia de variable compleja “z”

• Útil para el análisis y el diseño clásico de sistemas de control.

Dificultad: Transformadas inversas de funciones irracionales.

0

*( ) ( ) ksT

k

F s f kt e

Retenedorf (t)

MuestreadorIdeal

F*(s)

Función Irracional de “s”

Para facilitar la obtención de la función f(t) se utiliza la transformación de variable compleja o transformación conforme:

sTz e

Transformada Z

Función Racional F(z)0

1( ) * ln ( ) k

k

F z F s z f kt zT

1. Se muestrea f(t) con un muestreador ideal,

2. Se toma la transformada de Laplace de f*(t) para hallar F*(s),

3. Se reemplaza esT por z-k para obtener F(z).

Desventaja: La expresión resulta en una serie infinita en z-k por lo que es necesario un esfuerzo adicional para obtener F(z) en forma cerrada.

Transformada Z

Limitaciones de la Transformada Z:

1. Hipótesis del Muestreador Ideal.

2. Exactitud del método de la transformada Z.

3. No unicidad de la transformada Z inversa

La simplicidad y ventajas superan mucho la desventaja de la No Unicidad de la transformada Z inversa .

0 T 2T 3T 4T

( )f t

t

5T 6T 7T

Selección de la Frecuencia de Muestreo

Relaciones entre el plano-s y el plano-z

*( )F s Introduce ∞ polos periódicamente espaciados sobre el eje jw

ω 0,1,2,.... 2s s sm con m y f

La Transformada Z, traslapa estos ∞ polos en un N° finito de polos en el plano-z

Re(z)

Im(z)

Plano-z

Plano-s

s Tz e


Consideramos la banda primariaω ω

2 2s sy

c o s s e nTz e T j T 1z z


1Tz e Semiplano izquierdo abierto del plano-s

Plano s


1Tz e Semiplano derecho abierto del plano-s


σ i Tz e Regiones de s constante

3+ σ Te

2- σ Teωj

2σ 3σ3-σ 2-σ 1-σ

Plano s Plano z


ω i Tz e Regiones de wd constante

Plano s Plano z


- 2 π ω ( β ) / ω 2 π ω / ωst gsz eRegiones de x constante

β z l i n e a l m e n t e y z l i n e a l m e n t e


Regiones a wn constante

Regiones a wd constante son normales a las de s constante

Plano s


Región Deseada para proyecto

1

1

f r e c u e n c ia s d e i n t e r e s d e ω 0 a ω / 2

4 5 0 , 7 0 7 1s

Obtención del Modelo Nominal

de la Planta

MODELOS CONTÍNUOS

MODELOS DISCRETOS

Modelo ContinuoDiseño del Controlador

Continuo

Discretización del Controlador

Modelo DiscretoDiseño del Controlador

Discreto

Implementación

Implementación

Aspectos del Diseño de Controladores Discretos

Controladores de Tiempo Continuo:

Proporcional (P);

Proporcional + Integral (PI);

Proporcional + Derivativo (PD) y

Proporcional + Integral + Derivativo (PID)


Continuo

- Aproximaciones de Euler

- Utilizando un (ZOH)

- Transformación Bilineal, etc.

DESVENTAJA: NO INCLUYE ATRASO DE TRANSPORTE

Compensadores de Atraso o de

Adelanto

Controladores de Tiempo Continuo Discretizados o Aproximados


Continuo

- Aproximaciones de Euler

- Utilizando un (ZOH)

- Transformación Bilineal, etc.

Gc(s) Planta

U(s) Y(s)+

-

R(s) E(s)

Procesador Planta

y(t)e(t)

ZOH

e*(t)

T

r(t)

+

-

DESVENTAJA: NO INCLUYE ATRASO DE TRANSPORTE

/ 2s Te

( )u k T ( )u t

Controladores de Tiempo Continuo Discretizados o Aproximados

VENTAJAS DEL MODELO de

TIEMPO DISCRETO

- Permite modelar los atrasos

- Controlador en la forma adecuada para su implementación

- Resulta fácil la implementación de sistemas con diferentes frecuencias de muestreo

Controladores de Tiempo Discreto

Controladores de Tiempo Discreto: Proporcional (P);

Proporcional + Integral (PI);

Proporcional + Derivativo (PD);

Proporcional + Integral + Derivativo (PID);

De Tiempo Mínimo o Deadbeat (por F.T o R.E);

Regulador Lineal Cuadrático Discreto (Energía Mínima);

Servo Controlador con Realimentación de Estados;

Modelo Interno;

Controladores Adaptativos e Identificación Paramétrica;

Observadores de Estados;

Sistemas de control con múltiples lazos y diferentes frecuencias de muestreo.

Predictivos

Sistemas Muestreados en Lazo cerrado

r(k)Gc(z) Planta

Sensor+ Filtro

+

-

e(k)

y(k)

T

T

r(kT)Planta

Sensor + Filtro

e(kT)

y(kT)

T

Actuador+

-

Compensador discreto

u(kT) u(t)

r(kT): un valor constante o un bloque de memoria dentro del mP

Especificaciones del Sistema de Control

Especificaciones de Desempeño deseadas:

Error nulo en régimen permanente;

Respuesta transitoria rápida;

Estabilidad, ABSOLUTA y RELATIVA y ;

Robustez a los cambios en los parámetros del sistema;

Rechazo de disturbios;

Esfuerzo del controlador (Optimización de Energías)

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