continuidad

CONTINUIDAD

DEFINICION:

Una función f (x) es continua en un punto a si limx→a

f ( x )=f (a)

Nota: observar que debe existir f (a )y debe existir limx→a

f ( x )el y debe ser igual a f (a ) .

Consideremos una función real de variable real f: R→R, diremos quela función fes continua en el punto x=x0 , si y solo si, se cumple las 3 condiciones siguientes:

i. Exista f (x0 ) , es decir x0∈Df

ii. Exista limx→x0

f (x )

iii. limx→x0

f (x )=f (x0)

Observación: cuando una o de las 3 condiciones o mas no se cumple, se dice que la función f es continua en el punto x=¿ x0 .

La función f es continua en el punto x0 en Df si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que

│ f ( x ) - f (x0)│ < ε

Siempre que x ϵ Df y │x -x0│< δ.

Si x0pertenece a Df , pero no es un punto de acumulación de Df , entonces f es

continua en x0, pues podemos encontrar un δ > 0 tal que no haya ningún punto de Df

distinto del x0 en < x0 –δ, x0 +δ >, y entonces el único punto que satisface x ϵ Df y │x -

x0│< δ es x0 y │ f (x0 ) - f (x0)│¿ 0 < ε para cualquier ε > 0 .De donde, como

afirmamos, f es continua en x0. Si x0 es un punto de acumulación de Df , entonces la

definición dada es equivalente a la función f es continua en el punto x0 en Df si

limx→x0

f=f (x0)

En este caso no necesitamos la restricción 0 < │x -x0│ ya que claramente │

f (x0 ) - f (x0)│¿ 0 < ε.

Una función f (x) es continua en un punto si x=a si limx→a

f ( x )=f (a) :

“para todo entorno de centro f (a ) y radio β , existe un entorno de centro a y radio ð tal que todos sus puntos x tienen su imagen f ( x ) dentro del entorno de centro f (a) y radio β”.

De otra forma: "Si x dista de a menos de ð, su imagen f ( x ) dista de f (a) menos que β ".

∀ β>0∃δ>0/ si│ x−a│<δ⇒│f ( x )−f (a)│<β

Ejemplos:1._Demuestre que si f ¿ I +2 , entonces f es continua en 2 .

Sol:

El dominio de f es R ¿ ¿−∞ ,+∞>¿ y, por tanto, 2 es un punto de acumulación de Df .

Tenemos f(2) = 4 y limx→2

f ¿4 . Así pues limx→2

f ¿4 ¿ f (2 ). Luego f es continua en 2.

2._

TEOREMA A

Si las funciones f y g son continuas sobre los intervalos U 1 yU 2 y si U=U 1+¿U 2¿ entonces:

1. f +ges continua sobre el intervalo U .

2. f−g es continua sobre U .

3. f . g es continua sobre el intervalo U (producto de dos funciones).

4. f /g es continua sobre U , excepto para a ϵU tal que g(a)=0.

DEMOSTRACION

Sea cualquier numero en U .

Como f y g son continuas entonces se tiene que limx→c

f (c)=f (c) y limx→c

g ( x )=g (c).

De los teoremas sobre límites se sabe que:

limx→c [ f ( x )+g ( x )=lim

x→cf ( x )+lim

x→cg (x)]

Luego

limx→c

[ f ( x )+g (x )=f ( x )+g (x) ]

Por lo que se cumple lo establecido en la definición de continuidad y f +g es continua en x=c . El resto de los apartados se demuestran de manera similar.

TEOREMA B

La función f definida porf ( x )=P (x), donde P(x ) es un polinomio real, es continua para todo número real. Recuerde que:

P ( x )=an xn+an−1 x

n−1+…a2 x2+a1 x

1+a0 , an≠0 ,n∈N ,ai∈ R para , i∈ {0 ,1 ,…,n }

DEMOSTRACION

Sea:P ( x )=an x

n+an−1 xn−1+…a2 x

2+a1 x1+a0 , an≠0 ,n∈N ,ai∈ R , i∈1 ,2 ,3 ,…,n

Aplicando los diferentes teoremas sobre limites se tiene que:limx→c

f ( x )=limx→c

[an xn+an−1 x

n−1+…a2 x2+a1 x

1+a0 ] ¿ lim

x→can x

n+¿¿

Al cumplirse lo establecido en la definición de continuidad, se ha demostrado que la función

es continua para toda .

Según el teorema son ejemplos de funciones continuas las siguientes:

Ejemplos

1.

La función definida por es continua para todo

, ya que el polinomio en el denominador se hace cero cuando se

evalúa en , o 2.

La función definida por es continua para tal que y

TEOREMA D

Sean f y gdos funciones tales que f={(x ,u)/u=f ( x ) }g={(u , y )/ y=g(u)} Además:

limx→c

f ( x )=d y g es continua en d.

Entonces:

limx→c

g [ f ( x ) ]=g[ limx→cf ( x )=g(d)]

Ejemplo:

Sean y dos funciones tales que:

,

Como y g es continua para pues

, entonces

TEOREMA E

Si g es una función continua en c y f es una función continua en g(c), entonces la composición de funciones fog es continua en c.

Nota: La continuidad de la composición de funciones es válida para cualquier número finito de funciones, siempre y cuando se cumpla que cada función sea continua en su respectivo argumento.

Ejemplo

1.

Sean y dos funciones definidas por las siguientes ecuaciones ,

.

Note que es una función polinomial y por lo tanto continua para todo . La

función f es continua para

Luego la función será continua para los

valores de x tales que sea mayor o igual que cero.

Como y , entonces la función h será continua para todo valor real.

2. Consideremos las funciones definidas por

( )( )

( )

P xf x

Q x

, .

La función es continua para , y la función es continua para todo valor real por ser función polinomial.

Luego la función , dada por sea continua siempre

, es decir, siempre que .

3.

La función h definida por es continua siempre que sea mayor que cero.

Esta última condición se satisface cuando

TEOREMA F

La función seno definida por y=senx es continua sobre todo su dominio, o sea sobre todo R

Ejemplo

La función f definida por es continua siempre que x sea diferente de cero,

pues en se tiene que no está definida.

TEOREMA G

La función coseno, denotada por y=cosx es continua sobre todo su dominio R.

Ejemplo

La función puede considerarse como la composición de las funciones con

ecuaciones , . Como la función f es continua para y la función g es continua para todo x en , entonces la función h es continua siempre que sea mayor o igual a cero, lo que sucede cuando:

, , par.

TEROREMA H

Sea f una función continua en c tal que F (c)≠0Existe entonces un intervalo ¿c−δ , c+δ ¿ en el que f tiene el mismo signo que f (c ).

Gráficamente se tiene:

En este caso para x cercano a c, pues

Teorema de Bolzano

una función continua en cada punto de un intervalo cerrado

tiene signos opuestos. Entonces existe por lo menos un punto

el intervalo abierto tal que

al final del capítulo.

Geométricamente puede interpretarse este teorema como sigue:

la gráfica de la función continua con ecuación , que une los puntos y

, donde y , (o bien , ), corta o interseca el eje X por lo que menos un punto, como se representa en las figuras siguientes:

Note que En este caso , y

Ejemplos

1.

Consideremos la función f con ecuación en el intervalo .

Como , , , , entonces existe por lo menos un

en tal que .

En este caso .

Gráficamente se tiene:

2.

Consideremos ahora la función con ecuación en el intervalo

Como y , entonces existe por lo menos un valor en el

intervalo tal que La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que la función interseca al eje X en un valor entre -2 y -1 en , y en un valor entre 3 y

4. Resolviendo se obtiene que , ,

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS.

Sea f una función definida y continua en cada punto de un intervalo [a ,b ]. Si x1 y x2 son dos puntos cualesquiera de [a ,b ] tales que x1< x2 y f (x1)≠ f (x2), entonces la función f toma todos los valorec comprendidos entre f (x1 ) y f (x2) por lo menos una vez en el intervalo ¿ x1 , x2¿ .

Gráficamente se tiene lo siguiente:

En otras palabras, si en los extremos del segmento dado la función toma valores diferentes

, , siempre se encontrará un punto , comprendido entre y , tal

que , cualquiera que sea el número k entre los valores A y B.

Ejemplo

Consideremos la función f con ecuación definida en el intervalo , cuya representación gráfica es la siguiente:

En este caso y (obviamente )

Entonces, según el Teorema anterior, siempre se encontrará algún valor entre y 4 cuya

imagen esté comprendida en y .

Si existe , tal que

Si existe , tal que ; en este caso

Es necesario hacer notar que el Teorema del valor intermedio es válido únicamente cuando la función es continua en un intervalo dado.

En caso de que la función sea discontinua, el Teorema no siempre se cumple.

Por ejemplo, consideremos la función en el intervalo definida por la siguiente ecuación:

La representación gráfica es la siguiente:

Note que la función es discontinua en el intervalo , pues en , el no existe. Se

tiene que y que .

Si se toma un valor k entre y 1, , no existe ningún valor C entre 0 y 2, tal que

, pues la función nunca toma valores entre y 1. Si se trazara una recta con ecuación

, ésta nunca intersecaría a la curva.

De aquí que la condición de continuidad en el intervalo es indispensable para que se cumpla el Teorema.

TEOREMA K

Si una función f es continua y estrictamente creciente en un intervalo[a ,b ], entonces:

1. existe la función inversa f−1 en el intervalo[ f (a ) , f (b) ].

2. f−1 es estrictamente creciente en [ f (a ) , f (b) ].

3. f−1 es continua en [ f (a ) , f (b) ].

Ejemplo

Sea f la función definida por:

Su representación gráfica es la siguiente:

Se observa que f es continua y estrictamente creciente en . Luego, según el teorema

existe una función inversa que también es continua y estrictamente creciente.

Dicha función está definida de la manera siguiente:


Ejemplo

Sea f la función definida por:


Se observa que f es continua y estrictamente creciente en . Luego, según el teorema

existe una función inversa que también es continua y estrictamente creciente.

Dicha función está definida de la manera siguiente:


TEOREMA L Si una función f es continua y estrictamente decreciente en un intervalo [a ,b ] entonces:

1. f posee una función inversa denotada f−1, definida en [ f (a ) , f (b) ].

2. f−1 es decreciente en [ f (a ) , f (b) ].

3. f−1 es continua en [ f (a ) , f (b) ].

Ejemplo

Consideremos la función f definida como sigue:


La función f es continua y estrictamente decreciente por lo que posee función inversa que también es continua y estrictamente decreciente. Dicha función está definida por:


TEOREMA DE ACOTACION PARA FUNCIONES CONTINUAS

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a ,b ] entonces f es acotada en [a ,b ], es decir, existe un numero k ≥0 tal que |f (x )≤k| para todo xϵ [a ,b ] .

Ejemplo

Sea f una función definida por:


es continua para todo

Note que lo que puede escribirse como , de donde

Luego para por lo que es acotada en

Ejemplo

Considere la función definida por:

Su representación gráfica es la siguiente

es continua para todo

Se tiene que para , por

lo que de donde y por tanto para . Luego

es acotada en

Si una función f es acotada en un intervalo cerrado , entonces el conjunto de todos los

valores de está acotado tanto superior como inferiormente.

Luego, este conjunto posee un extremo superior y un extremo inferior denotados por e

respectivamente. Se escribe entonces:

El es el mayor de los para

El es el menor de los para

Para cualquier función acotada se tiene que para todo

En el ejemplo inmediato anterior se tiene que el es , y que el es

continuidad

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