CONTENIDOS DE MATEMÁTICA PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA. En esta sección podrás encontrar información sobre el área de matemática

CONTENIDO DE LAS UNIDADES.

UNIDAD 1 Sistema Numérico: Números Reales; Números Racionales e Irracionales, Representación gráfica en la recta numérica, Recta real, Valor absoluto de un número real

UNIDAD 2 Operaciones con números reales: Adición de números reales, Propiedades de los números reales en la adición: Propiedad conmutativa, Propiedad asociativa, Existencia de elemento neutro, Sustracción de números reales, Propiedades de los números reales en la resta, Multiplicación de números reales: Propiedades de los números reales en la multiplicación, Propiedad conmutativa, Propiedad asociativa, Existencia de elemento identidad o elemento neutro,Propiedad distributiva con respecto a la adición, Factor cero

UNIDAD 3 División de números reales: Propiedades de los números reales en la división, Potenciación de números reales, Radicación de Números Reales,Regla de los signos en la radicación, Signos de las raíces, La radicación, Leyes de monotonía

UNIDAD 4 Sistema de Funciones: Clases de Polinomios, Monomios, Binomios, Trinomios, Polinomios, Componentes de un polinomio, Grado de un polinomio, Orden de un polinomio, Reducción de Términos Semejantes, Signos de Agrupación, Regla general para suprimir signos de agrupación, Operaciones con monomios, Suma y resta de monomios, Propiedades de la suma de monomios, Producto de monomios, Propiedades del producto de monomios, División de monomios, Operaciones con polinomios: Suma o adición de polinomios, Propiedades de la adición en el conjunto de polinomios, Resta o Sustracción de Polinomios,Propiedades de la resta de polinomios, Multiplicación de polinomios, Ley de los exponentes, Ley de los coeficientes, Propiedades de la multiplicación, Casos de la Multiplicación, Multiplicación de monomios, Multiplicación de polinomio por monomio, Multiplicación de polinomios, División de polinomios, Ley de signos, Ley de los exponentes, Ley de los coeficientes, Casos de la división, División de monomios, División de un polinomio por un monomio, División de un polinomio por un monomio, División de dos polinomios

 UNIDAD 5 Ecuaciones de primer grado con una incógnita: Igualdad, Identidad, Miembros, Términos, Grado de una ecuación con una sola incógnita, Clases de ecuaciones, Según el número de incógnitas, Ecuación numérica, Ecuación literal, Según el término de mayor grado,Según la forma de presentación de las variables: Ecuación entera, Ecuaciones fraccionarias, Ecuaciones racionales, Ecuaciones irracionales,Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, Resolución de ecuaciones con signos de agrupación, Resolución de ecuaciones con productos indicados, Inecuaciones: Inecuación y desigualdad, Procedimiento para resolución de una inecuación, Resolución de Inecuaciones de primer grado con una incógnita, Características de las Inecuaciones de primer grado

UNIDAD 6 SISTEMA GEOMÉTRICO Y DE MEDIDA: Polígono, Clasificación de los polígonos: Polígonos regulares, Polígonos irregulares, Los polígonos de acuerdo al número de lados se clasifican en: Polígono Convexo, Polígono Cóncavo, Diagonal, Perímetro, Procedimiento para inscribir un polígono regular en una circunferencia, CÍRCULO, LA CIRCUNFERENCIA, Elementos de la circunferencia y el círculo: Radio, Centro, Diámetro, Cuerda, Arco, Tangente, Secante, Recta exterior

UNIDAD 7 Área del Polígono: Área de los polígonos regulares. Área de polígonos irregulares

 

UNIDAD 8 Transformaciones geométricas: simetría, traslación y rotación.

UNIDAD 9  ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD: Medidas de dispersión: rango, desviación promedio, varianza , desviación estándar . Probabilidad y conjunto de sucesos.

Números Reales

El conjunto de los números reales está formado por los

números racionales y los números irracionales. Cuando en

una recta se representan los números racionales e

irracionales se obtiene la recta real. Cualquier punto de la

recta real representa un número real.

Números Racionales

Son el conjunto formado por números enteros (naturales y

negativos) y los números fraccionarios (quebrados y

decimales).

Los números racionales sirven para expresar medidas, al comparar una cantidad con su

unidad el resultado es, usualmente, fraccionario. Al expresar un número racional no

entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal

periódico.

Números irracionales

Son los números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas y se representan con

la I. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse

mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales

que no siguen un periodo definido. Por ejemplo √2 = 1,4142135 es solo una aproximación

a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras

decimales que no siguen un periodo. 

Entonces, podemos decir que la raíz cuadrada de dos es "aproximadamente igual" a

1,4142135 en 7 decimales, o "1,4142135 ..." , donde, los tres puntos hacen referencia a

los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.

Representación grafica en la recta numérica

Para representar números racionales en la recta numérica,

se divide cada segmento entero de la recta en el número

de partes que indica el denominador, luego se toman

tantas porciones como indica el numerador.

Recta real

Es la recta numérica en la cual representamos tanto los

números racionales como los números irracionales.

Valor absoluto de un número real

El valor absoluto de un número real es la distancia que hay del cero a dicho número. Si el

número real es positivo (+) o cero, su valor absoluto es el mismo número y si el número

es negativo -, su valor absoluto es el opuesto al número.

Ejemplo: 

Los números: √8 y -√8, tienen el mismo valor absoluto, por

lo tanto el valor absoluto de los dos números es el mismo.

Operaciones con números reales

En el conjunto de los números reales se encuentran definidas las operaciones básicas que

son: la adición, la sustracción, la multiplicación y la división.

Adición de números reales:

La adición de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a

y b, llamados sumandos, un único número real c, llamado suma de a y b, y se define así: 

( c = a + b) 

Propiedades de los números reales en la adición:

a.-) Propiedad conmutativa:

En la adición de números reales, el orden de los sumandos

no altera la suma. Es decir, si a y b son los números reales,

entonces = a + b = b + a, por lo anterior se dice que la

adición de números reales tiene la propiedad conmutativa.

b.-) Propiedad asociativa:

En la adición de números reales, la forma de agrupar los

sumandos no altera la suma. Es decir, si a, b y c son

números reales, entonces a + b + c = (a + b) + c = a + (b +

c), es por esto que dice, que la adición de números reales

tiene la propiedad asociativa.

c.-) Existencia de elemento neutro:

En el conjunto R de los números reales, el número real cero

(0) es el elemento identidad neutro para la adición, porque la

suma de cualquier número a y 0 es 0. Es decir, si a es un

número real, entonces: a + 0 = 0 + a = a.

d.-) Existencia de elementos simétricos opuestos:

Para cualquier número real existe otro número real –a,

llamado opuesto de a, tal que: a + (-a) = 0. Así: la suma de

un número real y su opuesto es igual a cero (0), que es el

elemento identidad neutro para la adición. 

Por ejemplo: –√4 = –(–√4) = √4.

Sustracción de números reales:

Es la operación inversa de la adición. En la sustracción

tenemos el minuendo (m) menos sustraendo (a), igual a la

diferencia =d.

m – s = d

Propiedades de los números reales en la resta:

a.-) Si a y b son números reales, entonces su diferencia a- b

es un número real. Para satisfacer esta propiedad se dice

que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la

sustracción. 

b.-) La sustracción de números reales no es conmutativa: a –

b y b – a 

c.-) La sustracción de números reales no es asociativa 

d.-) El número real cero (0) es un elemento identidad o

neutro por la derecha para la sustracción, la diferencia de

cualquier número a menos 0 es igual al numero a: a – 0 = a.

Pero, cero no es elemento identidad o neutro por la

izquierda: 0 – a = a; 0 – 2 = 2

Multiplicación de números reales:

La multiplicación de números reales es una operación que

asocia a cada par de números reales a y b, llamados

factores; un único número real c, llamado producto de a y b.

La multiplicación es una función definida así: 

(a, b) = c = a . b

Propiedades de los números reales en la multiplicación:

a.-) Si a y b son números reales, entonces su producto a•b

es un número real. Por satisfacer esta propiedad, se dice que

el conjunto de números reales es cerrado respecto a la

multiplicación.

b.-) Propiedad conmutativa:

En la multiplicación de números reales, la forma de agrupar

los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos

números reales, entonces: a•b = b•a

c.-) Propiedad asociativa:

En la multiplicación de números reales, la forma de agrupar

los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos

números reales, entonces: 

a•b•c = (a•b)•c = a•(b•c) 

d.-) Existencia de elemento identidad o elemento neutro:

En el conjunto R de los números reales el número real uno

(1) es el elemento identidad o neutro para la multiplicación

porque el producto de cualquier número a por 1 es a. Es

decir, si a es un número real, entonces: a •1 = 1• a = a.

e.-) Existencia de elemento simétrico o inverso:

Para cualquier número real no nulo a, existe otro número

real 1/a = a-1, llamamos inverso de a tal que: a • 1 / a = 1 ó

a • a-1 = 1.

f.-) Propiedad distributiva con respecto a la adición:

La multiplicación de un número real por una suma indicada

de números por cada uno de los sumandos y luego sumar los

productos obtenidos. Es decir, si a, b y c son números reales,

entonces: 

(a + b)•c = a•c + b•c 

a •c + b•c = (a +b)•c 

g.-) Factor cero:

Todo número multiplicado por cero da cero. Es decir, si a es

un número real entonces: a • 0 = 0; 3 • 0 = 0; 375 • 0 = 0

División de números reales:

La división es la operación inversa de la multiplicación. En la división se da el producto

llamado dividendo y un factor llamado divisor y se trata de calcular el otro factor, llamado

cociente:

a / b = c  si y solo si a = c x b

Propiedades de los números reales en la división:

a.-) Si a y b son números reales, con b no nulo (b ÷ 0), entonces su cociente a / b ó a ÷ b

es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números

reales es cerrado respecto a la división, con divisor no nulo. 

b.-) La división de números reales no es conmutativa. 

Observe que: 6 ÷ 3 es diferente de 3 ÷ 6. 

c.-) La división de números reales no es asociativa: observa que: 

(16 ÷ 4) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2 

16 ÷ (4 ÷ 2) = 16 ÷ 2 = 8 

d.-) El número real uno (1) es elemento identidad por la derecha para la división. Observa

que el cociente de cualquier número real a entre 1 es igual al número a: a ÷ 1 = a 

Pero 1 no es elemento identidad por la izquierda: 

e.-) El divisor en una división siempre debe se diferente de cero.

Potenciación de números reales:

Una adición de sumandos iguales, conviene en escribirlo en forma de producto, así

tenemos:

Una multiplicación de factores iguales se conviene escribirlo en forma exponencial. Así

tenemos:

3·3·3·3 = 34;

7·7·7·7·7 = 75

El número pequeño de la parte superior derecha del factor que se repite es denominado

exponente. El exponente indica el número de veces que el factor se repite. El factor que

se repite recibe el nombre de base.

El símbolo completo de base y exponente es:

base exponente

, y recibe el nombre de potencia. Así, 34 es la cuarta potencia de tres y, 75 es la quinta

potencia de siete.

72 = 7 · 7 = 49 la base 7 se multiplica por si misma 2 veces

La potencia de exponente 2 recibe el nombre de cuadrado, de exponente 3 recibe el

nombre de cubo, de exponente 4 cuarta, de exponente 5 quinta, de exponente 6 recibe el

nombre de sexta potencia. 

Tomar en cuenta lo siguiente:

La potencia de base un número real no nulo y de exponente cero es uno:   a0 = 1, a ÷ 0

La potencia de base un número real y exponente uno es el mismo numero real: b1 = b

Radicación de Números Reales

Raíz.- se llama raíz de un número o de una expresión algebraica a todo número o

expresión algebraica que elevada a una potencia “n”; reproduce la expresión dada.

Radical.- se llama radical a toda raíz indicada de una cantidad.

Elementos de la raíz:

4         índice 

√        signo radical 

12ab   cantidad sub-radical o radicando

Si la raíz es exacta tenemos una cantidad racional.

Si la raíz es inexacta tenemos una cantidad irracional o radical propiamente dicha.

El índice de la raíz indica el grado de un radical.

Extracción de factores fuera del radical:

Se extraerse cuando los factores de la cantidad sub-radical contiene un exponente igual o

mayor que el índice del radical. 

Introducción de factores dentro del radical: Está operación es inversa a la extracción de

radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva los factores de la cantidad

situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad se

escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y

terminamos con las operaciones indicadas dentro del radical.

Regla de los signos en la radicación

Toda raíz de índice impar conserva el signo del radicando.

Toda raíz de índice par y radicando positivo da como resultado dos números opuestos. 

La raíz de índice par y radicando negativo es imposible de resolver en el conjunto de

números enteros.

Signos de las raíces

Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo que la cantidad subradical. Así:

a3 = 3ª porque (3a)3 = 27a3 

Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo: así √25x2 = 5x o -5x porque

(5)2 = 25x2 y (-5x)2 = 25x2 

La radicación

Es una operación inversa de la potenciación. La radicación se realiza entre un número

real a llamado radicando y otro número real n llamadoíndice, es igual a un

número b llamado raíz, que elevado a la potencia n da como resultado el número a.

Leyes de monotonía

Si a ambos miembros de una desigualdad se los eleva a un

mismo exponente distinto de cero, se obtiene otra

desigualdad del mismo sentido.

Sí; a < b    y    c = d  entonces ac < bd

SISTEMA DE FUNCIONES

Clases de Polinomios

Monomios

Son expresiones algebraicas con un solo término:

Ej:      8x5

- Un monomio es una expresión de la forma axn siendo a el número que llamamos

coeficiente del monomio.

- La letra X es la variable del monomio, y representa cualquier número.

- El grado del monomio es el coeficiente que tiene la X

Binomios

Son los que tienen dos términos

Ej:  8x2 +2x6

Trinomios

Expresiones que tienen tres términos: 

Ej: 3x4 + 9x3 + x2

Polinomios

Es una expresión que esta formada por la suma de varios monomios que no son

semejantes: 

Ej: 8X2 + 2X6 + 8X-5 - X3 - 3

(Cada uno de los monomios que forman el polinomio se llama término del polinomio)

Componentes de un polinomio:

Término: Un término es una parte de una expresión algebraica. Los términos se separan

entre sí por los signos de suma (+) o resta (-).

Coeficiente: El coeficiente numérico de un término de un polinomio es el factor numérico

del mismo.

Término constante: Es el coeficiente numérico que no contiene variable.

Grado de un polinomio.-

Si el polinomio es en una variable, el grado del polinomio está determinado por el término

que contiene el mayor exponente. 

Ejemplos: 

8x5 + 9x4 - 3x3 + 7x2 -3x + 6 → es de grado cinco 

y3 – 4y2 – 4 → es de grado tres 

4m + 1 → es de grado uno 

5 → es de grado cero, es decir 5 = 5x0

Orden de un polinomio.-

Los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden descendente, es decir, de

mayor a menor. También se pueden ordenar los polinomios en orden ascendente, es

decir, de menor a mayor. 

Por ejemplo el polinomio 4x - 6 + 7x2 no tiene orden. 

Orden ascendente: -6 + 4x + 7x2 

Orden descendente: 7x2 + 4x + - 6 

(Antes de realizar las operaciones con monomios y polinomios revisaremos la Reducción

de Términos Semejantes, y veremos también sobre los Signos de Agrupación).

Reducción de Términos Semejantes

Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos

semejantes, en la reducción tenemos tres casos:

1.- Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.- Se suman los

coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a

continuación se escribe la parte literal. 

Ejemplos: 

a) 4a + 3a = 7a 

b) -6b – 5b = -11b 

c) –3ax-3 - 7 ax-3 = –10ax-3 

2.- Reducción de dos términos semejantes de distinto signo.- Se restan los

coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se

escribe la parte literal. 

Ejemplos: 

a) 3a – 4a = - a 

b) 17x – 12x = 5x 

c) – 6ax + 15ax = 9ax 

3.- Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos.- Se reduce

a un solo termino todos los positivos, se reducen a un solo termino todos los negativos y a

los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior. 

Ejemplo: 5m – 8m + m – 6m+ 21m 

Reduciendo los positivos: 5m+ m + 21m = 27m 

Reduciendo los negativos:-8m –6m = -14m 

27m – 14m = 13m

Signos de Agrupación

Los signos de agrupación son de cuatro clases: 

1) el paréntesis ordinario ( ) 

2) el paréntesis angular o corchete [ ] 

3) llaves { } 

4) el vinculo o barra —

Regla general para suprimir signos de agrupación

1.- Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja el mismo signo que

tengan a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. 

2.- Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo se cambia el signo a cada una

de las cantidades que se hallan dentro de él. 

a + (b – c) + 2a - (a + b) = a + b – c + 2a - a – b = 2a - c 

3.- El vinculo o barra equivale a un paréntesis que encierra a las cantidades que se hallan

debajo de él y su signo es el signo de la primera de las cantidades que están debajo de él,

por ejemplo: 

Simplificar:

      _____          _____

x + 4y - 6 + 3x - y + 2x - 1 

La expresión anterior equivale a: x + (4y - 6) + 3x- (y + 2x-1) 

Suprimiendo los vínculos, obtenemos = x + 4y – 6 + 3x - y - 2x + 1 

= 2x + 3y - 5 

4.- Cuando los signos de agrupación están incluidos dentro de otros, como en este

ejemplo, se suprime uno en cada paso empezando por el más interior. 

Ejemplo: 3a + {-5x - [- a + (9x- a + x )]} 

Suprimiendo el vinculo queda: 3a + {-5x - [- a + (9x- a - x)]} 

Suprimiendo los paréntesis queda: 3a + {-5x - [- a + 9x- a - x]} 

Suprimiendo los corchetes queda: 3a + {-5x + a - 9x+ a + x } 

Suprimiendo las llaves queda: 3a -5x + a - 9x+ a + x 

Reduciendo términos semejantes: 5a - 13x

Operaciones con monomios

Suma y resta de monomios

Para poder sumar o restar monomios, debemos tener presente que estos deben ser

semejantes es decir tener el mismo grado.

Ejemplo: 5X2 y -3X2 

El resultado de la suma de los monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo

coeficiente es la suma de los coeficientes de los dos monomios. 

· Para sumar dos monomios semejantes, sacamos el factor común de los mismos. Observa

el siguiente ejemplo:

5X2 + 3X2 = (5+3)X2 = 8X2 

Para restar monomios lo hacemos de manera similar.

Ejemplo: 5X2 -3X2 = (5-3)X2 = 2X2

Propiedades de la suma de monomios

Propiedad conmutativa.- El orden de los monomios en una suma de monomios no

altera la suma.

7X2 +5X2 = (7+5)X2= 12X2 

5X2 +7X2 = (5+7)X2= 12X2

Elemento neutro.- Si sumamos cualquier monomio con el cero 0, nos da como resultado

el mismo monomio: 

0= 0X =0X2 = 0X3 =0X4 ..... 

6X2 + 0 = 6X2 + 0X2 = (6+0)X2 =6X2 

Elemento opuesto.- El opuesto de un monomio es le monomio semejante cuyo

coeficiente es el opuesto del coeficiente del monomio dado. 

El opuesto del monomio 4X2 es -4X2 

La suma de un monomio con su opuesto es cero: 

8X2 + (-8X2) = [8+ (-8)] X2 = 0X2 = 0

Producto de monomios

El producto de dos monomios cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes, y cuyo

grado es la suma de los grados de los monomios. 

(6X3) (4X5) = (6.4)X3 . X5 = 24X3+5 = 24X8 

Propiedades del producto de monomios

Propiedad conmutativa.- en la multiplicación el orden de los monomios no altera el

producto. 

(5X2) (7X8) = (5.7) X2 . X8 = 35X2+8 = 35X10 

(7X8) (5X2) = (7.5) X8 . X2 = 35X8+2 = 35X10

División de monomios

El cociente dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los

coeficientes y cuyo grado es la diferencia entre el grado del monomio dividendo y el grado

del monomio divisor. 

Ejemplo:

8X4 / 2X2 =

  8X 4 =

 2X2

8X4 / 2X2  = 4X(4-2)  = 4X2 

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen un número y letra desconocidos

llamados incógnita o variable, se relacionan mediante operaciones matemáticas y se

verifica si se cumple determinado valor numérico de ella. Se dice que son de primer grado

cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).

Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, x, y, z

Igualdad.- Es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el

mismo valor. 

Ejemplo:  4 + 1 = 5 + 2          a = b + c          3x2 = 4x + 15 

Identidad.- Es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las letras que entran en

ella.

Ejemplo: (a – b)2 = (a – b) (a – b) 

El signo de identidad es ≡, que se lee “idéntico a”. (x + y)2 ≡ x2 + 2xy + y2 

Miembros.- se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión

que esta a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la

expresión que esta a la derecha.

Ejemplo: 3x – 5 = 2x - 3 

Primer miembro 3x –5 

Segundo miembro 2x –3 

Términos.- Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o

- , o la cantidad que esta en un miembro. 

3x – 5 = 2x –3 los términos son: 3x, –5, 2x, –3 

Grado de una ecuación con una sola incógnita.- es el mayor exponente que tiene la

incógnita en la ecuación. 

Clases de ecuaciones

Las ecuaciones algebraicas se clasifican según distintos criterios: 

Según el número de incógnitas 

Ecuación numérica.- es una ecuación que no tiene mas letras que las incógnitas, como

donde la única letra es la incógnita X. 

3x - 6 = x + 3 

Ecuación literal.- es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras que

representan cantidades conocidas, como: 

6x + 4a = 6b - bx 

Según el término de mayor grado 

De primer grado (lineales), segundo grado (cuadráticas), tercer grado (cúbicas), ? de

grado n. 

Según la forma de presentación de las variables 

Ecuación entera.- es entera cuando ninguno de sus términos tiene denominador como en

los ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuando algunos o todos sus términos tienen

denominador como por ejemplo: 

x2 + 1 = x + 4 

Ecuaciones fraccionarias, con incógnitas en algún denominador. 

Ecuaciones racionales, si las incógnitas no aparecen dentro de raíces cuadradas, cúbicas,

etcétera. 

Ecuaciones irracionales, si las incógnitas se presentan dentro de alguna de estas raíces.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

En una ecuación de primer grado se resuelve utilizando el criterio de operador inverso

para conseguir dejar la incógnita "y" sola en el primer miembro.

Resolver la ecuación: 3y + 1 = y - 2. 

-  Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso se resta a los dos

miembros (1 - y): 

    3y + 1 - (1 - y) = y - 2 - (y - 1), que una vez operado queda: 2y = - 3.

Esta operación se llama: pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o, restando lo

que suma. 

- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:

    2y  =  -3   , esto simplificado nos da un resultado de  y = -3/2

     2        2 

como ya habíamos conseguido antes. Esta operación se llama: pasar de un miembro a

otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando.

Resolución de ecuaciones con signos de agrupación

Este tipo de ecuaciones se resuelven primero suprimiendo los signos de agrupación

considerando la ley de signos, dado el caso que hayan varias agrupaciones, se desarrolla

de adentro hacia afuera las operaciones. 

Ejemplo: 2x-[x-(x-100)] = x-(700-4x) 

· Primero quitamos los paréntesis: 2x - [x-x+100] = x -700 + 4x 

· Reducimos términos semejantes: 2x – [100] = 4x - 700 

· Ahora quitamos los corchetes: 2x - 100 = 4x - 700 

· Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas: 2x - 4x = -

700 + 100 

· Reducimos términos semejantes: -2x = -600 

· Despejamos x pasando a dividir a -2, luego simplificamos: 

   

  X =  -600  = 300

           -2 

Para suprimir los signos de agrupación tomar en cuenta que: 

· Si tenemos un signo + antes del signo de agrupación no afecta en nada a lo que este

dentro de este signo de agrupación. 

· Si tenemos un signo - antes del signo de agrupación, este signo afectara a todo lo que

este dentro del signo de agrupación. Todos los términos dentro del signo de agrupación

cambiarán de signo. 

Resolución de ecuaciones con productos indicados

Para resolver estas ecuaciones, se realizan primero los productos indicados y luego se

continúa con el procedimiento general aplicando el criterio de las operaciones inversas.

Ejemplo: 

4(x – 3) – (x – 2) = (x + 3) – 20   (Producto indicado monomio por polinomio) 

4x – 12 – x + 2 = x + 3 – 20 

4x – x – x = 3 -20 +12-2 

2x = –7 

X =  –7 

        2

Inecuaciones

Inecuación y desigualdad.- son conceptos que pueden definirse en forma similar. Una

desigualdad resulta de la comparación entre dos expresiones algebraicas separadas por

los símbolos: menor <, mayor >, menor o igual, o mayor o igual. El resultado de esta

desigualdad es una inecuación. 

Procedimiento para resolución de una inecuación 

1. Suprimimos signos de agrupación.

2. Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes en uno de

los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la inecuación. 

3. Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro. 

4. Despejamos la incógnita 

Resolución de Inecuaciones de primer grado con una incógnita 

Las reglas para la resolución de una inecuación son las mismas que se utilizan en las

ecuaciones. Resolver una inecuación es hallar la raíz o conjunto de valores que se

comprueban, de manera que distintas inecuaciones con iguales soluciones se dicen que

son equivalentes. 

Ejemplo: 6x - 2 > 46 

Ubicar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (>), entonces para

llevar el -2 al otro lado de la desigualdad, utilizamos el operador inverso (el inverso de -2

es +2), porque el inverso de la resta es la suma). 

Entonces obtenemos:6x > 46 + 2 

6x > 48 

Tenemos el número 6 que esta multiplicando a la variable o incógnita x, lo pasamos al

otro lado de la desigualdad dividiendo. 

Tendremos ahora: x > 48 ÷ 6 

x > 8 

El valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 8. 

Caso Especial:  No puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita, entonces

cambiamos de signo a todo, y además cambiamos el sentido de la desigualdad. 

Ejemplo: 2x -50 < 4x -800 

2x -4x < -800 +50 

-2x < -750 

2x > 750 

x = 750 = 375 

2 

Características de las Inecuaciones de primer grado: 

Ejemplo: 7x + 14 > 28 

7x > 28 -14 

7x > 14 

X > 14/7 

X > 2 

Los miembros de una inecuación son las partes separadas por el signo de la desigual. La

parte que está a la izquierda se llama primer miembro (7x + 14) y el segundo miembro

(28). 

Los términos de una inecuación son cada una de las expresiones literales (7x) o

numéricas (14 y 28) separadas por el signo + o el signo. 

Resolver una inecuación es hallar el conjunto solución. En la inecuación dada el conjunto

solución es {x > 2}.

El grado de una inecuación está indicado por el mayor exponente de la variable. En el

ejemplo el exponente de la variable es 1.

SISTEMA GEOMÉTRICO Y DE MEDIDA

Polígono

Es la figura geométrica cerrada y plana delimitada por segmentos de recta llamados

lados, que se cortan 2 a 2 en puntos llamados vértices. Son polígonos los triángulos,

cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc. 

Clasificación de los polígonos 

Polígonos regulares.- son aquellos que tienen sus lados y ángulos congruentes, es decir a

la vez son equiláteros y equiángulos. 

Polígonos irregulares.- son los que tienen 1 o más de sus ángulos y lados diferentes. 

Los polígonos de acuerdo al número de lados se clasifican en: 

- polígonos de 3 lados se llaman Triángulos. 

- polígonos de 4 lados se llaman Cuadriláteros. 

- polígonos de 5 lados se llaman Pentágono. 

- polígonos de 6 lados se llaman Hexágonos. 

- polígonos de 7 lados se llaman Heptágonos. 

- polígonos de 8 lados se llaman Octágonos. 

- polígonos de 9 lados se llaman Eneágonos. 

- polígonos de 10 lados se llaman Decágonos. 

- polígonos de 12 lados se llaman Dodecágonos. 

- polígonos de 20 lados se llaman Icoságonos.

Los Polígonos pueden ser: Convexos y Cóncavos 

Polígono Convexo.- es el que tiene todos sus ángulos convexos (menores de 180o) 

Polígono Cóncavo.- es el que tiene algún ángulo cóncavo (menor de 180o). 

Un polígono es equilátero si sus lados son iguales. 

Un polígono es equiángulo si los ángulos son iguales. 

Un polígono es regular si es equiángulo y equilátero. 

DIAGONAL.- es la recta que une 2 vértices no consecutivos de un polígono. 

PERIMETRO.- Es la suma de los lados que forman un polígono. Para sacar el perímetro de

un polígono se suman los lados de la figura o en el caso de que sean iguales, se multiplica

la medida del lado por el número de catetos:

Cuadrado: lado + lado + lado + lado 

Rectángulo: 2 x base + 2 x altura 

Triángulo: lado + lado + lado 

Polígonos inscritos y circunscritos 

Un polígono es inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la

circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo definido. Todo polígono

regular puede ser inscrito en una circunferencia. 

El polígono está circunscrito en la circunferencia si, estando todos sus vértices situados

fuera de la circunferencia, los lados son tangentes a la misma. 

Los polígonos regulares tienen una única circunferencia inscrita y otra circunscrita, y

ambas son concéntricas. El centro de ambas circunferencias se llama centro del polígono

regular.

Procedimiento para inscribir un polígono regular en una circunferencia: 

1. Con la ayuda de un compás, trazamos una circunferencia y denotamos el centro con la

letra " o”. 

2. Dividimos la medida de la circunferencia (360°) entre el número de lados del polígono

que vamos a elaborar.  En este caso construiremos un hexágono regular, que dividimos

entre 6. Ejemplo: 360 ÷ 6 = 60° 

3. Con el graduador, construimos el ángulo de 360/6 = 60°. 

4. Utilizamos una regla, trazamos un segmento entre los puntos A y B. 

5. Con abertura del compás igual a la longitud del segmento AB, determinamos los puntos

C, D, y E. 

6. Unimos con una regla los puntos A, B, C, D y E; y como resultado obtenemos un

pentágono regular inscrito en una circunferencia.

CÍRCULO

El círculo es la figura formada por la circunferencia y la superficie interna que limita.

LA CIRCUNFERENCIA

Es una línea curva cerrada cuyos puntos se encuentran todos a la misma distancia de otro

punto llamado centro. 

Elementos de la circunferencia y el círculo: 

Radio.- es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de

la circunferencia. Los radios de una circunferencia son congruentes entre si. 

Centro.- es el punto que está a la misma distancia de todos los puntos de una

circunferencia. 

Diámetro.- es la cuerda mayor de un círculo y pasa por el centro. Su longitud equivale a

dos radios. 

Cuerda.- es el segmento que une a dos puntos de la circunferencia. 

Arco.- es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos cuales quiera. 

Tangente.- es la recta que toca la circunferencia en solo un punto llamado punto de

tangencia. Es perpendicular al radio que va al punto de tangencia. 

Secante.- es la recta que corta la circunferencia en dos puntos. 

Recta exterior.- es la que no toca ningún punto de la circunferencia.

ÁREA DEL POLÍGONO

El área es la medida de la superficie de los polígonos. Esta área se expresa en función de

la medida de los lados, las alturas o las diagonales, según el tipo de cuadrilátero. 

ÁREA DE LOS POLÍGONOS REGULARES 

El área del polígono regular es igual al producto del semiperímetro por la apotema. Para

sacar el área de los polígonos regulares se necesitan las siguientes fórmulas para las

diferentes figuras: 

Área del Cuadrado: Es igual al producto de sus lados o lado al cuadrado

A = l x l       o        A = l2

Área del Rectángulo: Es igual al producto de la base por altura

A = b x h 

Área del Triángulo: Es igual a la mitad del producto de la base por la altura

A =  b x h 

          2 

Área del Trapecio: Es igual a la semisuma de las bases multiplicado por la altura

A =   B x b   x h

           2 

Área del Rombo:  Es igual al semiproducto de la diagonal mayor por la diagonal menor

A =  D x d 

          2 

Área de la Circunferencia: Es igual al cuadrado del radio multiplicado por el valor de PI (∏

= 3,141516)

A = r2 x ∏

Área de un Polígono: Es igual al semiproducto del perímetro por el apotema.

A =   p x ap   = 1/2(n x l x ap) 

           2

Nota: n, es el número de lados del polígono

ÁREA DE POLÍGONOS IRREGULARES 

Para sacar el área de cada figura irregular se tienen que dividir en regulares es decir,

sacar el área de las figuras regulares y después sumarlas para luego obtener el área total

de la figura irregular. Se debe tomar en cuenta que no existen fórmulas determinadas, ya

que todas las figuras son muy diferentes. 

Para conseguir el perímetro de una figura irregular, no se usan fórmulas, sólo se necesita

sumar cada uno de los lados de la figura. 

Por ejemplo, sacar el perímetro de una estrella de cinco picos con 57 cm.

Transformaciones Geométricas

Las transformaciones geométricas son aplicaciones que hacen corresponder unos puntos en el plano con otros para obtener otra figura es decir, es la aplicación que hace pertenecer a cada punto del plano otro punto del plano.

Las transformaciones más comunes son las simetrías, traslaciones, rotaciones y las homotecias. Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir el

tamaño y cambiar la figura de posición. 

Simetría

La simetría geométrica es la propiedad de un objeto que se presenta cuando las características de forma, tamaño y posición relativa de sus partes, son las mismas en ambos lados de una línea divisora equidistante imaginaria llamada eje de simetría.

Simetría de rotación

Una figura tiene simetría de rotación n veces si puede rotarse grados alrededor de un punto (donde n es un entero positivo) de modo que la imagen resultante coincida con la figura original

Simetría de traslación

Una figura presenta simetría de traslación si puede trasladarse de modo que la imagen coincida con la figura original. Las figuras con simetría de traslación necesariamente se repiten de forma infinita; sólo es posible representar una parte finita de la figura.

Tipos de simetrías

Simetrías axilares.-

Son simetrías respecto a un eje. Dos figuras son simétricas respecto a un eje (llamado eje de simetría) si los puntos homólogos están a la misma distancia del eje y la recta que los une es perpendicular a él.

Simetrías centrales.-

Dos figuras son simétricas respecto a un punto, llamado centro de simetría si sus puntos homólogos equidistan al centro y están en línea recta con él.

FIGURAS SIMÉTRICAS

Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de simetría transforma a la figura en ella misma. 

Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de simetría).

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Dado un conjunto de valores (podría ser la estatura de los estudiantes de un curso, las

temperaturas de Quito medidas cada día, las calificaciones de los estudiantes de un

colegio, etc.) podemos describir sus características con distintas medidas. 

Cada uno de los conjuntos antes mencionados tiene diferencias: la temperatura de Quito,

por ejemplo, variará desde 3 grados hasta 25; en cambio la estatura de los estudiantes de

un curso dependerá de la edad de los estudiantes y, ciertamente, no será mayor a 3

metros, ni menor a 50 centímetros.

Habrá algunos conjuntos ("distribuciones") que no variarán casi nada y otros que variarán

mucho. 

Las medidas de dispersión sirven para saber cuánto varía cada conjunto, es decir, miden cuál es la variación de los valores en una distribución.

 

EJEMPLO:

Tenemos el conjunto (distribución) A {1,2,1,3,2,1,2,1,4,5,1,4,2}, graficado en

el histograma como:

Al calcular la media aritmética o promedio   de este conjunto y graficarla tenemos lo

siguiente:

CÁLCULO DE LA MEDIA O PROMEDIO DE LA DISTRIBUCIÓN A: 

Histograma de la distribución A

Se ve claramente que el valor promedio mide el centro de la distribución, con la línea roja.

Pero ¿por qué no está en el centro? porque hay más valores hacia el lado izquierdo de la

gráfica. Si todos los números del 1 al 5 ocurrieran con la misma frecuencia, la línea roja

estaría en el centro de la gráfica.

Un ejemplo de esto sería la distribución B {1,1,2,2,3,3,4,4,5,5}

MEDIA O PROMEDIO DE LA DISTRIBUCIÓN B: 

GRÁFICO DE LA MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN B

Histograma de la distribución B

Una vez que conocemos la media o el promedio, podemos ponernos a pensar cuál es la

diferencia entre  dos distribuciones, que tienen el mismo valor . Por ejemplo:

Figura 4 Figura 5

La diferencia entre estas dos distribuciones es que la una es más dispersa que la otra.

En la figura 4, los datos están más centrados que en la figura 5. Para esto están las

medidas de dispersión, de las que vamos a hablar a continuación.

Entre las medidas de distribución más usadas están: el rango, la varianza y la desviación

standar.