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Centro Educacional San Carlos de Aragón. Sector: Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H.

Probabilidades Contenidos

Unidad: Estadística y Probabilidades. Probabilidades

Introducción: La teoría de probabilidades nació del interés por conocer las leyes que

gobiernan los juegos de azar. La rama de la matemática conocida actualmente como Probabilidad y consiste en el estudio de ciertos experimentos llamados aleatorios.

Conceptos Básicos.

1) Experimentos Aleatorios y Espacios Muestrales. Un experimento es una observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza. Existen

dos tipos de experimentos. a) Experimentos Determinísticos: son aquellos en donde no hay incertidumbre

respecto de los resultados que se obtendrán, al ser repetidos varias veces, por ejemplo, determinar el volumen de un cubo de arista 1 metro.

b) Experimentos Aleatorios: son aquellos donde no se puede anticipar el resultado, pero si se tiene una idea del intervalo en el que este se encuentra, asumiendo que este se podrá realizar muchas veces y en las mismas condiciones. Por ejemplo, lanzar un dado.

2) Espacio Muestral (E): Es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. Ej. Al lanzar un dado, { }1, 2, 3, 4, 5, 6E = 3) Evento O Suceso: un evento es un resultado particular de un experimento aleatorio, es

decir, es un subconjunto del espacio muestral y se representa con las primeras letras del abecedario.

Ej. A: que salga un número par al lanzar un dado. { }2, 4, 6A→ =

Tipos de Eventos.

1) Evento Cierto o Seguro: Es aquel que queda determinado por todo el espacio muestral. Ej. C: Al lanzar un dado, obtener un número menor que 7. 2) Evento Nulo: Es aquel que no tiene elemento. Se representa por ∅ Ej. B: Al lanzar un dado, obtener un 8. 3) Eventos Mutuamente Excluyentes: son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro, es decir, no pueden ocurrir simultáneamente, por lo tanto no tienen elementos comunes. Obs. Si A B∩ =∅ , se dice que A y B son Mutuamente excluyentes o Disjuntos. 4) Eventos complementarios: son eventos que no tienen puntos comunes, pero su unión es el espacio muestral. Obs. Dos eventos son complementarios si: A B E y A B∪ = ∩ =∅

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Probabilidad Clásica o de Laplace Un espacio muestral finito es equiprobable si cada uno de sus elementos tiene la misma probabilidad de ocurrencia. Definición: Si un experimento aleatorio tienen un espacio muestral equiprobable, entonces la probabilidad de ocurrencia de un evento A queda determinada por:

( ) ( )( ) f

p

NNúmeros de casos favorables AP A P ANúmeros de casos posibles N

= → =

Propiedades.

1) La probabilidad de un evento es siempre un número real comprendido entre 0 y 1, es decir, 0 ( ) 1P A≤ ≤

2) La probabilidad porcentual de un evento está comprendida entre 0 %y 100%. Es decir, 0% ( ) 100%P A≤ ≤

3) La probabilidad de un evento seguro es 1 (100%) 4) La probabilidad de un evento imposible es cero (0%) 5) La probabilidad de que un suceso P(A) ocurra es igual a uno menos la probabilidad de

que no ocurra, es decir, ( ) ( )' 1P A P A= − Obs.: El complemento de un evento A, se representa por ' cA o A y es el evento que contiene a todos los elementos que no están en A, (el evento A’ ocurre si A no ocurre). Probabilidades de eventos. Probabilidad de la Unión: 1) Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ∪ = + − ∩P Ao B P A B P A P B P A B 2) Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por:

( ) ( ) ( ) ( )= ∪ = +P Ao B P A B P A P B Probabilidad de la intersección. Los eventos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye en la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

P A y B( ) = P A∩ B( ) = P A( ) ⋅P B( ) Probabilidad Condicionada: Sean A y B dos eventos de un espacio muestral E, entonces, Ela probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió el evento B se representa por ( )/P A B y se lee “la probabilidad de A dado B”

Esta Probabilidad queda determinada por: ( ) ( )( ) ( )/ , 0∩

= ≠P A B

P A B P BP B

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Guía Matemática: Probabilidades - 1

Nombre: ____________________________________Curso: ______ Fecha:______ Resuelve y encierra en un círculo la alternativa correcta. 1) En un experimento aleatorio, ¿a qué se denomina espacio muestral?

a) Al número de casos favorables. b) Al número de casos posibles. c) A los casos favorables. d) A los casos posibles.

e) Al conjunto de casos posibles. 2) ¿En cuál de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es cero?

a) Tener más de 10 hijos. b) Nacer en un año terminado en cero. c) Que este año te ganes el Kino. d) Que al elegir una fruta en invierno esta sea manzana.

e) Que al tirar 3 dados, la suma de los números obtenidos sea 24. 3) ¿Cuál de los siguientes experimentos es(son) aleatorio(s)?

I) Encender una vela y observar si alumbra. II) Lanzar un dado y observar si al cara superior es un seis. III) Preguntarle a un desconocido si fuma.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III e) I, II y III 4) Dado el espacio muestral E = { }uoiea ,,,, y los eventos A= { }uoi ,, ; B = { }uo, ; C ={ }a ; D = { }ea, . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

a) A y B no son mutuamente excluyentes. b) A y D son complementarios. c) B y C son mutuamente excluyentes. d) B y D son complementarios.

e) A y C son mutuamente excluyentes. 5) Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número primo? a) 50% b) 25% c) 12,5% d) 6,66 % e) 40% 6) ¿Cuál de los siguientes eventos tiene mayor probabilidad al sacar una carta de un naipe inglés (52 cartas)?

a) Obtener un rey. b) Obtener una carta de corazón. c) Obtener un as de trébol. d) Sacar un 6 o un 10.

e) Obtener una carta roja.

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7) De una caja que contiene 3 bolitas rojas, 2 blancas y 4 azules, se extrae una bolita al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea roja?

a) 32 b)

91 c)

92 d)

94 e)

31

8) Si se tiran 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de que marquen puntuaciones diferentes?

a) 65 b)

32 c)

125 d)

54 e)

43

9) En una población hay 1000 jóvenes entre hombres y mujeres, que practican fútbol o tenis. De los hombres 340 practican fútbol y 230 tenis. Además, 180 mujeres practican fútbol. Si escogemos un joven al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y practique tenis?

a) 4825 b)

2522 c)

41 d)

10023 e)

10043

10) Si se lanzan 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener más de 10 puntos?

a) 362 b)

363 c)

367 d)

3611 e)

3612

11) Un a familia quiere tener 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que sólo el mayor sea varón?

a) 31 b)

81 c)

83 d)

32 e) n.a.

12) Se lanza una moneda 3 veces y se obtiene 3 caras, ¿cuál es la probabilidad de que la cuarta vez se obtenga cara?

a) 21 b)

41 c)

43 d)

83 e)

167

13) Si se lanzan 3 dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener 5 en los 3 lanzamientos?

a) 536

b) 136

c) 1216

d) 6216

e) n.a.

14) Se hace rodar dos veces un dado común y se considera la suma de los puntos obtenidos en ambos lanzamientos. La primera vez sale un número par, la probabilidad de que la suma sea mayor que 7 es:

a) 14

b) 16

c) 13

d) 12

e) 23

5

15) Se escoge una ficha del dominó (28 piezas) al azar. ¿Cuál es la probabilidad que se obtengan 6 puntos?

a) 281 b)

284 c)

285 d)

286 e)

288

16) Si se tiran 3 monedas, ¿cuál es la probabilidad de sacar 2 caras y un sello?

a) 81 b)

41 c)

21 d)

83 e)

43

17) Al lanzarse 3 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener a lo menos 1 sello? a) 25% b) 87,5% c) 20% d) 12,5% e) n.a. 18) De los 4.500 alumnos de una universidad, la probabilidad de que un alumno sea

egresado es 501 , ¿cuántos NO egresados tiene la universidad?

a) 4.410 b) 4.300 c) 4.210 d) 3.900 e) 3.600 19) Tres caballos A, B y C intervienen en una carrera. A tiene doble probabilidad de ganar que B, y B tiene el doble de probabilidad de ganar que C, ¿Cuál es la probabilidad de que B o C ganen?

a) 71 b)

72 c)

73 d)

74 e)

75

20) Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea par o divisible por 3?

a) 61 b)

41 c)

31 d)

21 e)

32

21) En una tómbola hay 5 bolitas verdes y 2 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una verde y después una roja, sin reponer la primera?

a) 215 b)

4910 c)

218 d)

2122 e) n.a.

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22) En una caja hay 6 bolitas verdes y 8 rojas. ¿Cuál o cuáles de las siguientes operaciones producen que la probabilidad de sacar una bolita verde sea de un 40%?

I) Agregar una roja a la caja. II) Eliminar 2 de cada color. III) Agregar 2 verdes y 4 rojas.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III 23) En una caja hay bolitas verdes y azules en la razón 2 : 5. Si se saca una, ¿cuál es probabilidad de que sea verde?

a) 52 b)

53 c)

72 d)

75 e) Falta información.

24) Una compañía de seguros debe elegir de entre 50 aspirantes una persona para desempeñar cierta función. Entre los candidatos, se observan las siguientes características.

Título sin títuloC / experiencia 5 10S / experiencia 15 20

Si se elige un aspirante a azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera)s)?

I) La probabilidad de que el elegido tenga experiencia es 103

II) La probabilidad de que el elegido tenga título es 152

III) La probabilidad de que el elegido no tenga experiencia es 107

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) I, II y III 25) En una urna con fichas azules, blancas, rojas y verdes, la probabilidad de escoger una ficha azul o blanca es 0,4. Si en la urna hay 15 fichas de las cuales 7 son verdes, ¿cuál es el número de fichas rojas? a) 6 b) 5 c) 4 d) 2 e) 3 26) Se tiene dos urnas A y B. A contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, B contiene 3 bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada una, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes?

a) 103 b)

106 c)

109 d)

209 e)

10018

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27) Una caja contiene 3 esferas verdes y 2 amarillas. Si se sacan sucesivamente 2 esferas, sin devolverlas a la caja, ¿cuál es la probabilidad de que estas sean de distinto color?

a) 103 b)

52 c)

53 d)

107 e)

720

28) La caja de la figura contiene bolitas blancas y negras, para que la probabilidad de sacar una blanca sea 3/5, en la caja habría que: a) Agregar 2 bolitas blancas b) Quitar dos bolitas negras c) Agregar una bolita negra d) Quitar dos blancas y una negra e) Mantener la cantidad existente 29) La probabilidad de que la tirar dos dados, la suma de los números obtenidos sea un divisor de 12 es:

a) 16

b) 23

c) 14

d) 12

e) 13

30) Al lanzar al aire 2 dados, uno a continuación del otro, de distintos colores, se observa que la suma de los números que aparecen es de por lo menos 7. la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el 4 es:

a) 214 b)

215 c)

216 d)

217 e)

218

31) En un curso A hay el doble de mujeres que de hombres y en un curso B hay 5 hombres menos que mujeres. Si la probabilidad de elegir a un alumno que sea hombre es la misma en ambos cursos, ¿cuántos alumnos tiene el curso B? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 32) Al finalizar un programa de TV, se realiza una encuesta, de la cual se obtienen los siguientes resultados.

Le agradó No le agradó Vio otro programa no vio TV.20 5 20 5

Al elegir un encuestado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que viera el programa?

a) 25

b) 12

c) 59

d) 49

e) 910

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33) Una persona muy olvidadiza ha extraviado el número telefónico de su mejor amigo, pero logra averiguar las 6 cifras intermedias de un total de 8. Sabiendo además que el primer dígito debe ser par, distinto de cero y que la última cifra es impar mayor que 4, ¿cuál es la probabilidad de acertar con el número telefónico?

a) 110

b) 112

c) 213

d) 12

e) Otro valor

34) Un alumno contesta las 75 preguntas de un ensayo al azar. Si cada pregunta tiene 5 alternativas y sólo una de estas es correcta, entonces ¿cuál es la probabilidad de que tenga el puntaje máximo?

a) 1755⋅ b) 41 75

5− ⋅ c)

75115

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠ d)

7515

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 175

35) Si se elige al azar un número entre 1 y 100, ¿cuál es la probabilidad de que ese número sea múltiplo de 3 y 5 a la vez?

a) 115

b) 350

c) 325

d) 8100

e) 15100

36) En un contenedor hay 1.000 ampolletas, de las cuales 140

son defectuosas. Si se saca

una ampolleta al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar una ampolleta no defectuosa?

a) 140

b) 139

c) 1 d) 3940

e) 10001

40⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

37) En un experimento aleatorio E, dos eventos A y B son complementarios si:

(1) Al unir los conjuntos A y B se obtiene el espacio muestral

(2) La intersección de A y B es vacía.

a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional

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38) La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es 0,25. La probabilidad de extraer una bola azul se puede calcular si:

(1) El total de bolas que hay en la caja es 12 (2) En la caja sólo hay bolas rojas, blancas y azules.

a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por si sola, (1) ó (2)

e) Se requiere información adicional. 39) Al lanzar un dado, podemos conocer el número que aparece en la cara superior si sabemos que:

(1) El número es primo (2) El número es primo par

a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola

c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

e) Se requiere información adicional 40) En el conjunto de 4 elementos distintos { }xA ,7,5,4= se puede saber el valor de x si:

(1) Se conoce la media aritmética de los elementos de A. (2) x es un entero mayor que 4 y menor que 7.

a) (1) por si sola.

b) (2) por si sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional.

Hoja de Respuestas. 1) e 2) e 3) d 4) d 5) a 6) e 7) a 8) a 9) c 10) b 11) b 12) a 13) c 14) a 15) b 16) d 17) b 18) a 19) c 20) e 21) a 22) e 23) c 24) d 25) d 26) e 27) a 28) b 29) e 30) a 31) a 32) b 33) b 34) d 35) b 36) d 37) c 38) e 39) b 40) a