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Contenido

2 Conceptos basicos de la probabilidad 22.1 Experimentos, espacios muestrales y eventos . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Modelo de urnas y tecnicas de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Modelo de urnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 El conteo por enumeracion de elementos . . . . . . . . . . . . . 172.2.3 El conteo a traves de diagramas de arbol . . . . . . . . . . . . 192.2.4 Teorema fundamental del conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.5 El principio de adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.6 Permutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.7 Combinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Introduccion a la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 Definicion matematica de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2 Probabilidad empırica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 Definicion clasica de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.4 Probabilidad subjetiva o personal . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Probabilidades condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5 Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Respuestas a ejercicios impares seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

CAPITULO 2

Conceptos basicos de laprobabilidad

Contenido

2.1 Experimentos, espacios muestrales y eventos . . . . . . . 3

2.2 Modelo de urnas y tecnicas de conteo . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Modelo de urnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 El conteo por enumeracion de elementos . . . . . . . . . . . 17

2.2.3 El conteo a traves de diagramas de arbol . . . . . . . . . . 19

2.2.4 Teorema fundamental del conteo . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.5 El principio de adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.6 Permutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.7 Combinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Introduccion a la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.1 Definicion matematica de probabilidad . . . . . . . . . . . . 34

2.3.2 Probabilidad empırica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.3 Definicion clasica de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.4 Probabilidad subjetiva o personal . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Probabilidades condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5 Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.1 Experimentos, espacios muestrales y eventos 3

Objetivos del capıtulo

1. Describir y aplicar algunas tecnicas de conteo en la solucion de problemas.

2. Desarrollar la comprension de los conceptos basicos de probabilidad.

3. Definir y aplicar el concepto de probabilidad condicional.

4. Aplicar el teorema de Bayes en el calculo de probabilidades.

5. Definir y aplicar el concepto de independencia entre eventos.

Empleo de la estadıstica

≪En una encuesta hecha a estudiantes de nuevo ingreso a la universidad se en-

contro que, entre todos los estudiantes admitidos, el 55% no tienen problema

de ningun tipo, el 25% sienten que fueron mal orientados en cuanto a la carrera

elegida y el 20% tienen problemas de tipo economico. La misma encuesta muestra

que de los que no tienen ningun tipo de problema solamente el 1% no regresa al

segundo semestre; que la probabilidad de que los que fueron mal orientados no

continuen en el segundo semestre es de 0,7 y la probabilidad de que los que tienen

problemas economicos continuen es de 0,05. Si se elige un alumno al azar del

segundo semestre, ¿cual es la probabilidad de que el sea uno de los que a pesar de

no estar en la carrera de su vocacion haya continuado?≫

2.1 Experimentos, espacios muestrales y eventos

Experimentos determinısticos y aleatorios

La teorıa de la probabilidad tiene que ver con los diversos resultados posibles que podrıanobtenerse y los posibles sucesos que podrıan ocurrir cuando se realiza un experimento. Eltermino experimento se utiliza en la teorıa de la probabilidad para describir virtualmentecualquier accion o proceso que genera observaciones.

Definicion 2.1.1 Un experimento es cualquier accion o proceso que genera ob-servaciones.

La validez de la mayorıa de las teorıas cientıficas esta basada, en gran parte, en que losexperimentos, sobre los cuales las teorıas se fundamentan, suministran esencialmente elmismo resultado cuando estos experimentos se repiten. Este tipo de experimentos sellaman determinısticos.

Definicion 2.1.2 Un experimento determinıstico es cualquier experimentoque, al repetirse bajo las mismas condiciones, genera siempre los mismos resultados.

Un ejemplo, en fısica, que es un experimento determinıstico es la ley de la caıda libre,

s = 12gt2.


Sin embargo, hay experimentos cuyos resultados no son determinados, si las condicionesde los experimentos se mantienen constante. Ellos se llaman experimentos aleatorios oestocasticos.

Definicion 2.1.3 Un experimento aleatorio (o estocastico) es cualquier ex-perimento que, al repertirse bajo las mismas condiciones, no genera siempre losmismos resultados.

Ejemplos familiares de estos experimentos, son los juegos de suerte como dados, lanza-miento de monedas o juegos de cartas. Sin embargo, hay otros tipos de ejemplos deexperimentos aleatorios como los siguientes:

(1) Semillas de igual estado que producen plantas de diferentes tamanos.

(2) Una maquina de coser alarga a veces una puntada sin un motivo claro.

(3) La duracion de vida de las personas, que viven bajo condiciones semejantes, varıay no se puede predecir.

(4) El sexo de un recien nacido.

(5) El ano en que se extingue el apellido familiar.

Espacio muestral, evento y evento elemental

El primer paso para analizar un determinado experimento consiste en definir con cuidadolos resultados experimentales. Cuando hayamos definido todos los resultados posibles,habremos identificado el llamado espacio muestral del experimento.

Definicion 2.1.4 Supongamos que se realiza un experimento aleatorio.

(a) El conjunto de todos los posibles resultados de ese experimento, se llamaespacio muestral (o de resultados).

El espacio muestral se simbolizara con la letra griega Ω (leıda “omega”).

(b) Cualquier subconjunto del espacio muestral Ω se llama evento.

Los eventos se simbolizaran con las letras mayusculas A, B, C, etc. “El evento A ha

sucedido” significa que el resultado observado del experimento esta en A.

(c) Si un evento tiene un solo elemento se llamara evento elemental.

Ejemplo 2.1.5 Consideremos los siguientes experimentos aleatorios:

1. El lanzamiento de una moneda.

• Los posibles resultados son cara (C) o sello (S). Por tanto, Ω = C, S.


• C =“la moneda senala cara” es un evento elemental.

• “La primera moneda muestra sello” = (S, S), (S,C) es un evento.

2. Lanzamiento de dos monedas.

a) Dos monedas diferentes se lanzan al mismo tiempo.

• El espacio muestral correspondiente esta dado por

Ω = (C,C), (C, S), (S,C), (S, S) = C, S × C, S

y, en este caso, (C, S) 6= (S,C).

• (C,C) =“las monedas muestran cara” es un evento elemental.

• “ambas monedas muestran el mismo lado” = (S, S), (C,C) es un ejemplode un evento.

b) Dos monedas que no se pueden distinguir entre sı se lanzan al mismo tiempo.

• En esta situacion, Ω = (C,C), C, S, (S, S). Aquı, (C, S) = (S,C).

•C, S

=“las monedas muestran diferentes lados” es un evento elemental.

• Un ejemplo de un evento es “ambas monedas muestran el mismo lado”= (S, S), (C,C).

3. Una moneda se lanza hasta que cara (C) aparezca.

• Se observa el numero de lanzamientos que muestran sello (S) antes de queaparezca una cara. Por tanto, Ω = 0, 1, 2, . . . ,∞.

• En este caso, “3 = C aparece por primera vez en el cuarto lanzamiento” es unevento elemental y “∞” es el evento elemental de que la moneda nunca muestrea C.

• “C aparece no antes del septimo lanzamiento” = 6, 7, 8, . . . ,∞ es un evento.

4. Duracion de la vida humana.

• Se observa la edad en la que diferentes personas mueren. De esta forma, Ω esel conjunto de todos los numeros reales menores o iguales que k, donde k es laedad de la persona que mas anos ha vivido en la tierra.

• “59,7” es el evento elemental de que una determinada persona murio a la edadde 59,7 anos.

• “Alguien muere con edad entre 60 y 70 anos” = [60, 70] es un ejemplo de unevento de Ω.

Eventos seguro e imposible

En especial, el conjunto vacıo ∅ y Ω son eventos. El conjunto Ω es el llamado “evento

seguro”, que siempre sucede y ∅ es el llamado “evento imposible”, que nunca puedesuceder (por ejemplo, que se obtenga un 7 en el lanzamiento de un dado).

Operaciones entre eventos

En muchas aplicaciones, estamos interesados simultaneamente en uno o mas eventos.Por ejemplo, si se lanza un dado, dos eventos que podrıan considerarse son “el numeroresultante es un multiplo de 2” y “el numero resultante es mınimo un 5”. Una posibili-dad es que todos los enventos de interes podrıan ocurrir; este serıa el caso si el resultado


basico del experimento aleatorio pertenece a todos estos eventos. El conjunto de re-sultados basicos que pertenece a todos los eventos de un grupo se denomina interseccion.

Definicion 2.1.6 Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω. Su inter-

seccion, simbolizado por A ∩ B, es el conjunto de todos los resultados posibles enΩ que pertenecen a A y a B. Por tanto, la interseccion A ∩ B ocurre si y solo sitanto A como B ocurren.

De manera mas general, dado n eventos A1 , A2 , . . . , An de un espacio muestral Ω, su in-

terseccion A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An es el conjunto de todos los resultados posibles de Ω que pertenecen a

todos los Ai (i = 1, 2, . . . , n).

Un instrumento util para pensar en intersecciones y otras relaciones de conjuntos es eldiagrama de Venn. En la figura 2.1 se muestran diagramas para pares de conjuntos A yB. En la parte (a) de la figura, el rectangulo Ω representa el espacio muestral, mientrasque las dos circunferencias representan los dos eventos A y B.

Ası, por ejemplo, un resultado basico perteneciente a A estara dentro del cırculo corres-pondiente. El area sombreada donde se cruzan las dos figuras es A ∩ B. Claramente,un resultado basico estara en A ∩ B si y solo si esta tanto en A como en B. De estamanera, al lanzar un dado, los resultados 3 y 5 pertenecen a los dos eventos A =“seobtiene un numero impar” y B =“se obtiene como mınimo un 3”.

(a) A∩B es el area sombreada. (b) A y B son mutuamente ex-cluyentes

Fig. 2.1: Los diagramas de Venn para la interseccion de los eventos A y B.

Es posible que los eventos A y B no tengan resultados en comun, en cuyo caso lasfiguras no se cruzaran como en la parte (b) de la figura 2.1. Tales eventos se dicenque son mutuamente excluyentes (o disyuntos). Por ejemplo, si un al lanzar un dado,los eventos A =“se obtiene un numero par” y B =“se obtiene un numero impar” sonmutuamente excluyentes.


Definicion 2.1.7 Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω. Si lossucesos A y B no tienen en comun resultados de Ω, se denominan mutuamente

excluyentes (o disyuntos) y su interseccion A∩B es el conjunto vacıo. De estose deduce que el evento A ∩ B no puede ocurrir.

De manera mas general, decimos que n eventos A1 , A2 , . . . , An de un espacio muestral Ω

son mutuamente excluyentes si todo par de estos eventos es mutuamente excluyente, es decir

si Ai ∩ Aj es el conjunto vacıo para todo i 6= j.

Cuando se consideran varios eventos conjuntamente, otra posibilidad de interes es quepor lo menos uno de ellos ocurra. Esto sucedera si el resultado del experimento perteneceal menos a uno de los eventos. El conjunto de resultados pertenecientes por lo menos auno de los eventos, se denomina union. Por ejemplo, en el experimento del lanzamientode un dado, los resultados 2, 4, 5 y 6 pertenecen por lo menos a uno de los eventosA =“se obtiene un numero par” o B =“se obtiene como mınimo un 4”.

Definicion 2.1.8 Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω. Su union,simbolizado por A ∪ B, es el conjunto de todos los resultados posibles en Ω quepertenecen por lo menos a uno de estos eventos. Por tanto, la union A ∪ B ocurresi y solo si por lo menos alguno de estos dos eventos, A o B, ocurre.

De manera mas general, dado n eventos A1 , A2 , . . . , An de un espacio muestral Ω, su

union A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An es el conjunto de todos los resultados posibles de Ω que pertenecen por lo

menos a uno de estos n eventos.

La union de un par de eventos se ilustra en el diagrama de Venn de la figura 2.2a, dondeclaramente se observa que un resultado estara en A∪B si y solo si esta en por lo menosalguno de estos dos eventos, A o B.

(a) A∪B es el area sombreada. (b) A−B es el area sombreada

Fig. 2.2: Los diagramas de Venn para la union y diferencia de los eventos A y B.

Ahora, cuando se consideran dos eventos conjuntamente, otra situacion que interesa esque uno de ellos ocurra, pero el otro no. Esto ocurre cuando el resultado del experimento


pertenece a uno de ellos, pero no al otro. El conjunto de resultados que pertenecen a unevento, pero no a otro otro se denomina diferencia entre ambos eventos. Por ejemplo,los resultados 2 y 4 pertenecen al evento A =“se obtiene un numero par estrictamentemenor que 6”, pero no al evento B =“se obtiene mınimo 5”.

Definicion 2.1.9 Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω. La dife-

rencia entre A y B, simbolizado por A − B, es el conjunto de todos los resultadosposibles en Ω que pertenecen a A, pero no a B. Por tanto, la diferencia A−B ocurresi y solo si A ocurre, pero B no.

La diferencia entre un par de eventos se muestra en el diagrama de Venn de la figura 2.2b,en donde se observa que un resultado estara en A−B si y solo si esta en A, pero no en B.

A continuacion, sea A un evento y supongamos que nuestro interes es que A no ocurra.Esto sucedera si el resultado del experimento aleatorio se encuentra en Ω (como debeser), pero no en A. El conjunto de resultados pertenecientes al espacio muestral, y queno pertenecen a determinado evento, se denomina complemento de ese conjunto.

Definicion 2.1.10 Sea A evento de un espacio muestral Ω. Su complemento,simbolizado por A, es el conjunto de todos los resultados posibles en Ω que no perte-nencen a A. Por tanto, el complemento A de A ocurre si y solo si A no ocurre.

Claramente, los eventos A y A son mutuamente excluyentes. El complemento del eventoA se ilustra en la figura 2.3a.

(a) A es el area sombreada. (b) Particion de Ω

Fig. 2.3: Diagrama de Venn para el complemento de A y particion de Ω a traves deA1, A2, A3, . . . , An.

Un caso de especial interes lo constituye una coleccion de varios eventos cuya uniones la totalidad del espacio muestral Ω. Dado que todo resultado pertenece a Ω, sededuce que todo resultado de un experimento aleatorio estara al menos en una clasede estas colecciones de eventos. Estos eventos se denominan colectivamente exhaus-

tivos. Por ejemplo, si se lanza un dado, los sucesos “el resultado es como mınimo un3” y el resultado es maximo un 6” son colectivamente exhaustivos (al menos uno de


estos eventos debe ocurrir). Pero, si adicionalmente estas colecciones de eventos sonmutuamente excluyentes, entonces, se dice que estos eventos forman una particion de Ω.

Definicion 2.1.11 Sean A1, A2, . . . , An eventos de un espacio muestral Ω.

(a) Si se cumple que A1∪A2∪· · ·∪An = Ω, entonces, estos n eventos se denominancolectivamente exhaustivos.

(b) Decimos que estos n eventos forman una particion de Ω si ellos son colecti-vamente exhaustivos y mutuamente excluyentes.

Una representacion grafica de esta situacion se observa en la figura 2.3b. Observemos

que todos los eventos elementales forman una particion del espacio muestral correspondiente.

Ejemplo 2.1.12 Sea Ω = 1, 2, 3, 4, 5 el espacio muestral correspondiente a un experimentoaleatorio dado. Ademas, sean A = 2, B = 1, 4, C = 3, 5 y D = 2, 3, 4, 5. Entonces (verfigura 2.4),

• A, B y C es una particion de Ω porque A ∪ B ∪ C = Ω y A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅,B ∩ C = ∅.

• B y D son colectivamente exhaustivos, pero no forman una particion de Ω porqueB ∩ D = 4 6= Ω.

• A, C y D no son colectivamente exhaustivos (y, por tanto, tampoco forman unaparticion de Ω) porque 1 6∈ A ∪ C ∪ D.

Fig. 2.4: Diagrama de Venn para el ejemplo 2.1.12

Hemos presentado cuatro conceptos importantes (interseccion, union, diferencia y com-plemento). Todos ellos seran importantes en nuestro estudio subsiguiente de la proba-bilidad. Los siguientes ejemplos ilustran estas operaciones entre eventos.

Ejemplo 2.1.13 Se lanza un dado. Sea A el evento “se obtiene un numero impar” y B elevento “se obtiene mınimo un 3”. Entonces,


• Los complementos de estos eventos son, respectivamente,

A = “se obtiene un numero par” = 2, 4, 6,

B = “se obtiene maximo un 2” = 1, 2.

• La interseccion de A y B es el evento

A ∩ B = “se obtiene un numero impar distinto de 1” = 3, 5.

• La union de A y B es el evento

A ∪ B = “se obtiene un numero distinto de 2” = 1, 3, 4, 5, 6.

• La diferencia de A y B es el evento

A − B = “se obtiene el numero 1” = 1.

• La diferencia de B y A es el evento

B − A = “se obtiene un numero par distinto de 2” = 4, 6.

Observemos tambien que los eventos A y A son mutuamente excluyentes, dado que suinterseccion es el conjunto vacıo, y colectivamente exhaustivos, dado que su union es elespacio muestral Ω. En otras palabras, A y A forman una particion de Ω.

Algunas propiedades relacionadas con eventos

A continuacion presentamos algunas de las propiedades basicas que se deben tener encuenta cuando trabajamos con eventos.

Teorema 2.1.14 Sean A y B eventos de un espacio muestral Ω. Entonces, sonvalidas las siguientes afirmaciones.

(a) Ω = ∅ (b) ∅ = Ω (c) A = A

(d) A ∩ ∅ = ∅ (e) A ∪ ∅ = A (f) A ∩ A = ∅

(g) A ∪ A = Ω (h) A ∩ B = A ∪ B (i) A ∪ B = A ∩ B

Los resultados (h) e (i) son las llamadas leyes de De Morgan.

Presentamos ahora dos resultados mas que incluyen uniones e intersecciones. Seranempleados mas adelante para desarrollar algunas reglas de probabilidad.


Teorema 2.1.15 Sean A, A1, A2, . . ., An y B eventos de un espacio muestral Ω.Entonces, son validas las siguientes afirmaciones.

(a) Los eventos A ∩ B y A ∩ B son mutuamente excluyentes y su union es igual alevento B, es decir, forman una particion de B (ver figura 2.5a).

(b) Si A1, A2, . . ., An forman una particion de Ω, entonces, los eventos A1 ∩ B,A2 ∩ B, . . ., An ∩ B son mutuamente excluyentes y su union es B, es decir,forman una particion de B.

Para comprender lo expuesto en el teorema 2.1.15b, consideraremos el diagrama deVenn de la figura 2.5b. El rectangulo grande es el espacio muestral Ω y esta subdivididoen partes mas pequenos que representan los n eventos A1, A2, . . ., An que forman laparticion de Ω. El evento B viene representado por la region sombreada. Se observa quelos eventos comprendidos en la intersecion de B y cada uno de los eventos Ai formanuna particion de B, es decir, son mutuamente excluyentes y su union es B.

(a) Diagrama de Venn para los

eventos A ∩ B y A ∩ B.

(b) Diagrama de Venn paraA1 ∩ B, A2 ∩ B, . . . y An ∩ B

Fig. 2.5: Diagrama de Venn para diferentes intersecciones.

Ejemplo 2.1.16 Consideremos el lanzamiento de un dado. Verificaremos los dos resultadosque se presentan en el teorema 2.1.15.

(a) Sean A = 1, 3, 5 y B = 3, 4, 5, 6. Entonces, los eventos

A ∩ B = 3, 5 A ∩ B = 4, 6

son mutuamente excluyentes y su union es B (ver figura 2.6a). De esta forma quedaverificada la parte (a) del teorema.

(b) Sean B = 3, 4, 5, 6, A1 = 1, 3, A2 = 2, 4, 6 y A3 = 5. Observemos que los eventosA1, A2 y A3 forman una particion de Ω. ¿Por que? Ahora, claramente podemosobservar que los eventos

A1 ∩ B = 3, A2 ∩ B = 4, 6, A3 ∩ B = 5

son mutuamente excluyentes y su union es B (ver figura 2.6b), verificandose, de estamanera, la parte (b) del teorema.


(a) Los eventos A ∩ B y A ∩ B

son mutuamente excluyentes ysu union es B.

(b) A1 ∩ B, A2 ∩ B y A3 ∩ B

son mutuamente excluyentes ysu union es B

Fig. 2.6: Diagrama de Venn para diferentes intersecciones.

Ejemplo 2.1.17 Un problema al que se enfrenta frecuentemente la investigacion de merca-dos lo constituye el hecho de que algunas preguntas que nos gustarıa hacer son tan delicadasque muchas personas se negaran a contestarlas o daran una respuesta falsa. Una manerade atacar este problema es utilizar el metodo de la respuesta aleatorizada

1. Estatecnica consiste en acompanar la pregunta delicada con otra pregunta normal. Por ejemplo,podrıamos tener el siguiente par de preguntas:

(a) ¿Ha hurtado en almacenes intencionalmente en los ultimos doce meses?

(b) ¿Ha realizado una compra por catalogo en los ultimos doce meses?

A los encuestados se les pide que lancen una moneda y entonces contestan a la pregunta(a) si se obtiene cara y a la (b) en otro caso. Dado que el encuestador no puede saber aque pregunta se contesta, se espera que se obtengan de esta manera respuestas verdaderas.Para las preguntas que acompanan a la de interes, el investigador cuenta ya con informacionsobre la poblacion sujeta a estudio. De este modo, en nuestro ejemplo, el investigador sabeque proporcion de la poblacion realizo una compra por catalogo en los ultimos doce meses.

Definamos ahora los siguientes eventos:

B : El encuestado responde “sı”.

A1: El encuestado responde a la pregunta delicada.

A2: El encuestado responde a la pregunta normal.

Claramente, los eventos A1 y A2 son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.De este modo, las condiciones de la parte (b) del teorema 2.1.15 y se verifica que los eventos

A1 ∩ B = El encuestado responde “sı” y lo hace a la pregunta delicada,

A2 ∩ B = El encuestado responde “sı” y lo hace a la pregunta normal

son mutuamente excluyentes. Ademas, su union es el evento B, como se puede verificarfacilmente.

1Ver, por ejemplo, M. D. Geurts, “Using a randomized response research design to eliminatenonresponse biases in business research”, Journal of Academy of Marketing Science, 8 (1980), 83-90.


Ejercicios de la seccion 2.1

1. En un concurso de television, el ganador puede elegir tres de cinco personas diferentes:A, B, C, D y E.

(a) Enumere los elementos del espacio muestral correspondientes.

(b) ¿Cuantos elementos hay en el espacio muestral correspondientes a una seleccion queincluye a A?

(c) ¿Cuantos elementos hay en el espacio muestral correspondientes a una seleccion queincluye a A y a B?

(d) ¿Cuantos elementos hay en el espacio muestral correspondientes a una seleccion queincluye a A o a B?

2. La gerencia de produccion de una corporacion realizo un estudio para determinar el tiempo,en minutos, necesario para que un tecnico ejecute cierta tarea relacionada con el montajede sus televisores.

(a) Describa el espacio muestral correspondiente a este estudio.

(b) Describa el evento E de que un tecnico tarde tres minutos o menos para realizar latarea.

(c) Describa el evento F de que un tecnico tarde mas de tres minutos para realizar latarea.

3. Como parte de un procedimiento de control de calidad, un inspector de una granja se-lecciono 10 adornos al azar de cada lote que recibe y registra el n”umero de adornosdefectuosos.

(a) ¿Cual es el espacio muestral adecuado para cada lote?

(b) Describa el evento F de que a lo mas cuatro adornos esten rotos.

(c) Describa el evento G de que al menos siete adornos esten rotos.

(d) Describa los eventos F ∩ G y F ∪ G.

(e) Describa el evento H de que once adornos esten rotos.

(f) Determinar si la proposicion dada es verdadera o falsa. Si es verdadera, explicarpor que y si es falsa, construya un contraejemplo (es decir, un ejemplo para mostrarque es falsa): “Si E y F son eventos mutuamente excluyentes y E y G son eventosmutuamente excluyentes, entonces, F y G son mutuamente excluyes”.

4. En un campeonato de futbol participan cuatro universidades: Uninorte, Uniatlantico,Uniautonoma y la Cuc. En la primera vuelta, Uninorte jugara contra Uniatlantico y Uni-autonoma contra la Cuc. Los dos ganadores jugaran por el campeonato y subcampeonatoy los perdedores, por el tercer y cuarto puesto. Un posible resultado definitivo puede re-presentarse por la tupla (Uninorte, Uniautonoma, Uniatlantico, Cuc), en donde se indicaque Uninorte fue el campeon, Uniautonoma el subcampeon, Uniatlantico quedo de terceroy la Cuc, de cuarto.

(a) Enumere todos los posibles resultados de Ω.

(b) Sea A el evento en que Uninorte gana el torneo. Haga una lista de los elementos deA.

(c) Sea B el evento en que Uniatlantico llega a la final. Haga una lista de los elementosde B.

(d) ¿Cuales son los resultados en A ∪ B y en A ∩ B? ¿Cuales son los resultados en A?


5. En el departamento de recaudos se acaba de terminar una votacion secreta para elegir elnuevo jefe de ese departamento. La urna de votos contiene tres papeletas con votos paraGreyci, uno de los dos candidatos y dos papeletas con votos para Brian, el otro candidato.Supongamos que las papeletas se sacan de la caja una por una.

(a) ¿Cuantos resultados disponibles hay? ¿Cuales son?

(b) Suponga que se realiza un conteo a medida que se sacan las papeletas. ¿En cualesresultados Greyci se mantiene adelante de Brian en todo el conteo?

6. Una familia formada por Greyci, Brian y Humberto asisten a una clınica que siempre tieneun medico en cada una de las oficinas 1, 2 y 3. Durante cierta semana, cada miembro dela familia visita una vez la clınica y se le asigna al azar un medico: el experimento consisteen registrar el numero de la oficina asignada a cada miembro de la familia. Un resultadode (3, 2, 2) es: para Greyci la oficina 3; Brian, oficina 2 y Humberto, oficina 2.

(a) Haga una lista de los 27 resultados del espacio muestral.

(b) Haga una lista de todos los resultados del evento en el cual las tres personas de lafamilia vayan a la misma oficina.

(c) Haga una lista de todos los resultados del evento en el cual todos los miembros de lafamilia vayan a diferentes oficinas.

(d) Haga una lista de todos los resultados del evento en el cual ningun miembro de lafamilia vaya a la oficina 2.

7. Sea Ω = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 el espacio muestral correspondiente a un experimentoaleatorio dado. Sean A, B, C y D eventos de Ω definidos por

A = 0, 1, 2, 3, B = 4, 5, 6, 7, C = 2, 4, 6, D = 1, 8, 9.

Liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos: (a) A∪D;(b) B ∩ C; (c) D; (d) (D ∩ A) ∪ C; (e) Ω ∩ B; (f) B ∩ C ∩ D.

8. Senale la region de la figura de abajo que representa a cada evento: (a) A ∪ B ∪ C, (b)A∩B∩C, (c) A∩B∩C, (d) A∩B∩C, (e) A∩B∩C, (f) (A ∪ B)∩C, (g) A∪ (B ∩ C),(h) A ∪ B ∪ C.

9. Sean Ω el evento de todos los turistas que visitaron a Barranquilla durante un fin desemana y A, B y C, los eventos formados por los turistas que visitaron el Museo romantico,el Zoologico y Bocas de Cenizas, respectivamente. Exprese con palabras las regionesindicadas a continuacion teniendo en cuenta la figura de abajo: (a) Region 1, (b) Regiones1 y 4 juntas, (c) Regiones 4, 5, 7 y 8 juntas, (d) Regiones 5, 6 y 7.

10. En una encuesta realizada en un colegio de la ciudad a un total de 150 alumnos se encontro:54 estudian Algebra; 89, Ingles; 80, Ciencias Naturales; 60, Ciencias Naturales e Ingles;10, solo Algebra; 20, Algebra y Ciencias Naturales; 15, las tres materias simultaneamente.Determine el numero de alumnos que conforman los siguientes eventos:

2.2 Modelo de urnas y tecnicas de conteo 15

(a) Estudian Algebra e Ingles, pero no Ciencias Naturales.

(b) Estudian solo una materia.

(c) Estudian a lo sumo dos materias.

11. Una universidad realiza tres tipos de pruebas a 100 aspirantes y obtiene los siguientesresultados: 2 fracasaron en las tres pruebas; 7, en la primera y en la segunda; 8, en lasegunda y en la tercera; 10, en la primera y en la tercera; 25, en la primera; 30, enla segunda; 25, en la tercera. Determine el numero de aspirantes que conforman lossiguientes eventos:

(a) Fracasaron exactamente en una prueba.

(b) Aprobaron las tres pruebas.

(c) Fracasaron en la primera y en la tercera, pero no en la segunda.

(d) Fracasaron en la segunda y en la tercera, pero no en la primera.

(e) Fracasaron en al menos una prueba.

(f) Aprobaron al menos una prueba

(g) Aprobaron la segunda o la tercera, pero no la primera.

12. Un equipo de futbol ha determinado contratar un futbolista de talla internacional para elproximo campeonato. Sean A, B y C eventos que representan al hecho de que el futbolistacontratado ha jugado en el Real Madrid, en el Milan y en el Bayern de Munich, respecti-vamente. Utilice las operaciones de union, interseccion y complemento para describir, enterminos de A, B y C, dibuje un diagrama de Venn y sombree la region correspondientea cada uno.

(a) Por lo menos el futbolista ha jugado en uno de los tres equipos mencionados ante-riormente.

(b) El futbolista ha jugado en los tres equipos mencionados anteriormente.

(c) El futbolista ha jugado en el Real Madrid y no en el Milan.

(d) El futbolista solo ha jugado en el Bayern de Munich.

(e) El futbolista ha jugado exactamente en uno de los tres equipos mencionados ante-riormente.

2.2 Modelo de urnas y tecnicas de conteo

A pesar de la complejidad de muchos procedimientos avanzados, proporcionados por latecnologıa moderna, el simple proceso de contar resultados de un experimento aleatoriocontinua jugando un papel importante en problemas practicos de la vida cotidiana.Tenemos que contar por ejemplo, el numero de alumnos por grupo, el numero de llamadasrecibidas en una oficina por dıa, el numero de accidentes ocurridos en los fines de semana,etc. Pero, en muchos problemas como, por ejemplo,


• calcular de cuantas formas podemos sentar 10 personas, una al lado de la otrapara una foto;

• o determinar cuantos numeros de tres cifras se pueden formar con los dıgitos del1 al 9 si no se pueden repetir los dıgitos,

la tarea no resulta ser facil si no se desarrollan tecnicas especiales de conteo. Debido aque, frecuentemente, es necesario determinar cantidades como estas para poder calcularprobabilidades2, entonces, se hace obligatorio para nosotros estudiar algunas tecnicas.Las tecnicas especiales de conteo que estudiaremos, y que son fundamentales para elcalculo de algunas probabilidades, son: el conteo por enumeracion de elementos, el

conteo a traves de diagramas de arbol, el teorema fundamental del conteo, el principio

de adicion, el conteo de permutaciones y el conteo de combinaciones.

2.2.1 Modelo de urnas

Antes de comenzar a introducir los conceptos y propiedades basicos que caracterizan acada una de las tecnicas mencionadas anteriormente, consideraremos importante enfa-tizar que muchos experimentos aleatorios pueden describirse por medio de los llamadosmodelos de urnas, los cuales estan caracterizados por los siguientes dos hechos:

1. En una urna hay bolas distinguibles (por ejemplo, numeradas), no distinguibles(por ejemplo, rojas) o mixtas. Estas bolas se consideran como una poblacion.

2. De esta urna se quieren sacar una o mas bolas, al mismo tiempo o no, reem-plazando o no las bolas seleccionadas antes de seleccionar nuevamente otra(s)bola(s) y observando el orden o no de las bolas extraıdas. Las bolas extraıdas seconsideran como una muestra. Para obtener estas muestras, podemos distinguirlos siguientes casos:

(a) Seleccionar sin reemplazo.Cada bola seleccionada se deposita fuera de la urna y por eso puede selec-cionarse una sola vez.

(b) Seleccionar con reemplazo.Cada bola seleccionada se reemplaza en la urna y por eso puede seleccionarsevarias veces.

(c) Seleccionar considerando el orden.Se seleccionan cierta cantidad de bolas una tras otra y se considera el ordenobtenido. En este caso, las bolas seleccionadas se pueden considerar comotuplas ordenadas.3

(d) Seleccionar sin considerar el orden.Se seleccionan cierta cantidad de bolas a la vez (o tambien una tras otra),pero sin que interese el orden de las bolas extraıdas.

2Concepto que veremos mas adelante3Por una tupla ordenada se entiende una expresion, por ejemplo, de la forma (a, b, c, d, e, . . . , z),

en donde el orden de estas letras es importante. Por ejemplo, para el caso de tener solo dos letrasa y b, no es lo mismo (a, b) que (b, a). A la tupla con dos elementos se le llama par ordenado; ala de tres elementos, tripleta ordenada, etc.


Los cuatro casos se pueden combinar: las bolas se seleccionan con o sin reemplazoy con o sin orden. Inclusive, podemos identificar otros tipos de modelo de urnacon base en las situaciones anteriores como, por ejemplo,

(e) Seleccionar formando una particion.Seleccionar grupos de bolas sin importar el orden y cada grupo se guarda,por ejemplo, en gavetas numeradas. Esto se hace hasta que no queden bolasen la urna.

Ahora, procederemos a explicar las mencionadas tecnicas de conteo.

2.2.2 El conteo por enumeracion de elementos

Nuestra primera regla es tratar de enumerar todos los elementos de un espacio muestraly luego contarlos. Esta tecnica es adecuada cuando el numero de resultados posibles noes muy grande. Para ilustrar esto, consideremos los siguientes ejemplos. Observe que ala mayorıa de ellos lo hemos identificado con un modelo de urna.4

Ejemplo 2.2.1 (Seleccion con reemplazo y con orden) Una urna contiene 4 fichas:una azul, una verde, una roja y una negra. ¿Cuales son las distintas maneras de selec-cionar dos fichas con reemplazo?SOLUCION:Abreviaremos el color de las fichas con su correspondiente letra inicial: A, V, R y N. Comola seleccion es con reemplazo, entonces, se selecciona un ficha y se vuelve a introducir en laurna antes de seleccionar la segunda. Por lo tanto, los elementos del espacio muestral son

AA, VA, AR, RA, AN, NA, VR, RN,

VN, NV, RN, NR, AA, VV, RR, NN.

En este ejemplo el orden es importante, por eso aparece AV y VA como dos elementosdistintos del espacio muestral.

Ejemplo 2.2.2 (Seleccion sin reemplazo y sin orden) ¿De cuantas maneras se puedearmar un grupo de 2 de entre 4 personas (digamos Greyci, Jeniffer, Brian y Humberto)?SOLUCION:En esta situacion el orden no interesa (por eso no se utilizan parentesis al identificar a cadaseleccion del grupo). Es como si colocaramos los nombres de estas cuatro personas en unabolsa y sacaramos dos de ellas al mismo tiempo. Observe que, en este caso, da lo mismo laposibilidad “Greyci, Jeniffer” que “Jeniffer, Greyci” (por eso sin orden). Ademas, la posibili-dad de obtener un grupo conformado por “Greyci, Greyci” no existe (por eso, sin reemplazo).

Al tener en cuenta lo anterior, encontramos que los posibles grupos de dos personas quese pueden escoger son:

Greyci, Jeniffer, Greyci, Brian, Greyci, Humberto,Jennifer, Brian, Jeniffer, Humberto, Brian, Humberto,

Es decir, en total hay 6 maneras posibles de seleccionar un grupo de 2 personas, sabiendoque hay 4 disponibles.

4A los que no hemos identificado con un modelo de urna, significa que el ejemplo no se puedeclasificar directamente como uno de los modelos de urna descritos anteriormente. En realidad, hayotros tipos de modelos de urna.


Ejemplo 2.2.3 (Seleccion sin reemplazo y con orden) ¿De cuantas maneras se puedensentar Greyci, Jeniffer, Brian y Humberto en un sofa que solo tiene disponible dos puestos?SOLUCION:En este ejemplo el orden es importante porque no es lo mismo, por ejemplo, que Greyci sesiente en el primer puesto y Jeniffer en el segundo que lo contrario. Por eso utilizaremosparejas ordenadas para enumerar los posibles resultados. Ahora, es obvio que Greyci nopuede aparecer sentada en el primer puesto y en el segundo puesto al mismo tiempo (poreso, sin reemplazo). Es decir, no existe la posibilidad que aparezca el resultado (Greyci,Greyci).

Con lo anterior, facilmente, podemos determinar que las posibles maneras en que se sientendos personas en el sofa son:

(Greyci, Jeniffer), (Greyci, Brian), (Greyci, Humberto), (Jeniffer, Greyci)(Jennifer, Brian), (Jeniffer, Humberto), (Brian, Greyci), (Brian, Jeniffer)(Brian, Humberto), (Humberto, Greyci), (Humberto, Jeniffer), (Humberto, Brian)

Es decir, en total hay 12 maneras posibles de que dos de las cuatro personas se sienten enel sofa de dos puestos.

Ejemplo 2.2.4 (Seleccion con reemplazo y sin orden) ¿De cuantas formas pueden aco-modarse 3 libros iguales de matematicas (M) y 2 libros iguales de fısica (F) en un estanteque tiene solo 5 puestos disponibles?SOLUCION:Como los libros, digamos, de matematicas son iguales, entonces, no importa el orden en queellos coloquen en el estante (por eso sin orden). Ademas, los libros de matematicas estanrepetidos (por eso con reemplazo). Igual sucede con los de fısica. La organizacion posiblede los 5 libros en el estante son:

MMMFF, FFMMM, MMFFM, MMFMF, MFMFM,MFMMF, MFFMM, FMFMM, FMMFM, FMMMF.

Es decir, en total hay 10 maneras posibles de organizar los 5 libros en el estante.

Ejemplo 2.2.5 (Particion de un espacio muestral) ¿De cuantas maneras diferentes pue-den Greyci, Jeniffer, Brian y Humberto acomodarse en una habitacion triple y en unahabitacion sencilla?SOLUCION:En este ejemplo, es dividir a las cuatros personas en grupos de dos (por eso, una particion),donde un grupo tendra 3 personas (que son las que dormiran en la habitacion triple) y elotro grupo, 1 persona (que dormira en la habitacion sencilla). Ahora, la pareja (Greyci-Brian-Jeniffer, Humberto) significa que las 3 primeras personas duermen en la habitaciontriple y la ultima, en la sencilla.

Teniendo en cuenta lo anterior, las posibles reparticiones de las cuatro personas son:

(Greyci-Brian-Jeniffer, Humberto), (Greyci-Brian-Humberto, Jeniffer),(Greyci-Humberto-Jeniffer, Brian), (Humberto-Jennifer-Brian, Greyci).

Es decir, en total hay 4 maneras posibles de repartir a 3 personas en una habitacion tripley 1 en la sencilla.

Ejemplo 2.2.6 Una joven tiene tres blusas (de marcas A, B y C), dos faldas (de coloresazul y roja) y dos pares de zapatos (de cuero y plastico). Utilizando estas siete prendas de


vestir, ¿cuantos juegos de ropa diferentes podrıa ponerse?SOLUCION:Como podemos ver, los posibles juegos de ropa que la joven podıa ponerse son los siguientes:

(A, azul, cuero), (A, azul, plastico), (A, rojo, cuero), (A, rojo, plastico)

(B, azul, cuero), (B, azul, plastico), (B, rojo, cuero), (B, rojo, plastico)

(C, azul, cuero), (C, azul, plastico), (C, rojo, cuero), (C, rojo, plastico)

O sea, que en total ella podrıa ponerse 12 juegos.

2.2.3 El conteo a traves de diagramas de arbol

Cuando el numero de posibilidades no es demasiado grande, se puede utilizar una repre-sentacion grafica que se conoce con el nombre de diagrama de arbol, para mostrartodas las secuencias posibles de tales operaciones. Un diagrama de arbol consta de unaserie de “ramas” que corresponden a cada una de las formas en que se pueden realizarla operacion. Ilustraremos este diagrama a traves de solo un ejemplo.

Ejemplo 2.2.7 (Seleccion sin reemplazo y con orden) ¿De cuantas formas distintasse pueden organizar las letras A, B, C?SOLUCION:El diagrama de arbol correspondiente a esta situacion se presenta en la figura 2.7. Comopuede verse en ese diagrama, las diferentes posiblidades se pueden enumerar teniendo encuenta las ultimas ramas del diagrama. De allı, vemos que hay en total seis ramas. Es decir,hay 6 maneras diferentes de organizar las letras dadas.

Fig. 2.7: Diagrama de arbol para el ejemplo 2.2.11.

2.2.4 Teorema fundamental del conteo

La siguiente regla de conteo se aplica a cualquier situacion en la cual un evento cons-te de tuplas ordenadas de objetos y queremos contarlos. Por ejemplo, la mayorıa delas situaciones ilustradas por medio de los ejemplos hasta aquı se pueden analizar, sinnecesidad de enumerar las diferentes posibilidades y sin elaborar un diagrama de arbol,


a traves del siguiente teorema.

Teorema 2.2.8 (Teorema fundamental del conteo) Si un evento puede ocur-rir de m formas y si despues que ha sucedido puede seguir un segundo evento quepuede ser de cualquiera de n formas, entonces, los dos eventos pueden ocurrir si-multaneamente en el orden establecido de mn formas. Esta regla se puede extendera cualquier cantidad de eventos.

Para resolver cualquier problema de conteo, les sugiero realizar siempre los siguientes pasos:

• Primer paso:Determine cuantos eventos hay en el problema y si es necesario identifique cada uno de ellos.

• Segundo paso:Calcule de cuantas formas puede ocurrir cada uno de estos eventos.

• Tercer paso:Por ultimo aplique el el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8).

Ejemplo 2.2.9 Un dado se lanza dos veces. Determinar el numero de formas en que sepueden obtener los numeros del dado en los dos lanzamientos.SOLUCION:Como los dos dados no estan relacionados en forma alguna cuando se lanzan y como cadauno pueder caer de seis formas distintas, el numero total de formas en que pueden caer, unodespues del otro, es 6 · 6 = 36 por el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8) queson

Ω =(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6).

Ejemplo 2.2.10 Para el ejemplo 2.2.6 pueden ocurrir tres eventos, uno despues del otro.Son los siguientes: Escoger una de las 3 blusas, escoger una de las 2 faldas y escoger unode los dos pares de zapatos. El primer evento puede ocurrir de 3 formas; el segundo, de 2formas y el tercer, de 2 formas. Por tanto, por el teorema fundamental del conteo (teorema2.2.8), los cuatros eventos uno seguido del otro pueden ocurrir en 3 · 2 · 2 = 12 manerasdistintas.

Ejemplo 2.2.11 (Seleccion sin reemplazo y con orden) En la situacion del ejemplo2.2.7 hay tres eventos que debemos considerar: el de escoger a la letra A, el de escoger a laletra B y el de escoger la C. Ahora, para la primera posicion hay 3 posibilidades de escogerla primera letra. Si se selecciona una, en la segunda posicion habra dos posibilidades y, siselecciona otra, en la ultima habra una posibilidad. Por tanto, por el teorema fundamentaldel conteo (teorema 2.2.8), el total de formas para organizar las tres letras es 3 · 2 · 1 = 6,como se obtuvo en el ejemplo 2.2.7.

Ejemplo 2.2.12 (Seleccion sin reemplazo y con orden) Hay cuatro facturas diferentesque un gerente quiere ordenar, de izquierda a derecha, en cuatro lugares distintos de su es-critorio. ¿De cuantas maneras puede el hacerlo?


SOLUCION:Hay dos formas de analizar este ejemplo: como un problema de colocacion y como un prob-lema de seleccion.

• Un problema de colocacion.

Los cuatro eventos son:

A = Colocar la primera factura en uno de los cuatro espacios.

B = En seguida, colocar la segunda factura en uno de los tres espacios restantes.

C = De los dos espacios aun vacıos, uno sera para la tercera factura.

D = La ultima factura va en el unico lugar disponible.

• Un problema de seleccion.

Los cuatro eventos son:

A = Seleccionar una factura para el primer lugar.

B = Despues de llenar el primer espacio, se elige la segunda factura de entre lastres restantes

C = Luego de ocupar tres espacios, se selecciona la trecera factura de entre lasque quedan.

D = Colocar la cuarta factura en el ultimo espacio.

En cualquiera de las dos situaciones, A puede hacerse de 4 maneras; B, de tres; C, de dos yD, de una sola manera. Por consiguiente, por el teorema fundamental del conteo (teorema2.2.8), el numero total de formas posibles en que el gerente puede ordenar sus facturas es4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Ejemplo 2.2.13 (Seleccion sin reemplazo y con orden) Considere la situacion del ejem-plo 2.2.3. El primer puesto hay 4 maneras de que se siente una persona. Sentada una allıquedaran disponibles 3 personas para el segundo puesto. Por tanto, por el teorema funda-mental del conteo (teorema 2.2.8) hay 12 = 4 · 3 maneras posibles de que dos de las cuatropersonas se sienten en el sofa de dos puestos.

Sin embargo hay situaciones en donde no se puede aplicar (o no se puede aplicarfacilmente) el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8). Algunos ejemplos sonlos siguientes:

Ejemplo 2.2.14 Cuando la seleccion es

(a) sin reemplazo y sin orden como en el ejemplo 2.2.2;

(b) con reemplazo y sin orden como en el ejemplo 2.2.4;

(c) a traves de la particion de un espacio muestral como en el ejemplo 2.2.5

el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8) no es aplicable (directamente). En losdos primeros casos porque no importa el orden y en el tercero, por la estructura del modelode urna.


2.2.5 El principio de adicion

Consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.2.15 Cinco empresas de transporte tienen servicio diario entre Barranquilla yBogota. Tres empresas de aviacion tienen vuelo diario entre Barranquilla y Bogota. Enconsecuencia, hay 5 + 3 maneras de ir de Barranquilla a Bogota en avion o en bus.

En el ejemplo anterior vemos que no es posible aplicar el teorema fundamental del con-teo (teorema 2.2.8). Para resolver este tipo de problemas es importante considerar elsiguiente teorema:

Teorema 2.2.16 (Principio de adicion) Si los eventos A1, A2, . . ., Ak son mu-tuamente excluyentes (vease la definicion 2.1.7) y si se ocurren de n1, n2, . . ., nk

formas diferentes, entonces, el evento A1∪A2∪· · ·∪Ak ocurre de n1+n2+ · · ·+nk

formas diferentes.

Ejemplo 2.2.17 En el lanzamiento de dos dados, ¿de cuantas formas se puede obtener quela suma de los numeros sea un siete o un ocho?SOLUCION:Sean A y B los eventos “obtener un siete” y “obtener un ocho”, respectivamente. Entonces,A ∪ B sera el evento “obtener un siete o un ocho”. Debido a que

A = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) y B = (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2),

entonces, A y B pueden ocurrir de 6 y 5 formas distintas y, ademas, son mutuamenteexcluyentes. Por consiguiente, por el principio de adicion (teorema 2.2.16), el evento A ∪ B

ocurrira de 6 + 5 = 11 maneras distintas.

Ejemplo 2.2.18 Consideremos el experimento de lanzar una moneda al aire tres veces.¿De cuantas formas se puede obtener una, dos o tres caras?SOLUCION:Sean A, B y D los eventos “obtener una cara ” y “obtener dos caras”, “obtener tres caras”,respectivamente. Entonces, A∪B∪D sera el evento “obtener una, dos o tres caras”. Como

A = (C, S, S), (S,C, S), (S, S, C), B = (S,C,C), (C, S,C), (C,C, S) y D = (C,C,C)

entonces, A, B y D pueden ocurrir de 3, 3 y 1 formas distintas. Observese, ademas, queson mutuamente excluyentes. Por lo tanto, por el principio de adicion (teorema 2.2.16), elevento A ∪ B ∪ D ocurrira de 3 + 3 + 1 = 7 maneras diferentes.

2.2.6 Permutacion

Definicion 2.2.19 Una permutacion es un arreglo ordenado de una cantidadfinita de objetos distintos.

Es importante tener en cuenta que toda permutacion se puede identificar como una muestra

seleccionada sin o con reemplazo, pero siempre con orden


Ejemplo 2.2.20 (Permutaciones de 3 letras, sin reemplazo) ACB es un ejemplo deuna permutacion de las letras A, B y C. Hay en total 6 permutaciones de estas letras, asaber (comparese con el ejemplo 2.2.7):

ABC ACB BCA BAC CBA CAB.

Ejemplo 2.2.21 (Permutaciones de 4 letras tomandolas de 2 en 2, sin reemplazo)AC es un ejemplo de una permutacion de las letras A, B, C y D, pero tomado solamentedos de ellas. Hay en total 12 permutaciones de estas cuatro letras, tomandolas de 2 en 2, asaber:

AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC.

Ejemplo 2.2.22 (Permutaciones de 4 letras si hay letras iguales, con reemplazo)CAC es un ejemplo de una permutacion de las letras A, C y C. En total hay 3 permutacionesde estas letras: ACC, CAC y CCA.

En la mayor parte de los casos, el total de permutaciones de un conjunto de objetos sepuede calcular siempre a traves del teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8). Detodas formas, para situaciones especiales hay formulas que nos permiten calcular la can-tidad de permutaciones sin necesidad de aplicar el teorema fundamental del conteo (enrealidad, estas formulas se obtienen aplicando este teorema). Las situaciones especiales(relacionadas con permutaciones) que explicaremos a continuacion son las siguientes:

• Permutaciones sin repeticion de n objetos tomados todos a la vez.

• Permutaciones sin repeticion de n objetos tomados de k en k (k ≤ n).

• Permutaciones circulares.

• Permutaciones con repeticion de n objetos tomados de k en k (k es cualquiernumero natural).

• Permutaciones de n objetos de los cuales hay n1 de un primer tipo, n2 de unsegundo tipo, . . ., nk de un k-esimo tipo, donde n1 + n2 + · · · + nk = n.

• Maneras de hacer una particion de un conjunto.

Permutaciones sin repeticion de n objetos tomados todos a la vez

Teorema 2.2.23 El numero de permutaciones de un conjunto de n elementosdistintos es igual a n! := 1 · 2 · · · (n − 1) · n, siendo 0! := 1.

El sımbolo “!” se conoce con el nombre de factorial. Cuando escribamos, por ejemplo, 5!

leeremos “5 factorial”. Algunos valores factoriales son los siguientes:

1! = 1, 2! = 2 · 1 = 2, 3! = 3 · 2 · 1 = 6, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24, etc.

Las permutaciones de este tipo se pueden considerar como muestras seleccionadas sin reemplazo.


Ejemplo 2.2.24 (Permutaciones de 4 objetos, sin reemplazo) El ejemplo 2.2.12 sepuede resolver tambien aplicando el teorema 2.2.23 porque el gerente quiere ordenar suscuatro facturas disponiendo solo de cuatro espacios posibles. Aplicando este teorema, ten-emos que el gerente puede ordenar sus facturas de 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 maneras, que fue elresultado obtenido aplicando el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8).

Ejemplo 2.2.25 (Permutaciones de 8 objetos, sin reemplazo) Suponga que una em-presa dispone de ocho maquinas atornilladoras y de ocho espacios en el area de produccion.¿De cuantas maneras diferentes se pueden acomodar estas ocho maquinas en los ocho espa-cios disponibles?SOLUCION:Podemos aplicar directamente el teorema 2.2.23 puesto que tenemos un total de n = 8 ob-jetos que queremos ordenar entre sı. Es decir, hay 8! = 40.320 maneras de ordenar las ochomaquinas en los ocho espacios disponibles.

Ejemplo 2.2.26 (Permutaciones de 5 objetos, sin reemplazo) Se le pide a un con-sumidor que ordene, por orden de preferencia, el sabor de cinco marcas de cerveza. Sial consumidor le es indiferente cualquiera de estas cinco marcas, entonces, el numero depermutaciones que resultan sera 5! = 120.

Ejemplo 2.2.27 (Permutaciones de 12 objetos, sin reemplazo) Cuatro libros distin-tos de matematicas, seis diferentes de fısica y dos diferentes de quımica se colocan en unestante. ¿De cuantas formas distintas es posible ordenarlos si (a) los libros de cada asig-natura deben estar todos juntos, (b) solamente los libros de matematicas deben estar juntos?SOLUCION:

(a) Los libros de matematicas pueden ordenarse entre ellos de 4! formas, los libros defısica de 6! formas, los libros de quımica de 2! formas y los tres grupos de 3! formas.Por consiguiente,

numero de ordenaciones pedido = 4! 6! 2! 3! = 207.360.

(b) Considerar los cuatro libros de matematicas como un solo libro. Entonces, se tienen9 libros que pueden ordenarse de 9! formas. En todos estos casos, los libros dematematicas estan juntos. Pero, los libros de matematicas pueden ordenarse entreellos de 4! formas. Por consiguiente,

numero de ordenaciones pedido = 9! 4! = 8.709.120.

Permutaciones sin repeticion de n objetos tomados de k en k (k ≤ n)

Hay situaciones en donde podemos hallar las permutaciones de n objetos distintostomandolos de k en k, como se ilustro en el ejemplo 2.2.21. Para calcular el numero depermutaciones de este tipo, podemos tener en cuenta el siguiente teorema:

Teorema 2.2.28 El numero de permutaciones de un conjunto de n elementosdistintos tomados de k en k es igual a n!

(n−k)!.

Las permutaciones de este tipo tambien se pueden considerar como muestras seleccionadas

sin reemplazo. Ademas, observese que cuando k = n, este resultado coincide siempre con el del

teorema 2.2.23.


Ejemplo 2.2.29 (Permutaciones de 2 en 2, sin reemplazo) Por el teorema 2.2.28, elnumero de permutaciones de las letras A, B, C y D, tomadas de dos en dos es igual a

4!(4−2)!

= 12 (compaarese con el ejemplo 2.2.21).

Ejemplo 2.2.30 (Permutaciones de 5 en 5, sin reemplazo) ¿De cuantas formas dife-rentes se pueden sentar 8 alumnos en una oficina con solo 5 sillas?SOLUCION:Por el teorema 2.2.28, el numero de formas en que se pueden sentar 8 alumnos en una oficinacon 5 sillas es igual a 8!

(8−5)!= 6.720.

Ejemplo 2.2.31 (Permutaciones de 3 en 3, sin reemplazo) ¿Cuantos numeros de 3cifras sin repeticion se pueden formar con los dıgitos 8, 2, 5, 4 y 7?SOLUCION:Nuevamente, por el teorema 2.2.28, esto se puede hacer de 5!

(5−3)!= 60 formas.

Ejemplo 2.2.32 (Permutaciones de 4 en 4, sin reemplazo) Una seccion de maquinariadeterminada consta de cuatro piezas y puede ser ensamblada poniendo las piezas en cualquierorden. Supongase que se decide estudiar el tiempo de ensamblaje para esta seccion demaquinaria midiendo el tiempo que requiere para cada uno de los ensamblajes resultantesde tomar las piezas en distinto orden. ¿Cuantas de estas mediciones habra que hacer?SOLUCION:Por el teorema 2.2.28, el numero total de mediciones es 4!

(4−4)!= 24.

Permutaciones circulares

Ahora estudiaremos algunas situaciones de arreglos circulares. Para ello consideremos elsiguiente ejemplo.

Ejemplo 2.2.33 (Permutacion circular) Sabemos que si queremos sentar a Greyci, Jenif-fer, Brian y Humberto, una al lado de la otra en fila, el numero de arreglos que podemoshacer es 4! = 60. Ahora bien, si los queremos sentar alrededor de una mesa circular, ¿decuantas maneras lo podemos hacer?SOLUCION:Al considerar a una persona en un lugar fijo (digamos Greyci) y acomodar a las otras trespersonas en 3! formas diferentes, se encuentra que hay 6 arreglos distintos alrededor de lamesa circular (comparese con la figura 2.8).

Este ejemplo tambien se puede resolver directamente aplicando directamente el siguienteteorema:

Teorema 2.2.34 El numero de permutaciones de n objetos distintos acomodadosen un cırculo es (n − 1)!.

Ejemplo 2.2.35 (Permutacion circular) ¿De cuantas formas pueden sentarse Greyci,Jeniffer, Brian y Humberto alrededor de una mesa circular si Greyci y Humberto no debenestar una al lado de la otra?SOLUCION:Considerense las dos personas que no deben ir juntas como una sola. Entonces hay 3 personaspara sentarse en la mesa circular, que lo pueden hacer de 2! formas. Pero las dos personas


Fig. 2.8: Permutacion de 4 personas en una mesa circular.

consideradas como una sola se pueden ordenar de 2! maneras. Por consiguiente, el numerode permutaciones de 3 personas alrededor de una mesa circular si dos de ellas pueden estarjuntas es 2! 2! = 4, que son las “mesas no sombreadas” de la figura 2.9.

Fig. 2.9: Las mesas sombreadas son las permutaciones en que Greyci, Jeniffer, Briany Humberto se pueden organizar si Greyci y Humberto no deben estar juntas.

Entonces, el numero total de formas en que Greyci, Jeniffer, Brian y Humberto puedensentarse alrededor de una mesa circular si Greyci y Humberto no deben estar una al lado dela otra es 4 − 2 = 2 formas, que corresponden a las “mesas sombreadas” de la figura 2.9.

Permutaciones con repeticion de n objetos tomados de k en k (k escualquier numero natural)

Veamos otra aplicacion del teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8).

Ejemplo 2.2.36 (Permutaciones de 2 en 2, k > n, con reemplazo) Supongamos quetenemos 3 ninos de un colegio de primaria y 2 sabores de helados disponibles (digamos, fresay mango). ¿De cuantas maneras diferentes podemos servir un helado a los 3 ninos?SOLUCION:Al primer nino le podemos servir uno de los 2 sabores, al segundo nino tambien le podemos


servir de los 2 sabores y al tercero, tambien, uno de los 2 sabores. Por consiguiente, por elteorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8), hay 2 · 2 · 2 = 23 = 8 maneras diferentes deservir un helado a los 3 ninos. Estas posibilidades son las siguientes:

(fresa, fresa, fresa), (fresa, fresa, mango), (fresa, mango, fresa),(fresa, mango, mango), (mango, fresa, fresa), (mango, fresa, mango),(mango, mango, fresa), (mango, mango, mango),

en donde, por ejemplo, la tripleta (fresa, mango, mango) significa que el primer nino pidioun helado de fresa, el segundo de mago y el tercero, de mango.

Este ejemplo se puede categorizar como un modelo de urna en donde las muestrasson seleccionadas con orden y con reemplazo. En este tipo de situaciones se estanconsiderando aquellas permutaciones con repeticion de n objetos distintos tomandolosde k en k y en donde k es cualquier numero natural. Para calcular este numero depermutaciones podemos aplicar el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8) o,simplemente, aplicar el siguiente teorema:

Teorema 2.2.37 Sea k cualquier numero natural. El numero de permutacionescon repeticion de n objetos distintos tomandolos de k en k es igual a nk.

Observese que las permutaciones de este tipo se pueden considerar como muestras seleccionadas

con reemplazo.

Ejemplo 2.2.38 (Permutaciones de 3 en 3, k < n, con reemplazo) ¿Cuantos numerosde 2 cifras con repeticion se pueden fomar usando todos los siguientes dıgitos: 5, 2 y 3?SOLUCION:Por el teorema 2.2.37, hay 32 = 9 numeros de dos cifras con repeticion y son 55, 52, 53, 25,22, 23, 35, 32 y 33.

Ejemplo 2.2.39 (Permutaciones de 4 en 4, k > n, con reemplazo) ¿De cuantas for-mas podemos contestar un examen con 10 preguntas de seleccion multiple, si cada preguntatiene 4 posibilidades de respuesta?SOLUCION:Por el teorema 2.2.37, hay 410 = 1.048.576 formas de responder las 10 preguntas, si cadauna de ellas tiene cuatro posibilidades de respuesta.

Ejemplo 2.2.40 (Permutaciones de 5 en 5, k = n, con reemplazo) Un ladron quiereabrir una caja fuerte. Observa que para abrirla debe manipular un dispositivo de seguridadformado por cinco anillos y cada uno marcado con los dıgitos 1, 2, 3, 4 y 5, pero no sabe lacombinacion correcta. ¿Cual es el numero maximo de intentos incorrectos que puede realizarantes de encontrar la combinacion correcta?SOLUCION:En cada uno de los 5 anillos pueden ponerse los 5 dıgitos. Ası que, por el teorema 2.2.37con n = k = 5, hay 55 = 3.125 posibilidades de escoger una clave. Pero como una de estas3.125 es la correcta, el numero maximo de intentos incorrectos es 3.124.


Permutaciones de n objetos en donde hay n1 de un primer tipo, n2 deun segundo tipo, . . ., nk de un k-esimo tipo, con n1 +n2 + · · ·+nk = n

Ahora consideraremos algunas permutaciones de n objetos, en donde algunos grupos deobjetos son iguales entre sı, como podemos observar los ejemplos 2.2.4 y 2.2.22. Paracalcular permutaciones de este tipo se puede aplicar el siguiente teorema:

Teorema 2.2.41 El numero de permutaciones de n objetos en donde hay n1 de unprimer tipo, n2 de un segundo tipo, . . ., nk de un k-esimo tipo, con n1+n2+· · ·+nk =

n, esn!

n1!n2! · · ·nk!,

donde n1, . . . , nk son numeros naturales.

Ejemplo 2.2.42 (Permutacion con 7 grupos de objetos iguales) ¿Cuantas palabrasdistintas se pueden formar con las letras de la palabra “estadıstica”? (Tambien cuentanpalabras sin sentido como, por ejemplo, “setadistica”)SOLUCION:Observese que en la palabra “estadıstica” hay n = 11 letras, distribuidas ası: 1 “e”, 2 “s”,2 “t”, 2 “a”, 1 “d”, 2 “i” y 1 “c”. Por tanto, aplicando el teorema 2.2.41, se concluye quepodemos formar

11!

1! 2! 2! 2! 1! 2! 1!= 2.494.800

palabras distintas con las letras de la palabra mencionada anteriormente.

Ejemplo 2.2.43 (Permutacion con 2 grupos de objetos iguales) ¿Cuantas senales di-ferentes se pueden hacer con 5 banderas de las cuales 2 son azules y 3, rojas?SOLUCION:De acuerdo al teorema 2.2.41, hay 5!

2! 3!= 10 senales que se pueden hacer.

Maneras de hacer una particion de un conjunto

A menudo interesa determinar el numero de formas en que se pueden repartir n objetosen k subconjuntos (llamados celdas5) como sucede en la situacion del ejemplo 2.2.5.En general, este numero de formas se pueden calcular directamente con ayuda del si-guiente teorema:

Teorema 2.2.44 El numero de formas de partir n objetos distintos en donde enk celdas con n1 objetos en la primera celda, n2 en la segunda tipo, . . ., nk en lak-esima celda, con n1 + n2 + · · · + nk = n, es

(

n

n1, n2, . . . , nk

)

=n!

n1!n2! · · ·nk!.

No importa el orden de los objetos dentro de cada celda.

5En el ejemplo 2.2.5, se han considerado 2 celdas: las habitaciones triple y sencilla.


Ejemplo 2.2.45 (Particion en 3 celdas) Doce estudiantes van a viajar en carros distin-tos a cierta ciudad. Si 3 de ellos van en un carro, 4 en otro carro y 5 en el otro, ¿de cuantasmaneras se pueden acomodar si cualquiera puede conducir?SOLUCION:Por el teorema 2.2.44, hay

(

12

3, 4, 5

)

=12!

3! 4! 5!= 27.720

formas en que los 12 estudiantes se pueden acomodar en los tres carros, viajando 3, 4 y 5estudiantes en carros distintos.

2.2.7 Combinacion

Cuando tratamos con permutaciones de objetos, el orden de escogencia o de colocaciones importante. Hay ocasiones en que no nos interesa considerar conjuntos de objetosdonde el orden no es importante. Cuando esto ocurre, la escogencia se llama combi-

nacion.

Definicion 2.2.46 Una escogencia de k objetos de un conjunto de n objetos distin-tos, sin importar el orden en que los k objetos son escogidos, se llama combinacion.

Una combinacion puede ser con repeticion o sin repeticion.

Ejemplo 2.2.47 (Combinaciones tomadas de 2 en 2, sin repeticion) Todas las posi-bles combinaciones de las n = 5 letras A, B, C, D y E, tomadas de dos en dos (o sea, k = 2)sin repeticion son

AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.

Es decir, en total hay 10 posibles formas de escoger dos letras de un total de 5, cuando elorden no importa y la seleccion es sin repeticion. Observese que, en este caso, da lo mismoescoger AB y BA (es decir, no importa el orden).

Ejemplo 2.2.48 (Combinaciones tomadas de 2 en 2, con repeticion) Todas las posi-bles combinaciones de las n = 5 letras A, B, C, D y E, tomadas de dos en dos (o sea, k = 2)con repeticion son

AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD

CE, DE, AA, BB, CC, DD, EE.

Es decir, en total hay 15 posibles formas de escoger dos letras de un total de 5, cuando elorden no importa y la seleccion es con repeticion.

Ejemplo 2.2.49 (Diferentes problemas con combinaciones) Otros casos en donde sepresentan problemas con combinaciones, son los siguientes:

(a) En una caja hay n = 5 fichas numeradas y se sacan k = 3 fichas, una detras de otra,sin reponer y sin importar el orden.

(b) Se reparten n = 10 fichas diferentes y numeradas sobre k = 6 puestos no numerados detal forma que, en cada puesto haya exactamente una ficha.


(c) Repartir k = 7 fichas iguales no numeradas sobre n = 9 puestos numerados, de tal formaque en cada puesto haya a lo mas una ficha.

Pero, ¿como calculamos el numero de combinaciones de un conjunto de objetos sinenumerar tales combinaciones? El siguiente teorema nos da la respuesta.

Teorema 2.2.50 El numero de combinaciones de k objetos seleccionados, sinrepeticion, de un conjunto de n elementos, es

(

n

k

)

:=n!

k!(n − k)!, siendo

(

n

0

)

:= 1.

Y el numero de combinaciones de k objetos seleccionados con repeticion, de unconjunto de n elementos, es

(

n

k

)

r

:=(n − 1)!

k!(n − 1)!, siendo

(

n

0

)

:= 1.

Los numeros(

n

k

)

se conocen con el nombre de coeficiente binomial porque aparecen como coe-

ficientes de akbn−k, con 0 ≤ k ≤ n, en el desarrollo binomial de (a + b)n como se muestra acontinuacion:

(a + b)n

=

n∑

k=0

(

n

k

)

akb

n−k, para todo a, b ∈ R.

Ejemplo 2.2.51 (Combinaciones tomadas de 4 en 4, sin repeticion) Una pieza deun radio puede ser comprado de cualquiera de cinco proveedores. ¿De cuantas maneras sepueden escoger cuatro de los cinco proveedores?SOLUCION:Por el teorema 2.2.50, esto se puede hacer de

(

54

)

= 5 maneras.

Ejemplo 2.2.52 (Combinaciones tomadas de 2 en 2, con repeticion) Por el teorema2.2.50, el numero de las posibles combinaciones de las n = 5 letras A, B, C, D y E, tomadasde dos en dos (o sea, k = 2) con repeticion es igual a

(

52

)

r= 15 (xcomparese con el ejemplo

2.2.48).

Debido a que las combinaciones con repeticion son poco usuales en la practica, de ahoraen adelante, todas las copmbinaciones que se seleccionen seran sin repeticion.

Ejemplo 2.2.53 (Combinaciones tomadas de 8 en 8) Por el teorema 2.2.50, un comitede k = 3 mujeres de un grupo de n = 8, se puede escoger de

(

83

)

= 56 maneras.

Ejemplo 2.2.54 (Combinaciones tomadas de 5 en 5) De un total de 5 matematicosy 7 fısicos, se forma un comite de 2 matematicos y 3 fısicos. ¿De cuantas maneras puedeformarse, si (a) puede pertenecer a el cualquier matematico y fısico, (b) un fısico determi-nado debe pertenecer al comite, (c) dos matematicos determinados no pueden pertenecer alcomite?SOLUCION:


(a) 2 matematicos de un total de 5 pueden elegirse de(

52

)

= 10 maneras. Ahora, 3 fısicos

de un total de 7 pueden elegirse de(

73

)

= 35 maneras. Por consiguiente,

numero total de selecciones posibles = 10 · 35 = 350.

(b) 2 matematicos de un total de 5 pueden elegirse de(

52

)


restantes de un total de 6 pueden elegirse de(

62

)



(c) 2 matematicos de un total de 3 pueden elegirse de(

32

)


de un total de 7 pueden elegirse de(

73

)



El numero de combinaciones de n objetos tomados de k en k esta relacionado con elnumero de permutaciones de n objetos tomados de k en k. Observemos que cada com-binacion puede arreglarse de k! maneras distintas. Si aplicamos el teorema fundamentaldel conteo (teorema 2.2.8), el numero total de permutaciones de n objetos distintostomados de k en k es igual al producto de k! y al numero de combinaciones de n ob-jetos distintos tomados de k en k, o sea, igual a k!

(

nk

)

. Esto se puede resumir en elsiguiente teorema:

Teorema 2.2.55 El numero total de permutaciones de n objetos distintos tomadosde k en k es igual al producto de k! y al numero de combinaciones de n objetosdistintos tomados de k en k, o sea, igual a k!

(

nk

)

.

Ejemplo 2.2.56 (Permutaciones de 5 en 5) Por el teorema 2.2.28, el numero de formasen que se pueden sentar 8 alumnos en una oficina con 5 sillas es igual a 5!

(

85

)

= 6.720, quecoincide con el resultado obtenido en el ejemplo 2.2.30.


13. En un reinado mundial de la belleza, el jurado calificador debe elegir de un total de cincofinalistas a la nueva reina mundial de la belleza. ¿De cuantas formas se puede seleccionar(a) reina y virreina? (b) reina, virreina y primera princesa? (c) dos candidatas para serreina?

14. En un estudio medico, los pacientes se clasifican de acuerdo a su peso (liviano, normal,pesado) y tambien de acuerdo a su estatura (medio bajo, bajo, alto y medio alto). Enu-mere las diferentes posibilidades en las que un paciente se puede clasificar. ¿Cuantasposibilidades hay?

15. Si un experimento consiste en lanzar un dado, luego, lanzar una moneda y despues es-coger al azar una letra de nuestro alfabeto, ¿cuantos elementos tiene el espacio muestralcorrespondiente? (Suponga que nuestro alfabeto tiene 27 letras)

16. Los estudiantes de un curso de estadıstica se clasifican como estudiantes de administra-cion, economıa o ingenierıa; como repitente o no repitente y tambien como hombre omujer. Encuentre el numero total de clasificaciones posibles para los estudiantes de dichocurso.


17. Dados los dıgitos 0, 2, 4, 5, 6, 8 y 9. Si no se aceptan repeticiones,

(a) ¿cuantos numeros de tres dıgitos se pueden formar?

(b) ¿cuantos de esos numeros son multiplos de 5?

18. En un determinado almacen, ciertas lamparas se reciben en cuatro estilos diferentes, concada estilo disponible en cinco colores diferentes. Si el almacen desea mostrar lamparasque muestren la totalidad de de los diversos estilos y colores, ¿cuantas diferentes lamparastendrıa que mostrar?

19. ¿De cuantas maneras diferentes se puede responder un cuestionario de falso-verdaderoque tiene 10 preguntas?

20. Un medicamento para problemas renales se puede adquirir de seis laboratorios diferentesen forma de jarabe, tabletas, capsulas o inyeccion, todas de concentracion alta o baja.¿De cuantas maneras diferentes puede un doctor recetar el medicamento a un pacienteque tenga problemas renales.

21. Supongamos que 7 personas se quieren organizar en una fila.

(a) ¿De cuantas maneras diferentes pueden hacerlo?

(b) ¿De cuantas maneras diferentes pueden hacerlo si una de ellas no debe estar alcomienzo de la fila?

22. En un concurso nacional de canto, los seis finalistas son 3 hombres y 3 mujeres. Encuentreel numero de ordenamientos posibles al final del concurso para (a) los seis finalistas, (b)las tres primeras posiciones.

23. Humberto ha visto un accidente de transito en el que el culpable huye. A pesar de estole dice a la policıa que la placa del carro en el que viajaba el culpable tenıa tres letras(de las cuales las dos primeras eran C y A) y tres dıgitos (de los cuales el ultimo era 0).Encuentre el numero maximo de placas de carro que la policıa debe verificar bajo cadauna de las siguientes condiciones (nuestro alfabeto tiene 27 letras):

(a) Las tres letras son diferentes y los tres dıgitos tambien.

(b) Las tres letras son diferentes y los dos dıgitos que faltan son diferentes entre sı,

(c) La letra que hace falta es diferente a la A y los dıgitos que hacen falta son diferentese impares.

24. La mayor accionista de una determinada empresa decide que en el futuro se divida el pre-supuesto de publicidad entre tres agencias. Seis son las agencias que se estan considerandopara este trabajo. ¿Cuantas son las posibles elecciones de tres agencias?

25. Supongamos que se quieren formar numeros de tres dıgitos con los dıgitos 0, 2, 4, 5, 7, 8y 9.

(a) ¿Cuantos numeros resultan si los dıgitos pueden estar repetidos?

(b) ¿Cuantos numeros resultan si cada dıgito puede usarse solo una vez?

(c) ¿Cuantos numeros resultan si los numeros resultantes son impares y si los dıgitospueden estar repetidos?

(d) ¿Cuantos numeros resultan si los numeros resultantes son pares y si cada dıgito puedeusarse solo una vez?

(e) ¿Cuantos numeros son menores que 440 y si los dıgitos pueden estar repetidos?

(f) ¿Cuantos numeros resultan si el primer dıgito es 5 y si cada dıgito puede usarse solouna vez?


26. ¿De cuantas maneras se pueden parquear siete carros con modelos distintos en una callesi hay tres zonas disponibles en un lado de la calle y cuatro en el lado opuesto?

27. ¿De cuantas maneras pueden sentarse tres hombres y tres mujeres en una fila con seispuestos si se deben alternar?

28. ¿Cuales y cuantas son las muestras ordenadas, con reemplazo, de tamano dos de lapoblacion consistente en los (a) tres valores 2, 4 y 6; (b) cuatro valores 0, 2, 4 y 6.

29. Tres parejas de casados han comprado boletas para el cine y se sientan en una fila for-mada por seis asientos. Supongamos que se sientan al azar. Determine el numero deformas diferentes en que se pueden sentar teniendo en cuenta cada una de las siguientessituaciones:

(a) No hay restriccion alguna.

(b) Todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres.

(c) Exactamente una pareja (digamos, Luis y Matilde) estan sentadas en los dos asientosdel extremo derecho.

(d) Luis y Matilde estan sentadas uno junto a la otra.

(e) Luis y Matilde estan sentados juntos en la extrema izquierda y otra pareja (digamos,Jorge y Nubia) esta sentada juntos en el medio.

(f) Jorge y Nubia estan sentados juntos en el medio y los otros dos esposos (digamos,Luis, Ricardo) estan sentados junto a sus respectivas esposas (Matilde y Ana, respec-tivamente).

(g) Todos los esposos estan sentados junto a sus respectivas esposas.

30. ¿De cuantas maneras se pueden llenar las 11 posiciones inciales de un equipo de futbolcon 17 jugadores que pueden jugar en cualesquiera de las posiciones?

31. ¿De cuantas maneras se pueden sembrar seis arboles diferentes en un cırculo si (a) no hayrestriccion alguna, (b) hay dos en especial que deben estar juntos, (c) hay dos en especialque no deben estar juntos?

32. ¿Cuantas palabras diferentes se pueden formar con la palabra “Barranquilla” (las palabrasno necesariamente deben tener sentido) si (a) no hay restriccion alguna, (b) la primeraletra debe ser una “q” y la ultima una “a”.

33. ¿De cuantas maneras se pueden permutar tres focos rojos, cuatro bolas blancas y dosfichas amarillas si los objetos del mismo tipo (a) se pueden distinguir, (b) no se puedendistinguir.

34. Catorce personas deciden ir a ver un partido de futbol en cuatro carros que llevan dos, tres,cuatro y cinco personas, respectivamente. ¿De cuantas maneras es posible transportar alas catorce personas hasta el estadio si cualquiera puede conducir?

35. Dados los dıgitos 0, 1, 3, 6, 8 y 9. Si no se aceptan repeticiones:

(a) ¿cuantos numeros de cuatro dıgitos se pueden formar?

(b) ¿cuantos de esos numeros son pares?

(c) ¿cuantos son impares?

(d) ¿cuantos de los numeros obtenidos en (a) son mayores de 3.000?

36. ¿De cuantas maneras se pueden repartir dos contratos a tres empresas A, B y C si cadaempresa puede tener 0, 1 o 2 contratos? Descrıbalas.

2.3 Introduccion a la probabilidad 34

37. Si una prueba de opcion multiple consiste en cuatro preguntas cada una con tres respuestasposibles de las que solo una es correcta.

(a) ¿De cuantas maneras diferentes puede elegir un estudiante una respuesta a cadapregunta?

(b) ¿De cuantas maneras puede escoger un estudiante una respuesta a cada pregunta ytener mal todas las respuestas?

(c) ¿De cuantas maneras puede escoger un estudiante una respuesta a cada pregunta ytener por lo menos una respuesta correcta?

38. Las placas para autos en Barranquilla antes tenıan dos letras y cuatro numeros. El sistemade nomenclatura cambio y ahora son de tres letras y tres numeros. Con el sistema actual,¿aumento o disminuyo el numero de placas que se pueden emitir? ¿En que porcentaje?

2.3 Introduccion a la probabilidad

Antes de senalar como se utilizan las probabilidades, es necesario conocer de ciertamanera de donde provienen. Basicamente, explicaremos 4 formas de calcular o estimarla probabilidad, a saber, mediante los siguientes metodos:

• Metodo axiomatico, construido con base en tres axiomas.

• Metodo de la frecuencia relativa que se basa en la frecuencia relativa de ocurrenciade un evento con respecto a un gran numero de experimentos repetidos.

• Metodo clasico, que proviene de los juegos de azar y se emplea para espaciosmuestrales finitos con resultados que suceden con la misma probabilidad.

• Metodo subjetivo, que nos permite asignar probabilidades con fundamento en laintuicion, o en la creencia personal.

2.3.1 Definicion matematica de probabilidad

Al igual que la geometrıa, el algebra y otras disciplinas matematicas, tambien, la teorıade la probabilidad se construye a traves de axiomas, los cuales se enumeran a continua-cion:

Axioma 2.3.1 Sean Ω 6= ∅ un espacio muestral finito y F un conjunto de eventosde Ω. Una funcion P : F −→ R se llama una probabilidad si se cumplen lossiguientes 3 axiomas:

(a) La probabilidad de cualquier evento debe ser siempre mayor o igual que cero, esdecir, P(A) ≥ 0, para todo A ∈ F.

(b) La probabilidad del espacio muestral siempre es uno, es decir, P(Ω) = 1.

(c) Para cada n eventos A1, A2, . . . An de F, mutuamente excluyentes (vease ladefinicion 2.1.7), si se cumple que

P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) = P(A1) + P(A2) + · · · + P(An).


Es importante enfatizar que el conjunto F, mencionado en la definicion anterior, deber estar cons-truido de tal manera que cumpla las siguientes propiedades:

(a) Ω siempre debe estar en F.

(b) Si A esta en F, entonces, el complemento A de A tambien debe estar en F.

(c) Si A1 , A2 , . . . An estan en F, entonces, la union A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An de todos estos eventostambien debe estar en F.

El axioma (a) refleja la nocion intuitiva de que la probabilidad de que ocurra cualquierevento A debe ser por lo menos 0, ası que las probabilidades negativas no se permiten.El axioma (b) senala que la probabilidad maxima posible de 1 se asigna al espacio mues-tral Ω. El axioma (c) formaliza la idea de que si deseamos la probabilidad de queocurra por lo menos uno de varios eventos y no pueden ocurrir dos de estos eventossimultaneamente, entonces, la probabilidad de que ocurra al menos uno es la suma delas probabilidades de los iventos indivuduales.

Teniendo en cuenta el axioma 2.3.1, se demuestran las siguientes propiedades:

Teorema 2.3.2 Para eventos A, B, C de un espacio muestral Ω 6= ∅ se tiene:

(a) P(∅) = 0.

(b) Si los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes, entonces, P(A∪B∪C) =

P(A) + P(B) + P(C).

(c) P(A) = 1 − P(A), siendo A el complemento de A.

(d) 0 ≤ P(A) ≤ 1.

(e) P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B).

(f) Teorema de adicion para 2 eventos o formula de Silvester:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

(g) Teorema de adicion para 3 eventos o formula de Silvester:

P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C).

La demostracion del teorema anterior no esta dentro del proposito de este libro.

Ejemplo 2.3.3 Sean A, B y C eventos tales que P(A) = 0, 50, P(B) = 0, 26, P(C) = 0, 55,P(A ∩ B) = 0, 15, P(A ∩ C) = 0, 25, P(B ∩ C) = 0, 15 y P(A ∩ B ∩ C) = 0, 05. Calcular lassiguientes probabilidades: (a) P(A ∪ B), (b) P(A ∩ C), (c) P(A ∪ C) y (d) P(A ∪ B ∪ C).SOLUCION:

(a) Teniendo en cuenta el teorema de adicion para 2 eventos (vease la parte (f) del teorema2.3.2), se tiene que

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0, 50 + 0, 26 − 0, 15 = 0, 61.


(b) Teniendo en cuenta el teorema 2.3.2(e), se obtiene que

P(A ∩ C) = P(A) − P(A ∩ C) = 0, 50 − 0, 25 = 0, 25.

(c) Teniendo en cuenta la parte (c) del teorema 2.3.2, las leyes de de Morgan (comparesecon el teorema 2.1.14(i)) y la parte (b) de este ejercicio, se tiene

P(A ∪ C) = 1 − P(A ∪ C) = 1 − P(A ∩ C) = 1 − 0, 25 = 0, 75.

(d) Teniendo en cuenta el teorema de adicion para 3 eventos (vease la parte (g) del teorema2.3.2), se tiene que

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

= 0, 50 + 0, 26 + 0, 55 − 0, 15 − 0, 25 − 0, 15 + 0, 05

= 0, 81.

Alternativamente, las respuestas encontradas en los ejercicios (a)-(d) pueden ser obtenidascon ayuda de las probabilidades que aparecen en el siguiente diagrama de Venn:

Fig. 2.10: Diagrama de Venn para el ejemplo 2.3.3

2.3.2 Probabilidad empırica

Este concepto esa basado en el llamado metodo de la frecuencia relativa, elcual utiliza datos que se han observado empıricamente, registra la frecuencia con queha ocurrido algun evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurranuevamente con base en estos datos historicos. En este metodo juega papel fundamen-tal el concepto de frecuencia relativa para estimar las probabilidades.

Definicion 2.3.4 Supongamos que un experimento aleatorio se repite n veces y queun evento A asociado con estas n repeticiones ocurre exactamente k veces. Entonces,la frecuencia relativa del evento A es fn = k

n.

Si continuamos calculando esta frecuencia relativa para cada cierto numero de ensayos, amedida que aumentamos n, las frecuencias relativas correspondientes seran mas estables,


es decir, tienden a ser casi las mismas. En este caso, decimos que el experimento muestraregularidad estadıstica o estabilidad en las frecuencias relativas. Esto se ilustra en lossiguientes dos ejemplos.

Ejemplo 2.3.5 Considere la tabla 2.11, en donde se muestran datos tomados al lanzar unamoneda 1.000 veces.

FrecuenciaNumero de Numero Frecuencia Frecuencia Acumulada

Lanzamientos de caras relativa acumulada relativa

1 - 100 52 0,52 52 0,520101 - 200 53 0,53 105 0,525201 - 300 52 0,52 157 0,523301 - 400 47 0,47 204 0,510401 - 500 51 0,51 255 0,510501 - 600 53 0,53 308 0,513601 - 700 48 0,48 356 0,509701 - 800 46 0,46 402 0,503801 - 900 52 0,52 454 0,504

901 - 1.000 54 0,54 508 0,508

Total: 1.000 508 0,508

Fig. 2.11: Lanzamiento de una moneda 1.000 veces

En un total de 1.000 lanzamientos ocurrieron 508 caras, es decir, la frecuencia relativa esaproximadamente 0,5, que es la probabilidad de obtener una cara.

Ejemplo 2.3.6 La tabla 2.12 muestra experimentos hechos por tres investigadores:

FrecuenciaHecho Numero de Numero relativapor Lanzamientos de caras de caras

Buffon 4.040 2.048 0,5069K. Pearson 12.000 6.019 0,5016K. Pearson 24.000 12.012 0,5005

Fig. 2.12: Lanzamientos de una moneda realizada por 3 investigadores

Observese que en cada una de las investigaciones, la frecuencia relativa del numero de carases aproximadamente 0,5, que es la probabilidad de obtener una cara.

En la gran mayorıa de los experimentos aleatorios de importancia practica tienen es-tabilidad. Por esto podemos sopechar que practicamente sera cierto que la frecuenciarelativa de un evento A en un gran numero de experimentos es aproximadamente iguala un determinado numero P(A), o sea, la probabilidad del evento es P(A) = lim

n→∞

kn,

como podemos verificar con ayuda de los ejemplos 2.3.5 y 2.3.6, siendo A en estos dosejemplos el evento “obtener una cara”. Todo lo anterior se puede resumir en la siguiente


definicion:

Definicion 2.3.7 (Definicion empırica de probabilidad) Sea A un eventoasociado con un experimento. Entonces, la probabilidad P(A) es aproximadamenteigual a la frecuencia relativa de A si efectuamos el experimento muchas veces.

Cuando se usa la definicion empırica, es importante tener en cuenta los siguientes as-pectos:

• La probabilidad obtenida de esta manera es unicamente una estimacion del valorreal.

• Cuanto mayor sea el numero de experimentos, tanto mejor sera la estimacion de laprobabilidad, es decir, a mayor numero de experimentos mejor sera la estimacion.

• La probabilidad es propia de solo un conjunto de condiciones identicas a aquellasen las que se obtuvieron los datos, o sea, la validez de emplear esta definiciondepende de que las condiciones en que se realizo el experimento sean repetidasidenticamente.

2.3.3 Definicion clasica de probabilidad

Definicion clasica

Se pueden encontrar diversos ejemplos en donde se asocian la misma probabilidad acada evento elemental. En este caso, se habla de un experimento laplaciano oclasico, es decir, un experimento que tiene finitos resultados, que suceden con lamisma probabilidad. A este tipo de experimentos pertenecen los juegos de azar, comopor ejemplo, dados, juegos de cartas, ruletas; tambien modelos de la fısica, en los cualesse puede describir la distribucion de una partıcula cualquiera, o modelos de la genetica.

Definicion 2.3.8 (Probabilidad de un evento elemental) Sea Ω 6= ∅ un espa-cio muestral finito. Si ω es un evento elemental de Ω, entonces, la probabilidad deque suceda ω, en sımbolos P(ω), es igual a 1 dividido por el numero de elementosque tiene Ω. Es decir,

P(ω) =1

Numero de elementos de Ω. (2.1)

Ejemplo 2.3.9 (a) Consideremos el experimento de lanzar una moneda. Entonces, Ω =

C, S. Es decir, la probabilidad de obtener cara, simbolizado por P(C), y la de obtenersello, simbolizado por P(S), esta dado por P(C) = P(S) = 1

2= 0, 5. Estas probabili-

dades las interpretamos de la siguiente manera: En un gran numero de lanzamientosaparecera una cara aproximadamente en la mitad de los lanzamientos y sello en laotra mitad. O tambien podemos decir: si la moneda se lanza repetidamente, entonces,el 50% (que resulta de multiplicar 0,5 por 100) de las veces resultara cara y en el otro50%, sello.


(b) Consideremos el experimento de lanzar un dado. Entonces, Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Esdecir,

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) =1

6≈ 0, 166 . . . ,

Aquı, el sımbolo “≈” significa “aproximadamente igual a” y, por ejemplo, P(1) = 0, 166

se lee “la probabilidad de obtener un 1 es 0,166”, la cual se interpreta de la siguientemanera: De cada 1.000 lanzamientos de un dado, el numero 1 aparecera 166 vecesaproximadamente. O tambien ası: si el numero de lanzamientos de un dado es grande,entonces, en el 16,6% (que resulta de multiplicar 0,166 por 100) aparecera el numero1 del dado. Las otras probabilidades las interpretamos analogamente.

A menudo es necesario asignar probabilidades a eventos de un espacio muestral. Poreso, es importante el siguiente teorema.

Teorema 2.3.10 (Probabilidad de un evento) Sea Ω 6= ∅ un espacio muestralfinito y supongamos que todos los eventos elementales suceden con la misma proba-bilidad, es decir, la expresion ( 2.1) se cumple para cada evento elemental ω de Ω.Entonces, para cada evento A de Ω, tenemos

P(A) =Numero de elementos de A

Numero de elementos de Ω. (2.2)

Ejemplo 2.3.11 Dos dados no falsos se lanzan. Hallar la probabilidad de (a) que la sumade los numeros sea un 7, (b) que la suma sea por lo menos un 11, (c) que la suma sea a lomas un 2, (d) obtener un doble, (e) no obtener doble.SOLUCION:Como ya vimos en el ejemplo 2.2.1, el espacio muestral correspondiente Ω contiene 36resultados. Ademas, cada uno de ellos ocurre con la misma probabilidad.

(a) Sea A el evento de obtener un 7 al lanzar los dos dados. Entonces, A es el conjunto

A =(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

,

O sea, que A tiene 6 elementos. Por consiguiente, aplicando (2.2), se obtiene que laprobabilidad de obtener un 7 es

P(A) =6

36=

1

6≈ 0, 166.

Aquı, el sımbolo “≈” significa “aproximadamente igual a”.

(b) Sea B el evento de obtener por lo menos un 11, es decir, B es el evento de obtener unasuma mayor o igual que 11. Debido a que

B =(5, 6), (6, 5), (6, 6)

,

entonces,

P(B) =3

36=

1

12≈ 0, 0833.


(c) Sea C el evento de obtener a lo mas un 2 o, que es equivalente, de obtener una sumamenor o igual que 2. En este caso, C =

(1, 1)

y, con ello,

P(C) =1

36≈ 0, 027.

(d) Sea D el evento de obtener un doble. Es decir,

D =(1, 1), (2, 2), (3, 3) (4, 4), (5, 5) (6, 6)

.

Por lo tanto,

P(D) =6

36≈ 0, 166.

(e) Sea E el evento de obtener ningun doble. Observe, D es el complemento de E, es decir,D = E. Por lo tanto, P(E) = P(D). Entonces,

P(E) = 1 − P(E) = 1 − P(D) ≈ 1 − 0, 166 = 0, 834.

Ejemplo 2.3.12 Una organizacion de caridad vende 1000 billetes de loterıa. Hay diezprimeros premios y cien premios de consolacion, todos los cuales deben ser distribuidos. Elproceso de seleccion de los ganadores es tal que, al principio, cada boleto tiene las mismasposibilidades de ganar un primer premio y cada uno tiene las mismas posibilidades de ganarun premio de consolacion. Ningun boleto puede ganar mas de un premio.

(a) ¿Cual es la probabilidad de ganar un premio con un unico boleto?

(b) ¿Cual es la probabilidad de ganar un premio de consolacion?

(c) ¿Cual es la probabilidad de ganar algun premio?

SOLUCION:

(a) De entre los 1000 billetes, 10 ganaran primeros premios, 100 ganaran premios de con-solacion y 890 no ganaran premio alguno. Nuestro unico billete puede ser consideradocomo uno elegido entre los 1000. Sea A el suceso “el billete elegido gana un primer pre-mio”. Dado que son 1000 resultados igualmente probables, 10 de los cuales correspondeal suceso A, tenemos que

P(A) =10

1000= 0, 01.

(b) De modo similar, para el suceso B, “el billete elegido gana un premio de consolacion”,se deduce que

P(B) =100

1000= 0, 10.

(c) Ahora bien, el suceso “el billete gana algun premio” es sencillamente la union de lossucesos A y B. Ademas, dado que solo se permite un premio por billete, estos sucesosson mutuamente excluyentes. Por tanto, la probabilidad requerida es

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0, 01 + 0, 10 = 0, 11.

Ejemplo 2.3.13 En la primera epoca del desarrollo de un yacimiento de petroleo, unaempresa estimo en 0,1 la probabilidad de que las reservas economicamente recuperablesexcedieran los 2.000 millones de barriles. La probabilidad de que las reservas excediesen los1.000 millones de barriles se estimo en 0,5. Dada esta informacion, ¿cual es la probabilidadestimada de que las reservas se encuentren entre 1.000 y 2.000 millones de barriles?SOLUCION:


Sea A el evento “las reservas exceden los 2.000 millones de barriles” y B el evento “las reservasse encuentran entre 1.000 y 2.000 millones de barriles”. Estos eventos son mutuamenteexcluyentes y su union, A ∪ B, es el evento “las reservas exceden los 1.000 millones debarriles”. Por tanto, tenemos que

P(A) = 0, 1 y P(A ∪ B) = 0, 5.

Entonces, dado que A y B son mutuamente excluyentes, se obtiene que (comparese con lafigura 2.13)

P(B) = P(A ∪ B) − P(A) = 0, 5 − 0, 1 = 0, 4.

Fig. 2.13: Diagrama para las probabilidades del ejemplo 2.3.13

Calculo de probabilidades utilizando tecnicas de conteo

Una dificultad practica que aparece a veces al calcular la probabilidad de un suceso esla de contar el numero de resultados basicos en el espacio muestral y en el evento deinteres. Los siguientes ejemplos, ilustran como se pueden utilizar las tecnicas de conteo,explicadas en la seccion anterior, para calcular probabilidades de eventos.

Ejemplo 2.3.14 Un estante tiene 6 libros de matematicas y 4 de fısica. Hallar la proba-bilidad de que 3 libros determinados de matematicas esten juntos, si

(a) todos los libros de matematicas son diferentes y los libros de fısica tambien;

(b) todos los libros de matematicas son diferentes y que todos los libros de fısica son iguales;

(c) todos los libros de matematicas son diferentes y 3 de los libros de fısica iguales.

Compare las tres respuestas y de una conclusion general.SOLUCION:Sean Ω el espacio muestral correspondiente y A el evento “3 libros determinados de mate-maticas estan juntos”. Nos piden calcular P(A).

(a) En este caso, los elementos de Ω son las distintas permutaciones de los 6+4 = 10 libros.Por el teorema 2.2.23, los 10 libros pueden ordenarse entre sı de 10! formas. Es decir,Ω tiene en total 10! elementos.

Ahora, supongamos que los 3 libros determinados de matematicas se reemplazan por 1.Ası, tenemos en total de 8 libros que pueden ordenarse entre sı de 8! formas. Como lostres libros se pueden ordenar entre sı de 3! formas, entonces, hay 8! 3! formas de ordenarlos 10 libros con la condicion de que 3 libros determinados esten juntos.

Por lo tanto, por la expresion (2.2), tenemos que


Numero de elementos de Ω=

8! 3!

10!≈ 0, 0666.


(b) En este caso, por el teorema 2.2.41, Ω tiene en total 10!4!

= 151.200 elementos. Supon-gamos que los 3 libros determinados de matematicas se reemplazan por 1. Ası, tenemosen total de 8 libros que, por el teorema 2.2.41, pueden ordenarse entre sı de 8!

4!= 1.680

formas. Como los tres libros se pueden ordenar entre sı de 3! = 6 formas, entonces,hay 1.680 · 6 = 10.080 formas de ordenar los 10 libros con la condicion de que 3 librosdeterminados de matematicas esten juntos y sabiendo que los de fısica son todos iguales.Con lo anterior,



10.080

151.200≈ 0, 0666.

(c) En este caso, por el teorema 2.2.41, Ω tiene en total 10!3!

= 604.800 elementos. Supon-gamos que los 3 libros determinados de matematicas se reemplazan por 1. Ası, tenemosen total de 8 libros que, por el teorema 2.2.41, pueden ordenarse entre sı de 8!

3!= 6.720

formas. Como los tres libros se pueden ordenar entre sı de 3! = 6 formas, entonces,hay 6.720 · 6 = 40.320 formas de ordenar los 10 libros con la condicion de que 3 librosdeterminados de matematicas esten juntos y sabiendo que hay 3 fısica que son iguales.Por consiguiente,



40.320

604.800≈ 0, 0666.

Con respecto a los resultados obtenidos podemos concluir que si todos los libros de matematicasson diferentes, entonces, sin importar si los de fısica son iguales o no, la probabilidad de que3 libros determinados de matematicas esten juntos es aproximadamente 0,0666.

Ejemplo 2.3.15 Un director de personal tiene ocho candidatos para cubrir cuatro puestos.De estos, cinco son hombres y tres mujeres. Si, de hecho, toda combinacion de candidatostiene las mismas probabilidades de ser elegido, ¿cual es la probabilidad de que ninguna mujersea contratada?SOLUCION:Primero, el numero total de combinaciones posibles de los ocho candidatos tomadas de cua-tro en cuatro es

(

84

)

= 70. Ahora bien, para que ninguna mujer sea contratada, los candidatosseleccionados han de ser cuatro de los cincos hombres. El numero de tales combinacioneses(

54

)

= 5. Por tanto, si al principio cada una de las 70 combinaciones posibles fueseigualmente probable, la probabilidad de escoger una de las cinco combinaciones que incluyensolo hombres es 5/70 = 0, 071.

Ejemplo 2.3.16 Una caja de doce lapiceros tiene dos que estan defectuosos. Se extraentres lapiceros sin reemplazo. ¿Cual es la probabilidad de que dos salgan defectuosos?SOLUCION:Sean Ω el espacio muestral correspondiente y A el evento “de los tres lapiceros seleccionados,dos estan defectuosos”. Entonces, el numero de elementos que tiene Ω sera

(

123

)

= 220 y el

numero de elementos que tiene A es(

101

)(

22

)

= 10. Por consiguiente, la probabilidad pedida

es P(A) = 10220

= 0, 045.

Ejemplo 2.3.17 Una caja contiene 8 fichas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3fichas sin reemplazo y sin orden, determinar la probabilidad de que (a) las 3 fichas seanblancas, (b) 2 sean rojas y 1 blanca, (c) al menos 1 sea blanca y (d) se extraiga una de cadacolor.SOLUCION:Sea Ω el espacio muestral correspondiente a esta situacion. En este caso, sus elementos sonlas distintas combinaciones de 8+ 3+ 9 = 20 fichas tomadas de 3 en 3 (ya que se sacan cadavez 3 fichas sin reemplazo). Por el teorema 2.2.50, las 3 fichas se pueden escoger de un totalde 20 de

(

203

)

= 1.140 formas. Es decir, Ω tiene en total 1.140 elementos.


(a) Sea A el evento “sacar 3 fichas de 3 blancas”. O sea, A tiene(

33

)

= 1 elemento.Entonces,



1

1.140= 0, 000877.

(b) Sea A el evento “las 3 fichas sacadas son 2 rojas y 1 blanca”. Ahora, 2 fichas de untotal de 8 rojas se pueden seleccionar de

(

82

)

= 28 maneras y 1 ficha de un total de 3

blancas se puede seleccionar de(

31

)

= 3 maneras. Por lo tanto, A tiene(

82

)(

31

)

= 84

elementos. Entonces,



84

1.140= 0, 074.

(c) Sea A el evento “por lo menos 1 de las 3 fichas sacadas es blanca”. Esto quiere decirque A, el complemento de A, es el evento “de las tres bolas ninguna es blanca”. Ahora,si ninguna es blanca, entonces, 3 fichas de un total de 8+9 = 17 (entre rojas y azules)se pueden seleccionar de

(

173

)

= 680 maneras. Por lo tanto, A tiene 680 elementos.Entonces,



680

1.140= 0, 596.

Por consiguiente, con lo anterior, la probabilidad pedida esta dada por

P(A) = 1 − P(A) = 1 − 0, 596 = 0, 404.

(d) Sea A el evento “las 3 fichas sacadas son una de cada color”. Ahora, 1 ficha de un totalde 8 rojas se puede seleccionar de

(

81

)

= 8 maneras, 1 ficha de un total de 3 blancas

se puede seleccionar de(

31

)

= 3 maneras y 1 ficha de un total de 9 azules se puede

seleccionar de(

91

)

= 9 maneras. Por lo tanto, A tiene(

81

)(

31

)(

91

)

= 216 elementos.Entonces,



216

1.140= 0, 189.

2.3.4 Probabilidad subjetiva o personal

Existen muchos eventos de interes cuyas probabilidades de ocurrencia no se pueden cal-cular de acuerdo con los metodos axiomatico, clasico y de frecuencia relativa (empırica),sino que se basan en el “grado de creencia” acerca de que tenga o no lugar un determi-nado hecho como, por ejemplo,

• exista vida en algun planeta distante,

• en los poximos diez anos se descubra algun remedio contra el cancer,

• determinada persona se vaya a destacar en la universidad,

• una persona se enferme,

• una determinada maquina se dane,

• manana vaya a llover.


Sin embargo, poca gente se muestra renuente a concederle probabilidades a los eventosanteriores. Con mucha frecuencia oimos decir que hay un 20% de posibilidades de quellueva manana, que el Junior gane, etc. Aquella probabilidad que nos permite asignarleprobabilidades a eventos tales como estos se denomina probabilidad subjetiva.

Definicion 2.3.18 La probabilidad subjetiva o personal se puede definircomo la probabilidad que expresa un grado de creencia individual sobre la posibilidadde que un evento ocurra. Al metodo de asignar estas probabilidades se le conocecomo metodo subjetivo.

La probabilidad subjetiva no depende del tratamiento matematico ni de la nocion de experi-

mentos repetibles.

La magnitud de la probabilidad que una persona asigna subjetivamente a un eventodepende del grado de credito que esa persona le de a la ocurrencia del evento. Esa esla razon por la que es posible asignarle probabilidades a eventos que solo se presentanuna vez, como por ejemplo, el evento de ganar una determinada competencia atletica.A diferencia del metodo de probabilidad de frecuencia relativa, la probabilidad subjetivano depende de la posibilidad de repeticion de un experimento.

Ejemplo 2.3.19 (a) Si afirmamos que la probabilidad de que salga cara al lanzar unamoneda es 1/2, lo que tenemos en mente es que la moneda no parece estar trucada yque resultara igualmente probable que salga cara o cruz. Al enjuiciar esta probabili-dad subjetiva, no estamos pensando necesariamente en terminos de la experimentacionrepetida, sino que estamos interesado por un unico lanzamiento de la moneda. Nuestraevaluacion de la probabilidad subjetiva implica que considerarıamos justa una apuestaque consistiese en pagar 5.000 pesos si saliera cruz y recibir 5.000 pesos si saliera cara.Si fueramos a recibir mas de 5.000 pesos si del lanzamiento resultase una cara, consid-erarıamos favorable la apuesta.

(b) De modo similar, si creemos que la probabilidad de que un caballo gane una determinadacarrera es 0,4, estamos dando nuestra opinion personal de que existe una posibilidad de40 entre 100 de que gane. Dada esta creencia, considerarıamos justa una apuesta en laque perdiesemos dos dolares si el caballo no ganase y tres dolares en caso contrario.

Debemos insistir en que las probabilidades subjetivas son personales; no se requiere quediferentes individuos consideren que el mismo evento debe tener lugar con las mismasprobabilidades como se explica a traves de las situaciones del siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.3.20 (a) En el ejemplo del lanzamiento de una moneda, la mayorıa de la gentellegarıa a la conclusion de que la probabilidad apropiada para el resultado cara es 1/2.Sin embargo, un individuo con mas informacion sobre la moneda en cuestion podrıacreer otra cosa.

(b) En el ejemplo de las carreras de caballos, es probable que dos apostadores cuentencon diferentes probabilidades subjetivas. Por ejemplo, pueden no tener la misma infor-macion, e incluso aunque la tuvieran, podrıan interpretarla de distinta forma.

(c) Resulta obvio que los inversionistas individuales no cuenttan con las mismas opinionessobre el probable futuro comportamiento de la bolsa. Sus probabilidades subjetivas


deben ser vistas como dependientes del conocimiento que tienen y su manera de inter-pretarlo.

Ya hemos explicado que, en el caso de apuestas, como carreras de caballos y pronosticosdeportivos, a menudo se determina la probabilidad de ocurrencia de un evento usandoprobabilidad subjetiva y se establece comunmente en terminos de oportunidades.

Definicion 2.3.21 Sea A un evento. Las oportunidades a favor de A se de-finen como

Oportunidades a favor de A =P(A)

P(A).

Las oportunidades en contra de A se definen

Oportunidades en contra de A =1

Oportunidades a favor de A=

P(A)

P(A).

Si las oportunidades en favor de A son iguales a nm

, entonces, diremos que lasoportunidades son de n a m (lo cual escribiremos n : m) a favor de A.

Observese que las oportunidades en contra de A son precisamente las oportunidades a favor

de A.

Ejemplo 2.3.22 Supongamos que la probabilidad de que un boxeador favorito gane unapelea es 1/3. ¿Cuales son las oportunidades a favor de ganar?SOLUCION:Sea A el evento “el boxeador gana”. Entonces, las oportunidades a favor de ganar son

P(A)

P(A)=

1/3

2/3=

1

2.

Es decir, las oportunidades son de 1 : 2 a favor de que el boxeador gane la pelea. Estosignifica que de cada 1 + 2 = 3 personas, 1 afirma que el boxeador ganara la pelea y 2, queperdera.

El siguiente teorema nos muestra una forma de calcular la probabilidad de un eventodado con base en el conocimiento de las oportunidades en favor o en contra del evento.

Teorema 2.3.23 Si las oportunidades son de n : m en favor de A, entonces, laprobabilidad de que ocurra el eventa A es P(A) = n

n+m.

Ejemplo 2.3.24 Si las oportunidades son de 5:3 en contra de que la seleccion Colombiapierda el partido de futbol, ¿cual es la probabilidad de que (a) pierda el partido, (b) gane?SOLUCION:Sea A el evento de que la seleccion Colombia pierda el partido. Por tanto, por el teorema2.3.23, P(A) = 5

5+3= 5

8= 0, 625. Por consiguiente, P(A) = 1−P(A) = 3

8= 0, 375. Es decir,

de 1.000 personas, 625 diran que Colombia perdera el partido y el resto, que son 375, diranque Colombia ganara el partido.


Ejemplo 2.3.25 Para un partido de futbol, Junior de Barranquilla contra Union de San-tamarta, se ofrecen a Humberto las siguientes apuestas:

Tarifa : $15.000.

Ganancia : $30.000 si Junior gana y Humberto apuesta por Junior.$20.000 si Union gana y Humberto apuesta por Union.

El juego Junior vs Union sigue hasta que haya un ganador. Humberto acepta esta apuesta,pero no puede decidirse si apuesta por Junior o por Union. Determinar su probabilidadsubjetiva.SOLUCION:La probabilidad subjetiva de Humberto puede determinarse como sigue: “Humberto nopuede decidirse” significa que

30 P(“Junior gana”) = 20 P(“Union gana”).

Ademas, obviamente, se tiene que

P(“Junior gana”) + P(“Union gana”) = P(“Junior o Union gana”) = 1.

Por lo tanto, resulta que P(“Junior gana”) = 25

y P(“Union gana”) = 35.


39. La probabilidad de que Humberto viaje a Alemania es 0,6 y la probabilidad de que viaje aEspana es 0,3 y la probabilidad de que viaje a alguna de las dos ciudades es 0,8. Calculela probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:

(a) Humberto viaja a ambas ciudades.

(b) Humberto viaja a Alemania pero no a Espana.

(c) Humberto viaja a Espana pero no a Alemania.

(d) Humberto no viaja a ninguna de las dos ciudades

40. Se estimo que un 20% de los estudiantes de ultimo curso de un campus universitarioestaban seriamente preocupados por sus posibilidades de encontrar trabajo, el 35% porsus notas y el 28% por ambas cosas. ¿Cual es la probabilidad de que un estudiante deultimo curso elegido al azar en el campus este seriamente preocupado por al menos unade las dos cosas?

41. Un jefe de cierta companıa recibe un determinado artıculo en paquetes de 100. Unestudio ha indicado las probabilidades, que figuran en la tabla adjunta, correspondientesa los artıculos defectuosos de un paquete.

Numero de defectuosas 0 1 2 3 mas de 3Probabilidad 0,03 0,29 0,10 0,22 0,36

(a) ¿Cual es la probabilidad de que haya mas de dos artıculos defectuosos en un paquete?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que haya mas de un artıculo defectuoso en un paquete?

42. Segun una informacion, dos de cada tres colombianos son pobres. ¿Que relacion tieneesto con probabilidad?


43. Un distribuidor de enchufes sabe que en una caja de 50, dos o mas son defectuosos. Uncliente selecciona al azar, y sin reemplazo, dos enchufes de una caja y salen defectuosos,motivo por el cual el cliente rechaza la caja. El distribuidor extrae entonces de esa cajados enchufes y le informa al cliente que puede llevar la caja de 48 enchufes con confianza.Para asegurarse, el cliente extrae otra muestra, sin reemplazo, de cinco enchufes, de loscuales uno salio defectuoso. Si usted fuera el cliente, ¿aceptarıa la caja de 48 enchufes?

44. Un dado se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de obtener (a) un 5 o un 7, (b) alo mas un 9, (c) una suma impar y (d) un multiplo de 4.

45. Una urna tiene seis bolas verdes, cinco bolas rojas y cuatro bolas blancas (cada bola esde un solo color). Si se extrae una bola, calcule la probabilidad de que la bola extraıdasea (a) no verde, (b) no roja, (c) roja y verde, (d) blanca o roja. Compare el resultadode (d) con el obtenido en (a). Interprete siempre sus respuestas.

46. Se lanzan dos dados. Calcule la probabilidad de que la suma de los numeros obtenidossea (a) 13, (b) a lo mas 3, (c) por lo menos 4, (d) 5 o 6, (e) 5 y 6. Interprete siempresus resultados.

47. Una caja contiene dos bolas negras, tres blancas y cuatro rojas. Se seleccionan dos bolasuna despues de la otra.

(a) ¿cual es la probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda blanca?

(b) ¿cual es la probabilidad de obtener una bola negra y una blanca?

(c) Repita los incisos anteriores si la seleccion es con reemplazo.

48. En una comunidad el 30% de las personas son fumadoras, 55% son bebedoras y 20%tanto fumadoras como bebedoras. Calcule la probabilidad de que una persona elegida alazar (a) fume pero no beba, (b) ni fume ni beba, (c) fume o no beba. Interprete siempresus resultados.

49. Una entidad educativa ha propuesto tres proyectos para la mejora de la educacion en ciertaregion del pais. Para i = 1, 2, 3, sea Ai el evento que representa al evento “el proyecto i

fue aceptado”. Supongamos que

P(A1) = 0, 30, P(A2) = 0, 22, P(A3) = 0, 35, P(A1 ∩ A2) = 0, 08,

P(A1 ∩ A3) = 0, 09, P(A2 ∩ A3) = 0, 06, P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0, 02.

Exprese verbalmente cada uno de los siguientes eventos y determine la probabilidad deque ocurra cada uno de ellos:(a) A1 ∪ A2, (b) A1 ∩ A2, (c) A1 ∪ A2 ∪ A3,

(d) A1 ∩ A2 ∩ A3, (e) A1 ∩ A2 ∩ A3, (f) (A1 ∩ A2) ∪ A3.

50. Una caja contiene diez bombillas, cuatro de las cuales estan defectuosas. Si se seleccionanaleatoriamente y sin reemplazo cuatro bombillas de la caja, ¿cual es la probabilidad deque el grupo contenga (a) dos (b) al menos dos bombillas defectuosas?

51. Una caja contiene cuatro focos rojos, cinco blancos y seis amarillos. Si se seleccionan unopor uno, en orden aleatorio, ¿cual es la probabilidad de que al menos se seleccionen dosfocos para obtener uno amarillo?

52. Una caja contiene diez tornillos, de los cuales tres estan defectuosos. Se extraen trestornillos sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que los tres tornillos no esten defectuo-sos.

53. Para un control de calidad se seleccionan aleatoriamente dos abanicos sin reemplazo de unlote. Si uno de los dos abanicos esta defectuoso, todo el lote se rechaza. Si una muestrade 200 abanicos contiene cinco defectuosos calcule la probabilidad de que la muestra searechazada.


54. Una biblioteca tiene cinco ejemplares (digamos, matematica, fısica, quımica, biologıa yestadıstica), de los cuales hay dos ejemplares (digamos matematica y fısica) que son deprimera edicion y el resto, de segunda edicion. Seran seleccionados al azar dos ejemplarespara ser puestos en reserva durante 3 horas. ¿Cual es la probabilidad de que

(a) ambos ejemplares seleccionados sean primeras ediciones?

(b) ambos ejemplares seleccionados sean segundas ediciones?

(c) al menos uno de los ejemplares seleccionados sea de primera edicion?

(d) los ejemplares seleccionados sean de diferentes ediciones?

55. Se escoge un numero comprendido entre 0 y 999. ¿Cual es la probabilidad de que el dıgitocentral sea mayor que los otros dos?

56. En el menu del dıa, un restaurante vegetariano ofrece una ensalada especial que contienetres tipos de verduras distintas que son las preferidas por ciertos habitantes de una ciudad:Esparrago (A), Brocoli (B) y Coliflor (C). A continuacion aparece el porcentaje de clientesdel restaurante que pide determinada(s) verdura(s).

70% A, 80% B, 75% C, 85% A o B,90% A o C, 95% B o C, 98% A, B o C,

en donde, por ejemplo, el evento A o C significa que por lo menos una de las opciones Ao C fue solicitada. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos:

(a) El siguiente cliente pide, por lo menos, una de las tres opciones.

(b) El siguiente cliente no pide ninguna de las tres opciones.

(c) El siguiente comprador solo pide la opcion A y ninguna de las otras dos opciones.

(d) El siguiente cliente pide exactamente una de las tres opciones.

57. Supongamos que un determinado arbol puede tener tres tipos de enfermedades: Hojitis(H), Tallitis (T) y Frutitis (F). Suponga que

P(H) = 0, 12, P(T) = 0, 07, P(F) = 0, 05, P(H ∪ T) = 0, 15,

P(H ∪ F) = 0, 14, P(T ∪ F) = 0, 10, P(H ∩ T ∩ F) = 0, 01.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que el arbol no tenga hojitis?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el arbol tenga hojitis y tallitis al mismo tiempo?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que el arbol tenga hojitis y tallitis al mismo tiempo, perono frutitis?

(d) ¿Cual es la probabilidad de que que el arbol tenga exactamente dos de esas enfer-medades?

58. Una persona desea comprar un computador. De alguna manera, logra conseguir una listade las direcciones de 15 personas que quieren vender sus computadores. Pero la personatiene tiempo para ir solo a cuatro direcciones de la lista.

(a) ¿En cuantas formas podrıan escogerse las cuatro direcciones, si se considera el ordende visita?

(b) ¿En cuantas formas podrıan escogerse las cuatro direcciones, si el orden no importa?

(c) Si en siete direcciones los computadores son nuevos y en ocho ya han sido vendi-dos previamente, y las cuatro direcciones por visitar se escogen al azar y sin orden,¿cual es la probabilidad de que en las cuatro direcciones donde vaya la persona, loscomputadores sean nuevos?

2.4 Probabilidades condicionales 49

59. Al poco tiempo de ponerse a funcionar, algunas computadores fabricados por ciertascompanıas presentan problemas con el funcionamiento de un determinado programa (di-gamos, Futbolnet) que viene previamente instalado. Suponga que una pequena empresatiene 30 de estos computadores y que ha habido problemas con el funcionamiento delFutbolnet en 7 de ellos.

(a) ¿Cuantas formas hay de seleccionar una muestra de 10 computadores de los 30 parauna revision completa?

(b) ¿En cuantas formas puede una muestra de 10 computadores contener exactamente 3con problemas en el funcionamiento del Futbolnet?

(c) Si se escoge al azar una muestra de 10 computadores, ¿cual es la probabilidad de queexactamente 3 de los 10 tengan problemas con el funcionamiento del Futbolnet?

(d) Si se escoge al azar una muestra de 10 computadores, ¿cual es la probabilidad deque, al menos, 6 de los seleccionados tengan problemas con el funcionamiento delFutbolnet?

60. En cierta bodega, una caja contiene ocho clavos de 1 pulgada, seis de 1 pulgada y mediay cinco de 2 pulgadas. Suponga que se seleccionan cuatro clavos al azar, sin reemplazo ysin orden.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente tres de los clavos seleccionados sean de2 pulgadas?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que los cuatro clavos seleccionados sean del mismotamano?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que entre los 4 clavos seleccionados hallan dos de unapulgada?

61. Un estante tiene 4 libros de quımica, 5 de estadıstica y 3 de matematicas. Si los librosde estadıstica son diferentes entre sı, encuentre la probabilidad de que 2 libros determi-nados de estadıstica se encuentre juntos teniendo en cuenta cada una de las siguientessituaciones:

(a) Los libros de cada tipo son todos diferentes entre sı.

(b) Los libros de quımica son iguales entre sı, pero los de matematicas son todos difer-entes.

(c) Hay 2 libros de quımica que son iguales, pero todos los de matematicas son igualesentre sı.

(d) A excepcion de los de estadıstica, los libros de cada tipo son todos iguales entre sı.

2.4 Probabilidades condicionales

Supongamos que estamos interesados en dos sucesos A y B, y se nos da la informacionadicional de que B ha ocurrido. Una pregunta de interes es, entonces, ¿cual es laprobabilidad de que A ocurra? La idea principal es que la posibilidad de que cualquiersuceso ocurra es probable que dependa de la ocurrencia o no ocurrencia de otros eventos.

Ejemplo 2.4.1 Analizemos las siguientes situaciones.


(a) Un fabricante que planea introducir una nueva marca puede poner a prueba el productoa traves de su venta en una serie reducida de almacenes particularmente escogidos. Esprobable que el fabricante confıe mucho mas en el exito de la nueva marca en el mercadosi el producto resulta bien acogido en el test inicial que en caso contrario. El analisisde la empresa correspondiente a la probabilidad de un elevado numero de ventas estara,por tanto, condicionada por el resultado de mercado.

(b) En un barrio hay personas que saben nadar, otras que saben manejar bicicletas y otras,ambas cosas. Se selecciona una persona al azar y deseamos la probabilidad de que lapersona sepa nadar dado que sabe manejar bicicleta.

Por tanto, en ambas situaciones tenemos que estar interesados en la ocurrencia de un deter-minado evento, dada la ocurrencia de otro.

Ahora, analizemos otro ejemplo.

Ejemplo 2.4.2 Supongamos que en una empresa hay 100 empleados, de los cuales 30 sonmujeres y 70, hombres. Supongamos, ademas, que hay 21 mujeres y 33 hombres que fuman(comparese con la tabla de la figura 2.14).

Hombre (H) Mujer (M)

Fuma (F) 33 21

No Fuma (F) 37 9

Fig. 2.14: Clasificacion de 100 empleados de una empresa

(a) Si se saca un individuo al azar, determinar la probabilidad de que sea mujer.

(b) Si se saca un individuo, determinar la probabilidad de que sea mujer y fume.

(c) Si del grupo de las 30 mujeres se saca un individuo, determinar la probabilidad de quefume.

SOLUCION:

(a) La probabilidad de que sea mujer es P(M) = 30100

.

(b) La probabilidad de que sea una mujer y que fuma es P(M ∩ F) = 21100

.

(c) La probabilidad de que una mujer fume de un total de 30 la simbolizaremos por P(F/M)

y es igual a

P(F/M) =21

30=

21/100

30/100=

P(F ∩ M)

P(M).

Es decir, P(F/M) =P(F∩M)

P(M), que es la forma como se calcula la llamada probabilidad

condicional de un evento F, sabiendo que ya ha ocurrido M.

Estos tipos de problemas conllevan a considerar el concepto de probabilidad condicional.


Definicion 2.4.3 Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω 6= ∅. La pro-

babilidad condicional del evento A dado el evento B, simbolizada por P(A/B),se define como

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B), si P(B) > 0.

De igual modo, la probabilidad condicional de B dado A se define como

P(B/A) =P(A ∩ B)

P(A), si P(A) > 0.

Ejemplo 2.4.4 Una persona lanza una moneda tres veces, ¿cual es la probabilidad deobtener 3 caras dado que salio por lo menos una cara?SOLUCION:Los posibles resultados que se pueden obtener al lanzar la moneda tres veces son

(C,C,C), (C,C, S), (C, S,C), (C, S, S), (S,C,C), (S,C, S), (S, S, C), (S, S, S).

Sean A y B los eventos “salio por lo menos una cara” y “obtener 3 caras”, respectivamente.Entonces, B = (C,C,C) y

A = (C,C,C), (C,C, S), (C, S,C), (C, S, S), (S,C,C), (S,C, S), (S, S, C).

Debido a que A∩B = (C,C,C), entonces, la probabilidad de obtener 3 caras sabiendo quesalio una cara es igual a

P(B/A) =P(A ∩ B)

P(A)=

1/8

7/8=

1

7.

Despejando P(B ∩ A) en las expresiones dadas en la definicion 2.4.3, obtenemos el lla-mado

Teorema 2.4.5 (Teorema de multiplicacion para 2 eventos) Sean A y B doseventos de un espacio muestral Ω 6= ∅. Entonces, la probabilidad de la interseccionA ∩ B esta dada por

P(B ∩ A) = P(B/A)P(A) o por P(B ∩ A) = P(A/B)P(B).

Ejemplo 2.4.6 Supongamos que una caja tiene diez bolas, de los cuales tres estan defec-tuosas. Se sacan dos bolas, una detras de la otra y sin reemplazo. ¿Cual es la probabilidadde sacar una bola defectuosa seguida de otra defectuosa?SOLUCION:Sean A el evento “la primera bola sacada esta defectuosa” y B el evento “la segunda bolasacada esta defectuosa”. Nos piden calcular P(A ∩ B). Debido a que tres de las diez bolasestan defectuosas, se tiene que P(A) = 3

10. Ahora, como ya se ha sacado 1 bola defectuosa

de la caja quedan en total 9 bolas disponibles, de entre las cuales, hay ahora 2 defectuosas.Por tanto, P(B/A) = 2

9. Por consiguiente, por el teorema de multiplicacion (teorema 2.4.5),

obtenemos que

P(A ∩ B) = P(A)P(B/A) =3

10·2

9= 0.066.


Es decir, la probabilidad de sacar una bola defectuosa seguida de otra bola defectuosa esaproximadamente del 6,6%.

La regla de multiplicacion es mas util cuando el experimento consta de varias etapassucesivas.

Teorema 2.4.7 (Teorema de multiplicacion para n eventos) SeanA1, . . . , An eventos de un espacio muestral Ω 6= ∅. Entonces,

P(A1 ∩ · · · ∩ An) = P(A1) · P(A2/A1) · P(A3/A1 ∩ A2) · · ·P(An/A1 ∩ · · · ∩ An−1),

Como puede observarse claramente, en este teorema hemos considerando que A1 es el evento que

primero sucede, luego sucede A2; posteriormente, A3 y, ası sucesivamente, hasta que sucede el

ultimo evento, que en nuestro caso es An.

Del teorema 2.4.7, obtenemos en particular que

• Si n = 2, se tiene que

P(A1 ∩ A2) = P(A1) · P(A2/A1).


P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) · P(A2/A1) · P(A3/A1 ∩ A2).


P(A1∩A2∩A3∩A4) = P(A1) ·P(A2/A1) ·P(A3/A1∩A2) ·P(A4/A1∩A2∩A3).

Ejemplo 2.4.8 Una caja contiene 6 fichas rojas, 4 blancas y 5 azules. Hallar la probabilidadde que se extraigan en el orden roja, blanca y azul si las fichas (a) se reemplazan, (b) no sereemplazan.SOLUCION:Hay tres eventos que debemos considerar para el problema, a saber:

R = “roja en la primera extraccion”.

B = “blanca en la segunda extraccion”.

A = “azul en la tercera extraccion”.

Nos piden calcular P(R ∩ B ∩ A). Al aplicar el teorema general de multiplicacion (teorema2.4.7) para el caso de n = 3 eventos, tenemos

P(R ∩ B ∩ A) = P(R) · P(B/R) · P(A/R ∩ B). (1)

Observese que en la caja hay disponible, inicialmente, 6 + 4 + 5 = 15 fichas.

(a) Si los eventos se reemplazan, entonces, reemplazando las correspondientes probabili-dades en la expresion (1), tenemos

P(R ∩ B ∩ A) =6

15·

4

15·

5

15=

8

225= 0, 0355.


(b) Si los eventos no se reemplazan, entonces, reemplazando las correspondientes proba-bilidades en la expresion (1), tenemos

P(R ∩ B ∩ A) =6

15·

4

14·

5

13=

4

91= 0, 044.

El calculo de una probabilidad P(Aj/B), a partir de probabilidades anteriores dadas P(Ai)

y probabilidades P(B/Ai), ocupa una posicion central en la probabilidad elemental. Laregla general para tales calculos, que es una aplicacion simple de la regla de la multi-plicacion, se remonta al tiempo del reverendo Thomas Bayes, quien vivio en el sigloXVII. Para expresarla necesitamos, primero, el llamado teorema de la probabilidad total.

Teorema 2.4.9 (Teorema de la probabilidad total) Si los eventos A1, A2,. . ., An forman una particion de un espacio muestral Ω (comparese con la definicion2.1.11), entonces, para cada evento B de Ω, se tiene que

P(B) = P(B/A1)P(A1) + P(B/A2)P(A2) + · · · + P(B/An)P(An).

Del teorema 2.4.9, se tiene en particular,


P(B) = P(B/A1)P(A1) + P(B/A2)P(A2).


P(B) = P(B/A1)P(A1) + P(B/A2)P(A2) + P(B/A3)P(A3).


P(B) = P(B/A1)P(A1) + P(B/A2)P(A2) + P(B/A3)P(A3) + P(B/A4)P(A4).

Hay dos comentarios que podemos hacer acerca del teorema de la probabilidad total (teorema 2.4.9):

• El teorema de la probabilidad total esta estrechamente relacionado con el siguiente teoremade la mecanica: El centro de gravedad de un cuerpo se puede determinar descomponiendo elcuerpo en cualquier cantidad de partes, suponiendo que la masa de cada una de estas partesesta concentrada en su respectivo centro de gravedad y tomando el centro de gravedad delsistema de puntos originados por este metodo.

• El teorema de la probabilidad total tambien esta relacionada con el siguiente analogo quımico:En k recipientes se encuentran diferentes soluciones de la misma sal, en total, 1 litro. Supon-gamos que P(An) simboliza el volumen del n-esimo recipiente y P(B/An), la concentracionde la solucion en el n-esimo recipiente. Si se reunen el contenido de todos los recipientes enuno solo y P(A) significa la concentracion de la solucion originada de esta manera, entonces,se cumple el teorema de la probabilidad total.

Ejemplo 2.4.10 La caja I contiene 3 fichas rojas y 2 azules, en tanto que la caja II contiene2 fichas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda no falsa de tal forma que si cae cara, entonces,se saca una ficha de la caja I y, por el contrario, si cae sello, se saca una ficha de la caja II.Supongamos que quien lanza la moneda no revela si resulta cara o sello (de tal forma que lacaja de la cual se saco una ficha no se revela). Determinar la probabilidad de haber sacado


una ficha roja.SOLUCION:Sea R el evento “sacar una ficha roja” y supongamos que I y II son los eventos “escoger lacaja I” y “escoger la caja II”, respectivamente. Nos piden calcular P(R). En la figura 2.15podemos visualizar claramente estos eventos (observemos que el evento R corresponde a laregion sombreada).

Fig. 2.15: Diagrama para la situacion del ejemplo 2.4.10

Ahora, en la caja I hay en total 3 + 2 = 5 fichas y, en la caja II, 2 + 8 = 10 fichas. Puestoque una ficha roja se puede sacar de cualquiera de las cajas, entonces, la probabildiad desacar una ficha roja de la caja I es P(R/I) = 3

5y la de sacar una ficha roja de caja II es

P(R/II) = 210

= 15.

Ademas, si C y S son los eventos “resultar cara” y “resultar sello”, respectivamente, en-tonces, la probabilidad de escoger la caja I es P(I) = P(C) = 1

2y la de escoger la caja II es

P(II) = P(S) = 12.

Por consiguiente, por el teorema de la probabilidad total (teorema 2.4.9) con n = 2, seobtiene que

P(R) = P(R/I)P(I) + P(R/II)P(II) =3

5·1

2+

1

5·1

2=

2

5= 0, 4.

Ejemplo 2.4.11 Un editor envıa propaganda de un libro de estadıstica al 70% de aquellosprofesores que estan a cargo de esa materia. El 40% de aquellos que recibieron la propagandase decidieron a utilizar el libro, inclusive, el 20% de los que no recibieron la propagandatambien utilizaran el libro.SOLUCION:Consideremos los eventos “recibe la propaganda” y “no recibe la propaganda”. Entonces,P(“recibe”)= 0, 70 y P(“no recibe”)= 1 − 0, 70 = 0, 30. Ademas,

P(“utiliza el libro” / “recibe”) = 0, 40, P(“utiliza el libro” / “no recibe”) = 0, 20.

Nos piden calcular P(“utiliza el libro”). Esta se puede calcular con ayuda del teorema de laprobabilidad total (teorema 2.4.9) de la siguiente manera:

P(“utiliza”) = P(“utiliza”/“recibe”) · P(“recibe”) + P(“utiliza”/“no recibe”) · P(“no recibe”)

= (0, 40)(0, 70) + (0, 20)(0, 30).

Los calculos y las probabilidades anteriores se pueden visualizar claramente en el diagramade arbol que aparece en la figura 2.16. Junto a cada una de las cuatro ramas del diagramaaparecen probabilidades (que llamaremos “totales”) que fueron calculadas con aplicaciondel teorema de multiplicacion (vease el teorema 2.4.5) y al final del diagrama aparece laprobabilidad calculada que corresponde a sumar solo las probabilidades totales en dondeaparece el evento “utiliza el libro”.



Teorema 2.4.12 (Regla o teorema de Bayes) Sea A1, A2, . . . , An una descom-posicion finita de un espacio muestral Ω. Entonces, para cada evento B con P(B) > 0

y para todo k = 1, . . . , n, se tiene

P(Ak/B) =P(B/Ak)P(Ak)

P(B/A1)P(A1) + P(B/A2)P(A2) + · · · + P(B/An)P(An).

Del teorema de Bayes se tiene, en particular,



P(B/A1)P(A1) + P(B/A2)P(A2).



P(B/A1)P(A1) + P(B/A2)P(A2) + P(B/A3)P(A3).



P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2)+P(B/A3)P(A3)+P(B/A4)P(A4).

A continuacion se menciona el siguiente analogo quımico del teorema de Bayes: En k recipientes

estan contenidas soluciones de la misma sal con diferentes concentraciones. El volumen total de la

solucion es 1 litro. Si P(Ak) es el volumen de la solucion en el n-esimo recipiente y P(B/Ak) es la

concentracion de sal en el n-esimo recipiente, entonces, la formula que aparece en el teorema 2.4.12

nos permite calcular que porcentaje de la cantidad total de sal esta en el k-esimo recipiente.

La interpretacion mas importante del teorema de Bayes se basa en el uso de las proba-bilidades subjetivas. Supongamos que una persona esta interesada en el evento Ak y seforma una opinion subjetiva de la probabilidad de que Ak ocurra. En este contexto, la


probabilidad P(Ak) se denomina probabilidad a priori. Si despues este individuoconsigue informacion adicional (por ejemplo, que el evento B ha ocurrido), este hechopuede provocar una modificacion de su juicio inicial sobre la probabilidad de ocurrenciade Ak. Dado que se sabe que B ha ocurrido, la probabilidad relevante correspondientea Ak es ahora la probabilidad condicional de Ak dado B, que se denota probabilidad

a posteriori. Desde este punto de vista, se puede interpretar el teorema de Bayescomo un metodo que nos permite actualizar una probabilidad a priori cuando se conocela informacion adicional de que el evento Ak ha tenido lugar.

Ejemplo 2.4.13 Considere la situacion del ejemplo 2.4.10. Determinar la probabilidad dehaber escogido la caja I (es decir, que el resultado de la moneda sea cara).SOLUCION:Sean R, I y II eventos definidos como en el ejemplo 2.4.10. Aquı nos piden calcular P(I/R)

(comparese con la figura 2.17). Del ejemplo 2.4.10, tenemos que P(R/I) = 35, P(R/II) = 1

5,

P(I) = P(II) = 12.


Por consiguiente, por el teorema de Bayes (teorema 2.4.12) con n = 2, se obtiene que

P(I/R) =P(R/I)P(I)

P(R/I)P(I) + P(R/II)P(II)=

35· 1

235· 1

2+ 1

5· 1

2

=3

4= 0, 75.

De este modo, dada la informacion de que se ha sacado un ficha roja, la probabilidad dehaber escogido la caja I se ve modificada, pasando de P(I) = 0, 5 (a priori) a P(I/R) = 0, 75

(a posteriori).

Ejemplo 2.4.14 En cierta ciudad, aproximadamente el 10% de los habitantes esta afectadopor una rara enfermedad, para la cual se ha desarrollado una prueba de diagnostico. A travesde esta prueba se ha determinado que el 85% de los individuo que padecen la enfermedad,presentan un resultado positivo, mientras que el 20% de los individuos sin la enfermedadmuestran un resultado de prueba positivo. Supongamos que se hace una prueba en unindividuo seleccionado al azar.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que el resultado sea positivo? ¿Y negativo?

(b) Si el resultado es positivo, ¿cual es la probabilidad de que el individuo tenga la enfer-medad?

(c) Si el resultado es negativo, ¿cual es la probabilidad de que el individuo tenga laenfermedad?

(d) Si el resultado es positivo, ¿cual es la probabilidad de que el individuo este sano?

(e) Si el resultado es negativo, ¿cual es la probabilidad de que el individuo este sano?


SOLUCION:Analizando las situaciones del problema, podemos identificar los siguientes eventos:

A = el individuo esta enfermo.

A = el individuo esta sano.

B = el individuo ha sacado un resultado positivo.

B = el individuo ha sacado un resultado negativo.

Por consiguiente, P(A) = 0, 1, P(A) = 0, 90, P(B/A) = 0, 85 y P(B/A) = 0, 2. Observe que

P(B/A) = 1 − P(B/A) = 0, 15 y P(B/A) = 1 − P(B/A) = 0, 80.

Junto a cada una de las cuatro ramas del diagrama aparecen probabilidades (que ya hemosllamado “totales”) que fueron calculadas con aplicacion del teorema de multiplicacion (veaseel teorema 2.4.5). Todas estas probabilidades se pueden identificar facilmente en el siguientediagrama de arbol que se muestra en la figura 2.18.

Fig. 2.18: Diagrama de arbol para los datos del ejemplo 2.4.13.

En (a) nos piden calcular P(B) y P(B). Para calcular la probabilidad de que ocurra B,aplicaremos el teorema de la probabilidad total con n = 2 (vease el teorema 2.4.9). Deigual manera, tambien aplicaremos este mismo teorema para calcular la probabilidad de queocurra B. Esto lo haremos de la siguiente manera:

• Sumando las dos probabilidades totales ubicadas en las ramas correspondiente a unresultado positivo, obtenemos:

P(B) = P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A) = 0, 085 + 0, 18 = 0, 265.

• Sumando las dos probabilidades totales ubicadas en las ramas correspondiente a unresultado negativo, obtenemos:

P(B) = P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A) = 0, 015 + 0, 72 = 0, 735.

Para calcular las probabilidades pedidas en (b)-(d), aplicaremos el teorema de Bayes conn = 2 (teorema 2.4.12) de la siguiente manera:


(b) Nos piden calcular P(A/B).

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)=

0, 085

0, 265= 0, 3207.

(c) Nos piden calcular P(A/B).

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)=

0, 015

0, 735= 0, 0204.

(d) Nos piden calcular P(A/B).

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)=

0, 18

0, 265= 0, 6792.

(e) Nos piden calcular P(A/B).

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)=

0, 72

0, 735= 0, 979.

Observese que, para C = B o C = B, se cumple que P(A/C) = 1 − P(A/C), propiedad quesiempre se cumple para todo par de eventos A y C de un espacio muestral.

Ejemplo 2.4.15 Un analista de bolsa examina las perspectivas de las acciones de un grannumero de companıas. Cuando se investigo el comportamiento de estas acciones un anoantes, se descubrio que el 15% experimentaron un crecimiento superior al de la media, el40% inferior y el 45% restante se mantuvieron alrededor de la media. El 30% de los valoresque crecieron por encima de la media fueron clasificados como “buenas adquisiciones” porel analista, al igual que el 15% de las que crecieron alrededor de la media y el 20% de lasque tuvieron un crecimiento inferior. ¿Cual es la probabilidad de que un valor clasificadocomo “buena adquisicion” por el analista crezca por encima de la media del mercado?SOLUCION:Definiendo los eventos

A1 : “crecimiento superior a la media”,

A2 : “crecimiento alrededor de la media”,

A3 : “crecimiento inferior a la media”,

B : el valor se considera como “buena adquisicion”,

tenemos las probabilidades P(A1) = 0, 25, P(A2) = 0, 40, P(A3) = 0, 35 y las probabilidadescondicionales P(B/A1) = 0, 30, P(B/A2) = 0, 15, P(B/A3) = 0, 20. Se necesita calcular laprobabilidad de que un valor crezca por encima de la media, dado que fue considerado “buenaadquisicion” por el analista. Es decir, buscamos la probabilidad condicional P(A1/B), la cualse deduce haciendo uso del teorema de Bayes (teorema 2.4.12) de la siguiente manera:

P(A1/B) =P(B/A1)P(A1)

P(B/A1)P(A1) + P(B/A2)P(A2) + P(B/A3)P(A3)

=(0, 30)(0, 25)

(0, 30)(0, 25) + (0, 15)(0, 40) + (0, 20)(0, 35)= 0, 3658.


Ejemplo 2.4.16 Por un canal de comunicaciones afectado por ruido se transmite uno dedos comandos de control en forma de palabras de codigo 11111 y 00000. Esto se transmitecon probabilidad a priori de 0,7 y 0,3, respectivamente. Por causa del ruido, la probabilidadde recepcion correcta de cada uno de los sımbolos disminuye a 0,6. Se supone que laspalabras de codigo se danan o distorsionan independientemente. En la salida del receptorse registra la palabra de codigo 10110. Determine que comando fue transmitido.SOLUCION:Consideremos los siguientes eventos:

A: “se registro la palabra de codigo 10110”;

H1: “se transmitio 11111”;

H2 “se transmitio 00000”.

Por consiguiente, P(H1) = 0, 7 y P(H2) = 0, 3. Para poder saber cual fue la palabra de codigotransmitida, calcularemos P(H1/A) y P(H2/A) y decidiremos nuestra respuesta teniendo laprobabilidad de mayor valor. Ahora,

P(A/H1) = (0, 6)(0, 4)(0, 6)(0, 6)(0, 4) = 0, 035,

P(A/H2) = (0, 4)(0, 6)(0, 4)(0, 4)(0, 6) = 0, 023.

Aplicando el teorema de Bayes (teorema 2.4.12), tenemos

P(H1/A) =P(A/H1)P(H1)

P(A/H1)P(H1) + P(A/H2)P(H2)

=(0, 035)(0, 7)

(0, 035)(0, 7) + (0, 023)(0, 3)= 0, 78.

De manera analoga, encontramos que P(H2/A) = 0, 22. Por consiguiente, como P(H1/A) =

0, 78 es mayor que P(H2/A) = 0, 22, podemos afirmar que la palabra de codigo transmitidafue 11111.


62. Cierta empresa construye mesas de madera (M) o de vidrio (V) y se pueden adquiriren uno de cuatro colores: azul (A), Roja (R), blanca (B) y natural (N). Las probabili-dades correspondientes de las diversas combinaciones de tipo de material y color son lassiguientes:

Azul Roja Blanca NaturalMadera 0,13 0,13 0,14 0,10Vidrio 0,15 0,12 0,12 0,11

(a) Calcule e interprete P(R), P(M) y P(R ∩ M).

(b) Calcule P(R/M) y P(M/R) e interprete los valores de cada una de las probabilidades.

(c) Calcule e interprete P(N/V) y P(N/V).

63. La siguiente tabla recoge las proporciones de adultos en cierta ciudad, clasificadas enaquellos que fuma o no fuman y aquellos que tiene problemas de salud.

Problemas Fuman No fumanSı 0,15 0,09No 0,18 0,58


(a) ¿Cual es la probabilidad de que un adulto de esta poblacion elegido al azar tengaproblemas de salud?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que un adulto de esta poblacion elegido fume?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que un adulto de esta poblacion elegido al azar que nofume tenga problemas de salud?

64. La probabilidad de que Humberto vea cierto programa de television es 0,3 y la probabilidadde que su esposa Greyci vea el programa es 0,6. La probabilidad de Humberto vea elprograma sabiendo que Greyci lo hace es 0,8. Encuentre la probabilidad de que

(a) Humberto y Greyci vean el programa;

(b) Greyci vea el programa sabiendo que Humberto lo hace;

(c) al menos uno de los dos vea el programa.

65. En cierta bodega, una caja contiene ocho clavos de 1 pulgada, seis de 1 pulgada y mediay cinco de 2 pulgadas. Suponga que se seleccionan tres clavos al azar, sin reemplazo ysin orden.

(a) Si se ve que al menos uno de ellos es de 1 pulgada, ¿cual es la probabilidad de quelos tres sean de 1 pulgada?

(b) Si al menos uno de los tres seleccionados no es de 2 pulgadas, ¿cual es la probabilidadde que los tres clavos tengan el mismo tamano?

66. Una billetera contiene cinco billetes de $10.000 y siete billetes de $20.000 y una segundabilletera contiene ocho billetes de $10.000 y cuatro de $20.000. Se escoge al azar un billetede la primera billetera y se coloca en la segunda. Despues se selecciona un billete de lasegunda billetera y se coloca en la primera. ¿Cual es la probabilidad de que se seleccioneun billete de $10.000 de la primera billetera y uno de $10.000 de la segunda?

67. Tres parejas de casados han comprado boletas para el cine y se sientan en una fila formadapor seis asientos. Supongamos que se sientan al azar.

(a) Utilice la regla de multiplicacion para calcular la probabilidad de que una pareja(digamos, Jose y Carmen) se sienten juntos en el extremo izquierda y que otra pareja(digamos, Jorge y Nubia) se sienten juntos en el medio

(b) Sabiendo que Jorge y Nubia ya se han sentado juntos en el medio, ¿cual es la proba-bilidad de que los otros dos esposos (digamos, Jose, Ricardo) se sienten junto a susrespectivas esposas (Carmen y Ana, respectivamente).

(c) Sabiendo que Jorge y Nubia ya se han sentado juntos, ¿cual es la probabilidad de quetodos los esposos se sienten junto a sus esposas.

68. Una entidad educativa ha propuesto tres proyectos para la mejora de la educacion en ciertaregion del pais. Para i = 1, 2, 3, sea Ai el evento que representa al evento “el proyecto i

fue aceptado”. Supongamos que

P(A1) = 0, 30, P(A2) = 0, 22, P(A3) = 0, 35, P(A1 ∩ A2) = 0, 08,

P(A1 ∩ A3) = 0, 09, P(A2 ∩ A3) = 0, 06, P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0, 02.

Determine las siguientes probabilidades y exprese verbalmente cada uno de los eventoscuya probabilidad ha sido calculada.

(a) P(A2/A1).

(b) P(A2 ∩ A1/A1).


(c) P(A2 ∪ A3/A1).

(d) P(A1 ∩ A2 ∩ A3/A1 ∪ A2 ∪ A3).

69. Un lote contiene 15 piezas fundidas de un proveedor local y 25 piezas fundidas de unproveedor del pueblo contiguo. Se seleccionan dos piezas fundidas al azar, sin reemplazo,del lote de 40. Si A denota el evento de que la primera pieza fundida seleccionada es delproveedor local y si B denota el evento de que la segunda pieza fundida seleccionada esdel proveedor local, determine:

(a) P(A), P(B), P(A ∩ B) utilizando las tecnicas de conteo.

(b) P(B/A) y P(A/B) utilizando la definicion de probabilidad condicional.

(c) P(A ∪ B) aplicando el teorema de adicion para dos eventos.

70. En cierto batallon, 35% de los soldados reclutados son de estrato 1 y el resto, de estrato 2.De los soldados reclutados que vienen del estrato 1, el 82% no son hijos unicos; mientrasque el 25% de los del estrato 2 son hijos unicos. Supongamos que se selecciona un soldadoal azar para una entrevista.

(a) Si es hijo unico, ¿cual es la probabilidad de que venga del estrato 1? ¿Del estrato 2?

(b) Si no es hijo unico, ¿cual es la probabilidad de que venga del estrato 1? ¿Del estrato2?

71. En cierta empresa, 31% de los empleados son europeos, 42% son asiaticos y 27% sonlatinoamericanos. De los empleados europeos, 34% son mujeres; de los asiaticos, 42%son mujeres; mientras que de los latinoamericanos, 72% son mujeres.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea una (mujer)europea? ¿(Hombre) asiatico?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea una mujer?¿Hombre?

(c) Si un empleado seleccionado al azar es una mujer, ¿cual es la probabilidad de que seaeuropea? ¿Asiatica? ¿Latinoamericana?

(d) Repita el inciso anterior, teniendo en cuenta que el empleado seleccionado sea unhombre.

72. Una empresa fabrica computadores, cuyo disco duro tienen capacidad de 20 GB y otroscon capacidad de 30 GB. En el mes anterior, 35% de los computadores vendidos han sidolos que tienen disco duro de 20 GB. De los compradores de computadores con disco durode 20 GB, 45% compran los que tienen una memoria RAM de 356 MB, mientras queel 30% de los compradores de computadores con disco duro de 30 GB tambien lo hacenası. Si sabemos que un comprador seleccionado al azar ha comprado un computador conmemoria RAM de 356 MB, ¿cual es la probabilidad de que tenga un computador con discoduro de 30 GB?

73. Se envıan lapiceros de diversos colores a un proveedor de artıculos escolares en lotes de20. Suponga que el 50% de estos lotes no tienen lapiceros defectuosos; 30%, un lapicerodefectuoso y el resto de los lotes, tienen dos lapiceros defectuosos. Sin tener en cuenta elorden, supongamos que el proveedor selecciona al azar dos lapiceros de un lote y los prueba.¿Cuales son las probabilidades correspondientes de que haya 0, 1 y 2 lapiceros defectuososen el lote, bajo cada una de las dos siguientes situaciones? (Sugerencia: Dibuje primeroun diagrama de arbol en donde las tres primeras ramas principales corresponden a los trestipos diferentes de lotes).

(a) Ningun lapicero probado esta defectuoso.


(b) Uno de los dos lapiceros probados esta defectuoso.

(c) Ambos lapiceros probados estan defectuosos.

74. Una prestigiosa Universidad de Barranquilla utiliza tres hoteles locales para proporcionarhospedaje nocturno a sus profesores invitados. Supongamos que a 25% de los profesoresse les asignan habitaciones en el Hotel Las Nieves , al 45% en el Hotel Paraiso y al 30% enel Hotel San Felipe. Si hay una decorado especial en 3% de la habitaciones del BarranquillaPlaza, 5% del Hotel El Prado y en 8%de las habitaciones del Hotel Puerta del Sol, ¿cuales la probabilidad de que

(a) a un cliente se le asigne una habitacion con decorado especial?

(b) a una persona con una habitacion que tiene un decorado especial se le haya asignadoacomodo en el Hotel Paraiso?

75. Para clientes que compran una estufa especial en un almacen electrodomestico, considerelos siguientes eventos:

A =“La estufa comprada es colombiana”;

B =“El comprador quiere una estufa a gas”;

C =“El comprador quiere una estufa con 6 fogones”.

Supongamos que sean dadas las siguientes probabilidades P(A) = 0.30, P(B/A) = 0, 75,P(B/A) = 0, 89, P(C/A ∩ B) = 0, 90, P(C/A ∩ B) = 0, 55, P(C/A ∩ B) = 0, 62 yP(C/A ∩ B) = 0, 40.

(a) Construya un diagrama de arbol colocando cada evento en niveles diferentes y encimade cada una de el, las probabilidades correspondientes.

(b) ¿Cual es la probabilidad de que la estufa comprada sea colombiana, a gas y con 6fogones?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que la estufa comprada sea a gas y con 6 fogones?

(d) ¿Cual es la probabilidad de que la estufa comprada no sea de 6 fogones?

(e) ¿Cual es la probabilidad de que la estufa comprada sea colombiana sabiendo que esa gas y con 6 fogones?

76. Una emisora de bonos municipales tiene tres categorıas de clasificacion (A, B y C).Suponga que el ano pasado, de los bonos municipales que se emitieron en cierto pais,70% tuvieron clasificacion A, 20% clasificacion B y 10% clasificacion C. De los bonosmunicipales con clasificacion A, 50% fueron emitidos en ciudades, 40% en suburbios y10% en areas rurales. De los bonos municipales con clasificacion B, 60% fueron emitidosen ciudades, 20% en suburbios y 20% en areas rurales. De los bonos municipales conclasificacion C, 90% fueron emitidos en ciudades, 5% en suburbios y 5% en areas rurales.

(a) ¿Que proporcion de bonos municipales emiten las ciudades? ¿Los suburbios? ¿Lasareas rurales?

(b) Si una ciudad emitiera un nuevo bono municipal, ¿cual seria la probabilidad de quetuviera clasificacion A?

77. Se les pregunto a los suscriptores de un periodico local si leıan regularmente, ocasional-mente o nunca la seccion de deportes y, tambien, si habıan practicado futbol durante elano anterior. La proporciones obtenidas en la encuesta figuran en la siguiente tabla.

Futbol Lee regularmente Lee ocasionalmente Nunca leeSı 0,21 0,16 0,31No 0,10 0,04 0,18

2.5 Independencia 63

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar nunca lea la seccion dedeportes?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar haya jugado futbol duranteel ano pasado?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que un suscriptor que nunca lea la seccion de economıahaya jugado futbol durante el ano pasado?

(d) ¿Cual es la probabilidad de que un suscriptor que ha jugado futbol durante el anopasado nunca lea la seccion de deportes?

(e) ¿Cual es la probabilidad de que un suscriptor que no lea regularmente la seccion dedeportes haya jugado futbol durante el ano pasado?

2.5 Independencia

En general, el concepto de que dos eventos A y B sean independientes significa que elsuceso de uno de los dos eventos no tiene ninguna influencia sobre la probabilidad deque suceda el otro evento. Por consiguiente, definimos

Definicion 2.5.1 Dos eventos A, B de un espacio muestral Ω 6= ∅ se llaman (es-tocasticamente) independientes, si y solo si P(A/B) = P(A) y son dependientes

en cualquier otro caso. Es decir, el evento A es independiente del evento B si laprobabilidad de A no se ve afectada por la ocurrencia o no de B.

Ejemplo 2.5.2 Considere lanzar un dado no falso y defina los eventos A = 2, 4, 6, B =

1, 2, 3 y C = 1, 2, 3, 4. Entonces, tenemos

P(A) =1

2, P(A/B) =

1

3y P(A/C) =

1

2.

Es decir, los eventos A y B son dependientes, mientras que los eventos A y C son indepen-dientes.

Ejemplo 2.5.3 Las probabilidades de que llueva o nieve en una ciudad determinada eldıa de navidad, el dıa de ano nuevo o en ambos dıas son P(C) = 0, 60, P(N) = 0, 60 yP(C ∩ N) = 0, 42, respectivamente. Verifique si los eventos N y C son independientes.SOLUCION:Por la definicion de probabilidad condicional, tenemos que

P(N/C) =P(C ∩ N)

P(C)=

0, 42

0, 60= 0, 70.

Ya que P(N/C) = 0, 70 no es igual que P(N) = 0, 60, encontramos que los eventos N y C noson independientes. Es decir, son dependientes.

En el caso en que los eventos A y B sean independientes, encontramos con ayuda delteorema de multiplicacion (teorema 2.4.5) el siguiente resultado especial: P(A ∩ B) =

P(A/B)P(B) = P(A)P(B). Por tanto, podemos formular el siguiente teorema:


Teorema 2.5.4 (Teorema de multiplicacion para eventos independientes)Dos eventos A, B de un espacio muestral Ω 6= ∅ son independientes si y solo si

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Ejemplo 2.5.5 Considere lanzar un dado no falso y defina los eventos A = 2, 4, 6, B =

1, 3, 5. Entonces, A ∩ B = ∅ y

P(A) = P(B) =1

2y P(A ∩ B) = P(∅) = 0.

Es decir, los eventos A y B no son independientes porque P(A∩B) 6= P(A)P(B). El mensajees que si dos eventos son mutuamente excluyentes y si las probabilidades de ambos eventosson positivas, entonces, no pueden ser independientes.

Ejemplo 2.5.6 La tabla de abajo contiene los resultados obtenidos al analizar 84 muestrasde aire con la finalidad de destectar dos moleculas raras. Sean A y B los eventos “todas lasmuestras de aire contienen la molecula 1” y “todas las muestras contienen la molecula 2”,respectivamente.

Molecula 1 (no) Molecula 1 (sı) TotalMolecula 2 (no) 32 24 56Molecula 2 (sı) 16 12 28

Total 48 36 84

Entonces,

P(A) =36

84=

3

7, P(B) =

28

84=

1

3y P(A ∩ B) =

12

84=

1

7.

Es decir, los eventos A y B son independientes porque P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Teorema 2.5.7 Sean A, B eventos de un espacio muestral Ω 6= ∅. Entonces, lassiguientes cuatro proposiciones son equivalentes:

(a) A y B son independientes. (b) A y B son independientes.

(c) A y B son independientes. (d) A y B son independientes.

Ejemplo 2.5.8 Considere lanzar un dado no falso y defina los eventos A = 2, 4, 6 yB = 1, 2, 3, 4. Verifique las cuatros proposiciones equivalentes del teorema 2.5.7.SOLUCION:Debido a que, adicionalmente, A = 1, 3, 5 y B = 5, 6, tenemos

P(A) =1

2, P(B) =

2

3, P(A) =

1

2, P(B) =

1

3.

Ahora, como

A ∩ B = 2, 4, A ∩ B = 1, 3, A ∩ B = 6, A ∩ B = 5,

se concluye que:


• Los eventos A y B son independientes porque P(A ∩ B) = 13

= P(A)P(B).


= P(A)P(B).


= P(A)P(B).


= P(A)P(B).

Ejemplo 2.5.9 Se sabe que 30% de las lavadoras de cierta companıa requieren serviciocuando estan todavıa en garantıa, mientras que solo 10% de las secadoras necesitan eseservicio. Si alguien compra una lavadora y una secadora fabricadas por esta companıa,¿cual es la probabilidad de que ninguna de las dos maquinas necesite servicio dentro de lagarantıa? Suponga que las dos maquinas funcionan de manera independiente.SOLUCION:Senalemos como A el evento “la lavadora necesita servicio de garantıa” y B, el evento “lasecadora necesita servicio de garantıa”. Entonces, P(A) = 0, 30 y P(B) = 0, 10. Nos pidencalcular P(A ∩ B). Como las dos maquinas funcionan de manera independiente, entonces,los eventos A y B son independientes. Con esto y con el teorema 2.5.7 (en este teorema,si se cumple la proposicion (a), entonces, tambien debe cumplirse (d)), los eventos A y B

tambien son independientes. Por consiguiente,

P(A ∩ B) = P(A)P(B) = (0, 70) · (0, 90) = 0, 63.

El concepto de independencia se puede generalizar al caso en que se tengan mas de doseventos.

Definicion 2.5.10 Se dice que n eventos A1, . . . , An de Ω son independientes

si y solo si

P(Aj1 ∩ Aj2 ∩ · · · ∩ Ajk ) = P(Aj1) · P(Aj2) · · ·P(Ajk ), (2.3)

para todo 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n, con 2 ≤ k ≤ n.

En particular, por ejemplo,6

(a) si n = 3, entonces, A, B y C son completamente independientes si y solo si se cumplen las 2condiciones siguientes:

• Tomando la interseccion de cada 2 eventos se tiene que

P(A ∩ B) = P(A) P(B), P(A ∩ C) = P(A) P(C), P(B ∩ C) = P(B) P(C).


P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C).

(b) si n = 4, entonces, A, B, C y D son completamente independientes si y solo si se cumplenlas 3 condiciones siguientes:


P(A ∩ B) = P(A) P(B), P(A ∩ C) = P(A) P(C), P(A ∩ D) = P(A) P(D),P(B ∩ C) = P(B) P(C), P(B ∩ D) = P(B) P(D), P(C ∩ D) = P(C) P(D).


6El caso n = 2 ya esta ilustrado en el teorema 2.5.4


P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C), P(A ∩ B ∩ D) = P(A) P(B) P(D),P(A ∩ C ∩ D) = P(A) P(C) P(D), P(B ∩ C ∩ D) = P(B) P(C) P(D).


P(A ∩ B ∩ C ∩ D) = P(A) P(B) P(C) P(D).

El siguiente ejemplo ilustra que una independencia fısica en la realidad no necesariamentenecesita corresponder con una independencia estocastica en el modelo.

Ejemplo 2.5.11 Supongamos que un dado se lanza dos veces y consideremos los eventosA :=“primer lanzamiento es un 2”, B :=“segundo lanzamiento es un 5” y C :=“la suma deambos lanzamientos es 7”. Demuestre que (a) A y B son independientes, (b) B y C sonindependientes (c) A y C son independientes y (d) A, B y C no son independientes.

Este ejemplo demuestra tambien que A, B y C son independientes dos a dos, pero no comple-

tamente independientes.SOLUCION:

(a) Debido a que A y B tienen 6 elementos, tenemos que P(A) = P(B) = 16

y, porconsiguiente, que

P(A ∩ B) = P(

escoger (2,5))

=1

36=

1

6·1

6= P(A)P(B),

entonces, podemos afirmar que A y B son independientes.

(b) El evento C es el conjunto

C =(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

,

es decir, C tiene 6 elementos. Por consiguiente, P(C) = 636

= 16. Ahora, debido a que

B ∩ C = (2, 5), es claro ver que B ∩ C tiene un elemento. Por lo tanto,

P(B ∩ C) =Numero de elementos de B ∩ C

Numero de elementos de Ω= =

1

36=

1

6·1

6= P(B)P(C).

O sea, que B y C son independientes.

(c) En forma semejante, se puede demostrar que A y C son independientes.

(d) A, B y C no son completamente independientes porque

P(A ∩ B ∩ C) = P(

(2, 5))

=1

366=

1

63= P(A)P(B)P(C).


78. Suponga que las proporciones de fenotipos sanguıneos en determinada poblacion son lossiguientes: A : 35%, B : 28%, AB : 13% y O : 24%. Supongamos que los fenotipos dedos personas seleccionadas al azar son independientes entre sı.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que ambos fenotipos sean O?;

(b) ¿Cual es la probabilidad de que sean iguales?

79. En su sistema de funcionamiento, una represa tiene cuatro puertas de seguridad identicas.La probabilidad de que una puerta en particular se abra cuando sea necesario es 0,97. Silas puertas funcionan independientemente, calcule la probabilidad de que (a) al menosuna puerta se abra, (b) al menos una puerta no se abra.


80. La probabilidad de que Jeniffer cometa un error al marcar una pregunta de un examen deopcion multiple es 0,2. Supongamos que hay 7 preguntas marcadas independientemente.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que Jeniffer no cometa error al marcar las 7 preguntas?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que Jeniffer cometa por lo menos un error al marcar las 7preguntas?

81. Una costura en un chaleco antibalas necesita 10 puntos de seguridad. La costura tendraque volverse a realizar si cualquiera de los puntos de segudidad quedo debil. Suponga quelos puntos de seguridad estan debiles independientemente unos de otros, cada uno con lamisma probabilidad.

(a) Si 20% de todas las costuras necesitan volver a efectuarse, ¿cual es la probabilidadde que un punto de seguridad este defectuoso?

(b) ¿Que tan pequena debe ser la probabilidad de un punto de seguridad debil paraasegurar que solo el 5% de todas las costuras necesiten volver a ejecutarse?

82. Una empresa de venta por correos considera tres posibles errores al enviarse un pedido:

A: el artıculo enviado no es el solicitado.

B: el artıculo se extravıa.

C: el artıculo sufre desperfectos en el transporte.

Supongase que el suceso A es independiente de los sucesos B y C y que los sucesosB y C son mutuamente excluyentes. Las probabilidades de los sucesos individuales sonP(A) = 0, 03, P(B) = 0, 02 y P(C) = 0, 05. Calcular la probabilidad de que uno de estoserrores ocurra para al menos un pedido escogido al azar.

83. En cierta ciudad, el 70% de todas las personas examinadas en cierto consultorio odon-tologico no tienen caries. Si se supone que personas sucesivas tienen o no tienen caries(obviamente, independientemente una de otra), calcule la probabilidad de los siguienteseventos:

(a) Las tres personas siguientes examinadas tienen caries.

(b) Al menos una de las tres personas siguientes examinadas no tienen caries.

(c) Exactamente una de las tres personas siguientes examinadas tiene caries.

(d) A lo mas una de las tres personas siguientes examinadas tiene caries.

(e) Al menos una de las tres personas siguientes examinadas tiene caries.

(f) Las tres personas siguientes examinadas tienen caries sabiendo que al menos una deellas tiene caries.

84. Se clasifican muestras de hule de espuma de tres proveedores de acuerdo a si cumplen ono con las especificaciones. Los resultados de 100 muestras se resumen a continuacion:

Proveedor Sı cumple No cumple1 17 32 18 103 50 2

Si A denota el evento de que una muestra es del proveedor 1 y si B denota el evento deque una muestra cumple con las especificaciones, determine si A y B son independientes.¿Son independientes A y B?


85. Se selecciono una muestra de 570 encuestados en una cierta ciudad para recoger in-formacion acerca del comportamiento de los consumidores. Entre las preguntas estaba:“¿Disfruta usted comprando ropa?” De 270 hombres, 165 respondieron que sı. De 300mujeres, 224 respondieron que sı.

(a) Suponga que el participante elegido es mujer. ¿Cual es la probabilidad de que nodisfrute comprando ropa?

(b) Suponga que el participante elegido disfruta comprando la ropa. ¿Cual es la proba-bilidad de que la persona sea hombre?

(c) Los eventos disfrutar comprando ropa y sexo del participante, ¿son estadısticamenteindependientes? Explique.

86. Un determinado hospital tiene dos ambulancias que trabajan de forma independiente. Laprobabilidad de que una ambulancia especıfica este disponible cuando se le necesite es0,94.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que ninguna este disponible cuando se les necesite?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que por lo menos una ambulancia este disponible cuandose le necesite?

87. En una prueba de una tarjeta de circuito impreso en la que se utiliza un patron de pruebaaleatorio, un arreglo de 10 bits es igualmente probable factible que sea cero o uno. Supongaque los bits son independientes.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que todos los bits sean unos?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que todos los bits sean ceros?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente cinco bits sean unos y cinco sean ceros?

88. Una companıa de seguros estima que el 30% de los accidentes de automovil son debidosal estado de embriaguez del conductor y que el 20% provocan heridos. Ademas, el 40% delos accidentes que dan lugar a heridos son debidos al estado de embriaguez del conductor

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un accidente elegido al azar haya sido causado por elestado de embriaguez del conductor y haya dado lugar a heridos?

(b) ¿ Son los sucesos debido al estado de embriaguez del conductor” y “da lugar a heridos”independientes?

(c) Si un accidente elegido al azar es causado por el estado de embriaguez del conductor,¿cual es la probabilidad de que haya dado lugar a heridos?

(d) ¿Cual es la probabilidad de que un accidente elegido al azar haya sido provocado porel estado de embriaguez del conductor y no haya dado lugar a heridos?

89. Cada una de las tapas de las botellas de gaseosa que llegan a una determinada seccionson verificados por Greyci y Humberto, quienes buscan defectos. Humberto detecta 95%de tapas defectuosas y Greyci tambien hace lo mismo. Al menos, una persona no detectadefecto alguno en el 10% de todas las tapas defectuosas.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que una tapa defectuosa sea detectada solo por Humberto?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que una tapa defectuosa sea detectada exactamente poruna de las dos personas?

(c) Suponiendo que las inspecciones de diferentes tapas son independientes entre sı, ¿cuales la probabilidad de que tres tapas defectuosas de un lote escapen a la deteccion deambas personas?

Cap. 2. Ejercicios complementarios 69

90. Se sabe que el 20% de las explotaciones agrıcolas de un determinado pueblo tienen mas de20.000 metros cuadrados y que los propietarios del 60% de las explotaciones son personascon mas de 55 anos de edad. Ademas, el 55% de las explotaciones que superan los 20.000metros cuadrados tienen como propietario a una persona mayor de 55 anos.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que una explotacion de este pueblo escogida al azar tengamas de 20.000 metros cuadrados y su propietario sea mayor de 55 anos?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que una explotacion de este pueblo escogida al azar tengamas de 20.000 metros cuadrados o su propietario sea mayor de 55 anos?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que una explotacion de este pueblo cuyo propietario esmayor de 55 anos, tenga mas de 20.000 metros cuadrados?

(d) ¿Son independientes estadısticamente el tamano de las explotaciones y la edad de lospropietarios?

Ejercicios complementarios

91. ¿Son las siguientes afirmaciones verdaderas o falsas? Justificar cada respuesta.

(a) La suma de las probabilidades de eventos colectivamente exhaustivos es 1.

(b) Sean los eventos A y B, la probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de B

dado A, si las probabilidades de A y B son iguales.

(c) Si un evento y su complemento son igualmente probables, la probabilidad de eseevento es 0,5.

(d) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces, tambien lo son sus complementos.

(e) La probabilidad de la union de dos eventos no es menor que la probabilidad de lainterseccion.

(f) La probabilidad de la union de dos eventos no es mayor que la suma de la probabilidadde cada uno de los eventos.

(g) La probabilidad de la interseccion de dos eventos es menor que la probabilidad decualquiera de los dos eventos.

(h) Un evento y su complemento son mutuamente excluyentes.

(i) Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces son colectivamente exhaustivo.

(j) Si dos sucesos son colectivamente exhaustivos, entonces son mutuamente excluyentes.

(k) La probabilidad condicional de A dado B es mayor o igual que la probabilidad de A.

(l) Un evento y su complemento son independientes.

(m) La probabilidad condicional de A dado B es mayor o igual que la probabilidad de lainterseccion de A y B.

(n) La probabilidad de la interseccion de dos eventos no es mayor que el producto de susprobabilidades individuales.

92. En los ultimos anos, las companıas de tarjeta de credito han hecho un gran esfuerzo paralograr nuevas cuentas de estudiantes universitarios. Suponga que una muestra de 210estudiantes en su universidad proporciono la siguiente informacion sobre si poseıa unatarjeta de credito bancaria y/o una tarjeta de credito de viaje.

Tarjeta bancaria Tiene tarjeta de viaje No tiene tarjeta de viajeSi 50 80No 25 55


Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cual es la probabilidad de que

(a) tenga una tarjeta de credito bancaria?

(b) tenga una tarjeta de credito bancaria y una tarjeta de viaje?

(c) no tenga una tarjeta de credito bancaria ni una tarjeta de viaje?

(d) no tenga una tarjeta de credito bancaria o tenga una tarjeta de viaje?

93. Encuentre el numero de formas distintas en que se pueden guardar cuatro discos compactosde marcas diferentes en un estuche que tiene seis compartimientos numerados del 1 al 6.

94. Para poder asistir a importantes citas de trabajo, Humberto debe alquilar un auto enBarranquilla y uno, en Cartagena. Sea A el evento “a Humberto le ofrecen un Mer-cedes Benz en Barranquilla” y B el evento “a Humberto le ofrecen un Mercedes Benzen Cartagena”. Supongamos que ambos eventos son independientes, que P(A) = 0, 4 yP(B) = 0, 25.

(a) Si a Humberto no se le ofrece un Mercedes Benz en Barranquilla, ¿cual es la proba-bilidad de que no se le ofrezca un Mercedes Benz en Cartagena?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que a Humberto se le ofrezca un Mercedes Benz en porlo menos alguna de las dos ciudades?

(c) Si se le ofrece un Mercedes Benz en por lo menos alguna de las dos ciudades, ¿cuales la probabilidad de que ese ofrecimiento sea solo en Barranquilla?

95. Supongamos que seis personas se quieren montar en fila en un bus.

(a) ¿De cuantas maneras diferentes pueden hacerlo?

(b) ¿De cuantas maneras posibles pueden hacerlo si tres personas insisten en estar unadespues de la otra?

(c) ¿De cuantas maneras posibles pueden hacerlo si dos personas deben estar una juntoa la otra?

(d) ¿De cuantas maneras posibles pueden hacerlo si dos personas se niegan a estar unajunto a la otra?

96. En un pequeno municipio clasificaron a los habitantes segun la religion que practicabany encontraron lo siguiente: 10 eran Bautistas, 40 eran Islamicos, 20 eran Adventistas,50 eran Evangelicos, 70 eran Catolicos, 30 eran Testigos de Jehova y 10 No sabıan (norespondieron).

(a) Construya un diagrama de barras para los datos anteriores.

(b) ¿Cual es el tamano de la poblacion del municipio?

(c) ¿Se puede calcular la media? Explique.

(d) ¿Se puede calcular la moda? Explique.

(e) ¿Que porcentaje de la poblacion son Islamicos? ¿Que medida uso para calcularla?

(f) ¿Cual es la probabilidad de que al seleccionar a un habitante de dicho municipio, estesea Islamico?

(g) ¿Como son los numeros obtenidos en (e) y (f)? ¿Que concluye?

97. Se pidio a una analista financiera evaluar las perspectivas de beneficio de cinco empre-sas para el proximo ano, y ordenarlas con respecto a las previsiones correspondientes alcrecimiento del beneficio.

(a) ¿Cuantas ordenaciones diferentes son posibles?


(b) Si, de hecho, simplemente se supone una determinada ordenacion, ¿cual es la proba-bilidad de que esta suposicion sea correcta?

98. En un experimento para estudiar la relacion de la hipertension arterial y los habitos defumar, se reunen los siguientes datos para 190 individuos:

No Fumadores Fumadoresfumadores moderados empedernidos

Con hipertension 30 25 28Sin hipertension 40 19 48

Si se escoge un de estos individuos al azar, encuentre la probabilidad de que la persona

(a) sufra de hipertension, sabiendo que es un fumador empedernido;

(b) sea un no fumador, dado que la persona no sufre de hipertension.

99. Una cierta investigacion en una ciudad indica que, durante cualquier semana, el 18% delos adultos vieron un programa deportivo de television orientado a temas relacionados conel futbol y el beisbol, el 12% leen un reportaje orientado a esta tematica y el 10% realizanambas actividades.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que ve el programa detelevision, lea el reportaje mencionado?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que lea el reportaje, veadicho programa de television?

100. El centro de informatica de cierta universidad recibe un software nuevo que debe serinstalado en el servidor de la universidad y revisado antes de ser puesto a funcionar. Enla tabla adjunta se muestra la valoracion de probabilidad de un gerente correspondienteal numero de dıas necesarios para que el software ser puesto a funcionar.

Numero de dıas 3 4 5 6 7Probabilidad 0,05 0,27 0,43 0,13 0,12

Sea A el evento “el software tardara mas de cinco dıas en ponerse a funcionar” y B elevento “el software tardara mas de cuatro dıas en ponerse a funcionar”.

(a) Calcular la probabilidad de que suceda A y la de que suceda B.

(b) Describa el complemento A del evento A y calcule la probabilidad de que suceda A.

(c) Describir el suceso interseccion A ∩ B de los sucesos A y B y calcule la probabilidadde que suceda A ∩ B.

(d) Describir el suceso union A∪B de los sucesos A y B y calcular la probabilidad de quesuceda A ∪ B.

(e) ¿Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes? ¿Colectivamente exhaustivos?

101. Tres parejas de casados han comprado boletas para el cine y se sientan en una fila formadapor seis asientos. Supongamos que se sientan al azar.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente una pareja (digamos, Jose y Carmen) sesienten en los dos asientos del extremo derecho?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que Jose y Carmen se sienten uno junto a la otra?


102. La rugosidad en los bordes de los productos de papel cortado aumenta con el desgaste delas cuchillas. Solo 1% de los productos cortados con cuchillas nuevas tiene bordes rugosos,3% de los productos cortados con cuchillas con filo promedio presentan rugosidad y 5%de los productos cortados con cuchillas desgastadas presentan rugosidad. Si 25% de lascuchillas utilizadas son nuevas, 60% tienen filo promedio y 15% estan desgastadas, ¿cuales la proporcion de productos que presenta rugosidad en los bordes?

103. Los clientes acostumbran evaluar en forma preliminar el diseno de los productos. En elpasado, 95% de los productos de gran exito recibieron crıticas favorables, 60% de losproductos con un exito moderado recibieron crıticas favorables y 10% de los productossin mucho exito recibieron crıticas favorables. Ademas, 40% de los productos han sido degran exito, 35% han sido de exito moderado y 25% han sido productos sin mucho exito.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un producto obtenga una crıtica favorable?

(b) Si un diseno nuevo obtiene una crıtica favorable, ¿cual es la probabilidad de que seraun producto de gran exito?

(c) Si un producto no consigue una crıtica favorable, ¿cual es la probabilidad de que seraun producto de gran exito?

104. Una companıa del ejercito escoge siempre a 30 soldados para vigilar en el intervalo de 4:00a.m. a 12:00 a.m. (turno de la manana); 25, de 12:00 a.m. a 7:00 p.m. (turno de la tarde)y 40, de 7:00 p.m. a 4:00 a.m. (turno de la noche). Un coronel del ejercito selecciona 8de estos soldados para hacerles una entrevista minuciosa. Supongamos que la seleccionse hace de tal forma que cualquier grupo de 8 soldados tiene la misma probabilidad de serseleccionado, del mismo modo que cualquier otro grupo.

(a) ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar 8 soldados del turno de la manana?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que los 8 soldados seleccionados sean del turno de lamanana?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que los 8 empleados seleccionados sean del mismo turno?

(d) ¿Cual es la probabilidad de que, al menos, 2 turnos diferentes sean representadosentre los soldados seleccionados?

(e) ¿Cual es la probabilidad de que, al menos, uno de los turnos no este representado enla muestra de soldados?

105. Un consejo academico con cinco miembros de la universidad tienen la tarea de elegir elnuevo jefe de un departamento academico, teniendo como candidatos a Humberto (H) oa Greyci (G). Cada uno de los miembros voto en una papeleta por uno de los candidatos.Supongamos que las papeletas se seleccionan al azar de una en una y una vez que sesaque cada papeleta, se dice el nombre del candidato que salio en la papeleta.

(a) ¿De cuantas maneras posibles puede resultar el conteo de los votos?

(b) Si hay tres votos para Greyci y dos para Humberto, ¿de cuantas maneras posiblespuede resultar el conteo de votos? ¿Cuales son estas posibles maneras?

(c) Si hay tres votos para Greyci y dos para Humberto, ¿cual es la probabilidad de queGreyci siga delante de Humberto en todo el conteo de votos (es decir, este eventoocurre si el orden seleccionado es GGHGH pero no para GHHGG)?

106. Si se elige al azar una letra de nuestro alfabeto (son 27 letras), encuentre la probabilidadde que la letra sacada (a) sea una vocal, (b) sea una letra que esta ubicada antes de laletra “d”, (c) sea una letra que esta ubicada despues de la letra “e”.


107. Un grupo academico formado por dos ingenieros y cuatro administradores debe ser cons-tituido para un proyecto, disponiendose de un total de cinco ingenieros y seis administra-dores.

(a) ¿Cuantas son las distintas combinaciones posibles?

(b) El hermano de uno de los ingenieros es un administrador. Si el grupo es elegido alazar, ¿cual es la probabilidad de que los dos hermanos sean escogidos?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que ninguno de los dos hermanos sea escogido?

108. Un estante tiene 6 libros iguales de matematicas y 4 iguales de fısica. Hallar la probabilidadde que los 6 libros de matematicas esten juntos.

109. La contaminacion del rıo Magdalena es un problema que se va incrementado cada vezmas con el pasar de los anos. Sean dadas las siguientes probabilidades:

• La probabilidad de que el rıo esta contaminado es 0,3.

• La probabilidad de que una prueba en una muestra detecta contaminacion sabiendoque el rıo esta contaminado es 0,75.

• La probabilidad de que una prueba en una muestra detecta contaminacion sabiendoque el rıo no esta contaminado es 0,20.

• La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el rıo esta contaminado y queuna prueba en una muestra detecta contaminacion es 0,20.

• La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el rıo no esta contaminado yque una prueba en una muestra detecta contaminacion es 0,15.

• La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el rıo esta contaminado y queuna prueba en una muestra no detecta contaminacion es 0,80.

• La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el rıo no esta contaminado yque una prueba en una muestra no detecta contaminacion es 0,90.

Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:

(a) El rıo esta contaminado, una prueba en una muestra detecta contaminacion y sepermite pesca.

(b) Una prueba en una muestra no detecta contaminacion y se permite pesca.

(c) Se permite pesca.

110. Una determinada editorial quiere decidir si va a publicar un libro de estadıstica paraadministracion. El analisis de los libros que se publicaron anteriormente indica que 10%fueron grandes exitos, 20% tuvieron exito modesto, 40% lograron recuperar los gastosde inversion y 30% fueron un fracaso. Sin embargo, antes de tomar una decision, seva a realizar un dictamen del libro. En el pasado, 99% de los grandes exitos obtuvierondictamenes favorables, 70% de los exitos modesto obtuvieron dictamenes favorables, 40%de los tıtulos que alcanzaron a recuperar gastos de inversion obtuvieron dictamenes favora-bles y 20% de los fracasos fueron sometidos a esta clase de dictamenes. ¿Que proporcionde libros de texto reciben dictamenes favorables?

111. Jennifer, la propietaria de una tienda de ropa deportiva, clasifica las personas que entrana su tienda en clientes muy jovenes, clientes con edad universitaria y clientes mayores, ysabe que el 40%, 30% y 30% pertenecen a estas categorıas, respectivamente. Jennifercomprueba tambien, que el 20% de los clientes muy jovenes, el 60% de los clientes conedad universitaria y el 80% de los clientes mayores realizan alguna compra.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente elegido al azar haga alguna compra?


(b) Si un cliente elegido al azar realiza una compra, ¿cual es la probabilidad de que seamuy joven?

112. Greyci tiene dos automoviles: uno, modelo 2.000 y otro, modelo 2.004. La quinta partedel tiempo utiliza el auto modelo 2.000 para ir al trabajo y el resto del tiempo, el automodelo 2.004. Generalmente, cuando utiliza el auto modelo 2.000, no tiene problemas deparqueo y, por tanto, llega a su trabajo a tiempo con una probabilidad de 0,93. Si utilizael auto modelo 2.004, llega a tiempo a su trabajo con una probabilidad de 0,78. Si llego atiempo en un dıa en particular, ¿cual es la probabilidad de que haya utilizado (a) el automodelo 2.000, (b) el auto modelo 2.004?

113. En un perıodo, una planta automotriz produce 5.000 motos. De estas, 1.000 se armaronlos lunes, 1.000 los martes, 1.000 los miercoles, y ası hasta completar las 5.000 el viernes.Fue necesario devolver 400 de estas motos que requerıan reparacion de defectos. De lasmotos armadas los jueves se devolvieron 150. ¿Son independientes entre sı los eventos“una moto se construyo el jueves” y “una moto salio defectuosa”?

114. Brian ha realizado un estudio para un hipermercado en donde clasifica los clientes enaquellos que visitan el establecimiento de una manera frecuente u ocasional y en aquellosque adquieren regularmente, ocasionalmente o nunca productos alimenticios. La siguientetabla presenta las proporciones correspondientes a cada uno de los seis grupos.

Regular Ocasional NuncaVisita frecuente 0,19 0,08 0,12Visita ocasional 0,06 0,07 0,48

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente visite frecuentemente el hipermercado ycompre regularmente productos alimenticios?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente que nunca compra productos alimenticiosvisite el hipermercado frecuentemente?

(c) ¿Son independientes los sucesos “nunca compra productos alimenticios” y “visita elhipermercado frecuentemente”?

(d) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente que visita de manera ocasional el hiperme-rcado, compre regularmente productos alimenticios?

(e) ¿Son los sucesos “compra regularmente productos alimenticios” y “visita el hiperme-rcado de manera ocasional” independientes?

(f) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente visite frecuentemente el hipermercado?

(g) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente nunca compre productos alimenticios?

(h) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente visite el establecimiento frecuentemente onunca compre productos alimenticios?

115. Un lote de 25 piezas moldeadas por inyeccion contiene 5 que presentan una contraccionexcesiva.

(a) Si se seleccionan dos piezas al azar una detras de otra, y sin reemplazo, ¿cual es laprobabilidad de que la segunda pieza seleccionada sea una con contraccion excesiva?

(b) Si se seleccionan tres piezas al azar una detras de otra, y sin reemplazo, ¿cual es laprobabilidad de que la tercera pieza seleccionada sea una con contraccion excesiva?

116. Se les pregunto a los estudiantes de una clase de estadısticas cuales eran las notas queesperaban obtener en el semestre y si habıan o no tratado de resolver problemas apartede los asignados por el profesor. En la tabla se recogen las proporciones correspondientesa cada uno de los ocho grupos resultantes.


Problemas Nota de 5,0 Entre 4,0 y 4,9 Entre 3,0 y 3,9 Menor de 3,0Si 0,21 0,13 0,06 0,26No 0,12 0,08 0,02 0,12

(a) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haya tratado de resolverproblemas adicionales.

(b) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar espere una nota de 5,0.

(c) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que haya realizadoproblemas adicionales, espere una nota de 5,0.

(d) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que espere una nota de5,0, haya realizado problemas adicionales.

(e) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que haya tratado deresolver problemas adicionales, espere una nota entre 4,0 y 4,9.

(f) ¿Son los eventos “ha realizado problemas adicionales” y “espera una nota entre 4,0y 4,9” independientes estadısticamente?

117. De un estudio realizado en una universidad, se sabe que el 35% de los estudiantes hacendeporte por lo menos una vez a la semana y que el 40% de los estudiantes tienen unanota media superior a 4,0. Ademas, el 30% de los que hacen deporte por lo menos unavez a la semana tienen una nota media superior a 4,0.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar hace deporte por lomenos una vez a la semana y tenga una nota media superior a 4,0?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que tiene una notamedia superior a 4,0, hace deporte por lo menos una vez a la semana?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar hace deporte por lomenos una vez a la semana o tenga una nota media superior a 4,0?

(d) ¿Cual es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que no tiene una notamedia superior a 4,0, no hace deporte por lo menos una vez a la semana?

(e) ¿Son independientes los eventos “hace deporte por lo menos una vez a la semana” y“tiene una nota media superior a 4,0”? ¿Mutuamente excluyentes? ¿Colectivamenteexhaustivos?

118. Un director de control de calidad, sabe que el 30% de los problemas relacionados con losempleados tienen lugar los martes y que el 20% ocurren en la hora anterior al cambiode turno. Sabe tambien que el 4% de los problemas tienen lugar en la hora anterior alcambio de turno de los martes.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un incidente que sucede un martes no haya ocurridoen la hora anterior al cambio de turno?

(b) ¿Son los sucesos el problema ocurre el martes” y el problema ocurre en la hora anterioral cambio de turno” independientes estadısticamente?

⋆ 119. Responda las siguientes preguntas. Explique

(a) Si A, B y C son mutuamente excluyentes, ¿es posible que P(A) = 0, 3, P(B) = 0, 4

y P(C) = 0, 5?

(b) Si P(A/B) = 1, ¿se cumple A = B?

(c) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, ¿es posible construir un diagrama deVenn que contenga a los tres eventos A, B y C, tales que P(A/C) = 1 y P(B/C) = 0?

⋆ 120. Demuestre las siguientes afirmaciones:


(a) Para cualquier evento A y B con P(B) > 0, se cumple que P(A/B) + P(A/B) = 1.

(b) Si P(B/A) > P(B), entonces, P(B/A) < P(B). Sugerencia: Sume P(B/A) amboslados de la desigualdad y use el resultado de la parte (a).

(c) Para cualquiera de los tres eventos A, B y C con P(C) > 0, se cumple que

P(A ∪ B/C) = P(A/C) + P(B/C) − P(A ∩ B/C).

(d) Si A y B son independientes, entonces, A y B tambien lo son.

(e) Si A y B son independientes, entonces tambien lo son sus complementos.

Respuestas a ejercicios imparesseleccionados

Capıtulo 2

1. (a) AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE,CD, CE, DE (b) 6 (c) 3 (d) 6

3. (a) 0, 1, . . . , 10 (b) 0, 1, 2, 3, 4 (c)7, 8, 9, 10 (f) Falso

5. (a) 10 (b) BGGBG, BGGGB, GBGGB,GGBGB, GGGBB

7. (a) 0, 1, 2, 3, 8, 9 (b) 4 (c)0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (d) 0, 2, 3, 4, 6 (e)0, 1, 2, 3, 8, 9 (f) 4

9. (a) A ∩ B ∩ C (b) A ∩ C (c) B

11. (a) 36 (b) 43 (c) 8 (d) 6 (e) 21 (f) 98(g) 23

13. (a) 20 (b) 60 (c) (d) 10

15. 324

17. (a) 180 (b) 55

19. 1.024

21. (a) 5.040 (b) 4.320

23. (a) 1.800 (b) 2.250 (c) 520

25. (a) 294 (b) 180 (c) 126 (d) 105 (e)63 (f) 30

27. 72

29. (a) 720 (b) 36 (c) 48 (d) 240 (e) 8(f) 16

31. (a) 120 (b) 48 (c) 72

33. (a) 288 (b) 1.260

35. (a) 300 (b) 156 (c) 144 (d) 180

37. (a) 81 (b) 16 (c) 65

39. (a) 0,1 (b) 0,5 (c) 0,2 (d) 0,2

41. (a) 0,68 (b) 0,97

43. No

45. (a) 3/5 (b) 2/3 (c) 0 (d) 3/5

47. (a) 1/12 (b) 1/6 (c) 2/27 y 4/27

49. (a) 0,44 (b) 0,56 (c) 0,66 (d) 0,34 (e)0,22 (f) 0,69

51. 0,901

53. 0,0495

55. 0,24

57. (a) 0,88 (b) 0,04 (c) 0,03 (d) 0,06

59. (a) 30.045.015 (b) 8.580.495 (c)0,2856 (d) 0,002122

Respuestas a ejercicios impares seleccionados 78

61. (a) 1/6 (b) 1/6 (c) 1/6 (d) 1/6

63. (a) 0,24 (b) 0,33 (c) 0,13

65. (a) 14/201 (b) 76/959

67. (a) 1/90 (b) 1/3 (c) 1/5

69. (a) 15/40, 5/13, 7/52 (b) 14/39, 7/20(c) 5/8

71. (a) 0,1054; 0,8236 (b) 0,4762; 0,5238(c) 0,2213; 0,37058; 0,40823 (d)0,3906 ; 0,46506; 0,14432

73. (a) P(0/0) = 0, 537; P(1/0) = 0;P(2/0) = 0 (b) P(0/1) = 0;P(1/1) = 0, 04418; P(2/1) = 0, 055813

(c) P(0/2) = 0; P(1/2) = 0;P(2/2) = 1

75. (b) 0,2025 (c) 0,58876 (d) 0,33919(e) 0,34394

77. (a) 0,69 (b) 0,49 (c) 0,68 (d) 0,6326(e) 0,45588 (f) 0,68116

79. (a) 0,9999 (b) 0,1147

81. (a) 0,936 (b) 0,005116

83. (a) 0,027 (b) 0,973 (c) 0,189 (d)0,216 (e) 0,657 (f) 0,0411

85. (a) 0,2533 (b) 0,424 (c) 0,32326

87. (a) 0,0009766 (b) 0,0009766 (c)0,24609

89. (a) 0,05 (b) 0,10 (c) 0

91. (a) F (b) V (c) F (d) F (e) V (f) V(g) V (h) V (i) F (j) F (k) F (l) F (mV (n) F

93. 360

95. (a) 720 (b) 144 (c) 240 (d) 484

97. (a) 120 (b) 1/120

99. (a) 5/9 (b) 5/6

101. (a) 1/15 (b) 1/3

103. (a) 0,615 (b) 0,6179 (c) 0,05195

105. (a) 32 (b) 10 (c) 0,20

107. (a) 150 (b) 4/15 (c) 1/5

109. (a) 0,045 (b) 0,564 (c) 0,63

111. (a) 0,5 (b) 0,16

113. No

115. (a) 1/5 (b) 7/92

117. (a) 0,105 (b) 0,2625 (c) 0,645 (d)0,5917 (e) No, no, no

119. (a) No (b) No (c) Si

Indice

Coeficientebinomial, 30

Combinaciones, 29Complemento de un evento, 8Conteo

por enumeracion de elementos, 17a traves de diagramas de arbol, 19

Diferencia de eventos, 8

Espaciomuestral o de resultados, 4

Evento, 4elemental, 4imposible, 5probabilidad de un, 39seguro, 5

evento elementalprobabilidad de un, 38

Eventoscolectivamente exhaustivos, 9dependientes, 63disyuntos, ver eventos mutuamente ex-

cluyentesindependientes, 63, 65mutuamente excluyentes, 7

Experimento, 3aleatorio, 4determinıstico, 3estocastico, ver experimento aleatoriolaplaciano o clasico, 38

Formulade Silvester, 35

Factorial, 23nFrecuencia

relativa

de un evento, 36

Independencia deeventos, 63, 65

Interseccion de eventos, 6

Leyes de De Morgan, 10

Metodoaxiomatico, 34clasico, 34, 38de la frecuencia relativa, 34, 36subjetivo, 34, 44

Modelos de urna, 16

Oportunidada favor de un evento, 45en contra de un evento, 45

Particion de un espacio muestral, 9Permutaciones, 22Principio de adicion, 22Probabilidad, 34

a posteriori, 56a priori, 56clasica, 38condicional, 51empırica, 38personal, ver probabilidad subjetivasubjetiva, 44

Reglade Bayes, 55

Tecnicas de conteo, 16Teorema

de adicion para 2 eventos, 35

INDICE 80

de adicion para 3 eventos, 35de Bayes, ver Regla de Bayesde la probabilidad total, 53de multiplicacion

para n eventos, 52para 2 eventos, 51para 2 eventos independientes, 64

fundamental del conteo, 20

Union de eventos, 7

contenido - henryhs14.files.wordpress.com · 2.1 experimentos, espacios muestrales y eventos 6...

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