1 Formulario Basico L.F. Resendis O.

1.1 Formulas para exponentes y radicales L.F. Resendis O.

aman = am+n ambn = ambn n√

a = a1

n

am

an= am−n am

bn= amb−n n

√ab = n

√a

n√

b

1

an= a−n

(a

b

)n

=an

bn

n√

an√

b= n

√

a

b=(a

b

)1

n

(am)n = amn m√

an = (an)1

m = an

m ( m√

a)n = (a1

m )n = an

m

1.2 Areas y volumenes L.F. Resendis O.

• Area de diversas figuras planas

Figura Datos Perımetro Area

Cuadrado lado = l P = 4l A = l2

Rectangulo base= b, altura = h P = 2(a + b) A = ab

Triangulo base= b, altura = h, lados = a, b, c P = a + b + c A =bh

2

Trapecio base mayor= B, base menor = b, altura = h A =(B + b)h

2

Cırculo radio=r 2πr A = πr2

• Areas y volumenes de algunos solidos

Solido Datos Area Volumen

Cubo lado = l A = 6l2 V = l3

Bola radio = r A = 4πr V =4

3πr3

Cilindro radio de la base = r, altura = h A = 2πr2 + 2πrh V = πr2h

Cono radio = r, altura = h A = πr√

h2 + r2 + πr2 V =1

3πr2h

Cırculo radio=r 2πr A = πr2

1

1.3 Productos notables L.F. Resendis O.

(i) (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

(ii) (a + b)(a − b) = a2 − b2

(iii) (a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3

(iv) (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3

(v) (a + b)n =

n∑

i=0

n!

k!(n − k)!akbn−k

1.4 Ecuacion general de orden dos L.F. Resendis O.

• Las soluciones de la ecuacion cuadratica

ax2 + bx + c = 0

estan dadas por

x1 =−b ±

√b2 − 4ac

2a, x2 =

−b±√

b2 − 4ac

2a.

Si b2 − 4ac > 0 la ecuacion tiene dos raıces reales; si b2 − 4ac = 0 la ecuacion tiene una solaraız real repetida dos veces y si b2 − 4ac < 0 la ecuacion no tiene raıces reales, son complejas.

• Para a > 0 la completacion del trinomio ax2 + bx + c es de la forma:

ax2 + bx + c =

(√ax +

b

2√

a

)2

+ c − b2

4a.

En el caso que a < 0 se tiene

ax2 + bx + c = c − b2

4a−(√

−ax − b

2√−a

)2

.

1.5 Teorema de Pitagoras y funciones trigonometricas L.F. Resendis O.

• Se considera el triangulo rectangulo con catetos A y B e hipotenusa C , ver la figura figura 1.Entonces

A2 + B2 = C2 .

• Las funciones trigonometricas asociadas al triangulo rectangulo de la figura 1 son

2

A

C B

x

Figure 1: El triangulo rectangulo ∆ABC .

senx =B

Ccos x =

A

Ctan x =

senx

cosx=

B

A

csc x =1

sen x=

C

Bsec x =

1

cos x=

C

Acotx =

1

tanx=

cos x

senx=

A

B

donde el angulo x se mide en radianes.

• Valores en angulos escuadra para funciones trigonometricas.

x grados xrad senx cos x tan x

0 0 0 1 0

30◦π

6

1

2

√3

2

1√3

45◦π

4

√2

2

√2

21

60◦π

3

√3

2

1

2

√3

90◦π

21 0 ∞

3

• Las graficas de las funciones trigonometricas son

seno x

Π

2Π

3 Π

22 Π

-1.0

-0.5

0.5

1.0

csc x

Π

2Π

3 Π

22 Π

-6

-4

-2

2

4

6

8

Figure 2: Las funciones senx y csc x =1

sen x

cos x

Π

2Π

3 Π

22 Π

-1.0

-0.5

0.5

1.0

sec x

Π

2Π

3 Π

22 Π

-5

5

Figure 3: Las funciones cosx y sec x =1

cos x

tan x

-Π

2

Π

2Π

3 Π

2

-6

-4

-2

2

4

6

cot x

Π

2Π

3 Π

22 Π

-6

-4

-2

2

4

6

Figure 4: Las funciones tan x =senx

cos xy cotx =

1

tanx=

cos x

senx

• Valores principales de la funcion senx y cos x, con k = 0, ±1, ±2, ±3, . . .

funcion Dominio Ceros Maximos Mınimos

senx R kπ(4k + 1)π

2

(4k + 3)π

2

cos x R(2k + 1)π

22kπ (2k + 1)π

4

1.6 Lımites L.F. Resendis O.

Sean f y g dos funciones con

limx→a

f(x) = L , limx→a

g(x) = M

entonces

• el lımite de la suma es

limx→a

(f(x) + g(x)) = limx→a

f(x) + limx→a

g(x) = L + M ,

• el lımite del producto es

limx→a

(f(x) · g(x)) = limx→a

f(x) · limx→a

g(x) = L · M ,

• si M 6= 0 el lımite del cociente es

limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a f(x)

limx→a g(x)=

L

M,

• si la funcion g es continua en L el lımite de la composicion es

limx→a

(g ◦ f)(x) = limx→a

(g(f(x)) = g(limx→a

f(x)) = g(L) .

• La condicion de exitencia del lımite por lımites laterales es

limx→a

f(x) = L si y solo si limx→a−

f(x) = L = limx→a+

f(x) .

• Lımites notables. Sea α > 0

limx→0−

1

x= −∞ lim

x→0+

1

xα= ∞

limx→−∞

1

x= 0− lim

x→∞

1

xα= 0+

limx→0

senx

x= 1 lim

x→0

tan x

x= 1

limx→0

1 − cosx

x= 0 lim

x→0

1 − cosx

x2=

1

2

1.7 Continuidad L.F. Resendis O.

• La funcion f es continua en el punto a si

limx→a

f(x) = f(limx→a

x) = f(a) .

• La suma, producto, cociente y composicion son continuas en su dominio de definicion.

5

1.8 Reglas de Derivacion L.F. Resendis O.

(A)d

dx(f(x) + g(x)) =

d

dxf(x) +

d

dxg(x)

(B)d

dx(f(x) · g(x)) = g(x)

d

dxf(x) + f(x)

d

dxg(x)

(B ′)d

dx(c · f(x)) = c · d

dxf(x)

(C)d

dx

(

f(x)

g(x)

)

=g(x)

d

dxf(x) − f(x)

d

dxg(x)

g2(x)

(C ′)d

dx

(

1

g(x)

)

= −d

dxg(x)

g2(x)

(D)d

dx(g ◦ f)(x) =

d

dxg(f(x))

d

dxf(x)

1.9 Definicion de derivada L.F. Resendis O.

• La derivada de la funcion f en el punto x se define por

limh→0

f(x + h) − f(x)

h= f ′(x) =

d

dxf(x) .

• La ecuacion de las rectas tangente y normal a la grafica de f en el punto (a, f(a)) son respec-tivamente

y = f(a) + f ′(a)(x− a) , y = f(a) − 1

f ′(a)(x − a) .

• La aproximacion lineal de f en el punto a esta dada por su la aproximacion de su recta tangente

f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a) .

1.10 Graficado de funciones L.F. Resendis O.

Los puntos crıticos de f son los ceros de su derivada, es decir las soluciones de f ′(x) = 0.Monotonıa de funciones.

• La funcion f es creciente en el intervalo I si f ′(x) > 0 para cada x ∈ I .

• La funcion f es decreciente en el intervalo I si f ′(x) < 0 para cada x ∈ I .

6

Clasificacion de puntos extremos.

• Si f ′(a) = 0 y f ′′(a) < 0 la funcion f tiene un punto maximo en a.

• Si f ′(a) = 0 y f ′′(a) > 0 la funcion f tiene un punto mınimo en a.

Concavidad de funciones.

• La funcion f es concava hacia arriba (convexa) en el intervalo I si f ′′(x) > 0 para cada x ∈ I .

• La funcion f es concava hacia abajo (concava) en el intervalo I si f ′′(x) < 0 para cada x ∈ I .

1.11 Funcion inversa L.F. Resendis O.

Sea f : I → J una funcion derivable que admite inversa f−1 : J → I con y = f(x), entonces laformula de la derivada de la funcion inversa es

(f−1)′(y) =1

f ′(x)=

1

f ′(f−1(y))si f ′(x) 6= 0 .

1.12 Formulas de Derivacion L.F. Resendis O.

(1)d

dxun = nun−1 du

dx

(2)d

dxlnu =

1

u

du

dx

(3)d

dxeu = eu

du

dx

(4)d

dxloga u =

1

u ln a

du

dx

(5)d

dxau = au ln a

du

dx

(6)d

dxsenu = cosu

du

dx

(7)d

dxcosu = − senu

du

dx

(8)d

dxtanu = sec2 u

du

dx

(9)d

dxcotu = − csc2 u

du

dx

7

(10)d

dxsec u = secu tan u

du

dx

(11)d

dxcsc u = − csc u cotu

du

dx

(12)d

dxarcsenu =

1√1 − u2

du

dx

(13)d

dxarctan u =

1

1 + u2

du

dx

(14)d

dxarcsec u =

1

u√

u2 − 1

du

dx

(15)d

dxarccos u = − 1√

1 − u2

du

dx

(16)d

dxarccotu = − 1

1 + u2

du

dx

(17)d

dxarccsc u = − 1

u√

u2 − 1

du

dx

8

1.13 Formulas de Integracion L.F. Resendis O.

(I)

∫

un du =un+1

n + 1+ C, n 6= −1.

(II)

∫

du

u= ln |u|+ C

(III)

∫

eu du = eu + C

(IV)

∫

au du =au

ln a+ C

(V)

∫

sen u du = − cosu + C

(VI)

∫

cos u du = senu + C

(VII)

∫

tan u du = ln | sec u|+ C

(VIII)

∫

cotu du = ln | senu| + C

(IX)

∫

sec u du = ln | sec u + tanu| + C

(X)

∫

csc u du = ln | csc u − cot u|+ C

(XI)

∫

sec2 u du = tan u + C

(XII)

∫

csc2 u du = − cotu + C

(XIII)

∫

sec u tan u du = sec u + C

(XIV)

∫

csc u cotu du = − csc u + C

9

(XV)

∫

du

a2 − u2=

1

2aln

∣

∣

∣

∣

u + a

u− a

∣

∣

∣

∣

+ C

(XVI)

∫

du

u2 − a2=

1

2aln

∣

∣

∣

∣

u− a

u + a

∣

∣

∣

∣

+ C .

(XVII)

∫

du√a2 − u2

= arcsenu

a+ C

(XVIII)

∫

du

a2 + u2=

1

aarctan

u

a+ C

(XIX)

∫

du

u√

u2 − a2=

1

aarcsec

u

a+ C

(XX)

∫ √a2 + u2 du =

u

2

√a2 + u2 +

a2

2ln(u +

√a2 + u2) + C

(XXI)

∫ √a2 − u2 du =

u

2

√a2 − u2 +

a2

2arcsen

u

a+ C

(XXII)

∫ √u2 − a2 du =

u

2

√u2 − a2 − a2

2ln |u +

√u2 − a2| + C

(XXIII)

∫

du√u2 − a2

= ln∣

∣u +√

u2 − a2∣

∣ + C.

(XXIV)

∫

du√a2 + u2

= ln(u +√

a2 + u2) + C

(XXV)

∫

du

u√

a2 + u2= −1

aln

∣

∣

∣

∣

∣

√a2 + u2 + a

u

∣

∣

∣

∣

∣

+ C.

10

1.14 Sumas de Riemann L.F. Resendis O.

• Particion regular de tamano n del intervalo [a, b]

x0 = a,

x1 = a +b− a

n

x2 = a +2(b − a)

n...

xi = a +i(b− a)

n...

xn = a +n(b− a)

n= b

• La suma de Riemman para una funcion f : [a, b] → R

S =n∑

i=1

f(ξi)(xi − xi−1) =n∑

i=1

f(ξ)∆i

donde {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} es una particion del intervalo [a, b] y

xi−1 ≤ ξi ≤ xi.

• Formulas para sumas

n∑

k=1

k =n(n + 1)

2

n∑

k=1

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

n∑

k=1

k3 =n2(n + 1)2

4

• Formula para calcular el error en las sumas de Riemann de una funcion

f : [a, b] → R:(b − a)

n(f(b) − f(a)) < Error si f es creciente.

(b− a)

n(f(a) − f(b)) < Error si f es decreciente.

11

1.15 Teorema fundamental del calculo y primitivas L.F. Resendis O.

• Primer teorema fundamental del calculo(∫ x

a

f(t) dt

)

′

= f(x) .

• Formula para derivar integrales

(

∫ h(x)

g(x)

f(t) dt

)

′

= f(h(x))h′(x) − f(g(x))g′(x) .

• Segundo teorema fundamental del calculo.

Si F es una primitiva de f en el intervalo [a, b]

∫ b

a

f(x) dx = bF (x)cba = F (b)− F (a)

• Intercambio en el orden de los lımites de integracion.

∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx .

• Regla de cambio de variable en integrales definidas

∫ b

a

F ′(u(x))u′(x) dx =

∫ u(b)

u(a)

F ′(u) du = F (u(b))− F (u(a)) .

• Regla de cambio de variable con primitivas

∫

F ′(u(x))u′(x) dx =

∫

F ′(u) du = F (u(x)) + c .

• Regla de integracion por partes

∫

u dv = uv −∫

v du

u = f(x), , du = f ′(x) dx, dv = g′(x) dx, v =

∫

g′(x) dx = g(x)

∫

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−∫

g(x)f ′(x) dx .

12

x=a x=b

dx

y1=fHxL

y2=gHxL

Figure 5: El area limitada por y1, y2

1.16 Aplicaciones de la integral L.F. Resendis O.

• Formula para calcular la longitud de arco de la grafica de f : [a, b] → R

L =

∫ b

a

√

1 + f ′2(x) dx .

• Area limitada por las curvas y1 = f(x), y2 = g(x), ver figua 5 con la grafica de la curva y1 porarriba de la grafica de la curva y2 (rectangulos verticales de altura h = y1 − y2, y base dx)

dA = (y1 − y2) dx por tanto A =

∫ b

a

(f(x) − g(x)) dx .

donde a y b son las abcisas de los puntos donde se intersectan las curvas y1, y2.

• Area limitada por las curvas x1 = h(y), x2 = l(y), con la grafica de la curva x1 a la derecha dela grafica de la curva x2 (rectangulos horizontales de altura dy y base x1 − x2), ver figura 6

y=c

y=d

dy

x1=hHyL

x2=lHyL

Figure 6: El area limitada por x1, x2

13

dA = (x1 − x2) dy por tanto A =

∫ d

c

(h(y)− l(y)) dy

donde c y d son las ordenadas de los puntos donde se intersectan las curvas x1, x2. Para obtenerlas expresiones x1, x2 es necesario despejar la variable x.

• Volumen de revolucion obtenido al rotar, alrededor del eje horizontal y = c, la region limitadapor las graficas de y1 = f(x), y2 = g(x). Se supone que la distancia de la grafica de y1 al eje derotacion es siempre mayor que la distancia de la grafica de y2 al eje de rotacion. Ademas losrectangulos infinitesimales rotados son perpendiculares al eje de rotacion, ver figura 7

x=a x=b

dx

y1=fHxL

y2=gHxL

y=c

dx

r1HxL= y1-c

r2HxL= y2-c

Figure 7: La region limitada por y1, y2 y rotada alrededor del eje y = c.

dV = π(r21(x) − r2

2(x)) dx = π(|f(x) − c|2 − |g(x) − c|2) dx

por tanto

V = π

∫ b

a

(|f(x) − c|2 − |g(x)− c|2) dx .

donde a y b son las abcisas de los puntos donde se intersectan las curvas y1, y2.

• Volumen de revolucion obtenido al rotar, alrededor del eje horizontal x = a, la region entrelas gra ficas de x1 = h(y), x2 = l(y). Se supone que la distancia de la grafica de x1 al eje derotacion es siempre mayor que la distancia de la grafica de x2 al eje de rotacion. Ademas losrectangulos infinitesimales rotados son perpendiculares al eje de rotacion, ver figura 8

dV = π(r1(y)2 − r2(y)2) dy = π(|h(y)− a|2 − |l(y)− a|2) dy

por tanto

V = π

∫ d

c

(|h(y)− a|2 − |l(y)− a|2) dy

donde c y d son las abcisas de los puntos donde se intersectan las curvas x1, x2.

14

y=c

y=d

dy

x1=hHyL

x2=lHyL

x=a

r1HyL=x1-a

r2HyL=x2-a

dy

Figure 8: La region limitada por x1, x2 y rotada alrededor del eje x = a.

• Volumen de revolucion obtenido al rotar, alrededor del eje vertical x = a, la region entre lasgraficas y1 = f(x), y2 = g(x), cuyo borde esta a distancia r(x) = |x − c| del eje de rotacion,los rectangulos infinitesimales son paralelos al eje de rotacion, con altura h(x) = y1 − y2 paraa ≤ x ≤ b y base dx, ver figura 9

dV = 2πr(x)h(x)d dx = 2π|x − c||f(x) − g(x)| dx

y por tanto

V = 2π

∫ b

a

r(x)h(x) dx = 2π

∫ b

a

|x − c||f(x)− g(x)| dx .

• Volumen con area de la seccion tranversal conocida, perpendicular a un eje coordenado. Si laseccion es transversal al eje x, con area de la seccion dada por A(x), ver figura 10. Entonces

dV = A(x)dx con =

∫ b

a

A(x) dx .

Si la seccion es transversal al eje y, con area de la seccion dada por A(y). Entonces

dV = A(y)d y con =

∫ b

a

A(y) dy .

1.17 Integrales impropias L.F. Resendis O.

• Sea f : (a, b] → R ( f no esta definida en a)

∫ b

a

f(x) dx = limε→a+

∫ b

ε

f(x) dx .

15

x=a x=b

dx

y1=fHxL

y2=gHxL

x=c

hHxL= y1-y2

x

rHxL= x-c

Figure 9: La region limitada por y1, y2 y rotada alrededor del eje x = c.

• Sea f : [a,∞) → R ( la integracion se hace sobre un intervalo de longitud infinita)∫

∞

a

f(x) dx = limr→+∞

∫ r

a

f(x) dx .

• Formulas para estimaciones de integrales impropias:

∫ 1

0

dx

xα=

{ 1

1 − αsi α < 1,

∞ si 1 ≤ α

∫

∞

1

dx

xα=

∞ si α ≤ 1,

1

1 − αsi 1 < α

1.18 Integrales trigonometricasL.F. Resendis O.

• Integrales de potencias del sen mx cosn x.

Si aparece al menos una potencia impar se usa:

sen 2x + cos2 x = 1.

Si ambas potencias son pares

sen 2x =1

2− 1

2cos 2x, cos2 x =

1

2+

1

2cos 2x.

Las identidades sen 2x = 2 sen x cos x, cos 2x = cos2 x − sen 2x se aplican para reescribir elresultado.

16

Eje x

Area=AHxL

x=a

x=b

Figure 10: El volumen de una region con seccion transversal conocida.

• Integrales de potencias de secm x tann n.

Si las potencias son pares o la potencia de la tangente es impar se usa:

tan2 x + 1 = sec2 x.

• Integrales de potencias de cscm x cotn x.

Si las potencias son pares o la potencia de la cotangente es impar se usa:

cot2 x + 1 = csc2 x.

1.19 Sustitucion trigonometrica L.F. Resendis O.

• Para expresiones donde aparece

a2 − u2 o√

a2 − u2 se usa u = a sen θ.

Se tiene ası

a2 − u2 = a2 cos2 θ y√

a2 − u2 = a cos θ con du = a cos θ dθ.

El triangulo asociado es la figura 11

17

a u

a2- u

2Θ

Figure 11: El triangulo del cambio u = a sen θ

• Para expresiones donde aparece

a2 + u2 o√

a2 + u2 se usa u = a tan θ.

Se tiene ası

a2 + u2 = a2 sec2 θ y√

a2 + u2 = a sec θ con du = a sec2 θ dθ.

El triangulo asociado es la figura 12

18

a2+ u

2

u

aΘ

Figure 12: El triangulo del cambio u = a tan θ

• Para expresiones donde aparece

u2 − a2 o√

u2 − a2 se usa u = a sec θ.

Se tiene ası

u2 − a2 = a2 tan2 θ y√

u2 − a2 = a tan θ con du = a sec θ tan θ dθ.

El triangulo asociado es la figura 13

u u2- a

2

aΘ

Figure 13: El triangulo del cambio u = a sec θ

19

1.20 Fracciones Parciales L.F. Resendis O.

Sea la funcion racionalp(x)

q(x)

donde p(x) y q(x) son polinomios con grado p < grado q.

• Supongase que el denominador tiene en su factorizacion el producto

(x − a1) · · · (x− an) con a1, . . . , an ∈ R distintos entre si.

Entonces le corresponde una fraccion parcial de la forma

A1

x − a1

+ · · · + An

x − an

.

• Supongase que el denominador tiene en su factorizacion el producto

q(x) = (x− a1)m1 · · · (x− an)

mn con a1, . . . , an ∈ R.

Entonces le corresponde al factor (x − ai)mi una fraccion parcial de la forma

A1

x − ai

+A2

(x − ai)2+ · · · + Ami

(x − ai)mi

.

Un trinomio ax2 + bx + c se dice irreducible si b2 − 4ac < 0, es decir no tiene ceros reales.

• Supongase que el denominador q(x) tiene en su factorizacion un trinomio irreducible ax2+bx+c,entonces le corresponde una fraccion parcial de la forma

Ax + B

ax2 + bx + c.

• Si en la factorizacion del denominador el trinomio irreducible ax2 + bx + c aparece n veces lecorresponde la suma de las n fracciones parciales

A1x + B1

ax2 + bx + c+

A2x + B2

(ax2 + bx + c)2+ · · · + Anx + Bn

(ax2 + bx + c)n.

1.21 Formula de Taylor L.F. Resendis O.

• Sea f : [a, b] → R una funcion n veces derivable en [a, b]. Entonces para x ∈ [a, b] se tiene

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x − a)2 +

f ′′′(a)

3!(x − a)3 + · · ·

+fn−1(a)

(n − 1)!(x − a)n−1 + Rn

donde el residuo de orden n esta dado por

Rn =fn(c)

n!(x − a)n con c ∈ (a, b) .

20

• El polinomio de Taylor, de orden n − 1 en a, que aproxima a la funcion es

f(x) ∼ f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)

2!(x − a)2 +

f ′′′(a)

3!(x − a)3 + · · ·

+fn−1(a)

(n − 1)!(x − a)n−1 .

El error cometido en la aproximacion esta dado por el residuo Rn.

• La formula de Maclaurin se obtiene al tomar a = 0

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · · + fn−1(0)

(n − 1)!xn−1 + Rn

donde

Rn =fn(c)

n!xn con c ∈ (0, b)

21