construcción de sólidos
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Artículo resultado de práctica en Proyecto PedagógicoTRANSCRIPT
LA CONSTRUCCIÓN DE SÓLIDOS COMO HERRAMIENTA PARA LA
COMPRENSIÓN DE LOS POLIEDROS Y SUS ELEMENTOS
AURA LILIANA GONZÁLEZ VIVAS*
CLARA EMILSE ROJAS
Licenciatura en Matemáticas y Estadística- UPTC-Duitama
Resumen
Este artículo presenta el diseño, gestión y resultados de un proyecto de investigación de
aula para estudiantes de grado octavo y noveno, orientado a corregir errores y fortalecer
el aprendizaje de los poliedros y sus elementos. La propuesta destaca la importancia de
la construcción de los sólidos para comprender sus elementos, tales como aristas,
vértices entre otros. Los resultados se basan en el análisis de la tipología de errores en
geometría propuesta por por Movshovitz (1987) y Radatz (1979) citados por Franchi y
Hernández, (2004).
Palabras Clave: poliedros, sólidos, vértices, aristas, aprendizaje, enseñanza.
Abstract
This paper presents the design, management and results of a classroom research
project for students eighth and ninth grade, designed to fix bugs and enhance
learning of polyhedra and its elements. The proposal highlights the importance
of building solid understanding of its elements, such as edges, vertices, among
others. The results are based on the analysis of the types of errors in geometry
proposed by Movshovitz (1987) and Radatz (1979) cited by Franchi and
Hernandez (2004).
Key words: polyhedral, solids, vertices, edges, learning, teaching.
La construcción de sólidos como herramienta para la comprensión de los poliedros y sus elementos
2011
Aura Liliana González Vivas
INTRODUCCIÓN
Este proyecto se genera en el desarrollo de la práctica docente con estudiantes de grados
octavo y noveno del Colegio Técnico Municipal Francisco de Paula Santander de
Duitama, en la asignatura Proyecto Pedagógico VII de la Licenciatura en Matemáticas y
Estadística de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia Seccional
Duitama, como parte de la formación integral del futuro docente.
La geometría hace parte fundamental en el aprendizaje, además que es una herramienta
muy útil para la construcción del conocimiento matemático, por lo cual, es necesario
implantar su enseñanza y aprendizaje de forma continua en los planteles educativos. El
estudio de los poliedros es importante en el aula ya que estamos rodeados de ellos,
luego se hace necesario trabajarlos para potencializar el lenguaje matemático y las
habilidades espaciales del estudiante.
Es por esto, que este proyecto se orienta en la construcción del significado de los
poliedros y sus elementos, con el fin de corregir los errores detectados en un
diagnóstico preliminar y de esta forma mejorar en la enseñanza y aprendizaje de los
conceptos y procedimientos matemáticos por medio de la construcción y visualización
de los sólidos.
1. CONTEXTO
Este proyecto se realizó con estudiantes de los grados octavo y noveno del Colegio
Técnico Francisco de Paula Santander de la Ciudad de Duitama, en la práctica de docente
integral proyecto VII, durante el segundo semestre de 2011.
La realización del proyecto tuvo una duración de aproximadamente 20 horas, 1 hora por
semana en cada grado, durante 10 semanas, en las aulas de la institución educativa.
2. DIAGNÓSTICO
El diagnóstico es llevado a cabo con 29 estudiantes, niños y niñas de grado octavo y 20
estudiantes de grado noveno del Colegio Técnico Municipal Francisco de Paula
Santander de Duitama, con una edad promedio de 14 años para los niños y niñas de
octavo y 16 años para los niños y niñas de grado noveno. Su principal objetivo era
identificar los errores que manifiestan en los poliedros y sus elementos. Para esto, se
hizo necesaria la aplicación de instrumentos que suministró la información precisa, el
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cuestionario inicial que se planificó de tal forma que se detectaran los errores objeto
del estudio teniendo en cuenta algunos de los tipos de errores en la geometría
propuestos por Movshovitz (1987) y Radatz (1979) citados por Franchi y Hernández,
(2004).
Partiendo de los instrumentos aplicados se hace análisis de las respuestas de los
estudiantes de grado octavo y noveno para la detección de errores cometidos en
geometría con respecto a los poliedros y sus elementos.
2.1 RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN
Aplicación del cuestionario inicial: Teniendo en cuenta la tipología de errores en
geometría propuestas por Movshovitz (1987) y Radatz (1979) citados por Franchi y
Hernández, (2004).
OBJETIVO: Detectar los errores que se cometen en el aprendizaje de los poliedros y
sus elementos, diseñar e implementar una propuesta secuencial de enseñanza que
ayudará a superar estos errores.
Tipos de errores cometidos en la geometría.
En la siguiente tabla se hace una descripción de la tipología de errores cometidos en
geometría.
Tabla 1. Tipología de errores en geometría.
TIPO DE ERROR DESCRIPCIÓN
Movshovitz (1987)
INTERPRETACIÓN
INCORRECTA DEL
LENGUAJE
Son errores debidos a una traducción incorrecta de hechos
matemáticos descritos en un lenguaje simbólico a otro
lenguaje simbólico distinto.
USO DE
TEOREMAS O
DEFINICIONES
DEFORMADAS
Errores que se producen por deformación de un
principio, regla, teorema o definición identificable.
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REALIZA
INFERENCIAS NO
VÁLIDAS
LÓGICAMENTE
Son los errores que tienen que ver con fallas en el
razonamiento y no se deben al contenido específico.
Radatz (1979)
DIFICULTAD DEL
LENGUAJE
Mal uso de los símbolos y términos matemáticos, debido a
su inadecuado aprendizaje.
APRENDIZAJE
DEFICIENTE,
HECHOS
DESTREZAS Y
CONCEPTOS
PREVIOS
Errores originados por deficiencias en el manejo de
conceptos, contenidos, procedimientos para las tareas
matemáticas.
DIFICULTADES
PARA OBTENER
INFORMACIÓN
ESPACIAL
Errores provenientes de la producción de representaciones
icónicas (imágenes espaciales) inadecuadas de situaciones
matemáticas.
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2.2 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LA INFORMACIÓN
El siguiente gráfico ilustra la distribución porcentual de la incidencia del error
tanto en grado octavo y noveno
Al comparar los resultados obtenidos en los dos grados se observa una gran diferencia en
los errores cometidos por cada grado, los errores que se cometen con mayor frecuencia en
grado octavo son los relacionados con la dificultad para obtener información espacial,
realización de inferencias no válidas lógicamente y aprendizaje deficiente de hechos,
destrezas y conceptos previos y los errores con mayor incidencia en grado noveno se
encuentran relacionados con la interpretación incorrecta del lenguaje, uso de teoremas o
definiciones deformadas y dificultad en el lenguaje, el análisis se presenta en la siguiente
tabla.
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Tabla 2. Errores que más se cometen
TIPO DE ERROR ÍTEM Y PROTOCOLO DESCRIPCIÓN
DEL ERROR
INTERPRETACIÓN
INCORRECTA DEL
LENGUAJE
Cuando se les pide a los estudiantes determinar cuáles
de los siguientes enunciados son falsos o verdaderos:
Las caras de los poliedros han de ser forzosamente
polígonos
El cilindro es un poliedro
En este caso se
está utilizando
de forma
inadecuada la
palabra círculo
o circular para
decir que el
cilindro no es
un poliedro,
también se nota
que existe falta
de atención
cuando se
contestan a las
afirmaciones ya
que se nombra
a los polinomios
como si fueran
poliedros.
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USO DE
TEOREMAS O
DEFINICIONES
DEFORMADAS
El cilindro es un poliedro
La ocurrencia
en este error, es
debido a que
hacen
generalizaciones
incorrectas,
acerca de lo que
es un poliedro.
REALIZA
INFERENCIAS
NO VÁLIDAS
LÓGICAMENTE
EL cilindro es un poliedro
Las caras de un poliedro son todas iguales
Se hace
comparación de
un poliedro con
un cuadrado,
como si fuera
una figura
plana que
recibe este
nombre.
En esta
respuesta se
presenta una
contradicción
donde se
contesta
verdadero pero
se contradice
con la
justificación.
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DIFICULT
AD EN EL
LENGUAJ
E
Hay poliedros con tres caras
Se presenta una
generalización
respecto a las
caras que
forman un
poliedro, ya que
parece que solo
se conocieran
como poliedros
a los cubos.
APRENDI
ZAJE
DEFICIEN
TE,
HECHOS
DESTREZ
AS Y
CONCEPT
OS
PREVIOS
Al parecer, no
se tienen en
claridad los
conceptos que se
necesitan para
poder
comprender los
poliedros y sus
elementos.
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DIFICULTAD
ES PARA
OBTENER
INFORMACI
ÓN
ESPACIAL
Todos los poliedros de cinco caras tienen 8
aristas y 5 vértices
En este tipo de
error se tiene
en cuenta
todos los tipos
de errores
antes
descritos, ya
que si no es
posible que se
tenga un
conocimiento
claro de los
poliedros es
difícil que se
pueda recrear
una imagen
espacial de los
mismos y
determinar
sus
características
de esta forma.
Del diagnóstico preliminar se puede observar que los errores más frecuentes están
asociados a la comprensión de poliedros y sus elementos, se encuentran relacionados con la
dificultad para obtener información espacial, realización de inferencias no válidas
lógicamente y aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos, interpretación
incorrecta del lenguaje, uso de teoremas o definiciones deformadas y dificultad en el
lenguaje. Por lo tanto, es de gran importancia plantear posibles soluciones que permitan
superar estos errores de forma significativa para progresar en la construcción del
conocimiento matemático, una propuesta es el diseño de una estrategia metodológica
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adecuada y significativa para los estudiantes, que despierte su interés en desarrollar
habilidades, destrezas y gusto por las matemáticas y en especial en el aprendizaje de los
poliedros y sus elementos.
De acuerdo a lo anteriormente planteado, ¿qué secuencia didáctica es factible de llevar a
cabo con los estudiantes de grado octavo y noveno del Colegio Técnico Francisco de Paula
Santander de Duitama para superar los errores encontrados en la comprensión de los
poliedros y sus elementos?
La aplicación de secuencias didácticas innovadoras promueve la superación de los errores
cometidos en la comprensión de los poliedros y sus elementos, en estudiantes de grado
octavo y noveno del Colegio Técnico Francisco de Paula Santander.
3. REFERENTES TEÓRICOS
La investigación está referenciada y apoyada en información sobre los errores comunes
cometidos por los estudiantes en poliedros y sus elementos de acuerdo con Brousseau,
Davis y Werner (1986) citado por Rico et al. (1997) y la tipología de errores en geometría
propuesta por por Movshovitz (1987) y Radatz (1979) citados por Franchi y Hernández,
(2004), ya que son un buen indicador de la construcción del conocimiento matemático por
parte de los estudiantes.
3.1 ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE LOS POLIEDROS Y SUS
ELEMENTOS
Los errores son indicadores fundamentales que permiten visualizar cómo los estudiantes
construyen los significados, por lo cual es indispensable establecer una categorización de
errores direccionada hacia los poliedros basada en conceptos previos.
Brousseau, Davis y Werner (1986) citados por Rico et al. (1997), señalan, que los errores
son el resultado de un procedimiento sistemático imperfecto que el alumno utiliza de modo
consistente y con confianza. Y de acuerdo con Socas (1997), el error debe ser considerado
como la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la
consecuencia de una falta específica de conocimiento o una distracción.
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3.2 CATEGORIZACIÓN DE ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE LOS
POLIEDROS
De acuerdo con lo que cita Franchi y Hernández, (2004) con respecto a la tipología de
errores en geometría, se tienen en cuenta para la investigación los siguientes tipos:
Tipología de errores según Movshovitz et al. (1987).
Los errores pueden enmarcarse en las siguientes categorías para estos autores:
-Errores debidos a una interpretación incorrecta del lenguaje: Son errores debidos a una
traducción incorrecta de hechos matemáticos descritos en un lenguaje simbólico a otro
lenguaje simbólico distinto.
-Errores debidos a inferencias no válidas lógicamente: Son los errores que tienen que ver
con fallas en el razonamiento y no se deben al contenido específico.
-Errores debidos al uso de teoremas o definiciones deformadas: Errores que se producen
por deformación de un principio, regla, teorema o definición identificable.
Tipología de errores según Radatz (1979)
Errores debidos a la dificultad del lenguaje.: El aprendizaje de conceptos, símbolos y
vocabulario matemáticos es para muchos alumnos un problema similar al aprendizaje de
una lengua extranjera. Errores derivados del mal uso de los símbolos y términos
matemáticos, debido a su inadecuado aprendizaje.
Errores debido a dificultades para obtener información espacial: Las diferencias
individuales en la capacidad para pensar mediante imágenes espaciales o visuales es una
fuente de dificultades en la realización de tareas matemáticas. Errores provenientes de la
producción de representaciones icónicas (imágenes espaciales) inadecuadas de situaciones
matemáticas.
Errores debido a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos:
Incluyen todas las deficiencias de conocimiento sobre contenidos y procedimientos
específicos para la realización de una tarea matemática. Errores originados por deficiencias
en el manejo de conceptos, contenidos, procedimientos para las tareas matemáticas.
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3.3 PERSPECTIVA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS POLIEDROS Y SUS ELEMENTOS El trabajo de con la construcción de poliedros es muy utilizada para comprender su significado , sobre todo la construcción por medio del origami, sin embargo el trabajo con los estudiantes no se limita a plegado de papel, este se inclina más por diseñar los moldes en cartulina, cortar y pegar para que sea posible distinguir los elementos que componen los poliedros y poder entender su significado, que de acuerdo con Cañadas, Durán, Gallardo, Martínez, Peñas y Villegas (2003) no es suficiente observar imágenes y figuras de los poliedros, es indispensable su representación, construcción y manipulación . Es por esta razón que se hizo necesaria adoptar principios constructivistas, permitiendo a los estudiantes en compañía del docente, construir su propio conocimiento con significado y sentido. (Waldegg, 1998). También se tiene en cuenta las deficiencias que existen en la comprensión de la geometrías lleva a la comprensión del espacio
que nos rodea.
4. METODOLOGÍA Y ORGANIZACIÓN
El desarrollo del proyecto se apoyó en la investigación – acción en el aula. La cual acuerdo con Martínez (2000) es la estrategia que permite la construcción colectiva del conocimiento, pretende desarrollar actitudes, habilidades y competencias investigativas en los participantes de la investigación. Acorde con Domínguez (2003) es el método de investigación en el que el investigador, en este caso el docente, tiene un doble rol, el de investigador y el de participante, también, combina dos tipos de conocimientos: el conocimiento teórico y el conocimiento de un contexto determinado. Sin dejar de lado la importancia que tienen los estudiantes que pasan de ser sujetos pasivos a sujetos activos.
4.1 DISEÑO Y EJECUCIÓN DEL PLAN DE ACCIÓN
Propuesta secuencial de enseñanza
Debido a los percances se diseñó una secuencia didáctica utilizando como herramienta
la construcción de los sólidos para la comprensión de los poliedros.
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Tabla 3. Secuencia didáctica
ACTIVIDAD DESCRIPCIÓN PRETENSIÓN
Construyamos poliedros regulares e irregulares
ACTIVIDAD 1.
Teniendo en cuenta el molde y la ayuda audiovisual construir cada poliedro y completar el siguiente cuadro.
MOLDE POLIEDR
O
No. CARAS
Y FORM
A
No. VERTICES
No. DE CARAS EN
UN VERTICE No. ARISTAS
Identificar los diferentes poliedros que existen e identificar cada uno de sus elementos.
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Clasificacion de
los prismas
y pirámide
s teniendo
en cuenta
las bases
Si la base
es: Prisma Pirámide
________________
____________________
_
_____
Para los nombres de los prismas es importante tener en cuenta el o los polígonos que se encuentran en su base.
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__
_____________
________________
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_________________
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____
________________
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_______
definiciones
En el siguiente cuadro descubrir la definición correspondiente a cada uno de los términos y luego escribirlos en el cuaderno de trabajo.
TÉRMINO DEFINICIÓN
POLÍGONO Segmento donde se encuentran dos caras de un sólido.
CILINDRO Punto de intersección de dos o más lados (caras).
POLÍEDRO Son los lados inferiores de un sólido
ARISTA Figura cerrada formada por tres o más segmentos de recta.
ESFERA Figuras del espacio que tienen tres dimensiones (largo, ancho, alto).
CONO Sólido con dos bases, las cuales son regiones poligonales y congruentes. Sus caras son figuras planas.
Después de haber realizado las actividades anteriores dar la definición a cada uno de los términos.
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5. REFLEXIÓN Y EVALUACIÓN
Al finalizar el proyecto se les aplicó a los estudiantes un cuestionario final, el cual
permite determinar si los errores encontrados en un principio fueron corregidos y en
qué medida. Luego, a continuación se hace énfasis al contraste entre el cuestionario
inicial y final en cada grado y entre los grados.
Contraste entre el cuestionario inicial y final
El cuestionario final fue aplicado al mismo número de estudiantes que presentaron el
cuestionario inicial. También es necesario resaltar que el cuestionario final es el mismo
inicial, aunque con unas modificaciones de forma.
A continuación se evidencia en los cuestionarios inicial y final las dificultades que
presentan los estudiantes en la comprensión de significados:
VERTICE Sólido con una sola base poligonal, cuyas caras son todas triangulares y se encuentran en un solo punto.
PIRÁMIDE Sólido cuyas bases son dos círculos paralelos y congruentes.
PRISMAS Sólido con una sola base circular y un vértice.
SOLIDOS Sólido cuyos puntos se encuentran a la misma distancia de su centro.
BASES Son las figuras del espacio cuyas superficies (caras) son todas planas y congruentes.
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Como se muestra en el análisis de desempeño de los estudiantes al abordar el contraste
entre el cuestionario inicial y final del grado octavo se visualiza que se han superado ciertos
errores, sin embargo sigue presentándose incidencia aunque no tan significativa como en el
cuestionario inicial.
Aunque se evidencia gran reducción en la incidencia de los errores, persisten en gran
medida los relacionados a las dificultades para obtener información espacial y la
realización de inferencias no válidas lógicamente. Esta recurrencia es posible a vacíos
de años anteriores y a la poca atención y baja concentración que prestan los estudiantes
a la hora de realizar las actividades propuestas.
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Se observa que el grado octavo presenta mayor porcentaje de incidencia de errores a
comparación del grado noveno, sin embargo, cabe resaltar que en la realización de
inferencias no validas lógicamente y dificultades para obtener información espacial el
grado noveno presenta una mayor ocurrencia.
A continuación se hace una descripción de los errores que persisten:
Tabla 4. Errores que persisten
TIPO DE ERROR ÍTEM Y PROTOCOLO DESCRIPCI
ÓN DEL
ERROR
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INTERPRETACIÓN
INCORRECTA DEL
LENGUAJE
Definir cada uno de los términos
Aunque los
poliedros ya no
son definidos
como un cubo,
ya se hace de
una forma más
general, esta
definición es
muy vaga.
USO DE
TEOREMAS O
DEFINICIONES
DEFORMADAS
La ocurrencia
en este error,
es debido a que
hacen
generalizacion
es incorrectas,
acerca de lo
que es un
poliedro.
REALIZA
INFERENCIAS NO
VÁLIDAS
LÓGICAMENTE
Se hacen
generalizacion
es acerca de las
caras de los
poliedros.
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DIFICULTAD EN
EL LENGUAJE
Se hace uso del
término línea
sin especificar
su procedencia
o clase un
poliedro o un
polígono.
APRENDIZAJE
DEFICIENTE,
HECHOS
DESTREZAS Y
CONCEPTOS
PREVIOS
Como se
muestra parece
que todavía no
se tiene en
claro que es un
poliedro.
DIFICULTADES
PARA OBTENER
INFORMACIÓN
ESPACIAL
Parece ser que
no se realizó
las actividades
a conciencia,
por lo cual se
sigue teniendo
dificultades
para obtener
información
espacial.
CONCLUSIONES Y REFLEXIONES
Es importante considerar, que aunque se superaron en gran medida los errores
cometidos, cabe resaltar la su incidencia y la necesidad que existe de trabajar
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arduamente en geometría, ya que los estudiantes habían visto poliedros en grado sexto,
luego para ellos esto prácticamente no se había visto, por lo que no recordaban.
La labor docente es un trabajo de constante renovación, e innovación la cual permite un
mejor aprendizaje con significado y desde luego permite el cambio en la actitud de los
estudiantes ante el aprendizaje.
BIBLIOGRAFÍA
Cañadas, M., Durán, F., Gallardo, S., Martínez, M., Peñas, M., & Villegas, J. (Julio de
2003). Poliedros: lenguajes y representación espacial. XI Jornadas sobre el Aprendizaje
y la Enseñanza de las Matemáticas (JAEM), 624-628.
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Socas, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las
matemáticas en la Educación Secundaria. En L. Rico, La educación Matemática en la
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