geometría de sólidos

Geometría de Sólidos

1. Una piscina tiene forma de prisma rectangular de dimensiones 25m �15 m� 3m.

¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenar los 45 de su volumen?

a) 1; 125; 000 lt b) 400 lt c) 900; 000 lt d) 90; 000lt

Encontramos el volumen del prisma rectangular: V =25x15x3 = 1125m3

Los 45 de este volumen son:

45 � 1125 = 900m

3

Ahora: 1g(gramo) = 1ml(mililitro) = 1cm3

1l(litro) = 1000ml Son necesarios en-tonces:

1m3 = 1000000cm3 900m3x1000l = 900000l1m3 = 1000000ml

1000ml=l = 1000l

R: c)

2. Halla el volumen de un prisma de base hexagonal regular de lado 10cm yaltura 25cm:

a) 64:95 cm3 b) 6495 cm3 c) 6945 cm3 d) 6495cm3

Encontrando el apotema del hexágono:

102 = 52 + a2

a = �p102 � 52

a = �p100� 25

a = �p75

Hallando el área de la base del hexágono:

Ab =Pa

2

=60p75

2

= 259:81cm2

1

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov"Jolman Enrique LópezGerardo Manuel GarcíaJosé A. Siles

Hallando el volumen del prisma hexagonal regular:

V = Ab � hV = (259:81)(25)

V = 6495:25cm3

R: b)

3. Determinar la altura de un prisma recto para el cual el área de la super�cielateral

es 143 y el perímetro de la base es 13.a) 0:09 b) 11 c) 1859 d) 12

El prisma recto debe ser triangular (o con base un polígono de trece ladosen el quecada uno mide 1) y la base debe ser un triángulo isósceles con medidas de

suslados: 3; 5 y 5:Representado por h la altura, entonces tenemos tres (o trece) super�cies

laterales:5h; 5h y 3h, por lo cual:

5h+ 5h+ 3h = 143

13h = 143

h =143

13h = 11

R: b)

4. ¿Cómo se afecta el área total de la super�cie de un paralelepípedo rectangular

si la longitud de cada arista se multiplica por 2?a) Se cuadruplica b) Se duplica c) Se triplica d) Se reduce a la

mitad

Representamos la longitud de la arista más larga por x:Representamos la longitud de la arista más corta por y:El área total del paralelepípedo con estas dimensiones es de AT = 4xy+2y2:Si la longitud de cada arista se multiplica por 2, los nuevos valores de éstasson: 2x y 2y: Así el área total sería de:

2


AT = 4(2x)(2y) + 2(2y)2

AT = 16xy + 8y2

AT = 4(4xy + 2y2)

De esto último puede verse que el área total se cuadruplica.

R: a)

5. Halla el volumen de un prisma cuyas bases son triángulos equiláteros de lado

9cm y altura 15cm:a) 679:2 cm3 b) 679:2 m3 c) 525:82 m3 d) 525:82 cm3

El volumen buscado está dado por: V = Ab� h:Calculamos el área de la base:

Ab =l2p3

4

(área del triángulo equilátero en funcióndel lado)

Ab =92p3

4

Ab = 35:07cm2

Calculamos el volumen:

V = (35:07)(15)

= 526:11cm3

R: d)

6. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto,queremos

3


almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm dealto.

¿Cuántas cajas podremos almacenar?a) 1; 250 b) 125 c) 521 d) 12; 500

Encontramos el volumen del almacen:

VA = 5� 3� 2 = 30m3

:Hallamos el volumen (en metros cúbicos) de cada caja:

Vc = 1� 0:6� 0:4 = 0:24m3

La cantidad de cajas a almacenar es de:

30

0:24= 125

R: b)

7. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5m de

largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

a) 50; 000; 000 cm3 b) 5; 000; 000 cm3 c) 500; 000 cm3 d) 50; 000cm3

Convertimos las dimensiones a cm3:

l = 5m = 500cm

a = 40dm = 400cm

h = 2500mm = 250cm

Calculamos el volumen:

V = l � a� hV = (500)(400)(250)

V = 50000000cm3

R: a)

4


8. Calcula el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y28 cm

de arista lateral.a) 5; 090:12 cm3 b) 593:83 cm3 c) 5; 903:83 cm3 d)

50; 093:83 cm3

Encontramos el apotema del hexágono

162 = 82 + a2

a =p162 � 82

a =p256� 64

a =p192

a =p263

a = 8p3cm

Encontramos la altura de la pirámide:

282 = 162 � h2

h =p288 � 162

h =p784� 256

h =p528

h =p24(3)(11)

h = 4p33cm

Hallando el área del héxagono (que sería el área de la base de la pirámide)

Encontrando el volumen de la pirámide:

V =1

3(Ab)(h)

Ab =Pa

2

Ab =(6)(16)(8

p3)

2

Ab = 384p3cm2

V =1

3(384

p3)(4

p33)

V = 5094:34cm3

5


9. En una pirámide triangular regular, la super�cie lateral es igual a 5 veces lasuper�cie

de la base. Calcular el volumen de la pirámide, sabiendo que el lado de labase es 3.

a) V = 5; 150 m3 b) V = 50; 510 m3 c) 5; 510 m3 d)V = 5:55 m3

Como el lado de la base es 3, la base es un triángulo equilátero; su área es:Ab = 9

p3

4 (área del triángulo equilátero en función del lado)

El área del triángulo pequeño rayado es igual

al áreade los otros triángulos pequeños, por tanto podemos hallar su área para

encontrarel valor de x (que lo necesitaremos después).Área triángulo pequeño rayado = Ab

6 = 9p3

(6)(4) =3p3

8

El área de este triángulo pequeño esta dada por: (b)(x)2 = 1:5x2

Entonces: 1:5x2 = 3p3

8 ! x = 1p3

2

Ahora procedemos a encontrar la altura (H) de la pirámide:AL = 5(

9p3

4 ) =45p3

4 (la super�cie lateral es igual a 5 veces la super�cie dela base).Entonces la super�cie de 1 cara lateral es: AL

3 = 45p3

(3)(4) =15p3

4

El área de 1 cara lateral esta dada por: AL =(b)(h)2 , como ya tenemos su

valorigualamos: (b)(h)2 = 15

p3

4 ! 3h2 =

15p3

4

! h = 5p3

2 (esta altura es del triángulo queforma la

cara lateral).

6


Por el teorema de Pitágoras:

h2 = x2 +H2

H = �ph2 � x2

H = �

s(5p3

2)2 � (1

p3

2)2

H = �r75

4� 34

H = �p18

H = �3p2

El volumen de la pirámide está

V =(Ab)(H)

3

V =(2:25

p3)(3

p2)

3V = 5:51

R: c)

10. Calcular el volumen de una pirámide, cuya base es un cuadrado y aristalateral es de

24m de largo y cuyas caras son triángulos equiláteros.a) 33; 258:432 m3 b) 258:432 m3 c) 3; 258:432 m3 d)

30; 258:432 m3

Como las caras son triángulos equiláteros, la arista de la base también mide24m.Así, Ab = l2 ! Ab = 242 = 576m2

Encontrando el apotema del triángulo equilátero:

242 = a2 + 122

a =p576� 144

a =p432

a = 12p3

Encontrando la altura de la pirámide:

7


(12p3)2 = 122 + h2

h =p432� 144

h =p288

h = 12p2

Encontrando el volumen de la pirámide:

V =1

3(Ab)h

V =1

3(576)(12

p2)

V = 3258:348m3

R: c)

11. Calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas bási-cas

24 y 14cm, de arista lateral 13cm.a) 4; 432 cm3 b) 4; 440 cm3 c) 4; 423 cm3 d) 4; 423

cm3

Hallamos primeramente

el valor de k:

k2 = 52 + 52

k =p25 + 25

k =p50

k = 5p2

8


Ahora hallamos el valor

de h (altura del tronco dela pirámide: 132 = h2 + k2 ! h2 = 132 � (5

p2)2 ! h =

p169� 50 ! h =p

119

Utilizamos la relación:S

S0=(TP )2

(TO)2

(La razón entre el área de la base de una pirámide y el área de una secciónparalela a ésta, es igual a la razón entre los cuadrados de sus distancias alvértice.)

S

S0=

(TP )2

(TO)2

576

196=

(p119 + y)2

y2

llamando y a altura correspondiente a TO.

144

49=

119 + 2yp119 + y2

y2

144y2 = 5831 + 98yp119 + 49y2

95y2 � 98p119y � 5831 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, hacemos:

a = 95

b = �98p119

c = �5831

9


y1;2 =�(�98

p119)�

q(�98

p119)2 � 4(95)(�5831)

(2)(95)

y1;2 =98p119�

p1142876 + 2215780

(2)(95)

y1;2 =98p119�

p3358656

(2)(95)

y1;2 =98p119�

p(26)(32)(72)(119)

(2)(95)

y1;2 =98p119� 168

p119

(2)(95)

y1 =98p119 + 168

p119

(2)(95)

y2 =98p119� 168

p119

(2)(95)

y1 =266p119

(2)(95)

y2 =�70

p119

(2)(95)

y1 =133p119

95

y2 =�7p119

19

Para los siguientes cálculos tomamos el valor positivo, La altura de la pirámidedesde P hasta T es: y1 +

p119, esto es:

y1 =133p119

95

y1 +p119 =

133p119

95+p119

133p119 + 95

p119

95=

228p119

95cm

El volumen total de la pirámide desde la base mayor hasta T es:

10


V =1

3(Ab)(y1 +

p119)

V =(576)

3

228p119

95

V =43776

p119

95cm3

El volumen de la pirámide desde la base menor hasta T es:

V 0 =1

3Ab0(y1)

V 0 =196

3

133p119

95

V 0 =26068

p119

285cm3

El volumen del tronco de pirámide V � V 0 = V 00 es:

V 00 =43776

p119

95� 26068

p119

285

V 00 =131328

p119� 26068

p119

285

V 00 =105260

p119

285

V 00 = 4028:95cm3:

12. Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 cm y el radio de subase

es de 12 cm.a) 3; 350:28 cm3 b) 3; 503:28 cm3 c) 3; 305:28 cm3 d) 3; 305:28

cm3

Encontramos la altura del cono:

252 = 122 + h2

h =p252 � 122

h =p625� 144

h =p481

11


Encontrando el volumen:

V =1

3(Ab)(h)

V =1

3�(12)2(

p481)

V = 3307:22cm3

13. Para una �esta, Luis ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón.¿Cuánto

cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radioy 25 cm

de generatriz?a) 11; 775 cm2 b) 1; 177 cm2 c) 11; 775 cm3 d) 1; 570

cm2

El área total del cono está dada por: A = �rg + �r2

Como son gorros los que hace Luis, no consideramos el área de la base; portanto el área que calculamos sólo es la lateral.Así: A = �rg ! A = �(15)(25)! A = 1178:097cm2

Como son 10 gorros, entonces: 10A = (10)(1178:097) = 11780:97cm2

El área buscada es de 11780:97cm2

14. ¿Bajo qué condiciones son iguales las áreas laterales de un cono circularrecto

y de un cilindro circular recto si ambos cuerpos tienen el mismo radioen la

base y la misma altura?a) r =

p3h b) r =

p2h c) r = 3h d) r =

p3h

Área lateral del cono: Acono = �rg, donde g =ph2 + r2. Así: Acono =

�rph2 + r2

Área lateral del cilindro: Acilindro = 2�rhAsumiendo Acono = Acilindro

12


�rph2 + r2 = 2�rhph2 + r2 = 2h

h2 + r2 = 4h2

r2 = 4h2 � h2

r2 = 3h2

r = hp3

R: d)

15. Represente el área total de un cono circular recto de radio constante como

función de la altura.a) Atotal = �r2 b) Atotal = 2�r c) Atotal = �r2 d) Atotal =

�r(ph2 + r2 + r)

El área total del cono está dada por: A = �rg+ �r2, de aquí: g =pr2 + h2

Sustituyendo g =pr2 + h2 en A = �rg+�r2, se tiene: A = �r(

pr2 + h2)+

�r2,de aquí A = �r(

pr2 + h2 + r):

R: d)

16. La generatriz de un cono circular recto es de 14 cm y la super�cie de labase

es de 80 cm2? Calcular la altura.a) 13:05 cm b) 13:05 cm2 c) 130:3 cm d) 130:5 cm

El área de la base esta dada por

Ab = �r2

80 = �r2

r2 =80

�

Aplicando el teorema de Pitágoras:

g2 = r2 + h2

142 =80

�+ h2

h =

r142 � 80

�

h =

r196� 80

�h = 13:06cm

13


R: a)

17. En un cubo se inscribe un cono. ¿Cuál es la razón entre el área total de loscuerpos?

a) 9 b) 0:9 c) 0:09 d) 9:9

De la �gura puede verse que l =

2r:

El área total del cubo está dada por:

Acubo = 6l2

= 6(2r)2

= 24r2

El área total del cono está dada por:

Acono = �rg + �r2

Expresando g en función de r, se tiene:

g2 = r2 + l2

g2 = r2 + 4r2

g =p5r2

g = rp5

Sustituyendo g = rp5, en Acono = �rg + �r2, se tiene:

14


Acono = �r2p5 + �r2

La razón de las áreas esta dada por:

r =Acono

Acubo

r =�r2

p5 + �r2

24r2

r =r2(�

p5 + �)

24r2

r =�p5 + �

24r = 0:42

18. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6, 8 y 10 unidades. Si el trián-gulo

gira alrededor de su lado de 8 unidades y ese lado está en posición �ja,hállese

el área total de la super�cie que se genera.a) 60� b) 69� c) 96� d) 36�

Al girar el triángulo engendra un cono. El área total está dada por:

A = �rg + �r2

Sustituyendo:

A = �(6)(10) + �(6)2

A = 60� + 36�

A = 96�

R: c)

19. Un �orero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y sualtura es

de 25 cm. Queremos llenarlo hasta los 23 de su capacidad. ¿Cuántos

litros deagua necesitamso?a) 1:884 lt b) 2:826 lt c) 10:478 lt d) 18:84 lt

15


Encontrando el volumen del cilindro:

V = �r2h

V = �(6)2(25)

V = 900�

Como se llena hasta los 23 , entonces:

V (2

3) = 900�(

2

3)

V (2

3) = 1884:96cm3

Como

1cm3 = 1ml

1884:96cm3 = 1884:96ml

Ya que

1lt = 1000ml1884:96

1000= 1:88496lt

R: a)

20. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes deforma

cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.a) 7; 850 cm2 b) 6; 280 cm2 c) 6; 820 cm2 d) 780 cm2

El área total del cilindro esta dada por: A =

2�rh+ 2�r2.

16


Entonces para hacer un bote se necesita:

A1 = 2�(5)(20) + 2�(5)2

A1 = 785:398cm2

Para hacer 10 botes se necesitan:

10A1 = (10)(785:398)

= 7853:98cm2

R: a)

21. El suelo de un depósito cilíndrico tiene una super�cie de 45 m2. El aguaque contiene

alcanza 2:5 metros. Para vaciarlo se utiliza una bomba que extrae 8 hlpor minuto.

¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?a) 223:87horas; 14min b) 134horas; 32hmin c) 1hora; 14min d)

2horas; 14min

Hallamos el volumen del depósito:

V = (45)(2:5)m3

= 112:5m3

= 112500000cm3

= 112500000ml

= 112500l

Considerando 1hl como un hectolítro, entonces 1hl = 100l y por tanto:8hl = 800l

El tiempo t para vaciar el depósito sería de:

t =112500l

800l=min

t = 140:625min

t = 2:34horas:

17


22. Se tiene un cilindro circular recto de 30 cm de altura y 12 cm de diámetro.Se perfora

un agujero a lo largo de su eje con diámetro 9 cm. Determinar elvolumen del sólido

resultante.a) 875:5 cm3 b) 148:365 cm3 c) 1; 483:65 cm3 d)

148; 365 cm3

Encontrando el volumen del cilindro de diámetro 12 cm:

V1 = Ab(h)

V1 = �r2(h1)

V1 = �(6)2(30)

V1 = 3392:92cm3

Encontrando el volumen del cilindro de diámetro 9 cm:

V2 = Ab(h)

V2 = �r2(h2)

V2 = �(4:5)2(30)

V2 = 1908:52cm3

Volumen del sólido resultante:

V1 � V2 = 3392:92� 1908:52= 1484:4cm3

R: c)

23. Calcular el área de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

a) 12:56 cm2 b) 12:56 m c) 12:56 m2 d)12:56 m3

La altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera, por lo cual elradio de laesfera es igual al radio de la base del cilindro = 1m:

El área de la esfera esta dada por: A = 4�r2, entonces

A = 4�(1)2

= 12:566m2

R: c)

18


24. Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y 10 cm de altura se llena de agua.

Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipientevacío?

a) 1:215 kg b) 1:215 gr c) 1:315 dg d)1:415 kg

Hallamos el volumen del líquido:

V = �r2(h)

V = �(5)2(10)

V = 785:398cm3

Como 1cm3 = 1ml = 1gr: Entonces el volumen del recipiente pesa: 785:398gr:

Así, el peso del recipiente vacío es de:

2000gr � 785:398gr = 1:2146gr

:

R: a)

25. El volumen de una esfera y un cilindro circular son iguales y el diámetrode la

esfera es igual al diámetro de una base del cilindro. Determinar la alturadel cilindro

en términos del diámetro de la esfera.a) h = 3d

4 b) h = 4d3 c) h = 3d

2 d)h = 2d

3

Volumen de la Esfera (V e)

V e =4

3�r3e

Volumen del cilindro (V c):V c = �r2c (h)

Como el diámetro de la esfera es igual al diámetro de la base del cilindro, susradiosson iguales, esto es: re = rc.

19


Como

r =d

2de2

=dc2

De donde:

V e =4

3�(d

2)3

V c = �(d

2)2(h)

Como

V e = V c4

3�(d

2)3 = �(

d

2)2(h)

4

3

d3

8=

d2

4h

2

3d3 = d2h

h =2

3d

R: d)

26. El diámetro de la Luna es aproximadamente un cuarto del diámetro de laTierra.

Compárense los volúmenes de la Luna y la Tierra.

a. VTierra = 16 (Volumen de la Luna)

b. VTierra = 132 (Volumen de la Luna)

c. VTierra= 32(Volumen de la Luna)

d. VTierra = 65(Volumen de la Luna)

Especi�camos las notaciones a usar:

Volumen de la Tierra=VT Diámetro de la Tierra=dT Radio de laTierra=rTVolumen de la Luna=VL Diámetro de la Luna=dL Radio de la

Luna=rLEl volumen de la esfera esta dado por: V = 4

3�r3

20


Encontramos primero la relación entre los radios. Se sabe que:

d = 2r

Entonces:

dL =1

4dT

dL = 2rL

dT = 2rT

Por lo cual:

2rL =1

4dT

2rL =1

4(2rT )

2rL =1

2rT

4rL = rT

Comparando los volúmenes de la Luna y la Tierra:Volumen de la Tierra:

VT =4

3�(rT )

3

VT =4

3�(4rL)

3

VT =4

3�(4

3

r3VL4�

)3

VT =4

3�(64)(

3VL4�

)

VT = 64VL

Volumen de la Luna:

VL =4

3�(rL)

3

3VL4�

= (rL)3

rL =3

r3VL4�

R: d)

21


27. El volumen de una esfera es igual al volumen de un cubo cuya diagonalmide

p3 pulgadas.

Calcular la longitud del radio de la esfera.a) 0:65 p b) 0:75 p c) 7:5 p d) 6:5

p

El volumen de la esfera esta dado por:

V e =4

3�r3

Según los datos el cubo es dado como se muestra

Volumen del cubo esta dado por:

V c = l3

Por Pitágoras:

d2 = l2 + l2

d =p2l2

d = lp2

De lo anterior:

(p3)2 = (l

p2)2 + l2

3 = 2l2 + l2

3 = 3l2

1 = l2

l = 1

Así, del volumen del cubo:

Vc = 13

Vc = 1pu lg3

22


Como ambos volúmenes son iguales:

V e = V c4

3�r3 = 1

r3 =3

4�

r =3

r3

4�r = 0:62pu lg

28. Determinar el diámetro de una esfera si su volumen y super�cie tienen igualvalor.

a) 6 b) 12 c) 9 d)8

La super�cie de la esfera esta dada por:

A = 4�r2

El volumen de la esfera esta dado por:

V =4

3�r3

Si A = V ! 4�r2 = 43�r

3 ! 3 = r ! 6 = d:

R: a)

29. Dado un cilindro circular recto que tiene en su base superior una semiesferade

radio 8 cm. La altura del cilindro es de 25 cm. Determinar el volumendel sólido

formado.a) 5; 157:97 cm3 b) 7; 167:57 cm3 c) 6; 095:78 cm3 d) 695:78

cm3

El radio de la semiesfera es igual al radio de la base del cilindro.El volumen del cilindro esta dado por:

V c = �r2(h)

V c = �(8)2(25)

V c = 5026:548cm3

23


El volumen de la esfera esta dado por V e = 43�r

3:El volumen de la semiesfera esta dado por

V e

2=

2

3�r3

V e

2=

2

3�(8)3

V e

2= 1072:33cm3

Volumen del sólido formado:

V c+V e

2= 5026:548 + 1072:33

= 6098:878cm3

R: c)

30. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1:5 m de profundidad. Sepinta la

piscina a razón $ 6 el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla?a) $ 540 b) $ 5400 c) $ 54 d) $

54000

Hallamos el área total de la piscina:

AT = A1 +A2 +A3

AT = 48 + 24 + 18

AT = 90m2

A1 = (8)(6) = 48m2

A2 = (2)(8)(1:5) = 24m2

A3 = (2)(6)(1:5) = 18m2

Si se pinta a razón de $6 (dólares) el m2, entonces cuesta pintarla: (90)(6) =540 dólares.

R: a)

24


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geometría de sólidos

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