Relaciones constitutivas

Ejercicio 1:

Conocido el tensor de deformaciones

=

2.0 0.5 1.51.0 1.03.0

104determinar el tensor de tensiones y luego aplicar las relaciones inversas para recuperar el

tensor de deformaciones. Las propiedades mecnicas son E = 200GPa y = 0.3. Utilizarlas distintas versiones de las relaciones constitutivas para un material istropo lineal

En funcin de parte volumtrica y desviadora usando K y G

ij =p

3Kij +

sij2G

=p

3K1+

1

2GS

ij = Kij + 2Geij = K1+ 2Ge

En funcin de E y

ij =1 +

E

(ij ij

1 + mm

) =

Emm1+

1 +

E

ij =E

1 +

(ij + ij

1 2 mm)

=E

(1 + ) (1 2)mm1+E

1 +

En funcin de los parmetros de Lam

ij =1

2ij

2 (3+ 2)ijmm =

2 (3+ 2)mm1+

1

2

ij = 2ij + ijmm = mm1+ 2

=

77.0 4.6 13.831.0 9.292.4

MPaEl primer invariante vale I1 = 200.4 y la presin media vale p = 66.8 con lo que el tensordesviador resulta

S =

10.2 4.6 13.835.8 9.225.6

MPaEjercicio 2:

Si la tensin de uencia uniaxial es y = 240MPa determinar los coecientes de se-guridad que resultan de aplicar los criterios de Tresca y de von Mises. Gracar la tensin

sobre el plano desviador incluyendo las supercies de uencia correspondientes.

Para utilizar Tresca hay que determinar tensiones principales. Pueden utilizarse en

forma indistinta los valores principales de o S ya que la presin media no tiene inuenciaen estos criterios (i = Si + p). Los invariantes en cada caso son:

I1 = 200.4 I2 = 12070 I3 = 207351

1

J1 = 0.0 J2 = 1317 J3 = 2767Recordando las expresiones para I y III

I =I13

+

3

2 sin

(2pi

3+

)III =

I13

+

3

2 sin

(4pi

3+

)Para utilizar el criterio de Tresca slo necesitamos la diferencia

I III = 23[sin

(2pi

3+

) sin

(4pi

3+

)]

donde

sin(

2pi

3+

) sin

(4pi

3+

)= sin

(2pi

3

)cos+ sin () cos

(2pi

3

) sin

(4pi

3

)cos sin () cos

(4pi

3

)= 2 cos sin

(2pi

3

)=

3 cos

llevando a la anterior resulta

I III = 2 cos = SI SIIIPor otro lado los valores de y necesarios para esta expresin son

=

1

3(I21 3I2) =

J2 = 36.3

notar aqu que esto es todo lo que se necesita para von Mises

(e =

3J2)

= I1I2 29I31 3I3 = 3J3 = 8309

=1

3sin1

(3

2

3

)= 2.88o

I = 102 II = 68.9 III = 29.5

SI = 35.2 SII = 2.1 SIII = 37.3

Tresca =y

I III =240

102 29.5 = 3.31 vonMises =y3

=240

62.9= 3.81

2

sIII

R= 3/2

sI sII

y

(35.2 2.1 -37.3)

=30

= 30

En la gura se ha gracado el plano desviador. Las coordenadas (proyeccin sobre cada

eje) se obtienen trazando por el punto la normal al eje cuya proyeccin se busca. La suma

de las proyecciones de cualquier punto es 0. Al tener las tensiones principales ordenadas

el anlisis se reduce a la parte sombreada, limitada por el eje SI positivo (correspondienteal caso = 30o) y el eje SIII negativo (correspondiente al caso = +30o). El radiosobre el que se indican los tres puntos indica la trayectoria sobre el plano desviador del

estado tensional desde el comienzo de aplicacin de las cargas (origen) hasta el estado

actual y los puntos donde el material entrara en uencia segn los criterios considerados

Ejercicio 3

Se realiza un ensayo triaxial sobre una probeta cilndrica de 35 mm de dimetro (d) y70mm de altura. Para la compresin istropa se utilizan dos presiones de connamiento

p1 = 1kg/cm2y p2 = 2kg/cm

2.. Los esfuerzos desviadores que producen la falla son

respectivamente R1 = 20kg y R2 = 32kg. Determinar los parmetros de resistencia delsuelo c y usando el criterio de Mohr-Coulomb.

El rea transversal de la probeta es A = pi4d2 = 9.62cm2. Para cada presin deconnamiento se obtienen las siguientes tensiones principales (los suprandices indican el

ensayo correspondiente)

1I = 1II = 1kg/cm2 1III = 1

20

9.62= 3.08kg/cm2

2I = 2II = 2kg/cm2 2III = 2

32

9.62= 5.32kg/cm2

La expresin de Mohr-Coulomb (cuando las tensiones principales estn ordenadas)

resulta para las dos presiones consideradas

1III =1 + sin

1 sin1I

2 cos

1 sinc

2III =1 + sin

1 sin2I

2 cos

1 sinc

3

Restando miembro a miembro

1III 2III =1 + sin

1 sin(1I 2I

)1III 2III1I 2I

=1 + sin

1 sinllamando r al cociente en el primer miembro

r =1III 2III1I 2I

=3.08 + 5.321 + 2 = 2.24

r (1 sin) = 1 + sinr 1 = sin (1 + r)r 11 + r

= sin = 0.383

de donde = 22.5o que llevado a alguna de las 2 ecuaciones iniciales permite obtener lacohesin c

c =

(1III +

1 + sin

1 sin1I

)1 sin2 cos

= 0.28kg/cm2

4