conservación de la cantidad de movimiento problemas.pdf

Universidad Nacional Experimental del Tchira

Departamento de Ingeniera Mecnica

Ncleo de Termofluidos

1.1 Problema de conservacin de la cantidad de

El mvil que se muestra en la figura tiene adjunto un labe que desva un chorro de agua en

un ngulo de 60. El chorro de agua sale de una tobera con una velocidad de

transversal de 5cm2, considere que el contacto con el labe es tan poc

fuerza de roce con su superficie, de forma tal que el chorro sale con la misma velocidad y rea,

pero deflectado el ngulo del labe. Determine la fuerza F de sujecin necesaria para que el carro

este detenido. Considere que el

Universidad Nacional Experimental del Tchira

Departamento de Ingeniera Mecnica

Asignatura: Mecnica de fluidos

Cdigo: 0624604T

Profesor: Ing. Fernando Gonzlez

conservacin de la cantidad de movimiento


un ngulo de 60. El chorro de agua sale de una tobera con una velocidad de

, considere que el contacto con el labe es tan poco que se puede despreciar la



este detenido. Considere que el fluido es agua con densidad de 1000kg/m3.

Figura P 1.1

Mecnica de fluidos

0624604T

Ing. Fernando Gonzlez

movimiento


un ngulo de 60. El chorro de agua sale de una tobera con una velocidad de 25m/s y con rea

o que se puede despreciar la



Solucin

El fluido ejercer una fuerza horizontal y vertical sobre el carro, sin embargo como la fuerza

que nos solicitar encontrar se halla en el eje

la cantidad de movimiento en el eje horizontal

x s BF F F udV u V dA

La seleccin del volumen de control es mostrado en la figura adjunta.

volumen de control se hizo de forma tal que las superficies de control de entrada (1) y salida (2)

estn perpendiculares al flujo.

Figura: Seleccin del volumen de

En el eje de estudio no

la fuerza que le hace el mvil al fluido (VC) ser:

x M FF F udV u V dA u V dA= = + +

Observe que el volumen de control no cambia con el tiempo, por lo que la primera integral

es nula, aplicando la ecuacin se tiene:


que nos solicitar encontrar se halla en el eje x, se procede a aplicar la ecuacin de

la cantidad de movimiento en el eje horizontal:

x xx s BVC SC

dF F F udV u V dAdt

= + = +

i

seleccin del volumen de control es mostrado en la figura adjunta.

de forma tal que las superficies de control de entrada (1) y salida (2)

estn perpendiculares al flujo.

Figura: Seleccin del volumen de control del problema planteado.

En el eje de estudio no existen fuerzas volumtricas de forma tal que la ecuacin que calcula

la fuerza que le hace el mvil al fluido (VC) ser:

/1 2

x M FVC SC SC

dF F udV u V dA u V dAdt

= = + +

i i


es nula, aplicando la ecuacin se tiene:

0VC

dudV

dt =

( )1 11SC

u V dA V V A =

i

2


ecuacin de conservacin de

(1.1)

seleccin del volumen de control es mostrado en la figura adjunta. La seleccin del

de forma tal que las superficies de control de entrada (1) y salida (2)

control del problema planteado.

fuerzas volumtricas de forma tal que la ecuacin que calcula

F F udV u V dA u V dA

i i (1.2)


(1.3)

(1.4)

3

( )2 22

cosSC

u V dA V V A =

i (1.5)

Recordando que las velocidades 1 2V V V= = , se tiene que la ecuacin (1.2) puede ser

expresada como:

( ) ( )/ cosx M FF F V V A V V A = = + (1.6) ( )2/ cos 1x M FF F V A = = (1.7) Ahora por accin y reaccin, se tiene que la fuerza que le hace el mvil al fluido es igual en

magnitud y direccin, pero sentido contrario a la fuerza que el fluido le hace al mvil, es decir:

/ /F M M FF F= (1.8)

( )2/ cos 1F MF V A = (1.9) Ahora haciendo balance de fuerzas horizontales sobre el mvil sabiendo que no existe

aceleracin, se tiene que:

/ 0F MF F = (1.10)

( )2/ cos 1F MF F V A = = (1.11) Sustituyendo los valores respectivos se tiene:

156.25F N= (1.12)

4

1.2 Problema de conservacin de la cantidad de movimiento

Desde una tobera sale un fluido con velocidad V que choca contra una placa estacionaria,

inclinada y lisa. Si se considera que el tamao de la placa es tal que permite que la velocidad del

fluido no se vea afecta, determine la divisin de caudales (Relacin de caudales) y la fuerza normal

ejercida sobre la placa, despreciando las prdidas por rozamiento debidas al impacto. (Sugerencia:

Analice la conveniencia de emplear el sistema coordenado presente en la figura)

Figura P 1.2

Solucin

Debido a que no existe fuerzas debido a la friccin, la nica fuerza presente es normal a la

placa, la principal ventaja del sistema de coordenadas (N: Normal, T: Tangente) es que ubica la

fuerza en uno de los ejes, por tanto no debera generarse un sistema de ecuaciones por las

componentes de la fuerza, caso que ocurrira si se trabaja con el sistema de coordenadas

tradicional. El volumen de control tomado es presentado en la figura adjunta.


5

Las formulas necesarias para resolver este problema son la de conservacin de la masa y la

de cantidad de movimiento:

0VC SC

d dV V dAdt

= +

i (1.13)

s BVC SC

dF F F VdV V V dAdt

= + = +

i (1.14)

Aplicando la ecuacin de cantidad de movimiento al volumen de control seleccionado se

tiene:

VC SC

0 dV V dAt

= +

i (1.1)

SC1 SC 2 SC3

V dA V dA V dA 0 + + =

i i i (1.2)

1 2VA VA VA 0 + = (1.3)

1 2Q Q Q 0+ = (1.4)

Aplicando ahora la ecuacin de la cantidad de movimiento en el eje tangente a la placa se

tendr:

T T TVC SC

dF 0 u dV u V dAdt

= = +

i (1.5)

Como el flujo es estacionario los trminos que varan con el tiempo son cero y como se esta

estudiando el eje tangente no existe fuerza presente en ese eje, por tanto:

T T TSC1 SC 2 SC3

u V dA u V dA u V dA 0 + + =

i i i (1.6)

1 2VQ VQ V cos Q 0 = (1.7)

Con la ecuacin (1.4) y (1.7) se puede obtener el valor de los caudales que circulan por la

salida de cada una de las placas, siendo:

( )2 2V Q Q VQ V cos Q 0 = (1.8)

Para la determinacin de la fuerza normal se aplica otra vez la ecuacin de cantidad de

movimiento en el eje respectivo:

Observe que las otras superficies de control no son tomadas en cuenta debido a que no

existe componente de la velocidad en el eje de estudio.


Agua circula por un accesorio que desva el flujo en un ngulo de 180, el dimetro de la

tubera es de 2 y la longitud total de la tubera es de

y sale con una cada de presin de 30kPa.

despreciar el peso del accesorio

dispositivo. Nota: Recuerde que 1 es igual a 2.54cm

Solucin:

Para este problema se aplicar la ecuacin de la cantidad de movimiento en el eje

( )2 1Q Q 1 cos2 =

( )1 1Q Q 1 cos2 = +


movimiento en el eje respectivo:

N TSC1

F u V dA=

i

NF V sin Q=


existe componente de la velocidad en el eje de estudio.


ula por un accesorio que desva el flujo en un ngulo de 180, el dimetro de la

tubera es de 2 y la longitud total de la tubera es de 50. El agua ingresa a una presin de 150kPa

y sale con una cada de presin de 30kPa. Si la velocidad del agua es de

el peso del accesorio, determine las reacciones que tendra el apoyo que sujeta al

Nota: Recuerde que 1 es igual a 2.54cm

Figura P 1.5

Para este problema se aplicar la ecuacin de la cantidad de movimiento en el eje

6

(1.9)

(1.10)


(1.11)

(1.12)



ula por un accesorio que desva el flujo en un ngulo de 180, el dimetro de la

0. El agua ingresa a una presin de 150kPa

Si la velocidad del agua es de 5m/s y se puede

s reacciones que tendra el apoyo que sujeta al

Para este problema se aplicar la ecuacin de la cantidad de movimiento en el eje x:

x s BF F F udV u V dA

Para ello el volumen de control se toma tal como se indica en la figura adjunta:


Lo primero que se puede calcular es la fuerza de sujecin en el eje y, suponindola que

dirigida en el sentido positivo del eje se tendr por sumatoria de fuerza:

Sustituyendo los valores en SI se tendr:

Ahora, en el eje x se aplica la ecuacin

(/ 1 1 2 2c f BF P A P A F u V dA u V dA + + = +

En este caso no existen fuerzas volumtricas en el eje

queda definida como:

x xx s BVC SC

dF F F udV u V dAdt

= + = +

i



Lo primero que se puede calcular es la fuerza de sujecin en el eje y, suponindola que

dirigida en el sentido positivo del eje se tendr por sumatoria de fuerza:

0ysuj fF W =

ysuj fF W=

2

4ysujF D L gpi =

Sustituyendo los valores en SI se tendr:

25.25ysujF N=

se aplica la ecuacin (1.13) obtenindose:

x xs BVC SC

dF F udV u V dAdt

+ = +

i

)/ 1 1 2 21 2

xc f BSC SC

F P A P A F u V dA u V dA + + = +

i i

En este caso no existen fuerzas volumtricas en el eje x, por lo tanto la ecuacin

7

(1.13)



Lo primero que se puede calcular es la fuerza de sujecin en el eje y, suponindola que est

(1.14)

(1.15)

(1.16)

(1.17)

(1.18)

F P A P A F u V dA u V dA

i i (1.19)

, por lo tanto la ecuacin (1.19)

Por lo tanto:

Ahora por accin y reaccin, la fuerza de sujecin es la misma que la que hace el codo al

fluido, es decir:

Sustituyendo los valores indicados se tendr:


Considere la siguiente situacin, un fluido incompresible sale de una tobera de rea

una velocidad V constante, e impacta con labe curvo que desva al chorro tal como se observa en

la figura. Una parte del flujo sale por un orificio central de rea

salir por la parte superior e inferior. El labe se mueve hacia la dere

Despreciando el efecto de la friccin (es decir, el fluido es descargado con la misma velocidad con

la cual ingresa al labe en todas las superficies de control), determine una expresin para calcular

el rea de salida A3, y determine qu fuerza debe aplicarse sobre el labe (modulo, direccin y

sentido) para que se mueva tal como lo describe el problema.

( ) 2 2/ 1 1 2 2c fF P A P A V A V A + = +

( )2/ 1 22c fF V P P A = + + y reaccin, la fuerza de sujecin es la misma que la que hace el codo al

( )2/ 1 22xsuj c fF F V P P A = = + + Sustituyendo los valores indicados se tendr:

/ 648.59xsuj c fF F N= =


Considere la siguiente situacin, un fluido incompresible sale de una tobera de rea

constante, e impacta con labe curvo que desva al chorro tal como se observa en

la figura. Una parte del flujo sale por un orificio central de rea A2, el resto es desviado 180 para

salir por la parte superior e inferior. El labe se mueve hacia la derecha con una velocidad Va.



determine qu fuerza debe aplicarse sobre el labe (modulo, direccin y

sentido) para que se mueva tal como lo describe el problema.

Figura P 1.4

8

(1.20)

(1.21)

y reaccin, la fuerza de sujecin es la misma que la que hace el codo al

(1.22)

(1.23)


Considere la siguiente situacin, un fluido incompresible sale de una tobera de rea A1 con

constante, e impacta con labe curvo que desva al chorro tal como se observa en

, el resto es desviado 180 para

cha con una velocidad Va.



determine qu fuerza debe aplicarse sobre el labe (modulo, direccin y

Solucin:

En este caso se aplica

movimiento en el eje x, para el volumen de control indicado en la figura adjunta

x s B rel rel relF F F u dV u V dA= + = +

Figura: Seleccin del volumen de control del problema pla

La velocidad relativa del fluido al volumen de control es definida como:

Aplicando la ecuacin de la conservacin de la masa, teniendo en cuenta que no existe

cambio de masa dentro del volumen de control:

1 2 3 4

0SC SC SC SC

= + + +

Al despejar el rea A3 se obtiene:

La fuerza de sujecin se obtiene al aplicar la ecuacin de la cantidad de movimiento:

En este caso se aplica la ecuacin de la conservacin de la masa y la de

para el volumen de control indicado en la figura adjunta

0rel

VC SC

dV V dAt

= +

i

x xx s B rel rel relVC SC

dF F F u dV u V dAdt

= + = +

i



rel aV V V=


cambio de masa dentro del volumen de control:

1 2 3 4rel rel rel rel

SC SC SC SC

V dA V dA V dA V dA= + + +

i i i i

1 2 3 30 rel rel rel relV A V A V A V A= + + +

se obtiene:

1 23 2

A AA =


9

conservacin de la masa y la de cantidad de

para el volumen de control indicado en la figura adjunta:

(1.24)

F F F u dV u V dA

i (1.25)

nteado.


(1.26)


(1.27)

(1.28)

(1.29)


/1 2 3 4

a f rel rel rel rel rel rel rel relSC SC SC SC

F u V dA u V dA u V dA u V dA = + + +

Resolviendo la ecuacin anterior se tiene:

/ 1 2 3 3a f rel rel rel relF V A V A V A V A

Por accin y reaccin, la fuerza de sujecin es igual en modulo, direccin y sentido a la

fuerza que ejerce el labe sobre el fluido, por lo tanto:

F F V V A A A

Como el rea A2 es menor que

y sentido negativo.

1.5 Problema de conservacin de

Por una tubera de dimetro

boquilla en forma de un cuarto de disco, tal como se ve en la figura

salida e=0.5cm y posee un radio

debe aplicarse al dispositivo para mantenerlo estacionario.

considere la densidad del agua como

1 2 3 4a f rel rel rel rel rel rel rel rel

SC SC SC SC

F u V dA u V dA u V dA u V dA = + + +

i i i i


2 2 2 2/ 1 2 3 3a f rel rel rel relF V A V A V A V A = +

( )2/ 2 1 32a f relF V A A A= Por accin y reaccin, la fuerza de sujecin es igual en modulo, direccin y sentido a la

fuerza que ejerce el labe sobre el fluido, por lo tanto:

( ) ( )2/ 2 1 32suj a f aF F V V A A A= = es menor que A1 la fuerza ser negativa, es decir, tiene direccin en el eje


Por una tubera de dimetro D=5cm circula agua a razn de 5 litros/s. El agua sale por una

forma de un cuarto de disco, tal como se ve en la figura. El disco

y posee un radio R=10cm. Determine, en forma vectorial, la fuerza de sujecin que

debe aplicarse al dispositivo para mantenerlo estacionario. Desprecie el peso de la boquilla y

considere la densidad del agua como =1000kg/m3.

Figura P 1.5

10

a f rel rel rel rel rel rel rel relF u V dA u V dA u V dA u V dA

i i i i (1.30)

(1.31)

(1.32)

Por accin y reaccin, la fuerza de sujecin es igual en modulo, direccin y sentido a la

(1.33)

la fuerza ser negativa, es decir, tiene direccin en el eje x

la cantidad de movimiento

circula agua a razn de 5 litros/s. El agua sale por una

l disco tiene un espesor de

Determine, en forma vectorial, la fuerza de sujecin que

Desprecie el peso de la boquilla y

Solucin:

En este problema lo primero

y la velocidad de salida, para ello se emplea inicialmente la definicin de caudal:

Por lo tanto la velocidad de entrada por lo tanto queda definida como:

Al sustituirse los valores se obtiene:

La velocidad de salida se obtiene de la misma forma, solo debe tener en cuenta que el area

de salida esta definida como:

Ahora se puede aplicar la ecuacin de conservacin de la masa

F F F VdV VV dA

En este problema lo primero que se debe determinarse es la velocidad de ingreso del fluido


Q VA=

Por lo tanto la velocidad de entrada por lo tanto queda definida como:

24

e

QVDpi

=

Al sustituirse los valores se obtiene:

2.55 /eV m s=


de salida esta definida como:

2sA R epi=

2s

QVR epi

=

6.37 /sV m s=

Ahora se puede aplicar la ecuacin de conservacin de la masa:

s BVC SC

dF F F VdV VV dAdt

= + = +

i

Figura: Vista superior de la boquilla.

11

que se debe determinarse es la velocidad de ingreso del fluido


(1.34)

(1.35)

(1.36)


(1.37)

(1.38)

(1.39)

(1.40)

12

Aplicando la ecuacin (1.40) al agua contenida en la boquilla (VC) y recordando que no

existe variacin de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo, se tiene las siguientes

ecuaciones para cada uno de los ejes:

Eje x:

/B F

s

x x

SC

F V V dA=

i (1.41)

En este caso la componente de la velocidad en el eje x (Ver figura de planta de la boquilla)

es definida como:

cosx sV V = (1.42)

/

/4

/4

cosB Fx s s

F V V eRdpi

pi

= (1.43)

/

28.66B Fx

F N= (1.44)

Eje y:

La componente de la velocidad en este eje es definida como:

siny sV V = (1.45)

/B F

s

y ySC

F V V dA=

i (1.46)

/

/4

/4

sinB Fy s s

F V V eRdpi

pi

= (1.47)

/

0B Fy

F N= (1.48)

Eje z:

/B F

e

z ZSC

F V V dA=

i (1.49)

/B Fz e

F V Q= (1.50)

Aplicando la tercera Ley de Newton, se tiene que la fuerza de sujecin es:


Una boquilla especial se construye a partir de una tubera de dimetro D=10cm y de

longitud L=50cm, la tubera se sella por el extremo derecho y el fluido es obligado a salir por una

ranura de espesor e=15mm.

presin PI= 20kPa (manomtrico). El fluido sale por la ranura con un perfil lineal tal como se

muestra en la figura, la velocidad

con densidad de 1000kg/m3, determine: La velocidad de ingreso del agua a la boquilla y la fuerza

de sujecin necesaria para mantener la boquilla en su sitio, desprecie el peso del agua contenido

en la boquilla y el peso del dispositi

Solucin

Las ecuaciones de conservacin de la masa y de cantidad de movimiento sern empleadas

en este problema:

/12.73

B FzF N=

ra Ley de Newton, se tiene que la fuerza de sujecin es:

( ) 28.66 0 12.73sujF i j k N= + +

Problema de conservacin de la cantidad de movimiento


, la tubera se sella por el extremo derecho y el fluido es obligado a salir por una

Considere que el fluido ingresa con una velocidad uniforme

(manomtrico). El fluido sale por la ranura con un perfil lineal tal como se

muestra en la figura, la velocidad V1= 12m/s y V2=5m/s. Tomando en cuenta

, determine: La velocidad de ingreso del agua a la boquilla y la fuerza


en la boquilla y el peso del dispositivo.

Figura P 1.6


0VC SC

dV V dAt

= +

i

13

(1.51)

ra Ley de Newton, se tiene que la fuerza de sujecin es:

(1.52)

Problema de conservacin de la cantidad de movimiento


, la tubera se sella por el extremo derecho y el fluido es obligado a salir por una

Considere que el fluido ingresa con una velocidad uniforme VI y una

(manomtrico). El fluido sale por la ranura con un perfil lineal tal como se

que el fluido es agua

, determine: La velocidad de ingreso del agua a la boquilla y la fuerza



(1.53)

F F F VdV VV dA

La seleccin del volumen de control es mostrado en la figura adjunta

existen dos superficies de control, la de entrada (I) y la salida por la ranura (II)

entrada esta presenta la fuerza d

derecha en SCI.


El perfil de velocidad puede ser expresado como:

Esta ltima ecuacin se obtiene a partir de la ecuacin de la lnea recta. Ahora, aplicando l

ecuacin de conservacin de la masa se tiene:

Despejando la velocidad de ingreso se tendr:

Sustituyendo los valores respectivos se obtiene la velocidad de ing

dispositivo:

s BVC SC

dF F F VdV VV dAdt

= + = +

i

La seleccin del volumen de control es mostrado en la figura adjunta, se puede ver que solo

existen dos superficies de control, la de entrada (I) y la salida por la ranura (II)

entrada esta presenta la fuerza de la presin como una fuerza superficial que apuntara hacia la


El perfil de velocidad puede ser expresado como:

( )2 11( )II

V VV x x V

L

= +

Esta ltima ecuacin se obtiene a partir de la ecuacin de la lnea recta. Ahora, aplicando l

ecuacin de conservacin de la masa se tiene:

0I IISC SC

V dA V dA = +

i i

( )2 11

0

0L

I I

V VV A x V e dx

L

+ + =

Despejando la velocidad de ingreso se tendr:

( )2 112

0

4 LI

V VV x V e dx

D Lpi

= +

Sustituyendo los valores respectivos se obtiene la velocidad de ing

14

(1.54)

, se puede ver que solo

existen dos superficies de control, la de entrada (I) y la salida por la ranura (II). En la superficie de

e la presin como una fuerza superficial que apuntara hacia la


(1.55)

Esta ltima ecuacin se obtiene a partir de la ecuacin de la lnea recta. Ahora, aplicando la

(1.56)

(1.57)

(1.58)

Sustituyendo los valores respectivos se obtiene la velocidad de ingreso del agua al

15

8.117 /IV m s= (1.59)

Ahora aplicando la ecuacin de cantidad de movimiento en cada uno de los ejes:

Eje x:

x sx BxVC SCI SCII

dF F F uVdV uV dA uV dAdt

= + = + +

i i (1.60)

/ xD F I I ISCI

F P A V V dA+ =

i (1.61)

2

/ xD F I I I IF P A V A= (1.62)

( )2 2/ 4xD F I IF P V Dpi= (1.63)

/ 674.53xD FF N= (1.64)

De esta forma se calcula la fuerza que ejerce el dispositivo sobre el fluido (Volumen de

control) en la direccin x.

De la misma forma se calcula la fuerza en el eje y:

Eje x:

y sy ByVC SCI SCII

dF F F vVdV vV dA vV dAdt

= + = + +

i i (1.65)

/ yD F IISCII

F V V dA=

i (1.66)

( ) 22 1

/ 10

y

L

D F

V VF x V e dx

L = +

(1.67)

/ 572.5yD FF N= (1.68)

Ahora aplicando la tercera ley de newton se obtiene la fuerza de sujecin del dispositivo:

( ) 673.53 572.5sujF i j N= (1.69)

16


Mecnica de fluidos (5 Ed. Fox Mc Donalds)

Un cohete es lanzado horizontalmente hacia la derecha desde un avin en vuelo, la

velocidad inicial del cohete es de 300m/s. Los gases producto de la combustin que aceleran al

cohete salen por una tobera a la atmosfera con una velocidad relativa al cohete de 3000m/s.

Despreciando la resistencia del aire y el descenso del cohete debido a los efectos gravitatorios,

determine:

a. Una expresin matemtica para poder determinar la velocidad horizontal del cohete en

cualquier instante de tiempo.

b. La fraccin de combustible consumido para que el cohete alcance una velocidad de 1.8km/s.

Figura P 1.7

Solucin:

Aplicando la ecuacin de continuidad se tiene:

VC SC

0 dV V dAt

= +

i (1.70)

Para poder aplicar esta ecuacin se empleara un volumen de control que toma la parte

interna del cohete, por tanto la nica superficie de control ser la descarga de la tobera, se

considerar que el flujo de los gases de combustin tiene una tasa de descarga constante, en

funcin de ello, la ecuacin anterior se transforma en:

VCdM

m 0dt

+ = (1.71)

VCdM

mdt

= (1.72)

El signo negativo es lgico ya que la masa dentro del volumen de control debe disminuir con

el tiempo, para resolver esta ecuacin diferencial se debe integrar entre los lmites apropiados:

17

o

M t

VCM 0

dM mdt= (1.73)

o

M M mt= (1.74)

Esta expresin determina la masa presente en el volumen de control bajo las

consideraciones realizadas. Aplicando la ecuacin de la continuidad sobre el cohete, tomando en

cuenta que no existe fuerzas de rozamiento o arrastre y que en el eje estudiado no existen fuerzas

volumtricas, se tendr:

X x xVC VC SC

da dV u dV u V dA

dt = +

i (1.75)

El termino del cambio de la cantidad de movimiento del volumen de control con respecto al

tiempo se puede despreciar debido a que la mayor cantidad de masa (Combustible no quemado)

se mueve a la misma velocidad que el volumen de control, por tanto no existe cambios de la

cantidad de movimiento respecto al mismo. Por lo tanto la ecuacin puede escribirse como:

X xVC SC

a dV u V dA =

i (1.76)

VC VC gasdU M u m

dt = (1.77)

( )VC o gasdU M mt u mdt = (1.78)

( )VC

gaso

dU mu

dt M mt=

(1.79)

( )VC gas omdU u dt

M mt=

(1.80)

Esta ecuacin diferencial se puede resolver con un cambio de variable, obtenindose:

( )0

U t

VC gasoU 0

mdU u dtM mt

=

(1.81)

o0 gaso

M mtU U u lnM

=

(1.82)

18

o0 gaso

M mtU U u lnM

=

(1.83)

Esta es la expresin para determinar la velocidad del cohete en cualquier instante de tiempo

t. De esta misma ecuacin se puede determinar la fraccin de combustible de combustible

consumido para alcanzar una velocidad determinada, para ello se debe despejar dicha fraccin:

0

gas

U Uu

o

mt1 eM

=

(1.84)

0

gas

U Uu

o

mt 1 eM

=

(1.85)

Sustituyendo los valores que da el problema, se tiene que la fraccin de combustible

consumido para alcanzar una velocidad de 1.8km/s ser:

o

mt 0.393M

=

(1.86)


Mecnica de fluidos (5 Ed. Fox Mc Donalds)

El tanque mostrado en la figura rueda sobre una pista horizontal cuya resistencia se puede

despreciar. El tanque es acelerado desde el reposo mediante el impulso generado por un chorro

de velocidad constante que incide sobre un labe que tiene provisto el tanque, el fluido del chorro

luego de incidir en labe cae dentro del tanque. Suponiendo que el rea del chorro es igual al rea

de salida de la tobera (A), Determine:

a. Una expresin matemtica para poder determinar la masa de lquido presente en el

tanque en funcin de la velocidad del mismo.

b. Una expresin para determinar la velocidad del tanque en funcin del tiempo.

19

Figura P 1.6

Solucin:

Aplicando la ecuacin de continuidad se tiene:

VC SC

0 dV V dAt

= +

i (1.87)

En este caso el volumen de control es la parte interna del carro, por tanto el flujo

proveniente de la tobera ingresa al volumen de control con una velocidad relativa a este de V-U,

por tanto la ecuacin resultante ser:

( )VCdM V U A 0dt

= (1.88)

( )VCdM V U Adt

= (1.89)

Esta ltima expresin constituye la ecuacin diferencial que determina como cambia la

masa del volumen de control con respecto al tiempo, sin embargo su solucin no es tan trivial

debido a que la velocidad U del carro tambin es funcin del tiempo. Aplicando la ecuacin de

cantidad de movimiento se tendr:

X x xVC VC SC

da dV u dV u V dA

dt = +

i (1.90)

El trmino del cambio de la cantidad de movimiento del volumen de control con respecto al

tiempo se puede despreciar debido a que la mayor cantidad de masa (fluido almacenado dentro

del tanque) se mueve a la misma velocidad que el volumen de control. Por lo tanto la ecuacin

puede escribirse como:

X xVC SC

a dV u V dA =

i (1.91)

20

( )2VC VCdU M V U Adt = (1.92)

( )2VC VCdU M V U Adt = (1.93)

Ordenando un poco la ltima ecuacin se tiene e igualando dicha ecuacin con (1.12) se

tiene:

( ) ( )VC

VCdM1 dU M V U A

V U dt dt= =

(1.94)

( ) VCVC1 1dU dM

V U M=

(1.95)

Resolviendo las ecuaciones se tendr:

( )0

U M

VCVC0 M

1 1dU dMV U M

=

(1.96)

0

V Mln lnV U M

=

(1.97)

0VM M

V U

=

(1.98)

Siendo esta ltima expresin la que permite determinar la masa del fluido presente en el

tanque en funcin de la velocidad del mismo. Esta expresin es sustituida en la ecuacin (1.93)

obtenindose:

( )2VC 0dU VM V U Adt V U

=

(1.99)

( ) VC3 01 AdU dt

M VV U

=

(1.100)

Puede observarse como ahora s se puede resolver esta ecuacin diferencial aplicando los

lmites adecuados:

21

( )U t

VC300 0

1 AdU dtM VV U

=

(1.101)

( )2 2 01 1 1 A

t2 V M VV U

=

(1.102)

Despejando se obtiene la expresin para calcular la velocidad del tanque en funcin del

tiempo:

1/ 2

0

1U V 1VA1 2 t

M

= +

(1.103)


Un cohete de masa 100kg parte del reposo y es lanzado verticalmente hacia arriba, el

mismo es propulsado por los gases productos de la combustin que son acelerados por una

tobera, dichos gases salen con una velocidad de 2000m/s respecto al cohete y a razn de un flujo

msico aproximado de 5kg/s constante. En funcin de estos datos, determine:

a. El tiempo necesario para que el cohete haya disminuido su masa en un 50%.

b. La Velocidad que tendr el cohete para ese instante.

c. La aceleracin del mismo para ese tiempo.

Considere la aceleracin de gravedad como g=9.81 m/s2 y desprecie la variacin de la

cantidad de movimiento con respecto al tiempo para el cohete, as como la fuerza de rozamiento

del aire.

22

Figura P 1.8

Solucin:

Dos ecuaciones son fundamentales para resolver este problema, la ecuacin de

conservacin de la masa y la de cantidad de movimiento para un sistema no inercial:

VC SC

0 dV V dAt

= +

i (1.104)

sy By y y yVC VC SC

dF F a dV v dV v V dAdt

+ = +

i (1.105)

La primera ecuacin a aplicar ser la de continuidad o conservacin de la masa:

VC SC

0 dV V dAt

= +

i (1.106)

En este caso el volumen de control se aplica al cohete con lo cual la nica superficie de

control estar en la salida de la tobera:

VC edM

m 0dt

+ = (1.107)

VC edM

mdt

= (1.108)

Separando las variables e integrando se tendr:

o

M t

VC eM 0

dM m dt= (1.109)

( ) o eM t M m t= (1.110)

23

Los datos para poder evaluar la ecuacin (1.110) sern:

0 100

5 /e

M kgm kg s

=

= (1.111)

Aplicando ahora la ecuacin de la cantidad de movimiento se tendr:

sy By y y y

VC VC SC

dF F a dV v dV v V dAdt

+ = +

i (1.112)

En este caso no existen fuerzas superficiales (roce despreciable) y la variacin de la cantidad

de movimiento del cohete con respecto al tiempo se puede despreciar, en este caso si existe

fuerza de cuerpo ya que la gravedad acta sobre el cohete:

By y yVC SC

F a dV v V dA =

i (1.113)

e e

M( t )g a( t )M( t ) V m = (1.114)

e eV m

a( t ) gM ( t )=

(1.115)

Sustituyendo la ecuacin (1.110) en (1.115) se obtiene la ecuacin para determinar la

aceleracin del cohete:

e e

0 e

V ma( t ) g

M m t=

(1.116)

Los datos en este caso son:

2000 /eV m s= (1.117)

La ecuacin (1.116) puede ser escrita como:

e e

0 e

V mdV gdt M m t

=

(1.118)

e e

0 e

V mdV g dtM m t

=

(1.119)


24

V ( t ) te e

0 e0 0

V mdV g dtM m t

=

(1.120)

0

0

( ) lnee

MV t V g tM m t

=

(1.121)

Esta ltima ecuacin permite determinar la velocidad del cohete mientras este siendo

propulsado. Ahora el problema especifica que el instante de estudio es cuando la masa del cohete

ha disminuido en un 50%, es decir:

0( ) 0.5M t M= (1.122)

Sustituyendo en (1.110) se tiene que el tiempo es:

( )0 00.5

e

M Mt

m

=

(1.123)

Sustituyendo los valores respectivos se tendr:

10t s= (1.124)

Con este valor se puede obtener la aceleracin del cohete (1.116) y la velocidad (1.121):

2( ) 190.19 /( ) 1288.19 /

a t m s

V t m s=

=

(1.125)


Un mvil de masa M=10kg se desplaza hacia la derecha con una velocidad inicial de

U0=10m/s, cuando es impactado por dos chorros de agua que salen cada uno por una boquilla de

rea A=0.5cm2 con una velocidad constante de V=45m/s, tal como se muestra en la figura.

Determine la velocidad del mvil y la aceleracin para un tiempo t=1.5s. Desprecie el efecto de la

fuerza de roce.

Solucin:

En este caso se debe aplicar la ecuacin de cantidad de movimiento para un

inercial:

sx Bx x x xF F a dV u dV u V dA+ = +

En la figura adjunta se muestra el volumen de control seleccionado. Observe que el flujo

solo tiene componente de velocidad en el eje x en las superficies de control

Aplicando la ecuacin se tendr:

= +

(xa M V U V U A V U V U A = + + +

Figura P 1.9

En este caso se debe aplicar la ecuacin de cantidad de movimiento para un

sx Bx x x xVC VC SC

dF F a dV u dV u V dAdt

+ = +

i


solo tiene componente de velocidad en el eje x en las superficies de control sc

Figura: Seleccin del volumen de control

Aplicando la ecuacin se tendr:

1 2

x x x

VC SC SC

a dV u V dA u V dA = +

i i

) [ ] ( ) [( ) ( )a M V U V U A V U V U A = + + +

( ) ( )2 2x Aa V U V U M = +

25

En este caso se debe aplicar la ecuacin de cantidad de movimiento para un sistema no

(1.126)


sc1 y sc2.

(1.127)

]( ) ( )a M V U V U A V U V U A (1.128)

(1.129)

26

4xA

a VUM

= (1.130)

Con la expresin anterior se puede obtener la aceleracin del mvil, sin embargo, se debe

conocer primero la velocidad del cuerpo en funcin del tiempo, para ello se procede de la

siguiente forma:

x

dUa

dt= (1.131)

4dU AVUdt M

= (1.132)

4dU AV dtU M

= (1.133)

0 0

4U t

U

dU AV dtU M

= (1.134)

0

ln 4U AV tU M

=

(1.135)

4

0

AV tMU U e

= (1.136)

Sustituyendo (1.136) en (1.130) se tiene:

4

04AV tM

x

Aa V U e

M

=

(1.137)

Sustituyendo los valores respectivos del problema y evaluando las ecuaciones (1.136) y

(1.137) se obtiene:

(1.5 )

2(1.5 )

2.59 /

2.33 /s

s

U m s

a m s

=

=

(1.138)

Observe que el efecto de los chorros es detener al mvil.

conservación de la cantidad de movimiento problemas.pdf

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