Consejos para resolver Sudokus (1)Esta tarde me hicieron una micro-entrevista en laCadena SER sobre lo que llaman el fenmeno Sudoku. Al parecer hay mucha gente impresionada con que el Sudoku sea un pasatiempo tan popular. La entrevista fueron menos de cinco minutos as que tampoco dio tiempo a explicar gran cosa, de modo que aprovecho aqu para ampliar lo mismo que coment en la radio y ya de paso arrancar una mini-serie que tena pendiente, explicando algunos de los trucos sobre cmo resolver Sudokus.

Popularidad del SudokuSobre si realmente el Sudoku se est volviendo popular, que es una de las cosas que me preguntaron, creo que est claro que s: a los pocos meses de haberse dado a conocer ya est en todos los diarios junto a los crucigramas o los problemas de ajedrez. Ser que a la gente le gusta! Actualmente lo publican El Pas, El Mundo, La Voz de Galicia e incluso algunos organizan concursos con premios. Tambin est en Marca, ABC y otros muchos diarios. En Microsiervos publicamos sobre lo que era el Suduku a principios de mayo, hace slo tres meses. Esto fue a raz delartculo de The Independent donde lo comparaban en popularidad con el cubo de Rubik. Este artculo me lo envi una amiga que vive en Londres que estaba asombrada con el crecimiento del juego all. Mucha gente aficionada a resolver Sodokus comenta que se siente una satisfaccin muy especial al terminarlos: sabes que es slo un pequeo puzzle, un rato que te entretendr tal vez 10 20 minutos, pero que por fuerza de pura lgica puede resolverse. Al terminarlo, uno se siente bien a pesar de que no se trata de ninguna gran hazaa. A mucha gente le gusta empezar el da con un Sudoku para sentirse bien antes de comenzasr trabajar o hacer tareas aburridas. Es como una pequea alegra que te sale gratis y que te anima el da. Un pequeo chute de autoestima.

Una breve historia del SudokuEn realidad el Sudoku no es un pasatiempo o puzzle tan nuevo. Agustn Fonseca en el libro Los mejores Sudokus: 200 enigmas orientalestiene un muy buen resumen:

En el siglo XVII el matemtico suizo Leonard Euler ya describi los Cuadrados Latinos como una curiosidad. En 1970 Walter MacKey lo publica como puzzle Number Place en la revista Math Puzzles and Logic Problems. MacKey trabajaba para la editorial Dell Magazines en Nueva York. En 1984 la editorial japonesa Nikoli lo publica en otro peridico. El nombre original, Sji wa dokushin ni kagiru pasa a abreviarse Su Doku (Su = Nmero, Doku = Slo: Nmeros Solos). En 1986 introducen la variedad que los hara ms populares: debe haber menos de 30 nmeros como pistas en la posicin inicial, que adems debe ser rotacionalmente simtrica. Esto no siempre se cumple en los Sudokus actuales, as que los que veas de ese modo pueden considerarse ms puros. En 1997 Wayne Gould prepara algunos Sudokus para el diarioThe Times, que los publica bastante ms tarde: en diciembre de 2004 Tres das despus The Daily Mail publica sus Sudokus con el nombre codenumber. En 2005 muchos otros peridicos britnicos incluyen Sudokus a diario en sus pginas.

Primeros consejos para resolver SudokusRellena la matriz de modo que: cada fila, cada columna y cada caja de 3x3 contenga los nmeros del 1 al 9.

Aqu van algunos de los primeros y ms triviales consejos para principiantes: (1a) Utiliza lpiz y goma de borrar - Algunas veces te equivocars y cuando eso suceda tendrs que retroceder movimientos o, normalmente, borrar el puzzle entero y empezar de nuevo. El bolgrafo no es buen amigo, aunque hay quien prefiere usar bolgrafo para marcar los nmeros de los que est absolutamente seguro que estn bien y lpiz para los no tan seguros. (1b) Un Sudoku tiene una nica solucin - Teniendo esto en cuenta parece claro que cada nmero que descubras para cada casilla deber ser uno y solamente uno entre todos los posibles. Cada paso puede deducirse por pura lgica, y todos esos pasos llevan a una nica solucin. Slo debes marcar como buenos los nmeros que sean los nicos posibles en cada casilla: si en alguna casilla pueden ir dos o tres nmeros, examina las dems y vuelve a esa ms adelante.

(1c) Empieza por los nmeros ms frecuentes - Suele ser ms fcil adivinar los nmeros que faltan cuantos ms nmeros iguales de un mismo valor haya. Si lo piensas, cuando haya ocho nmeros iguales repartidos por el tablero, la posicin del noveno ser casi trivial: la casilla interseccin de la fila y columna en las que no est ese nmero. (1d) Empieza utilizando un mtodo de eliminacin Puedes eliminar nmeros de las casillas o casillas para un nmero. Por ejemplo, examina las casillas eliminando para ella los nmeros del 1 al 9 que ya estn en esa fila y columna y por tanto no pueden ir ah, hasta quedarte slo con uno. Ese ser el correcto. El otro sistema que usa mucha gente es eliminar las casillas de cada regin, fijndose en las cifras que hay por toda la matriz y haciendo un barrido que oscurece o pone cruces a las casillas en donde no puede cierta cifra. Entonces, cuando hay un hueco libre en una sola casilla de una regin, ah es donde debe ir esa cifra. (1e) Al eliminar nmeros, recuerda usar tambin las regiones cuadradas - No te fijes slo en las filas y columnas que cruzan cada casilla. Tampoco puede haber en una casilla ningn nmero que ya est repetido en el mismo cuadrado (regin). De hecho, fijarse primero en las regiones suele ayudar a eliminar nmeros ms rpidamente incluso: un nmero elimina hasta tres posibles huecos en la misma regin (de una fila o una columna). (1f) Escribe nmeros pequeitos para ayudarte - Hay gente que resuelve los Sodokus escribiendo los nmeros posibles de cada casilla en pequeito, en una esquina (y en grande en el centro los correctos). A medida que se pueden descartar esos nmeros pequeitos, los van borrando. Cuando slo queda uno, ese es el correcto. Esto a veces ayuda a descubrir nmeros que habas pasado por alto o a ver otras pautas que ayudan a encontrar la solucin. (1g) Empieza por los Sodokus de nivel muy fcil o fcil- Si empiezas por los difciles o diablicos puede resultar muy frustrante, y hacer los Sodokus tiene que ser divertido. Practica con los fciles que ya aprenders para los ms complicados. (1h) Una vez que hayas terminado, haz un repaso rpido para comprobar que todo est bien - Haz una revisin contando nmeros por orden en filas, columnas y regiones. A veces se cuela un pequeo error y el Sudoku parece resuelto pero en realidad est mal.

Prximamente, la segunda parte con ms trucos y consejos prcticos. Intentar que adems haya diagramas, porque resulta mucho ms fcil.

Consejos para resolver Sudokus (2)Eliminacin por filas y columnasLa forma ms sencilla de comenzar a resolver un Sudoku es el de eliminacin. Se van eliminando casillas, o nmeros, hasta quedarse con una nica opcin (nmero) para una casilla. Esa ser la solucin correcta para esa casilla, dado que el Sudoku slo tiene una posible solucin. (2a) Este diagrama muestra en la primera regin un montn de huecos para muchos nmeros posibles, excepto el 3 y el 4 que ya estn colocados. Los dos nmeros 1 que hay en las otras dos regiones permiten deducir dnde debe ir el 1 que corresponde a la primera regin (en cada regin deben ir todos los nmeros posibles).

El truco es eliminar mentalmente el nmero 1 de las dos filas en las que ya estn los otros nmeros 1. Hay gente que lo imagina oscureciendo las casillas o poniendo pequeas cruces.

Ahora se puede ver fcilmente que slo hay una posicin para el nmero 1 en la primera regin.

Esta tcnica se puede utilizar por filas o por columnas, y es una de las primeras que hay que probar en cuanto hay suficientes nmeros iguales en regiones que estn juntas. (2b) Tambin se pueden combinar filas y columnas para eliminar ms casillas y localizar huecos para nmeros posibles, como en este otro diagrama:

Los diversos 2 que hay en varias regiones (marcados con el crculo) eliminan otros posibles 2 de sus mismas filas y columnas. Tras esa eliminacin en la primera regin solo queda una casilla, que indica donde va por lgica el nmero 2 de esa regin. Una forma habitual de comenzar a resolver el Sudoku es utilizar esta tcnica de eliminacin. Se suele empezar por los nmeros ms frecuentes o que ms aparecen, aunque tambin se puede hacer por orden: primero los 1, luego los 2, etc. Se comienza a revisar uno por uno desde la posicin de cada uno de los nmeros ya resueltos (llamados pistas). Se van trazando en vertical y horizontal los sombreados de eliminacin (aqu no puede ir) mientras se hace lo mismo con los otros nmeros iguales al que se est examinando. Las casillas nicas que queden libres en cada regin son los sitios donde va ese nmero. Hay que tener nicamente cuidado para no poner un nmero en una regin en la que ya exista ese mismo nmero. Importante: una vez aadido un nmero, eso abre nuevas posibilidades para deducir ese mismo nmero en otras regiones, porque elimina nuevas casillas. Si se est utilizando este sistema de eliminacin mediante repaso de los nmeros uno por uno, conviene empezar de nuevo por el nmero recin descubierto. Notacin: tanto en estos diagramas como en los siguientes de esta mini-serie sobre resolver Sudokus voy a intentar utilizar siempre la misma notacin para indicar los pasos lgicos a seguir: con un crculo se marcan los nmeros en los que hay que fijarse en un razonamiento dado. Las zonas grises indican zonas sobre las que se razona, por ejemplo ah no pueden ir esos nmeros (los de los

crculos). Los nmeros en negativo (cuadrados negros) indican la solucin para una casilla dada. Esta notacin es la misma del libro Los mejores Sudokus de Agustn Fonseca, que resulta bastante prctica porque permite incluir mucha informacin en un solo diagrama

Consejos para resolver Sudokus (3)Eliminacin por regionesAdems de eliminar nmeros posibles por filas y columnas laeliminacin de nmeros por regiones es una tcnica que resulta muy poderosa cuando por la situacin de los nmeros se puede utilizar.

(3a) Por ejemplo, este diagrama parcial tiene una primera fila en la que faltan cuatro nmeros por situar todava, adems de muchos otros en esas regiones:

En concreto faltan por situar los nmeros 3, 5, 6, 8 en la primera fila. Pero no est claro en qu orden. No parece haber muchas ms pistas sobre cul debe ir en cada lugar. (3b) Pero resulta que el nmero 3 solitario que est en la primera regin permite deducir que el 3 no puede ir en ninguna de las primeras tres casillas de esa fila, de modo que slo queda una casilla posible para el 3 en la primera fila: la ltima de todas. No se sabe todava dnde irn el 5, 6 y 8, pero al menos se ha podido colocar el 3 en su lugar.

Esta tcnica muestra cmo a veces se pueden deducir nmeros en posiciones a mucha distancia de los nmeros que facilitan las pistas para deducirlos. Tambin ensea cmo a veces un solo nmero elimina muchas posibles posiciones (en este caso tres) para otro, en una fila o columna que cruza su regin.

Consejos para resolver Sudokus (4)Nmeros que faltanOtra forma de resolver poco a poco el Sudoku es ver qu nmeros faltan en las diferentes casillas, teniendo en cuenta que no puede ser ningn nmero de

los que ya estn en la misma fila, columna o regin. Este sistema funciona bien porque es fcil visualizar qu nmeros faltan en una fila o columna de un vistazo rpido, especialmente cuando slo faltan uno, dos o incluso tres nmeros. (4a) En este diagrama parcial hay un hueco en la primera regin y otro en la segunda fila.

(4b) En la primera regin faltaba el nmero 5. El hueco de la segunda fila estaba reservado para el nmero que faltaba, el 6.

Los huecos nicos que hay en filas o columnas saltan a la vista muy rpidamente y slo hay que revisar los nmeros para adivinar cul falta. Tambin los huecos nicos en las regiones cuadradas son fciles de descubrir. (4c) En este diagrama ms complicado se puede ver una fila casi completa, la segunda, en la que faltan tres nmeros. Revisando los que ya hay en esa fila se descubre que son 7 4 9, pero a primera vista no est claro en dnde debera ir cada uno.

(4d) Utilizando la eliminacin por filas o columnas de uno de los nmeros que falta, el 9, del que hay varios en otras regiones, se pueden eliminar dos de las

tres casillas vacas de esa fila. De modo que slo queda un lugar posible para situar ese 9.

(4e) Ahora slo quedan los nmeros 7 y 4 en esa fila. Del mismo modo que antes, resulta que hay un 7 en otra regin que elimina un posible 7 de la casilla de la misma columna de esa fila. As que por lgica el 7 slo puede ir en la otra casilla, que queda libre.

(4f) Finalmente el 4 restante completa toda la fila con los nmeros del 1 al 9.

Este sistema de buscar los nmeros que faltan en cada casilla, sobre todo en filas o columnas en las que quedan pocos nmeros posibles (dos, tres o cuatro), ayudndose de otros nmeros de otras regiones, suele dar muy buenos resultados. Nota: Como suele suceder, habra otra forma de resolver el ejemplo (4c), razonando que en la primera casilla slo podra ir el 4 porque el 7 y el 9 ya estn en esa misma columna (uno arriba y otro abajo) y no podran ir ah de ninguna manera. Luego se podran situar el 9 y el 7 en las otras casillas por eliminacin. Esta otra forma de

buscar valores en los cruces de filas y columnas es tambin muy poderosa y se explicar con ms detalle ms adelante.

Consejos para resolver Sudokus (5)Casillas en cruces de filas y columnasHay un mtodo bastante bsico pero efectivo para localizar algunos nmeros rebeldes que no se descubren empleando los mtodos de eliminacin. A falta de una denominacin estndar podra llamarse casillas que hay en cruces de filas, columnas, o simplemente cruces. Consiste en fijarse en una casilla que est situada en un cruce de filas y columnas en las que haya muchos nmeros y comprobarlos todos por orden,

del 1 al 9, observando cules no pueden ser porque ya estn en esas filas o columnas, para ver si con un poco de suerte slo queda uno.

(5a) En este diagrama diseado al efecto se puede ver que hay una casilla en el cruce (interseccin) de dos filas y columnas donde hay bastantes nmeros. En realidad todas las filas y columnas tienen cruces, pero slo hay que fijarse en las abundan los nmeros. Partiendo de esa casilla basta revisar todos los nmeros de esa fila y esa columna y adivinar cul es el nmero que falta, que por tanto es el nico que puede ir ah: en este caso el 9.

(Como curiosidad de este ejemplo: una vez puesto el 9 puede deducirse tambin donde van el 5 y el 6 de esa misma fila).

(5b) Este otro ejemplo es ms complicado, porque proviene de un Sodoku real, aunque para simplificar slo se ven los nmeros que interesan para esta tcnica. Es difcil de un solo vistazo darse cuenta de que se puede deducir un nmero a partir de los que hay en el tablero, parecen muy pocos y muy dispersos.

(5b) Sin embargo, basta fijarse en la casilla objetivo, la que est en el cruce de la fila central y la columna de la derecha. Esa es la casilla a comprobar. Numerando por orden rpidamente los ya existentes se ven 1 2 4 9 en la fila y el 7 8 en la columna. Por tanto podra ser cualquiera del grupo 3 5 6. Pero

observando la regin en que est la casilla cruce se observa que el 5 y 6 ya estn all, de modo que slo queda uno posible, que es la solucin: el 3. Es muy importante al llevar la cuenta de todos los nmeros ya existentes que afectan a los candidatos de una casilla cruce fijarse en los de las filas como las columnas como en los de la misma regin,como en este ejemplo. Utilizando esta tcnica cuando hay suficientes nmeros es fcil que en muchas casillas slo quede un nmero posible, con lo que se pueden avanzar pasos hacia la solucin final.

Consejos para resolver Sudokus (6)Parejas de nmerosNota: la versin original de este consejo #6 empleaba un tablero algo confuso, de modo que se ha cambiado completamente por otro con un ejemplo ms adecuado.

Este truco se puede utilizar con bastante frecuencia y permite llevar los razonamientos lgicos un poquito ms all para descubrir la posicin de nuevos nmeros en el tablero de una forma realmente peculiar. Se basa en encontrar nmeros posibles emparejados, normalmente en la misma fila o columna. (6a) En este diagrama faltan bastantes nmeros. A primera vista en la primera regin habra que situar los nmeros 4 7 8, pero cada uno pueden tener al

menos dos posiciones posibles. Nada que hacer de momento. En la regin intermedia izquierda faltan seis nmeros: 1 2 3 4 7 8 y los cruces de nmeros con las otras regiones tampoco parecen ayudar mucho aunque hay algunas eliminaciones. En la regin inferior faltan tambin cinco nmeros. Demasiados. Y no hay mtodos de eliminacin directa que sirvan en este caso. Se puede deducir la posicin de algn nmero ms en esas regiones teniendo en cuenta nicamente los que se ven en el tablero?

(6b) Para seguir la pista a todos esos nmeros posibles en cada casilla se suelen escribir con lpiz, en pequeito, los dgitos correspondientes. Aunque cada persona lo hace de forma diferente, una forma es la que muestra la imagen. A partir de la eliminacin de algunas casillas de las misma fila o columna, con los nmeros 2 y 3 se escribe 23 en la primera casilla y 23 en la segunda. Eso quiere decir que en esas casillas pueden ir el 2 o el 3, pero no est claro en qu orden. (Hay quien escribe 23/32, o bien emplea pequeos puntitos en las posiciones, o utiliza un lpiz de otro color.)

El truco para las parejas de nmeros, explicado como una regla, es el siguiente: Dos nmeros posibles en pareja que estn en dos nicas casillas en la misma fila, columna o regin, se comportan de modo que se pueden eliminar esos nmeros de todas las dems casillas de esa fila, columna o regin, aunque no se sepa exactamente todava dnde va cada uno de ellos. La razn para esto es la siguiente: si son dos nmeros y slo hay dos sitios posibles (aunque no se sepa en qu orden) no puede ir ningn otro nmero distinto en esas casilas. Si en la primera casilla resultara ir otro nmero distinto a los de la pareja, entonces el primero de los nmeros de la pareja se podra colocar en la segunda casilla, pero faltara una casilla ms para el segundo nmero - y como esos dos nmeros slo eran posibles esas dos casillas, se llegara a una cotradiccin. De cara a los razonamientos, esas dos casillas se comportan casi como una (la casilla de la pareja) y por eso si adems las casillas estn en la misma fila o columna se pueden eliminar esos mismos nmeros individuales de todas las dems casillas de esa fila/columna (si forman fila, los de la fila, si forman columna, los de la columna). La nica condicin es que sean una pareja de dos nmeros y estn en slo dos casillas. Nota: Esta tcnica tambin funciona con tros de nmeros, emplendose el mismo razonamiento, incluso si alguno de los tros est incompleto, como tambin ha apuntado un lector en los comentarios.

En esa misma regin del diagrama 6b se podran haber escrito ms nmeros posibles. Por ejemplo las casillas de la columna de la izquierda podran llevar todas el 148 porque esos nmeros tambin faltan en esa regin. Y donde se ha escrito 23/23 se podra haber escrito 23478/23478, pero segn la regla 4, 7 y 8 son innecesarios porque 23 es la pareja correcta para esas dos casillas (cualquier

pareja formada por 4, 7 y 8 no lo sera porque tambin son posibles en otras muchas casillas, no slo en esas dos, de modo que no cumplen la regla). (6c) Utilizando la regla de las parejas se puede considerar que en las dos casillas marcadas van el 2 y el 3 aunque no se sepa en qu orden. Esto permite por ejemplo trazar con ellos una lnea vertical hacia abajo para eliminar unas cuantas casillas de la regin inferior. Como adems hay un 3 a la derecha que facilita la eliminacin de otra casilla, resulta que se puede poner un 3 en la casilla central

Como puede verse, el efecto de esta tcnica es realmente curioso: se ha colocado un 3 en la ltima regin sin que se sepa realmente hasta ms adelante dnde va situado el 3 de la regin intermedia, que es el que ha ayudado a eliminar las otras opciones. (6d) Aprovechando de nuevo la formacin de la pareja 23/23 de la regin central se puede observar que el 7 de abajo elimina varias de las casillas de la regin central, y se puede situar all tambin un 7 como definitivo.

Esto demuestra por qu esta tcnica es tan poderosa: ha permitido inculso situar un nmero en una regin donde apenas haba ninguno, con solo otro nmero de ayuda y sin siquiera conocer con exactitud dnde van los componentes de la pareja que sirve de gua. Importante:A veces la fila, columna o regin donde est la pareja slo tiene otra casilla libre (hay tres en total). En ese caso se deduce directamente cul es el nmero que falta, el tercero en discordia porque de los tres posibles los dos primeros (aunque no se conozca el orden) tendrs sus casillas emparejadas, de las que no pueden escapar. Las parejas de nmeros no sirven para hacer barridos de eliminacin por filas o columnas cuando las casillas de la pareja no estn situadas en la misma fila/columna (en diagonal). En ese caso slo sirven para eliminar otros nmeros posibles de la misma regin, lo cual no obstante tambin puede ser til. Cuando estn en la posicin adecuada, eliminan muchas ms casillas posibles y ayudan a encontrar ms nmeros.