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11. Programación de 2º Bachillerato: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.

11.1. Secuenciación de contenidos.

Resolución de problemas

- Algunos consejos para resolver problemas.

- Etapas en la resolución de problemas.

- Análisis de algunas estrategias para resolver problemas.

I. ÁLGEBRA

Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss- Sistemas de ecuaciones lineales.

- Posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

- Sistemas escalonados.

- Método de Gauss.

- Discusión de sistemas de ecuaciones.

Álgebra de matrices- Nomenclatura. Definiciones.

- Operaciones con matrices.

- Propiedades de las operaciones con matrices.

- Matrices cuadradas.

- n-uplas de números reales.

- Rango de una matriz.

- Forma matricial de un sistema de ecuaciones.

Resolución de sistemas mediante determinantes.- Determinantes de orden dos.

- Determinantes de orden tres.

- Menor complementario y adjunto.

- Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.

- El rango de una matriz a partir de sus menores.

- Criterio para saber si un sistema es compatible.

- Regla de Cramer.

- Sistemas homogéneos.

- Discusión de sistemas mediante determinantes.

- Cálculo de la inversa de una matriz.

Programación lineal- En qué consiste la programación lineal. Algunos ejemplos.

- Programación lineal para dos variables. Enunciado general.

II. ANÁLISIS

Límites de funciones. Continuidad

- Idea gráfica de los límites de funciones.

- Sencillas operaciones con límites.

- Indeterminaciones.

- Comparación de infinitos. Aplicación a los límites cuando x → ±.

- Cálculo de límites cuando x → +.

- Cálculo de límites cuando x → –.

- Límite de una función en un punto. Continuidad.

- Cálculo de límites cuando x → c.

Derivadas. Técnicas de derivación- Derivada de una función en un punto.

- Función derivada.

- Reglas de derivación.

Aplicaciones de las derivadas- Recta tangente a una curva.

- Crecimiento y decrecimiento de una función en un punto.

- Máximos y mínimos relativos de una función.

- Información extraída de la segunda derivada.

- Optimización de funciones.

Integrales- Primitivas. Reglas básicas para su cálculo.

- Área bajo una curva. Integral definida de una función.

- Función “área bajo una curva”.

- Cálculo del área entre una curva y el eje X.

- Cálculo del área comprendida entre dos curvas.

III. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Azar y probabilidad- Experiencias aleatorias. Sucesos.

- Frecuencia y probabilidad.

- Ley de Laplace.

- Probabilidad condicionada. Sucesos independientes.

- Pruebas compuestas.

- Probabilidad total.

- Probabilidades “a posteriori”. Fórmula de Bayes.

Las muestras estadísticas- El papel de las muestras.

- ¿Cómo deben ser las muestras?

- Tipos de muestreos aleatorios.

- Técnicas para obtener una muestra aleatoria de una población finita.

- Muestras y estimadores.

Inferencia estadística. Estimación de la media- Distribución normal. Repaso de técnicas básicas.

- Intervalos característicos.

- Distribución de las medias muestrales.

- En qué consiste la estadística inferencial.

- Intervalo de confianza para la media.

- Relación entre nivel de confianza, error admisible y tamaño de la muestra.

Inferencia estadística. Estimación de una proporción- Distribución binomial. Repaso de técnicas básicas para el muestreo.

- Distribución de las proporciones muestrales.

- Intervalo de confianza para una proporción o una probabilidad.

11.2. Criterios generales de evaluación

Curso 2.º Bachillerato

Criterio de evaluación

1. Utilizar procesos de razonamiento, de matematización y estrategias de resolución de problemas en contextos reales(numéricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos), realizando los cálculos necesarios, comprobando las solucionesobtenidas y expresando verbalmente el procedimiento seguido. Practicar estrategias para planificar, de forma individual y engrupo, un proceso de investigación matemática, a partir de la resolución de un problema y el análisis posterior; laprofundización en algún momento de la historia de las matemáticas; elaborando en cada situación un informe científico escritocon el rigor y la precisión adecuados, superando bloqueos e inseguridades ante situaciones desconocidas, desarrollandoactitudes personales relativas al quehacer matemático, analizando críticamente otros planteamientos y soluciones,reflexionando sobre las decisiones tomadas, valorando su eficacia y aprendiendo de ellas para situaciones similares futuras.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado, individualmente o en grupo, analiza y comprende el enunciado a resolver(datos, relaciones entre los datos, condiciones, hipótesis, conocimientos matemáticos necesarios, etc.) de problemas relacionados conlas ciencias sociales y la economía, utiliza diferentes estrategias de resolución (ensayo-error, heurísticas, estimación, modelización,etc.) y reflexiona sobre el proceso seguido y las soluciones obtenidas. También, se trata de confirmar si planifica, de forma individual yen grupo, un proceso de investigación matemática, conoce su estructura (problema de investigación, estado de la cuestión, objetivos,hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc.), reflexiona y saca conclusiones sobre la resolución y la consecución deobjetivos, así como si plantea posibles continuaciones de la investigación y establece conexiones entre el problema real y el mundomatemático (la historia de la humanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; ciencias sociales y matemáticas, etc.).Todo ello usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación, desarrollando actitudespersonales relativas al quehacer matemático (esfuerzo, perseverancia, curiosidad e indagación etc.) y analizando críticamente otrosplanteamientos y soluciones.

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Estándares de aprendizaje evaluablesrelacionados

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25,26, 27, 28.

Contenidos

1. Planificación del proceso de resolución de problemas.

2. Desarrollo de estrategias y procedimientos puestos en práctica: ensayo-error,relación con otros problemas conocidos, modificación de variables, suposición delproblema resuelto, etc.

3. Análisis de los resultados obtenidos: coherencia de las soluciones con la situación,revisión sistemática del proceso, otras formas de resolución, problemas parecidos.

4. Elaboración y presentación oral y escrita de informes científicos escritos sobre elproceso seguido en la resolución de un problema.

5. Realización de investigaciones matemáticas a partir de contextos de la realidad.

6. Elaboración y presentación de un informe científico sobre el proceso, resultados yconclusiones del proceso de investigación desarrollado.

7. Práctica de los proceso de matematización y modelización, en contextos de larealidad.

8. Confianza en las propias capacidades para el desarrollo de actitudes adecuadas yafrontamiento de las dificultades propias del trabajo científico.


2. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, algebraicos oestadísticos, haciendo representaciones gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando consentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas; asícomo utilizar las tecnologías de la información y la comunicación de modo habitual en el proceso de aprendizaje, buscando,analizando y seleccionando información relevante en Internet o en otras fuentes, elaborando documentos propios, haciendoexposiciones y argumentaciones de los mismos y compartiéndolos en entornos apropiados para facilitar la interacción.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado selecciona y emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo deproblema de investigación, y las utiliza para la realización de cálculos numéricos, algebraicos, estadísticos y matriciales cuando sudificultad impide o no aconseja hacerlos manualmente; y si elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, vídeo,sonido…) como resultado del proceso de búsqueda, análisis y selección de información relevante y los comparte para su discusión odifusión. Asimismo, se pretende evaluar si utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones conexpresiones algebraicas complejas, extrae información cualitativa y cuantitativa sobre ellas, representa información estadística, ydiseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas; todo ello para estructurar y mejorar suproceso de aprendizaje, recogiendo la información de las actividades, utilizando los recursos creados para apoyar la exposición oral delos contenidos trabajados en el aula, analizando puntos fuertes y débiles de su proceso académico y estableciendo pautas de mejora.

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7, 15, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 38.

Contenidos

1. Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para:

a) la recogida ordenada y la organización de datos.

b) la elaboración y creación de representaciones gráficas de datos numéricos,funcionales o estadísticos.

c) facilitar la comprensión de propiedades funcionales y la realización de cálculos detipo numérico, algebraico o estadístico.

d) el diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situacionesmatemáticas diversas.

e) la elaboración de informes y documentos sobre los procesos llevados a cabo y losresultados y conclusiones obtenidas.

f) la comunicación e intercambio, en entornos apropiados, de la información y lasideas matemáticas.


3. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices para organizar y tratar información procedente de situacionesdel ámbito social y transcribir problemas reales al lenguaje algebraico, planteando sistemas de ecuaciones lineales y resolverlosutilizando técnicas algebraicas determinadas, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas.

Con este criterio se quiere comprobar si el alumnado utiliza el lenguaje matricial para disponer en forma de matriz informaciónprocedente del ámbito social, representar datos mediante tablas y formular sistemas de ecuaciones lineales (como máximo de tresecuaciones y tres incógnitas), inecuaciones lineales con una o dos incógnitas y sistemas de inecuaciones, que representen dichainformación; para resolver problemas en contextos reales con mayor eficacia, mediante la realización de operaciones con matrices yaplicación de sus propiedades, tanto de forma manual, como con el apoyo de medios tecnológicos. Además, resuelve problemassociales, económicos y demográficos de optimización de funciones lineales sujetas a restricciones, aplicando las técnicas gráficas deprogramación lineal bidimensional. Todo esto, interpretando los resultados obtenidos en el contexto del problema, analizandocríticamente las soluciones y su significado y validez, valorando otras posibles estrategias de resolución aportadas por las demáspersonas, aceptando la crítica razonada y describiendo el proceso seguido de forma oral y escrita.

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36, 37, 38, 39, 40.

Contenidos

1. Estudio de las matrices como herramientas para la organización de datosestructurados en tablas y la realización de operaciones. Clasificación de matrices yrealización de operaciones.

2. Estudio del rango una matriz y cálculo de la matriz inversa.

3. Cálculo de determinante hasta orden 3.

4. Aplicación de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resoluciónde problemas en contextos reales.

5. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales: discusión yresolución de sistemas de ecuaciones lineales (hasta tres ecuaciones con tresincógnitas) mediante el método de Gauss y otros métodos.

6. Resolución gráfica y algebraica de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas ysistemas de inecuaciones.

7. Aplicación de la programación lineal bidimensional a la resolución de problemassociales, económicos y demográficos; mediante el cálculo de la región factible y ladeterminación e interpretación de las soluciones óptimas.


4. Analizar e interpretar fenómenos habituales de las ciencias sociales de manera objetiva mediante la traducción de lainformación al lenguaje de las funciones y realizar un estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades.

Este criterio pretende evaluar si el alumnado resuelve problemas de las ciencias sociales a través de la modelización de funciones(polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas sencillas), el estudio de su continuidad, tendencias, ramas infinitas,corte con los ejes, cálculo de las asíntotas de funciones racionales, exponenciales y logarítmicas sencillas, el estudio de la continuidaden un punto de una función elemental o definida a trozos utilizando el concepto de límite, y su representación gráfica.

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41, 42, 43, 44.

Contenidos

1. Estudio de la continuidad y de las discontinuidades en funciones elementales ydefinidas a trozos.

2. Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, irracionales,exponenciales y logarítmicas sencillas a partir de sus propiedades locales y globales.


5. Utilizar el cálculo de derivadas para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función, resolver problemas deoptimización extraídos de situaciones reales de carácter económico o social y extraer conclusiones del resultado obtenido.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado utiliza las técnicas de derivación para calcular la derivada de una función yutilizarla para obtener su expresión algebraica a partir de datos relativos a sus propiedades locales o globales, representar funciones(polinómicas, racionales e irracionales sencillas, exponenciales y logarítmicas) y extraer conclusiones en problemas derivados desituaciones reales. Además, plantea problemas de optimización sobre fenómenos relacionados con las ciencias sociales y la economía,los resuelve e interpreta el resultado obtenido dentro del contexto ayudándose de calculadoras gráficas y programas informáticoscuando sea necesario.

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44, 45.

Contenidos

1. Aplicaciones de las derivadas al estudio de funciones polinómicas, racionales eirracionales sencillas, exponenciales y logarítmicas.

2. Planteamiento y resolución de problemas de optimización relacionados con lasciencias sociales y la economía.


6. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que seanfácilmente representables, utilizando técnicas de integración inmediata.

Con este criterio se pretende constatar que el alumnado aplica la regla de Barrow y sus propiedades al cálculo de integrales definidasde funciones elementales inmediatas, así como el concepto de integral definida para calcular el área de recintos planos delimitados poruna o dos curvas, ayudándose para ello de programas informáticos, e interpretando y contrastando los resultados obtenidos.

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46, 47.

Contenidos

1. Cálculo de primitivas de funciones elementales inmediatas y uso de sus propiedadesbásicas.

2. Aplicación de la regla de Barrow y el cálculo de integrales definidas al cálculo deáreas de regiones planas.


7. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos simples y compuestos, independientes o no, utilizando para ellodiferentes leyes, teoremas y técnicas de recuento, con la finalidad de tomar decisiones en contextos relacionados con las cienciassociales y argumentar su elección.

Con este criterio se quiere comprobar si el alumnado, mediante diferentes técnicas de recuento (estrategias personales, diagramas deárbol, tablas de doble entrada…) calcula probabilidades en sucesos aleatorios simples, compuestos y condicionados; aplicando la reglade Laplace; la axiomática de Kolmogorov; y los teoremas de la probabilidad total y de Bayes, modificando la probabilidad asignada aun suceso (probabilidad inicial) a partir de la información obtenida mediante la experimentación (probabilidad final); utilizando losresultados obtenidos para resolver situaciones relacionadas con la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre en función de laprobabilidad de las distintas opciones, argumentando sus decisiones .

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48, 49, 50, 51.

Contenidos

1. Profundización en la Teoría de la Probabilidad. Asignación de probabilidades asucesos mediante la regla de Laplace y a partir de su frecuencia relativa. Axiomáticade Kolmogorov.

2. Identificación de experimentos simples y compuestos y de la dependencia eindependencia de sucesos. Cálculo de la probabilidad condicionada.

3. Utilización de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes para el cálculo deprobabilidades iniciales y finales y el estudio de la verosimilitud de un suceso.


8. Planificar y realizar estudios para estimar parámetros desconocidos en una población con una fiabilidad o un errorprefijados, calcular el tamaño muestral necesario y construir el intervalo de confianza para la media de una población normalcon desviación típica conocida y para la media y proporción poblacional cuando el tamaño muestral es suficientemente grande.Además, utilizar el vocabulario y las representaciones adecuadas, y analizar de forma crítica y argumentada informesestadísticos presentes en los medios de comunicación, la publicidad y otros ámbitos; todo ello ayudándose de programasinformáticos.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado planifica y realiza estudios para estimar parámetros de una población, valora larepresentatividad de la muestra elegida, calcula estimadores puntuales para la media, varianza, desviación típica y proporciónpoblacionales, probabilidades asociadas a la distribución de la media muestral y de la proporción muestral, aproximándolas por ladistribución normal y utilizando las herramientas necesarias. Asimismo, construye intervalos de confianza para la media poblacional deuna distribución normal con desviación típica conocida, y para la media poblacional y la proporción en el caso de muestras grandes,relaciona el error y la confianza del intervalo con el tamaño muestral, y calcula cada uno de ellos conocidos los otros dos; todo ellopara resolver problemas en contextos reales, analizando de forma crítica y argumentada información estadística presente en los mediosde comunicación y otros ámbitos de la vida cotidiana, detectando posibles errores y manipulaciones en su presentación, y utilizando unvocabulario adecuado para comunicar sus conclusiones; todo ello ayudándose de programas informáticos.

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52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60.

Contenidos

1. Selección de una muestra en una población mediante diferentes métodos. Estudiodel tamaño y la representatividad de la muestra.

2. Cálculo de los parámetros de una población y estadísticos obtenidos a partir de unamuestra. Estimación puntual.

3. Obtención de la media y desviación típica de la media muestral y de la proporciónmuestral.

4. Estudio de la distribución de la media muestral en una población normal, de ladistribución de la media muestral y de la proporción muestral en el caso de muestrasgrandes.

5. Estimación por intervalos de confianza y estudio de la relación entre confianza, errory tamaño muestral.

6. Cálculo del intervalo de confianza para la media poblacional de una distribuciónnormal con desviación típica conocida.

7. Cálculo del intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución demodelo desconocido y para la proporción en el caso de muestras grandes.

Estándares de aprendizaje evaluables

1. Expresa verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, con elrigor y la precisión adecuados.

2. Analiza y comprende el enunciado a resolver (datos, relaciones entre los datos, condiciones,conocimientos matemáticos necesarios, etc.).

3. Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver,contrastando su validez y valorando su utilidad y eficacia.

4. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas,reflexionando sobre el proceso seguido.

5. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación.

6. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.

7. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propiedado teorema a demostrar.

8. Conoce y describe la estructura del proceso de elaboración de una investigación matemática: problemade investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones,etc.

9. Planifica adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que sedesarrolla y el problema de investigación planteado.

10. Profundiza en la resolución de algunos problemas planteando nuevas preguntas, generalizando lasituación o los resultados, etc.

11. Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de lahumanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; ciencias sociales y matemáticas,etc.).

12. Consulta las fuentes de información adecuadas al problema de investigación.

13. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto del problema deinvestigación.

14. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.

15. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación, tanto en labúsqueda de soluciones como para mejorar la eficacia en la comunicación de las ideas matemáticas.

16. Transmite certeza y seguridad en la comunicación de las ideas, así como dominio del tema deinvestigación.

17. Reflexiona sobre el proceso de investigación y elabora conclusiones sobre el nivel de: a) resolucióndel problema de investigación; b) consecución de objetivos. Así mismo, plantea posiblescontinuaciones de la investigación; analiza los puntos fuertes y débiles del proceso y hace explícitassus impresiones personales sobre la experiencia.

18. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.

19. Establece conexiones entre el problema del mundo real y el mundo matemático: identificando delproblema o problemas matemáticos que subyacen en él, así como los conocimientos matemáticosnecesarios.

20. Usa, elabora o construye modelos matemáticos adecuados que permitan la resolución del problema oproblemas dentro del campo de las matemáticas.

21. Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad.

22. Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitacionesde los modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia.

23. Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre los logros conseguidos, resultadosmejorables, impresiones personales del proceso, etc.

24. Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad yaceptación de la crítica razonada, convivencia con la incertidumbre, tolerancia de la frustración,autoanálisis continuo, etc.

25. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al niveleducativo y a la dificultad de la situación.

26. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscarrespuestas adecuadas; revisar de forma crítica los resultados encontrados; etc.

27. Toma decisiones en los procesos (de resolución de problemas, de investigación, de matematización ode modelización) valorando las consecuencias de las mismas y la conveniencia por su sencillez yutilidad.

28. Reflexiona sobre los procesos desarrollados, tomando conciencia de sus estructuras; valorando lapotencia, sencillez y belleza de los métodos e ideas utilizados; aprendiendo de ello para situacionesfuturas; etc.

29. Selecciona herramientas tecnológicas adecuadas y las utiliza para la realización de cálculosnuméricos, algebraicos o estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconsejahacerlos manualmente.

30. Utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresionesalgebraicas complejas y extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas.

31. Diseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas,mediante la utilización de medios tecnológicos.

32. Recrea entornos y objetos geométricos con herramientas tecnológicas interactivas para mostrar,analizar y comprender propiedades geométricas.

33. Elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, vídeo, sonido,…), comoresultado del proceso de búsqueda, análisis y selección de información relevante, con la herramientatecnológica adecuada y los comparte para su discusión o difusión.

34. Utiliza los recursos creados para apoyar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula.

35. Usa adecuadamente los medios tecnológicos para estructurar y mejorar su proceso de aprendizajerecogiendo la información de las actividades, analizando puntos fuertes y débiles de su procesoacadémico y estableciendo pautas de mejora.

36. Dispone en forma de matriz información procedente del ámbito social para poder resolver problemascon mayor eficacia.

37. Utiliza el lenguaje matricial para representar datos facilitados mediante tablas y para representarsistemas de ecuaciones lineales.

38. Realiza operaciones con matrices y aplica las propiedades de estas operaciones adecuadamente, deforma manual y con el apoyo de medios tecnológicos.

39. Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, el sistema deecuaciones lineales planteado (como máximo de tres ecuaciones y tres incógnitas), lo resuelve en loscasos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas en contextos reales.

40. Aplica las técnicas gráficas de programación lineal bidimensional para resolver problemas deoptimización de funciones lineales que están sujetas a restricciones e interpreta los resultadosobtenidos en el contexto del problema.

41. Modeliza con ayuda de funciones problemas planteados en las ciencias sociales y los describemediante el estudio de la continuidad, tendencias, ramas infinitas, corte con los ejes, etc.

42. Calcula las asíntotas de funciones racionales, exponenciales y logarítmicas sencillas.

43. Estudia la continuidad en un punto de una función elemental o definida a trozos utilizando elconcepto de límite.

44. Representa funciones y obtiene la expresión algebraica a partir de datos relativos a sus propiedadeslocales o globales y extrae conclusiones en problemas derivados de situaciones reales.

45. Plantea problemas de optimización sobre fenómenos relacionados con las ciencias sociales, losresuelve e interpreta el resultado obtenido dentro del contexto.

46. Aplica la regla de Barrow al cálculo de integrales definidas de funciones elementales inmediatas.

47. Aplica el concepto de integral definida para calcular el área de recintos planos delimitados por una odos curvas.

48. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos mediante la regla deLaplace, las fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento.

49. Calcula probabilidades de sucesos a partir de los sucesos que constituyen una partición del espaciomuestral.

50. Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando la fórmula de Bayes.

51. Resuelve una situación relacionada con la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre enfunción de la probabilidad de las distintas opciones.

52. Valora la representatividad de una muestra a partir de su proceso de selección.

53. Calcula estimadores puntuales para la media, varianza, desviación típica y proporción poblacionales,y lo aplica a problemas reales.

54. Calcula probabilidades asociadas a la distribución de la media muestral y de la proporción muestral,aproximándolas por la distribución normal de parámetros adecuados a cada situación, y lo aplica aproblemas de situaciones reales.

55. Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional de unadistribución normal con desviación típica conocida.

56. Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional y para laproporción en el caso de muestras grandes.

57. Relaciona el error y la confianza de un intervalo de confianza con el tamaño muestral y calcula cadauno de estos tres elementos conocidos los otros dos y lo aplica en situaciones reales.

58. Utiliza las herramientas necesarias para estimar parámetros desconocidos de una población ypresentar las inferencias obtenidas mediante un vocabulario y representaciones adecuadas.

59. Identifica y analiza los elementos de una ficha técnica en un estudio estadístico sencillo.

60. Analiza de forma crítica y argumentada información estadística presente en los medios decomunicación y otros ámbitos de la vida cotidiana.

11.3. Contenidos de las unidades/Criterios de evaluación/estándares de aprendizajeevaluables/competencias clave

U1: Azar y probabilidad

ContenidosCriterios

de evaluaciónEstándares de aprendizaje

evaluablesCC

Sucesos

- Operaciones y propiedades.- Reconocimiento y obtención de

sucesos complementarios incompatibles, unión de sucesos, intersección de sucesos...

- Propiedades de las operaciones con sucesos. Leyes de Morgan.

Ley de los grandes números

- Frecuencia absoluta y frecuencia relativa de un suceso.

- Frecuencia y probabilidad. Ley de los grandes números.

- Propiedades de la probabilidad.- Justificación de las propiedades

de la probabilidad.

Ley de Laplace

- Aplicación de la ley de Laplace para el cálculo de probabilidades sencillas.

- Reconocimiento de experiencias en las que no se puede aplicar la ley de Laplace.

Probabilidad condicionada

- Dependencia e independencia de dos sucesos.

- Cálculo de probabilidades condicionadas.

Fórmula de la probabilidad total

- Cálculo de probabilidades totales.

Fórmula de Bayes

- Cálculo de probabilidades «a posteriori».

Tablas de contingencia

- Posibilidad de visualizar gráficamente procesos y

1. Conocer y aplicar el lenguaje de los sucesosy la probabilidad asociada a ellos así como sus operaciones y propiedades.

1.1. Expresa mediante operaciones con sucesos un enunciado.

CCL,

CAA,

CMCT,

CD

1.2. Aplica las leyes de la probabilidad para obtener la probabilidad de un suceso a partir de las probabilidades de otros.

2. Conocer los conceptos de probabilidad condicionada, dependencia e independencia de sucesos, probabilidad total y probabilidad «a posteriori» y utilizarlos para calcular probabilidades.

2.1. Aplica los conceptos de probabilidad condicionada e independencia de sucesos para hallar relaciones teóricas entre ellos.

CCL,

CAA,

CMCT,

CD

2.2. Calcula probabilidades planteadas mediante enunciados que pueden dar lugar a una tabla de contingencia.

2.3. Calcula probabilidades totaleso «a posteriori» utilizando un diagrama en árbol o las fórmulas correspondientes.

relaciones probabilísticos: tablas de contingencia.

- Manejo e interpretación de las tablas de contingencia para plantear y resolver algunos tipos de problemas de probabilidad.

Diagrama en árbol

- Posibilidad de visualizar gráficamente procesos y relaciones probabilísticos.

- Utilización del diagrama en árbol para describir el proceso de resolución de problemas conexperiencias compuestas. Cálculo de probabilidades totales y probabilidades «a posteriori».

U2: Las muestras estadísticas

ContenidosCriterios


evaluablesCC

Población y muestra

- El papel de las muestras.- Por qué se recurre a las

muestras: identificación, en cada caso, de los motivos por los que un estudio se analiza a partir de una muestra en vez de sobre la población al completo.

Características relevantes de una muestra

- Tamaño. Constatación del papel que juega el tamaño de la muestra.

- Aleatoriedad. Distinción de muestras aleatorias de otras que no lo son.

Muestreo. Tipos de muestreo aleatorio

- Muestreo aleatorio simple.- Muestreo aleatorio

sistemático.- Muestreo aleatorio

estratificado.- Utilización de los números

aleatorios para obtener al azar un número de entre N.

1. Conocer el papel de las muestras, sus características, el procesodel muestreo y algunos de los distintos modos deobtener muestras aleatorias (sorteo, sistemático, estratificado).

1.1. Identifica cuándo un colectivo es población o es muestra, razona por qué se debe recurrir a una muestra en una circunstancia concreta, comprende que una muestra ha de ser aleatoria y de un tamañoadecuado a las circunstancias de la experiencia.

CCL,

CMCT,

CAA

1.2. Describe, calculando los elementos básicos, el proceso para realizar un muestreo por sorteo, sistemático o estratificado.

U3: Inferencia estadística. Estimación de la media

ContenidosCriterios


evaluablesCC

Distribución normal

- Manejo diestro de la distribución normal.

- Obtención de intervalos característicos.

Teorema central del límite

- Comportamiento de las medias de las muestras de tamaño n: teorema central del límite.

- Aplicación del teorema centraldel límite para la obtención deintervalos característicos para las medias muestrales.

Estadística inferencial

- Estimación puntual y estimación por intervalo.• Intervalo de confianza.• Nivel de confianza.

- Descripción de cómo influye el tamaño de la muestra en una estimación: cómo varían el intervalo de confianza y el nivel de confianza.

Intervalo de confianza para la media

- Obtención de intervalos de confianza para la media.

Relación entre el tamaño de la muestra, el nivel de confianza y la cota de error

- Cálculo del tamaño de la muestra que debe utilizarse para realizar una inferencia con ciertas condiciones de error y de nivel de confianza.

1. Conocer las características de la distribución normal, interpretar sus parámetros y utilizarla para calcular probabilidades con ayuda de las tablas.

1.1. Calcula probabilidades en una distribución N(,).

CAA,

CCL,

CMTC

1.2. Obtiene el intervalo característico ( k) correspondiente a una cierta probabilidad.

2. Conocer y aplicar el teorema central del límite para describir el comportamiento delas medias de las muestras de un cierto tamaño extraídas de una población de características conocidas.

2.1. Describe la distribución de las medias muestralescorrespondientes a una población conocida (conn 30 o bien con la población normal), y calcula probabilidades relativas a ellas.

CCL,

CAA,

SIEP,

CSYC,

CMCT

2.2. Halla el intervalo característico correspondiente a las medias de cierto tamaño extraídas de una cierta población y correspondiente a una probabilidad.

3. Conocer, comprender y aplicar la relación que existe entre el tamaño de la muestra,el nivel de confianza y el error máximo admisible en la construcción de intervalos de confianza para la media.

3.1. Construye un intervalo de confianza para la media conociendo la media muestral, el tamaño de la muestra y el nivel de confianza.

SIEP,

CSYC,

CMCT 3.2. Calcula el tamaño de la muestra o el nivel de confianza cuando se conocen los demás elementos del intervalo.

U4: Inferencia estadística. Estimación de una proporción

ContenidosCriterios


evaluablesCC

Distribución binomial

- Aproximación a la normal.- Cálculo de probabilidades

en una distribución binomial mediante su aproximación a la normal correspondiente.

Distribución de proporciones muestrales

- Obtención de intervalos característicos para las proporciones muestrales.

Intervalo de confianza para una proporción (o una probabilidad)

- Obtención de intervalos deconfianza para la proporción.

- Cálculo del tamaño de la muestra que debe utilizarse para realizar unainferencia sobre una proporción con ciertas condiciones de error máximo admisible y de nivel de confianza.

1. Conocer las características de la distribución binomialB (n, p), la obtención de los parámetros , y susimilitud con una normal

( ),N np npq cuando

n · p 5.

1.1. Dada una distribución binomial, reconoce la posibilidad de aproximarla por una normal, obtiene sus parámetros y calcula probabilidades a partir de ella.

CCL,

CAA,

CSYC,

CMCT

2. Conocer, comprender y aplicar las características de la distribución de las proporciones muestrales y calcular probabilidades relativas a ellas.

2.1. Describe la distribución de las proporciones muestrales correspondiente a una población conocida y calcula probabilidades relativas a ella.

SIEP,

CAA,

CEC,

CSYC

2.2. Para una cierta probabilidad, halla el intervalo característico correspondiente de las proporciones en muestras de un cierto tamaño.

3. Conocer, comprender y aplicar la relación que existe entre el tamaño de la muestra, el nivel de confianza y el error máximo admisible en la construcción de intervalos de confianza para proporciones y probabilidades.

3.1. Construye un intervalo de confianza para la proporción (o la probabilidad) conociendo una proporción muestral, el tamaño de la muestra y el nivel de confianza.

CAA,

CEC,

CD,

CSYC,

CMCT 3.2. Calcula el tamaño de la muestra o el nivel de confianza cuando se conocen los demás elementos del intervalo.

U5: Límites de funciones. Continuidad

ContenidosCriterios


evaluablesCC

Límite de una función

- Límite de una función cuando x , x o x a. Representación gráfica.

- Límites laterales.- Operaciones con límites

finitos.

Expresiones infinitas

- Infinitos del mismo orden.- Infinito de orden superior a

otro.- Operaciones con expresiones

infinitas.

Cálculo de límites

- Cálculo de límites inmediatos (operaciones conlímites finitos evidentes o comparación de infinitos de distinto orden).

- Indeterminación. Expresiones indeterminadas.

- Cálculo de límites cuando x ® +¥ ox ® ¥ :• Cocientes de polinomios o

de otras expresiones infinitas.

• Diferencias de expresionesinfinitas.

• Potencias.- Cálculo de límites cuando x a–,x a+, x a:

• Cocientes.• Diferencias.• Potencias sencillas.

Continuidad. Discontinuidades

- Continuidad en un punto. Causas de discontinuidad.

- Continuidad en un intervalo.

1. Comprender el concepto de límite ensus distintas versiones de modo que se asocie a cada uno de ellos una representación gráfica adecuada.

1.1. Representa gráficamente límites descritos analíticamente. CAA,

CMCT,

CEC

1.2. Representa analíticamente límites de funciones dadasgráficamente.

2. Calcular límites de diversos tipos a partirde la expresión analítica de la función.

2.1. Calcula límites inmediatos que solo requieren conocer los resultados operativos y comparar infinitos.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSYC,

SIEP

2.2. Calcula límites (x ox ) de cocientes, de diferencias y de potencias.

2.3. Calcula límites (x c) decocientes, de diferencias yde potencias distinguiendo, si el caso loexige, cuando x c+ y cuando x c–.

3. Conocer el concepto de continuidad en un punto, relacionándolo con laidea de límite, e identificar la causa de la discontinuidad. Extender el conceptoa la continuidad en un intervalo.

3.1. Reconoce si una función escontinua en un punto o, si no lo es, la causa de la discontinuidad.

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP

3.2. Determina el valor de un parámetro para que una función definida «a trozos» sea continua en el «punto de empalme».

U6: Derivadas. Técnicas de derivación

ContenidosCriterios


evaluablesCC

Derivada de una función en un punto

- Tasa de variación media.- Derivada de una función

en un punto. Interpretación. Derivadas laterales.

- Obtención de la derivada de una función en un punto a partir de la definición.

- Estudio de la derivabilidadde una función en un punto estudiando las derivadas laterales.

Derivabilidad de las funciones definidas «a trozos»

- Estudio de la derivabilidadde una función definida a trozos en el punto de empalme.

- Obtención de su función derivada a partir de las derivadas laterales.

Función derivada

- Derivadas sucesivas.- Representación gráfica

aproximada de la función derivada de otra dada por su gráfica.

Reglas de derivación

- Reglas de derivación de las funciones elementales y de los resultados operativos.

1. Dominar los conceptos asociados a la derivada de una función: derivada en un punto, derivadas laterales, función derivada...

1.1. Asocia la gráfica de una función a la de su función derivada.

CCL,

CD,

CMCT,

CAA

1.2. Halla la derivada de una función en un punto a partir de la definición (límite del cociente incremental).

1.3. Estudia la derivabilidad de una función definida «a trozos», recurriendo alas derivadas laterales enel «punto de empalme».

2. Conocer las reglas de derivación y utilizarlas para hallar la función derivada de otra.

2.1. Halla la derivada de una función en la que intervienen potencias, productos y cocientes.

CCL,

CD,

CMCT,

CAA

2.2. Halla la derivada de una función compuesta.

U7: Aplicaciones de las derivadas

ContenidosCriterios


evaluablesCC

Aplicaciones de la primeraderivada

- Obtención de la tangente auna curva en uno de sus puntos.

- Identificación de puntos o intervalos en los que la función es creciente (decreciente).

- Obtención de máximos y mínimos relativos.

Aplicaciones de la segundaderivada

- Identificación de puntos o intervalos en los que la función es cóncava o convexa.

- Obtención de puntos de inflexión.

Optimización de funciones

- Cálculo de los extremos de una función en un intervalo.

- Optimización de funcionesdefinidas mediante un enunciado.

1. Hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos.

1.1. Dada una función, halla la ecuación de la recta tangente en uno de sus puntos.

CAA,

CMCT,

CCL

2. Conocer las propiedades que permiten estudiar crecimientos, decrecimientos, máximosy mínimos relativos, tipo de curvatura, etc., y saberlas aplicar en casos concretos.

2.1. Dada una función, sabe decidir si es creciente o decreciente, cóncava o convexa, en un punto o en un intervalo, obtiene sus máximos y mínimos relativos y sus puntos deinflexión.

CAA,

CCL,

SIEP,

CD

3. Dominar las estrategias necesarias para optimizaruna función.

3.1. Dada una función mediante su expresión analítica o mediante un enunciado, encuentra en qué casos presenta un máximo o un mínimo. CAA,

CCL,

SIEP,

CD

U8: Integrales

ContenidosCriterios


evaluablesCC

Primitiva de una función

- Cálculo de primitivas de funciones elementales.

- Cálculo de primitivas de funciones compuestas.

Área bajo una curva

- Relación analítica entre la función y el área bajo la curva.

- Identificación de la magnitud que representa el área bajo la curva de una función concreta. (Por ejemplo: bajo una función v-t, el área significa v · t, es decir, espacio recorrido.)

Teorema fundamental del cálculo

- Dada la gráfica de una función y f (x), elegir correctamente, entre varias, la gráfica de y F (x), siendo

( ) ( )= òx

aF x f x dx

.- Construcción aproximada

de la gráfica de

( )òx

af x dx

a partir de la gráfica de y f (x).

Regla de Barrow

- Aplicación de la regla de Barrow para el cálculo automático de integrales definidas.

Área encerrada por una curva

- El signo de la integral. Diferencia entre “integral” y “área encerrada por la curva”.

- Cálculo del área encerrada entre una curva, el eje X y dos abscisas.

- Cálculo del área encerrada entre dos

1. Conocer el concepto y la nomenclatura de las primitivas (integrales indefinidas) y dominar su obtención (para funciones elementales y algunas funciones compuestas).

1.1. Halla la primitiva (integral indefinida) de una función elemental. CAA,

CCL,

CMCT,

CEC

1.2. Halla la primitiva de una función en la que deba realizar una sustitución sencilla.

2. Conocer el proceso de integración y su relación con el área bajo una curva.

2.1. Asocia una integral definida al área de un recinto sencillo.

CAA,

CCL,

SIEP,

CMCT,

CD

2.2. Conoce la regla de Barrow y la aplica al cálculo de las integrales definidas.

3. Dominar el cálculo de áreas comprendidas entre dos curvas y el eje X en un intervalo.

3.1. Halla el área del recinto limitado por una curva yel eje X en un intervalo.

CD,

CAA,

CEC,

CSYC,

SIEP

3.2. Halla el área comprendida entre dos curvas.

curvas.

U9: Álgebra de matrices

ContenidosCriterios


evaluablesCC

Matrices

- Conceptos básicos: matriz fila, matriz columna, dimensión, matriz cuadrada, traspuesta, simétrica, triangular...

Operaciones con matrices

- Suma, producto por un número, producto. Propiedades.

- Resolución de ecuaciones matriciales.

Matrices cuadradas- Matriz unidad.- Matriz inversa de otra.- Obtención de la inversa de

una matriz por el método de Gauss.

n-uplas de números reales

- Dependencia e independencia lineal.

- Obtención de unan-upla combinación lineal de otras.

- Constatación de si un conjunto de n-uplas son L.D. o L.I.

Rango de una matriz

- Obtención del rango de una matriz por observación de sus elementos (en casos evidentes).

- Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss.

1. Conocer y utilizar eficazmente las matrices,sus operaciones y sus propiedades.

1.1. Realiza operaciones combinadas con matrices (elementales). CCL,

CAA,

CMCT,

SIEP

1.2. Calcula la inversa de unamatriz por el método de Gauss.

1.3. Resuelve ecuaciones matriciales.

2. Conocer el significado derango de una matriz y calcularlo mediante el método de Gauss.

2.1. Calcula el rango de una matriz numérica.

CAA,

CMCT,

SIEP,

CD

2.2. Calcula el rango de una matriz que depende de un parámetro.

2.3. Relaciona el rango de una matriz con la dependencia lineal de sus filas o de sus columnas.

3. Resolver problemas algebraicos mediante matrices y sus operaciones.

3.1. Expresa un enunciado mediante una relación matricial y, en ese caso, lo resuelve e interpreta la solución dentro del contexto del enunciado.

CCL,

CAA,

CMCT,

SIEP

U10: Programación lineal

ContenidosCriterios


evaluablesCC

Elementos básicos

- Función objetivo.- Definición de

restricciones.- Región de validez.

Representación gráfica de un problema de programación lineal

- Representación gráfica de las restricciones mediante semiplanos.

- Representación gráfica delrecinto de validez mediante intersección de semiplanos.

- Situación de la función objetivo sobre el recinto de validez para encontrar la solución óptima.

Álgebra y programación lineal

- Traducción al lenguaje algebraico de enunciados susceptibles de ser interpretados como problemas de programación lineal y su resolución.

1. Dados un sistema de inecuaciones lineales y una función objetivo, G, representar el recinto de soluciones factibles y optimizar G.

1.1. Representa el semiplano de soluciones de una inecuación lineal o identifica la inecuación que corresponde a un semiplano.

CEC,

CCL,

CAA,

SEIP,

CMCT

1.2. A partir de un sistema de inecuaciones, construye el recinto de soluciones y las interpreta como tales.

1.3. Resuelve un problema deprogramación lineal con dos incógnitas descrito de forma meramente algebraica.

2. Resolver problemas de programación lineal dados mediante un enunciado, enmarcando la solución dentro de este.

2.1. Resuelve problemas de programación lineal dados mediante un enunciado sencillo.

CD,

CMCT,

CCL,

CAA

2.2. Resuelve problemas de programación lineal dados mediante un enunciado algo complejo.

11.4. Temporalización:

Primer Trimestre:

13-SEP

28-SEP

1. Profundización en la Teoría de la Probabilidad. Asignación de probabilidades a sucesosmediante la regla de Laplace y a partir de su frecuencia relativa. Axiomática deKolmogorov.2. Identificación de experimentos simples y compuestos y de la dependencia e independencia de sucesos. Cálculo de la probabilidad condicionada.3. Utilización de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes para el cálculo de probabilidades iniciales y finales y el estudio de la verosimilitud de un suceso

1-OCT

22- DIC

1. Selección de una muestra en una población mediante diferentes métodos. Estudio deltamaño y la representatividad de la muestra.2. Cálculo de los parámetros de una población y estadísticos obtenidos a partir de una muestra. Estimación puntual.3. Obtención de la media y desviación típica de la media muestral y de la proporción muestral.4. Estudio de la distribución de la media muestral en una población normal, de la distribución de la media muestral y de la proporción muestral en el caso de muestras grandes.5. Estimación por intervalos de confianza y estudio de la relación entre confianza, error ytamaño muestral.6. Cálculo del intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica conocida.7. Cálculo del intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución de modelo desconocido y para la proporción en el caso de muestras grandes.

DURANTETODO EL

TRIMESTRE

PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICASEstos criterios de evaluación con sus respectivos estándares se trabajarán de forma transversalen el resto de los bloques temáticosCriterio 1 y 2 Estándares: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 38.

Segundo Trimestre:

8-ENE

26-ENE

1. Estudio de la continuidad y de las discontinuidades en funciones elementales ydefinidas a trozos.2. Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas sencillas a partir de sus propiedades locales y globales.

29-ENE

2-MAR

1. Aplicaciones de las derivadas al estudio de funciones polinómicas, racionales eirracionales sencillas, exponenciales y logarítmicas.2. Planteamiento y resolución de problemas de optimización relacionados con las cienciassociales y la economía.

5-MAR

23-MAR

1. Cálculo de primitivas de funciones elementales inmediatas y uso de sus propiedadesbásicas.2. Aplicación de la regla de Barrow y el cálculo de integrales definidas al cálculo de áreas de regiones planas.

DURANTEPROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS

Estos criterios de evaluación con sus respectivos estándares se trabajarán de forma transversal

TODO ELTRIMESTRE

en el resto de los bloques temáticosCriterio 1 y 2 Estándares: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 38.

Tercer Trimestre:

2-ABR

18-MAY

1. Estudio de las matrices como herramientas para la organización de datos estructuradosen tablas y la realización de operaciones. Clasificación de matrices y realización deoperaciones.2. Estudio del rango una matriz y cálculo de la matriz inversa.3. Cálculo de determinante hasta orden 3.4. Aplicación de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas en contextos reales.5. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales: discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales (hasta tres ecuaciones con tres incógnitas) mediante el Método de Gauss y otros métodos.6. Resolución gráfica y algebraica de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas y sistemas de inecuaciones.7. Aplicación de la programación lineal bidimensional a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos; mediante el cálculo de la región factible y la determinación e interpretación de las soluciones óptimas.

DURANTETODO EL

TRIMESTRE

PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICASEstos criterios de evaluación con sus respectivos estándares se trabajarán de formatransversal en el resto de los bloques temáticosCriterio 1 y 2 Estándares: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 38.

11. programación de 2º bachillerato: matemáticas aplicadas ...€¦ · resolución de problemas...

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