CAPÍTULO 3.

LA SUMA DE CONJUNTOS

3 - 1. Introducción. Las tres operaciones características de los conjuntos son : la suma, el producto y la comple-mentación. Cada una de esas tres operaciones lo que hace es crear un conjunto nuevo. Cada una de ellas nos dirá cómo hemos de proceder, cómo hemos de manipular los elementos de cada uno de los conjuntos que se conocen de antemano. Hay otras operaciones que pueden definirse con conjuntos, aparte de las tres operaciones características citadas. Ahora bien, esas otras operaciones admiten el quedarse reducidas a una expresión en la cual aparezcan las tres operaciones características o quizá solamente dos. En este capítulo vamos a dedicar nuestra atención a la operación suma y, en los dos capítulos siguientes, trataremos el producto y la complementación. Es habitual el dar la definición de suma partiendo de dos conjuntos ; la definición de suma para tres, cuatro o más conjuntos no tiene de nuevo nada más que el puro ejercicio de reiteración. Por otra parte, la suma, el producto y la complementación son la base del álgebra de conjuntos que es, como veremos más tarde, un álgebra especial. Y, como álgebra especial, aprovechará sus coincidencias con el álgebra ordinaria. Por lo pronto va a tomar prestado el signo ( + ) y va a imitar ―en lo que pueda― al álgebra ordinaria. Se establece así un parentesco que, sin duda, facilitará las cosas a la hora de trabajar con este álgebra especial. El parentesco entre la suma de conjuntos y la suma ordinaria

ayudará a retener en la memoria muchas propiedades. Se verá más adelante. Ahora bien, el signo prestado ―el signo ( + )― tendrá un significado diferente al del álgebra ordinaria, es decir, tendrá un significado diferente al habitual. En los próximos capítulos, se verá que el álgebra especial de los conjuntos es, en realidad, un álgebra de Boole. El álgebra de conjuntos está emparentada con el álgebra de proposiciones a través del álgebra de Boole. No es aconsejable ―aunque puede hacerse― omitir el estudio de la sección última de este capítulo porque ayuda a comprender el concepto expuesto en las cuatro primeras secciones. Queremos decir que el concepto de suma lógica que pertenece al Cálculo de Proposiciones, arroja luz sobre el concepto suma de conjuntos. Y por eso se recomienda su estudio. 3 - 2. Operación suma. Conocidos los conjuntos P y Q, construimos un nuevo conjunto S en la forma siguiente :

se toman los elementos del conjunto P y, a continuación, se agregan los elementos del conjunto Q.

El “proceso de creación” que se acaba de dar, en los dos destacados renglones anteriores, es el proceso suma. Y lo simbolizaremos con el signo ( + ). Ahora bien, la Matemática llama a ese proceso de creación : “operación suma”. Obsérvese que el conjunto obtenido ―el S―, los conjuntos que intervienen en el proceso ―el P y el Q―, y el proceso mismo quedan reflejados en la igualdad S = P + Q. La operación suma consiste, pues, en añadir a los elementos de un conjunto los elementos del otro conjunto. Y así,

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juntando elementos, se crea un conjunto nuevo. La acción descrita en cada uno de los siguientes verbos : agregar, añadir, unir, juntar, sumar, expresa la idea de formar una colección, formar un todo. Ésa, y no otra, es la idea de la operación suma de conjuntos. EJEMPLO 1. Dados los dos conjuntos P = { 1 , 2 , 3 , 4 } y Q = { 5 , 6 , 7 }. Se pide : encontrar P + Q.

Solución. P + Q = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }. Ha bastado con agregar los elementos de Q a los que hay en P para obtener la suma de P y Q. Ha bastado pues con escribir en forma correlativa los elementos de P y los de Q. EJEMPLO 2. El conjunto P está formado por las cinco primeras letras del abecedario, y el conjunto Q está formado por las cinco primeras consonantes del abecedario. Se pide : encontrar P + Q.

Solución. Ocurre, en este ejemplo, que hay ciertos elementos que están tanto en P como en Q. No ocurría así en el ejemplo anterior. Detallemos los elementos de cada uno de esos dos conjuntos : el conjunto P es { a , b , c , d , e }, mientras que Q es { b , c , d , f , g }. La definición de suma dada al principio de esta sección nos autoriza a escribir en forma correlativa los elementos de P y los de Q ; con lo que obtenemos el conjunto: { a , b , c , d , e , b , c , d , f , g } , es decir , P + Q = { a , b , c , d , e , b , c , d , f , g }. Ahora bien, dado que en P + Q han aparecido elementos repetidos, echaremos mano de lo que se dice en la sección 2 - 7, es decir, suprimiremos una de las repeticiones. Y de esa forma, la última igualdad queda así :

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P + Q = { a , b , c , d , e , f , g }.

O lo que es lo mismo :

{ a , b , c , d , e } + { b , c , d , f , g } = { a , b , c , d , e , f , g } Es conveniente introducir aquí una tabla. Con ella, se fijan las ideas dadas hasta ahora de lo que es el proceso suma. La tabla es :

x ∈ P x ∈ Q x ∈ ( P + Q )0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

La tabla ha de ser leída por filas : la primera dice que 0 − 0 da como resultado 0, es decir, si un determinado elemento no está en P ni tampoco en Q , entonces no está en P + Q ; la fila segunda dice que 0 − 1 da como resultado 1, es decir, si un determinado elemento no está en P pero sí está en Q , entonces está en P + Q ; la fila tercera dice que 1 − 0 da como resultado 1, es decir, si un determinado elemento está en P pero no está en Q , entonces está en P + Q ; la cuarta fila dice que 1 − 1 da como resultado 1, es decir, si un determinado elemento está en P y también está en Q , entonces está en P + Q. Obsérvese que cuando hay un elemento que está en los dos conjuntos, entonces el resultado es 1 , es decir, en la cuarta fila de la tabla (caso 1 − 1), el elemento está en la suma. Esta observación le puede recordar al lector el porqué se suprime uno de los elementos que se repiten ( está una vez en la suma, no está dos veces en la suma ).

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Hay otra forma de dar la definición de suma de conjuntos que es más frecuente y que exponemos ahora. Dados P y Q , es decir , dados { x ∈ R ; x ∈ P } y { x ∈ R ; x ∈ Q }, se define la suma mediante la siguiente igualdad :

{ x ∈ R ; x ∈ P } + { x ∈ R ; x ∈ Q } = { x ∈ R ; ( x ∈ P ) o ( x ∈ Q ) }

Es decir,

P + Q = { x ∈ R ; ( x ∈ P ) o ( x ∈ Q ) } Desde luego, la conjunción disyuntiva o que aparece en la expresión ( x ∈ P ) o ( x ∈ Q ) tiene un sentido inclusivo. Y eso quiere decir que los elementos del conjunto P + Q proceden :

de P nada más de Q nada más de P y también de Q

Y no pueden proceder de ningún otro sitio puesto que la defini-ción dada para el conjunto P + Q no lo permite. Así pues ante un elemento de entre los que hay en el conjunto P + Q , ocurre que ese elemento está inmerso en uno de esos tres casos anteriores. El caso último ( los elementos proceden de P y también de Q ) es el que le da a la disyunción o el matiz inclusivo ; y este caso queda reflejado en la última fila de la tabla anterior. Desde luego para el primer ejemplo, hay que suprimir la fila cuarta de la tabla que hay en la página 4 porque no hay elementos disponibles. No así en el ejemplo 2 porque un elemento de los que hay en P + Q puede proceder tanto de uno de ellos como de los dos. En Matemáticas siempre que se diga x procede de P o x procede de Q entenderemos que se ha dicho : x procede

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de, al menos, uno de los dos conjuntos P y Q. Esa es la norma habitual en Matemáticas. Ése es el significado que la Matemática atribuye a la disyunción o. Y ese significado se refleja muy bien en la tabla que hay en la página 4. Después de todo lo que se ha dicho sobre la suma de conjuntos, está claro que el concepto suma de conjuntos es diferente de aquel concepto tan primitivo y tan primario que el lector posee desde su más tierna infancia : la suma de números ( también llamada suma ordinaria ). El signo ( + ) con el que se nota la suma ordinaria está en la base del Álgebra. El signo ( + ) con el que se nota la suma de conjuntos está en la base del álgebra especial de los conjuntos que, como veremos ulteriormente, es un álgebra de Boole. Después de lo que se ha dicho, no hará falta ninguna habilidad para saber, ante un signo ( + ) , si se trata del signo ordinario o, por el contrario, se trata del signo especial. Una rápida observación nos dirá de cuál de ellos se trata. Hay otro matiz de la disyunción o que es muy usado en nuestra lengua : es el matiz exclusivo. Es muy frecuente en nuestra lengua, pero es poco corriente en la Matemática. Es tan poco habitual en esta disciplina que, para referirse a él, habremos de decirlo expresamernte. En la sección última de este capítulo, se habla del significado exclusivo de la disyunción o. 3 - 3. Representación gráfica de la suma de conjuntos. La suma de dos conjuntos queda muy bien descrita con el simbolismo : P + Q = { x ∈ R ; x ∈ P o x ∈ Q }. Eso se dijo en la sección anterior y también se dijo que cada uno de los verbos : agregar, añadir, unir, juntar, sumar expresa bastante bien la idea de suma de conjuntos. Pues

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bien, no sólo se puede recurrir a la Gramática para que venga en auxilio del simbolismo sino que también podemos echar mano del dibujo. Los dibujos que usaremos son los diagramas de Venn ; y, por supuesto, son capaces de dar una idea gráfica de lo que se entiende por suma de conjuntos. Sólo habrá que hacer los dibujos apropìados. La utilidad de los diagramas de Venn está restringida a los conjuntos que son de tipo finito y, además, se requiere que el número de elementos sea escaso. Por ello, ante un diagrama de Venn, debe pensar el lector en que la región dibujada tiene un número finito de elementos aun cuando, desde el punto de vista de la Geometría, una tal región consta de un número infinito de puntos. Con el fin de ilustrar el ejemplo 1 de la sección anterior, haremos dos figuras ; las colocaremos una al lado de la otra ; en la primera, estarán los dos conjuntos que se van a sumar y, por supuesto, el conjunto referencial ; y en la segunda figura, aparecerá el mismo dibujo pero con unas zonas de sombra. Pues bien, esas zonas sombreadas serán la representación de la suma.

Esas dos figuras anteriores ilustran el ejemplo 1 , pero no nos sirven como ilustración del ejemplo 2. No nos sirven porque no representan el matiz inclusivo, es decir, no represen-tan los elementos que están tanto en un conjunto como en el otro. Haremos por tanto otras dos figuras que ilustren el ejemplo 2. Y las situaremos, al igual que antes, una al lado de la otra. La segunda figura será la repetición de la primera pero, se

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sombreará, en ella, lo que es la suma. Vamos a dibujar por tanto unas figuras en las que las líneas que delimitan esos dos conjuntos se corten y, en consecuencia, haya una zona del dibujo que pertenezca tanto a un conjunto como al otro.

El señalar una zona de sombra más oscura tiene como objetivo el indicar que esa zona es común a ambos conjuntos, pero nada más. Así pues, la suma es todo lo sombreado, ya sea la sombra más clara, ya sea la sombra más oscura. 3 - 4. El número de elementos que hay en la suma de dos conjuntos. El concepto suma de conjuntos es muy genérico. Es tan general que pueden unirse conjuntos muy heterogéneos. Desde luego, en la Matemática Elemental ―la que un niño puede ver a edades muy tempranas― no pueden sumarse peras con manzanas porque el resultado no se sabría cuál es ; 4 peras sumado con 3 manzanas no arroja ningún resultado ( ni son 7 peras , ni son 7 manzanas ). Ahora bien, si nos atenemos a lo que hemos llamado suma de conjuntos no hay duda de que puede formarse un conjunto que esté compuesto por 4 peras y 3 manzanas ; sería el conjunto { p1 , p2 , p3 , p4 , m1 , m2 , m3 } que, desde luego, se ha obtenido sumando el conjunto { p1 , p2 , p3 , p4 } con el conjunto { m1 , m2 , m3 }. Puede así decirse que el conjunto suma es, para este ejemplo, un conjunto heterogéneo. Ahora

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bien, la homogeneidad o la heterogeneidad es algo que, ante el concepto suma de conjuntos, debe obviarse. Si nos fijamos, para este ejemplo, en el número de elementos que hay en la suma ―que es siete― y también en los que hay en cada uno de los conjuntos que la componen ―cuatro y tres, respectivamente―, se produce el hecho agradable de que el número de elementos que hay en el conjunto suma es igual a la suma ordinaria de los elementos que hay en un conjunto y en el otro. Este hecho, al que hemos calificado de agradable, tiene su simbolización matemática. Es la que expresamos a continuación : n ( P + M ) = n ( P ) + n ( M ). Téngase en cuenta que n ( P ) significa : número de elementos que hay en el conjunto P ―conjunto de peras―; n ( M ) significa : número de elementos que hay en el conjunto M ―conjunto de manzanas―; y , por último , n ( P + M ) significa: número de elementos que hay en el conjunto P + M ―conjunto suma en el que están las peras y las manzanas―. EJEMPLO 1. Supongamos que un Profesor tiene 30 Alumnos en su clase. Y supongamos que al pasar lista, en un determinado día de invierno, encuentra que están presentes en el aula 18 alumnos ( que pueden ser : Federico, Antonio, Verónica, Luis, etc. ). Pues bien, vamos a llamar P al conjunto de los alumnos presentes, y vamos a llamar n ( P ) al número de esos alumnos, es decir, n ( P ) = 18. Por otra parte, vamos a llamar A al conjunto de los alumnos ausentes ( que pueden ser : Silvia, Sergio, Raquel, etc. ) ; y al número de alumnos ausentes le llamaremos n ( A ) , es decir, n ( A ) = 12. Vale la pena observar que una cosa es P , mientras que n ( P ) es otra cosa. Y lo mismo con A y con n ( A ). Nos interesa resaltar que los números n ( P ) y n ( A ) pueden sumarse y, de esa forma, se obtiene la siguiente igualdad : n ( P ) + n ( A ) = 30.

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Obsérvese ahora que los alumnos de ese Profesor son los que están en clase, pero también lo son los que faltan ese día ; son los presentes más los ausentes ; son P + A. Al igual que antes, hemos de distinguir entre P + A y n ( P + A ). P + A es un conjunto , mientras que n ( P + A ) es un número ; P + A es el conjunto de personas formado por: Federico, Antonio, Verónica, Luis, Silvia, Sergio, Raquel, etc. , etc. ; mientras que n ( P + A ) es el número 30 , es decir , n ( P + A ) = 30. Utilizando la igualdad última , es decir , n ( P + A ) = 30 y utilizando además la otra igualdad anteriormente escrita, es decir, n ( P ) + n ( A ) = 30 , se deduce :

n ( P + A ) = n ( P ) + n ( A ).

Se sigue produciendo, en este problema, el hecho agradable de que el número de elementos que hay en el conjunto suma es igual a la suma ordinaria de los elementos que hay en un conjunto y en el otro. Esta situación se repetirá siempre que los conjuntos no tengan elementos en común ; es bastante claro que P y A no tienen elementos en común puesto que un alumno no puede estar presente en clase y, a la vez, estar ausente de clase. En el ejemplo que veremos ahora ―también en los dos siguientes―, el número de elementos que hay en el conjunto suma ya no va a ser igual a la suma ordinaria de los elementos que hay en ambos conjuntos. No podrá, por tanto, aplicarse la igualdad anteriormente escrita. El motivo : los elementos comunes. Los tres ejemplos, que siguen, serán por

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tanto del mismo tipo que el ejemplo 2 de la sección 3 - 2 , y el conjunto suma admitirá una representación con dos tipos de sombra ( una más clara y otra más oscura ). EJEMPLO 2. Supongamos el mismo Profesor del ejemplo anterior, y supongamos que tiene 20 lápices y 15 gomas de borrar y que piensa regalarlos, en el día de su Santo, a sus alumnos. Pues bien, llegado el día del Santo del Profesor y dándose además la circunstancia de que todos los alumnos están presentes en el aula, los hace desfilar uno a uno por delante de su mesa y les va entregando un único regalo : primero entrega los lápices hasta agotarlos, luego entrega las gomas de borrar. El ordenado desfile ―por delante de su mesa― no acaba hasta que se agotan los regalos. La primera pregunta que cabe hacerse es : ¿ hubo alumnos que pasaron por delante de su mesa en dos ocasiones ? Conteste el lector teniendo en cuenta que los objetos a regalar son 35 , mientras que los alumnos presentes en el aula son 30. Ante estos nú-meros ( el uno 30 , el otro 35 ) , no le queda más remedio que contestar afirmativamente a esa pregunta. Es decir, sí que hubo alumnos que pasaron dos veces y, en consecuencia, recibieron dos regalos. Pasemos ahora a la representación : representemos con L el conjunto de alumnos cuyo regalo fue un lápiz, y representemos con G el conjunto de alumnos cuyo regalo fue una goma de borrar. Conteste ahora el lector a la pregunta : ¿ podrían representarse los alumnos de este Profesor utilizando las letras L y G ? Para responder a esta pregunta, piense que los alumnos son los que recibieron un lápiz o los que recibieron una goma de borrar, o lo que es lo mismo , son L + G. Ahora bien, n ( L + G ) = 30. Pero, por otra parte, tenemos que n ( L ) + n ( G ) es 35 ( son los lápices más las gomas de borrar ). Así pues, nos encontramos ante la si-guiente situación : n ( L + G ) = 30 ; n ( L ) + n ( G ) = 35

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y, por ello, n ( L + G ) ≠ n ( L ) + n ( G ).

Si pretendemos que esa desigualdad anterior se transforme en una igualdad, no tenemos más remedio que restar 5 al segundo miembro ; así podemos escribir :

n ( L + G ) = n ( L ) + n ( G ) − 5. El número 5, que hay en el segundo miembro de la anterior igualdad, puede explicarse así : todos lo alumnos puestos de pie se sitúan contra la pared formando un círculo (más o menos un círculo) ; y comienzan a pasar uno a uno por delante de la mesa del Profesor ; y cada alumno va recibiendo un lápiz. Está claro que los veinte primeros alumnos reciben un lápiz, y que los diez siguientes reciben una goma de borrar. También está claro que el paso de los 30 alumnos por delante de su mesa no supone el que se agoten los regalos puesto que hay más regalos que alumnos. Lo único que supone es que el Profesor ha repartido ya 30 regalos. Pero todavía le quedan 5 gomas de borrar en las manos ; por eso, el círculo ( más o menos un círculo ) continúa girando y vuelven a pasar otra vez los que ya habían recibido un lápiz. Pero la rueda se detiene cuando pasan 5 alumnos más. Para el sexto alumno y siguientes, ya no hay más regalos. Sólo hubo 5 alumnos que recibieron dos regalos ; y ese número 5 es el que aparece en la anterior igualdad. EJEMPLO 3. Dado el conjunto referencial R = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }, se establecen, sobre él, los conjuntos : A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} , B = {1 , 2 , 4 , 8}. Calcular : a ) A + B y b ) n ( A + B ).

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Solución. a ) A + B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8 } b ) n ( A + B ) = n ( A ) + n ( B ) − 3 = 5 + 4 − 3 = 6

El número 3 , que aparece en el segundo miembro de la primera igualdad y que está restando, se debe a que hay tres elementos que son comunes a los conjuntos A y B ( son el 1 , el 2 y el 4 ).

EJEMPLO 4. Sea A un conjunto que está formado por las tres primeras vocales de nuestro abecedario, y sea B un conjunto que está formado por las tres últimas vocales de nuestro abecedario. Se pide : calcular el número de elementos que hay en A + B.

Solución. Puesto que las vocales que tiene nuestro abece-dario son cinco : a , e , i , o , u , el conjunto A de éste nuestro ejemplo , es A = { a , e , i }; y el otro conjunto es B = { i , o , u }. Conviene señalar que A es un conjunto de vocales y que B es otro conjunto de vocales y, por tanto, A + B debe ser un conjunto de vocales. Ahora bien, el conjunto A + B no puede estar formado por seis vocales ya que, en nuestro idioma, no hay nada más que cinco. Así pues, el que haya tres elementos en A y otros tres en B , no da como resultado que el número de ele-mentos que hay en A + B sea seis. No puede serlo porque , en nuestro idioma, no hay seis vocales. El resultado no es : tres más tres. El decir tres más tres supone el contar la vocal i dos veces : una vez formando parte del conjunto A , y otra vez formando parte del conjunto B. Por eso, hay que restar uno, es decir, el número de elementos que hay en el conjunto A + B será :

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( tres más tres ) − ( uno ).

Por estar la i en los dos conjuntos ―la i está duplicada en la suma― hay que restar uno. Así pues,

n ( A + B ) = n ( A ) + n ( B ) − 1 = 3 + 3 − 1 = 5

No podemos terminar esta sección sin dejar de decir que la suma de conjuntos se conoce también con el nombre de unión de conjuntos, y suele notarse con un signo que es parecido a la letra u ―inicial de la palabra unión―. El signo al que nos referimos es : ( ∪ ). Hay pues dos maneras de notar la suma de A y B : con A + B o con A ∪ B. Si a la suma anterior le llamamos S , podremos escribir lo que sigue S = A + B o podemos escribir S = A ∪ B. En este libro, se prefiere el símbolo ( + ) porque es más manejable que el símbolo ( ∪ ). Esta preferencia se debe a que el signo ( + ) hace más manejables los cálculos en las operaciones en las que se ven involucrados muchos conjuntos ; es decir, se trabaja mejor con el signo ( + ) porque podemos aprovechar las analogías ―que desde luego las hay― con el álgebra ordinaria. Pues bien, una vez que el lector ha sido puesto sobre aviso, utilizaremos el signo ( + ) o el signo ( ∪ ) indistintamente, aun cuando haya una mejor predisposición hacia el signo ( + ). Además, el símbolo ( + ) es mucho más familiar ya que se utiliza desde las más tempranas edades estudiantiles. Ahora bien, no se olvide que el signo ( + ) , que se utiliza en la suma de conjuntos , no tiene el mismo significado que el signo ( + ) que se utiliza en el álgebra ordinaria. Así pues, cuando el lector contempla A + B y contempla 3 + 4 , está claro que está contemplando dos significados muy diferentes para un mismo signo.

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Sin duda el lector puede preguntarse : ¿ conviene llamar suma de conjuntos al concepto definido en la sección 3 − 2 , o sería mejor llamarle unión de conjuntos ? Desde el punto de vista de la Matemática Elemental, parece conveniente llamarle unión de conjuntos porque así se evita el darle un nombre que se asemeja al de suma ordinaria. Ahora bien, desde el punto de vista del álgebra de Boole, es preferible utilizar el signo ( + ). 3 - 5. La suma lógica. Dado que la suma de conjuntos ha podido ser expresada con el auxilio de la conjunción o y dado que la conjunción o aparece en los comienzos de la Lógica Matemática creando el concepto de suma lógica, es conveniente que hagamos una pequeña incursión por el mundo de la Lógica. Ese concepto lógico aclarará el concepto algebraico, ya visto, de suma de conjuntos. Los dos conceptos ―el algebraico y el lógico― están muy empa-rentados. Y la causa de este parentesco es la conjunción o que servía para definir la suma de conjuntos y que va a servir ahora para definir la suma lógica.

Para formar una suma lógica se parte de dos proposiciones simples y se coloca, entre ellas, la conjunción disyuntiva o. Así por ejemplo, partiendo de las dos proposiciones :

p = la penicilina fue descubierta por Fleming q = un quinquenio es un periodo de tres años

se forma la siguiente suma lógica :

la penicilina fue descubierta por Fleming o un quinquenio es un periodo de tres años

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que puede simbolizarse con p + q. Lo primero que llamará la atención al lector es que el signo ( + ) ha sustituido a la conjunción disyuntiva o. El sentido del signo ( + ) no es pues el ordinario, es decir, el sentido de ese signo es diferente al habitual ( jamás 2 + 3 puede ser un ejemplo de la suma que acabamos de dar ; nosotros hablare-mos de suma de dos proposiciones, pero hemos de entender siempre que, al decir la palabra suma, queda sobreentendida la palabra ”lógica” ). Fíjese el lector en que p + q es una nueva proposición, aunque un poco más complicada, puesto que ha metido en su seno a las dos anteriores ; así pues, p + q es una proposición compuesta. Desde luego, en Lógica Matemática ―también llamada Lógica Simbólica o Lógica Moderna―, la proposición p + q se conoce con el nombre de suma lógica de p y q , pero es también muy habitual el darle el nombre de disyunción lógica de p y q ( lo que, por otra parte, es bastante natural ya que ha sido formada intercalando la disyunción o entre la p y la q ). En consecuencia, la proposición p + q puede leerse : p más q, pero también puede leerse p o q. De la proposición p puede decirse que es el primer sumando, y de la proposición q puede decirse que es el segundo sumando ; pero también puede decirse que p es el primer miembro de la disyunción, y que q es el segundo miembro de la disyunción. Lo que, en segundo lugar, puede haber llamado la atención del lector es el ejemplo puesto. Quizá el lector ha quedado ligeramente sorprendido ante la proposición compuesta :

la penicilina fue descubierta por Fleming o un quinquenio es un periodo de tres años

porque, de las dos proposiciones simples que aparecen ahí, la primera es cierta, mientras que la segunda es falsa. La sorpresa

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puede deberse a que no es habitual el formular una disyunción en la cual se sabe de antemano que uno de sus miembros es falso. En el lenguaje usual, es decir en el lenguaje ordinario, se suele formular una disyunción ―una suma lógica― cuando creemos que toda la disyunción ―toda la proposición compuesta― es verdadera, pero no sabemos con certeza si es cierto el primer sumando o es cierto el segundo sumando. Eso es lo que ocurre cuando alguien hace la siguiente aseveración : la palabra ' idolatría ' procede del latín o del griego. Es claro que la persona, que dijo esa proposición, tiene el convencimiento de que "idolatría" procede de una de esas dos lenguas, pero no sabe, con seguridad, de cual de ellas procede. En cada uno de los dos ejemplos puestos hasta ahora, hay un hecho que interesa resaltar : uno de sus miembros es cierto. En el ejemplo que damos a continuación, existe la posibilidad de que ambos miembros sean ciertos. Supongamos que alguien, desde la playa, mira un barco ; y supongamos que tiene la sensación de que el barco se está alejando ; y dice : el barco se está alejando o es que a mí me lo parece (desde luego, podemos eliminar el giro idiomático ―el modismo― "es que", con lo cual la oración quedará así : el barco se está alejando o a mí me lo parece ). Está claro que la persona que está en la playa no sabe con certeza si es que el barco se está alejando, o es que se lo parece, o es que se están dando las dos cosas al mismo tiempo. Así pues, la persona, que ha hablado, tiene ante sí tres posibilidades. Pues bien, nuestro idioma puede expresar esas tres posibilidades sin más que introducir una frase en la oración anterior. Basta con decir: el barco se está alejando o , por lo menos , a mí me lo parece. De esa forma, es decir, utilizando la frase por lo menos, se cubren las tres posibilidades citadas. Por otra parte, desde un punto de vista gramatical, la frase por lo menos, tiene el mismo significado que la frase al menos y, por ello, puede el lector

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utilizarlas indistintamente. Los tres ejemplos vistos hasta ahora tienen algo en común : un sumando es cierto ; en el primer ejemplo, está muy claro cuál es el sumando cierto ; en el segundo ejemplo, no está tan claro ; y en el tercer ejemplo, puede que sea cierto uno y también el otro. Antes de dar la regla que gobierna la suma lógica vamos a dar un cuarto ejemplo, y vamos a ver qué ocurre con cada uno de sus miembros. Hélo aquí :

los virus pueden parasitar vegetales o pueden parasitar bacterias

está claro que, en esa oración gramatical, la disyunción o enlaza dos oraciones simples, ahora bien, puede que el lector no tenga tan claro qué huéspedes son los que los virus ocupan. Es decir, puede que el lector no sepa cuál de esas dos oraciones simples es la verdadera. Si los virus pueden parasi-tar vegetales, entonces es cierta la primera oración simple ; si los virus pueden parasitar bacterias, entonces es cierta la segunda oración simple. Pues bien, si recurrimos a la Biología, ella nos dirá que los virus pueden infectar tanto a vegetales como a bacterias ; en consecuencia, las dos oraciones simples son ciertas. Y por eso, no hubiera habido mucho problema en decir : los virus pueden parasitar vegetales y pueden parasitar bacterias. Así pues, en este ejemplo, puede utilizarse la conjunción y en lugar de la conjunción o. Y no hay duda de que hubiera sido preferible el haber utilizado la conjunción y desde el principio ; concedamos que el no haberla utilizado se debe a que la persona, que dijo la disyunción , no tiene grandes conocimientos de Biología. El hacer esa concesión supone, de alguna manera, que la oración compuesta ―con la conjunción

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copulativa y― puede considerarse como un caso particular de la oración compuesta en la que está la conjunción disyuntiva o. Obsérvese que el titubeo que puede originarse entre elegir la conjunción copulativa y y elegir la conjunción disyuntiva o es previo a la consulta a la Biolo-gía ; después de la consulta, parece más indicada la conjunción copulativa y. Este cuarto ejemplo sigue teniendo la misma característica que los tres ejemplos anteriores, aunque aquí no sólo es cierto un sumando, lo son los dos. Hemos dicho hasta ahora cómo se forma la suma lógica ; hemos puesto cuatro ejemplos ; hemos dicho que , en cada uno de esos ejemplos, hay por lo menos un sumando que es cierto ; pero no hemos dicho nada acerca de la verdad o la falsedad de cada una de las cuatro disyunciones que constituyen esos ejemplos. Ha llegado pues el momento de que demos el criterio para saber si es cierto cada uno de los ejemplos citados o cualesquiera otros que puedan aparecer. La regla que gobierna la suma lógica dice :

p + q es cierta cuando, al menos, uno de sus sumandos es cierto

y, según esta regla, cada una de las cuatro disyunciones dadas en los ejemplos anteriores, es cierta. Lo es porque, al menos, uno de sus miembros es cierto. La regla señala que la suma ―la disyunción― es cierta en cualquiera de las tres posibilidades siguientes :

a ) que p sea cierta , b ) que q sea cierta ,

c ) que tanto p como q sean ciertas

Nótese que la regla de la suma no dice explícitamente cuándo p + q es falsa , pero sólo hay una posibilidad para que lo sea.

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En p + q hay un total de cuatro posibilidades (tres son ciertas según nos acaba de decir la regla ; y la cuarta posibilidad es la que no está dicha explícitamente, pero está sobreentendida : se sobreentiende que es falsa). Esas cuatro posibilidades citadas pueden visualizarse en una tabla. Y para construirla, tomamos el criterio siguiente : el símbolo ( 0 ) representará la falsedad de una proposición dada, mientras que el símbolo (1) representará la certeza de esa proposición. Tenemos así :

p q p + q0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Esta tabla recibe el nombre de tabla de verificación , y es conveniente leerla en horizontal, es decir, por filas. Sus cuatro filas no son más que la visualización de las cuatro posibilidades que hay inmersas en la suma lógica. Obsérvese que lo que hay escrito en la tabla puede decirse así :

El resultado de la suma es falso cuando ambos sumandos son falsos, y el resul-tado es verdadero en los demás casos.

De la fila primera de la tabla , puede decirse que es la posibili-dad 0 − 0 , y que su resultado es 0 ; que la fila segunda es la posibilidad 0 − 1 , con resultado 1 ; que la fila tecera es la posibilidad 1 − 0 , con resultado 1 ; y que la fila cuarta es la posibilidad 1 − 1 , con resultado 1. El colocar las filas en ese orden se debe a que, en el sistema de numeración binario, ese es el orden más adecuado ( si el lector no conoce el sistema

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de numeración binario, apréndase ese orden de memoria ). La tabla indica mediante símbolos numéricos que la fila primera es falsa y que todas las demás filas son verdaderas. Además, es interesante observar que la suma lógica p + q coincide con la suma ordinaria en todas las filas, salvo en la última ; así tenemos que 0 + 0 = 0 ; que 0 + 1 = 1 ; que 1 + 0 = 1 ; pero se produce la sorpresa de que 1 + 1 = 1. El sobresalto, que esa última igualdad haya podido producir, se desvanece en cuanto se haga una interpretación correcta de esa igualdad. La igualdad significa que ( cierto ) o ( cierto ) arroja el resultado de (cierto). Conviene darse cuenta que la regla de la disyunción ―de la suma lógica― coincide con lo que, en la Gramática, llamamos disyunción inclusiva. Y que la disyunción inclusiva considera que la y queda incluida dentro de la o , siempre y cuando el sentido de la oración gramatical no lo prohiba ( esto no es, ni más ni menos, que lo que dice el apartado c) que se ha señalado anteriormente ). Así, en los paracaídas pueden enredarse o desgarrarse no hay nada que impida el que los paracaídas puedan enredarse y desgarrarse al mismo tiempo, es decir, nada se opone a que ambos sumandos sean ciertos ; por eso admitiremos que la o de este ejemplo es la que se expresa en la tabla, es decir, es una o de tipo inclusivo. Y lo mismo para cualquier otro ejemplo, es decir, supondremos que todas las disyunciones son inclusivas, salvo que el sentido lo prohiba. Así pues, la tabla de verificación ―que no es más que la traducción a símbolos de lo expresado en la regla― es la tabla de la o inclusiva. Según lo que acabamos de decir, leeremos p + q como p o q tal y como se dijo al principio de esta sección ; y no hará falta entremezclarle la frase al menos, es decir, no hará falta el leer p + q como p o, por lo menos, q. El

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sentido inclusivo lo hace innecesario. Nótese que el decir el barco se está alejando o, por lo menos , a mí me lo parece es lo mismo que decir el barco se está alejando o a mí me lo parece, siempre y cuando esta o tenga un sentido inclusivo. Además en Matemáticas, el sentido inclusivo de la disyunción o suele ser la norma general. El ejemplo que ponemos ahora va a quedar bastante detalla-do porque se vuelve a discutir el sentido de la disyunción o ―de la suma lógica―; se hace un diagrama de Venn ; y se construye una tabla de verificación. Hélo aquí : al llegar a tu casa , encontrarás a tu padre o a tu madre , algún lector puede argüir que, con esa oración disyuntiva, sólo se quiere decir que se puede encontrar a uno de los progenito-res, pero no a los dos ; y puede añadir : si se hubiera querido decir que se iba a encontrar a los dos, se hubiera utilizado la conjunción y, en lugar de la conjunción o. Quizá otro lector puede argüir que en sentido amplio, esa oración disyuntiva admite la posibilidad de encontrar a ambos ; y puede añadir : se utilizó la o porque no había seguridad de que se pudiese encontrar a los dos. El litigio entre esos dos lectores se resuelve echando mano de la suposición que hemos hecho en la página 20 y que está escrita en negrita con el fin de darle relieve. Con tal suposición, hay que dar la razón al segundo lector. Así pues, con esa oración se quiere decir que, una vez que el lector ha llegado a su casa, se puede encontrar con alguna de las tres siguientes posibilidades : que encuentre a su padre nada más, que encuentre a su madre nada más, o que encuentre a ambos. La tercera posibilidad es la que confiere a la o el sentido inclusivo ; es decir, la posibilidad de encontrar al padre y también a la madre es la que hace que la o sea inclusiva.

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Ilustramos ahora este ejemplo con un gráfico. Para ello, vamos a suponer que la oración al llegar a tu casa, encontrarás a tu padre o a tu madre ha sido dicha a un grupo de 120 alumnos que están presentes en un aula. Vamos a representar dentro de un conjunto, que podemos llamar P , a aquellos alumnos que al llegar a su casa encuentran a su padre ; vamos a representar, dentro del conjunto M, a aquellos alumnos que al llegar a su casa encuentran a su madre. Por tanto, en la intersección de los conjuntos P y M, estarán representados aquellos alumnos que, al llegar a su casa, encuentran al padre y también a la madre. En el dibujo, se van a señalar unos cuantos puntos que son representativos de cada una de las posibilidades que hay en la disyunción enunciada. Los puntos son : f , g , h , i (en los diagramas de Venn, es costumbre representar los elementos ―los puntos― con letras minúsculas).

El punto f puede representar a Francisco, el punto g puede ser Gabriel, el punto h puede ser Hilario, el punto i puede ser Isabel. Pues bien, basta observar ese dibujo para concluir que Francisco no encuentra ni a su padre ni a su madre; Gabriel encuentra a su madre nada más ; Hilario encuentra a su padre nada más ; Isabel encuentra a sus dos progenitores. La disyunción es pues cierta para Gabriel, Hilario e Isabel ; ahora bien, para Francisco, resulta ser falsa. Vale la pena observar que los 120 alumnos están dentro del rectángulo dibujado, y que f , g , h , i representan las cuatro

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posibilidades que ofrece la disyunción enunciada. Y no hay más posibilidades para esa disyunción. Puede decirse, por otra parte, que la disyunción resulta ser cierta en la zona del gráfico que corresponde a P + M ; y que la disyunción resulta ser falsa en la zona que está fuera de P + M. En consecuencia, la disyunción resulta ser cierta en lo que es la suma de los dos conjuntos dibujados. ¿ Ve ya el lector una conexión entre la suma lógica y la suma de conjuntos ?

Para este ejemplo, construimos ahora una tabla y asig-namos una letra a cada una de las proposiciones que hay ahí. Es decir, hacemos :

p = al llegar a tu casa , encontrarás a tu padre m = al llegar a tu casa , encontrarás a tu madre

Tenemos así las cuatro posibilidades, expresadas en las cuatro filas de la siguiente tabla :

p m0 0 0 1 1 0 1 1

Y si a esa tabla de posibilidades le añadimos la columna p + m tendremos

p q p + m0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Que es, sin duda, la tabla de verificación para nuestro ejemplo. Hablando en lenguaje coloquial, se ha dado una posibilidad para Gabriel ; para Hilario, se ha dado la otra posibilidad ; y para

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Isabel, se han dado las dos posibilidades ; sin embargo, para Francisco no se ha dado ninguna posibilidad. He aquí otro detallado ejemplo que es de tipo monetario : La entrada a un cine-club está abierta al público en general, y cuesta 3,5 euros. Ahora bien, dado que a ese cine-club asisten estudiantes, se desea favorecerlos ; pero claro, también hay que favorecer a los socios. En consecuencia, se toma la decisión de colocar un cartel, en la fachada, que dice :

Se descuentan 2 euros a quienes sean socios o estudiantes

Construyamos la tabla de verificación para este ejemplo.

s e s + e0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Cada persona, que se presente en la puerta del cine-club, estará inmersa en alguna de las cuatro posibilidades siguientes : 1ª − Que no sea socio ni sea estudiante ( caso 0 - 0 ), por lo cual no tendrá rebaja y habrá de pagar la entrada completa.

2ª − Que no sea socio, pero sí estudiante ( caso 0 - 1 ), con lo cual se le descuentan 2 euros.

3ª − Que sea socio, pero no estudiante ( caso 1 – 0 ), con lo cual se le hace el descuento.

4ª − Que sea socio y a la vez estudiante ( caso 1 – 1 ), con lo cual se le descuentan 2 euros al sacar la entrada. Nótese que la disyunción o de este ejemplo, es de tipo inclusivo, a pesar

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de no descontarse 4 euros ( 2 por ser socio y 2 por ser estudiante ; en cuyo caso esa persona ganaría dinero por ver la película ). Puede construirse un diagrama para ilustrar este ejemplo y, en él, se van a señalar cuatro tipos de elementos : los del tipo f , los del tipo g , los del tipo h , los del tipo i.

Pues bien , obsérvese que el tipo f corresponde a la primera fila de la tabla de verificación , o lo que es lo mismo , el tipo f corresponde a la posibilidad ( 0 - 0 ) ; el tipo g corresponde a la segunda fila de la tabla, es decir, corresponde a la posibilidad ( 0 - 1 ) ; el tipo h corresponde a la tercera fila de la tabla, es decir, corresponde a la posibilidad ( 1 - 0 ) ; y, por último, el tipo i corresponde a la cuarta fila de la tabla, es decir, corresponde a la posibilidad ( 1 - 1 ). Pues bien, puede contemplarse que s + e es verdadera justo en lo que es la suma de los conjuntos S y E. De esa forma, hemos puesto de manifiesto la interconexión que hay entre ambos tipos de suma : la suma lógica y la suma de conjuntos. Después de lo que hemos dicho en esta sección, debe quedar claro que la suma lógica no es ni más ni menos que la o

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inclusiva , y que se representa con el signo ( + ). Ahora bien, hay otro tipo de o que no puede representarse con el signo más : es la o exclusiva. Esta o es una disyunción que no admite que 1 + 1 sea 1, es decir, las dos oraciones simples enlazadas por una o no pueden ser ciertas a la vez. La certeza de una obliga a que la otra sea falsa. Como ejemplo de lo que estamos diciendo, veamos lo que dice un estudiante que le debe dinero a otro. El estudiante deudor afirma :

los diez euros te las daré mañana o pasado.

Está claro que el deudor puede entregar esos diez euros el día de mañana o puede entregarlas pasado mañana ; pero lo que no va a hacer, con toda seguridad, es entregar diez euros mañana y otros diez euros pasado mañana. Esta oración es, pues, cierta en el caso 1 − 0 y en el caso 0 − 1 , pero no puede ser cierta en el caso 1 − 1. Es más, el deudor ni se plantea el caso 1 − 1 ; no pasa por su mente el pagarle la deuda mañana y el volver a pagársela pasado mañana. En consecuencia, al caso 1 − 1 hay que asignarle el valor 0. A la posibilidad 1 − 1 se le asigna el valor 0 porque no procede el pago doble ―el deudor pagaría el doble de la deuda, si entregara diez euros mañana y otros diez euros pasado mañana―. Así pues, que la o es inclusiva quiere decir que hay la posibilidad del caso 1 − 1 , con resultado 1. Pero, el ser la o exclusiva significa que la posibilidad del caso 1 − 1 no ha lugar o, si se prefiere, que el resultado es 0. Queda claro que la o exclusiva es distinta de la o inclusiva. Y por ello, la Lógica Matemática asigna dos nombres distintos a esos dos diferentes conceptos. A la o inclusiva le llama suma lógica, como ya dijimos con anterioridad. Mientras que a la o exclusiva le llama suma disyuntiva. Dejaremos sin embargo para el capítulo octavo la forma en que la suma disyuntiva puede ser expresada en función de la suma lógica.

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La suma lógica puede representarse también con el símbolo ( ∨ ). Ese símbolo ―ese signo― es el que tradicionalmente se usa, y procede de la letra inicial de la palabra latina vel que pasó, a lo largo de la historia, a convertirse en la palabra española o. Así desde un punto de vista tradicional, la oración se han eliminado o reducido metástasis del pulmón se representa con e ∨ r (siendo e la representación de se han eliminado metástasis del pulmón, y siendo r la representación de se han reducido metástasis del pulmón). Ahora bien, por razones de tipo algebraico, suele preferirse el signo ( + ) al signo ( ∨ ) y, por eso, es preferible la notación e + r. De acuerdo con la suposición que hicimos, consideraremos que la o de ese ejemplo es de tipo inclusivo ; por tanto, puede darse el caso que las metástasis han sido eliminadas o puede darse el caso de que las metástasis han sido reducidas, y por qué no también puede darse el caso de que las metástasis fueron reducidas y, a la vez, eliminadas (son los tres casos en que la oración gramatical es verdadera). Así pues, e + r será cierta cuando sea cierta e, cuando sea cierta r, y cuando sean ciertas ambas. Por supuesto, e + r será falsa cuando ambos sumandos sean falsos. Para acabar esta sección, conviene señalar algún aspecto que ha podido pasar desapercibido al lector. Si vuelve a leer la definición que hemos dado de suma lógica , o lo que es lo mismo, si vuelve a fijarse en la tabla de verificación, compro-bará que no aparecen allí ni aspectos psicológicos, ni matices, ni otras posibles connotaciones. La definición no los tiene en cuenta. El resultado de la suma lógica será verdadero o será falso según sea el valor de verdad de sus sumandos ; pero no aclara la conexión que pueda existir entre ellos. Hablando en lenguaje coloquial, la regla es aséptica, es decir, el resultado de p + q no está contaminado por los matices que pudiera haber

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tanto en p como en q. El lenguaje proposicional no se rige por matices, ni por ambigüedades. La regla es pues clara y precisa. Sin ambigüedad. Veamos en el siguiente ejemplo cómo aparece la ambigüedad o los enredos de tipo psicológico. Supongamos que dos antiguas amigas, Ana y Carmen, se encuentran después de varios años. Carmen tiene tres hijos, pero Ana no lo sabe. Ana pregunta a Carmen : ¿ Cuántos hijos tienes ? Y Carmen contesta : Tengo tres o cuatro hijos. El lector estará de acuerdo en que Ana queda, con esa res-puesta, sumamente sorprendida. Ana puede pensar : ¿ me está engañando ? ¿ por qué no quiere decirme la verdad ? ¿ quién mejor que ella va a saber los hijos que tiene ? Ana ha quedado tan desconcertada que puede poner en duda su antigua amistad con Carmen. Todo ese proceso de desconfianza ha sido creado por el conectivo o ( ¡ el conectivo suma a punto de romper una amistad ! ). Ahora bien, si prescindimos de las connotaciones de tipo psicológico, de tipo emocional o de cualesquiera otras, y nos atenemos al conectivo disyunción, tal y como lo entiende el Cálculo de Proposiciones ―tal y como lo hemos definido anteriormente― entonces Carmen dijo, pura y simplemente, la verdad. Carmen no pretendía enredar a Ana, ni tampoco dejar su pregunta sin contestar. Si se quiere culpar de algo a Carmen, puede ser de la frialdad de su respuesta, pero nada más. La frialdad de la respuesta de Carmen es la frialdad del Cálculo de Proposiciones. Carmen respondió con el caso 1 - 0 que como sabemos por la tabla es cierto. Sin embargo, en la siguiente oración que habla sobre los hijos que tuvo la reina Nefertari ( esposa de Ramsés II ), la situación no es la misma que en la oración anterior, aun cuando hay una coincidencia casi total, en su enunciado : la reina

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Nefertari tuvo seis o siete hijos. Aquí la conjunción o no tiene un papel equívoco sino que hace referencia a la falta de conocimiento acerca del número exacto de hijos que tuvo esa reina que vivió en el siglo XIII antes de Jesucristo. Este otro ejemplo puede resultar también llamativo :

Nueva York es una ciudad grande o el oso es un plantígrado

Desde el punto de vista de nuestro lenguaje habitual, este ejemplo es sorprendente. Causa sorpresa el relacionar dos con-ceptos tan dispares, a saber : la extensión de una ciudad y la clasificación zoológica de un animal. Nos encontramos, con este ejemplo, ante el caso 1 - 1, y la regla del conectivo suma nos dice que la oración compuesta, de nuestro ejemplo, es cierta. Ese valor de certeza lo hemos podido alcanzar gracias a la regla que rige el conectivo o ; por el uso de nuestro lenguaje corriente jamás hubiésemos obtenido la certeza de tal oración ―es que en nuestro lenguaje cotidiano tal aseveración no tiene cabida―. A lo largo de la Historia, la conjunción disyuntiva o originó ―y quizá todavía origina― grandes discusiones. La causa está en las connotaciones que puede llevar aparejadas, es decir, la causa está en los matices que conlleva el lenguaje usual. Pues bien, el Cálculo de Proposiciones ―la Lógica Matemática― prescinde de las connotaciones de tipo psicológico o de cualesquiera otras que pudieran darse. Este Cálculo se limita a poner una proposición al lado de la otra, y a colocarle la o en medio. Los matices presentes en la o del lenguaje usual no interesan al Cálculo de Proposiciones. Este desinterés por los matices supone una generalización del sentido de la disyunción o. Y esa generalización supone el que

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puedan formarse oraciones que carecen de sentido en el lenguaje usual, o por lo menos, que son desconcertantes en ese lenguaje. Pueden formularse proposiciones como las si-guientes :

− En la Antártida hace un frío muy intenso o en Madrid hay un parque zoológico.

− En la Antártida hay pingüinos o en Madrid hay un parque zoológico.

− La Antártida es un continente helado o los paracaídas se hacían de seda.

− Un bacilo es un tipo de bacteria o Palencia está en el paralelo 42

− Dos multiplicado por dos es igual a cuatro o Juana fue al baile.

Desde luego, la persona que escucha la proposición última :

2 × 2 = 4 o Juana fue al baile queda bastante desconcertada y quizá queda pensando que la persona, que ha dicho eso, debiera cuidar lo que dice y debiera ser más sensata. Son los inconvenientes de una generalización que se apoya en el lenguaje usual. De todas formas, piense el lector que la generalización, a que nos estamos refiriendo, tiene su interés en Matemáticas o en Lógica Matemática, pero digamos que no procede en nuestro lenguaje habitual. Así pues, la proposición dos por dos es igual a cuatro o Juana fue al baile puede y debe admitirse cuando estudiamos Matemáticas o estudiamos Lógica Mate-mática, pero digamos que debiera rechazarse cuando hacemos uso de ella en el lenguaje ordinario.

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