Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos

U N I V E R S I D A D D E P U E R T O R I C O E N A R E C I B O

D E P A R T A M E N T O D E M A T E M Á T I C A S

P R O F A . Y U I T Z A T . H U M A R Á N M A R T Í N E Z

A D A P T A D A P O R

P R O F A . C A R O L I N E R O D R Í G U E Z M A R T Í N E Z

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es una colección bien definida

de objetos.

“Bien definida” se refiere a que para cualquier objeto que consideramos, podemos determinar si está o no, en el conjunto.

Una colección no está bien definida si el criterio que determina si un elemento pertenece o no al conjunto depende de opiniones o preferencias.

Ejemplos

Conjuntos bien definido

El conjunto de las vocales del alfabeto español.

El conjunto de los profesores de matemáticas de la UPRA durante el primer semestre del 2017-2018.

Conjunto que NO está bien definido

El conjunto de los mejores sabores de mantecado

El conjunto de los actores más guapos de Hollywood

Notación de lista para conjuntos

Los objetos que forman un conjunto se llaman los elementos del conjunto.

Un conjunto se puede representar enumerando sus elementos separados por comas y entre llaves.

Esta notación se conoce como forma de listado o lista.

Por ejemplo:

1. Los elementos del conjunto de las vocales del alfabeto español son {a, e, i, o, u}.

2. Los elementos del conjunto de los colores primarios se son {azul, rojo, amarillo}.

Notación de elementos

Los elementos del conjunto se denotan o representan con letras minúsculas.

Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, y C, para representarconjuntos.

Para un conjunto A, escribimos a ∈ A si a es un elemento de A (∈significa “pertenece al conjunto”).

Para un conjunto A, escribimos a ∉ A si a NO es un elemento de A (∉ significa “NO pertenece al conjunto”).

Por ejemplo:

Sea B = {☼, ♫, ☺, □} entonces,

☺___ B

@ ___B

Conjunto vacío

El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que NO contiene elementos.

Se denota como {} o Ø.

Por ejemplo:

El conjunto de los estudiantes de este salón que han ido al satélite de la Tierra llamado la Luna.

Subconjunto

C es subconjunto de D y escribimos

C D

si cada elemento de C es un elemento del conjunto D.

Ejemplo:

Sea D = {1, 2, 3, %, 0} y C = {%, 1} entonces, C D, por que todos los elementos de C son también elementos de D.

Cierto o Falso: D es subconjunto de D.

Ejemplo

Indique si la aseveración es cierta o falsa:

Si A = {lunes, martes, jueves} y

B = {lunes, martes, viernes} entonces

B A.

Solución:

Para el siguiente ejercicio, el símbolo implica “subconjunto de”.

Conjuntos numéricos

Naturales

Números de conteo

{1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

A este conjunto se le asigna la letra N.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Cardinales

• Son utilizados para contar el número de elementos en un conjunto dado.

• Se compone de los números naturales + cero

• En inglés el conjunto se llama “Whole Numbers” por lo que algunos le designan la letra W.

W = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Opuestos de naturales

2 0

Dos números son opuestos o inversos aditivos si al sumarlos el total es cero.

Por ejemplo:

En general, cualquier número real más su opuesto es igual a cero.

Para n un número real,

n + (─n ) = ─n + n = 0.

1 1 0

2

(-5) + = 05

(-10) + = 010

Enteros

La unión de los naturales, cero y los opuestos de los naturales

{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

es el conjunto de los enteros.

A este conjunto se le asigna la letra Z.

Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

Sub-conjuntos de los Enteros

implica “es subconjunto de”

El conjunto de los naturales es subconjunto del conjunto de los enteros, N Z, ya que todos los elementos de N están en Z.

El conjunto de los cardinales es un subconjunto de Z, W Z.

Más sub-conjuntos de los Enteros

Al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, …} se le llama el conjunto de los enteros no negativos pues no contiene enteros negativos.

Al conjunto {…, −4, −3, −2, −1, 0} se le llama el conjunto de los enteros no positivospues no contiene enteros positivos.

El conjunto de los enteros positivos es {1, 2, 3, 4, …} y se denota 𝑍+

El conjunto de los enteros negativos es{…, −4, −3, −2, −1} y se denota 𝑍−.

Naturales

N={1, 2, 3, 4, …}{0} {-1, -2, -3, …}

Enteros,

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Racionales

Este conjunto está compuesto por los enteros, las fracciones de naturales y los opuestos de las fracciones de naturales.

A este conjunto se le asigna la letra Q.

𝑄 =𝑝

𝑞| 𝑝 ∈ 𝑍, 𝑞 ∈ 𝑍 𝑦 𝑞 ≠ 0

Racionales

Ejemplos:

5

3

11

4

11

4

8

5

8

5

9

2

9

2

42

8

33

9

07

0

Fracciones

de

naturales

Opuestos de

fracciones de

naturales

Enteros

510

50

Tipos de números racionales

Cualquier número racional se puederepresentar con uno de dos tipos de númerosdecimales:

decimal exacto

Ejemplo:

decimal periódico (o decimal inexacto)

Ejemplo:

2504

1.

3033303

1.....

3

8= 0.375

5

12= 0.41666… = 0.41 6

Naturales

N={1, 2, 3, 4, …}{0} {-1, -2, -3, …}

Enteros,

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Fracciones de naturalesOpuestos de fracciones

de naturales

Racionales

Irracionales

Un número que NO se puede representar como el cociente de dos enteros, es irracional.

La representación decimal de los númerosirracionales

a) nunca termina (no es exacta)

b) nunca se repite (no es periódica).

Irracionales

Ejemplos

3 ≈ 1.7320508075688772935274463415

Comparación entre un número racional y uno irracional

0.714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 …

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011

2 5

7=

Reales

Es la unión del conjunto de los númerosracionales y del conjunto de los númerosirracionales.

Básicamente, es el conjunto que contienetodos los números que usamos en nuestrodiario vivir para hacer cómputos.

Se denota con R.

Naturales

N={1, 2, 3, 4, …}{0} {-1, -2, -3, …}

Enteros,

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Fracciones de naturalesOpuestos de fracciones

de naturales

Racionales,

Q = {p/q | p, q son enteros y q ≠ 0}

Irracionales

Reales, R

¿Cuál miembro de A pertenece a cada conjunto?

A = 0,−𝜋,4

3, 2 3, 1.414,

2

7, 12. 3, 7, −23

NATURALES:

ENTEROS:

RACIONALES:

IRRACIONALES:

REALES:

7

Operaciones con conjuntos

Operación de conjuntos: Unión

Para A, B la unión de A y B está dada por:

A B = {x | x A o x B}.

Este conjunto contiene a los elementos en A o en B o en ambos.

Ejemplo

Si A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {6, 8, 10, 12, 14} y

C = {4, 6, 10}, determine:

1. A B =

2. A C =

3. B C =

Operación de conjuntos: Intersección

Para A, B la intersección de A y B está dada por:

A B = {x | x A y x B}.

Este conjunto contiene todos los elementos que están en A y en B, simultáneamente.

Ejemplo

Si A = {1, 3, 5, 8, 10}, B = {1, 6, 8, 10, 12, 14} y C = {14, 16, 18}, determine:

1. A B

2. B C

3. A C

4. C B

Conjuntos disyuntos

Si A B = Ø entonces A y B son conjuntos disyuntos.

Dos conjuntos son disyuntos si no tienen elementos en común.

Ejemplo: Si A = {1, 3, 5, 7, …}, B = {0, 2, 4, 6, 8,…} y C = {23, 24, 25, …}

Cierto o Falso

_____ A∩ B = ∅

_____ C ∩ B = ∅

Práctica: Determinar cada unión o intersección

si:

A={2,5}, B={5, 7, 9}, C={1, 3, 5, 7} y

D={2, 4, 6, 8} determine:

La recta numérica real

Los números reales se pueden localizar en unarecta numérica, colocando un punto en la localización correcta del número.

A = −2, 0, 2, −1

2,1

3, 𝜋,

11

4, − 2, 16

Notación constructiva o generadora de conjuntos

Notación constructiva o generadora para conjuntos

Otra representación para un conjunto es la forma constructiva o generadora de conjuntos.

En esta forma se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos.

Al igual que en forma de listado se utilizan llaves.

Ejemplo:

El conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, …, 10} en notación constructiva se puede escribir de varias formas,

Notación constructiva

Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5,…, 100} en notación constructiva.

Observación: D = {x | x ≤ 100}, es un conjunto distinto, ya que D contiene TODOS los números menores o iguales a 100.

Por ejemplo,

0 ∈ D pero 0 ∉ C;

-50 ∈ D pero -50 ∉ C;

½ ∈ D pero ½ ∉ C

2 ∈ D pero 2 ∉ C

25.35 ∈ D pero 25.35 ∉ C

De notación constructiva a lista

Ejemplo: Escriba el conjunto “los naturales entre 5 y 10” en notación constructiva y en forma de lista:

Solución: