Jorge Martínez Sánchez

CONJUNTOSy

FUNCIONES

1973Programa Nacional de Formación de Profesores

ASOCIAClON NACIONAL DE UNIVERSIDADES E INSTITUTOS DEENSENANZA SUPERIO~

Primera edición: México, 1973

Derechos reservadosCopyright © 1973Programa Nacional de Formación de ProfesoresASOCIACION NACIONAL DE UNIVERSIDADESE INSTITUTOS DE ENSEÑANZA SUPERIORAv. M. A. Quevedo 8-49 pisoApdo. Postal 70-230México 20, D. F.

Diseño de la Portada:Javier Espinoza y Javier Fragoso

Edición a cargo de:DISEÑO y COMPOSICION LITOGRAFICA, S. A.Blv. M. Avila Camacho N9 40-316Naucalpan, Edo. de México557-63-74557-62-63

Impreso en México

Printed in Mexico

PRESENTACION

Esta publicación forma parte "de la Serie TEMASBASICOS, preparada por la Asociación Nacional de Uni-versidades e Institutos de Enseñanza Superior. En cadauna de las áreas de Matemáticas, Ciencias Naturales, His-toria y Ciencias Sociales, y Lengua y Literatura, la Serieofrece los temas vertebrales de los cursos correspondientesen el nivel de enseñanza preparatoria o bachillerato. Algu-nos de los temas serán útiles también como auxiliares pararepaso en el inicio del ciclo profesional o como fuente deconocimiento para el lector autodidacta.

Dentro de la intención didáctica con que han sidoelaborados los materiales, cabe destacar los propósitos declaridad, concisión y, en la medida de lo posible, desarrolloautónomo de los temas. En cada caso, se han incorporadoal texto ejemplos, preguntas o ejercicios. En ocasiones, laspreguntas o los ejercicios se acompañan de sus correspon-dientes resoluciones. Se recomienda que el lector intente supropia respuesta, antes de ver la que el autor ofrece.

Excepto en el área de Historia y Ciencias Sociales, endonde se utilizaron trabajos de autores extranjeros, en elresto se contó con la valiosa intervención de destacadoscientíficos e intelectuales mexicanos. La coordinación ge-neral de la Serie estuvo a cargo del señor Lic. Hugo Pa-dilla. Los señores doctores Emilio Lluis, Francisco MedinaNicolau, Romeo Flores y Luis Rius, coordinaron, respecti-vamente, las áreas de matemáticas, ciencias naturales, his-toria y ciencias sociales.y lengua y literatura.

LIC. ALFONSO RANGEL GUERRASECRETARIO GENERAL EJECUTIVO

ASOCIACION NACIONAL DE UNIVERSIDADESE INSTITUTOS DE ENSEÑANZA SUPERIQR.

1. EN UN UNIVERSO SENCILLO

2. EN OTROS UNIVERSOS

3. RELACIONES

4. DIAGRAMAS

LISTA DE SIMBOLOS

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

Pág.

9

18

28

34

41

42

INDICE

'<,

Introducción

Al estudiar la Teoría de los Conjuntos estamos capa-citándonos para comprender mejor otras ramas de la ma-temática, principalmente por dos razones:

Por una parte, los conjuntos son utilizados directamen-te en muchas disciplinas: sus conceptos y operaciones sontomados para llegar a otros, para simplificar la notacióny para facilitar la comprensión y las demostraciones.

Además, los conceptos matemáticos de la Teoría delos Conjuntos aparecen de una manera muy sencilla y"purificada", fácil de comprender. Así, por ejemplo, alentender el concepto de "igualdad matemática" podremosd~spués trabajar más profunda y fácilmente con ecua-cienes.

Lo que vamos a estudiar es la manera mediante la cuallos matemáticos hablan y escriben sobre ideas que todoshemos manejado intuitivamente. No se trata, pues, decomprender altas abstracciones, sino de aprender a utili-zar una notación matemática para escribir sobre cosasque, de hecho, estamos acostumbrados a usar.

7

1. EN UN UNIVERSO SENCILLO

~

Ya estás acostumbrado a tratar con conjuntos: tesientas a escuchar un conjunto musical, te reúnes con unconjunto de amigos, y escribes haciendo uso de un con-junto de letras. ., Vamos a fijamos en el conjunto de las letras minúscu-las del abecedario español. En toda la primera parte deeste fascículo trabajaremos con dicho conjunto. Todos losconjuntos de que hablemos serán, pues, de letras minúscu-las españolas.

Tomemos las tres primeras letras minúsculas del abe-cedario. Forman un conjunto también, cuyos elementosson :a, b, c. A este conjunto lo representaremos comosigue:

la, b,c}

es decir, los elementos del conjunto separados por comas,y dentro de unas llaves {} .

Podemos formar así muchos conjuntos de letras:

Ic,d,e}, {/,gl, {a,xy,m,o}, {n} ,etc.

Escribe la representación de diez conjuntos diferentesde letras minúsculas. .

¿El conjunto {a, e, f} es el mismo que el conjunto{a, e, t. g} ? No, porque la "g" es un elemento delse-

gundo conjunto, y no del primero. Los dos conjuntos sondistintos.

En cambio, el conjunto {x, u, m} es el mismo que

9

tu, m, x} , pues los elementos en ambos casos son:m, u, x. _

Cuando dos conjuntos tienen los mismos elementos,es decir, cuando de hecho son el mismo conjunto, deci-mos que son iguales.

¿Cuál es la diferencia, entonces, entre {x, u, m l y{u; m, x} ? Los elementos están en distinto orden: son

dos representaciones distintas del mismo conjunto. Pode-mos escribir {x, u, mI = {u, m, x} .

11.1.11¿Cuáles parejas de conjuntos son iguales?

,

1) ¡a,m,x} y {m,x,b}2) {z,ñ,o} y {o,ñ,ZI3) El conjunto de las tres últimas letras minúsculas y

{X, y, zl '4) {r,s,t} y {s,r,t,r}

Casi todos los ejercicios tienen sus respuestas al finaldel libro. Debes intentar hacer todos los ejercicios, y com-parar siempre tu respuesta con la que aparece al final.Algunas veces, Junto con la respuesta vienen indicacionesque te serán útiles para seguir adelante. Los ejerciciosmismos están pensados de manera que te ayuden a se-guir.

Si tienes algunas respuestas incorrectas, reflexiona porqué te equivocaste, repasa el párrafo anterior a la seriede ejercicios, y trata de volver a hacer aquéllos en loscuales incurriste en error.

Esta igualdad matemática entre conjuntos es distintaa la que usamos al decir "estos dos perros son igua-les": sólo queremos decir que los dos animales sonmuy parecidos, y no que son dos representacionesdel mismo perro; no estamos hablando de una igual-dad matemática.

1-1.-1.--'21

1) ¿Qué tipo de igualdad usamos al decir "3 + 2= 5"?

10

2 ) ¿Qué tipo de igualdad usamos al decir "( a + b) 2

= a2 + 2ab + b2"?3) ¿Qué tipo de igualdad usamos al decir "Pedro es

igualito a su papá"? .4) ¿Qué tipo de igualdad usamos al decir "Es igual

pagar con dos billetes de a diez que con cuatrode a cinco"?

Es muy largo escribir {a, b, e, d, e, t. g, h, i, j, k, 1,m, n, ñ} . Por esto, utilizamos representaciones máscortas. Por ejemplo, al conjunto anterior podemosllamarle simplemente "A". Así, "A" es otra repre-sentación para el mismo conjunto, es decir,

A - {-ab

~

, ,c, d, e f g h ." l'1.1.3 ' , ,1, k, 1, m n -}. ' , n

Si alguien más llama D al conjunto de las quince pri-meras letras minúsculas del alfabeto español, ¿es verdadque

A =D?

ITIJVamos a llamar M al conjunto de las tres primeras

letras, y -P al de las tres últimas. Así,

M = { a, b, c IP= {x,y,z}

Si juntamos los elementos de M con los elementosde P en un nuevo conjunto, tendremos

{a, b, e, x, y, Z }

A este nuevo conjunto lo llamaremos M U P, o "Munido a P". El símbolo" U "representa que hemosunido M con P.Si e = {x, m, n} y E = {b, d, a} , entoncese ~E = {x, m, n, b, d, a}

11

)1.2.1{SiB= {a,ñ,p,q} ,X= \f,s,c},S= {Sl,

y = t i, k, z } , da otra representación para los conjun-tos siguientes, y contesta a las preguntas:

1) B U X2) XU B3) Yu S4) S U Y5) ¿Es verdad que y,U S = S U Y?6) S uX7) y U B8) X U S9) ¿Es verdad que X U B = B U X?

"i0) ¿Es verdad que X U S = S U X?11) Forma la unión de cinco parejas de conjuntos en-

tre los que definiste en el ejercicio 1.1. Recuerdano repetir letras dentro de un conjunto.

12) B U B13) YU y.14) ¿Es verdad que S U ~ = S?

Cuando decimos que S = I s} , esto no significaque siempre llamaremos S al conjunto cuyo únicoelemento es la letra s. Para estos ejercicios, así le he-mos llamado, pero en otra ocasión podemos llamarlede otra manera, o decir que S = {i, m, b} •

1;1.2.2l¿Qué relación encuentras entre el símbolo "(j' y el

símbolo "-7-"?

Llamemos K al conjunto de las letras de la palabra"conjunto" y M = {a, x, e, r, n, o} . ¿En qué se pare-cen estos dos conjuntos?; son distintos, pues las letrasa, x, r no son elementos de K. Pero las letras e, n, o estánen los dos conjuntos. De esta forma, {c, n, o} es elconjunto de las letras que están en K y también en M.A este conjunto lo llamamos "K n M", o "K intersectado

12

con M". El símbolo '!()' , representa que hemos intersec-tado K con M. Tenemos:

K = le, o, n, i. u, n, t \ , M = {a, x, e, r, n, o} ,y entonces, Kr, M = {c, n, o}

SiT= {p,q,o\ yN= {o,s,q,p},entoncesTnN= {p,o,q}.

11.2.3lSi R = {n, q, a} , Q = {a, p, s, q} , L = [s, t, m,

p, a, n} , forma,

1) RtlQ2) QnR3) LnR4) ¿Es verdad que R n Q = Q n R?5) QnL6) RnL7) ¿Es verdad que R n L = L n R?8) RnR9) ¿Es verdad que Q n L = L n Q?

10) L n L11) ¿Es verdad que Q n Q = Q?

Compliquemos un poco la cosa. Con los mismos tresconjuntos R, Q y L, del ejercicio anterior, podemosformar

R U Q = {n, q, a, p, s l

y entonces, podemos intersectar R U Q con L

(R U Q) n L = {s, a, n, p }

Los paréntesis indican qué operación hicimos prime-ro, y (R U Q) n L es el conjunto de las letras queestán en rR U Q y también en L.Otro ejemplo: R n (Q U L) = {n, a, q \ es el con-junto de las letras que están en R y en Q u L, mien-tras que (RnQ)u L = {a, q, s, t, m, p, n} es elconjunto R n Q = t a, q l unido al conjuntoL. R n (Q UL) es distinto de (Rn Q) U L.

13 ,

11.2.41¿Qué parecido encuentras entre (Rn Q) U L Y

(6 + 4) ---;-2?

~.2.51Usando los mismos tres conjuntos R, Q y L del ejer-

cicio 1.2.3, forma los siguientes conjuntos:

1) (Q U R) n L2) Q U (R n L)3) (R U Q) n L4) R U (Q n L)5) (Q U L) n R6) Q U (R n L)7) R n (L U L)8) L U (R n R)9) (R U R) n L

10) ¿Es verdad que (L n Q) U L = L?

~Si P = Ie, o, s, a I y F = In, i, l} . ¿Cual es P n F?

P Y F no tienen ningún elemento en común, así que P n Fno puede tener ningún elemento. Este conjunto, que notiene elemento alguno, recibe un nombre especial: "elconjunto vacío", y tiene también un símbolo especial: ep.Así, Pt> F = ep.

Igualmente, si U = [x, e, m, ti, P n U = ep, yF n U = ep.

)1.3.1\Forma las intersecciones de cinco parejas de los con-

juntos que definiste en el ejercicio 1.1. ¿Cuáles intersec-ciones resultan ser el conjunto vacío?

14

[1.41

\1.4.11

Si nos dan G = \ a, b, e, d, e, i } , podemos formarotro conjunto con las letras que quedan, desde g hasta z.Este nuevo conjunto se llama G 'o "complemento de G".El apóstrofe indica que hemos formado el complementode G. La razón del nombre es que si unimos G con G'compLetamos el abecedario con que estamos trabajando,es decir, G U G' es el conjunto de todas las letras minúscu-las del abecedario español.

Vamos a llamar V al conjunto de todas las letras conlas cuales hemos venido trabajando. Así, G U G~ = V.

Recuerda que V = {a, b, e, d, e, t. g, h, i, t. k, L,m, n,ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y, Z }

1) Forma los complementos de cinco de los conjuntosque definiste en el ejercicio 1.1.

Forma los siguientes conjuntos (Q, R Y L son los con-juntos del ejercicio 1.2.3):

2)3)4)5)6)7)8)9)

10)11)12)13)14)15)16)17)18)19)

R'Q'L'(R LJ Q)'(R n L)'R'n. Q"R' U L'(L U Q)'L U L'R'U R(R U Q)' n L(R' U Q') U LR' U (Q' lJ L)¿Es verdad que (R u Q)' = R' n Q~?¿Es verdad que {R n L)' = R' U U?V'ep' (Recuerda que ep es el conjunto vacío)Si H es cualquier conjunto de letras de V, ¿es ver-dad que H U H' = V?

15

1-1.5 :1

Supongamos que] = l t, u, v} y J = {r, t, s, v, u} .¿En qué se parecen estos dos conjuntos? Todos los ele-mentos de ] son también de J: ] está contenido en J. Estolo simbolizamos escribiendo] C J. El símbolo "e" signi-fica que] está contenido en J o, como dicen los matemáti-cos, "I es un subconjunto de J".

Si 0= \a, m, pl y Z = {m, s, p, r, a} ,podemosdecir que O,CZ.

11.5.11Si A = t a, b, e, dI, N = {o, p, a, e} ,K= {a},

R = \0, el, T = s d, el, di si son verdaderas o falsaslas afirmaciones siguientes:

1) ACK 9) , KeN 17) TCK2) KCA 10) RCT 18) NCN3) NCA 11) ReK 19) ACR4) RCA 12) KCR 20) cpCA5) ReN 13) TCN 21 ) cpCN6) TCR 14) NCR 22) cpCK7) TeA 15) ACA 23) cpCR8) ACT 16) KCT 24) cpCT

25) TCT

11.61Si E = {r, k, s, m, ti Y H = {a,s, k, n, o} , pode-

mos formar un nuevo conjunto quitando de E los ele-mentos que tenga de H: k, s. Nos resulta el conjunto deletras que están en E pero que no están en H. A esteconjunto 10 llamamos E-H ó "la diferencia relativa en-tre E y H". El símbolo "-" indica que _al conjunto Ele hemos quitado los elementos que también eran de H.ASÍ,

E - H = (r, m, d.

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Si F = {b, e, el J y G = te, a, g, di, entoncesF-G= lb!.

11.6.11Si J = la, x, b, z. y} , 0= ¡ñ, k, x, y, z }, y R =

fe, x, d , z} , especifica por elementos los conjuntos si-guientes, y contesta a las preguntas:

1) J-O2) J-R3) O-R4) O-J5) R-J6) R-R7) ¿Es verdad que J - O = O - J?8) ¿Es verdad que R -.] = J - R?9) (JUO)-R

10) (JnO)-R11) (RnJ)"12) Rn J,13) ¿Es verdad que Rn J, = R - J?14) on R,15) ¿Es verdad que on R, =0- R?16) . ¿Es verdad que Ir: O, = J - O?17) J-J18) O-O19) Ju(O-R)20) ¿Es verdad que J U (O - R) = (JU O) - R?

Hemos utilizado ya varios de los símbolos matemáticosmás usuales en la teoría de los conjuntos. Recordémos-los, antes de pasar a la segunda parte de nuestro es-tudio:

igualdaddesigualdadunióninterseccióncomplementodiferencia relativa

e coritención

:f=Un Ique nos slfv.en para encontrar

nuevos conjuntos.

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2. EN OTROS UNIVERSOS

lIIJDurante la primera parte, nos redujimos a hablar del

conjunto de las letras minúsculas españolas. Nos olvida-mos del resto del universo, y nos limitamos a hablar deese conjunto, que llamamos V. Los elementos de cual-quier otro conjunto eran elementos de V, es decir, todoslos demás conjuntos eran subconjuntos de V. Un mate-.rnático diría que Vera el conjunto universal en el cualestábamos trabajando. I

12.1.11Si queremos trabajar en el conjunto de los seres huma-

nos, un conjunto dentro del conjunto universal sería elconjunto de los estudiantes de la UNAM; otro, el con-junto

A = (Pedro" Margarita, Luis.Y

Define 10 conjuntos distintos dentro de este nuevoconjunto universal. Recuerda que, para que un conjuntoesté bien definido, es necesario que puedan identificarseclaramente sus elementos.

Es importante tener claro siempre en qué conjuntouniversal vamos a trabajar. Si M es el conjunto delas veinte primeras letras minúsculas españolas, y es-tamos trabajando dentro del conjunto de todas lasminúsculas del español, sabemos que M' = {t, u,v, x, y, z l ; pero si M es ese mismo conjunto y

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nuestro conjunto universal ahora fuera de todo elabecedario español, M' tendría entre sus elementostambién a las letras mayúsculas. Algunas veces sesobreentiende el conjunto universal; otras, habrá queespecificado.

En matemáticas trabajamos mucho con conjuntos denúmeros. Hay varios conjuntos que ya conoces, y quetienen un símbolo especial para ser representados. Así,

N es el conjunto de los números enteros mayores queO (números naturales)

Z es el conjunto de los números enterosQ es el conjunto de los números que pueden ser es-

critos (representados) como la división de dos en-teros (como "quebrados") (números racionales).

Veamos ahora una forma más práctica de definir con-juntos. Por ejemplo, el de los números enteros menoresque 10. El conjunto universal es Z, y tenemos una pro-piedad: ser menor que 10. Los matemáticos tienen mássímbolos para simplificar la representación:

En lugar de "es un elemento de" escriben E

En lugar de "tal que", escriben l.y si nosotros le ponemos algún nombre a cualquier

elemento de Z, por ejemplo g, o algún otro símbolo quese nos ocurra, tendremos que

D = {g E Z I g es menor que lO}

querrá decir: "D es igual al conjunto de, los elementosde Z que son menores que 10". Como el nombre delsimbolito "g" es "csi", podemos leer: "D es igual a cside Z tal que csi es menor que 10".

Igualmente, 'l' = {*E Z I* =y4j es el conjuntode los elementos de' Z que son raíz ,de 4, o sea

, 'l' = e2, -2}.¿Nos estamos .complicando la vida? Al contrario: aho-

ra podemos definir muchos más conjuntos que antes, deuna manera simplificada. Por ejemplo:

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Si T es el conjunto de todos los animales, simbolizar

p = {X E T ! X pertenece al Zoológico de Chapultepec ]

nos evita escribir las descripciones de cientos de anima-les, y

s = {6. E Q I 6, es mayor que 5}

nos permite simbolizar un conjunto que tiene una infi-nidad de elementos.

12.1-.21Si H es el conjunto de los seres humanos,

T"" " "" animalesV"" " "las letras minúsculas españo-las, entonces M = {q E H I q estudia en la UN AM Jes el conjunto de los estudiantes de la UNAM.

Asocia las parejas de conjuntos iguales.

1) {e, o, n, j, u, n, t }2) El conjunto de los preparatorianos.3) El conjunto de los hombres que no estudian en la

UNAM.4) El conjunto de las mujeres.5) El conjunto de las mujeres que estudian en, la

UNAM.6) El conjunto de los animales de cuatro patas.7)' {a, b, e }

a)b)c)d)e)f)g)

( t E Hit es mujer I{ A. E TIA. es cuadrúpedo}l/E V l/es una de las tres primeras I{\7 E H I \7 € M' }IX E H I X estudia en la Preparatoria Nacional}{a E H i a es mujer y a e M }\ 0 E V I 0 está en la palabra "conjunto"}

20

12.1.31

1) ¿Qué diferencia hay entre el conjunto

{ X E H I X es bípedo} y el conjunto\ X E T I X es bípedo} ?

2) Define diez conjuntos de números utilizando elmétodo por propiedades.

~

Todos los conceptos que vimos en la primera parteson aplicables en cualquier conjunto universal. Así, siA y B son dos conjuntos cualesquiera, podemos definirA nB como el conjunto de los elementos que están enA y también en B, es decir.

AnB= {XIXEA y xEB!.

De esta manera, si trabajamos en el conjunto univer-sal de los hombres, H, y

R = {x E H I x juega futbol jM = {x E H I x estudia en la UN AM J ,

entonces

Rn M = I x E H I x juega fútbol y x estudia enla UNAM }

o sea, los elementos de R nM son los que cumplen conlas propiedades que definen R y M: los jugadores de fut-bol que además estudian en la UNAM.

[2.2.1 [Sean

A el conjunto de todas las sillasB el conjunto de todas las cosas verdese el conjunto de todas las cosas gruesas.

21

Define por propiedades los siguientes conjuntos:

1) AnB2) AnC3) BnC4) BnA6) BnB5) AnlA7) CnA8) cnc9) CnB

10) ¿Es verdad que A n B = B nA?11) ¿Es verdad que A nA = A?12) ¿En cuál conjunto universal trabajamos en esta se-

rie de ejercicios?Tratemos de definir la unión de manera parecida.¿Qué propiedades cumplen los elementos de unaunión?

Vamos a recordar un ejemplo:

Si R = {x, m, o} y S = l.t, o, a \ , ento_ncesRUS = {x, m, o, t, a 1. Cada elemento de RtJSes un elemento ó de R ó de S, es decir,

RUS= \*\*ER Ó *E,S}

{2.2.2lCon los mismos conjuntos A, B Y e del ejercicio 2.2.1,

define

1) AU B2) AUC3) BU A '\4) BUC5) AUA

Si F= l x E N \ x es menor que 5} YG = (x E N \ x es mayor que 15 y menor que20} ,

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F U G = {X E N I x es menor que 5 ó es mayor que15 y menor que 20 }

es decir, FU G = {1,2,3,4, 16, 17, 18, 19 }

El número 3 E F U G porque es menor que 5, y el17 E FU G porque es mayor que 15 y menor que 20.Cada elemento de F U G cumple al menos con algunade las dos propiedades, la de F o la de G.

12.2.3 [Si D = {6, 7, 8, 9, 10, 11 }

E = ¡X E Z I x es menor que 8}1= {x EQ I x es .negativo }J = {x E N l.x es par }

Di si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes:

1) 9 E D2) 7EDnE3) -15 EIUJ4) 128EIUJ5) 1EDUI6) 1 EDUE7) 4EEUJ8) 4 E DU 19) 137EJUD

10) -137 E JLjD11) -6EDUE12) 10EDnJ13) 5 EEUD14) 5 E E nD15) 5 EEUJ16) 5 E En]

12.3lSi A es un conjunto, A' es el conjunto de 10 que no

está en A, o sea, A' = {x I no es verdad que x EA} ,o bien, si " 1" simboliza "no es elemento de" '_

A' = {x I x tiA }

23

Recordemos que es importante tener claro el conjuntouniversal en que trabajamos.

12.3.11

En el conjunto universal H de los seres humanos, SI

M = {x E H I x estudia en la UNAM} ,M' = ¡X E H I x f M J , es decir,M' = {x E H I no es cierto que x estudie en la

UNAM] , es decir,M' = {x E H I x no estudia en la UNAM} .

Si definimos

A = {x E H I x es mujer }B = t x E H I x es hombre 1e = t x E H x estudia en el IPN }

Especifica los siguientes conjuntos y contesta las pre-guntas:

1) A n,e2) A'3) A'ne4) e'5) A'n e'6) A ue7) (AUe)'8) BU A9) (BUA)'

10) B' nA'11) B'u A'12) BnA13) ¿Es cierto que (B uA)' = B'n A'?14) ¿Es cierto que (A U e)' = A'n C?15) ¿Es cierto que (B ue)' = B' n e'?16) (A n e)'17) A' uC'18) (Bne)'19) B'u e'20) ¿Es cierto que (A n C)' = A' U e'?21) ¿Es cierto que (AnB)/=A'UB'?

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[2.4 [Si A Y B son dos conjuntos cualesquiera, ¿sera SIem-

pre verdad que (A UB)' = A'nB', y que (An B)' =A' UB'? Veamos.

(AU B)' = {x I no es cierto que x E Au B) , es decir,= {x I no es cierto que x E A ó X € B} , esdecir,

- {x Ixl A Y x lB} .: es decir,- {x I x E A' Y x E B'} , es decir,

{x I x E A' n,B') , o sea,

(A lJB)' = A'n B' (ve el ejercicio 1.4.1.15 de la pri-'mera parte, y 2.3.1.13 de esta segunda parte).

Análogamente,,

(A n B) = {x I no es cierto que x E A nB } , es decir,= {x I no es cierto que x E A Yx € B } , es decir,.. ( x I o no es cierto que XE A, o no es cierto

que x E B } , es decir,= {x Ixl Aró x tB' } , es decir,= {x I x eA' ó x E B' } , es decir,= {x I x E A I U B' } , o sea,

(A nB)' = A'UB' (ve el ejercicio 1.4.1.16 de la primeraparte, y 2.3.1.20 de esta segunda parte).

Las igualdades

(A UB)' =A'n .

y

(A n B)' =A'u B'

son conocidas como las Leyes de De Morgan.

[2.4.1/De manera semejante a como demostramos las Leyes.

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de De Morgan, demuestra que para cualquier pareja deconjuntos A y B,

5)

12•51'

1)

2)3)

4)

A U (A nB) = A (vé el ejercicio 1.7.5.10 de lapnmera parte)A n (A UB) = A.Si V es cualquier conjunto universal, V' = <p (veel ejercicio 1.4.1.17 de la primera parte)Si A es un conjunto dentro del conjunto universalV, AU A' = V (ve el ejercicio 1.4.1.19 de la pri-mera parte)Si A es un conjunto cualquiera, A n A' = <p.

Sabemos que un conjunto A es subconjunto de B cuan-do todos los elementos de A son también elementos deB. Hablando de propiedades, esto quiere decir que todoslos elementos que cumplen con las propiedades de A cum-plen también con las propiedades de B. Así, si

A = {x E N I x es menor que 20} Y B = {x E N I xes menor que 30} , podemos afirmar que A CB, puescualquier número natural menor que 20 es también me-nor que 30.

12.5.1lSi A Y B son los conjuntos definidos arriba, y

e = {x EN I x es mayor que 10 y menor que 15}D = {x E N I x es mayor que 3 }

Di si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguien-tes:

7)8)9)

10)11)12)13)

(2.5.2l

AnB=ACnA=CCnB=C<pCA,<p!CB<PCCcpCD

¿Qué relación encuentras entre el hecho de que ACBy que A nB = A?

1) BCA2) CeB3) AeD4) DeB5) CCA6) CeD

26 27

3. RELACIONES

[H]Cuando pensamos en conceptos como la amistad, o la

paternidad, no se nos ocurre que la matemática tengaalgo que ver. Pero estos conceptos hablan de relacionesentre conjuntos, en este caso de conjuntos de personas.En matemáticas es muy frecuente hablar de relacionesentre conjuntos. Necesitamos formar un modelo simbó-lico para poder trabajar matemáticamente. ¿Cómo sim-bolizaríamos una relación entre dos conjuntos? Simboli-zar, por ejemplo, el concepto de paternidad, es muy difí-cil, pero los matemáticos han encontrado una manera detrabajar con una relación: fijándose en las parejas deelementos que están en esa relación.

Así, si para simbolizar que Pedro es papá de Juan,convenimos en escribir (Pedro, Juan), y continuamos es-cribiendo (Francisco, Jaime), (Julián, EIsa), etc., ten-dremos un conjunto de parejas en las cuales primero es-tá el padre y después el hijo. Este conjunto de parejasordenadas (en las cuales hay un primer lugar y un se-gundo lugar) nos permitirá trabajar simbólicamente con

(la relación de paternidad: si queremos saber si Jaime espapá de Inés, bastará ver si la pareja (Jaime, Inés) esun elemento de nuestro conjunto.

[I!]Si Juan tiene 15 años,

Javier " 25 años,María " 20 años,Felipe " 5 años,Laura " 12 años.

28

Forma el conjunto de parejas que representa la rela-ción "ser más viejo que" entre ellos.

Una relación muy utilizada en matemáticas es la de"ser mayor que". Por ejemplo, si' tenemos el conjuntoA = { 1, 4, 6} y el conjunto B = { 1, 2, 3, 4, 7} , larelación "ser mayor que" entre el conjunto A y el con-junto B, queda definida por el conjunto de parejas

{ (4, 1), (4, 2), (4, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4) }

Como ahora estamos hablando de una relación entredos conjuntos, A y B, el primer elemento de cada parejaes un elemento de A y el segundo es un elemento de B.Además, el primer elemento es mayor que el segundo, yaparecen todas las parejas que cumplen con lo anterior.

La pareja (4, 7) no está en la relación, porque el 4no es mayor que el 7. Tampoco (7, 6), porque el ordenestá invertido: quedamos en que iban primero los ele-mentos de A y después los elementos de B en cada pa-reja, pues la relación es "entre A y B", Y no "entre By A".

13.1.21

Si e = { 10, 20, 30} Y D = {15, 25, 35 } ,

1) Simboliza la relación "ser menor que" entre e y D2) Simboliza la relación "ser menor que" entre D y e

§Podemos también inventar una relación arbitraria en-

tre dos conjuntos. Por ejemplo, si E = {a, b, o} yF = { 6., o, +I , el conjunto

{(a, 6.), (a, +), (o, o), (o, 6.), (b, o) ]

representa una relación entre E y F, pues, aunque nopodemos precisar si representa una relación conocida,de hecho está señalando que a y 6. están relacionados,como b y o, en la relación arbitraria que definimos.

29

13.2•11Define dos conjuntos cualesquiera y define una rela-

ción arbitraria entre ellos.

Podemos, además, definir una relación de otra mane-ra. Por ejemplo, la relación "ser mayor" entre A = {'1,4, 6) Y B = \1, 2, 3, 4, 7} que teníamos más arriba,y representábamos por:

{ (4, 1), (4, 2), (4, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4) }

podríamos definirla diciendo: "una pareja ordenada deelementos de A y de B está en la relación 'ser mayor',siempre y cuando el elemento de A sea mayor que el deB". El ejemplo suena tonto, pero nos permitirá llegara una simbolización más precisa, y muy útil:

Si en lugar de "un elemento de A" escribimos "x",en lugar de "un elemento de B" escribimos "y"y llamamos "R1" al conjunto de parejas que sim-boliza la relación, podemos escribir:

"(x, y) E R, siempre y cuando x sea mayor que y"como una definición de R, la relación "ser mayor" entreA y B.

Los matemáticos tienen más símbolos que simplificanla escritura:

En lu~ar de "siempre y cuando", o "sí y sólo si", es-criben: '<:=::?:' en lugar de "es mayor que", escriben:">". Así, nuestra relación R 1 queda definida por:

(x, y) e Rl~X > y (sabemos que x E A, y e B)

13.2.2 (

Sea T = t x E N I 7 > x} es decir, el conjunto delos números naturales tales que 7 es mayor que ellos, y

M = {Z E NI z > 10 y 15 > z ~

30

Si definimos R2 entre T y M diciendo: (x, z) E R2< 9-x + 10 > z, di si son verdaderas o falsas las afirmacio-nes siguientes:

1)2)3)4)5)6)7)

13.3l

(7, 14) ER2

(3, 14) E R2

(4,12)ER2(1,13)ER2

(6, 15) E R2

5 ER2

14 E R2

Podemos ahora definir muchas relaciones, aun arbitra-rias, aunque no podamos escribir todas sus parejas.Por ejemplo, si "a" 'simboliza un elemento de Z, y "b"simboliza un elemento de Q, definimos u, entre Z y Qdiciendo:

a(a, b) E Rs <;::::::> - = b2

Podemos encontrar una infinidad de parejas que seanelementos de Rs. Dando cualquier valor entero a la "a",encontraremos un valor para "b". Por ejemplo, si a = 3,

3 'entonces b =-, y afirmamos que (3, ~) E Rs. Al con-2 2trario, si nos preguntamos si (6, 3) ERapodemos responder-.. 6que sí, puesto que 2= 3, pero (5, 4) tRs, puesto que

~ =1= 4. Nuestro conjunto-relación Ri3 está bien definido,2

puesto que sus elementos pueden ser claramente identi-ficados, aunque nunca podamos escribirlos todos.

l3.3.11Si "x" simboliza "un elemento de N", y

"y" simboliza "un elemento de Z", podemos definir

31

'.

113.4.3)R4 = {(X, y) I x E N, Y E Z, -x = y } , O 10 que es

igual,(x, y) E R4~ - X = y.

1) Escribe cinco parejas ordenadas que sean ele-mentos de R.

¿Podríamos considerar el producto cartesiano entredos conjuntos como el conjunto universal en el quedefinimos una relación entre esos dos conjuntos?

Di si son verdaderas o falsas

2) (6, 3) E R~3) (1, - 1) E R~4) (7, - 8) E R45) (4,3-7) E R4

(3.41¿Qué sucede con el conjunto de todas las parejas or-

denadas entre dos conjuntos? Es la relación más extensaentre ellos. Tiene un nombre especial: "Producto Carte-siano", y un símbolo particular: "X",

Así, si A = {2, 4, 6} Y S = {a, b l ,

A X S = { (2, a), (2, b), (4, a), (4, b), (6, a), (6, b)}S X A = {(a, 2), (a, 4), (a, 6), (b, 2), (b, 4), (b, 6)}

'3.4.1 [

Forma el producto cartesiano entre los conjuntos quese indican:

1) A = {O, *) y B = {+, -;-\2) A = {x E N [x> 8 Y 12> x} y

B = l x EN I 4 > x }3) A = {a, e, d} y B = {4, 5 J

13.4.21¿Cómo definirías, usando el método por propiedades,

el producto cartesiano entre dos conjuntos cualesquieraA y B?

3332

4. DIAGRAMAS

K!JVamos, por último, a estudiar una representación grá-

fica de los conjuntos, que es muy útil porque nos per-mite "visualizarIos". Estamos acostumbrados a hacer al-go semejante cuando, por ejemplo, utilizamos el planode una ciudad: para saber si una calle pertenece a laciudad, averiguamos en el mapa si está dentro de suslímites.

ciudad A

La -Av. Juárez está dentro de la ciudad A, pero lacalle 12 no.

Supongamos que V es el conjunto de los animales,A" =-{ x EV x es cuadrúpedo], y B := {x E U x es gato} .- Una manera de representar los tres conjuntos V, AyB, es la siguiente:

V

34

"

A nuestro conjunto universal V lo representamos me-diante un rectángulo y, dentro de él, los conjuntos A y B..Como B eA, la figura que representa a B aparece den-tro del círculo que representa a A.

Si Fido es un perro, es un elemento de A, pero no unelemento de B, Y podemos representado como el puntode la figura. Así, Fido E V, Fido E A, pero Fido t B.Cora es un animal, pero no es gato ni cuadrúpedo,esdecir, Cora E V, pero Cora ~ A. En cambio, podemosafirmar que Moisés es un gato.

¿Qué representa el área sombreada de la siguientefigura?

v

El área sombreada es lo común a M y N; es decir,que cualquier elemento del universo V que representa-mos dentro de ella será porque es un elemento de M yde N. El área sombreada representa el conjunto Mr\N.

14.1.11¿Qué representan las áreas sombreadas?

35

a) ."1b)

I U

r)

~~u

I ~ JiUd)

é)

14.1.2l

Señala qué representación escrita corresponde a cuálrepresentación gráfica de los conjuntos (las partes som-breadas) :

1) e n (A U B)

2) B-A

a)1 '~.

b) ¡'~.

36

::;¡.

~ 14.1~31

3) A - B

4) A LJ (B n e)

e)~z.

5) A U (B U e)

I

~~

-1J

6) A n (B n e)

d)

L

7) e n (A U B)I

le)I'~ 1- 3

/) -~

i> e'

4.

-5A~B

.h)1 ~_

Sombrea en el diagrama el área que representa cadauno de los conjuntos señalados:

37

14.1.41

1) AnU2) B nc3) eUA4) A U csr.c,5) Af/(BUC)

Si A n B = </>, e CB y D-cA, y A, B Y e son conjun-tos dentro del conjunto universal U; dibuja su diagrama,y sombrea D U (B n C').

14.1.5,11) Si V = ( 1, 2, 3, 4,.5, 6, 7, 8, 11, 12 } , T ==

{ 2, 6, 8 } , W = {1, 3, 5, 11} . ¿Cuál es eldiagrama correcto?

fIa\ , r-b:'\I\...U~ _' •.

a} 4~. L. .i: _1

2) Si V = {x € N x < 11}, S = {x E N x < 4},K = u, 3, 5, 7 }, ¿Cuál es el diagrama correcto?

3-8

n,@CJ 10V q~.I\I~I\.V6 I /' b 10 '5 1

4 ~ 1 4 e>'--_...::...._-----'

9~b1VC) I • 3 1 8

4 5 10

1) (A n e)'2) A' U 'C'

14.1.61Si V = { X € N 111 > x r , A = {1,' 3, 5, 7 } ,

B == {2, 4, 6, 8 } , e = {1, 2, 7, 8, 9 1 , dibuja undiagrama y sombrea

!4.1.71Si A n B = C, e CD pero D =F A Y D -=f:. B, dibuja

el diagrama correspondiente y sombrea D n A.

14.1.8 [

Según el diagrama:

B

v

39

Contesta si son verdaderas o falsas las afirmaciones si-guientes:

1) A n B =Fe/>2) A n e e B3) DuCcB4) e n D e B5) A nB e C

6) B n D = D7) A U D a; B8) C UD ct A u B9) D E B

10) A E V

40

Lista de aímholos

es igual a=1= es diferente de> es mayor quep no es mayor queC> es subconjunto, de..ct no es subconjunto de

E es elemento dei no es elemento deI tal que (en la especificación de un conjunto)

LJ unión(\ intersección

complementodiferencia relativa

e/> conjunto vacíoN conjunto de los números naturalesZ conjunto de los números enterosQ conjunto de los números racionales

41

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

l. En un universo sencillo

11.1.111) '{ a, m, x I es distinto de {m, x, b i . Podemos

escribir {a, m, x J 1: {m, x, b } .

2) { z, ñ, o} = t o, ñ, Z } •

3) La frase: "el conjunto de las tres últimas letrasminúsculas" representa el mismo conjunto. que{ x, y, z } . Los dos conjuntos son, de hecho, el

mismo.

4) Los elementos del conjunto {s, r, t, r} son:s, r, t, al igual que los de { s, r, t l . Es innecesa-rio repetir un elemento dentro de un conjunto.ASÍ, {s, r, t, r } = {s, r, r ), Hay que procurarno repetir los elementos en la representación de unconjunto, para evitar confusiones.

11.1.211) Igualdad matemática. Estamos afirmando que

"3+2" representa el mismo número que el sím-bolo "5".Igualdad matemática.Igualdad no matemática.Igualdad matemática. Estamos diciendo que dosbilletes de a diez y cuatro de a cinco representanla misma cantidad. .

2)3)4)

42

t 1.1.31Sí. A, D, ( a, b, c, d, e, i. g, h, i, i. k, l, m, n, ñ J y la

frase "el conjunto de las quince primeras letras del alfa-beto español"; son cuatro representaciones del mismoconjunto.

11.2.1 I1)2)3)4)S)6)

7)8)9)

10)12)13)14)

11.2.21

{ a, ñ, p, a. t. s, e 1{ i, s, e, a, ñ, p, q 1{ i, k, z, s }{ s, i, k, i. j

BU X =xu B =YuSS U Y =Sí.S U X = {s, i. e} . Recuerda que es mejorno repetir la "s",y U B = {i, k, z, a, ñ, p, q}X U S = U, s, e }Sí.Sí.B U B = l a, ñ, p, q 1y U Y = {i, k, z 1Sí. S U S = {s}, es decir, S U S = S.

"U" es un símbolo que indica una operación entre dosconjuntos: con dos conjuntos sacamos un tercero. De lamisma forma, "-;-" es el símbolo de una operación entrenúmeros: con dos números como 6y 3, sacamos otro(6 -;- 3).

11.2.31

1) R n Q = { a, q J2) Q n R = {a, q}3) L nR = { a, n }4) Sí.5) Q n L = l a, p, s)6) R nL = { n, a}7) Sí.

43

11.2.41

8) R n R = t n, q, al. Es el conjunto de lasletras que están en R y también están en R, esdecir, simplemente las que están en R.

9) Sí.10) L n L = ¡s, 1, m, p, a, n } . L n L = L.11) Sí, como en el ejercicio No. 8.

"-~El uso de los paréntesis. (R In Q) U L significa queprimero intersectamos R con Q, y luego unimos R n Qcon L. De manera semejante, (6+4) -;- 2 significa queprimero sumamos 6 con 4 y luego dividimos 6 + 4 entre2. Así como (R n Q) U L =f::. R n (Q U L), también(6 + 4) -;- 2 ::f:. 6 + (4 -;- 2).

11.2.511)2)3)4)5)6)7)8)9)

10)

11.4.1 (2)3)

7

(Qu R)nL = ( a, p, s, n ¡Q u(RnL) = { a, p, s, q, ni(RuQ)nL= {n, a, p, S}RU(QnL) = {n, q, a, p, S}(Q uL) nR = {a, q, n}Q u (R nL) = {a, p, s, q, n 1R n(LUL) = {n, a }LLJ(RnR) = (s, t, m, p, a, n, q}(RUR)nL= {n, a}Sí. L n Q es el conjunto de letras que están enQ y en L; si éste 10 unimos a todo el conjuntode letras que están en L, nos queda por resul-tado todo el conjunto de letras que están en L,es decir, el conjunto L.

R' = (b, e, d, e, i, g, h, i, j, k, 1,m, ñ, 0, p, r,s, t, u, v, x, y, z }

Q' = \ b, e, d, e, i. g, h, i, j, k, 1, mi.n, ñ, o,r, t, u, v, x, y, z 1

44

19)

11.5.1)1)2)3)4)5)6)7)8)

4)5)

6)

7)8)9)

10)11)12}13)

14)

15)16)17)

L' = {b, e, d, e, i, g, h, i, i. k, 1, ñ, 0, q, r, u,v, x, y, z I

(R UQ)' = {b, e, d, e, i, g, h, i, t. k, 1,m, n,o, r, t, u, v, x, y, z l

(R n L)' = {b; e, d, e, t. g, h, i, t. k, 1,m, ñ,0, p, q, r, s, t, u, v, x, y, z }

R' n Q' = {b, e, d, e, i, g, h, i, t, k, 1, m, ñ, o,r, t, u, v, x, y, Z }

R' U L' = {b, e, d, e, t. g, h, i, i, k, 1, m, ñ, o,p, q, r, s, t, U, v, x, y, z l

(LU Q)' = {b, e, d, e, t, g, h, i, j, k, l, ñ, o,r, u, v, x, y, z }

LUL'= VR'UR = V(R UQ)' n L = {t, m}(R'U Q') UL = {a, b, e, d, e, t, e. h, i, j, k,1, m, n, ñ, o, p, r, s, t, u, v, x, y, z IR'U(Q'UL)=(R'uQ')uL (como el ejer-cido anterior)Sí. Vé los ejercicios 5 y 7.Sí. Vé los ejercicios 6 y 8.Si V es el conjunto de todas las letras, V' es elconjunto de las que quedan, es decir, ninguna:V' = cp (Recuerda que sólo estamos consideran-do las letras minúsculas del abecedario español).Si cp es el conjunto con ninguna letra, ep' es elconjunto de las que quedan, es decir, todas:cp' = V.Sí. Al unir un conjunto de letras con el con-junto de todas las demás nos resulta todo el abe-cedario.

18)

falsaverdaderafalsafalsaverdaderafalsaverdaderafalsa

45

9) verdadera10) falsa11) falsa12) falsa13) falsa14) falsa15) verdadera. Todos los elementos de A son elemen-

tos de A.16) falsa17) falsa18) verdadera, como en el ej. 15.19) falsa20) verdadera. Decimos que "todos" los elementos

de O están en cualquier conjunto, puesto que notiene ninguno

21) verdadera, como en el ej. 2022) verdadera, como en el ej. 2023) verdadera, como en el ej. 2024) verdadera, como en el ej. 2025) verdadera. No importa cuál conjunto sea T,

siempre será verdad que TCT.

11.6.111) J - 0= {a, b}2) J-R= {a, b, y}3) 0- R={ ñ, k, y}4) O - J = {ñ, k J5) R - J = {e, d}6) R-R = cp7) No.8) No.9) (JUO) -R = {a, b, y, ñ, k}

10) (Jr.O)-R=ly}11) (Rt> 1)' = {a, b, e, d, e, i, s. h, i, j, k, 1, m,

n, ñ, 0, p, q, r, s, t, u, v, y} . El complemento esde toda la intersección.

12) Rn.J' = {e, d } . El complemento es sólo delconjunto J.

13) Sí. Vé los ejercicios 5 y 12.14) O nR' = {ñ, k, Y}

46

15) Sí. Vé los ejercicios 3 y 1416) Sí.17) J-J=cp18) O-O=cp19) Ju (O - R) = {a, x; b, z, y, ñ, k}20) No. Vé los ejercicios 9 y 19.

2. En otros Universo!

, (2.1.21l-g2-e3 - d. M' = {x E H I x no estudia en la UN AM }4-a5-f6-b7-e

»:

(2.1.3 (1) t x E H x es bípedo Ies el conjunto de los- hom-

bres bípedos (x E H){x E T I x es bípedo} es el conjunto de los anima-les bípedos (x E T)

{2.2.111) A () B = {s I s es una silla y s es verde} , es

decir, el conjunto de las sillas verdes. Recuerdaque en vez del símbolo '·3" puedes poner elque quieras. .AnC = {s I s es silla y s es gruesa} , es de-cir, el conjunto de las sillas gruesas.B nC = {s I s es verde y s es gruesa I , esdecir, el conjunto de las cosas verdes gruesas.

4) B n A = {s I s es verde y s es silla }5) A n A = {s I s es silla]6) B nB = { s I s es verde }7) C nA = { s I s es gruesa y s es silla}8) C nC ={ s I s es gruesa }9) C n B ={ s I s es gruesa y s es verde 1

2)

3)

47

)2.2.2:11)

2)3)4)5)

12.2.3 (1)2)

3)

4)5)6)7)8)9)

10)11)

12)13)14)

15)16)

10)11)12)

Sí. Vé los ejercicios 1 y 4Sí. V é el ejercicio 5Existen varias respuestas posibles. El conjuntouniversal más pequeño sería (A..) B) U C. Po-dríamos también considerar al conjunto de todoslos objetos, etc.

A U B = {s I s es silla ó s es verde} , es decir, elconjunto de las co~as CJ,ueson sillas o son verdes.

A U e = I s I s es silla o s es gruesa J .Bu A = A UB = ( s I s es verde ó s es silla JB UC = {s I s es verde ó s es gruesa}A U A = A = {s I s es silla }

verdaderaverdadera. 7 es elemento de D y es menor que 8,es decir 7 E D Y 7 E E.verdadera. -15 es negativo, -es decir, '-15E 1

.y, por tanto, -15 e 1 ó -15 Elverdadera. 128 es parfalsa. 1 no es ni elemento de D ni elemento de 1verdadera. 1E Everdadera. 4 e El Y además 4 E/, Ó. sea que esverdad que 4 e E ó 4 E Jfalsa.falsa.falsa.verdadera. -6 es menor que 8, es decir, -6EEverdadera. 10 E D y 10 E J, es decir, 10 E Dnlverdadera. 5 E Efalsa. 5 E E, pero no es cierto que 5 € D, es de-cir, 5, E D (" t" es la negación de "E")verdadera. 5 E Efalsa. 5,1

48

12.3.111)

2)3)

4)

5)

6)

7)

A n e = {x E H I x es mujer y x estudia en elIPN}A' = {x E H I no es cierto que x sea mujer} ,es decir, A' = {X E H I x no es mujer} .A' ne = \x E H I x no es mujer y x. estudia enel IPN}C' = { X E H I no es cierto que x estudia en elIPN } , es decir C' = {X E H I x no estudia enel IPN}A' n e = {x E H I x no es mujer y x no estudiaen el IPN}A U e = {x E H I x es mujer ó x estudia en elIPN}(A U e)' = {XE H I no es cierto que x seamujer ó que x estudie en el IPN } , es decir,(A U C)' = {X E H L x ni es mujer ni estudiaen el IPN } , es decir, (A U e)' = {x E H I xno es mujer y x no estudia en el IPN }B U A = {x E H I x es hombre ó x es mujer }(BU A)' = {X E H I x no es hombre y x no esmujer} (vé el ejercicio 7). Es decir, si acepta-mos sólo dos sexos en los seres humanos,(B U A)' = cpB' n A' = {x E H I x no es hombre y x no esmujer} = cpB' U A' = {x E H I x no es hombre ó x no esmujer} .B nA = t x E H I x es hombre y x es mujer} ,es decir, Btv A = cp.Sí. V é los ejercicios 9 y 10Sí. V é los ejercicios 7 y 5Sí.(A ne)' = {x E H I no es cierto que x seamujer y que x estudie en el IPN } , es decir,(A ne)' = {x E H I o no es cierto que x esmujer, o no es cierto que x estudie en el IPN } ,es decir, (Ar\ C)' = {X E H I x no es mujer óx no estudia en el IPN }A' U e' = {x E H I x no es mujer ó x no estu-dia en el IPN}

8)9)

10)

11)

12)13)14)15)16)

17)

49

18) (B nC)' = {x E·H I no es cierto que x seahombre y que x estudie en el IPN } , es decir,(B nC)" = {x E H I x no es hombre ó x noestudia en el IPN }B' U e' = {x E H I x no es hombre ó x no estu-tudia en el IPN}Sí. Vé los ejercicios 16 y 17Sí.

19)

20)21)

(2.4.1)1) A U (A n B) = {x I x E A ó x e A n B l, es

decir,= {XIXEA óXEA yx (BI,

es decir, ya que si x está en A ó bien está enA y en B es lo mismo que decir que x está en A,

= {XIXEA},

AU (A n B) =Ao sea,

2) A n (A U B) = { x Ix E A Y x E A U B l , esdecir, .

= {x I x EA y x E A ó X E B },es decir, ya que si x está en A y además puedeestar en A Ó, en B es lo mismo que decir queestá en A,

o sea,={xlxEA},

. An (A U B) =A

3) V' = {x E VI xt V } , pero no existen tales ele-mentos, es decir V' = el>

4) A U A' = {X E V I x E A ó X € A' l,pero cual-quier "elemento de V cumple con alguna de estasdos propiedades; o. está en A, o no está en A,es decir, A U A' = { X E V I x € V J , o sea, A UA'= V ..

5) A n A' = {x E V I x E A Y x ,. A), pero esto nopuede ser, es decir, A n A' = cf> .

50

12.5.111)

2)3)

4)5)6)7)

8)9)

10)

11)

12)

13)

falsa. Hay números que están en B y no estánen A (por Ejem. 28 E B, pero 28 ~ .A).verdadera.falsa. No todos los elementos de A están en D(por Ejem.: 1 E A, pero 1t D)falsaverdaderaverdaderaverdadera.A nB = fx E.N I x E A Y x € BJ ,pe-ro todos los elementos de A cumplen con estaspropiedades, pues AC B.verdadera. (vé el ejercicio 7)verdadera. (vé el ejercicio 7)verdadera. (vé el ejercicio 1.5.1.20 de la primeraparte)verdadera. (vé el ejercicio 1.5.1.20 de la primeraparte)verdadera. (vé el ejercicio 1.5.1.20 de la primeraparte)verdadera. (vé él ejercicio 1.5.1.20 de la primeraparte)

12.5.~Siempre que ACB, es verdad que A nB = A (vé el

ejercicio 2.5.1.7), y siempre que A n B = A, es porqueA eB, para cualquier pareja de conjuntos. Por esto, es10 mismo afirmar que un conjunto es subconjunto deotro, que decir que su intersección es igual al primero.

3. Relaciones

J3.1.11(Juan, Felipe), (Juan, Laura), (Javier, Juan), (Ja-

vier, María), (Javier, Felipe), (Javier, Laura), (María,Juan), (María, Felipe), (María, Laura) , (Laura, Feli-pe).

51

13.1.2111) {(lO, 15), (10, 25), (10, 35), (20, 25), (20,

35), (30, 35)}2) {(15, 2.0), (15, 30),. (25~ 3Q)}

1~.2.2f1)2)

Falsa. 7 t TFalsa. No. es verdad que 3 + 10 > 14, es decir,3 + 10 }14.

3) Verdadera. '4 + 10> 124) Falsa. 1 + 10~ 13 (vé el ej. 2)5) Falsa. '15 t' M6) Falsa. R2 es un conjunto de parejas

c7) , Falsa. (vé el ej. 6)

113.3.1l1) Falsa. No es cierto que -6 = 3, es decir, -6*32) Verdadera.3) Falsa. -. 7:4= -8 (vé el ej. 1)4) Verdadera. -4 == 3-7

13•4.111) A X U = { (0, +), (O, -i-), (*, +). (*, +) r2) A X B = {(9, 1), (9, 2), (9, 3), (lO, 1),

(10,2), (10,3), (11, 1), (11,2), (11, 3),13) A X B = ( (a, 4), (a, 5), (e, 4), (e, 5), (d,4),

(d, 5)}

~.4.21 .A X B = {~x, y) I x E A, Y E B }

52

1:3.4.31Sí. Es decir, si A y B son dos conjuntos, y R es una

relación entre A y B, R eA x B. ~

4. Diagramas

(4.1.1 J

a) FUGb) e'e) (AUC)'d) FUCe) A UB'

14·1.~11-d2-e3-e4-g5-, h6-b7-a8-1

14.1.3]

_" B

IU

GJOA ..IU

(j)1) An U ' 2) BnC

~~IUu

3) CUA 4) A U (Bn C)

5) cp. No hay área común entre A y B U C.

53

[4.1.41

@]1) e2) b

14.1..61

1)

u

(A n C)' = { 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, lO}

2) Igual que 1), pues ya sabemos que (A nC)' =A' U C' por una de las leyes de De Morgan

54

&.;1. 7]

[4.1.8}

1)2)3)4)5)6)7)8)9)

10)

B

v

VerdaderaVerdaderaVerdaderaVerdadera. C nD = cb. y cbCBFalsaVerdaderaVerdaderaFalsaFalsa'. El símbolo "E" se utiliza entre un elemen-to y un conjunto, no entre dos conjuntosFalsa, como en 9)

55

Este libro se terminó de imprimir eldía 1o de febrero en los talleres deLitoarte, S. de R. L. La tipografía,composición 'Y supervisión estuvo acargo de Diseño y Composición Lito-gráfica, S. A. Boulevard M. Avila Ca-macho núm. 40-316. Naucalpan deJuárez, Edo. de México.

Se imprimieron 50,000 ejemplares.