Conjuntos difusos Definiciones básicas ¿Qué es esta “cosa difusa”? Diccionario de Webster: difuso 1. Cubierto con algo o similar a algo borroso 2. No claro: confuso 3. Borroso, vago. En un sentido técnico: denota a las disciplinas de la matemática o ingeniería que tienen su base en la teoría de conjuntos difusos y lógica difusa. Control difuso, modelado difuso, toma de decisión difusa, … Conjuntos difusos y lógica difusa Relativamente nuevos métodos para la representación de incertidumbres y razonamientos bajo incertidumbre. Tipos de incertidumbre:

casualidad, fortuito (estocastico) imprecisión, vaguedad, ambigüedad (no estocastico)

Propuesto en 1965 por L.A. Zadeh (Fuzzy Sets Information Control, vol.8, pp.

338353)

generalización de la teoría de conjuntos ordinarios 70s primera aplicación, control fuzzy (Mamdani) 80s aplicaciones industriales, operación del tren, reconocimiento por patrón 90s productos de consumo, carros, hardware y software especiales.

El término “lógica difusa” con frecuencia también denota a la teoría de conjuntos difusos y sus aplicaciones (p.e., control de lógica difusa).

Aplicación de conjuntos difusos

Precisión contra pertinencia

Teoría clásica de conjuntos Un conjunto es una colección de objetos con una propiedad común. Ejemplos: Conjunto de números naturales menores a 5: A = {1,2,3,4} Disco unitario en el plano complejo:

A = {zIz Є C, IzI 1} Una línea en IR2: A = {(x, y)I ax + by + c = 0 [x,y,a,b,c Є IR]} Representación de conjuntos Enumeración de elementos: A = {x1, x2, …, xn} Definición por propiedad: A = {x Є X I x tiene propiedad P} Función característica:

A(x): X {0, 1} 1, si x miembro de A A(x) = 0, si x no es miembro de A Ejemplo: números menores a 5

Operaciones con conjuntos

Intersección: C = A B C contiene elementos que pertenecen a A y B Función característica:

C = min{A, B}

Unión: C = A B C contiene elementos que pertenecen a A o a B Función característica:

C = max{A, B}

Complemento: C = A C contiene elementos que no pertenecen a A Función característica:

C =1 A

Intersección clásica: Ejemplo

¿Por qué conjuntos difusos?

Los conjuntos clásicos son buenos para conceptos bien definidos (matemáticas, programas, etc.)

Poco útil para representar información con sentido común en términos de conceptos vagos como:

una persona alta, carretera resbaladiza, buena agua, …

quiero comprar un carro grande con consumo moderado

si la temperatura de demasiado baja, incremente más calor. Enfoque de conjuntos clásicos Un conjunto es una colección de elementos con cierta propiedad.

Ejemplo: conjunto de gente alta A = {hIh 180}

Propuesta lógica “Jhon es alto” . . . verdadero o falso Altura de Jhon:

hJhon = 180.0 A(180.0) = 1(verdadero)

hJhon = 179.5 A(179.5) = 1(falso)

Enfoque de conjuntos difusos Conjunto con membresía graduada, es decir, un elemento pertenece a un conjunto para un grado dado.

Propuesta de lógica difusa “Jhon es alto” … grado de verdad Altura de Jhon

hJhon = 180.0 A[180.0] = 0.55

hJhon = 179.5 A[179.5] = 0.5

hJhon = 201.0 A[201.0] = 1

Subjetivo y dependiente del contexto

Variable linguística

Requerimientos básicos: Alcance (extensión) Validez semántica Soporte de un conjunto difuso

sup(A) = {x I A(x) > 0}

Soporte es un conjunto ordinario. Corazón (núcleo) de un conjunto difuso

cor(A) = {x I A(x) = 1}

Corazón es un conjunto ordinario.

cut de un conjunto difuso

A = {x I A(x) > } o A = {x I A(x) }

A es un conjunto ordinario. Conjuntos difusos convexos y no convexos

Un conjunto difuso es convexo todos sus -cuts son conjuntos convexos. Conjuntos difusos no convexos: un ejemplo

Epoca de alto riesgo para póliza de seguros en autos. Representación de conjuntos difusos

Apropiado como una lista de pares membresía/elemento:

Como una lista de pares -nivel/-cut:

Fórmula analítica para la función de membresía

o de forma más general

donde d(x, v) es una medición de desigualdad.

Varias notaciones de taquigrafía: A(x), A(x), a

Formas de funciones de membresía

Cantidades difusas y Singletons

Regresión lineal difusa: y = 3~x1 + 5~x2 Complemento de un conjunto difuso

c: [0, 1] [0, 1]

A(x) c(A(x)) Axiomas fundamentales

1. Condiciones de límite c se comporta como el complemento ordinario c(0) = 1 c(1) = 0 2. Ningún incremento monotónico

a, b [0, 1], si a < b, entonces c(a) c(b)

Otros axiomas

c es una función continua.

c es involutive, lo que significa que

c(c(a)) = a, a [0, 1]