conjunto q(1)
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Números Racionales
Al dividir dos números enteros, no siempre resulta otro número entero. Esto llevó a la necesidad de ampliar el conjunto Z y dar paso a un nuevo conjunto, llamado de los Números Racionales y simbolizado por Q. Este conjunto incluye a Z y IN. Su definición es:
Q es el conjunto de los números de la forma , siendo a y b números enteros, con b
distinto de 0.
Q = / a,b Z , b 0 En la fracción a se llama numerador y b denominador
Obvio que el denominador b debe ser distinto de cero, ya habíamos visto que la división por 0 no está definida. FORMAS DE EXPRESAR UN RACIONAL: Existen tres formas de expresar un número racional, estas
son
a) Como fracción: Ejemplo:
b) Como decimal:
Como porcentaje
Representación gráfica de una fracción:
= Pertenece al conjunto Q, indica que un entero ha sido dividido en 8
partes equivalentes y que se han considerado 3 partes de ella. (Ver figura)
Representa las siguientes fracciones en forma gráfica:
a) = b) = c) = d) = e) =
Número Mixto: La fracción 5/3 se puede escribir como un número mixto, o sea un número con una parte entera y otra fraccionaria.
, esto resulta de efectuar la división 5 : 3 = 1
2.//
Ejemplo: Para transformarlo a número mixto divide 3 por 2 ejemplo: 3 : 2 = 1 y sobra 1 es decir: = 1 ½
Ejercicio: Transforma a número mixto:
a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) =
Para transformar de número mixto a fracción: Se debe multiplicar el entero por el
denominador y sumarle el numerador, es decir si queremos transformar, por ejemplo, ,
debemos multiplicar 53 y sumarle 4, resultando .
Ejercicio: Transforma a una fracción loa siguientes números mixtos:
a) 2 ¾
b) 7 ½ c) 5 d) 7 e) 2 = f) 7 = g) 8 ¼ = h) 12 ¾ =
Fracción propia: Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. En la recta
numérica se ubican entre el 0 y el 1. Por ejemplo, ; ;
Ejercicio: Escribe tú: Cinco Fracciones Propias , , , ,
Fracción impropia: Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador, por lo tanto son mayores que 1 y para ubicarlas en la recta numérica se necesita transformarlas a número mixto.
Por ejemplo, ; ;
Ejercicio: Escribe tú: Cinco Fracciones Impropias. , , , ,
Ubicación en la recta numérica: Para representar números racionales en la recta numérica debemos distinguir los distintos tipos de fracciones ej: Propia, Impropia, etc.
Q 0 ¼ ½ 1 1 ½ 2
Ejercicio: Ubica en la recta numérica las siguientes fracciones: , , , ,
Amplificación de Fracciones: es multiplicar el numerador y denominador por un mismo número natural. La fracción obtenida es equivalente a la original.
Ejemplo: Amplifiquemos por 7. Entonces debemos multiplicar el numerador y el denominador
por 7 quedando la fracción como . Luego y son fracciones equivalentes.
• = amplificada por 7 • = amplificada por 3
Si tenemos la fracción = { , , , , , , , , , } multiplica por los factores que aquí se indican
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Así entonces se forma el conjunto de fracciones equivalentes a la fracción .
Simplificación de fracciones: Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número natural, para lo cual el numerador y el denominador deben ser múltiplos de ese número. De lo contrario, no se puede simplificar la fracción.Si una fracción no se puede simplificar, decimos que se trata de una fracción irreductible. Como
ser .
la podemos simplificar por 2, por 3, por 6 Y se obtiene
Ejemplo: = = esta es la fracción irreductible
/: 2 /:3
Ejercicio: Ahora tú simplifica las siguientes fracciones.
a) b) = c) = d)
Orden en Q
Esto se refiere a establecer cuándo un elemento de Q es mayor, menor o igual que otro elemento. Aquí se nos presentan dos casos:
a) Si los denominadores son iguales, resulta fácil, será mayor la fracción que tenga el numerador mayor.
Por ejemplo: , , Ordenadas de menor a mayor quedan así: < <
Ejercicio: Ordena las siguientes fracciones ; ; ; ;
b) Si los denominadores son distintos, habrá que igualarlos. Primero determinamos el m.c.m. y luego se amplifica para que todos tengan el mismo denominador.
Por ejemplo, ordenar de menor a mayor , y
El m.c.m. es 24. Amplificamos cada fracción de modo que queden con denominador 24, resultando
< < . O sea < < Otro método es el de los productos cruzados ¿Cuál fracción
es menor o´ ?
Se efectúa el producto 77 = 49 y 911 = 99, como 49 es menor que 99, se concluye que <
Ejercicio: Ordena las siguientes fracciones ; ; ; ;
Fracción de un Entero
Si queremos calcular la fracción de un entero debemos hacer multiplicar la fracción por el entero.
Ejemplos:
Calcular los de 600 metros 600 • = = = 400 metros.
Ejercicios:
Calcula:
a)Los de 20 metros b) los de un trayecto de 497 km
c) Los del saco de 5 kilos de azúcar d) los de un kilo de harina
e) La parte de 1 metro de tela f) Los de 80 litros
LICEO INDUSTRIAL CHILENO ALEMANFRUTILLAR
Unidad : Conjuntos Numéricos PROF: CINTHYA PARRA V.
GUIA DE MATEMATICA
1) Completa la Tabla:
ExpresiónMatemática
Lectura Partes en que se divide el entero
Partes que se toman
¾
Quince Medios
Veinte Siete
Cinco Quintos
1
2 3
54
Nueve Cienavos
Doce Tres
Siete séptimos
2) ¿Qué fracción del cuadrado Grande representa cada una de las partes 1,2,3,4 y 5?
P arte 1 = ______ Parte 2= ______
Parte 3 = ______ Parte 4= ______
Parte 5 = ______
3) Para cada una de las frases, escribe la fracción que las representa:a) Tres de cada diez caramelos son de menta = __________b) En un curso de 1º Medio hay 3 niñas por cada 40 varones = __________c) El 15 por ciento de una cantidad = __________d) En un jardín por cada 5 rosales hay 3 jazmines = __________e) En la biblioteca por cada 3 libros de lectura hay 4 de consulta = __________f) Cinco de cada diez chilenos fuma = __________g) En Chile por cada hombre hay 7 mujeres = __________h) La décima parte = __________i) En Florida cada cuatros años se producen 3 huracanes = __________j) En el mundo hay por cada niño un perro = __________
4) Clasifica las siguientes fracciones en la tabla: , , , , , , , , ,
FraccionesMayores que el entero
Menores que el entero
Iguales al entero
5) Represente gráficamente las fracciones:
a) b)
c) 4 ½ d) 5 ¼
6) Representa en la recta numérica dada las fracciones que se indican en cada caso: 0 1
a) ; ; ; ;
0 1
b) ; ; ; ;
0 1
c) ; ; ; ;
7) Di que Fracción representa cada una de las letras:0 1 0
1a)
A B C D E A B C D E
GUIA DE MATEMATICA Nº………
I) Responde los siguientes problemas:1) De un curso de 36 alumnos, los dos tercios aprueban Matemática. ¿Cuántos alumnos aprueban? R:………………..
2) ¿Cuántos minutos son de hora? R:……………….
3) ¿Cuántos cc son de litro? R:…………………
4) ¿Cuántos gramos son kilo de azúcar?R:…………….
5 En un cajón hay 25 alfileres. Pedro al abrir el cajón se le cae los de los alfileres.
¿Cuántos cayeron al suelo? R:…………………..
6) ¿A cuántos minutos equivale 1 ½ hora? R:………..
7) Alberto ha estudiado las dos terceras partes de un libro de 240 hojas. ¿Cuántas hojas le faltan por leer?R:…………………..
II) Responde los siguientes problemas:1) Jorge compra 30 chocolates, si la sexta parte de ellos se las regala a su mamá. ¿Cuántos le quedan? R…………………………………………..
2)En una fábrica de automóviles se trabaja desde las 8:00 a las 20:00 horas.El proceso para maximizar la producción es el siguiente:1/3 del tiempo se destina a construir motores……………………………………….
1/4 de la jornada, para carrocerías………………………………………………………………1/2 del tiempo, que se ocupa para la fabricación de motores, se utiliza para construir accesorios…………………………………………………………………………..El resto del tiempo se destina a actividades recreativas. ………………………………………………..¿Cuántas horas destinan a cada actividad?3)Para hacer un queque doña Juanita gasta 1/4 kilo de harina. Le encargan 15 queques iguales. ¿Cuánta harina debe comprar? R:…………………………………………………
4) Considerando que el mes tiene 30 días. ¿A cuántos días equivalen cada una de las siguientes cantidades?
a) Los de un mes b)5 ½ meses. c) Los de semana
R…………………………………….. ……………………………… …………………………………..
III) Representa en la recta numérica dada las fracciones que se indican en cada caso:
IV) Di que Fracción representa cada una de las letras: 0 1 A=___ B=___
a) A B 0 1 A=____B=____C=____D=_____E=_______b)
A B C D E
6) Represente gráficamente las fracciones:
a) b) c)5 ½ d)
7) Completa la Tabla:Expresión Matemática Lectura Partes en que se divide el
enteroPartes que se
toman
9 13
Ocho novenos
Dos séptimos
8) ¿Qué fracción del rectángulo Grande representa cada una de las partes 1,2,3,4 y 5?
1
2
3
4
5
Parte 1=……………. Parte 2=…………….
Parte 3=……………. Parte 4=……………. Parte 5=……………
9) Para cada una de las frases, escribe la fracción que las representa:
a) Cuatro de cada 10 alumnos postulan a Mecánica Automotriz = __________
b) El Internado 5 de cada 8 alumnos son de Calbuco = __________c) El 12 por ciento de una cantidad = __________d) En Medio Oriente cada día hay 3 atentados terroristas
10) Clasifica las siguientes fracciones en la tabla: , , , , , , , , , ,
FraccionesMayores que el entero
Menores que el entero
Iguales al entero
11) Resuelve los siguientes problemas:1)En un colegio 1/3 de los alumnos estudian Inglés y 1/6 Frances. ¿Cuál es la lengua más elegida?
2) un auto recorre 127 kilómetros en ¾ de hora y otro 36 kilómetros en 27 minutos. ¿Cuál de los dos es más rápido?
3) Al tostarse el café se pierde de su peso original. Si se tuestan 80 kilos.¿Cuánto pesa
después?
4) El agua al congelarse aumenta un décimo de su volumen. ¿Qué volumen ocuparán 200 litros de agua al congelarse?
5)Una aleación está compuesta de de cobre, de estaño, y de zinc. ¿Cuántos kilogramos
de cada metal habrá en 348 kilos de aleación?
6) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los de la edad de su padre y Carlos los .
¿Cuál de los dos es mayor?
II) Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
a) , , , b) , - , , - c) , , , d) , , ,
III) Completa el término faltante de tal forma que las fracciones sean equivalentes:
a) = b) = c) = d) =
OPERATORIA EN QAdición de Fracciones:
a) De igual denominador: se suman los numeradores y se conserva el denominador.
, Q b 0 , + = Q
Ejemplo: + = = =
Ejercicios: Suma las siguientes fracciones:
a) + + = b) + + =
c) 2 + 4 + 1 = d) ½ + 1 ½ + 4 ½ =
b) De distinto denominador: lo primero es obtener fracciones equivalentes, basados en el M.C.M. de los denominadores y luego resolver como en la situación anterior.
, Q b,d 0 , + = Q
Ejemplo: + + =
El m.c.m. entre 3, 4 y 8 es 24, por la tanto las fracciones equivalentes son:
+ + = =
Ejemplo Concreto: Doña Juana va al supermercado y compra ¾ kilo de queso, luego se acuerda que le llegan visitas y compra 1/8 más. ¿Cuánto queso compra en total?
¾ + = = = 1
Ejercicios:
a) + = b) + =
c) + = d) + =
Sustracción de Fracciones:
a) De igual denominador: se restan los numeradores y se conserva el denominador.
Ejemplo: - = =
Ejercicios: Reste las siguientes fracciones:
a) - = b) - =
b) De distinto denominador: lo primero es obtener fracciones equivalentes, basados en el M.C.M. de los denominadores y luego resolver como en la situación anterior.
Ejemplo: - =
El m.c.m. entre 3, 4 es 12, por la tanto las fracciones equivalentes son:
- = =
Ejemplo Concreto: Jorge compra 1 litro y medio de bebida y regala ¾ litro. ¿Cuánta bebida le queda en la botella?
1 - = - = = Resp: Le queda ¾ litro de bebida.
OPERATORIA EN QMultiplicación de Fracciones: Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
, Q b,d 0 , • = Q
Ejemplo:
Ahora Tú : Resuelve:
a) - • - = b) - ¼ • - ½ = c) • - =
d) • = e) • - = f) • • =
División de Fracciones: Para dividir fracciones multiplicamos la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda fracción.
, Q b,d 0 , • = • = Q
Ejemplo:
, Q b,d 0 , : = Q
Otro método para dividir fracciones es multiplicando en forma cruzada
Ahora tú Divide:
a) : = b) - : = c) : =
d) : - = e) -2 ½ : 4 ¼ = f) 24 : 2 =
GUIA DE MATEMATICA Nº
1) Sume las siguientes fracciones:
a) + + = b) + + =
c) + + = d) ½ + + ½ =
2) Sume las siguientes fracciones impropias:
a) 2 ½ + 3 ½ = b) 5 ¼ + 8 ¼ + 2 ¼ =
c) 8 + 1 + 9 + 12 d) 5 + 2 + 7 =
3) Desarrolle:
Trabaja ordenadamente en tu cuaderno
a) + = b) - = c) ¼ + ½ = d) - =
e) - = f) 6
5 + = g) - = h) + =
4) Desarrolle:
a) - • - = b) - ¼ • - ½ = c) • - =
d) • = e) • - = f) • • =
5) Divida:
a) : = b) - : = c) : =
d) : - = e) -2 ½ : 4 ¼ = f) 24 : 2 =
GUIA DE MATEMATICA con nota Nombre:...............................................................................curso:...................
Resuelva: 1) Completa las tablas: +
•
3
3
2
2) Ana gasta la tercera parte de sus ahorros en un libro si tenía ahorrados $$4200. ¿Cuánto le quedó después de comprar el libro? R:.............................
3) Durante una semana, contando el número de asistentes a la función de un cine, se obtuvieron los siguientes datos: el lunes 338 personas, el martes 352 y el miércoles 300. El jueves se
ocuparon del total de las sillas; el viernes ; el sábado y el domingo asistieron 260 personas
que equivalen a del total. Calcula el número de espectadores del jueves y viernes, y la
fracción del total de sillas que se ocupó el lunes, el martes y el miércoles. R:..........................
4) El resultado de ¾ + - ½ es : R:............................
5) Don José compró 2 botellas de Coca Cola de litro y medio, 4 botellas de Sprite de 1 litro y medio y 3 botellas de 1 litro de Fanta. ¿Cuántos litros de bebida compró don José? R:..........................
6) El resultado de sumar ¾ con es R:..........................
7) De una botella de litro se saca la cuarta parte del contenido. ¿Cuánta bebida queda en el envase? R:......................
8) Para hacer un pastel la señora Pepa compra Un kilo y medio de papas. y le alcanza para 4 personas. ¿Cuántos kilos de papas debe comprar para hacer un pastel para 12 personas? R:......................
9) El resultado de + + es R:.......................
10) Los dos tercios de la mitad de 60 es R:……………………….
GUIA DE MATEMATICA Nº……
1) de los calcetines de Jorge está con hoyos. Si el tiene en su closet 36 calcetines en total.
¿Cuántos están con hoyos? R:………………………………….
2) ¿Cuántos tarros de ¼ se pueden llenar con 7/8 de mermelada?R:………………………………….
3) Ubica en la recta numérica las siguientes fracciones:a) 3/5 b) 6/4
4) Simplifica las siguientes fracciones:
a) b)
5) Sume:
a) + + + = b) 2 + 3 = c) + = d + =
6) Realice:
a) - = b) - 1 = c) - = d) - =
7) Desarrolle las siguientes multiplicaciones:
a) • • = b) ½ • ¼ • ¾ • ⅛ = c) • • d) • •
=
8) Divida:
a) : = b) : = c) ⅝ : ⅞ = d) 1 ½ : 3
¼ =
9) Desarrolle: ¿Con cuantas tazas de ¼ se llenan 1 ¾ tazas de té? R:………………………………
10) Calcule: a ) ¿Con cuántas bolsas de ¼ kilo se llena un balde de 5 kilos? R:……………………
b) ¿Con cuántos vasos de 125 cc llenan 4 ½ botellas de agua de litro? R:………………………………
Guía de EjerciciosDesarrolle:
1) + - =
2) + - - =
3) + - =
4) - + =
5) 2 + 3 =
6) 4 : 3 =
7) 2 : 5 =
8) ( : ) + =
9) • • =
10) : =
11) ( • ) : =
12) : =
GUIA DE APRENDIZAJE
CONTENIDOS:Transformación de fracción a decimal: Para transformar de una fracción a un decimal se divide el numerador por el denominador.
Ej: 2 = 2 : 5 = 0, 4 5 0//Los decimales son números racionales que se clasifican en : a) Decimal Finito: es aquel que tiene un número finito de cifras después de la coma ej: 0,4 Se lee 4 décimos 2,5 Se lee 2 enteros cinco décimos.
b) Decimal Infinito: es aquel que tiene un número infinito de cifras después de la coma. Ejemplo: 0,9875678909543231234454......................... Los puntos suspensivos indican que la última cifra se repite indefinidamente.
Los decimales infinitos se clasifican a su vez en :b.1) Infinitos Periódicos: son aquellos que tienen una o un bloque de cifras que se repiten después de la coma.
_Ejemplo: 0,3333333333333333333................o bien 0, 3 ( la raya sobre el 3 indica que es esta la cifra que se está repitiendo indefinidamente)
b.2) Infinitos Semiperiódicos: Son aquellos que tienen una o un bloque de cifras antes del periodo que no se repite. _Ejemplo: a) 0,54444444444444444..... o bién 0,54 _ b) 34, 65555555555555555555555.....o bién 34,65 __ c) 2,34545454545454545454545454545454545454545........ o bién 2,345
Ejercicio: Transforma a decimal ( dividiendo) y clasifica en finito o periódico o semiperiódico. _
1) 4 = 4 : 9 = 0, 44.... = 0,4 Decimal Periódico 9 40
4//
2) = 3 : 2 = 1, 5 Decimal Finito 3) = 7 : 15 = 0,4666....= 0,4 Decimal
Semiperiódico. Ahora tú:
4) 3
55)
13
26)
1
907)
23
98)
8
59)
6
7
10) 6
711)
3
512)
31
713)
7
414)
1
815)
3
9
