CONJUNTO

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos

de un conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que

un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para

los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos

es:

NOTACION

Llamaremos elemento a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen

carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a,b,c,…

∈ / ∉: Se usa para expresar si un elemento pertenece o no a un conjunto.

⊂: Se usa para expresar que un conjunto, y por lo tanto, todos sus elementos, forman parte de otro

conjunto mayor.

U / ∅: El primer símbolo indica el conjunto universal, es el conjunto de todas las cosas sobre las que

estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números

enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede

mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que

estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.

El otro conjunto, se le llama conjunto vacío y cumple que todos los elementos posibles no están

contenidos en él, es decir ∀x, x∉∅.

REPRESENTACION GRAFICA

1. Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante curvas cerradas, conocidas con el nombre de

diagramas de venn, y para poder interpretarlos correctamente hay que observar lo siguiente: 

elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva.

2. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva.

3. Ningún punto se representa sobre la curva.

4. El conjunto referencial R se representan por un rectángulo para diferenciarlos de los otros diagramas.

si R = (1,2,3,4,5,6,7,8) y A= (4,5,6)

TIPOS DE CONJUNTOS

Un conjunto es una colección o agrupación de objetos o elementos que responden a una misma categoría o grupo. Haciendo un análisis de los miembros que lo conforman pueden existen los siguientes tipos:

Conjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.

Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta.

Conjunto unitario: estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo, la letra A.

Conjunto vacío: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo un unicornio, en el caso del elemento inexistente.

Conjunto referencial: a este conjunto también se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. Por ejemplo: el conjunto A esta compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el conjunto universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío. Por ejemplo el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el B e, f, g, h. Los conjuntos A y B entonces no tienen ningún elemento en común.

Conjuntos equivalentes: son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo el conjunto A es 1, 2, 3, 4 y el B a, b, c, d, por tanto A y B son equivalentes.Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. Por ejemplo el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2. Ambos conjuntos son iguales por que poseen los mismos elementos, sin importar su orden.

Conjuntos congruentes: aquí pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por ejemplo: el conjunto A es: 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 7, 9, 11, 13, 15. De esta manera, 10 y 15, 8 y 13, 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre sí una distancia de 5.

Conjuntos no congruentes: en estos conjuntos, en cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros, por lo que la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejemplo, el conjunto A es 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 4, 5, 6, 7, 8.

Conjuntos homogéneos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. Por ejemplo el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo.

Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el conjunto A es 2, j, perro, azul.

Operaciones entre Conjuntos[editar]

Unión de Conjuntos[editar]

Sean   y   dos conjuntos. Se define la unión de   con  , denotada por   (que se lee A unión B), por

el conjunto

En un Diagrama de Venn, la unión de dos conjuntos   y  , dependiendo de cómo se relacionan entre ellos, se ve

como sigue:

Unión de conjuntos

En términos prácticos, la unión de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos de ambos conjuntos.

Ejemplo[editar]

Si tenemos los conjuntos   y  , la unión de ellos es el

conjunto

Propiedades de la unión de conjuntos[editar]

La unión de conjuntos cumple las siguientes propiedades

Si 

Intersección de Conjuntos[editar]

Sean   y   dos conjuntos. Se define la intersección de   y  , denotada por   (que se lee A

intersección B), por el conjunto

En un Diagrama de Venn, la intersección de dos conjuntos   y  , dependiendo de cómo se relacionan entre ellos,

se ve como sigue:

Intersección de Conjuntos

En términos prácticos, la intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos

conjuntos.

Ejemplo[editar]

Si tenemos los conjuntos   y  , el conjunto intersección es

Nota: Dos pares de conjuntos   y   se llaman disjuntos siempre que  .

Propiedades de la intersección de conjuntos[editar]

La intersección de conjuntos cumple con las siguientes propiedades

Si 

Diferencia de Conjuntos[editar]

Sean   y   dos conjuntos. Se define la diferencia de   con  , denotada por   (que se lee A menos B),

por el conjunto

En un Diagrama de Venn, la diferencia de   con  , dependiendo de cómo se relacionan los conjuntos, se ve como

sigue:

Diferencia entre Conjuntos

En términos prácticos, la diferencia de un conjunto   con un conjunto  , en ese orden, es el conjunto formado por

todos los elementos que están en   pero no están en  .

Ejemplo[editar]

Si tenemos los conjuntos   y  , entonces el conjunto diferencia de   

con   es

Complemento de un Conjunto[editar]

Sea   un conjunto dentro de un conjunto universo  . Se define el complemento de  , denotado por   (que se

lee A complemento), al conjunto

En un Diagrama de Venn, el complemento de un conjunto se ve como sigue:

Complemento de un Conjunto

En términos prácticos, el complemento de un conjunto es todo lo que no está en el conjunto.

Ejemplo[editar]

Si tenemos los conjuntos   y  , entonces

el complemento de   es el conjunto

Propiedades del complemento de un conjunto[editar]

El complemento de un conjunto cumple las siguientes propiedades

Propiedades Combinadas[editar]

Se cumplen las siguientes propiedades entre conjuntos

Leyes de distribución

Leyes de De Morgan