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Congreso Chileno de Ingeniería de Transporte, Concepción 9-12 Octubre 2001

ESTRAUS: un Modelo Computacional para la Solución de Problemas

de Equilibrio Oferta-Demanda en Redes Multimodales de Transporte Urbano con Múltiples Clases de Usuarios

Joaquín de Cea Chicano, J. Enrique Ferná ndez Larrañ aga Departamento de Ingeniería de Transporte, Pontificia Universidad Católica de Chile

Casilla 306, Santiago 22, CHILE FAX: (56-2) 686 4820; e-mail jdc@ing.puc.cl

y

Alexandra Soto Ogueta Fernández & De Cea Ingenieros Limitada Lota 2257, Providencia, Santiago CHILE

FAX: (56-2) 2341578; e-mail asoto@FDCconsult.com

1. INTRODUCCIÓ N Los modelos de equilibrio-oferta demanda en sistemas de transporte han estado presentes en la literatura especializada por muchos añ os y en las últimas dos dé cadas se ha reportado en forma permanente una extensa variedad de trabajos científicos sobre el tema. Ellos describen importantes desarrollos en materia de formulaciones matemáticas de diversos problemas combinados o de equilibrio simultáneo, planteados para variados niveles de simplificación de las situaciones reales. No obstante lo anterior, resulta sorprendente el escaso reporte de aplicaciones de dichos modelos al análisis sistemas de transporte de gran tamañ o. Por otro lado, es tambié n notable el uso generalizado en el mundo profesional de modelos de transporte basados en el enfoque secuencial clásico, a pesar de sus importantes y reconocidas limitaciones, que redundan en mediocres resultados cuando los sistemas analizados presentan grados significativos de congestión. La enorme diferencia existente, en té rminos de capacidad predictiva y de facilidad de uso, entre las herramientas modernas de planificación de sistemas de transporte y las usadas mayoritariamente en la práctica profesional, tanto en países desarrollados como en desarrollo, adquiere mayor relevancia en la medida que crece la necesidad de predecir y evaluar los principales impactos de proyectos y planes estraté gicos, cuya implementación conlleva normalmente altísimas inversiones. La escasez de recursos y sus múltiples usos alternativos, en sectores tales como vivienda, educación y salud, justifican el creciente interé s de autoridades

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gubernamentales de diferentes países por implementar metodologías adecuadas de análisis y evaluación de sistemas de transporte, con el objeto de ayudar a introducir mayor racionalidad en el proceso de toma decisiones respecto del desarrollo futuro de dichos sistemas. En este contexto el Gobierno de Chile, como parte del proyecto denominado “ Estudio de Evaluación y Desarrollo del Sistema de Transporte Urbano de Santiago (ESTRAUS)” contrató la formulación e implementación de un modelo de equilibrio simultáneo de distribución, partición modal y asignación, que ha permanecido en constante desarrollo durante la última dé cada (ver por ejemplo, SECTU, 1989; Fernández y De Cea, 1990; De Cea et al. 2001). Este modelo es hoy día conocido como ESTRAUS. El presente artículo está centrado en la descripción de un enfoque de modelación que permite formular de manera general no sólo el problema de distribución, partición modal y asignación conjuntas (resuelto por la versión actual de ESTRAUS) sino que una importante gama de problemas de equilibrio oferta-demanda en sistemas de transporte. Este enfoque considera un modelo de equilibrio determinístico basado en el primer principio de Wardrop para la elección de rutas sobre las diferentes redes modales de transporte público y privado, puras y compuestas y un modelo de estructura jerárquica de elecciones de destino, modo y horario de viaje. Como ejemplos ilustrativos se presentan los siguientes problemas: a) distribución, partición modal y asignación multimodal; b) distribución, partición modal, elección de horario de viaje y asignación multimodal; y c) partición modal y asignación multimodal. En todos los casos se considera restricción de capacidad en transporte público y privado, e interacciones de flujos de diferentes categorías o clases de usuarios. Es claro, además, que de la misma forma pueden formularse otros problemas de equilibrio simultáneo oferta demanda. La única restricción por el momento es que si se considera la distribución de viajes, é sta debe estar en el nivel superior del árbol de decisiones jerárquicas de demanda. Se espera que las próximas versiones de ESTRAUS vayan incorporando, a partir del próximo añ o, la capacidad de tratar problemas como los mencionados, como un caso particular de una versión mucho más general que la actual. Este artículo ha sido organizado de la siguiente forma: en la sección 2, luego de esta introducción, se presenta una breve revisión de la literatura, con el objeto de mostrar el estado del arte en la materia. La sección 3 se concentra en la descripción de un conjunto de definiciones e hipótesis básicas del enfoque de modelación propuesto. En la sección 4 se presenta la formulación matemática en té rminos generales, en tanto la sección 5 trata el algoritmo de solución de los tres problemas ejemplo mencionados anteriormente. Por último, la sección 6 presenta algunas conclusiones y comentarios finales. 2. MODELOS DE EQUILIBRIO OFERTA-DEMANDA: UNA BREVE REVISION Como alternativa al modelo secuencial clásico de cuatro etapas, en Beckman et al. (1956) se presenta la primera formulación de equilibrio con demanda elástica, bajo la forma de un problema de optimización, para el caso simple en que tanto las funciones de costo como las de demanda son separables y existe una sola categoría de usuarios. Luego de este trabajo, se analizó una serie de

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problemas para los que se suponen diversos modelos de distribución de viajes en conjunto con una asignación de equilibrio óptimo de usuarios. Entre estos trabajos deben mencionarse los de Bruynooghe (1969), Florian et al. (1975) y Evans (1976). En el caso particular de Evans se propone un problema de optimización del tipo propuesto por Beckman, en el que se combina un modelo de distribución doblemente acotado basado en la maximización de la entropía con una asignación de equilibrio óptimo de usuarios. Florian and Nguyen (1978) formularon una extensión del problema anterior para el caso particular en que existen dos modos (automóvil y bus) independientes. Este modelo de distribución, partición modal y asignación es muy poco realista para modelar sistemas de transporte urbano en el que automóviles y buses comparten la infraestructura vial. Su formulación corresponde a la de un problema de optimización convexo que, como los anteriores puede ser resuelto sea por el algoritmo de Frank-Wolfe (see Frank and Wolfe, 1956) o por el algoritmo de “ aproximación lineal parcial” propuesto por Evans (1976). Paralelamente, Florian (1977) desarrolló un problema de equilibrio de partición modal (automóvil y bus) y asignación conjunta, en el que los aspectos distintivos son la diferenciación de flujos de vehículos y de pasajeros, y la forma de modelar la interacción entre ambos tipos de vehículos que comparten el uso de la infraestructura. En este caso, con el fin de capturar de una manera más realista las interdependencias a nivel de la demanda, las funciones de demanda utilizadas son no separables. En cuanto al procedimiento de solución, é ste consiste en resolver iterativamente una secuencia de problemas como el propuesto por Beckman et al., para un modo (automóvil), mientras se varían paramé tricamente los costos de viaje de equilibrio del otro modo (bus) cuya asignación es del tipo “ todo o nada” a las rutas de costo mínimo. Aashtiani (1979) es el primer autor que propone un modelo de optimización para el problema de equilibrio oferta-demanda con funciones de costo y de demanda no separables, para representar las interacciones entre usuarios de distinto modo o clase. Cuando se supone que dichas interacciones son simé tricas existe un problema de optimización cuya función objetivo puede expresarse en té rminos de integrales definidas como las de Beckman (esta es una extensión del trabajo desarrollado por Dafermos, 1971 y 1972, para el problema equilibrio de tráfico con múltiples clases de usuarios e interacciones asimé tricas entre ellos). Los problemas de optimización formulados para modelar el equilibrio multimodal con múltiples clases de usuarios en sistemas de transporte resultan muy poco realistas, puesto que suponen la existencia de interacciones simé tricas entre usuarios de diferentes modos o clases. Es bastante claro que esta suposición no resulta aceptable en muchas situaciones. Así, en una importante cantidad de trabajos se plantean formulaciones más razonables, en las que se suponen interacciones asimé tricas. El trabajo de Florian (1977) ha sido considerado una forma particular de plantear una desigualdad variacional para el problema de equilibrio oferta-demanda en sistemas de transporte con funciones de costo asimé tricas. Esta desigualdad variacional, que es una extensión de la planteada por Smith (1979) para la asignación óptima de usuarios con demanda fija, fue desarrollada independientemante por Florian (1979) y Dafermos (1980, 1982a) y más tarde analizada por Fisk y Nguyen (1982), Florian y Spiess (1982), y varios otros autores.

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Como alternativa a la formulación en té rminos de una desigualdad variacional, Aashtiani (1979) y Magnanti (1981) mostraron que el problema general con interacciones asimé tricas puede expresarse como un problema de complementariedad no lineal. En cuanto a los procedimientos de solución para problemas asimé tricos de equilibrio oferta demanda en sistemas de transporte, la literatura especializada presenta una variada gama de algoritmos. El más popular y probablemente el más comúnmente usado, principalmente debido a la simplicidad de implementación, es el mé todo de diagonalización. El lector interesado en la descripción detallada de este algoritmo, en sus propiedades y condiciones de convergencia puede ver por ejemplo Florian (1977), Abdulaal y LeBlanc (1979), Dafermos (1980, 1982b), Pang y Chang (1982), Fisk y Nguyen (1982) y Florian y Spiess (1982). Asmuth (1978), Aashtiani(1979), Aashtiani y Magnanti (1981) presentan aplicaciones de algoritmos de punto fijo, y de complementariedad lineal y no lineal, mientras Dafermos (1982, 1982a) propone mé todos de proyección. Nguyen y Dupuis (1984) usan el algoritmo de planos cortantes para resolver el problema de equilibrio de tráfico con funciones de costo asimé tricas, el que obviamente puede ser usado como mé todo de solución de problemas de equilibrio oferta-demanda con funciones de costo asimé tricas. Para los lectores interesados, Fernández y Friesz (1983) presenta una revisión detallada del estado del arte sobre este tema hasta comienzos de los añ os ochenta, incluyendo las principales referencias respecto de la existencia y unicidad de una variedad de formulaciones matemáticas referidas a problemas de equilibrio oferta-demanda en sistemas de transporte, no mencionadas en esta breve revisión. Es tambié n interesante el trabajo de Harker y Pang (1987) en el que se presenta una excelente descripción de diferentes mé todos de solución de desigualdades variacionales. Todos los modelos combinados de distribución, partición modal y asignación mencionados hasta ahora consideran que las decisiones de distribución y partición modal se realizan a un mismo nivel jerárquico (son simultáneas). Este es el caso, por ejemplo, del modelo de despachadores presentado por Friesz et al. (1986) para predecir flujos de carga en sistemas de transporte interurbano. Una limitación clara de este enfoque particular es que debe usarse el mismo parámetro de calibración para la elección de destino y modo. La primera formulación matemática de un modelo de equilibrio oferta-demanda en redes con elecciones secuenciales (jerárquicas) de destino y modo fue propuesta por Fernández et al. (1994). Allí se presentan varios enfoques para formular modelos de equilibrio en redes con modos combinados de transporte. Una de estas formulaciones considera un modelo con estructura jerárquica de demanda para tratar el problema de elección de modo (automóvil o automóvil-metro) y punto de transferencia, que permite calibrar parámetros diferentes para las funciones de elección de modo y nodo de transbordo. Este enfoque ha sido usado posteriormente en Fernández et al. (2000) para proponer nuevas formulaciones de equilibrio para el problema de transporte interurbano de carga. En este caso, la estructura general de demanda supone decisiones jerárquicas de destino, modo, operador y punto de transbordo cuando el modo no es puro.

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Posteriormente, Abrahamsson y Lundqvist (1999) desarrollaron modelos de estructura jerárquica para el problema de equilibrio simultáneo de distribución, partición modal y asignación y los implementaron para la región de Estocolmo. Ellos consideran un problema muy simple en el que las redes de transporte público y privado son independientes, además de suponer que no existen efectos de congestión sobre la red de transporte público, cuyos niveles de servicio son determinados en forma exógena (no hay congestión en las vías en que opera el transporte público, lo que es realista sólo si se trata de una red de metro, y no hay restricción de capacidad de los vehículos). Este problema, formulado de manera mucho más general (con congestión en una red multimodal con redes que interactúan, múltiples clases de usuarios y restricción de capacidad para los servicios de transporte público) es presentado en De Cea et al. (2001). Ultimamente, Florian et al. (1999) motivados por la versión original de ESTRAUS (ver Fernández y De Cea, 1990) desarrollaron STGO (Santiago), un modelo de equilibrio simultáneo de distribución, partición modal y asignación, con múltiples modos y clases de usuarios y estructura jerárquica de demanda. El trabajo contiene resultados de simulaciones en las que se reproducen aquellos obtenidos con una antigua versión de ESTRAUS que no consideraba restricción de capacidad de los servicios de transporte público. Mientras la asignación de transporte público del modelo STGO se basa en el concepto de estrategia o hipercamino (Spiess y Florian, 1989; y Nguyen y Pallottino, 1988) ESTRAUS está basado en el concepto de ruta de transporte público (ver LeClerc, 1972; y Chriqui y Robillard, 1975). Esta diferencia es de gran importancia cuando se introduce la restricción de capacidad de los vehículos de transporte público. En el caso de ESTRAUS el problema de equilibrio puede plantearse como una desigualdad variacional en el espacio de los flujos en arcos de la red (ver De Cea y Fernández, 1993), en tanto cualquier modelo basado en el concepto de estrategias o hipercaminos debe ser formulado como una desigualdad variacional en el espacio de los flujos en arcos e hipercaminos. En este último caso, el algoritmo de solución del modelo requiere de enumeración de hipercaminos, lo que constituye una importante desventaja de este enfoque de modelación (ver Wu et al., 1994). Finalmente, es importante destacar modelos más amplios que todos los conocidos en la literatura respecto del equilibrio oferta-demanda en sistemas de transporte. Estos son los que introducen elecciones de horario en el árbol jerárquico de demanda, dando lugar a modelos de distribución, partición modal, elección de horario y asignación, y de distribución, elección de horario, partición modal y asignación. En Dekock (2001) y De Cea et al. (2001) se tratan estos problemas en detalle. 3. DEFINICIONES E HIPOTESIS BASICAS DEL MODELO 3.1 Redes y Funciones de Costos La red vial está representada por G(N,A), donde N es el conjunto de nodos y A el conjunto de arcos. Se define mkp

ac~ al costo medio de operación en el arco a para usuarios de clase k, con

propósito de viaje p, del modo de transporte privado m~ (por ejemplo automóvil, taxi, etc.), como una función de la suma de los flujos vehiculares de usuarios de todos los modos de transporte privado, de todas las categorías de usuarios y propósitos de viaje ( mkp

af~

) y del flujo fijo de vehículos de transporte público ( aF ), en vehículos equivalentes, para el arco a:

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= ∑∑∑ a

k p m

mkpa

mkpa

mkpa Ffcc ,

~

~~~ (1)

Es importante notar que, aunque el Jacobiano del vector de funciones de costo es no diagonal, dada la forma supuesta para las funciones mkp

ac~, é ste resulta ser simé trico (todos los vehículos,

cualquiera sea la categoría de usuarios, el propósito del viaje y el modo de transporte privado, producen igual impacto en la congestión). Para cada modo puro m de transporte público, se definen redes puras de servicios ( )mmm SNG , donde mN es el conjunto de nodos ( NNm = para servicios de superficie que usan la red vial, tales como buses y taxicolectivos, y NNm ′= , con φ=′∩ NN para redes de transporte público independiente, como el metro) y mS el conjunto de arcos de transporte pú blico para el modo m . A continuación se explica el concepto de arco de transporte pú blico, que es básico para entender cómo se considera la restricción de capacidad de los vehículos. Para ver detalles referirse a De Cea y Fernández (1993). Considé rense dos nodos A y B tales que existe un conjunto 1L de servicios de transporte público que permiten llegar a B desde A, sin realizar transbordos { }( )nllllL ,...,,, 3211 = . Esto es, entre A y B opera un conjunto de secciones de línea (tramo de una línea entre dos nodos no necesariamente consecutivos de su trazado), como se observa en la siguiente figura:

A B

1l

2l

3l

nl

{ }nlllL ..., 211 =

Figura 1: Secciones de Línea entre Dos Nodos

Para representar el hecho que los viajeros seleccionan un subconjunto de las líneas de 1L (subconjunto de líneas atractivas) para desplazarse desde A a B, y al mismo tiempo tomar en cuenta la restricción de capacidad de los vehículos, la situación anterior se modela de la siguiente

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forma (ver De Cea y Fernández, 1993).

A B

{ }1

...,, 211 Si BlllS =

{ }2

...,, 212 Skiii BlllS =+++

),( SNG

Figura 2: Arcos de Transporte Público Red G(N,S)

El primer arco de transporte pú blico, 1S , representa el conjunto de líneas rápidas,

1SB , y corresponde al conjunto de líneas que permite minimizar el tiempo (costo) generalizado de viaje sin considerar restricción de capacidad de los vehículos. El segundo arco de transporte público,

2S , representa el conjunto de líneas lentas, 2SB .

Las funciones de tiempo (costo) generalizado de estos arcos de transporte público (suma del tiempo de viaje, tiempo de espera, tiempo de transbordo, tarifa, etc.), son dependientes de los flujos de vehículos sobre la red vial y de pasajeros sobre los servicios existentes, como se muestra a continuación:

+++

+⋅+∈∈∀= ∑∑∑

m

m

n

ms

mkps

mkpsm

ms

mmkp

WAIT

ms

mkpTARsa

k p m

mkpa

mkpmkps

CAPVV

dP

TARPBllaFfc

)(

~)(

)()(),,,(~

~

βα

ϕ

(2)

donde, además de la notación ya definida:

mkpsc : costo medio o generalizado en el arco s para usuarios de clase k, con

propósito p, del modo de transporte público m (por ejemplo bus, metro, taxicolectivo, etc.).

( ) mkp

TARP : ponderador de la tarifa para usuarios de clase k, con propósito de viaje p,

del modo de transporte público m .

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( )msTAR : tarifa asociada al arco de transporte público s para el modo m .

( ) mkpWAITP : ponderador del tiempo de espera para usuarios de clase k, con propósito

de viaje p, del modo de transporte público m .

mmm n,, βα : parámetros de calibración de la función de tiempo de espera para el

modo de transporte público m .

msd : frecuencia de vehículos del modo de transporte público m sobre el arco

de transporte público s.

( )msCAP : capacidad del arco de transporte público s para el modo de transporte

público m .

mkpsV : flujo de pasajeros de clase k, con propósito de viaje p, pertenecientes al

modo de transporte público m , que usan el arco de transporte público s.

mkpsV~ : flujo de pasajeros que compite con mkp

sV por la capacidad de las líneas de sB (flujos correspondientes al mismo propósito, categoría, modo,

pertenecientes a otros arcos de transporte público que compiten o quitan capacidad de las líneas de sB , más flujos de otros propósitos, categorías y modos que tambié n compiten por la capacidad de las líneas sB ).

Es fácil ver que el Jacobiano del vector de funciones de costo, en este caso, es no diagonal y asimé trico. El modelo considera, además, la existencia de modos combinados, por ejemplo auto-metro (transporte privado - transporte público) o bus-metro (transporte público - transporte público). En cada caso, la red del modo combinado corresponde a la unión de las redes de los modos puros que las conforman. Sólo para hacer menos engorrosa la notación y favorecer la comprensión de la formulación que sigue, se considerarán modos combinados ( )cm formados por dos modos de transporte público. Sin embargo, es necesario recalcar que esto no resta generalidad al modelo, ya que no hay problemas por tratar combinaciones auto-transporte público. En los casos en que se agrega la elección de horario al árbol de decisiones de demanda, existirán funciones de costo por modo, propósito, categoría y horario de viaje, puesto que é stas pueden ser diferentes para horarios o períodos distintos (de hecho las redes pueden ser diferentes). 3.2 Condiciones de Equilibrio Equilibrio de Flujos. El supuesto básico del modelo, respecto del equilibrio de flujos en las

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redes, es que para cada modo, sobre su respectiva red, cada usuario elige su ruta de acuerdo al primer principio de Wardrop (cada individuo trata de minimizar su costo de operación o costo medio generalizado de viaje). Esto da lugar a las siguientes condiciones de equilibrio:

pkWwPrhsi

hsiuC m

wkpmr

kpmrkpm

wkpmr ,,, ;

0 0

0 0*

***

∈∈∀

=≥

>=− (3)

Lo anterior significa que las rutas con flujos, tienen costos iguales mientras aquellas que no tienen flujos presentan costos iguales o mayores que el costo minimo

*kpmwu . Además, m

wP es el conjunto de rutas entre el par w para el modo m. Obviamente si el problema tratado considera elección de horario, estas condiciones deberán cumplirse además para cada periódo u horario analizado. Equilibrio de Viajes. Antes de explicitar las condiciones de equilibrio para la demanda, la siguiente figura ilustra una rama del árbol de decisión para un par origen-destino w dado, una clase de usuario k y un propósito de viaje p, para el caso particular de un modelo de distribución, partición modal y asignación. Como hemos mencionado, y se verá más adelante, pueden definirse estructuras similares, con los niveles que corresponda, para otros problemas tales como el de partición modal, asignación y combinaciones de las anteriores con elección de horarios. En el caso de este ejemplo, desde el nivel más alto del árbol de decisión cuelgan, tantas ramas equivalentes a la representada en la figura, como combinaciones de pares origen-destino w, clases de usuario k y propósitos de viaje p, existan. En el nivel superior de la rama en la figura, están representadas las decisiones de destino por propósito de viaje y clase de usuario, y en el nivel inferior (en realidad en los dos niveles inferiores) las decisiones de modo en una estructura logit de dos niveles.

),(, pkw

1n 2n in

11m 1

2m 1xm 2

1m 22m 2

ym im1im2

izm

⋅−= å ×-

n

Vkp

kpw

kpnwkpeL ll

l n1

⋅−= å

Î

×-

nm

ukpn

kpnw

kpmwkpneV gg

l n1

kpmw

u

Figura 3: Ilustración del Arbol de Decisión del Modelo de Demanda

En cada nivel del árbol se muestra la función de utilidad (desutilidad) correspondiente. En el nivel inferior, cada modo m tiene asociada una desutilidad kpm

wu (costo de viaje entre el par w para usuarios de clase k, propósito p y modo de transporte m). El conjunto de modos está agrupado en

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diferentes nidos (partición modal con estructura jerárquica de dos niveles), con desutilidad kpmwV .

El nivel superior es el correspondiente a la elección de destino, con costos compuestos kpwL . En el

equilibrio, para este problema ejemplo, deben cumplirse las siguientes condiciones:

• Distribución

** kpw

kp Lpj

pj

kpi

kpi

kpw eDBOAT ⋅−= β (4)

• Proporción de viajes de un modo m dentro de un nido n

∑∈

−

−

==

nm

u

u

kpnw

kpmwkpm

w kpmw

kpn

kpmw

kpn

e

eT

TP

'

*

**

*'

*

γ

γ (5)

• Proporción de viajes en nido n respecto del total de viaje

∑′

−

−

==

n

V

V

kpw

kpnwkpn

w kpnw

kp

kpnw

kp

e

eTTP *'

*

*

**

λ

λ (6)

Para el caso en que se considera elección de horarios (por ejemplo en el nivel inferior del árbol jerárquico) deberá cumplirse, además, que la proporción de viajes para un horario determinado, dado que en la decisión anterior se ha escogido el modo m, será de la forma de la mostrada en la expresión (5), en la que las utilidades (desutilidades) de las alternativas serán uw

kpmh (costo de operación de viaje entre el par w, para usuarios de categoría k y propósito p, que viajan en el modo m, en el horario h).

4. FORMULACION MATEMATICA DEL PROBLEMA Las condiciones de equilibrio anteriores para el problema de equilibrio que se considere (con la única particularidad que si se considera la distribución, é sta debe estar en el nivel superior del árbol jerárquico de decisiones de demanda) pueden formularse tambié n mediante una desigualdad variacional del siguiente tipo:

( ) ( ) ( ) ( ) 0**** ≥−−− TTTgXXXctt , factibles, TX∀ (P-1)

donde: X : vector de flujos sobre los arcos de la red multimodal.

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X* : vector de flujos de equilibrio sobre los arcos de la red multimodal.

T : vector de viajes entre pares origen-destino de la red multimodal (considera las variables pertinentes al problema combinado que se trate).

T* : vector de viajes de equilibrio entre pares origen-destino de la red multimodal (idem T).

c(X) : vector columna de funciones de costo en los arcos de la red (con Jacobiano no diagonal y asimé trico).

g(T) : vector de funciones inversas de demanda o transformadas de demanda (con Jacobiano diagonal) para las variables pertinentes al problema de equilibrio combinado que se trate.

Las restricciones, serán las correspondientes al problema combinado que se trate. 5. ALGORITMO DE SOLUCION Para todos los problemas de equilibrio simultáneo que se puedan plantear, el algoritmo implementado para su solución es el de diagonalización, puesto que, como se ha mencionado, las funciones de costo en los arcos de transporte público son asimé tricas (el Jacobiano del vector de funciones de costo es asimé trico). Por lo tanto no hay un problema de optimización equivalente al problema P-1, basado en integrales del tipo de las definidas por Beckman. En cada caso se debe diagonalizar las funciones de costo. Esta diagonalización de las funciones de costo

mkpsc da lugar a funciones mkp

sc dependientes de su propio flujo ( )( )mkps

mkps

mkps Vcc ˆˆ = .

A continuación se presenta el problema de optimización equivalente para los problemas diagonalizados, para los tres casos definidos en la introducción de este artículo. En el Apé ndice se derivan las condiciones de optimalidad para el caso de distribución, partición modal y asignación conjuntas, mostrándose que si el algoritmo de diagonalización converge, se obtiene una solución de equilibrio que cumple con las condiciones establecidas en la sección 3.2. Esto es similar para los dos problemas restantes tratados en este artículo. 5.1 Distribución-Partición Modal-Asignación A continuación se presenta el problema de optimización equivalente para el problema diagonalizado, que el contexto de ESTRAUS es resuelto mediante el algoritmo de EVANS:

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)1(ln1

)1(ln1)1(ln1

)1(ln1)1(ln1

)(ˆ

)(ˆ)(

0

0~ 0

~

~

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑ ∫

∑∑∑∑ ∫∑∑∑∑ ∫

∈

−+

−−−+

−−−+

+

+=

nm w

kpmw

kpmw

k p nkpn

w

kpnw

kpnw

k p nkpn

w

kpnw

kpnw

k p nkp

w

kpw

kpw

k pkp

w

kpw

kpw

k pkp

k p m s

Vkpms

k p m s

Vmkp

sk p m a

fmkp

a

TT

TTTT

TTTT

dxxc

dxxcdxxcZmin

c

ckpms

c

mkps

mkpa

γ

γλ

λβ (7)

s.a.: kp

wT pkwTn

kpnw ,,, ∀= ∑ ( )kp

wu (8)

kpnwT npkwT

nm

kpmw ,,,, ∀= ∑

∈

( )kpnwu (9)

kpmwT mpkwh

mwPr

kpmr ,,,, ∀= ∑

∈

( )kpmwu (10)

kpiO pkiT

j

kpw ,,, ∀= ∑ ( )kp

wµ (11)

pjD pjT

k i

kpw ,, ∀= ∑∑ ( )p

jη (12)

A las restricciones (8)-(12) deben agregarse además las restricciones de no negatividad de flujos, las relaciones entre flujos en rutas y flujos en arcos, y las restricciones de repartición de flujos en arcos de transporte público a secciones de línea. Es fácil ver que, si la distribución y la partición modal se dan a un mismo nivel jerárquico ( )kpkp λβ = , el cuarto y quinto té rmino de la función objetivo (7) desaparecen. Por otra parte, si además el modelo de partición modal, en lugar de ser jerárquico, fuera un logit multinomial, desaparecerían tambié n el sexto y sé ptimo té rmino de (7). Así, la versión general correspondiente a la estructura de decisiones ilustrada en la Figura 3 de la sección (d), colapsa a estructuras más simples dependiendo de los valores de calibración de los parámetros kpβ , kpλ y kpnγ . La actual versión operacional de ESTRAUS considera el caso más general presentado, en que ( )kpkp λβ ≤ (distribución y partición modal secuenciales en estructura jerárquica, y partición modal jerárquica). Las condiciones de optimalidad del problema diagonalizado (ver Apé ndice), se obtienen

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construyendo el Lagrangeano L con la función objetivo (7) y restricciones (8)-(12), multiplicadas por sus respectivas variables duales. Derivando L respecto de kpm

rh , se reproducen las condiciones de Wardrop para cada modo puro o combinado. En tanto, si se deriva L respecto a las variables de demanda kp

wT , kpnwT y kpm

wT , e igualando a cero, se obtienen las restantes condiciones de equilibrio planteadas para la demanda. 5.2 Partición Modal-Asignación A continuación se presenta el problema de optimización equivalente para el problema diagonalizado de Partición Modal y Asignación conjuntas:

TT

TTTT

dxxc

dxxcdxxcZ min

nm w

kpmw

kpmw

k p nkpn

w

kpnw

kpnw

k p nkpn

w

kpnw

kpnw

k p nkp

k p m s

Vkpms

k p m s

Vmkp

sk p m a

fmkp

a

c

ckpms

c

mkps

mkpa

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑ ∫

∑∑∑∑ ∫∑∑∑∑ ∫

∈

−+

−−−+

+

+=

)1(ln1

)1(ln1)1(ln1

)(ˆ

)(ˆ)(

0

0~ 0

~~

γ

γλ

(13)

s.a.: kp

wT pkwTn

kpnw ,,, ∀= ∑ ( )kp

wu (14)

kpnwT npkwT

nm

kpmw ,,,, ∀= ∑

∈

( )kpnwu (15)

kpmwT mpkwh

mwPr

kpmr ,,,, ∀= ∑

∈

( )kpmwu (16)

A las restricciones (14)-(16) deben agregarse además las restricciones de no negatividad de flujos, las relaciones entre flujos en rutas y flujos en arcos, y las restricciones de repartición de flujos en arcos de transporte público a secciones de línea. Las condiciones de optimalidad del problema diagonalizado, se obtienen construyendo el Lagrangeano L con la función objetivo (13) y restricciones (14)-(16), multiplicadas por sus respectivas variables duales. Derivando L respecto de kpm

rh , se reproducen las condiciones de Wardrop para cada modo puro o combinado, dadas por (3). En tanto, derivando L respecto a las

14

variables de demanda kpnwT y kpm

wT , e igualando a cero, se obtienen las restantes condiciones de equilibrio planteadas para la demanda, que en el caso del modelos de partición modal – asignación, corresponden a las expresadas por las ecuaciones (5) y (6). 5.3 Distribución-Partición Modal-Elección de Horario-Asignación A continuación se presenta el problema de optimización equivalente para el problema diagonalizado de Distribución, Partición Modal, Elección de Horario y Asignación conjuntas. El superíndice h representa un horario determinado escogido para viajar dentro del conjunto H de horarios disponibles:

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑ ∫∑∑∑∑∑ ∫

−+

−−−+

−−−+

−−−+

+=

h

kpmhw

w

kpmhw

k p n mkpm

kpmw

w

kpmw

k p n mkpm

kpmw

w

kpmw

k p n mkpn

kpnw

w

kpnw

k p nkpn

kpnw

w

kpnw

k p nkp

kpw

w

kpw

k pkp

kpw

w

kpw

k pkp

k p m h s

V

sk p m h a

f

a

TT

TTTT

TTTT

TTTT

dxxcdxxcminZkpmh

s kpmhkpmh

a kpmh

)1(ln1

)1(ln1)1(ln1

)1(ln1)1(ln1

)1(ln1)1(ln1

)(ˆ)(00

γ

γδ

δλ

λβ

(17)

s.a.: pkwTT

n

kpnw

kpw ,,∀= ∑ )( kp

wu (18)

npkwTTnm

kpmw

kpnw ,,,∀= ∑

∈

)( kpnwu (19)

nmpkwTTh

kpmhw

kpmw ∈∀= ∑ ,,, )( kpm

wu (20)

hnmpkwhTmh

wPr

kpmhr

kpmhw ,,,, ∈∀= ∑

∈

)( kpmhwu (21)

pkiTOj

kpw

kpi ,,∀= ∑ )( kp

iµ (22)

pjTDk i

kpw

pj ,∀= ∑∑ )( p

jη (23)

A las restricciones (18)-(23) deben agregarse además las restricciones de no negatividad de flujos,

15

las relaciones entre flujos en rutas y flujos en arcos, y las restricciones de repartición de flujos en arcos de transporte público a secciones de línea. Las condiciones de optimalidad del problema diagonalizado, se obtienen construyendo el Lagrangeano L con la función objetivo (17) y restricciones (18)-(23), multiplicadas por sus respectivas variables duales. Derivando L respecto de kpm

rh , se reproducen las condiciones de Wardrop para cada modo puro o combinado, dadas por (3). En tanto, derivando L respecto a las variables de demanda kp

wT , kpnwT , kpm

wT y kpmhwT , e igualando a cero, se obtienen las condiciones de

equilibrio para la demanda, que incluyen a condición (4) (distribución), y las siguientes condiciones equivalentes a las expresadas por las ecuaciones (5) y (6) antes planteadas, más una condición adicional relativa a la probabilidad de escoger un horario h:

• Proporción de viajes en nido n respecto del total de viajes

∑ ⋅−

⋅−

==

´

*

**

*

*

n

Z

Z

kpw

kpnwkpn

w kpnw

kp

kpnw

kp

e

eTTP

λ

λ

(24)

• Proporción de viajes de un modo m dentro de un nido n

∑∈

⋅−

⋅−

==

nm

V

V

kpnw

kpmwkpnm

w kpmw

kpn

kpmw

kpn

e

eTTP

´

*

**

*

*

δ

δ

(25)

• Proporción de viajes en horario h dentro de un modo m

∑∈

⋅−

⋅−

==

hh

u

u

kpmw

kpmhwkpmh

w kpmhw

kpm

kpmhw

kpm

e

eTTP

´

*

**

*

*

γ

γ

(26)

Ahora bien, en forma similar a lo anterior, puede plantearse el problema en que la elección de horario de viaje es previa a la elección de modo, con lo que se tiene el siguiente problema de optimización equivalente para el problema diagonalizado de Distribucion, Elección de Horario, Partición Modal y Asignación conjuntas:

16

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑ ∫∑∑∑∑∑ ∫

−+

−−−+

−−−+

−−−+

+=

m

kphnmw

w

kphnmw

k p h nkphn

kphnw

w

kphnw

k p h nkphn

kpnmw

w

kphnw

k p h nkph

kphw

w

kphw

k p hkph

kphw

w

kphw

k p hkp

kpw

w

kpw

k pkp

kpw

w

kpw

k pkp

k p h m s

V

sk p h m a

fkphnma

TT

TTTT

TTTT

TTTT

dxxcdxxcminZkpmh

skphnm

kpmha

)1(ln1

)1(ln1)1(ln1

)1(ln1)1(ln1

)1(ln1)1(ln1

)(ˆ)(00

δ

δγ

γλ

λβ

(27)

s.a.: pkwTT

h

kphw

kpw ,,∀= ∑ )( kp

wv (28)

hpkwTTn

kphnnw

kphw ,,,∀= ∑ )( kph

wv (29)

nhpkwTTnm

kphnmw

kphnw ,,,,∀= ∑

∈

)( kphnwv (30)

mnhpkwhThnm

wPr

kphnmr

kphnmw ,,,,,∀= ∑

∈

)( kphnmwv (31)

pkiTOj

kpw

kpi ,,∀= ∑ )( kp

iµ (32)

pjTDk i

kpw

pj ,∀= ∑∑ )( p

jη (33)

A las restricciones (28)-(33) deben agregarse además las restricciones de no negatividad de flujos, las relaciones entre flujos en rutas y flujos en arcos, y las restricciones de repartición de flujos en arcos de transporte público a secciones de línea. Las condiciones de optimalidad del problema diagonalizado, se obtienen construyendo el Lagrangeano L con la función objetivo (27) y restricciones (28)-(33), multiplicadas por sus respectivas variables duales. Derivando L respecto de kpm

rh , se reproducen las condiciones de Wardrop para cada modo puro o combinado, dadas por (3). En tanto, derivando L respecto a las variables de demanda kp

wT , kphwT , kphn

wT y kphnmwT , e igualando a cero, se obtienen las condiciones de

equilibrio para la demanda, que incluyen a condición (4) (distribución), y las siguientes condiciones equivalentes a las expresadas por las ecuaciones (5) y (6), más una condición adicional relativa a la probabilidad de escoger un horario h:

17

• Proporción de viajes en horario h respecto del total de viajes

∑ ⋅−

⋅−

==

´

*

**

*

*

h

U

U

kpw

kphwkph

w kphw

kp

kphw

kp

e

eTTP

λ

λ

(34)

• Proporción de viajes de un nido n dentro de un horario h

∑ ⋅−

⋅−

==

´

*

**

*

*

n

Z

Z

kphw

kphnwkphn

w kphnw

kph

kphnw

kph

ee

TTP

γ

γ

(35)

• Proporción de viajes en modo m dentro de un nido n

∑∈

⋅−

⋅−

==

nm

V

V

kphnw

kphnmwkphnm

w kphnmw

kphn

kphnmw

kphn

ee

TTP

´

*

**

*

*

δ

δ

(36)

6. COMENTARIOS FINALES En este artículo hemos presentado un enfoque general para la solución de una serie de problemas de equilibrio oferta-demanda en sistemas multimodales de transporte, con múltiples clases de usuarios y restricción de capacidad en la red vial y en cada una de las redes de transporte público. Este enfoque se caracteriza por considerar una estructura logit jerárquica para las elecciones de demanda (típicamente elecciones de destino, modo y horario de viaje). Al incorporar este enfoque en ESTRAUS, modelo que en su versión corriente resuelve únicamente un problema de distribución, partición modal y asignación, se dispondrá de una herramienta mucho más general, con la que una vez definido el árbol jerárquico de demanda a nivel de los datos de entrada (estructura del árbol logit y sus parámetros de calibración) será posible resolver cualquiera de los problemas siguientes: • Distribución-Partición Modal-Asignación • Partición Modal-Asignación • Distribución-Partición Modal-Elección de Horario-Asignación • Distribución-Elección de Horario-Partición Modal-Asignación • Partición Modal-Elección de Horario-Asignación • Elección de Horario-Partición Modal-Asignación En todos los casos anteriores el algoritmo de solución es exactamente el mismo. Luego de

18

diagonalizadas las funciones de costo es necesario resolver (usando el algoritmo de Evans) un problema de optimización, como los descritos en las secciones 5.1 a 5.3. La diferencia básica entre estos casos es que en la fase de aproximación lineal sólo se calcularán las variables de demanda pertinentes a cada problema específico, de los enumerados arriba. ESTRAUS continuará siendo un problema en el que las generaciones y atracciones son exógenas al problema de equilibrio y normalmente obtenidas para determinados escenarios de desarrollo urbano. Se extienden las capacidades del modelo al caso que, dadas las generaciones y atracciones de viaje para un período del día (por ejemplo dos horas en la punta de la mañ ana), es posible modelar la elección de horario de realización de los viajes para diferentes sub-períodos de é l. Adicionalmente, se agregará la capacidad de considerar tambié n en forma exógena la distribución de los viajes. Esta alternativa resulta útil cuando se desea evaluar planes o proyectos estraté gicos de impacto poco relevante en la distribución. Por último, es necesario recalcar que, por el momento, no será posible resolver con ESTRAUS problemas en que se considere la etapa de distribución y está no se encuentre en el nivel superior del árbol jerárquico de decisiones.

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21

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APENDICE

CONDICIONES DE OPTIMALIDAD DEL PROBLEMA DIAGONALIZADO DE DISTRIBUCION, PARTICION MODAL

Y ASIGNACION Las condiciones de optimalidad del problema diagonalizado se obtienen construyendo el Lagrangeano L con la función objetivo (7) y restricciones (8)-(12) de la sección 5.1, multiplicadas por sus respectivas variables duales. Derivando L respecto de kpm

rh , se reproducen las condiciones de Wardrop para cada modo puro o combinado. En tanto, si se deriva L respecto a las variables de demanda kp

wT , kpnwT y kpm

wT , e igualando a cero, se obtienen las restantes condiciones de equilibrio del problema. En el equilibrio, si kp

wT , kpnwT y kpm

wT >0 se deberá cumplir que:

0ln1ln1=−−+−=

∂∂ p

jkpi

kpw

kpwkp

kpwkpkp

w

uTTTL

ηµλβ pkw ,, ∀ (A.1)

0ln1ln1=+−−=

∂∂ kpn

wkpw

kpnwkpn

kpnwkpkpn

w

uuTTT

Lγλ npkw ,,, ∀ (A.2)

22

0ln1=+−=

∂∂ kpm

wkpnw

kpmwkpnkpm

w

uuTT

Lγ mpkw ,,, ∀ (A.3)

De la expresión (A.3) se desprende que: ( ) kpm

wkpnkpn

wkpnkpm

wkpnw

kpn uuuukpmw eeeT γγγ −− == npkw ,,, ∀ (A.4)

Introduciendo (A.4) en (9) se obtiene:

∑∑∈′

−

∈′

′ ′

==nm

uu

nm

mkpw

kpnw

mkpw

kpnkpnw

kpn

eeTT γγ mpkw ,,, ∀ (A.5)

Finalmente, dividiendo las expresiones (A.4) y (A.5) se obtiene la proporción de viajes de un modo dentro de su nido:

∑∈

−

−

==

nm

u

u

kpnw

kpmwkpm

w kpmw

kpn

kpmw

kpn

e

eTTP

'

'γ

γ mpkw ,,, ∀ (A.6)

Por otra parte, sumando (A.2) y (A.3):

0ln1ln1ln1=++−− kpn

wkpm

wkpnkpw

kpnwkpn

kpnwkp uTuTT

γγλ nmnpkw ∈∀ ,,,, (A.7)

kpmw

kpnkpw

kpnwkpn

kpnwkp

kpn

uuTT

kpmw eeT γγλ

γ−

−−−

=ln1ln1

nmnpkw ∈∀ ,,,, (A.8)

Sumando (A.8) nm ∈′∀ y sacando logaritmo natural se obtiene: kpn

wkpw

kpnwkpn

kpnwkp

kpnwkpn VuTTT −++−= ln1ln1ln1

γλγ npkw ,,, ∀ (A.9)

De (A.9): kpw

kpnwkp

kpnw uTV +−= ln1

λ npkw ,,, ∀ (A.10)

y de (A.10):

kpw

kpkpnw

kp uVkpnw eeT λλ−= npkw ,,, ∀ (A.11)

Introduciendo (A.11) en (8) y dividiendo (A.11) por la expresión resultante se obtiene:

∑′

−

−

==

n

V

V

kpw

kpnwkpn

w kpnw

kp

kpnw

kp

ee

TT

P 'λ

λ npkw ,,, ∀ (A.12)

que es la proporción de viajes de un nido n respecto al total de viajes.

23

Reordenando la ecuación (A.1) resulta:

++−= p

jkpi

kpw

kpwkp

kpkpw uTT ηµ

λβ ln1ln pkw ,, ∀ (A.13)

pj

kpkpi

kpkpw

kpwkp

kp

eeeTuT

kpw

ηβµβλβ

−

=ln1

pkw ,, ∀ (A.14)

Por otro lado, de (A.12):

∑′

− ′

=n

Vukpw

nkpw

kpkpw

kp

eeT λλ (A.15)

Sacando logaritmo natural a (A.15) y reordenando:

∑′

− ′

+=n

Vkpw

kpkpw

nkpw

kp

euT λλ lnln pkw ,, ∀ (A.16)

kpwkp

kpw

kpw TuL ln1

λ−= pkw ,, ∀ (A.17)

Finalmente, reemplazando (A.17) en (A.14):

pj

kpkpi

kpkpw

kp

eeeT Lkpw

ηβµββ−=kpw

kp Lpj

pj

kpi

kpi eDBOA β−= pkw ,, ∀ (A.18)