conducción de calor en régimen transitorio

CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

La temperatura de un cuerpo varía con el tiempo así como con la posición. En coordenadas rectangulares, esta variación se expresa como T(x, y, z, t), en donde (x, y, z) indica la variación en las direcciones x-, y- y z-, y t indica la variación con el tiempo.

ANÁLISIS DE SISTEMAS CONCENTRADOS.

En el análisis de la transferencia de calor, se observa que algunos cuerpos se comportan como un “bulto” cuya temperatura interior permanece uniforme en todo momento durante un proceso de transferencia de calor. La temperatura de esos cuerpos se puede tomar sólo como una función del tiempo, T(t). El análisis de la transferencia de calor que utiliza esta idealización se conoce como análisis de sistemas concentrados, el cual proporciona una gran simplificación en ciertas clases de problemas de transferencia de calor sin mucho sacrificio de la exactitud.

Considere un cuerpo de forma arbitraria y masa m, volumen V, área superficial As, densidad r y calor específico Cp, inicialmente a una temperatura Ti. En el instante t = 0, el cuerpo está colocado en un medio a la temperatura T ∞y se lleva a efecto transferencia de calor entre ese cuerpo y su medio ambiente, con un coeficiente de transferencia de calor h. En beneficio de la discusión, se supondrá que T∞ › Ti, pero el análisis es igualmente válido para el caso opuesto. Se supondrá que el análisis de sistemas concentrados es aplicable, de modo que la temperatura permanece uniforme dentro del cuerpo en todo momento y sólo cambia con el tiempo, T = T(t). Durante un intervalo diferencial de tiempo, dt, la temperatura del cuerpo se eleva en una cantidad diferencial dT. Un balance de energía del sólido para el intervalo de tiempo dt se puede expresar como:

O bien:

Dado que m=ρV y dT = d(T - T∞), puesto que T∞ =constante, la ecuación se puede reacomodar como:

d (T−T ∞)T−T∞

=h A s

ρV c p

Al integrar desde t=0, en el cual T=Ti,, hasta cualquier instante t, en el cual T=T(t), da:

ln(T (t)−T∞)

T i−T ∞=

h A s

ρV c pt

Al tomar el exponencial de ambos miembros y reacomodar, se obtiene:

(T (t)−T∞)T i−T ∞

=ebt

b=h A s

ρV c p

Cuyo exponente es una cantidad positiva cuya dimensión es (tiempo)-1.

Criterios para el análisis de sistemas concentradosEs evidente que el análisis de sistemas concentrados es muy conveniente en el estudio de la transferencia de calor y naturalmente que interesa saber cuándo resulta apropiado para usarlo. El primer paso en el establecimiento de un criterio para la aplicabilidad del análisis de sistemas concentrados es definir lalongitud característica como:

Lc=VA s

Y un número de Biot, Bi: Bi=h Lc

k

La longitud característica Lc que se utiliza en el número de Biot para formas geométricas simples en las que la transferencia de calor es unidimensional.

En general se acepta que el análisis de sistemas concentrados es aplicable si:Bi ≤ 0.1

CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES PLANAS GRANDES, CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES.

En esta sección se considera la variación de la temperatura con el tiempo y la posición en problemas unidimensionales, como los asociados con una pared plana grande, un cilindro largo y una esfera.

Considere una pared plana de espesor 2L, un cilindro largo de radio ro y una esfera de radio ro, inicialmente a una temperatura uniforme Ti, cada configuración geométrica se coloca en un medio grande que está a una temperatura constante T∞ y se mantiene en ese medio para t › 0. La transferencia de calor se lleva a efecto entre estos cuerpos y sus medios ambientes por convección, con un coeficiente de transferencia de calor h uniforme y constante.

Problema de conducción transitoria unidimensional, en forma adimensional.

Considérese una pared plana de espesor 2L que, inicialmente, se encuentra a una temperatura uniforme Ti, como se muestra en la figura anterior. En el instante t = 0, la pared se sumerge en un fluido a la temperatura T∞ y se expone a transferencia de calor por convección, desde ambos lados, con un coeficiente de convección de h. La altura y el ancho de la pared son grandes en relación con su espesor, de donde se puede considerar la conducción de calor en esa pared como unidimensional. Asimismo, existe simetría térmica respecto al plano medio que pasa por x = 0 y, como consecuencia, la distribución de temperaturas debe ser simétrica respecto a ese plano medio.

En las siguientes condiciones: propiedades termofísicas constantes, no hay generación de calor, simetría térmica respecto al plano medio, temperatura inicial uniforme y coeficiente constante de convección, el problema de conducción transitoria unidimensional de calor en el semidominio 0 ≤ x ≤ L de la pared plana se puede expresar como:

Ecuación diferencial: ∂2T∂ x2 =

1α

∂ T∂ t

Condiciones de frontera: ∂T (0 ,t)∂ x

=0 y -k ∂T (L , t)∂ x

=h[T ( L , t )−T ∞]

Condición inicial: T(x, 0) = Ti

Donde la propiedad ∝= kρ c p

es la difusividad térmica del material.

Soluciones aproximadas, analíticas.

Las cantidades adimensionales definidas en los párrafos anteriores para una pared plana también se pueden usar para un cilindro o una esfera, al reemplazar la variable espacial x por r y el semiespesor L por el radio exterior ro. Nótese que la longitud característica que se encuentra en la definición del número de Biot se toma como el semiespesor L, para la pared plana, y el radio ro, para el cilindro y la esfera, en lugar de V/A, que se usa en el análisis de los sistemas concentrados.

Donde: τ=αtL2 se conoce como numero de Fourier, Fo. Y las constantes A1 y λ1 son funciones sólo

del número Bi.

La temperatura del cuerpo cambia de la temperatura inicial Ti a la de los alrededores T ∞ al final del proceso transitorio de conducción de calor. Por lo tanto, la cantidad máxima de calor que un cuerpo puede ganar (o perder si Ti ¿T ∞) es sencillamente el cambio en el contenido de energía del cuerpo. Es decir:

Si se usan las relaciones apropiadas de temperatura adimensional basadas en la aproximación de un término para la pared plana, el cilindro y la esfera, y se realizan las integraciones indicadas, se obtienen las siguientes relaciones para la fracción de transferencia de calor en esas configuraciones geométricas:

CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN SÓLIDOS SEMIINFINITOS.

Un sólido semiinfinito es un cuerpo idealizado que tiene una sola superficie plana y se extiende hacia el infinito en todas direcciones.

Este cuerpo idealizado se usa para indicar que el cambio de temperatura en la parte del cuerpo en la que se interesa (la región cercana a la superficie) se debe a las condiciones térmicas en una sola superficie.

Durante periodos cortos, la mayor parte de los cuerpos pueden modelarse como sólidos semiinfinitos, ya que el calor no tiene tiempo suficiente para penetrar a la profundidad del cuerpo y por esta razón el espesor del cuerpo no entra en el análisis de la transferencia de calor.

MÉTODOS NUMÉRICOSEN LA CONDUCCIÓN DE CALOR.

¿POR QUÉ LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?

1 Limitaciones.Los métodos analíticos de solución se limitan a problemas fuertemente simplificados en configuraciones geométricas simples. La configuración geométrica debe ser tal que toda su superficie se pueda describir matemáticamente en un sistema de coordenadas al igualar las variables a constantes. Es decir, deben ajustarse a la perfección a un sistema de coordenadas con nada que se introduzca o sobresalga.

2 Una mejor elaboración de modelos.Se mencionó con anterioridad que las soluciones analíticas son exactas porque no comprenden aproximaciones. Pero esta afirmación necesita ser aclarada. Se debe establecer una distinción entre un problema del mundo real y el modelo matemático, que es una representación idealizada de él. Las soluciones que se obtienen son las soluciones de los modelos matemáticos, y el grado de aplicabilidad de estas soluciones a los problemas físicos reales depende de la precisión del modelo. Una solución “aproximada” de un modelo real de un problema físico suele ser más precisa que la solución “exacta” de un modelo matemático burdo.

3 Flexibilidad

Las computadoras y los métodos numéricos resultan idealmente adecuados para esos cálculos y se puede resolver una amplia gama de problemas relacionados mediante pequeñas modificaciones en el código o las variables de entrada. En la actualidad es casi inconcebible realizar cualquier estudio significativo de optimización en ingeniería sin el poder y la flexibilidad de las computadoras y los métodos numéricos.

4 ComplicacionesAlgunos problemas se pueden resolver analíticamente, pero el procedimiento de solución es tan complejo y las expresiones resultantes de la solución tan complicadas que no vale la pena todo ese esfuerzo.5 Naturaleza humanaComo seres humanos, es agradable estar sentados cómodos, pedir deseos y que éstos se hagan realidad sin mucho esfuerzo.

FORMULACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales se basan en el reemplazo de las ecuaciones diferenciales por ecuaciones algebraicas. En el caso del popular método de las diferencias finitas, esto se realiza al reemplazar las derivadas por diferencias.Se pueden obtener resultados razonablemente exactos al reemplazar las cantidades diferenciales por diferencias suficientemente pequeñas.

A continuación, se desarrolla la formulación en diferencias finitas de los problemas de conducción de calor al reemplazar las derivadas de las ecuaciones diferenciales por diferencias.

Esta expresión aproximada de la derivada en términos de diferencias es la forma en diferencias finitas de la primera derivada.

Considere ahora la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana de espesor L, con generación de calor. La pared se subdivide en M secciones de espesor igual ∆x =L/M, en la dirección x, separada por planos que pasan por los M +1 puntos 0, 1, 2, . . . , m - 1, m, m + 1, . . . , M, llamados nodos o puntos nodales. La coordenada x de cualquier punto m es simplemente xm = m∆x y la temperatura en ese punto es simplemente T(xm) = Tm. La ecuación de conducción de calor comprende las segundas derivadas de la temperatura con respecto a las variables espaciales, tales como d 2T/dx2 y la formulación en diferencias finitas se basa en el reemplazo de las segundas derivadas por diferencias apropiadas.

Dado que la segunda derivada es simplemente la derivada de la primera derivada, la segunda derivada de la temperatura en el nodo m se puede expresar como:

Lo cual es la representación en diferencias finitas de la segunda derivada en un nodo interno general m.

Entonces la ecuación diferencial:

Que rige la transferencia de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana, con conducción de calor y conductividad térmica constante, se puede expresar en la forma de diferencias finitas como:

Note que las condiciones de frontera no tienen efecto sobre la formulación en diferencias finitas de los nodos interiores del medio. Esto no es sorprendente, puesto que el volumen de control usado en el desarrollo de la formulación no comprende parte alguna de la frontera.

CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO

El método del balance de energía se basa en la subdivisión del medio en un número suficiente de elementos de volumen y, a continuación, aplicar un balance de energía en cada elemento. Esto se realiza al seleccionar en principio los puntos nodales (o nodos) en los cuales se van a determinar las temperaturas y, a continuación, para formar elementos (o volúmenes de control) sobre los nodos y trazar rectas que pasen por los puntos medios entre los nodos.

Con el fin de demostrar el procedimiento, considere una vez más la transferencia de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana de espesor L con generación de calor e · (x) y conductividad constante k. La pared se subdivide ahora en M regiones iguales de espesor.

Recuerde que cuando la temperatura varía linealmente, la razón estacionaria de conducción de calor a través de una pared plana de espesor L se puede expresar como:

En el caso de una pared plana con generación de calor, la variación de temperatura no es lineal y, por consiguiente, no se puede aplicar la relación antes dada. Sin embargo, se puede aproximar la variación de temperatura entre los nodos como si fuera lineal en la determinación de la conducción de calor a través de una capa delgada de espesor ∆x entre dos nodos (figura). Es obvio que entre menor sea la distancia ∆x entre dos nodos, más precisa es esta aproximación.

Condiciones de frontera

Nodos frontera. Esto se lleva a cabo de la mejor manera mediante la aplicación de un balance de energía en los elementos de volumen de los nodos frontera.

Las condiciones de frontera más común de encontrar en la práctica son las condiciones de temperatura específica, de flujo específico de calor, convección y de radiación.

La condición de frontera de temperatura específica es la condición más sencilla de este tipo con la cual tratar. tanto en la superficie izquierda como en la derecha, se pueden expresar como:

Condición de frontera de flujo de calor específico

Condición de frontera de convección

Condición de frontera de radiación

Condición de frontera de convección y radiación combinadas

Condición de frontera de convección, radiación y flujo de calor combinados

Tratamiento de los nodos en una frontera aislada como nodos interiores: el concepto de imagen especular.

Es tratar el nodo sobre una frontera aislada como uno interior. Desde el punto de vista conceptual, esto se realiza al reemplazar el aislamiento sobre la frontera por un espejo y considerar la reflexión del medio como su extensión (figura). De esta manera, el siguiente nodo al nodo frontera aparece en ambos lados de este último debido a la simetría, al convertirlo en un nodo interior.

Entonces para un nodo interior, la cual comprende la suma de las temperaturas de los nodos adjuntos menos el doble de la temperatura del nodo, la formulación en diferencias finitas de un nodo en m = 0 sobre la frontera aislada de una pared plana se puede expresar como:

También se puede usar el enfoque de la imagen especular para los problemas que poseen simetría térmica.

La formulación en diferencias finitas de los problemas de conducción de calor en estado estacionario suelen conducir a un sistema de N ecuaciones algebraicas en N temperaturas nodales desconocidas que es necesario resolver en forma simultánea. Se dispone de numerosos procedimientos sistemáticos en la literatura y se clasifican en términos generales como métodos directos e iterativos.

Uno de los métodos iterativos más simples es la iteración de Gauss-Seidel. El método aplicado a un sistema de N ecuaciones algebraicas en N temperaturas nodales consiste en el siguiente procedimiento: 1) escriba las ecuaciones en diferencias finitas de manera explícita para cada nodo

(la temperatura nodal a la izquierda y todos los demás términos a la derecha de la ecuación), 2) formule una suposición inicial razonable para cada temperatura nodal desconocida, 3) utilice las ecuaciones explícitas para calcular los nuevos valores de cada temperatura nodal, siempre utilice los valores más recientes de la temperatura para cada nodo del lado derecho de la ecuación explícita en diferencias finitas y 4) repita el procedimiento hasta lograr la convergencia dentro de algún margen de error tolerable (es decir, cuando se satisface un criterio de convergencia específico).

La siguiente tabla presenta como se aplica el método descrito anteriormente (valores solo con fin ilustrativo)

CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO

Muchos problemas de transferencia de calor que se encuentran en la práctica se pueden aproximar como si fueran unidimensionales, pero éste no siempre es el caso. A veces también se necesita considerar transferencia de calor en otras direcciones, cuando la variación de temperatura en esas direcciones es significativa.

El procedimiento que se presenta a continuación se puede extender hacia los casos tridimensionales. Considere una región rectangular en la cual la conducción de calor es significativa en las direcciones x y y. Divida ahora el plano x-y de la región en una malla rectangular de puntos nodales con espacios ∆x y ∆y en las direcciones x y y, respectivamente, como se muestra en la figura, y considere una profundidad unitaria de ∆z =1 en la dirección z. El objetivo es determinar las temperaturas en los nodos y resulta conveniente numerarlos y describir su posición por los números, en lugar de las coordenadas reales.

Considere ahora un elemento de volumen de tamaño ∆x X ∆y X 1, con centro en un nodo interior general (m, n), en una región en la que el calor se genera con una razón de e y la conductividad térmica k es constante, como se muestra en la figura.

El balance de energía sobre el elemento de volumen, para el caso estacionario se puede expresar como:

La relación de balance de energía antes dada queda:

Al dividir cada término entre ∆x X ∆y y simplificar da:

En el análisis con diferencias finitas por lo común se usa, por sencillez, una malla cuadrada (excepto cuando las magnitudes de los gradientes de temperatura en las direcciones x y y son muy diferentes).

La formulación en diferencias finitas de un nodo interior se obtiene al sumar las temperaturas de los cuatro vecinos más cercanos del nodo, menos el cuádruplo de la temperatura del propio nodo y más el término de generación de calor. También se puede expresar en la forma que sigue, la cual es fácil de recordar:

Cuando no se tiene generación de calor en el medio, la ecuación en diferencias finitas para un nodo interior todavía se simplifica más.

Nodos frontera

El desarrollo de la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera en los problemas bidimensionales (o tridimensionales) es semejante al realizado en el caso unidimensional descrito al principio. Una vez más, la región se divide entre los nodos mediante la formación de elementos de volumen alrededor de ellos y se escribe un balance de energía para cada nodo frontera.

Para la transferencia de calor en condiciones estacionarias, la ecuación básica que se debe tener presente al escribir un balance de energía sobre un elemento de volumen es:

Sea el problema unidimensional, bidimensional o tridimensional.

Conducción de calor en régimen transitorio en una pared plana

Considere la conducción de calor unidimensional en régimen transitorio en una pared plana de espesor L con generación de calor, que puede variar con el tiempo y la posición y con conductividad constante k, con un tamaño de malla ∆x =L/M y los nodos 0, 1, 2, . . . , M en la dirección x, como se muestra en la figura. Puesto que el elemento de volumen de un nodo interior general m comprende conducción de calor desde dos de sus lados y el volumen del elemento es Velemento = A∆x, la formulación en diferencias finitas en régimen transitorio para un nodo interior se puede expresar como:

Simplificando se obtiene la ecuación:

Ahora se define un número discreto de Fourier adimensional como:

Ahora se obtiene la formulación explícita en diferencias finitas al expresar el primer miembro en el intervalo de tiempo i como:

Si se expresa el primer miembro de la ecuación en el intervalo de tiempo i + 1, en lugar del i, daría la formulación implícita en diferencias finitas como:

Conducción bidimensional de calor en régimen transitorio.

Considere una región rectangular en la que la conducción de calor es significativa en las direcciones x y y, y considere una profundidad unitaria de ∆z =1 en la dirección z. Se puede generar calor en el medio con una velocidad de e(x, y, t), la cual puede variar con el tiempo y la posición, si se supone que la conductividad térmica k del medio es constante.

La formulación en diferencias finitas en régimen transitorio para un nodo de ese tipo se puede expresar sobre la base de la ecuación:

Simplificando también se puede expresar en términos de las temperaturas en los nodos vecinos en la siguiente forma, la cual es fácil de recordar:

Ahora se obtiene la formulación explícita en diferencias finitas al expresar el primer miembro en el paso i de tiempo como:

Si se expresa el primer miembro en el intervalo de tiempo i + 1 en lugar del i, daría la formulación implícita:

Ejercicio de conducción bidimensional de calor en régimen transitorio

Considere la transferencia de calor bidimensional en régimen transitorio en un cuerpo solido con forma rectangular que se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme cuya sección transversal se muestra en la figura. La conductividad y difusividad térmica del cuerpo son k=16

W/m℃ y α=3.2¿10−6 m2

s , respectivamente, y se genera calor en el cuerpo con una velocidad de

g=3.2∗106 Wm3 . La superficie izquierda del cuerpo está aislada y la inferior se mantiene a una

temperatura uniforme de 90℃ en todo momento. En el instante t=0, toda la superficie superior está sujeta a convección hacia el aire ambiente que está a T ∞=25℃, con un coeficiente de

convección h=80 Wm2℃ .

La red nodal cuenta con 12 nodos, igualmente espaciados con ∆ x=∆ y=1.2 cm, como se observa en la figura. Mediante el método explicito determine la temperatura de los todos los nodos para diferentes valores de tiempo, tabule los datos.

Solución

Datos

k=16 Wm℃ ∝=3.2∗10−6 m2

sg=3.2∗106 W

m3

T ∞=27℃ h=80 Wm2℃

. τ=∝∆ tl2 ∝= k

ρC

Suposiciones

∆ x=∆ y=l=1.2 cm

El coeficiente k es constante, tenemos los nodos 1, 2, 3, 4 y 8 que son exteriores, los nodos 5, 6 y 7 son interiores.

Lo primero que se debe de realizar es determinar la ecuación que se utilizara en esta ocasión, nosotros utilizaremos un balance de energía en cada nodo, que se expresa como:

∑ todos los ladosQi+Gi elemento=ρ V elementoCT m

i+1−T mi

∆ t

Análisis de nodos

i. Nodo 1Aplicamos un balance de energía

h ∆ x2 (T ∞−T 1

i )+k ∆ y2 (T2

i −T 1i

∆ x )+k ∆ x2 ( T 5

i −T 1i

∆ y )+ g1∆ x ∆ y

4= ρ ∆ x ∆ yC

4(T 1

i+1−T1i

∆ t)

Multiplicando todo por 4k , sustituyendo ∆ x=∆ y=l=1.2 cm, τ=

∝∆ tl2 ,∝= k

ρC

reacomodando despejando T 1i+1, obtenemos:

T 1i+1=T 1

i (1−4 τ−2 τhlk )+2 τ (T2

i +T 5i +

hl T ∞

k+

g1l2

2k)

ii. Nodo 2Aplicamos un balance de energía

h ∆ x (T ∞−T 2i )+k ∆ y

2 (T 3i −T 2

i

∆ x )+k ∆ x ( T 6i −T 2

i

∆ y )+k ∆ y2 ( T 1

i −T 2i

∆ x )+ g2∆ x ∆ y

2= ρ ∆ x ∆ yC

2(

T 2i+1−T 2

i

∆ t)


∝∆ tl2 ,∝= k

ρC


T 2i+1=T 2

i (1−4 τ−2 τhlk )+τ (T 3

i +2T 6i +T1

i +2 hlT ∞

k+

g2 l2

k)

iii. Nodo 3Aplicamos un balance de energía

h ∆ x (T ∞−T 3i )+k ∆ y

2 ( T4i −T 3

i

∆ x )+k ∆ x (T7i −T3

i

∆ y )+k ∆ y2 (T2

i −T3i

∆ x )+ g3∆ x ∆ y

2= ρ ∆ x ∆ yC

2(T 3

i+1−T 3i

∆ t)


∝∆ tl2 ,∝= k

ρC


T 3i+1=T 3

i (1−4 τ−2 τhlk )+ τ (T 4

i +2T7i +T 2

i +2 hl T∞

k+

g3l2

k)

iv. Nodo 4 (similar al nodo 1)Aplicamos un balance de energía

h( ∆ x2

+ ∆ y2

)(T ∞−T 4i )+k ∆ x

2 (T 8i −T4

i

∆ y )+k ∆ y2 ( T 3

i −T 4i

∆ x )+ g4∆ x ∆ y

4= ρ ∆ x ∆ yC

2(T 3

i+1−T3i

∆ t)


∝∆ tl2 ,∝= k

ρC


T 4i+1=T 4

i (1−4 τ−4 τhlk )+2 τ (T 8

i +T3i +T 2

i +2 hl T ∞

k+

g4 l2

k)

v. Nodo 5 Aplicamos un balance de energía En este caso tenemos el lado izquierdo del nodo aislado entonces aplicamos el concepto de espejo, además como se trata de un nodo interior podemos utilizar la siguiente ecuación:

T nodoi+1 =τ (T izquierda

i +Tderechai +T superior

i +T inferiori )+ (1−4 τ ) Tnodo

i +τ ˙gnodo l2

k

Sustituyendo nos quedaría:

T 5i+1=τ (T1

i +90+2T 6i )+(1−4 τ )T 5

i +τ g5l2

k

vi. Nodo 6El nodo 6 es interior por lo tanto aplicamos la ecuación de nodos interiores y nos quedaría de la siguiente manera:

T 6i+1=τ (T2

i +T 5i +90+T 7

i )+(1−4 τ )T 6i +

τ g6l2

k

vii. Nodo 7Este nodo también es un nodo interior por lo que utilizamos la ecuación de nodos interiores antes mencionada, aplicada nos quedaría así:

T 7i+1=τ (T3

i +T 6i +90+T 8

i )+(1−4 τ )T 7i +

τ g7l2

k

viii. Nodo 8Aplicamos un balance de energía

h∆ y (T ∞−T8i )+k ∆ x

2 ( T 4i −T 8

i

∆ y )+k ∆ x2 ( T 12

i −T8i

∆ y )+k ∆ y ( T7i −T8

i

∆ x )+ g8∆ x ∆ y

2= ρ ∆ x∆ yC

2(T 8

i+1−T8i

∆ t)


∝∆ tl2 ,∝= k

ρC


T 8i+1=T 8

i (1−4 τ−2 τhlk )+ τ (T 4

i +90+2T 7i +

2hl T ∞

k+

g8l2

k)

Concluida esta parte del problema tenemos las 8 ecuaciones con 8 incógnitas, procederemos a aplicar el criterio de la estabilidad.

Debemos de determinar el coeficiente del valor que acompaña al término T mi , del cual el valor

menor que obtendríamos seria:

1−4 τ−4 τhlk

≥ 0

τ ≤ 1

4(1+ hlk

)

Sustituyendo obtenemos el valor:

∆ t ≤ l2

4 α(1+ hlk

)

∆ t ≤10.61 s

Nosotros tomaremos un valor para el intervalo de tiempo igual a 10s.

Ahora sustituimos todos los valores en las ecuaciones de cada nodo las cuales nos quedarían de la siguiente manera:

T 1i+1=T 1

i (0.08536 )+0.444(T 2i +T 5

i +15.12)

T 2i+1=T 2

i ( 0.08536 )+0.222(T 3i +2T 6

i +T1i +32.04)

T 3i+1=T 3

i (0.08536 )+0.222(T 4i +2 T7

i +T 2i +32.04)

T 4i+1=T 4

i (0.05872 )+0.444 (T8i +T 3

i +32.04)

T 5i+1=T 5

i (0.112)+0.222(T 1i +2T 6

i +118.8)

T 6i+1=T 6

i (0.112)+0.222(T 2i +T5

i +T 7i +118.8)

T 7i+1=T 7

i (0.112)+0.222(T 6i +T3

i +T 8i +118.8)

T 8i+1=T 8

i (0.08536 )+0.222(T 4i +2 T7

i +118.8 )

Intervalo de

tiempo

Temperatura de los nodos Tiempo

(s) T 1i T 2

i T 3i T 4

i T 5i T 6

i T 7i T 8

i

0 0 90 90 90 90 90 90 90 901 10 94.3157 94.7153 94.7153 99.4306 96.3936 96.3936 96.3936 93.99602 20 99.6164 99.9614 101.0969 103.8521 100.9065 100.9952 100.4630 100.25103 30 104.4019 105.1428 105.5947 109.7225 104.6319 104.5805 104.7456 103.89504 40 108.7650 109.1794 110.3336 113.6821 107.7033 107.9101 107.8287 106.98665 50 112.2934 113.0829 113.8821 117.3913 110.4943 110.5455 110.6515 109.44286 60 115.5669 116.1270 117.1284 120.2752 112.7603 112.9535 112.8858 111.54607 70 118.2040 118.9207 119.7136 122.8198 114.8100 114.8980 114.8582 113.28258 80 120.5796 121.1641 121.9951 124.8880 116.4883 116.6289 116.4702 114.76569 90 122.5236 123.1612 123.8627 126.6809 117.9722 118.0513 117.8707 116.0059

10 100 124.2351 124.7983 125.4853 128.1661 119.2015 119.2943 119.0333 117.063411 110 125.6539 126.2289 126.8332 129.4433 120.2710 120.3279 120.0345 117.953312 120 126.8851 127.4171 127.9939 130.5119 121.1647 121.2210 120.8729 118.711013 130 127.9145 128.4437 128.9662 131.4264 121.9346 121.9693 121.5909 119.351014 140 128.8000 129.3033 129.7990 132.1960 122.5817 122.6113 122.1954 119.895315 150 129.5446 130.0409 130.5001 132.8525 123.1358 123.1519 122.7113 120.355916 160 130.1817 130.6617 131.0985 133.4069 123.6032 123.6138 123.1470 120.747317 170 130.7192 131.1922 131.6040 133.8790 124.0020 124.0038 123.5181 121.079018 180 131.1777 131.6400 132.0344 134.2784 124.3392 124.3361 123.8321 121.360719 190 131.5654 132.0217 132.3987 134.6180 124.6263 124.6174 124.0991 121.599620 200 131.8954 132.3446 132.7085 134.9058 124.8694 124.8566 124.3254 121.802421 210 132.1748 132.6193 132.9709 135.1503 125.0761 125.0593 124.5176 121.974522 220 132.4125 132.8519 133.1939 135.3575 125.2512 125.2315 124.6806 122.120523 230 132.6138 133.0497 133.3830 135.5336 125.4001 125.3775 124.8190 122.244524 240 132.7849 133.2174 133.5436 135.6829 125.5263 125.5016 124.9364 122.349625 250 132.9300 133.3598 133.6798 135.8097 125.6335 125.6068 125.0361 122.438926 260 133.0532 133.4806 133.7954 135.9172 125.7244 125.6961 125.1207 122.514627 270 133.1577 133.5831 133.8936 136.0085 125.8016 125.7719 125.1925 122.578928 280 133.2464 133.6701 133.9768 136.0860 125.8671 125.8362 125.2534 122.633529 290 133.3217 133.7440 134.0475 136.1517 125.9227 125.8908 125.3051 122.679830 300 133.3856 133.8066 134.1075 136.2075 125.9699 125.9371 125.3490 122.7191

Los resultados obtenidos son:

conducción de calor en régimen transitorio

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