REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO

SANTIAGO MARIO EXTENSIN MATURN

SECCIN E

CONDUCCIN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO

Autor: Cristian Guerra, 23754600

Docente: Jorge Mrquez

Maturn, Junio de 2015

N D I C E G E N E R A L

p.p

INTRODUCCIN .................................................................................................. 1

ANLISIS DE PARMETROS CONCENTRADOS ........................................... 2

Definicin ............................................................................................................. 2

Criterios para el Anlisis de Sistemas Concentrados .............................................. 3

PLACA INFINITA ................................................................................................. 7

Definicin ............................................................................................................. 7

Criterios para el Anlisis de Placas Infinitas .......................................................... 8

CILINDRO INFINITO Y ESFERA ..................................................................... 11

Definicin ........................................................................................................... 11

SLIDO SEMI-INFINITO .................................................................................. 12

Definicin ........................................................................................................... 12

Criterios para el Anlisis de Solidos Semi-infinitos ............................................. 13

Ejercicio #1 ............................................................................................................ 15

Ejercicio #2 ............................................................................................................ 17

Ejercicio #3 ............................................................................................................ 20

CONCLUSIN ..................................................................................................... 22

BIBLIOGRAFA .................................................................................................. 23

1

INTRODUCCIN

En general, la temperatura de un cuerpo vara con el tiempo as como con la

posicin. En clases pasadas se consider la conduccin de calor en condiciones

estacionarias, para las cuales la temperatura de un cuerpo en cualquier punto no cambia

con el tiempo, lo cual simplificaba en gran medida el anlisis, en especial cuando la

temperatura variaba slo en una direccin. El estudio de cuerpos de la conduccin de

calor en estado transitorio considera la variacin de la temperatura con el tiempo as

como con la posicin, en sistemas unidimensionales y multidimensionales.

El presente trabajo inicia con el anlisis de los sistemas concentrados (tambin

llamados sistemas de parmetros concentrados o de resistencia interna despreciable),

en los cuales la temperatura de un cuerpo vara con el tiempo, pero permanece uniforme

en cualquier instante (los puntos de temperatura no cambian de posicin). En seguida,

se considera la variacin de la temperatura con el tiempo as como con la posicin para

problemas unidimensionales de conduccin de calor, como los asociados con una pared

plana grande o infinita, un cilindro, una esfera y un medio semi-infinito, logrando

obtener un esbozo del tema de manera terica y prctica.

2

ANLISIS DE PARMETROS CONCENTRADOS

Definicin

En el estudio de la transferencia de calor se observa que algunos cuerpos se

comportan como un bulto o una masa uniforme cuya temperatura interior

permanece uniforme en todo momento durante un proceso de transferencia de calor. Es

decir, en todos los puntos de su cuerpo poseen la misma temperatura. Por ejemplo,

consideremos la siguiente bola de cobre:

Las mediciones indican que la temperatura de la bola de cobre cambia con el

tiempo, pero no vara mucho con la posicin en algn momento dado (en todos sus

puntos, la temperatura aumenta y disminuye de manera homognea). Por lo tanto, la

temperatura de la bola permanece uniforme todo el tiempo y se puede hablar de esa

temperatura sin referir a una ubicacin especfica, pues se encuentra homogenizada. El

estudio de la temperatura de este tipo de cuerpos se puede estudiar tomando como nica

funcin el tiempo (T). El anlisis de la transferencia de calor que utiliza esta

idealizacin se conoce como anlisis de sistemas concentrados, el cual proporciona una

gran simplificacin en ciertas clases de problemas de transferencia de calor sin mucho

sacrificio de la exactitud.

Ahora, vamos al otro extremo y consideremos un pedazo de carne en un horno o

una parrilla. Si en algn momento hemos hecho algn asado, seguro nos hemos dado

cuenta que la distribucin de temperatura dentro del trozo de carne no se aproxima a

ser uniforme. Si sacamos el pedazo de carne antes de que est cocido por completo y

3

lo cortamos a la mitad, nos daremos cuenta de que las partes exteriores de l estn bien

cocidas, en tanto que la zona central apenas est caliente. Como consecuencia, en este

caso no es aplicable el anlisis de sistemas concentrados, pues la temperatura no vara

de manera homognea en el cuerpo respecto al tiempo: hay puntos en donde aumenta

de manera ms veloz, creando una diferencia de temperatura. Una totalmente

heterogeneizada. Esto se puede ejemplificar a travs de la siguiente representacin:

Criterios para el Anlisis de Sistemas Concentrados

Como se explic en el apartado anterior, en diversas circunstancias la

temperatura de un sistema durante un proceso de calentamiento o enfriamiento est

sujeta casi de manera exclusiva al tiempo, no a la distancia, pues la distribucin de

temperatura es homognea. Podra suponerse que en estos casos la conductividad

trmica del material es suficientemente alta como para que los gradientes de

temperatura en su interior resulten insignificantes (pues seran realmente bajos), o

tambin podra pensarse que el sistema es lo suficientemente pequeo para que las

diferencias de temperatura en su interior no sean considerables (pues, relativamente,

las temperaturas externas e internas seran prcticamente las mismas).

Con la intencin de cuantificar esas ideas, podemos imaginarnos un sistema que

experimenta un proceso de enfriamiento o calentamiento en presencia de un fluido (es

decir, a travs de conveccin). El cociente de la resistencia trmica por conduccin a

la de conveccin puede escribirse por lo tanto de la siguiente manera:

4

=

1

=

( )

h = es el coeficiente de transferencia de calor en la interfase.

k = la conductividad trmica del sistema.

L = una longitud caracterstica para la conduccin de calor. Por ejemplo: radio de

una esfera; radio de una barra cilndrica de gran longitud; semiespesor en una

placa plana expuesta a un fluido que disipa o toma calor por ambas superficies,

etctera.

Cuando un cuerpo slido se calienta por un fluido ms caliente que lo rodea

(como una papa que se est horneando), el calor es llevado por conveccin hacia el

cuerpo y, a continuacin, conducido hacia el interior del cuerpo. El nmero de Biot es

la razn de la resistencia interna de un cuerpo a la conduccin de calor con respecto a

su resistencia externa a la conveccin de calor. Por lo tanto, un nmero pequeo de

Biot representa poca resistencia a la conduccin del calor y, por lo tanto, gradientes

pequeos de temperatura dentro del cuerpo.

Por el momento, basta decir que si el nmero de Biot es menor a 0.1,

aproximadamente, la temperatura en el interior de un cuerpo depende

fundamentalmente del tiempo y, por lo tanto, es vlido aplicar un anlisis de parmetros

concentrados. En base a mi dictamen, a medida que el nmero de Biot es menor,

mayores posibilidades hay de que el cuerpo termine siendo homogneo en cada uno de

sus puntos.

Para dar un ejemplo de este tipo de anlisis, consideremos un sistema como el

que se muestra a continuacin:

= 0 en

= 0

Condiciones externas

= =

Material

5

El material se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme To. Supngase

que de pronto se sumerge el cuerpo en un fluido a una temperatura T que es constante.

Si pensamos que la resistencia interna a la conduccin es insignificante respecto a la

externa de conveccin (nmero de Biot por debajo de 0,1) la temperatura del cuerpo

est determinada slo por el tiempo, es decir, = ().

La primera ley de la termodinmica nos dice que el cambio en la energa interna

de un sistema es igual a la energa transferida menos el trabajo realizado, y esta energa

interna, dentro de un material considerando sus propiedades, puede ser representada de

la siguiente manera:

() =

Si aplicamos esta ley a todo el cuerpo, el calor disipado por conveccin en

cualquier instante se refleja en una disminucin de su energa interna, pues representa

una salida de energa en forma de calor hacia el medio externo. En forma analtica, esto

se puede representar respecto al tiempo de la siguiente manera:

( ) =

h = coeficiente promedio de transferencia de calor

A = rea del cuerpo donde intercambia calor por conveccin

c = calor especfico del material que constituye el sistema

= densidad del material que constituye el sistema

V = volumen del sistema

Ti = Temperatura inicial

T = Temperatura del medio externo

= T(t) - T, siendo T(t) la temperatura en cualquier instante t

m = masa de sistema = V (Ntese)

6

Esta expresin puede reacomodarse para ejemplificarle en trminos ms

simples de la siguiente manera:

=

=

( )

Integramos en funcin de t (tiempo) de la siguiente manera:

=

( )

= ln

()

Eliminamos el logaritmo neperiano utilizando su inverso: el numero e, de

la siguiente manera:

e

hAcV

t=

T(t) TTi T

Expresndose de una manera ms individual y elegante de la siguiente

manera:

=()

, donde =h A

c V

Esta ecuacin nos permite determinar la temperatura T(t) de un cuerpo en

cualquier instante t, o, de modo alternativo, el tiempo t requerido para alcanzar el valor

especfico T(t).

Hay que recordar algo muy importante: la temperatura de un cuerpo se aproxima

a la del medio ambiente, T, en forma exponencial. Al principio, la temperatura del

7

cuerpo cambia con rapidez pero, posteriormente, lo hace ms bien con lentitud. Un

valor grande de b indica que el cuerpo tender a alcanzar la temperatura del medio

ambiente en un tiempo corto. Entre mayor sea el valor del exponente b, mayor ser la

velocidad de decaimiento de la temperatura. Note que b es proporcional al rea

superficial, pero inversamente proporcional a la masa y al calor especfico del cuerpo.

Esto no es sorprendente, ya que tarda ms tiempo en calentarse o enfriarse una masa

grande, en especial cuando tiene un calor especfico grande.

La temperatura T en cualquier intervalo t, cuando se encuentra una transferencia

de calor por conduccin aparte de una de conveccin (mecanismo simultneo), siempre

y cuando T = T en t = 0 (temperatura inicial), estar definida a travs de la siguiente

ecuacin:

= +

[

]

PLACA INFINITA

Definicin

En varios problemas de tipo transitorio no puede despreciarse la resistencia

interna a la conduccin, ya que la temperatura del sistema no slo depende del tiempo

sino tambin de la distancia. Qu quiero decir con esto? Que a diferencia del anlisis

de parmetros concentrados recin descrito, la solucin de problemas relacionados con

la conductividad trmica finita es ms compleja, pues implica el anlisis de ecuaciones

diferenciales parciales para poder estudiar las variantes de posicin dentro del cuerpo.

Consideremos como ejemplo el caso de una placa infinita de espesor 2L, la cual

se encuentra a una temperatura inicial uniforme Ti, como se observa de manera

siguiente:

8

Supngase que de pronto se pone en contacto con un fluido a una temperatura

constante T y se desea conocer la historia de temperatura de la placa en funcin de la

distancia y el tiempo. Para estudiar este caso se necesitan tomar en cuenta una serie de

criterios.

Criterios para el Anlisis de Placas Infinitas

Uno de los parmetros que debemos tomar en cuenta es la difusividad trmica,

debido a que sta afecta la razn de cambio de la temperatura con respecto al tiempo.

As, dicha razn es ms rpida si el material tiene una gran difusividad trmica, y

viceversa. Ntese que a diferencia de la conductividad trmica k de un material, que

permite o no el paso del calor por conduccin, la difusividad trmica consta de tres

propiedades fsicas, una de transporte y dos termodinmicas: la conductividad trmica

k, la densidad del material y el calor especfico c.

De lo anterior se desprende que la difusividad trmica (m2/s) es un indicador de

la capacidad que tiene un material para conducir el calor con respecto a su capacidad

para almacenar energa interna; esta se define de la siguiente manera:

=

Se requiere tres condiciones para estudiar este caso: dos de frontera y una inicial,

para especificar por completo la variacin de la temperatura con respecto a la distancia

y al tiempo. Si se supone que la placa est sujeta a un proceso de enfriamiento (o

2L Fluido a T sometido a h

Fluido a T sometido a h

Y X

9

calentamiento), la condicin inicial puede establecerse fcilmente a partir de la

uniformidad inicial de la temperatura en la placa. Es decir:

= (, ) =

La primera condicin de frontera se establece muy pronto mediante la condicin

de simetra en la placa. Puesto que sta pierde (o gana) calor por ambas superficies, el

mximo (o mnimo) de temperatura durante el enfriamiento (o calentamiento) debe

ocurrir en el centro mismo de la placa. Es decir:

=

(, ) =

Por ltimo, la segunda y ltima condicin de frontera puede obtenerse notando

que el calor transportado por conduccin en la interfase debe ser igual al que se cede

(o gana) de forma convectiva al fluido. Es decir:

=

(, ) = [(, ) ]

Este conjunto de ecuaciones describen por completo el problema de transferencia

de calor en la placa. De esas mismas expresiones se observa que la temperatura de la

placa en cualquier posicin y en cualquier instante depende de varios parmetros, en

particular de:

= (, , , , , , , )

Sin embargo, la distribucin adimensional de temperatura para una placa plana

es una funcin universal de x, Fo y Bi, y no depende de los valores particulares de ,

, L, k, o h. Estas variables de funcin universal (x, Fo y Bi) se definirn a travs

10

de las siguientes ecuaciones para as poder afrontar cualquier tipo de problema en

forma general:

1. =

2. =

3. = =

=

=

Este conjunto de ecuaciones deben apoyarse en la Grfica de Heisler para la

historia temperatura-tiempo en el centro de una placa de espesor 2L a una temperatura

inicial Ti, que intercambia calor con un medio a temperatura ; as como en la Grfica

Heisler para determinar la temperatura en cualquier punto de una placa. (Fuente: M. P.

Heisler, Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating, Trans.

ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947).

Para conseguir el valor de , se debe hallar primero,

, Grfica Heisler para historia T t en el centro de una placa (e = 2L).

, Grfica Heisler para la temperatura en cualquier punto de una placa.

De esta manera, al multiplicarse, se logra obtener de la siguiente manera:

= 0

=T TTi T

()

Teniendo el valor de adimensional se logra obtener la temperatura en

cualquiera punto de la placa a travs de la siguiente ecuacin:

= + ( )

11

CILINDRO INFINITO Y ESFERA

Definicin

El anlisis del proceso transitorio para el caso de un cilindro infinito o una esfera

de radio ro con una temperatura inicial uniforme Ti, que se exponen a un medio

convectivo cuya temperatura es , a travs de un coeficiente de transferencia de calor

h, es muy similar al que se present con anterioridad para el caso de una placa infinita,

con la particularidad de que los coeficientes de Biot y Fourier no sern compatibles

debido a las condiciones geomtricas.

Por lo tanto, a travs de las siguientes ecuaciones adimensionales totalmente

anlogas a las utilizadas en el estudio de placas infinitas (pg. 10) se puede afrontar

cualquier tipo de problema en forma general. Sin embargo, estas de igual forma se

deben apoyar en las Grficas de Heisler (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for

Induction and Constant Temperature Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de

1947.) para la historia temperatura-tiempo en el centro de un cilindroesfera infinito

de radio ro con una temperatura inicial Ti que intercambia calor con un medio a

temperatura ; y para determinar la temperatura en cualquier punto de un cilindro

esfera infinito.

De esta manera, al multiplicarse ambos coeficientes se logra obtener de la

siguiente manera:

= 0

=

()

Teniendo el valor de adimensional se logra obtener la temperatura en

cualquiera punto de la esferacilindro a travs de la siguiente ecuacin:

= + ( )

12

SLIDO SEMI-INFINITO

Definicin

En numerosas aplicaciones la temperatura de un cuerpo slo vara en la vecindad

de una de sus superficies. En otras, la distribucin de la temperatura es slo de inters

durante la parte inicial del proceso transitorio en que la temperatura en el interior del

cuerpo no ha tenido prcticamente oportunidad de afectarse. Para entender podemos

considerar un slido semi-infinito como el que se muestra a continuacin:

Podemos observar que un slido semi-infinito no es ms que un cuerpo

idealizado que tiene una sola superficie plana (sealizada en rojo) y se extiende hacia

el infinito en todas sus dems direcciones. Este cuerpo idealizado se usa para indicar

que el cambio de temperatura en la parte del cuerpo en la que se interesa (la regin

cercana a la superficie, sealizada en verde) se debe a las condiciones trmicas en una

sola superficie (sealizada en roja).

Por ejemplo, la Tierra se puede considerar como un medio semi-infinito por la

importancia de la variacin de la temperatura cerca de su superficie. Asimismo, una

pared gruesa se puede evaluar como un medio semi-infinito si lo nico que nos interesa

es la variacin de la temperatura en la regin cercana a una de sus superficies; si la otra

superficie est demasiado lejos como para tener algn impacto, en este caso, la

temperatura en la regin central de la pared permanece inalterada. Esto generalmente

13

se da durante periodos cortos (tiempos relativamente pequeos), ya que el calor no

tiene tiempo suficiente para penetrar en la profundidad del cuerpo y por esta razn el

espesor del cuerpo no entra en el anlisis de la transferencia de calor. Todos los

cuerpos, por lo tanto, pueden modelarse como solidos semi-infinitos si se ajustan de

manera coherente los parmetros de tiempo.

Criterios para el Anlisis de Solidos Semi-infinitos

El anlisis del slido semi-infinito precisa un conocimiento de la distribucin de

la temperatura y el flujo de calor, puesto que la temperatura en su interior depende del

tiempo t y de la distancia x. Por lo tanto, para este estudio se requiere una condicin

inicial y dos de frontera para determinar de manera nica la distribucin de temperatura

T(x, t) en el slido

1. ; (, ) =

2. ; (, ) =

3. ; (, ) =

Teniendo estas condiciones en funcin, cualquier problema puede resolverse sin

mayor dificultad definiendo las variables adimensionales siguientes:

=

=

Qu es la variable ? La tcnica de separacin de variables para resolver las

ecuaciones diferenciales de equilibrios y de condicionamiento no funciona en este caso,

debido a que el medio es infinito. Pero otro procedimiento ingenioso, conocido como

variable de semejanza, funciona bien para convertir la ecuacin diferencial de

derivadas parciales en una ecuacin diferencial ordinaria, al combinar las dos variables

independientes x y t en una sola variable .

15

Ejercicio #1

Una plancha elctrica tiene base de acero (k = 70 W/m C, = 7840 kg/m3 y c

= 450 J/kg C) y pesa 1 kg. La base tiene una superficie de 0.025 m2 y se calienta

internamente con una resistencia que toma 250 W. Inicialmente la plancha se encuentra

a 20 C. Cuando comienza a calentarse disipa calor hacia el medio ambiente con un

coeficiente de transferencia de calor de 50 W/m2C.

a) Calcule la temperatura de la plancha despus de 5 minutos.

b) Qu temperatura alcanzar la plancha si no se tiene ningn control?

Respuesta;

El espesor (L) de la plancha;

m = = L A

=m

A=

1 kg

7840kgm3

0,025 m2= ,

El nmero de Biot;

=h L

k=

50W

m2 0,0051 m

70W

m C

= , ,

Qconv

h = 50 W/m2 C

T = 20 C

Qcon = 250 W

A = 0,025 m2

m = 1 kg

k = 70 W/mC

= 7840 kg/m3

c = 450 J/kgC

16

Balance de energa (Primera Ley de la Termodinmica);

( ) =

( ) =

La temperatura T en cualquier intervalo t, cuando se encuentra una transferencia

de calor por conduccin aparte de una de conveccin, estar definida a travs de la

siguiente ecuacin (pg. 126, Manrique, tercera edicin):

= +

[

]

a) Para = 5min = 300

= 20 +250

50Wm2

C 0,025 m2

[

1

50

Wm2

C

7840kgm3

450J

kg C 0,0051 m

300

]

=

b) Cuando no se tiene ningn control, el tiempo tiende a infinito. Por lo tanto,

cuando t = el conjunto de trminos asociados a t se eliminan debido a su cantidad

perpetua, por lo que la ecuacin se establece de la siguiente forma:

= +

= 20 +250

50Wm2

C 0,025 m2

=

17

Ejercicio #2

Considrese una placa de acero de 20 cm de espesor a una temperatura inicial de

500 C, como se muestra. La placa se expone repentinamente al aire ambiente, cuya

temperatura es de 30 C. Si el coeficiente de transferencia de calor por ambos lados de

la placa es de 100 W/m2 K, calcule la temperatura a 2 cm de profundidad despus de

que transcurre una hora. Supngase las propiedades fsicas del acero siguientes: =

1.5 x 10-5 m2/s, k = 54 W/m C.

Respuesta;

Calculo de L;

2L = 20 cm

=20

2= ,

El nmero recproco de Biot;

=

2=

=

=

54

100

2 0,1

= ,

30 C h= 100 W/m2 K

2L = 20 cm

Y

X

30 C h= 100 W/m2 K

2 cm

L x

18

Utilizando la Grfica de Heisler para la historia temperatura-tiempo en el centro

de una placa de espesor 2L a una temperatura inicial Ti, que intercambia calor con un

medio a temperatura (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for Induction and

Constant Temperature Heating, Trans. ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947)

logramos calcular:

= ,

De igual manera, utilizando la Grfica Heisler para determinar la temperatura en

cualquier punto de una placa. (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for Induction

and Constant Temperature Heating, Trans. ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947);

= 5,4

= 5,4

19

=

( )

= ,

= ,

= 0

=

= 0,4 0,95 = ,

Por lo tanto,

= + 0,38 ( ) = [30 + 0,38 (500 30)] = ,

= 5,4

20

Ejercicio #3

Una barra cilndrica de acero inoxidable muy larga y de 20 cm de dimetro se

encuentra a una temperatura de 980 C y se sumerge repentinamente en un bao de

aceite cuya temperatura es de 40 C. Se estima que el coeficiente promedio de

transferencia de calor es de 565 W/m2 C. Calcule el tiempo necesario para que el

centro de la barra alcance una temperatura de 260 C. Las propiedades del acero

inoxidable son: = 7817 kg/m3, c = 0.46 kJ/kg C, k = 16.3 W/m C y = 0.44410-5

m2/s.

Respuesta;

Calculo de r0;

=

2=

0,2

2= ,

El nmero reciproco de Biot;

=

r0=

16,3W

m C

565

2 0,1

= ,

La temperatura adimensional en el centro de la barra;

=

=(260 40)

(980 40) = ,

= 980 C

= 40

= 565

2

260 C

t = ?

0,2 m

21

Utilizamos la Grficas de Heisler (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for

Induction and Constant Temperature Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de

1947.) para la historia temperatura-tiempo en el centro de un cilindroesfera infinito

de radio ro con una temperatura inicial Ti que intercambia calor con un medio a

temperatura para obtener el nmero de Fourier (Fo):

Por lo tanto, el valor de t se consigue a travs de la ecuacin de Fourier;

=

;

=

2

=

0,53 (0,1 )2

0.444 105m2

s = = = ,

= ,

= ,

22

CONCLUSIN

En diferentes procesos de la transferencia de calor, la temperatura del sistema

depende del tiempo. Es el caso del calentamiento y enfriamiento del techo de una casa

expuesta a la radiacin solar; el proceso de templado de un cristal para automvil o de

una pieza de acero; el proceso de coccin de un pastel; en fin, hay un sinnmero de

situaciones de este tipo. En todos esos casos la temperatura no slo est condicionada

por la distancia, sino tambin por el tiempo. A diferencia de los procesos de conduccin

de calor en estado estable, en los de tipo transitorio hay un aumento o una disminucin

en la energa interna del sistema mientras ocurre el proceso.

Una condicin fundamental de la conduccin del calor en rgimen estacionario,

por ejemplo, es la existencia de un equilibrio termodinmico que conserve la

temperatura estable. El comportamiento trmico en situaciones reales se caracteriza por

las variaciones de las condiciones del entorno, siendo frecuente la modificacin de las

caractersticas del ambiente interior al variar la carga trmica interna o la puesta en

funcionamiento de sistemas de climatizacin. An ms frecuente es la variacin de las

condiciones ambientales exteriores, con ciclos diarios de modificacin de las

temperaturas exteriores y el soleamiento, o con alteraciones rpidas y aleatorias de las

condiciones de viento y nubosidad.

23

BIBLIOGRAFA

engel, Y. A. Transferencia de Calor y Masa. Fundamentos y Aplicaciones. Caracas,

4ta. Edicin, McGraw-Hill, 2008.

Heisler, M. P. Temperature Charts for Induction and Constant Temperature

Heating. ASME Transactions 69 (1947), pp. 22736.

Manrique, J. A. Transferencia de Calor. Mxico, 2da. Edicin, Alfaomega, 2005.

Grber, H. Erk, S. and Grigull, U. Fundamentals of Heat Transfer. New York,

McGraw-Hill, 1961.

engel, Y. A. Heat Transfer A Pratical Approach. New York, 2nd Edition,

McGraw-Hill, 2003.