Condiciones Kuhn Tucker

“KKT”

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA

EDUCACIÓN UNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGÍAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN MATURÍN

Autor: Stefany Gamero

Docente de la Asignatura(a): Malave AmeliaSección Virtual 

 Maturín, Febrero de 2017.

¿Qué son las Condiciones KKT?

Las condiciones necesarias para problemas con restricciones de desigualdad fueron publicadas por primera vez en la tesis de máster de W. Karush, aunque luego fueron renombradas tras un artículo en una conferencia…

Las condiciones KKT son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación no lineal sea óptima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange.

Problema de programación no Lineal (PNL):

s.a

...

La derivada parcial de una función f con respecto a una variable evaluada en :

𝜕 𝑓 (𝑥)𝜕 𝑥 𝑗

(26)

Teorema 1: Suponga que el PNL (26) es un problema de maximización. Si es una solución óptima de (26), entonces debe satisfacer las m restricciones del problema, y debe haber multiplicadores  ,,… que satisfagan

𝜕 𝑓 (𝑥)𝜕𝑋 𝑗

−∑𝑖=1

𝑖=𝑚

  λ 𝑖𝜕𝑔𝑖(𝑥)𝜕𝑥 𝑗

= 0 (J=1,2,…,n) (27)

λ 𝑖 [ b𝑖−𝑔𝑖 (𝑥 ) ]=0 (i=1,2…,m)

(28)

≥0 (i=1,2…,m) (29)

Teorema 1’: Suponga que (26) es un problema de minimización Si es una solución óptima de (26), entonces debe satisfacer las m restricciones de (26), y debe haber multiplicadores ,,… que satisfagan:

𝜕 𝑓 (𝑥)𝜕𝑋 𝑗

+∑𝑖=1

𝑖=𝑚

  λ 𝑖𝜕𝑔𝑖(𝑥)𝜕𝑥 𝑗

= 0 (J=1,2,…,n)

λ 𝑖 [ b𝑖−𝑔𝑖 (𝑥 ) ]=0

(i=1,2…,m)≥0

(i=1,2…,m)

En muchas situaciones, las condiciones de K-T se aplican a los PNL en los que las variables deben ser no negativas. Por ejemplo, es posible que se desee usar las condiciones de K-T para hallar la solución óptima de

s.a

...

- - .

. .

Si se asocian los multiplicadores , ,…, con las restricciones de no negatividad anteriores los teoremas 1 y 1´ se reducen a los teoremas 2 y 2´.

(30)

Teorema2: Suponga que (30) es un problema de maximización, Si es una solución óptima de (30) entonces ) debe satisfacer las restricciones de (30) y debe haber multiplicadores ,,… , , ,…, que satisfagan

𝜕 𝑓 (𝑥)𝜕𝑋 𝑗

−∑𝑖=1

𝑖=𝑚

  λ 𝑖𝜕𝑔𝑖 (𝑥 )𝜕 𝑥 𝑗

+𝜇 𝑗= 0 (J=1,2,…,n)

λ 𝑖 [ b𝑖−𝑔𝑖 (𝑥 ) ]=0 (i=1,2…,m)

[ 𝜕 𝑓 (𝑥 )𝜕𝑥 𝑗

−∑𝑖=1

𝑖=𝑚

  λ𝑖𝜕𝑔𝑖 (𝑥 )𝜕𝑥 𝑗 ] (𝑥 ) 𝑗= 0 (J=1,2,…,n)

≥0≥0

(i=1,2…,m)(J=1,2,…,n)

Teorema2’: Suponga que (30) es un problema de minimización. Si es una solución óptima de (30) entonces ) debe satisfacer las restricciones de (30) y debe haber multiplicadores ,,… , , ,…, que satisfagan

𝜕 𝑓 (𝑥)𝜕𝑋 𝑗

+∑𝑖=!

𝑖=𝑚

  λ 𝑖𝜕𝑔𝑖 (𝑥 )𝜕 𝑥 𝑗

−𝜇 𝑗 = 0

λ 𝑖 [ b𝑖−𝑔𝑖 (𝑥 ) ]=0

[𝜕 𝑓 (𝑥 )𝜕𝑥 𝑗

+∑𝑖=1

𝑖=𝑚

  λ 𝑖𝜕𝑔𝑖 (𝑥 )𝜕 𝑥 𝑗 ] (𝑥 ) 𝑗=

0≥0≥0

(J=1,2,…,n)

(J=1,2,…,n)

(J=1,2,…,n)

(i=1,2…,m)

(i=1,2…,m)

Los teoremas 1, 1’, 2, 2’ dan las condiciones que son necesarias para que un punto ) sea una solución optima de (26) o (30). Los dos teoremas siguientes dan las condiciones que son suficientes para que ) sea una solución óptima de (26) o (30).Teorema 3: Suponga que (26) es un problema de maximización. Si es una función cóncava y , …, son funciones convexas, entonces cualquier punto que satisface la hipótesis del teorema 1 es una solución óptima de (26). También si (30) es un problema de maximización, es una función cóncava y …, son funciones convexas, entonces cualquier punto que satisface la hipótesis del teorema 2 es una solución óptima de (30).

Teorema 3´:Suponga que (26) es un problema de minimización. Si es una función convexa y , …, son funciones convexas, entonces cualquier punto que satisface la hipótesis del teorema 1´ es una solución óptima de (26). También si (30) es un problema de minimización, es una función convexa y …, son funciones convexas, entonces cualquier punto que satisface la hipótesis del teorema 2’ es una solución óptima de (30).

Un monopolista puede comprar hasta 17,25 onzas de un compuesto químico a $10/onza. A un costo de $3/onza el compuesto químico se procesa de una onza de producto 1 o bien, a un costo de $5/onza. El compuesto se procesa en una onza de producto 2. Si se producen x1 onzas de producto 1, este se vende a un precio de $30-x1 por onza. Si se producen x2 onzas de producto 2, éste se vende a un precio de $50-2x2 por onza.

Usando el método de las condiciones KKT, Determine cómo puede maximizarse las ganancias del monopolista

Ejemplo:

= ONZAS A PRODUCIR DEL PRODUCTO 1 = ONZAS A PRODUCIR DEL PRODUCTO 2 = ONZAS A PROCESADAS DEL COMPUESTO QUÍMICO

Z = X1(30-X1)+X2(50-2X2)-3X1-5X2-10X3S.A X1 +X2-X3 0

X3 17.25

1 𝜕 𝑓 (𝑥)𝜕𝑋 𝑗

−∑𝑖=1

𝑖=𝑚

  λ 𝑖𝜕𝑔𝑖(𝑥)𝜕𝑥 𝑗

= 0

30−2𝑋 1−3−   λ1= 050 4X2 5 = 0-10 + = 0

abc

λ 𝑖 [ b𝑖−𝑔𝑖 (𝑥 ) ]=02

d. e. f.

g. AL USAR LAS CONDICIONES K-T PARA RESOLVER LOS PNL, ES UTIL NOTAR QUE CADA MULTIPLICADOR DEBIDO A ESTO PARA HALLAR LOS VALORES DE X1, X2,X3 CONSIDERAMOS:CASO 1: CASO 2: 0 CASO 3: CASO 4:

3

CASO 1: Este caso no ocurre debido a que se violaría la ecuación C.

CASO 2: 0 Si 0, entonces C implica que = 10. Esto violaría la ecuación G.

CASO 3: De C, se obtiene 10. Ahora A produce X1=8.5 y B da X2=8.75. De D, se obtiene X1+X2=X3, así que X3 = 17.25. Por consiguiente, X1=8.5 ; X2=8.75 ; X3 = 17.25 ; 10 ; 0 satisface las condiciones K-T.

CASO 4: El caso 3 produce una solución óptima, así que no es necesario considerar este caso.