Condiciones de frontera

Para la solución de problemas de deflexiones en vigas, además de las ecuaciones diferenciales deben prescribirse condiciones de frontera. Varios tipos de condiciones homogéneas de frontera son los siguientes:

1. Empotramiento: En este caso, el desplazamiento v y la pendiente dv/dx deben ser cero. Por consiguiente, en el extremo considerado, donde x = a.

2. Soporte de rodillo o soporte articulado: En el extremo considerado, no puede existir ni deflexión v ni momento M. Por consiguiente,

Aquí, la condición físicamente evidente para M está relacionada con la derivada de v respecto a x según la ecuación

3. Extremo libre: Tal extremo está libre de momento y de fuerza cortante. Por consiguiente,Las mismas condiciones de frontera para vigas con El constante están

4. Soporte guiado: En este caso se permite el movimiento vertical pero la rotación del extremo está impedida. El soporte no es capaz de resistir ninguna fuerza cortante. Por tanto,

Las mismas condiciones de frontera para vigas con EI constante están resumidas en las figuras anteriores.Note los dos tipos básicamente diferentes de condiciones de frontera. Algunas condiciones pertenecen a las cantidades de fuerza y se dice que son condiciones estáticas de frontera. Otras describen un comportamiento geométrico o de deformación de un extremo; son condiciones cinemáticas de frontera.

Condiciones no homogéneas de frontera, donde se prescribe una fuerza cortante, un momento, una rotación o un desplazamiento en la frontera, se pre-sentan también en las aplicaciones. En tales casos, los ceros en las apropiadas ecuaciones:

son reemplazados por la cantidad especificada.

Esas condiciones de frontera se aplican tanto a vigas estáticamente de-terminadas como a indeterminadas. Como ejemplos de vigas de un solo claro estáticamente indeterminadas, considere los tres casos mostrados en la figura 14-6. La viga en 14-6(a) es indeterminada de primer grado ya que sólo una de las reacciones puede ser retirada quedando la viga en condición estable. En este ejemplo no hay fuerzas horizontales. Las condiciones de frontera mostradas en la figura 14-5(a) son aplicables en el extremo A y las de la figura 14-5(b) en el extremo B.

Las relaciones verticales para la viga en la figura 14-6(b) pueden encontrarse directamente de la estática. Como los soportes articulados no pueden moverse horizontalmente, hay una tendencia para el desarrollo de reacciones horizontales

en los soportes debido a la deflexión de la viga. Sin embargo, para deflexiones pequeñas de vigas, de acuerdo con la ecuación 14-11, ds = dx y no puede desarrollarse entonces ninguna deformación unitaria axial importante en vigas cargadas transversalmente.5 Por tanto, las componentes horizontales de las reacciones en vigas con soportes inmóviles son despreciables. Con base en esto, ninguna reacción horizontal tiene que considerarse en la viga mostrada en la figura 14-6(c). Por tanto, la

viga mostrada es indeterminada de segundo grado. En este caso, dos fuerzas reactivas cualesquiera pueden retirarse y la viga seguirá estando en equilibrio.

En algunos problemas surgen discontinuidades en las funciones matemáticas de carga o rigidez del miembro a lo largo de una longitud dada del claro. Por ejemplo, tales discontinuidades ocurren bajo fuerzas o momentos concentrados y en cambios abruptos de áreas transversales que afectan el valor El. En tales casos, las condiciones de frontera deben complementarse con los requisitos físicos de continuidad de la curva elástica. Esto significa que en cualquier unión de las dos zonas de una viga en que ocurre una discontinuidad, la deflexión y la tangente a la curva elástica deben ser las mismas independientemente de la dirección con que se aproxime uno al punto común. Usando las funciones de singularidad, las condiciones de continuidad de la curva elástica son idénticamente satisfechas.

Soluciones por integración directa

Como ejemplo general del cálculo de deflexiones en vigas, considere la ecuación . Integrando sucesivamente cuatro veces esta expresión, se obtiene la

solución formal para v. Entonces,

En estas ecuaciones, las constantes C1, C2, C3 y C4 tienen un significado físico especial. Como, según la ecuación , al sustituir esta relación en la segunda de las ecuaciones 14-16 y simplificar, se reproduce la ecuación,

14-17a

Sustituyendo esta relación en la ecuación 7-7 e integrando, se obtiene una forma diferente de la ecuación.

14-17b

El lado derecho de esta ecuación es idéntico a la tercera de las ecuaciones 14-16.Esos resultados muestran que las constantes C1 y C2 son una parte de las

ecuaciones de equilibrio y son las condiciones estáticas de frontera. En este punto

no entran en el problema ni propiedades cinemáticas ni del material. Sin embargo, a continuación, dividiendo M entre El para sustituirlo en la ecuación

Se introducen esas propiedades, limitando las soluciones al comportamiento elástico de vigas prismáticas. Así entonces, reescribiendo la ecuación, por claridad, en varias formas diferentes,

Luego, usando la ecuación 14-17 e integrando dos veces, se reproducen las últimas dos relaciones de las ecuaciones 14-16. Esas dos ecuaciones y las nuevas constantes de integración C3 y C4 asociadas, definen la pendiente y la deflexión de la curva elástica (es decir, ellas describen las relaciones cinemáticas de una viga cargada lateralmente). Esas constantes son las condiciones de frontera cinemáticas.

Si se comienza con la ecuación

después de dos integraciones la solución es

En ambas ecuaciones, las constantes C1, C2, C3 y C4 deben determinarse a partir de las condiciones en las fronteras

Si las funciones de carga, fuerza cortante y momento son continuas y la rigidez flexionante El es constante, la evaluación de las integrales particulares es muy directa. Cuando se tienen discontinuidades, las soluciones pueden encontrarse para cada segmento de viga en que las funciones sean continuas; la solución completa se obtiene entonces obligando a que se cumplan las condiciones de continuidad en las fronteras comunes de los segmentos de la viga. Alternati-vamente, procedimientos7 gráficos o numéricos de integraciones sucesivas pue-den usarse muy efectivamente en la resolución de problemas prácticos.

Resumen del procedimiento Los mismos tres conceptos básicos de la mecánica de sólidos repetidamente aplicados anteriormente se usan para desarrollar la teoría de la deflexión elástica de vigas. Éstos pueden resumirse como sigue:

1. Las condiciones de equilibrio (estáticas) se usan en un elemento de viga para establecer las relaciones entre la carga aplicada y la fuerza cortante, así como entre la fuerza cortante y el momento flexionante,

2. La geometría de deformación (cinemática) se usa suponiendo que las secciones planas de un elemento de viga permanecen planas después de la deformación.

Tales secciones planas se intersecan y definen deformaciones unitarias de la viga así como el radio de curvatura de un elemento. Aunque en el sentido antes mencionado la expresión para la curvatura, es exacta, la teoría se limita a deflexiones pequeñas, ya que sen 6 es aproximado por 6,. No se toma en cuenta en la formulación ningún alabeo debido al cortante en las secciones.

3. Las propiedades de los materiales (relaciones constitutivas) en la forma de la ley de Hooke, ecuación 2-8, se aplican supuestamente sólo a esfuerzos y deformaciones unitarias normales longitudinales. El efecto de Poisson se ignora.

Ejemplo

Un momento flexionante Mx se aplica en el extremo libre de un voladizo de longitud L y rigidez flexionante constante El. Encuentre la ecuación de la curva elástica.

SOLUCIÓN

Las condiciones de frontera están indicadas cerca de la figura por inspección de las condiciones en los extremos. En x = L, M(L) = +M Í , que es una condición no homogénea

Del diagrama de cuerpo libre en la figura 14-8(b), puede observarse que el momento flexionante es +M1 en toda la viga. Aplicando la ecuación 14-14a, integrando sucesivamente y usando las condiciones de frontera, se obtiene la

solución para v