TRABAJO DE MECANICA DE FLUIDOS II

1. En el diseño final de un canal rectangular hecho de concreto colado sin acabado (n = 0,017), el ancho era de 2,0 m, la descarga máxima esperada es de 12,0 m3/s. determine la profundidad normal de esta descarga. S = 1,2 %.

Solución:

Calculo de H por minnig

V=1n

. Rh

23 . S

12 → Q=V . A

Q= An

.Rh

23 . S

12

Separando:

Qn

S12

=A Rh

23 ……………………… …(1)

Reemplazando:

A Rh

23=

12 m3/ s(0.017)0.0121/2 =1.8632…… …………….(2)

Calculo de A

A=2 x H=2 H

Calculo de RH

RH= APm

Calculo de Pm

Pm=2+2 H

→ RH= 2 H2+2 H

= H1+H

Reemplazando en 2

2 H ( H1+ H )

2/3

=1.8622

H ( H1+H )

2 /3

=0.9311

H 5/3

(1+H )2/3 =0.9311

(1+H )2/3=3√(H +1)2=H 2 /3+2 H 2/3+1

H 5 /3=0.9311(H 2 /3+2 H 2/3+1)

H 5 /3=0.9311 H 2/3+1.8622 H 2 /3+0.9322

3√ H 5/3−0.9311 H 2 /3−1.8622 H 2 /3=3√0.9311

H 5−0.9311 H 2−1.8622 H 2=0.9765

H 5−2.7933 H 2−0.9765=0

Resolviendo la ecuación

H=1,479625 m

2. Un canal de sección circular de diámetro 0,8 m, está construido de un material con coeficiente de Manning igual a 0,020 y conduce 200 l/s de agua. Calcular la altura y la velocidad si la pendiente de la solera es 1 por 2000.

Resolución

Para un D = 80cm y n = 0.015, el caudal unitario Q1 y la velocidad unitaria son:

v1=0,72 m /s

Q1=362,4 l /s

Como en este caso n=0.02:

v1=0.72 x 0.015

0.02=0.54 m / s

v1=362.4 x 0.015

0.02=271.8 m /s

Las características a sección llena son:

vu=v1 .√J=0.54 .√ 11.2

=0.493 m /s

Qu=Q1 .√J=271.8 .√ 11.2

=248.1l / s

Por tanto:

Qc

Qu

= 200248.1

=0.806

En este caso

vc

vu

=1.11; vc=1.11 x0.493=0.55 m /s

hc

hu

=0.68 ;hc=0.68 x 0.8=0.544 m→ hc=0.544 m

3. Determine la descarga normal para un drenaje con revestimiento de arcilla común de 200 mm de diámetro interno que opera lleno a la mitad, si se encuentra en una pendiente que desciende 1 m a lo largo de un recorrido de 1000 m. (n = 0,013).

Q=( 100n ) . A . R

23 . S

12

La pendiente S=1

1000=0.001 encontramos de tabla n=0.013

La figura muestra una sección transversal de drenaje medio lleno en donde se tiene

A=12 ( π D2

4 )=π D2

8=π 2002

8m m2=5000 mm2

A=15708 mm2=0.0157 m2

PM=πD2

=100 π mm

Entonces:

R= APM

=5000 ( π ) mm2

100 (π ) mm=50 mm=0.05 m

Por lo tanto:

Q=(0.0157 )((0.05)

23)((0.001)

12)

0.013=5.18 x10−3m3/s

4. Calcule la pendiente mínima sobre la que debe situarse el canal de la figura si ha de conducir 50 pies3/s de agua con profundidad de 2 pies. Los lados y la plantilla del canal están hechos de concreto colado sin acabado (n = 0,017)

5. Dado un canal trapezoidal con un ancho de plantilla de 3 m, con talud (m) 1,5:1, una pendiente longitudinal de 0,0016 y un coeficiente de rugosidad de 0,013. Calcular el gasto si el tirante normal es de 2,60 m.

6. Un canal trapezoidal con b = 20 pies, la pendiente longitudinal del canal es de 0,0016, el talud de 2:1 y la rugosidad de 0,025; transporta un gasto de 400 pies3/s de agua. Calcular el tirante normal y la velocidad normal.

DATOS:

Q=400 pie 3/seg

b=20 pies

S0=0.0016

n=0,0025

m=2 :1=21=2

Calcular:

a¿dn

b¿V n

Solución:

Calculo del área hidráulico perímetro mojado y radio hidráulico en función de dn.

A=b xd+md2

A=20 d2+2dn2

P=b+2 d √1+m2

P=20+2 dn√1+(2)2=20+4.47 dn

R= AP

=20 dn+2dn

2

20+4.47 dn

Aplicando formula:

Qn

1.486 S1/2=A R2/3

(400 )(0.025)1.486(0.0016)1 /2 =A R2 /3

10(1.486 )(0.04 )

=A R2/3

168=A R2/3

168=(20 dn+2 dn2)( 20 dn+2 dn

2

20+4.47dn)

2 /3

Resolviendo esta ecuación por tanteo suponiendo un tirante normal de 3 pies, se tiene:

A=20 dn+2dn2=20 (3 )+2(3)2=78 pies2

20+4.47 dn=20+4.47 (3 )=33.42 pies

R= AP

= 7833.42

=2.33 pies

168=(78 ) (2.33 )2/3=137.09 ≠168

El tirante supuesto no es correcto es muy pequeño

Suponiendo un segundo tirante de dn=3.36 pies

A=20 dn+2dn2=20 (3.36 )+2(3.36)2=89.78 pies2

20+4.47 dn=20+4.47 (2.26 )=35.04 pies

R= AP

=89.7835.04

=2.56 pies

168=(89.78 ) (2.56 )2 /3=168=168

Por lo tanto el tirante normal supuesto dn=3.36 pies es correcto, porque existe igualdad.

Calculo de velocidad normal V n

V n=QA

= 40089.78

=4.45 pies /seg

7. El canal mostrado en la figura tiene una pendiente S = 0,9 %; el canal es revestido de concreto frotachado. Calcular el gasto.

8. Calcular la relación entre la solera “b” y la longitud en un caudal de sección trapezoidal de ángulo “α”, para obtener la sección hidráulicamente óptima, es decir aquella sección que para transportar un determinado caudal “Q”, en un canal de pendiente “S” y material “n”, necesita menos área y menos perímetro mojado.

Resolución

-Formula de Minning: Q=1n

. A . Rh

23 . J

12

-El radio hidráulica es: Rh=AP

Por tanto:

Q=1n

. A .( AP )

23 . J

12

n .Q

J12

=A

23

P23

=cte=K

A53=K . P

23

Para transportar el caudal Q, se desea un mínimo perímetro mojado y un mínimo A, para obtener la sección mas económica.

senα= yl

; l= ysenα

tanα= yx

; l= ytanα

Calculo de área:

A=b+b+2. x2

. y=b . y+ y2

tanα

Calculo del perímetro mojado:

P=b+2 l=b+ 2. ysenα

;b=P− 2. ysenα

Por tanto:

A=(P− 2. ysenα ) . y+ y2

tanα=P . y− 2. y2

senα+ y2

tanα

Derivando el Área respecto al calado:

dAdy

= y .dPdy

+P2. y .2senα

+ 2. ytanα

Como:

dAdy

=0 ydPdy

=0

0=P− 4. ysenα

+ 2. ytanα

Sustituyendo el valor de P:

0=b+ 2. ysenα

− 4. ysenα

+ 2. ytanα

0=b− 2. ysenα

+ 2. ytanα

=b− 2. ysenα

+ 2. ysenα

. cosα

b= 2. ysenα

(1−cosα )=2. l . (1−cosα )

l= b2. (1−cosα )

Para el caso de un canal rectangular (α=900)

l=b2

Para el caso de un canal trapezoidal (α=600)

l=b

y=b . sen60=√32

.b

9. un canal de sección circular de diámetro 0,8 m, está construido de un material con coeficiente de Manning n=0,020 y conduce 200 l/s. Calcular la altura del tirante y la velocidad si la pendiente de la solera es 1 por 2000.

10. Dado un canal trapecial con un ancho de plantilla de 3 m, con talud (m) 1,5:1, una pendiente longitudinal y un coeficiente de rugosidad de n = 0,013, calcular el gasto si el tirante normal es igual a 2,60 m.

DATOS:

dn=2.6 m

b=3 m

S0=0.0016

n=0.0013

m=1.5 :1

SOLUCION:

Cálculo del área hidráulica:

A=b xd+md2

A=(3 ) (2.6 )+(1.5 )(2.6)2=7.8+10.14=17.94 m2

Perímetro mojado:

P=b+2 d √1+m2

P= (3.0 )+2 (2.6 ) √1+(1.5 )2=3.0+5.2 (√3.25 )=3+9.37=12.37 m

Radio hidráulico:

R= AP

=17.9412.37

=1.45 m

A partir de la ecuación (1.25):

Q=A1n(R)2/3(S )1/2=17.94

0.013(1.45)2 /3(0.0016)1/2

Q=1380 (1.28 ) (0.04 )=70.66=71 m3 /seg

Velocidad normal:

V m=QA

= 7117.94

=3.96 m /seg

CONCEPTOS FUNDAMENTALES •MEDIDAS LINEALES:

Cuando se utiliza una sola dimensión, estas son llamadas medidas lineales. Existen también dos tipos de medidas lineales como son: •a) Sistema métrico 1 metro (m) = equivale a 100 centímetros

•b) Sistema inglés: 1 Pulgada (“)= 2.54 centímetros.

•MEDIDAS DE ÁREA:

Cuando se utilizan dos dimensiones para medir el área de un objeto. •a) Área del cuadrado: Lado x Lado

•b) Área del rectángulo: Largo x Ancho

•c) Área del círculo (p/4) D2 o C2/ (4 p)

•MEDIDAS DE VOLUMEN:

•Es la combinación de las tres dimensiones largo, ancho y alto de un objeto.

•Volumen del cubo: Lado (L) x Ancho (A) x Alto (H)

•Volumen del prisma: (Área de la base x Altura) / 3

•Volumen del cilindro: Área de la base x Altura.

MEDICION Y CUBICACION FORESTAL

ARBOLES EN PIE

DIÁMETRO DAP o CAP

ALTURA Dentro de los métodos e instrumentos para la medición de la altura, se destacan las formulas siguientes

Volumen de arboles en pie Es el espacio ocupado por la madera de un individuo arbóreo dentro de un ambiente o ecosistema. El volumen total se define como la cantidad de madera a partir del tocón hasta el ápice del árbol. El volumen comercial no incluye las ramas, partes afectadas del individuo y segmentos delgados del fuste.

Vol. de árbol en pie:(π/4) * DAP2 *(Ht O Hc)* ff

ff: Factor de Forma (generalmente 0,65).

MADERA EN ROLLO TROZAS O BOLILLO La formula que se presenta es la de cubicación para madera en trozas de Smalian, la cual toma dentro de sus variables para determinar el volumen, el diámetro inferior y el diámetro superior de la troza.

MADERA PROCESADA Madera procesada es aquel trozo del árbol que ha sufrido un proceso de transformación primaria o secundaria

METRO CUBICO M3 Es la forma más común de comercializar la madera dentro de nuestra región

Volumen (“PC”): Ancho en metros x Alto en metros x (Largo en metros)

PULGADA COMERCIAL

Volumen (“PC”): Ancho en Pulgadas x Alto en Pulgadas x (Largo en mt / 3 mt) 1mt/2.54cm= 39,37

TRABAJO DE MECANICA DE FLUIDOS II

11. En el diseño final de un canal rectangular hecho de concreto colado sin acabado (n = 0,017), el ancho era de 2,0 m, la descarga máxima esperada es de 12,0 m3/s. determine la profundidad normal de esta descarga. S = 1,2 %.

Solución:

Calculo de H por minnig

V=1n

. Rh

23 . S

12 → Q=V . A

Q= An

.Rh

23 . S

12

Separando:

Qn

S12

=A Rh

23 ……………………… …(1)

Reemplazando:

A Rh

23=

12 m3/ s(0.017)0.0121/2 =1.8632…… …………….(2)

Calculo de A

A=2 x H=2 H

Calculo de RH

RH= APm

Calculo de Pm

Pm=2+2 H

→ RH= 2 H2+2 H

= H1+H

Reemplazando en 2

2 H ( H1+ H )

2/3

=1.8622

H ( H1+H )

2 /3

=0.9311

H 5/3

(1+H )2/3 =0.9311

(1+H )2/3=3√(H +1)2=H 2 /3+2 H 2/3+1

H 5 /3=0.9311(H 2 /3+2 H 2/3+1)

H 5 /3=0.9311 H 2/3+1.8622 H 2 /3+0.9322

3√ H 5/3−0.9311 H 2 /3−1.8622 H 2 /3=3√0.9311

H 5−0.9311 H 2−1.8622 H 2=0.9765

H 5−2.7933 H 2−0.9765=0

Resolviendo la ecuación

H=1,479625 m

12. Un canal de sección circular de diámetro 0,8 m, está construido de un material con coeficiente de Manning igual a 0,020 y conduce 200 l/s de agua. Calcular la altura y la velocidad si la pendiente de la solera es 1 por 2000.

Resolución

Para un D = 80cm y n = 0.015, el caudal unitario Q1 y la velocidad unitaria son:

v1=0,72 m /s

Q1=362,4 l /s

Como en este caso n=0.02:

v1=0.72 x 0.015

0.02=0.54 m / s

v1=362.4 x 0.015

0.02=271.8 m /s

Las características a sección llena son:

vu=v1 .√J=0.54 .√ 11.2

=0.493 m /s

Qu=Q1 .√J=271.8 .√ 11.2

=248.1l / s

Por tanto:

Qc

Qu

= 200248.1

=0.806

En este caso

vc

vu

=1.11; vc=1.11 x0.493=0.55 m /s

hc

hu

=0.68 ;hc=0.68 x 0.8=0.544 m→ hc=0.544 m

13. Determine la descarga normal para un drenaje con revestimiento de arcilla común de 200 mm de diámetro interno que opera lleno a la mitad, si se encuentra en una pendiente que desciende 1 m a lo largo de un recorrido de 1000 m. (n = 0,013).

Q=( 100n ) . A . R

23 . S

12

La pendiente S=1

1000=0.001 encontramos de tabla n=0.013

La figura muestra una sección transversal de drenaje medio lleno en donde se tiene

A=12 ( π D2

4 )=π D2

8=π 2002

8m m2=5000 mm2

A=15708 mm2=0.0157 m2

PM=πD2

=100 π mm

Entonces:

R= APM

=5000 ( π ) mm2

100 (π ) mm=50mm=0.05m

Por lo tanto:

Q=(0.0157 )((0.05)

23)((0.001)

12)

0.013=5.18 x10−3m3/s

14. Calcule la pendiente mínima sobre la que debe situarse el canal de la figura si ha de conducir 50 pies3/s de agua con profundidad de 2 pies. Los lados y la plantilla del canal están hechos de concreto colado sin acabado (n = 0,017)

15. Dado un canal trapezoidal con un ancho de plantilla de 3 m, con talud (m) 1,5:1, una pendiente longitudinal de 0,0016 y un coeficiente de rugosidad de 0,013. Calcular el gasto si el tirante normal es de 2,60 m.

16. Un canal trapezoidal con b = 20 pies, la pendiente longitudinal del canal es de 0,0016, el talud de 2:1 y la rugosidad de 0,025; transporta un gasto de 400 pies3/s de agua. Calcular el tirante normal y la velocidad normal.

DATOS:

Q=400 pie 3/seg

b=20 pies

S0=0.0016

n=0,0025

m=2 :1=21=2

Calcular:

a¿dn

b¿V n

Solución:

Calculo del área hidráulico perímetro mojado y radio hidráulico en función de dn.

A=b xd+md2

A=20 d2+2dn2

P=b+2 d √1+m2

P=20+2 dn√1+(2)2=20+4.47 dn

R= AP

=20 dn+2dn

2

20+4.47 dn

Aplicando formula:

Qn

1.486 S1/2=A R2/3

(400 )(0.025)1.486(0.0016)1 /2 =A R2 /3

10(1.486 )(0.04 )

=A R2/3

168=A R2/3

168=(20 dn+2 dn2)( 20 dn+2 dn

2

20+4.47dn)

2 /3

Resolviendo esta ecuación por tanteo suponiendo un tirante normal de 3 pies, se tiene:

A=20 dn+2dn2=20 (3 )+2(3)2=78 pies2

20+4.47 dn=20+4.47 (3 )=33.42 pies

R= AP

= 7833.42

=2.33 pies

168=(78 ) (2.33 )2/3=137.09 ≠168

El tirante supuesto no es correcto es muy pequeño

Suponiendo un segundo tirante de dn=3.36 pies

A=20 dn+2dn2=20 (3.36 )+2(3.36)2=89.78 pies2

20+4.47 dn=20+4.47 (2.26 )=35.04 pies

R= AP

=89.7835.04

=2.56 pies

168=(89.78 ) (2.56 )2 /3=168=168

Por lo tanto el tirante normal supuesto dn=3.36 pies es correcto, porque existe igualdad.

Calculo de velocidad normal V n

V n=QA

= 40089.78

=4.45 pies /seg

17. El canal mostrado en la figura tiene una pendiente S = 0,9 %; el canal es revestido de concreto frotachado. Calcular el gasto.

18. Calcular la relación entre la solera “b” y la longitud en un caudal de sección trapezoidal de ángulo “α”, para obtener la sección hidráulicamente óptima, es decir aquella sección que para transportar un determinado caudal “Q”, en un canal de pendiente “S” y material “n”, necesita menos área y menos perímetro mojado.

Resolución

-Formula de Minning: Q=1n

. A . Rh

23 . J

12

-El radio hidráulica es: Rh=AP

Por tanto:

Q=1n

. A .( AP )

23 . J

12

n .Q

J12

=A

23

P23

=cte=K

A53=K . P

23

Para transportar el caudal Q, se desea un mínimo perímetro mojado y un mínimo A, para obtener la sección mas económica.

senα= yl

; l= ysenα

tanα= yx

; l= ytanα

Calculo de área:

A=b+b+2. x2

. y=b . y+ y2

tanα

Calculo del perímetro mojado:

P=b+2 l=b+ 2. ysenα

;b=P− 2. ysenα

Por tanto:

A=(P− 2. ysenα ) . y+ y2

tanα=P . y− 2. y2

senα+ y2

tanα

Derivando el Área respecto al calado:

dAdy

= y .dPdy

+P2. y .2senα

+ 2. ytanα

Como:

dAdy

=0 ydPdy

=0

0=P− 4. ysenα

+ 2. ytanα

Sustituyendo el valor de P:

0=b+ 2. ysenα

− 4. ysenα

+ 2. ytanα

0=b− 2. ysenα

+ 2. ytanα

=b− 2. ysenα

+ 2. ysenα

. cosα

b= 2. ysenα

(1−cosα )=2. l . (1−cosα )

l= b2. (1−cosα )

Para el caso de un canal rectangular (α=900)

l=b2

Para el caso de un canal trapezoidal (α=600)

l=b

y=b . sen60=√32

.b

19. un canal de sección circular de diámetro 0,8 m, está construido de un material con coeficiente de Manning n=0,020 y conduce 200 l/s. Calcular la altura del tirante y la velocidad si la pendiente de la solera es 1 por 2000.

20. Dado un canal trapecial con un ancho de plantilla de 3 m, con talud (m) 1,5:1, una pendiente longitudinal y un coeficiente de rugosidad de n = 0,013, calcular el gasto si el tirante normal es igual a 2,60 m.

DATOS:

dn=2.6 m

b=3 m

S0=0.0016

n=0.0013

m=1.5 :1

SOLUCION:

Cálculo del área hidráulica:

A=b xd+md2

A=(3 ) (2.6 )+(1.5 )(2.6)2=7.8+10.14=17.94 m2

Perímetro mojado:

P=b+2 d √1+m2

P= (3.0 )+2 (2.6 ) √1+(1.5 )2=3.0+5.2 (√3.25 )=3+9.37=12.37 m

Radio hidráulico:

R= AP

=17.9412.37

=1.45 m

A partir de la ecuación (1.25):

Q=A1n(R)2/3(S )1/2=17.94

0.013(1.45)2 /3(0.0016)1/2

Q=1380 (1.28 ) (0.04 )=70.66=71 m3 /seg

Velocidad normal:

V m=QA

= 7117.94

=3.96m /seg