FUNCIONES

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función real de variable real, f, es una correspondencia que asocia a cada elemento, de

un determinado conjunto de números reales, un único número real que se designa y = f(x) .

Una función se puede expresar mediante una fórmula, una tabla de valores o una gráfica

Variable independiente, X, es la variable cuyo valor se fija previamente (X es el conjunto

original)

Variable dependiente, Y, es aquella cuyo valor se deduce del de la variable independiente

(Y es el conjunto imagen)

Dominio de la función es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente

(originales). Se representa por D(f).

Para averiguar el dominio de una función depende de la forma en la que venga expresada

a) Gráfica: En el eje X, desde - ∞ hasta ∞, se va viendo qué valores de la X están relacionados

con alguno de la Y

i) ii)

i) Dom f(x) = (0, ∞)

ii) Dom f(x) = (- ∞, 0) U (0,2) U [2,5 , ∞)

b) Fórmula: para ver el dominio nos fijamos en el tipo de función:

i) F. Polinómica: el dominio son todos los números reales

f (x) = x5 – 4x

2 + 3

f (x) = 1 – 3x2 + x

ii) F. Racional: 𝑓 (𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) , el dominio son todos los números reales menos los que

anulan el denominador

f (x) = 3𝑥

𝑥−2 Dom f(x) = R\{2}

f (x)= 𝑥+5

𝑥2−1 Dom f(x) = R\{1, - 1}

iii) F. raíz cuadrada: f(x) = +√P(x) , el dominio serán los números reales que hagan que el

radicando sea mayor o igual que cero

f(x) = + √3𝑥 − 6 Dom f(x) = [2, ∞)

f(x) = + √10 + 2𝑥 Dom f(x) = [-5, ∞)

iv) F. raíz cuadrada en el denominador f(x) = 𝑃(𝑥)

√𝑄(𝑥) , el dominio será el conjunto de

números reales que hacen que el radicando sea mayor estricto que 0

f(x) = 4−𝑥

√𝑥+1 Dom f(x) = [-1, ∞)

f(x) = 3

√2−𝑥 Dom f(x) = (- ∞, 2)

Recorrido o imagen: es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente

(imágenes). Se representa por R(f) ó Im (f)

Escribe el recorrido de las siguientes funciones:

i)

R(f) = (- ∞, 0) U (1, ∞)

ii)

R(f) = [0, 5)

Continuidad

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido

que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel. Esto cuando tenemos la gráfica de la

función nos puede servir pero …y si lo que tenemos es la expresión algebraica?

Primero tenemos que entender un poco el concepto de límite de una función en un punto (os indico

algunos vídeos)

Límite de una función f(x) cuando x tiende a un número a, por ejemplo 1, es ver hacía dónde se

aproxima la gráfica (la y) cuando la x se aproxima a ese número. Nos podemos aproximar por la

derecha y así hablamos de límite de la función cuando x tiende a ese número por la derecha y se

escribe lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥), en este caso lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = 4, o nos podemos aproximar por la izda y así

hablamos de límite de la función cuando x tiende a ese número por la izquierda y se escribe

lim𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥), en este caso lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) = 3.

Cuando los límites por la derecha y por la izda coinciden se dice que esa función tiene límite en ese

punto y ese sería el valor.

Si no tenemos la gráfica y lo que tenemos es la expresión algebraica, damos valores aproximándonos

por ambos lados. Por ejemplo supongamos que f(x) = x+1 y quiero calcular el límite de esa función

cuando x tiende a 1.

Calculo límite por la derecha(dando valores aproximándome a 1 por la dcha).

f(1,1)=2,1 f(1,01)=2,01 f(1,001)=2,001 f(1,0001)=2,0001 Vamos viendo que según x se

va aproximando a 1 la y, es decir, el valor de la función se va aproximando a 2. Luego :

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = 2

Ahora calculo límite por la izda(dando valores aproximándome a 1 por la izda).

f(0,9)=1,9 f(0,99)=1,99 f(0,999)=1,999 f(0,9999)=1,9999 Vamos viendo que según x se

va aproximando a 1 la y, es decir, el valor de la función se va aproximando a 2. Luego :

lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) = 2.

Como los límites por la derecha y por la izda coinciden decimos que el límite de esa función cuando

x tiende a 1 es 2

Si alguno de los dos o ambos fueran ±∞ no existe el límite en ese punto.

Se dice que una función f(x) es contínua en un punto a si cumple:

Existe f(a). Es decir, está definida en ese punto, o lo que es igual, ese punto está en el dominio

de la función.

lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥)= lim𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) =f(a) Es decir, tiene límite en ese punto y coincide con el

valor de la función en él

Resumiendo: Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que

toma la función en ese punto.

Si una función no es contínua en un punto se dice que es discontínua.

Tipos de discontinuidades:

Discontinuidad evitable. Cuando existen los límites por la derecha y por la izda, ambos coinciden, es

decir existe límite de la función en ese punto pero :

O bien la función no está definida en el punto a

O bien sí está definida en el punto pero el valor del límite no coincide con el valor de la función en a.

Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

o no existe:

Discontinuidad de salto finito:

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = 4, lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) = 3

Discontinuidad de salto infinito:

Cuando uno de los dos límites laterales, o los dos son ∞

Esta función en x=0 tiene una discontinuidad de salto infinito

TASA DE VARIACIÓN

La tasa de variación de la función f en un intervalo [a, b] es el aumento o disminución que

experimenta el valor de la función al pasar la variable independiente del valor a al valor b

Viene dada por la expresión

Calcula la tasa de variación de f(x) = 3x – 2 en los intervalos [– 3, 4] y en [0, 5]

Calcula la tasa de variación de variación de la siguiente función en los intervalos [ –

2, 0], [1, 1’5] y [3, 4]

Tv [a, b] = f(b) – f(a)

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente, X, también aumenta la

dependiente, Y.

Una función es creciente en un intervalo [a, b] si la tasa de variación en dicho intervalo es positiva

Una función es decreciente cuando al aumentar la variable independiente, X, disminuye la

dependiente, Y.

Una función es decreciente en un intervalo [a, b] si la tasa de variación en dicho intervalo es

negativa

(Para escribir los intervalos de crecimiento y decrecimiento se hace en la variable X)

¿Es creciente f(x) = 5 – x en el intervalo [1, 4]?

No, es decreciente. Se puede hacer viendo la tasa de variación, tb fijándonos que la

pendiente es -1, por tanto la función es decreciente siempre

Escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones :

a)

Crece (-2,-1) U ( 3,4)

Decrece: (-1,3)

b)

Crece (2,3) U ( 5,7) U (8,10)

Decrece (7,8)

Es constante (2,5) Los intervalos de crecimiento/decrecimiento siempre son abiertos, por

ejemplo en el 7 ni crece, ni decrece, cambia

MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS

Una función tiene un máximo en un punto x = x0 si a la derecha del punto la función crece y a la

izquierda decrece

Un máximo es relativo en x = x0 si hay algún valor de la función que sea mayor que f(x0)

Un máximo es absoluto en x = x0 si f(x0) es mayor o igual que el valor de la función en cualquier

otro punto del dominio de dicha función

Una función tiene un mínimo en un punto x = x0 si a la derecha del punto la función decrece y a la

izquierda crece

Un mínimo es relativo en x = x0 si hay algún valor de la función que sea menor que f(x0)

Un mínimo es absoluto en x = x0 si f(x0) es menor o igual que el valor de la función en cualquier otro

punto del dominio de dicha función

Para indicar que un punto de la función es máximo o mínimo se escribe su coordenada de abscisas o

la coordenada del punto

Escribe los máximos y mínimos de la siguiente gráfica, indicando si son absolutos o

relativos

Máximo absoluto: (-3,3)

Máximos relativos: (-1, 2) y (4,2)

Mínimo absoluto: (2,-2)

Mínimo relativo: (-2,1)

OJO NO CONFUNDIR PUNTO CON INTERVALO!!!

FUNCIONES PERIÓDICAS

Una función f es periódica de periodo T si, para todo x del dominio se verifica que :

f(x + T) = f(x)

En este caso es

periódica de periodo 40

¿Son periódicas las siguientes funciones? En caso afirmativo indica el periodo

a)

Periódica de periodo 3

b)

Periódica de periodo 2

FUNCIONES ACOTADAS

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real m tal que para todo x es f(x) ≥ m

El número m se llama cota inferior

Una función f está acotada superiormente si existe un número real M tal que para todo x es f(x) ≤

M

El número M se llama cota superior

Una función f está acotada si lo está superior e inferiormente

FUNCIONES SIMÉTRICAS

SIMETRÍA PAR (Respecto al eje de ordenadas)

Una función f tiene simetría par cuando para todo x del dominio se verifica:

f(x) = f(– x)

SIMETRÍA IMPAR (Respecto al origen de coordenadas, si giramos la gráfica 180º coincide)

Una función f tiene simetría impar cuando para todo x del dominio se verifica::

f(x) = – f(– x)

Estudia la simetría de las siguientes funciones:

a) Par b) Impar

Estudia la simetría de las siguientes funciones:

a) f(x) = 3x2 + 1

f(-x) = 3(-x)2 + 1 = 3x

2 + 1 = f(x) Luego tiene simetría par

b) f(x) = 2x3 – x

2

f(-x) = 2(-x)3 – (-x)

2 = -2x

3 – x

2 No tiene simetría par ni impar

OJO ¡!!! PUEDE NO TENER SIMETRÍA O TENER DE OTRO TIPO

c) f(x) = x + 4x3

f(-x) = - x + 4(-x)3 = -x -4x

3 = - f(x) tiene simetría impar

REPESENTACIÓN DE FUNCIONES

FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO (y =mx+n)

Una función polinómica de primer grado es de la forma y = mx+n , sabemos que también se puede

escribir f(x)=mx+n.

Ya sabemos que esa es la expresión algebraica de una recta, donde m es la pendiente y n es la

ordenada en el origen.

Por tanto, la representación gráfica de cualquier función polinómica de primer grado es una recta.

Recordemos lo que sabemos de recta. La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con

el eje positivo de las x, por tanto, si esa pendiente(tg) es positiva quiere decir que se trata de un

ángulo agudo, por tanto la función es creciente, la recta va del primer al tercer cuadrante. Por el

contrario, si la pendiente es negativa, la función es decreciente y va del segundo al cuarto cuadrante.

¿Cómo representar una función polinómica de grado 1?

Basta con obtener dos puntos, ya que sabemos que una recta queda unívocamente determinada si

conozco dos puntos, por tanto podemos hacer una tabla de valores (recomiendo mínimo tres puntos

por si cometemos algún error de cálcuñlo)

Veamos un ejemplo. Vamos a representar la función y = 2x-1

Sin hacer nada, como la pendiente es 2 ya sé que va a ser una función creciente (va 1º-3º cuadrante),

además la ordenada en el origen es -1, eso quiere decir que para x=0 la y=-1

Construyo una tabla de valores, dando valores a x:

x y

1 1

2 3

-1 -3

Así he obtenido puntos de la recta (1,1), (2,3) y (-1,-3) Represento esos puntos:

Como es una función polinómica sé que su dominio son todos los números reales

Al ser una recta el recorrido también son todos los números reales.

Al ser una función polinómica es continua

Ya hemos dicho que es creciente en todo su dominio.

No tiene simetría par ni impar.

No tiene máximos ni mínimos

Cortes con los ejes: Con el eje x: doy a y=0 0=2x+1 x= -1/2 luego (-1/2,0)

Con el eje y ya sabíamos que era (0,-1) porque la ordenada en el origen vale -1,

en cualquier caso lo calculo haciendo x=0

Estas funciones también se llaman funciones afines.

Si n=0 entonces sería de la forma y =mx, como n=0 son rectas que siempre pasan por el origen. Se

llaman funciones lineales o de proporcionalidad directa.

Por ejemplo y=2x pasa por (0,0), es creciente, basta con dar un valor a x, por ejemplo x=1 y = 2,

luego pasas por el punto (1,2)

FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO (FUNCIONES

CUADRÁTICAS y =ax2+bx+c)

Una función cuadrática es de la forma y =ax2+bx+c, sabemos que también se puede escribir f(x)=

ax2+bx+c

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La parábola tiene dos ramas infinitas.

Si a>0 La parábola está abierta hacia arriba

Si a<0 La parábola está abierta hacia abajo

Como ya hemos dicho el dominio de cualquier función polinómica son todos los números reales, por

tanto el dominio de una función cuadrática son todos los reales.

En una parábola, siempre una rama es creciente y otra es decreciente. Ese punto donde la función

cambia su monotonía se llama Vértice de la parábola. Si a>0 la función tiene un mínimo absoluto

en el vértice y si a<0 la función tiene un máximo absoluto en el vértice

La función cuadrática es una función simétrica respecto a la recta que pasa por el vértice, es decir, si

el vértice es el punto (1,5) la función es simétrica respecto a la recta x=1.

Si V(vx, vy) es el vértice el eje de simetría es la recta x= vx

Pasos a seguir para representar una función cuadrática

Mirar el coeficiente de x2 para saber si está abierta hacia arriba o hacia abjo (cóncava o

convexa)

Calcular los puntos de corte con los ejes.

o Corte con el eje y, dando a x el valor de 0. Por tanto siempre es el punto (0,c)

o Corte con el eje x, dando a y el valor de 0 y calculando x resolviendo la ecuación.

Al tratarse de una ecuación de segundo grado ya sabemos que puede ocurrir:

Que tenga dos soluciones. La parábola corta en dos puntos al eje x

Que tenga una solución doble. La parábola corta en un punto al eje x

Que no tenga solución real. La parábola no corta al eje x

Calcular el vértice. Calculamos la primera coordenada del vértice 𝐯𝐱 =−𝐛

𝟐𝐚 y ahora no hace

falta que memorice cómo calcular la coordenada y del vértice, si conozco la coordenada x

sustituyo en la función y obtengo la coordenada y.

Eje de simetría. Ya hemos dicho que es la recta x=vx

Llegado a este paso ya puedo dibujar la parábola, no obstante para hacerlo mejor podemos

obtener un par de puntos. Como conocemos ya el eje de simetría en realidad basta con obtener

uno. Supongamos que el eje de simetría es la recta x=3 si doy a la x el valor de 4 y obtengo

que la y vale 7, como el 4 está una unidad a la dcha del eje, el 2 estaría una unidad a la izda y

por tanto la y también va a valer 7 ya que son simétricos

Veamos todo esto con un ejemplo

Vamos a representar y hacer el estudio completo de la función y = x2-2x-3

a=1>0 por tanto la parábola va a estar abierta hacia arriba (cóncava)

Corte con el eje y. Hago x=0 y=02-2.0-3= - 3 Por tanto el punto de corte es (0,- 3)

Corte con el eje x. Hago y=0 x2-2.x-3=0 Resuelvo la ecuación

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

2 ± √(−2)2 − 4.1. (−3)

2.1=

2 ± √4 + 12

2=

2 ± 4

2= 3 𝑦 − 1

Por tanto los puntos de corte son (3,0) y (-1, 0)

Calculamos el vértice:

vx =−b

2a=

2

2= 1 Luego la coordenada x del vértice es 1. Calculemos f(1)

f(1)= 12-2.1-3= - 4 Vértice (1, -4)

Eje de simetría: es la recta x= 1

Vamos a obtener algún punto de la parábola

Para x=4 42-2.4-3= 5 tenemos el punto (4,5) Como el eje de simetría es x=1 x=5 está

cuatro unidades a la derecha, luego para x= -2 que está cuatro unidades a la izda, la y también

valdrá 5 por ser simétrico. Tenemos el punto (-2,5)

Teníamos el punto de corte (0,-3) que está una unidad a la izda del eje , luego una unidad a la

dcha tendremos el punto (2,-3)

Hacemos el estudio completo de la función:

Dominio: Todos los números reales

Recorrido: [-4, ∞] El valor más pequeño que toma la y es -4 y va hasta el infinito porque

recordemos que las ramas de la parábola se van abriendo hasta el infinito.

Cortes con los ejes: Ya los hemos calculado:

Corte con el eje y: (0,- 3)

Corte con el eje x: (3,0) y (-1, 0)

Monotonía: Crece: (1, ∞) Decrece (-∞, 1)

Máximos/Mínimos: Presenta un mínimo absoluto en el vértice, en el punto (1, -4)

Curvatura: La función es cóncava (abierta hacia arriba

Simetría: La función es simétrica respecto a la recta x= 1

Signo de la función: (Se trata de indicar cuando la función toma valores positivos o

negativos)

Positiva : (-∞, −1) U (3, ∞)

Negativa: (-1,3)

Nula en x=-1 y x=3

Continuidad: Como cualquier función polinómica es continua en todo su dominio

FUNCIONES RACIONALES

Una función racional es una función cuya expresión es un cociente de polinomios.

Empecemos por las más sencillas.

FUNCIONES DE LA FORMA y=𝒌

𝒙 (Función de proporcionalidad inversa)

La gráfica de este tipo de funciones es una hipérbola.

El dominio, ya sabemos que son todos los números reales salvo aquellos que anulan el denominador,

por tanto el dominio son todos los números reales salvo el cero.

Al no estar definida en cero, ya sabemos por definición de continuidad, que la función presenta una

discontinuidad en cero. Esta discontinuidad es de salto infinito. Si voy dando valores, cada vez más

próximos a cero, por la dcha y por la izda, es decir, si estudio los límites laterales, veré que por un

lado voy hacia ∞ y por el otro a -∞.

Para entender bien este tipo de funciones necesitamos introducir un concepto nuevo,

Asíntota de una función. Una asíntota es una recta a la cual la función se aproxima indefinidamente, sin llegar a tocarla, es

decir, que según la variable ( x ó y) va hacia ±∞ se va aproximando a la recta, sin llegar a tocarla.

Hay tres tipos de asíntotas:

Verticales . Son rectas de la forma x= c

Horizontales: Son rectas de la forma y= c

Oblícuas Son rectas de la forma y =mx+n

Asíntotas verticales:

Una función f(x) tiene una asíntota vertical, x=c si el límite de la función en c (ya sea por la dcha o

por la izda) es ±∞

lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = ±∞

lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = ±∞

Asíntotas horizontales:

Una función f(x) tiene una asíntota horizontal, y=c si cuando la x se va haciendo muy grande (es

decir tiende a infinito) o muy pequeña((es decir tiende a menos infinito) el valor de la y se va

aproximando a c

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝑐

O bien

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑐

Aquí vemos tres ejemplos de asíntotas horizontales.

En la primera gráfica la función tiene una asíntota horizontal en la recta y=0, solo por un lado, es

decir, cuando la x se va haciendo muy grande (cuando tiende a ∞) la función (el valor de y) se va

aproximando a 0.

En la segunda gráfica la función tiene dos asíntotas horizontales las rectas y=1 e y = -1, , cuando la x

se va haciendo muy grande (cuando tiende a ∞) la función (el valor de y) se va aproximando a 1,por

tanto la recta y =1 es una asíntota horizontal. De la misma manera, cuando la x se va haciendo muy

pequeña (cuando tiende a -∞) la función (el valor de y) se va aproximando a -1, por tanto la recta

y=-1 es una asíntota horizontal

En la tercera gráfica la función tiene una asíntota horizontal la recta y = -1, , cuando la x se va

haciendo muy grande (cuando tiende a ∞) la función (el valor de y) se va aproximando a -1,por tanto

la recta y =-1 es una asíntota horizontal. De la misma manera, cuando la x se va haciendo muy

pequeña (cuando tiende a -∞) la función (el valor de y) también se va aproximando a -1, por tanto la

recta y=-1 es una asíntota horizontal también por ese lado.

Asíntotas oblicuas

Son rectas y =mx+n

Como todavía no hemos estudiado cómo calcular límites de funciones (salvo dando valores) dejo

pendiente el cómo hallar la ecuación de las asíntotas oblícuas.

Pues bien, tras esta breve introducción al concepto de asíntota continuamos con nuestra función y=𝒌

𝒙

Siempre va a tener una asíntota vertical en x=0 (podemos hallar los límites por la derecha y por la

izda dando valores y ver que son ±∞)

También va a tener una asíntota horizontal, la recta y =0 (vemos que según vamos dando valores

muy grandes o muy pequeños a la x, la y cada vez se va acercando más a cero).

Si K>0 La función siempre es decreciente, la gráfica está situada en el primer, tercer cuadrante

Si K<0 La función siempre es creciente, está situada en el segundo, cuarto cuadrante

La función y=𝑘

𝑥 siempre es una función simétrica . Si K>0 es simétrica respecto a la bisectriz del

segundo, cuarto cuadrante. Si K<0 0 es simétrica respecto a la bisectriz del primer, tercer cuadrante

Cómo representar la función? Muy sencillo, ya sabemos que es una hipérbola. Me fijo en el signo de k para ver en qué cuadrantes

está. Ya conozco las asíntotas, así que lo único que puedo hacer es dar algún valor para pintar un

poco más exacta la gráfica.

Vamos a representar y=𝟐

𝐱

Como k=2>0 Sé que está en el primer-tercer cuadrante, conozco las asíntotas y=0 x=0 . Doy algún

valor

x=1 y=2 (1,2)

x=2 y=1 (2,1)

x=-1 y=-2 (-1,-2)

x=-2 y=-1 (-2,-1)

FUNCIONES DE LA FORMA y=𝒌

𝒙−𝒂

Sabemos que la gráfica va a ser una hipérbola.

Como el denominador se anula en x=a Tiene una asíntota vertical, la recta x=a

Como siempre si k>0, la gráfica está situada en el primer, tercer cuadrante

Si K<0, la gráfica está situada en el segundo, cuarto cuadrante

Tiene asíntota horizontal en la recta y=0

Con esto ya se podría dibujar. Como siempre aconsejo dar algún valor.

Vamos a representar y= 𝟐

𝐱−𝟑

Como K=2 >0 la gráfica está situada en el primer, tercer cuadrante

Como el denominador se anula en x= 3, es discontinua en x=3 y por tanto tiene asíntota verticas x=3

Según se va haciendo más grande la x , la y se aproxima a 0 , es decir,

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 0

Según se va haciendo muy pequeña la x la y se aproxima a 0, es decir

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 0

Por tanto tiene asíntota horizontal la recta y=0

Calculamos algún punto:

x=1 y=-1 (1,-1)

x=2 y=-2 (2,-2)

x=5 y=1 (5,1)

Vamos a representar y= −𝟐

𝐱+𝟑

Como K=<0 la gráfica está situada en el segundo, cuarto cuadrante

Como el denominador se anula en x= -3,es discontinua en x=-3,por tanto tiene asíntota vertical x=-3

Según se va haciendo más grande la x , la y se aproxima a 0 , es decir,

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 0

Según se va haciendo muy pequeña la x la y se aproxima a 0, es decir

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 0

Por tanto tiene asíntota horizontal la recta y=0

Calculamos algún punto:

x=-1 y=-1 (-1,-1)

x=-2 y=-2 (-2,-2)

x=-5 y=1 (-5,1)

FUNCIONES DE LA FORMA y=𝒌

𝒙−𝒂+ 𝒃

Este tipo de funciones son iguales a las anteriores, asíntota vertical en x =a pero ahora, la asíntota

horizontal ,en vez de ser la recta y=0 va a ser la recta y =b . Veamoslo con un ejemplo:

Vamos a representar y= 𝟐

𝐱−𝟑 +4

k=2>0 primer-tercer cuadrante

a=3 Asíntota vertical la recta x=3

b=4 Asíntota horizontal y =4

Calculamos algún punto:

x=5 y=5 (5,5)

x=1 y=3 (1,3)

FUNCIONES DE LA FORMA y=𝒂𝒙+𝒃

𝒙−𝒄

Se trata de reducirlo a las formas anteriores que ya sabemos representar.

Conocemos y=𝒌

𝒙 y=

𝒌

𝒙−𝒂 y=

𝒌

𝒙−𝒂+ b

Si es un cociente de polinomios de primer grado, haremos la división y lo expresaremos como una de

las formas estudiadas,

Veámoslo con un ejemplo

Vamos a representar y= 𝟐𝐱+𝟏

𝐱−𝟏

Si hacemos la división 2x+1: x-1 nos queda cociente= 2 y resto 3, luego 2x+1

x−1= 2 +

3

x−1 Por tanto

ya la tenemos de una de las formas que conocemos

𝑦 = 3

x−1+ 2

Ya sabemos asíntota vertical x= 1

Asíntota horizontal y = 2

K=3>0 primer-tercer cuadrante,

Obtenemos algún punto:

x=2 y=5 (2,5)

x=-2 y=3 (-2,1)