2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C

2.2 Triángulos Oblicuángulos

En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes:

• En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única.• En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única.• En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.• En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.

Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de Cosenos.

2.2.1 Ley de los senos

Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:

La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos

Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 13

Figura 13 Oblicuángulos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la Figura 14

Figura 14 triángulos rectángulos

Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 CD=SenA*bDe la ecuación 2 CD=senB*a

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

b SenA=a senB.

La ecuación anterior se puede expresar:

Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15

figura 15 –demostración Ley de senos

Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que

Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas.

Utilizando el método de igualación, se tiene

De la ecuación 1 AP=SenC*bDe la ecuación 2 AP=senB*c

Igualando ambas ecuaciones, se tiene:

La ecuación anterior se puede expresar:

Por último se conectan las igualdades 1 y 2

Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa

2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos

Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:

2.2.1.2.1 Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)

Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.

Ejemplo 8:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 45ºB= 60ºc= 20m

Solución:

Llevando los datos a la figura 16, se tiene:

figura 16-ejemplo 8

Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:

Para hallar el angulo C, C=180-45-60C=75º

Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado “c” ya que se conoce el valor. O sea

Reemplazando,

Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

C

b a

A B

c

C

b a

A B

Dc

C

b a

A B

c

P

2.2.1.2.2 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:

Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º.

Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)

Ejemplo 9:

Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:A= 67ºc= 125cma=100cm

Solución:

Llevando los datos a la figura 17 se tiene:

Figura 17ejemplo 9

Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.

Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.

Reemplazando los valores conocidos, se tiene

Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.

Ejemplo 10:

Completar los datos del triángulo de la figura 18:

figura 18 ejemplo 10

Solución:

Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”. para despejar el ángulo C.

Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.

Ejemplo 11: Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º.

a. Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.b. Calcular la altura del rascacielos.

Solución

Llevando los datos a la figura 19

figura 19-ejemplo 11

• La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.• El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.• El ángulo B, es igual a 45+90 =135º• El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual: C=180-135-30=15º.• Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:

• Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del triangulo rectángulo.

• Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura DC. O sea

• A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:

Observación:

Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colom-biana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".

2.2.2 Ley de los Cosenos

Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados

La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a.

Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en la figura 20.

Figura 20-Ley de cosenos

El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trian-gulo rectángulo. Quedando como la figura 21

la figura 21-ley de cosenos-

• Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que

• El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que

• Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)

• Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

C , puede tom ar dos va lores d iferentes :

ò

… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)

C o n

C o n

L a d istan cia m as co rta en tre las azo teas es d e 96.59 p ies

L a altu ra d el rascacielo s es d e 118.3 p ies.

C

b a

A B

c=20m

60o45o

C

b

A B

a=10m

30o

c=15 m

B

C

D

EA

50

45

60

C

b a

A B

c

C

b a

A B

c

c-xx

h

D

• En el triangulo ADC se cumple que

Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene

2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.

La ley de Cosenos se aplica cuando:

2.2.2.2.1 Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)

Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.

Ejemplo 12

Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22

Figura 22-ejemplo 12

Solución

Para hallar el valor de a,

Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos,

Despejando coseno de B, se tiene

Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.

2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)

Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.

Ejemplo 13

Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.

Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,

El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.

Ejemplo 14

Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es de 50º.

Solución

Llevando los resultados a la figura 23

figura 23 ejemplo 14,

De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24).La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

… … … … … … … …

(figura 2.24-ejemplo 14).

Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de la figura anterior.

Ejemplo 15

Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

Solución

Llevando los datos a la figura 25), se tiene:

Figura 25-ejemplo 15

- El lado c = 20.- El lado b =24 - Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.- Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo que se forma entre ellos.

L a d is tanc ia q ue sep ara lo s cab os ub icad os en lo s p unto s P y Q es d e 1473 .1m .

E l àngu lo que se form a entre los lados b y c es de 41.41º

A

40o 158

B a C

P

900m 1700m60o

Q

A

P

q=900m60o

A

a

p= 1700m

Q

A

? 2420

B 16 C