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PRIMITIVASGRFICASAutor:Ing.HERNNNINAHANCOCUSCOPERPRESENTACIN

ElpresentetextosurgedelanecesidaddedisponerdeunmaterialbibliogrficoparaeldesarrollodeaplicacionesdeComputacinGrfica.

INDICEINTRODUCCINElTextoplantealarevisindeconceptosfundamentalesdePrimitivasGrficasquedescribeunaseriedealgoritmosparaeldibujodeprimitivasgrficascomolneas,curvas,rellenadoyrecortes.Paraexplicarelmovimientodefigurasseestudianlasoperacionesbsicasdetransformacionescomoeslatraslacin,rotacinyescalamiento.Enbasealasoperacionesdetransformacinbsicassedescribenlasoperacionesderivadascomolareflexineinclinacin.Pararepresentacionesdevariasoperacionessecuencialesseutilizalastransformacionescompuestasquesonimplementadasutilizandolasmatriceshomogneas.ElconceptodeprimitivasgrficasestacompaadadeimplementacionesenJavaycomolibreragrficaOpenGL.

CAPTULOI:LibreragrficaOpenGLyJava

CAPTULOII:PrimitivasgrficasUnaescenagrficaestcompuestaporvariosobjetosgrficos,paradescribirlaescenasedebedescribiryrepresentarcadaunodelosobjetosgrficosparaestohacemosusodeprimitivasgrficasquecorrespondearepresentacindepuntos,lneas,crculos,superficies,lneascurvas,curvastipospline,polilneas,etc.DescripcindeobjetosgrficosPara describir los objetos grficos de una escena debemos identificar la posicin yorientacin de los objetos en un sistema de coordenadas de referencia en 2D o 3D,seguidamente cada objeto es representado grficamente utilizando primitivas grficas depuntos,lneas,curvas,rellenos,etc.

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Esimportanteconsiderarque,lascoordenadasdepantalladifierendelascoordenadasdelsistemas de referencia por lo tanto es necesario realizar equivalencia entre los dossistemas. El sistema de referencia puede utilizar nmeros enteros o reales en cambio elsistema de coordenada de pantalla solo utiliza nmeros enteros positivos y con lmites

finitos,ysuorigenempiezadesdelaesquinasuperiorizquierda.CAPITULOIII:Algoritmosdelneas

Paraeldibujodeunsegmentodelnearectadebemosconocerlosextremosdelsegmento,para luego, identificar los puntos intermedios entre los extremos del trayecto lineal. Acontinuacindescribiremosalgoritmosparaeldibujodelneas.

Algoritmopuntopendientedelarecta

Dadalaecuacinpuntopendientedelarecta:

Siendo la pendiente de la lnea y el punto de interseccin de la lnea con el eje . Siconsideramoslosdosextremosdelsegmentode lneacon lascoordenadasy ,podemosdeterminarlosvaloresdelapendientey(puntodeinterseccinconeleje)delasiguientemanera:

Podemos utilizar estas ecuaciones para el dibujo de lneas rectas en un dispositivo devisualizacin tomando un intervalo de valores en el eje o para luego determinar suscorrespondientesvaloresenelejeosegnintervaloinicialelegido.

Por ejemplo nos indican dibujar la lnea recta cuyos extremos son = (1,4) y = (9, 6)podemostomarelintervaloenelejecuyoslmitesson1y9paraesteintervalodebemos

0

0 XMAX

YMAX

(3.25.6) (2010)

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identificar sus correspondientes valores en el eje . Tambin es necesario establecer unmuestreodevaloresdentrodelintervaloenelEjequepuedeservaloressucesivosqueseincrementandeunoenunoquevande1a9loslmitesdelintervalo.

Serealizaelusodelaecuacinpuntopendienteparadeterminarlosvaloresenelejeperoes necesario determinar la pendiente y la constante entonces realizamos los clculossiguientes:

Ahora los valores de para cada valor del intervalo en el eje se calcula de la siguientemanera:

Para

Para

Assucesivamentepodemosrealizarlasiguientetabulacin:

1 42 4.253 4.54 4.755 56 5.257 5.58 5.75

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9 6

Seguidamente en base a la tabla podemos dibujar la lnea en un dispositivo devisualizacin.

987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Podemos apreciar que para representar los puntos en el dispositivo de visualizacin fuenecesario realizar las aproximaciones puesto que las posiciones en las pantallas soloutilizan nmeros enteros. Por el efecto de las aproximaciones podemos apreciar unaseparacindepixelesyunefectoescalonado.Verifiquemosahoracualseraelescenariosi tomamosun intervaloenYparadeterminarsuscorrespondientesvaloresenelejeX

LapendienteylaconstantebsonlosmismosqueseutilizaronaltomarunintervaloX.Laecuacinquedebemosutilizares:

Esaspara

Esaspara

Esaspara

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Assucesivamentepodemosrealizarlasiguientetabulacin:

1 45 59 6

Seguidamente en base a la tabla podemos dibujar la lnea en un dispositivo devisualizacin.

987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9

987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9

9876

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5

4321

1 2 3 4 5 6 7 8 9

ImplementacinenJava

packagegeometrias.lineas

/*

*Dibujodelneasconpendiente1

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//DibujarunpixelenlaposicinX,Y

dibujarPunto(x,Math.round(y))

//Incrementarlacoordenadax

x++

/*determinarlacoordenaday*/

y=m*x+b

}

}

/*

*AlgoritmoDDAconpendiente1

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intdeltax=xnx0

intdeltay=yny0

intincrA=2*deltay//incrementosiPkesmenora0

intincrB=2*(deltaydeltax)

intpk=2*deltaydeltax//calcularp0

//TomarelintervalodelejeXydeterminarY

while(x

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Vamosaconsiderarprimerounalneaconpendientepositiva.Silapendienteesmenoroigualque1,muestreamosaintervalosunitariossegnelejedelasx(=1)ycalculamoslosvaloressucesivosdeycomo:

(Ecuacin2.6)

Elsubndicekadoptavaloresenteroscomenzandoen0paraelprimerpuntoeincrementndoseenunaunidadcadavezhastaquesealcanzaelextremodelalnea.Puestoquempuedesercualquiernmerorealentre0.0y1.0,cadavalorcalculadodeydeberedondearsealenteromsprximo,loquenosdarlaposicindeunpxeldepantallaenlacolumnaxqueestemosprocesando.Paralaslneasconunapendientepositivasuperiora1.0,invertimoslospapelesxeyesdecir,muestreamosaintervalosunitariosdey(=1)ycalculamoslosvaloresdexconsecutivosmediante:

(Ecuacin2.7)Enestecaso,cadavalordexcalculadoseredondeaalaposicindepixelmscercanaenlalneadeexploracinyactual.LasEcuaciones2.6y2.7estnbasadasenlasuposicindequelaslneasdebenprocesarsedesdeelextremosituadomsalaizquierdahastaelextremosituadomsaladerecha.Siinvertimosesteprocesamiento,demodoquesetomecomopuntoinicialelsituadoaladerecha,entoncestendremosy,

(Ecuacin2.8)

o(cuandolapendienteseasuperiora1)tendremoscon,(Ecuacin2.9)

SerealizarnclculossimilaresutilizandolasEcuaciones2.6a2.9paradeterminarlasposicionesdelospxelesalolargodeunalneaconpendientenegativa.As,sielvalorabsolutodelapendienteesinferiora1yelpuntoinicialseencuentraalaizquierda,haremosycalcularemoslosvaloresdeymediantelaEcuacin2.6.Cuandoelpuntoinicialestaladerecha(paralamismapendiente),haremosyobtendremoslosvaloresyutilizandolaEcuacin2.8.Paraunapendientenegativaconvalorabsolutosuperiora1,usaremosylaEcuacin2.9oylaEcuacin2.7.

Estealgoritmoseresumeenelsiguienteprocedimiento,queaceptacomoentradadosposicionesenterasenlapantallacorrespondientesalosdosextremosdeunsegmentolineal.Lasdiferenciashorizontalesyverticalesentrelosdosextremosseasignanalos

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parmetrosdxydy.Ladiferenciaconmayorvalorabsolutodeterminaelvalordelparmetrosteps.Partiendodelaposicin(x0,y0),determinemoseldesplazamientorequeridoencadapasoparagenerarelsiguientepxeldelalnea.Esteprocesoseejecutaenbucleunnmerodevecesigualasteps.Sielmdulodedxessuperioralmdulodedyyx0esinferioraxEnd,losvaloresdelosincrementosenlasdireccionesxeyson1ym,respectivamente.Sielcambiomayorserealizaenladireccinxperox0essuperioraxEnd,entoncesseutilizanlosdecrementos1ymparagenerarcadanuevopuntodelalnea.Enlosrestantescasos,utilizamosunincremento(odecremento)unitarioenladireccinyyunincremento(odecremento)paraxiguala1/m.

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voidlineDDA(intx0,inty0,intxn,intyn){intxfloatm,y//Calcularlapendientem=(float)(yny0)/(xnx0)x=x0y=y0//Estosolofuncionaparaunalnea//dependientepositivaymenora1while(x

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figura2.2.1:muestreoenelejex figura2.2.2:MuestreoenelejeyLasFigurasanterioresmuestransendasseccionesdeunapantallaenlasquetenemosquedibujardossegmentoslineales.Elejeverticalmuestralasposicionesdelaslneasdeexploracin,mientrasqueelejehorizontalidentificalascolumnasdepxeles.MuestreandoaintervalosunitariossegnelejeXenestosejemplos,necesitamosdecidirculdelasdosposiblesposicionesdepxelestmsprximaaltrayectolinealencadapasodemuestreo.ComenzandoapartirdelextremoizquierdomostradoenlaFigura2.2.1,necesitamosdeterminarenlasiguienteposicindemuestreosidebemosdibujarelpxelcorrespondientealaposicin(11,11)oeldelaposicin(11,12).Deformasimilar,laFigura2.2.2muestrauntrayectolinealconpendientenegativaquecomienzaapartirdelextremoizquierdosituadoenlaposicindepxel(50,50).Enestecaso,debemosseleccionarcomosiguienteposicindepxellascoordenadas(51,50)o(51,49)?.EstaspreguntasserespondenconelalgoritmodeBresenhamcomprobandoelsignodeunparmetroenterocuyovaloresproporcionalaladiferenciaentrelasseparacionesverticalesdelasdosposicionesdepxelconrespectoaltrayectolineal.ParailustrarelalgoritmodeBresenham,vamosprimeroaanalizarelprocesodedigitalizacindelneasconpendientepositivainferiora1.0.Lasposicionesdepxelalolargodeuntrayectolinealsedeterminanentoncesmuestreandoaintervalosunitariossegnelejex.Comenzandoapartirdelextremoizquierdo(x0,y0)deunalneadada,vamosrecorriendocadaunadelassucesivascolumnas(posicinx)ydibujandoelpxelcuyovaloryseamsprximoaltrayectolineal.

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L.aFigura2.2.3ilustraelpasoksimodeesteproceso.Supongaquehemosdeterminadoquehayquedibujarelpxelsituadoen(xk,yk)entoncestendremosquedecidirqupxeldibujarenlacolumnaxk+1=xk+1.Lasdosopcionesexistentessonlospxelesdelasposiciones(xk+1,yk)y(xk+1,yk+1).Enlaposicindemuestreoxk+1,etiquetamoslasseparacionesverticalesdelospxelesconrespectoaltrayectolinealmatemticoconlosnombresdlowerydupper(Figura2.2.4).Lacoordenadaydelalneamatemticaenlacolumnadepxelxk+1secalculacomo:

d1=dupperd2r=dlower

(Ecuacin2.10)Entonces:

(Ecuacin2.11)y

(Ecuacin2.12)

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Paradeterminarculdelosdospxelesestmsprximoalalnea,podemosrealizarunacomprobacinmuyeficientequesebasaenladiferenciaentrelasdosseparacionesdelospxeles:

(Ecuacin2.13)PodemosobtenerunparmetrodedecisinpkparaelpasoksimodelalgoritmodedigitalizacindelneasreordenandolaEcuacin3.13paraqueslohayaquerealizarclculosenteros.Podemoshacerestorealizandolasustitucindonde,ysonlasseparacionesverticalyhorizontalentrelosdosextremosdelalnea,ydefiniendoelparmetrodedecisincomo:

(Ecuacin2.14)

Elsignodeesigualaldeporqueennuestroejemplo.Elparmetroesconstanteytieneelvalor,queesindependientedelaposicindelpxelyseeliminarenlosclculosrecursivosde.Sielpxeldeest"msprximo"altrayectolinealqueelpxelde(esdecir,),entonceselparmetrodedecisinsernegativo.Endichocaso,dibujaremoselpxelinferiorencasocontrario,dibujaremoselsuperior.Loscambiosdecoordenadasalolargodelalneaseproducenenpasosunitariosenlasdireccionesxoy.Portanto,podemosobtenerlosvaloresdelossucesivosparmetrosdedecisinutilizandoclculosenterosincremntales.Enelpaso+1,elparmetrodedecisinseevalaapartirdelaEcuacin2.14como:

PerosirestamoslaEcuacin2.14destaltimaecuacin,tendremos:

Ycomo+1,nosqueda:Ecuacin(2.15)

Dondeeltrminoes01dependiendodelsignodelparmetro.Esteclculorecursivodelosparmetrosdedecisinserealizaencadaposicinenteraxcomenzandoporelextremoizquierdodelalnea.Elprimerparmetrop0,seevalaapartirdelaEcuacin2.14enlaposicininicialdepxel(x0,y0)yconmiguala:

ResumimoselalgoritmodeBresenhamparalneasconunapendienteinferiora1enelsiguienterecuadro.Lasconstantesysecalculanunanicavezparacadalneaquehayquedigitalizar,porloquelasoperacionesaritmticassolorequierensumasyrestasenterasdeestasdosconstantes.

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AlgoritmodeBresenhamparadibujodelneascon|m|

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arcoscirculares.Asimismo,enocasioneshaydisponibleunafuncingenricaenlasbibliotecasgrficasparamostrardiversostiposdecurvas,incluyendocrculosyelipses.Propiedadesdeloscrculos

FigurapropiedadesdelcrculoUncrculo(Figuraanterior)sedefinecomoelconjuntodepuntosqueseencuentranaunadistanciadeterminadaconrespectoaunaposicincentral).Paracualquierpunto)delcrculo,estarelacindedistanciaseexpresamedianteelteoremadePitgorasencoordenadascartesianas:

Podemosutilizarestaecuacinparacalcularlaposicindelospuntossobreunacircunferencia,recorriendoelejexenpasosunitariosdesdeaycalculandoloscorrespondientesvaloresyencadaposicinmediantelafrmula:

Peroestenoeselmejormtodoparageneraruncrculo.Unodelosproblemasconestemtodoesquerequiereunosconsiderablesclculosencadapaso.Adems,elespaciadoentrelospxelesdibujadosnoesuniforme,comoseilustraenlasiguientefigura.

EjemploDeterminaryvisualizarlospuntosdeunacircunferenciaconcentroeny.

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ElmuestreoenelejeX,latabladevaloreseselsiguiente:

X +y y5 0,0 0,04 3,0 3,03 4,0 4,02 4,6 4,61 4,9 4,90 5,0 5,01 4,9 4,92 4,6 4,63 4,0 4,04 3,0 3,05 0,0 0,0

5 4 3 2 1 01 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

Paramejorarelgrficopodramosajustarelespaciadointercambiandoxey(recorriendolosvaloresyycalculandolosvaloresxcuandoelvalorabsolutodelapendientedelcrculoseasuperiora1.Peroestosimplementeincrementalacantidaddeclculosydeprocesamientorequeridaporelalgoritmo.Excentricidad

Otraformadeeliminarelespaciadodesigualesutilizandocoordenadaspolaresry.

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Ecuacindelacircunferenciaenformaparamtricapolar:

Alutilizarunpasoangularfijo,sedibujarauncrculoconpuntosequiespaciadosalolargodetodalacircunferencia.Parareducirelnmerodeclculospodemosutilizarunagranseparacinangularentrelospuntosyconectarlospuntosmedianteunsegmentodelnearectaconelfindeaproximarlatrayectoriacircular.Ejemplo.Determinaryvisualizarlospuntosdeunacircunferenciaconcentroenyutilizandoecuacionesparamtricas.Consideramoselngulo

X Y0

k Theta x y0 0 5 01 0,52359878 4 32 1,04719755 3 43 1,57079633 0 54 2,0943951 3 4

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5 2,61799388 4 36 3,14159265 5 07 3,66519143 4 38 4,1887902 3 49 4,71238898 0 5

10 5,23598776 3 411 5,75958653 4 312 6,28318531 5 0

5 4 3 2 1 01 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

Paraobteneruntrazadomscontinuoenunmonitordigital,podemosfijarcomopasoangularelvalor.Estonosdaposicionesdepixelesqueestnseparadosaproximadamenteunaunidad.

Peroaunquelascoordenadaspolaresproporcionanunespaciadohomogneodelospuntos,losclculostrigonomtricossiguensiendobastantelaboriosos.Paracualquieradelosmtodosanterioressepuedereducirlosclculosutilizandolasimetraquesepresentanenloscrculos.Laformadeloscrculosessimilarencadaunodeloscuadrantes.Portanto,sideterminamoslasposicionesdelacurvaenelprimercuadrante,podemosgenerarlaseccincirculardelsegundocuadrantedelplanoxobservandoqueambasseccionessonsimtricasconrespectoalejey.YlasseccionescircularesdeloscuadrantesterceroycuartopuedenobtenerseapartirdelasseccionesdelosprimeroscuadrantesconsiderandolasimetraconrespectoalejeX.Enbaseaesterazonamientopodemosidentificarlasimetraentreloslosoctantes.rehacergraficodesimetriadeoctantes!!!!!

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Aprovechandotodalasimetradelcrculodeestaforma,podemosgenerartodaslasposicionesdelpxelalrededordelcrculocalculandonicamentelospuntoscorrespondientesalsectorquevadesdea.Lapendientedelacurvaenesteoctantetieneunamagnitudigualoinferiorauno.Para,lapendientedelcrculoescero,yparalapendientees1.0.Considerandoloanterior,todavalosclculossiguensiendocomplejos,porlosclculoscontrigonomtricosyraces.Porlotanto,debemosbuscaralgoritmosconparmetrosdedecisincomoBresenhamparalneasdondeserealizanclculodenmerosenteros.PodemosadaptarelalgoritmodedibujodelneasdeBresenhamalageneracindecrculosdefiniendolosparmetrosdedecisinparahallarelpxelmscercanoalacircunferenciaencadapasodemuestreo.Sinembargo,laEcuacincartesianadelcrculoesnolineal,porioqueharafaltacalcularracescuadradasparahallarlasdistanciasdelospxelesconrespectoalatrayectoriacircular.ElalgoritmodeBresenhamparacrculosevitaestosclculosderacescuadradascomparandoloscuadradosdelasdistanciasdeseparacindelospxeles.Sinembargo,sepuederealizarunacomparacindirectadedistanciassinnecesidaddehallarracescuadradas.Laideabsicaquesubyaceaestemtodoconsisteencomprobarsielpuntomediosituadoentredospxelesestsituadodentroofueradelcrculo.Estemtodosepuede,asimismo,generalizarmsfcilmenteaotrascnicasyparauncrculoderadioentero,estatcnicadelpuntomediogeneralasmismasposicionesdepxelqueelalgoritmodeBresenhamparacrculos.Paraunsegmentodelnearecta,elmtododelpuntomedioescompletamenteequivalentealalgoritmodeBresenhamparalneas.Asimismo,elerrormximoalahoradedeterminarlasposicionesdelospxelesparacualquierseccincnicautilizandoeltestdelpuntomedioestlimitadoaunmediodelaseparacinentrepxeles.AlgoritmodelpuntomedioparacrculosComoenelejemplodedigitalizacindelneas,muestreamosaintervalosunitariosydeterminadoslaposicindepxelmsprximaalatrayectoriacircularespecificada.Paraunradiordadoyunascoordenadasdelcentrodevalor,podemosprimeroejecutarelalgoritmoparacalcularlasposicionesdelospxelesalrededordeunatrayectoriacircularcentradaenelorigendecoordenadas(0,0).Despus,movemoscadaposicincalculada(x,y)alaposicindepantallaadecuadasumando.axyay.Alolargodelaseccincircularquevadesdex=0ax=yenelprimercuadrante,lapendientedelacurvavaradesde0a1.0.Portanto,podemostomarpasosunitariosenladireccinxpositivaalolargodeesteoctanteyutilizarunparmetrodedecisinparadeterminarculdelasdosposiblesposicionesdepxelencadacolumnaestmscercaverticalmentealatrayectoriacircular.Lasposicionesenlosotrossieteoctantesseobtienenentoncesporsimetra.

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Paraaplicarelmtododelpuntomedio,definimosunafuncincircularcomo:

LascomprobacionesdelaEcuacinanteriorserealizanparalospuntosintermediossituadosenlavecindaddelatrayectoriacircularencadapasodemuestreo.As.lafuncingeneradoradelcrculoesunparmetrodecisinenelalgoritmodelpuntomedio,ypodemosdeterminarlosclculosincrementalesnecesariosparaestafuncin,comohicimosconelalgoritmodegeneracindelneas.

EnlafiguraanteriorsemuestraelpuntomedioentrelosdospixelescandidatosparalaposicindemuestreoXy.Suponiendoqueacabamosdedibujarelpxel.necesitaremosacontinuacindeterminarsielpxelenlaposicinseencuentramscercaomslejosdelcrculoqueelsituadoenlaposicin.NuestroparmetrodedecisinserlaEcuacinsiguientedegeneracindelcrculo,evaluadoenpuntomedioentreestosdospixeles:

Si,estepuntomedioseencontrarenelinteriordelcrculoyelpxelsituadoenlalneadeexploracinestarmscercadelafronteradelcrculo.Encasocontrario,elpuntointermedioseencuentrafueradelcrculoosobrelamismacircunferencia,yseleccionaremoselpxelcorrespondientealalneadeexploracin.Lossucesivosparmetrosdedecisinseobtienenutilizandoclculosincrementales.Podemosobtenerunafrmularecursivaparaelsiguienteparmetrodedecisinevaluandolafuncincircularenlaposicindemuestreo:

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Dondees,dependiendodelsignode.Losincrementosparaobtenerson(siesnegativo)o.Laevaluacindelostrminosytambinpuedehacerseincrementalmentemediantelasfrmulas:

Enlaposicininicial(0,r),estosdostrminostienenlosvalores0y2r,respectivamente.Cadavalorsucesivoparaeltrminoseobtienesumando2alvaloranteriorycadavalorsucesivodeltrminoseobtienerestando2alvaloranterior.Elparmetrodedecisininicialseobtieneevaluandolafuncindegeneracindelcrculoenlaposicininicial:

Sielradiorestespecificadocomounvalorentero,podemossimplementeredondeardelaformasiguiente:

(Pararentero)dadoqueTodoslosincrementossonenteros.ComoenelalgoritmodelneasdeBresenham,elmtododelpuntomediocalculalasposicionesdelospixelesalolargodelacircunferenciautilizandosumasyrestasenteras,suponiendoquelosparmetrosdelcrculoestnespecificadosencoordenadasenterasdepantalla.Podemosresumirlospasosdelalgoritmodelpuntomedioparageneracindecrculosdelaformasiguiente.

Algoritmo:1.Introducirelvalorderyelcentrodelcrculo.Puntoinicialdelcrculo.2.Calcularelvalorinicialdelparmetrodedecisincomo:

3.Paracadaposicincomenzandoenk=0,realizarlasiguientecomprobacin:Si,elsiguientepuntoalolargodeuncrculocentradoen(0,0)sery

encasocontrario,elsiguientepuntodelcrculoser:y

Donde:

pg.23

4.Determinarlospuntossimtricosdelosotrossieteoctantes.5.Movercadaposicindelpxel(x,y)calculandolatrayectoriacircularcentradaenydibujarlosvaloresdelascoordenadas:

6.Repetirlospasosdel3al5hastaque

CAPTULOV:AlgoritmosparalageneracindeelipsesEntrminossimples,unaelipseesuncrculoalargado.Tambinpodemosescribirunaelipsecomouncrculomodificadocuyoradiovaradesdeunvalormximoenunadireccinhastaunvalormnimoenladireccinperpendicular.Lossegmentosdelnearectatrazadosenelinteriordelaelipseenestasdosdireccionesperpendicularessedenominaejemayorymenordelaelipse.PropiedadesdelaselipsesPuededarseunadefinicinprecisadeunaelipseentrminosdeladistanciadesdecualquierpuntodelaelipseadosposicionesfijas,denominadasfocosdelaelipse.Lasumadeestasdosdistanciasesconstanteparatodoslospuntosdelaelipse.

SietiquetamoscomoylasdistanciasalosfocosdesdecualquierpuntoP=(x,y)delaelipse,laecuacingeneraldelaelipsepuedeescribirse:

Expresandolasdistanciasyentrminosdelascoordenadasdelosfocosy.Tendremos:(Ecuacin2.4.1)

Elevandoestaecuacinalcuadrado,despejandolarazcuadradarestanteyvolviendoaelevaralcuadrado,podremosreescribirlaecuacingeneraldelaelipsedelaforma

(Ecuacin2.4.2)

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dondeloscoeficientesA,B,C,D,EyFseevalanentrminosdelascoordenadasdelosfocosydelasdimensionesdelosejesmayorymenordelaelipse.Elejemayoreselsegmentodelnearectaqueseextiendedesdeunladodelaelipsehastaelotroatravsdelosfocos.Elejemenorabarcaladimensinmspequeadelaelipse,bisecandoperpendicularmenteelejemayorensupuntomedio(centrodelaelipse)situadoentrelosdosfocos.Unmtodointeractivoparaespecificarunaelipseconunaorientacinarbitrariaconsisteenintroducirlosdosfocosyunpuntodelaelipse.Conestostresconjuntosdecoordenadas,podemosevaluarlaconstantedelaEcuacin2.4.1.Entonces,sepuedencalcularlosvaloresdeloscoeficientesdelaEcuacin2.4.2yutilizarlosparagenerarlospxelesalolargodelatrayectoriaelptica.Lasecuacionesdelaelipsesepuedensimplificarenormementesisealineanlosejesmayorymenorconlosejesdecoordenadas.EnlaFigurasemuestraunaelipseenposicinestndar,conlosejesmayorymenororientadosenparaleloalosejesxey.

Elparmetrorxdeesteejemploindicaelsemiejemayor,mientrasqueelparmetroryindicaelsemiejemenor.LaecuacindelaelipsemostradaenlaFigurapuedeescribirseentrminosdelascoordenadasdelcentrodelaelipseydelosparmetrosrxyrydelaformasiguiente:

Ecuacin2.4.3Utilizandolascoordenadaspolaresry,podemostambindescribirlaelipseensuposicinestndarconlasecuacionesparamtricas.

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Elngulo,denominadongulodeexcentricidaddelaelipse,semidealolargodelpermetrodeuncrculocircunscrito.Si,elradiodelcrculocircunscritoes.Encasocontrario,elcrculocircunscritotienecomoradio.

Aligualqueconelalgoritmodelcrculo,puedenutilizarseconsideracionesdesimetraparareducirlosclculos.Unaelipseenposicinestndarpresentasimetraentrelosdistintoscuadrantespero,adiferenciadelcrculo,losdosoctantesdecadacuadrantenosonsimtricos.Portanto,deberemoscalcularlasposicionesdelospxelesalolargodelarcoelpticoquerecorreuncuadranteyluegoutilizarlasconsideracionesdesimetraparaobtenerlasposicionesdelacurvaenlostrescuadrantesrestantes.

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AlgoritmodelpuntomedioparalaelipseLatcnicaquevamosautilizaressimilaralaquehemosempleadoparavisualizarelcrculodigitalizado.Dadoslosparmetros,y,determinamoslasposicionesdelacurvaparaunaelipseenposicinestndarcentradaenelorigenyluegodesplazamostodoslospuntosutilizandoundesplazamientoconstante,demodoquelaelipseestcentradaen.Siqueremostambinmostrarlaelipseenposicinnoestndar,podemosrotarlaalrededordesucentroconelfindereorientarlosejesmayorymenorenlasdireccionesdeseadas.Peroporelmomento,vamosaconsiderarnicamentelavisualizacindeelipsesenposicinestndar.Elmtododelpuntomedioparalaelipseseaplicaendospartesparatodoelprimercuadrante.

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LaFiguramuestraladivisindelprimercuadrantedeacuerdoconlapendientedeunaelipseconrx

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As,lafuncindelaelipsesepuedeutilizarcomoparmetrodedecisinparaelalgoritmodelpuntomedio,Encadaposicindemuestreo,seleccionamoselsiguientepxeldelatrayectoriaelpticadeacuerdoconelsignodelafuncindelaelipse,evaluadoenelpuntomedioentrelosdospxelescandidatos.Comenzandoen(0,ry)tomamospasosunitariosenladireccinxhastaquealcanzamoslafronteraentrelasregiones1y2.Despus,pasamosautilizarpasosunitariosenladireccinyparaelrestodelacurvadentrodelprimercuadrante.Encadapaso,necesitamoscomprobarelvalordelapendientedelacurva.LapendientedelaelipsesecalculaapartirdelaEcuacin2.4.4:

Enlafronteraentrelaregin1ylaregin2,y,

Portanto,habremossalidodelaregin1cuando:

LaFiguramuestraelpuntomedioentrelosdospxelescandidatosenlaposicindemuestreoxk+1.dentrodelaprimeraregin.Suponiendoquehayamosseleccionadolaposicin(xk,yk)enelpasoanterior,determinamoslasiguienteposicinalolargodelatrayectoriaelpticaevaluandoelparmetrodedecisin(esdecir,lafuncindelaelipsedadaenlaEcuacin2.4.4)endichopuntointermedio:

Si

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Losincrementosparalosparmetrosdedecisinpuedencalcularseutilizandonicamentesumasyrestas,comoenelalgoritmodeloscrculos,yaquelosvaloresparalostrminosypuedenobtenerseincrementalmente.Enlaposicininicial,estosdostrminostienencomovalor:

Ecuacin2.4.5Ecuacin2.4.6

Amedidaqueseincrementanxey,losvaloresactualizadosseobtienensumandoalvaloractualdeltrminodeincrementodelaEcuacin2.4.5yrestandodelvaloractualdeltrminodeincrementodelaEcuacin2.4.6.Losvaloresdeincrementoactualizadossecomparanencadacasoynosmoveremosdelaregin1alaregin2cuandosesatisfagalacondicin.Enlaregin1,elvalorinicialdelparmetrodedecisinseobtieneevaluandolafuncindelaelipseenlaposicininicial:

Enlaregin2,muestreamosaintervalosunitariosenladireccinynegativayelpuntomediosetomarahoraentrepxeleshorizontalesparacadapasodemuestreocomosemuestralaFigura.

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Paraestaregin,elparmetrodedecisinseevalacomo:

Si>0,elpuntomedioseencontrarfueradelaelipseyseleccionaremoselpxelcorrespondientea.Si.elpuntomedioestarsobrelaelipseodentrodeellayseleccionaremoslaposicindepxelParadeterminarlarelacinentreparmetrosdedecisinsucesivosdentrodelaregin2,evaluamoslafuncindelaelipseenelsiguientepuntodemuestreo:

donde,vale,dependiendodelsignode.Cuandoentramosenlaregin2,setomacomoposicininiciallaltimaposicinseleccionadaenlaregin1.yelparmetrodedecisininicialenlaregin2serentonces:

Parasimplificarelclculode.podemosseleccionarlasposicionesdelospixelesensentidocontrarioalasagujasdelreloj,comenzandoen(,0).Lospasosunitariossetomaranentoncesenladireccinypositiva,hastaalcanzarlaltimaposicinseleccionadaenlaregin1.

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Elalgoritmodepuntomediopuedeadaptarseparagenerarunaelipseenposicinnoestndar,utilizandolafuncindelaelipsedadaporlaEcuacinycalculandolasposicionesdelospixelesalolargodetodalatrayectoriaelptica.Alternativamente,podemosreorientarlosejesdelaelipseparaponerlosenposicinestndar,utilizandolosmtodosdetransformacinexplicadosenlossiguientesapartadosdelpresentedocumento,despusdelocualseaplicaraelalgoritmodelpuntomedioparaelipsesconelfindedeterminarlasposicionesdelacurvafinalmente,lasposicionesdepxelcalculadasseconvertiranparaobtenerlasposicionescorrespondientessegnlaorientacinoriginaldelaelipse.Suponiendoquenosden,yelcentrodelaelipseencoordenadasdepantallaenteras,slohacenfaltaclculosincrementalesenterosparadeterminarlosvaloresdelosparmetrosdedecisinenelalgoritmodelpuntomedioparageneracindeelipses.Losincrementos,,yseevalanunanicavezalprincipiodelprocedimiento.

Algoritmodelpuntomedioparageneracindeunaelipse1.Introducir,yelcentrodelaelipseyobtenerelprimerpuntosobreunaelipsecentradaenelorigen,delaformasiguiente:

2.Calcularelvalorinicialdelparmetrodedecisinenlaregin1mediantelafrmula:

3.Encadaposicindentrodelaregin1.comenzandoenk=0,realizarlasiguientecomprobacin.Si,elsiguientepuntoalolargodelaelipsecentradaen(0,0)es y

Encasocontrario,elsiguientepuntoalolargodelaelipseseryy.

con

debiendocontinuaresteprocesohastaque.4.Calcularelvalorinicialdelparmetrodedecisinenlaregin2mediantelafrmula:

dondeeslaltimaposicincalculadaparalaregin1.5.Encadaposicindelaregin2,comenzandoenk=0,realizarlasiguientecomprobacin.Si>0,elsiguientepuntoalolargodelaelipsecentradaen(0,0)seryEncasocontrario,elsiguientepuntoalolargodelaelipsesery

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utilizandolosmismosclculosincrementalesparaxeyqueenlaregin1.Esteprocesodebecontinuarhastaquey=0.6.Paraambasregiones,determinarlospuntossimtricosenlosotrostrescuadrantes.7.Movercadaposicindepxel(x,y)calculadaalatrayectoriaelpticacentradaen(xc,yc)ydibujarlosvaloresdecoordenadas:

EjemploDibujodeunaelipsemedianteelalgoritmodelpuntomediodadoslosparmetrosdeentradaparalaelipserx=18yry=16.

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CAPTULOVI:PrimitivasderellenadodereasOtroelementotil,ademsdelospuntos,lossegmentoslinealesylascurvas,paraladescripcindeloscomponentesdeunaimagensonlasreasrellenasconalgncolorhomogneoopatrn.Unelementodeimagendeestetiposedenominanormalmenterearellena.Lamayoradelasveces,lasreasrellenasseutilizanparadescribirlassuperficiesdelosobjetosslidos,perotambinresultantilesendiversasotrasaplicaciones.Asimismo,lasregionesrellenassuelensersuperficiesplanas,principalmentepolgonos.Peroentrminosgeneraleshaymuchostiposdeformasposiblesparaunaregindeldibujoquepodamosquererrellenarconalgndeterminadocolor.Aunquepuedenexistirreasrellenasdecualquierforma,lasbibliotecasgrficasnosuelensoportarlaespecificacindeformasderellenoarbitrarias.Lamayoradelasrutinasdebibliotecarequierenquelasreasderellenoseespecifiquenenformadepolgonos.Lasrutinasgrficaspuedenprocesarmseficientementelospolgonosqueotrostiposdereasderelleno,porquelasfronterasdelospolgonossedescribenmedianteecuacioneslineales.Adems,lamayoradelassuperficiescurvaspuedenaproximarserazonablementebienmedianteunaseriedeparchespoligonales,delamismaformaqueunalneacurvapuedeaproximarsemedianteunconjuntodesegmentoslineales.Ycuandoseaplicanefectosdeiluminacinyprocedimientosdesombreadodesuperficies,lasuperficiecurvaaproximadapuedemostrarseconungradoderealismobastantebueno.Laaproximacindeunasuperficiecurvamediantecaraspoligonalessedenominaenocasionesteselacindelasuperficie,oajustedelasuperficiemedianteunamallapoligonal.Lavisualizacindetalestiposdefiguraspuedegenerarsemuyrpidamentemediantevistasalmbricas,queslomuestranlasaristasdelospolgonosconelfindeproporcionarunaindicacingeneraldelaestructuradelasuperficie.Posteriormente,elmodeloalmbricopuedesombrearseparagenerarunaimagendeunasuperficiematerialconaspectonatural.Losobjetosdescritosconunconjuntodeparchesdesuperficiepoligonalessesuelendenominarobjetosgrficosestndarosimplementeobjetosgrficos.Engeneral,podemoscrearreasrellenasconcualquierespecificacindecontorno,comoporejemplouncrculoounconjuntoconectadodeseccionesdecurvasdetipospline.Yalgunosdelosmtodospoligonalesexplicadosenlasiguienteseccinpuedenadaptarseparamostrarreasderellenoconcontomosnolineales.2.5.1.reasderellenopoligonalesDesdeelpuntodevistamatemtico,unpolgonosedefinecomounafiguraplanaespecificadamedianteunconjuntodetresomspuntos,denominadosvrtices,queseconectanensecuenciamediantesegmentoslineales,denominadosbordes,oaristasdelpolgono.Adems,engeometrabsica,esnecesarioquelasaristasdelpolgononotenganningnpuntoencomnapartedelosextremos.As,pordefinicin,unpolgono

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debetenertodossusvrticesenunmismoplanoylasaristasnopuedencruzarse.Comoejemplosdepolgonospodemoscitarlostringulos,losrectngulos,losoctgonosylosdecgonos.Algunasveces,cualquierfiguraplanaconuncontornodetipopolilneacerradosedenominatambinpolgono,ysiademssusaristasnosecortanseledenominapolgonoestndaropolgonosimple.Paratratardeevitarreferenciasambiguasalosobjetos,utilizaremoseltrminopolgonoparareferirnosexclusivamentealasformasplanasquetienenuncontornodetipopolilneacerradayenelquelasaristasnosecortan.Paraunaaplicacininfogrfica,esposiblequeunconjuntodesignadodevrticesdeunpolgononocaiganexactamenteenunmismoplano.Estopuededebersealoserroresderedondeoenelclculodelosvaloresnumricos,aerroresenlaseleccindelascoordenadasdelosvrticeso,msnormalmente,alaaproximacindeunasuperficiecurvamedianteunconjuntodeparchespoligonales.Unaformaderectificaresteproblemaconsistesimplementeendividirlamalladesuperficieespecificadaenunaseriedetringulos.Peroenalgunoscasospuedehaberrazonespararetenerlaformaoriginaldelosparchesdelamalla,asquesehandesarrolladomtodosparaaproximarunaformapoligonalnoplanamedianteunafiguraplana.ClasificacionesdelospolgonosUnngulointeriordeunpolgonoesunngulodentrodelcontornodelpolgonoqueestformadopordosaristasadyacentes.Sitodoslosngulosinterioresdeunpolgonosonmenoresoigualesque180,elpolgonoesconvexo.Unadefinicinequivalentedepolgonoconvexoeslaquedicequeelinteriordelpolgonoestcompletamentecontenidoenunodelosladosdelalneadeextensininfinitadecualquieradesusaristas.Asimismo,siseleccionamoscualesquieradospuntosdelinteriordeunpolgonoconvexo,elsegmentodelneaqueunelosdospuntosseencuentratambinenelinteriordelpolgono.Unpolgonoquenoesconvexosedenominacncavo.Dibujarejemplosdepolgonosconvexosycncavos.Amenudoseutilizaeltrminopolgonodegeneradoparadescribirunconjuntodevrticesquesoncolinealesoenelquealgunosdelosvrticessoncoincidentes.Losvrticespolilinealesgeneranunsegmentodelnea,mientrasquelosvrticesrepetidospuedengenerarunaformapoligonalconlneasextraas,aristassolapadasoaristasdelongitud0.Algunasvecesseaplicatambineltrminopolgonodegeneradoaunalistadevrticesquecontienenmenosdetresvrtices.Paraserrobusto,unpaquetegrficopodrarechazarlosconjuntosdevrticesdegeneradosonoplanares,peroestorequierepasosdeprocesamientoadicionalesparaidentificarestosproblemas,porloquelossistemasgrficossuelendejardichotipodeconsideracionesalprogramador.

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Lospolgonoscncavostambinpresentanproblemas.Laimplementacindelosalgoritmosderellenadoydeotrasrutinasgrficasesmscomplicadaparalospolgonoscncavos,porloquesuelesermseficientepartirunpolgonoenunconjuntodepolgonosconvexosantesdecontinuarconsuprocesamiento.Aligualquesucedeconotrosalgoritmosdepreprocesamientodepolgonos,ladivisindepolgonoscncavosnosueleincluirseenlasbibliotecasgrficas.Algunospaquetesgrficos,incluyendoOpenGL,requierenquetodoslospolgonosrellenosseanconvexos,mientrasqueotrossistemassloaceptanreasderellenotriangulares,quesimplificanenormementemuchosdelosalgoritmosdevisualizacin.Unpolgonocncavotienealmenosunodesusngulosinterioressuperiora180.Asimismo,laextensindealgunasaristasdeunpolgonocncavosecortarconotrasaristas,yalgunasparejasdepuntosdelinteriordelpolgonoproducirunsegmentodelneaqueinterceptaalcontornodelpolgono.Portanto,podemosutilizarcualquieradeestascaractersticasdeunpolgonocncavocomobaseparaconstruirunalgoritmodeidentificacin.Siasignamosunvectoracadaaristadeunpolgono,podemosutilizarelproductovectorialdelasaristasadyacentesparacomprobarlaconcavidad.Todosesosproductosvectorialestendrnelmismosigno(positivoonegativo)enlospolgonosconvexos.Portanto,sialgnproductovectorialnosdaunvalorpositivoyotronosdaunvalornegativo,tendremosunpolgonocncavo.LaFigurailustraelmtododelproductovectorialdelosvectoresdelasaristasparalaidentificacindepolgonoscncavos.

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Otraformadeidentificarunpolgonocncavoconsisteenexaminarlasposicionesdelosvrticesdelpolgonoenrelacinconlalneadeextensindecualquierarista.Sialgunosdelosvrticesseencuentranaunladodelalneadeextensinyotrosestnenelotrolado,elpolgonosercncavo.DivisindelospolgonoscncavosUnavezidentificadounpolgonocncavo,podemosdividirloenunconjuntodepolgonosconvexos.Estopuederealizarseutilizandolosvectoresdelasaristasylosproductosvectorialescorrespondientes.Alternativamente,podemosutilizarlasposicionesdelosvrticesenrelacinconlalneadeextensindeunaaristaparadeterminarquvrticesseencuentranenunladodelalneayculesestnenelotro.Paralossiguientesalgoritmos,vamosasuponerquetodoslospolgonosseencuentranenelplanoxy.Porsupuesto,laposicinoriginaldeunpolgonodescritaencoordenadasuniversalespuedenoestarenelplanoxyperosiemprepodemosmoverlohastaeseplanoutilizandolosmtodosdetransformacin.Conelmtodovectorialparadividirunpolgonocncavo,primeronecesitamosformarlosvectoresdelasaristas.Dadasdosposicionesdevrticeconsecutivas,y,definimoselvectordelaaristaquelosunedelaformasiguiente:

Acontinuacincalculamoslosproductosvectorialesdelossucesivosvectoresdelasaristas,siguiendoelordendelpermetrodelpolgono.SilacomponenteZdealgnproductovectorialespositivamientrasqueotrosproductosvectorialestienenunacomponenteznegativa,elpolgonoescncavo,mientrasqueencasocontrarioelpolgonoserconvexo.Estopresuponequenohayatresvrticessucesivosolineales,yaqueenesecasoelproductovectorialdelosdosvectoresrepresentativosdelasaristasqueconectanestosvrticessercero.Sitodoslosvrticessoncolineales,tendremosunpolgonodegenerado(unalnearecta).Podemosaplicarelmtodovectorialprocesandolosvectoresdelasaristasensentidocontrarioalasagujasdelreloj.Sicualquieradelosproductosvectorialestieneunacomponenteznegativa(comolaFigura),elpolgonosercncavoypodemospartirloutilizandolalneadelprimerodelosvectoresconlosquesehacalculadoelproductovectorial.Elsiguienteejemploilustraestemtodoparaladivisindeunpolgonocncavo.

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Tambinpodemosdividirunpolgonocncavoutilizandounmtodorotacional.Vamosamovernosensentidocontrarioalasagujasdelrelojsiguiendolasaristasdelpolgono,yvamosadesplazarlaposicindelpolgonodemodoquecadavrticeseencuentreportumoenelorigendecoordenadas.Acontinuacin,rotamoselpolgonoalrededordelorigenenelsentidodelasagujasdelreloj,demodoqueelsiguientevrticeseencuentresobreelejex.Sielsiguientevrtice,,estpordebajodelejex,elpolgonosercncavo.Enestecaso,partiremoselpolgonosegnelejexparaformardosnuevospolgonosyrepetiremoseltestdeconcavidadparacadaunodelosdosnuevospolgonos.Lospasosanterioresserepitenhastaquehayamoscomprobadotodoslosvrticesdelalistadepolgonos.LaFigurailustraelmtodorotacionalparaladivisindeunpolgonocncavo.

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DivisindeunpolgonoconvexoenunconjuntodetringulosUnavezobtenidalalistadevrticesparaunpolgonoconvexo,podemostransformarloenunconjuntodetringulos.Estopuedehacerseseleccionandoprimerocualquiersecuenciadetresvrticesconsecutivosyformandoconellaunnuevopolgono(untringulo).Entoncesseborraelvrticeintermediodeltringulodelalistadevrticesoriginal,volvindoseaaplicarelmismoprocedimientoaestalistadevrticesmodificadaparaextraerotrotringulo.Continuamosformandotringulosdeestaformahastaqueelpolgonooriginalquedereducidoaslotresvrtices,quedefinirnelltimotringulodelconjunto.Unpolgonocncavotambinpuededividirseenunconjuntodetringulosutilizandoestatcnica,siempreycuandolostresvrticesseleccionadosencadacasoformenunngulointeriorqueseainferiora180(unnguloconvexo).

2.6.Generacindecaracteres.Lasimgenesgrficasincluyenamenudoinformacintextual,comoporejemploetiquetas,grficas,cartelesenedificiosovehculoseinformacingeneraldeidentificacinparaaplicacionesdesimulacinyvisualizacin.Lamayoradelospaquetesgrficosincluyenrutinasparagenerarprimitivasdecaracteresgrficos.Algunossistemasproporcionanunamplioconjuntodefuncionesdecaracteres,mientrasqueotrossloofrecenunsoportedegeneracindecaracteresmnimo.Lasletras,losnmerosyotroscaracterespuedenmostrarsecondiversostamaosyestilos,elestiloglobaldediseoparaunconjunto(ofamilia)decaracteressedenominatipo

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deletra.Hoyenda,haydisponiblesmilesdetiposdeletradistintosparaaplicacionesinformticas,comoporejemploCourier,Helvtica,NewYork,PalatinooZapfChancery.Originalmente,eltrminofuentehacareferenciaaunconjuntodecaracteresextruidosenmetalconuntamaoyformatoconcretos,comoporejemploCourierItlicade10puntosoPalatinoNegritade12puntos.Unafuentede14puntostieneunaalturatotaldeloscaracteresdeunos0,5centmetrosenotraspalabras72puntosesaproximadamenteequivalentea2,54centmetros(unapulgada).Hoyenda,seusanlostrminosfuenteytipodeletrademaneraintercambiable,yaquelastareasmodernasdeimpresinraramenteserealizanconcaracteresextruidosenmetal.Lostiposdeletra(ofuertes)puedendividirseendosampliosgrupos:serifysansserif.Untiposeriftienepequeaslneasoacentosenlosextremosdelosprincipalestrazosdeloscaracteres,mientrasquelostipossansserifnotieneestetipodeacentos.Lostiposserifsongeneralmentemslegiblesesdecir,esmsfcilleergrandesbloquesdetexto.Porotraparte,loscaracteresindividualesdelostipossansserifsonmsfcilesdereconocer,porloqueestetipodeletraresultaadecuadaparaetiquetasycortosencabezados.Lasfuentestambinseclasificandependiendodesisonmonoespaciadasoproporcionales.Todosloscaracteresdeunafuentemonoespaciadatienenlamismaanchura,mientrasqueenunafuenteproporcionallaanchuradeloscaracteresvara.Seutilizandosrepresentacionesdiferentesparaalmacenarfuentesenunacomputadora.Unmtodosimplepararepresentarlasformasdeloscaracteresenuntipodeletraconcretoconsisteendefinirunpatrndevaloresbinariossobreunacuadrcularectangular.Entonces,eseconjuntodecaracteressedenominafuentedemapadebits.Unconjuntodecaracteresdemapadebitstambinsedenominaenocasionesfuentersterofuentedigitalizada.Otroesquemamsflexibleconsisteendescribirlasformasdeloscaracteresutilizandoseccionesdelnearectasydecurvas,comoporejemploenPostScript,enestecaso,elconjuntodecaracteressedenominafuentedecontornoofuentedetrazos.Lafigurailustralosdosmtodosparalarepresentacindecaracteres.CuandoseaplicaelpatrndelaparteizquierdadelaFiguraaunreadelbferdeimagen,losbitsconvalor1designanquposicionesdepxelhayquemostrarenuncolorespecificado.ParavisualizarlaformadelcarcterdelapartedeladerechadelaFigura,elinteriordelcontornodecarctersetratacomounreaderelleno.

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Lasfuentesdemapadebitssonlasmssimplesdedefinirydevisualizar:bastaconasignarlascuadrculasdecaracteresaunaposicindentrodelbferdeimagen.Sinembargo,engeneral,lasfuentesdemapadebitsrequierenmsespaciodealmacenamiento,yaqueesnecesarioguardarcadavariante(tamaoyformato)dentrodeunacachdefuentes.Sepuedengenerardiferentestamaosyotrasvariaciones,comoporejemplonegritaeitlicaapartirdeunconjuntodefuentesenmapadebits,perolosresultadosqueseobtienennosuelenserbuenos.Podemosincrementarodecrementareltamaodelmapadebitsdeuncarctersolamenteenmltiplosenterosdeltamaodelpxel.Siqueremosdoblareltamaodeuncarcter,tenemosquedoblarelnmerodepxelesdelmapadebits,conloquelosbordesdelcarctertendrnunaaparienciaescalonada.Porcontrasteconlasfuentesdemapadebits,lasfuentesdecontornopuedenincrementarsedetamaosindistorsionarlaformadeloscaracteres.Adems,estasfuentesrequierenmenosespaciodealmacenamiento,porquenohacefaltaunacachdefuenteseparadaparacadaunadelasvariantesdeltipodecaracteres.Podemosgenerarcaracteresennegrita,eitlicaodediferentestamaosmanipulandolasdefinicionesdelascurvasqueespecificanelcontornodeloscaracteres.Peroobviamentehacefaltamstiempoparaprocesarlasfuentesdecontorno,yaqueesnecesariodigitalizarloscaracteresparaalmacenarlosenelbferdeimagen.Hayunadiversidaddeposiblesfuncionesparavisualizarcaracteres.Algunospaquetesgrficosproporcionanunafuncinqueaceptacualquiercadenadecaracteresyunaindicacindeculdebeserlaposicindeiniciodelacadenadentrodelbferdeimagen.Otrotipodefuncionessonaquellasquemuestranunnicocarcterenunaomsposicionesseleccionadas.Puestoqueestarutinadecaracteresresultamuytilparamostrarcaracteresenunaimagen,porejemplo,deunareddecomputadorasoalahorade

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mostrarunagrficaconlospuntoscorrespondientesaunconjuntodedatosdiscretos,elcarctermostradoporestarutinasedenominaenocasionessmbolomarcadoropolimarcador,poranalogaconlaprimitivadepolilnea.Ademsdeloscaracteresestndar,otrasformasgeomtricasespecialescomolospuntos,loscrculosylascrucessuelenestardisponiblescomosmbolosmarcadores.LaFiguramuestraunagrficadeunconjuntodedatosdiscretodondeseutilizaunasteriscocomosmbolomarcador.

Lasdescripcionesgeomtricasdeloscaracteresseproporcionanencoordenadasuniversales,aligualqueconlasotrasprimitivas,yestainformacinsehacecorresponderconlascoordenadasdepantallamediantelastransformacionesdevisualizacin.Uncarcterdemapadebitssedescribemedianteunacuadrcularectangulardevaloresbinariosyunaposicindereferenciaparalacuadrcula.Estaposicindereferenciaseasignaentoncesaunaubicacinespecificadadentrodelbferdeimagen.Uncarcterdecontornoestdefinidoporunconjuntodepuntosquehayqueconectarmedianteunaseriedesegmentoscurvosyrectos,juntoconunaposicindereferenciaquehayquehacercorresponderconunaubicacindeterminadadelbferdeimagen.Laposicindereferenciapuedeespecificarseparaunnicocarcterdecontornooparaunacadenadecaracteres.Engeneral,lasrutinasdecaracterespermitengenerarimgenesconcaracterestantobidimensionalescomotridimensionales.2.7AtributosdepuntosBsicamente,podemosestablecerdosatributosparalospuntos:elcoloryeltamao.Enunsistemadeestados,elcoloryeltamaomostradosdeunpuntoestndeterminadosporlosvaloresactualesalmacenadosenlalistadeatributos.LascomponentesdecolorseestablecenconvaloresRGBoconunndicedeunatabladecolor.Enunsistemadegrficosdigitalizados,eltamaodelpuntoesunmltiplodeltamaodelpxel,porloqueunpuntograndesemuestracomounbloquecuadradodepxeles.

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2.8AtributosdelneasUnsegmentodelnearectasepuedemostrarcontresatributosbsicos:elcolor,elgrosoryelestilo.Elcolordelalneaseestablecehabitualmenteconlamismafuncindetodaslasprimitivasgrficas,mientrasqueelgrosoryelestilodelalneaseseleccionanconfuncionesindependientesparalaslneas.Adicionalmente,laslneassepuedengenerarconotrosefectos,talescomolostrazosdeunlapiceroyunabrocha.ElgrosordelaslneasLaimplementacindelasopcionesdelgrosordelaslneasdependedelascapacidadesdeldispositivodesalida.Unalneagruesasepodramostrarenunmonitordevdeocomolneasadyacentesparalelas,mientrasqueuntrazadordeplumillaspodraprecisarelcambiodelaplumillaparadibujarunalneagruesa.Enimplementacionesdegrficosdigitalizados,unalneadegrosorestndarsegeneraconunnicopxelencadaposicinmuestreada,comoenelalgoritmodeBresenham.Laslneasmsgruesassevisualizancomomltiplosenterospositivosdelalneaestndarmedianteeldibujodepxelesadicionalesalolargodelneasparalelasadyacentes.Siunalneatieneunapendientemenoroigualque1.0,podemosmodificarlasubrutinadedibujodelneasparamostrarlneasgruesasmedianteeldibujodepxelesdeextensinencadacolumna(posicinx)alolargodelalnea.Elnmerodepxelesquesevanamostrarencadacolumnasedefinecomoelvalorenterodelgrosordelalnea.EnlaFigurasemuestraunalneadegrosordoblemediantelageneracindeunalneaparalelaencimadelatrayectoriadelalneaoriginal.

Encadaposicinxmuestreada,calculamoslacoordenadacorrespondienteyysedibujanpxelesenlascoordenadasdepantalla(x,y)y(x,y+1).Podramosmostrarlneasconungrosoriguala3omayor,dibujandoalternativamentepxelesporencimaypordebajodelalneadegrosorsimple.Enunalneadependientemayorque1.0,podemosmostrarlneasgruesasempleandoextensioneshorizontales,aadiendopxelesalternativamentealaderechayalaizquierdadelatrayectoriadelalnea.EsteplanteamientosemuestraenlasiguienteFigura,dondeun

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segmentodelneaconungrosorde4sedibujaempleandomltiplespxelestransversalesacadalneadebarrido.

Deformasimilar,unalneagruesaconunapendientemenoroigualque1.0sepuedemostrarempleandoextensionesverticalesdepxeles.Podemosimplementaresteprocedimientomediantelacomparacindelasmagnitudesdelasseparacioneshorizontalyvertical(y)delospuntosextremosdelalnea.Si,lospxelesserepitenalolargodelascolumnas.Encasocontrario,mltiplespxelessedibujandeformatransversalalasfilas.Aunquelaslneasgruesassegeneranfcilmentemedianteeldibujodeextensionesdepxeleshorizontalesoverticales,elgrosorvisualizadodeunalnea(medidoperpendicularmentealatrayectoriadelalnea)dependedesupendiente.Unalneade45sevisualizarmsfinadebidoalfactorcomparadaconunalneahorizontaloverticaldibujadaconlamismalongituddeextensionesdepxeles.Otroproblemaconlaimplementacindelasopcionesdegrosorutilizandoextensionesdepxeleshorizontalesyverticalesesqueelmtodoproducelneascuyosextremossonhorizontalesoverticalesindependientementedelapendientedelalnea.Esteefectoesmsapreciableconlneasmuygruesas.Podemosajustarlaformadelasterminacionesdelalneaparadarlesunamejoraparienciaaadiendoextremosdelnea(comoseapreciaenlaFigura).

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Untipodeextremodelneaeselextremoabrupto,quepresentaterminacionescuadradasquesonperpendicularesalatrayectoriadelalnea.Silalneatieneunapendientem,lasterminacionescuadradasdelalneagruesatienenunapendiente.Cadaunadelaslneasparalelascomponentessevisualizaentoncesentrelasdoslneasperpendicularesacadaterminacindelatrayectoriadelalnea.Otrotipodeextremodelneaeselredondeadoqueseobtieneaadiendounsemicrculorellenoacadaextremoabrupto.Losarcoscircularestienensucentroenlazonamediadelalneagruesayundimetroigualalgrosordelalnea.Untercertipodeextremodelneaeselcuadrado.Enestecaso,simplementeextendemoslalneayaadimosextremosabruptosqueseposicionanenlamitaddelgrosordelalneamsalldelasterminaciones.Entreotrosmtodosparaproducirlneasgruesassepuedenincluirlavisualizacindelalneacomounrectngulorellenoolageneracindelalneaconunpatrndeplumillaobrochadeterminado.Paraobtenerunarepresentacinconformaderectnguloparaellmitedelalnea,calculamoslaposicindelosvrticesdelrectnguloalolargodelasperpendicularesalatrayectoriadelalnea,paraquelascoordenadasdelosvrticesdelrectngulosedesplacendelasposicionesoriginalesdelosextremosdelalnealamitaddelgrosordelamisma.LalnearectangulartieneentonceselaspectodelaFiguradeextremosdelneaubicadoalaizquierda.Podramosaadirextremosredondeadosa!rectngulorelleno,opodemosextendersulongitudparamostrarextremoscuadrados.Lageneracindepolilneasgruesasrequierealgunasconsideracionesadicionales.Porlogeneral,losmtodosquehemosconsideradoparamostrarsegmentosdelneanoproducirnseriesdesegmentosdelneaconectadossuavemente.Larepresentacindepolilneasgruesasempleandoextensionesdepxeleshorizontalesyverticales,porejemplo,producenhuecosenlospxelesenloslmitesentrelossegmentosdelneacondiferentespendientesdondehayuncambiodeextensionesdepxeleshorizontalesaextensionesverticales.Podemosgenerarpolilneasgruesasqueestnunidassuavementeacostadeunprocesamientoadicionalenlosextremosdelossegmentos.LaFigurasiguientemuestratresposiblesmtodosparaunirsuavementedossegmentosdelnea.

Unauninenpuntaseconsigueextendiendolasfronterasdecadaunodelosdossegmentosdelneahastaqueseencuentran.Unauninredondeadaseproducetapandola

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conexinentrelosdossegmentosconunafronteracircularcuyodimetroesigualalgrosordelalnea.Yunauninbiseladasegeneravisualizandolossegmentosdelneaconextremosabruptosyrellenandoelhuecotriangulardondeloselementosseencuentran.Sielnguloentrelosdossegmentosdelneaconectadosesmuypequeo,unauninenpuntapuedegenerarunalargapaquedistorsionalaaparienciadelapolilnea.Unpaquetegrficopuedeevitaresteefectocambiandodeuninenpuntaauninbiseladacuando,porejemplo,elnguloentredossegmentoscualesquieraconsecutivosespequeo.

EstilodelaslneasEntrelasposibleseleccionesdelatributodeestilodelneaseincluyenlaslneascontinuas,laslneasdiscontinuasylaslneaspunteadas.Modificamoselalgoritmodedibujodelneasparagenerartaleslneasmedianteelcambiodelalongitudydelespaciadodelasseccionescontinuasmostradasalolargodelatrayectoriadelalnea.Enmuchospaquetesgrficos,podemosseleccionartantolalongituddelostrazosdiscontinuoscomoelespacioentredichostrazos.Losalgoritmosdelneasensistemasdigitalizadosmuestranlosatributosdeestilodelaslneasdibujandoextensionesdepxeles.Enpatronesdiscontinuos,depuntosoambasalavez.elprocedimientodedibujodelneasproducecomosalidaseccionescontinuasdepxelesalolargodelatrayectoriadelalnea,saltandounnmerodepxelesentrelasextensionescontinuas.Lacantidaddepxelesutilizadaenlalongituddelasextensionesyelespacioentrelasmismassepuedeespecificarmedianteunamscaradepxel,lacualesunpatrndedgitosbinariosqueindicaquposicionessehandedibujaralolargodelatrayectoriadelalnea.Lamscaralineal11111000,porejemplo,sepodrautilizarparamostrarunalneadiscontinuaconunalongituddetrazodecincopxelesyunespacioentretrazosdetrespxeles.Alasposicionesdepxelcorrespondientesalbit1selesasignaelcoloractual,yalasposicionesdepxelcorrespondientesalbit0selesasignaelcolordefondo.Eldibujodetrazosconunnmerofijodepxelesprovocatrazosdelongituddesigualsegnlasdiferentesorientacionesdelalnea,comosemuestraenlaFigurasiguiente.

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Ambostrazossedibujanconcuatropxelesperoeltrazodiagonalesmslargoenunfactorde.Endibujosenlosquesenecesitaprecisin,laslongitudesdelostrazosdeberanpermaneceraproximadamenteconstantesparacualquierorientacindelalnea.Paraconseguiresto,podramosajustarlacantidaddepxelesdelasextensionescontinuasyelespacioentredichasextensionesdeacuerdoconlapendientedelalnea.EnlaFiguraanteriorpodemosvisualizartrazosdelongitudaproximadamenteigualmediantelareduccindeltrazodiagonalatrespxeles.Otromtodoparamantenerlalongituddeltrazoconsisteentratarlostrazoscomosegmentosindividualesdelnea.Lascoordenadasdelospuntosextremosdecadatrazoselocalizanysepasanalasubrutinadelnea,lacualentoncescalculalasposicionesdelospxelesalolargodelatrayectoriadeltrazo.OpcionesdeplumillaybrochaEnalgunospaquetes,particularmenteenlossistemasdedibujoypintura,podemosseleccionardirectamentediferentesestilosdeplumillaybrocha.Entrelasopcionesdeestacategoraseincluyenlaforma,eltamaoyelpatrndelaplumillaobrocha.AlgunosejemplosdeformasdeplumillaybrochasemuestranenlaFigurasiguiente.

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Estaformasepuedealmacenarenunamscaradepxelqueidentificalamatrizdeposicionesdepxelquesedebencambiaralolargodelatrayectoriadelalnea.Porejemplo,unaplumillarectangularsepodraimplementarconlamscaraquesemuestraenlaFigura.

Medianteelmovimientodelcentro(ounaesquina)delamscaraalolargodelatrayectoriadelalnea,comoenlasiguienteFigura.

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Paraevitarcambiarlospxelesmsdeunavezenelbferdeimagen,podemossimplementeacumularlasextensioneshorizontalesgeneradasencadaposicindelamscaraymantenerlapistadelcomienzoyelfinaldelasposicionesxdelasextensionesalolargodecadalneadebarrido.Laslneasgeneradasconplumilla(obrocha)sepuedenvisualizarconvariosgrosoresmedianteelcambiodeltamaodelamscara.Porejemplo,lalneageneradaconunaplumillarectangulardelaFiguraanteriorsepodraestrecharconunamscararectangulardetamao2por2oensancharconunamscaradetamao4por4.Tambin,laslneassepuedenrepresentarconpatronescreadosmediantelasuperposicindevariospatronesenunamscaradeplumillaobrocha.2.9AtributosdecurvasLosparmetrosdelosatributosdelascurvassonlosmismosquelosdelossegmentosdelnearecta.Podemosmostrarcurvasvariandoloscolores,losgrosores,utilizandopatronesdepuntoyguin,yopcionesdisponiblesdeplumillasobrochas.Losmtodosparalaadaptacindelosalgoritmosdedibujodecurvasparaacomodarlosalasseleccionesdelosatributossonsimilaresaaquellosempleadosparaeldibujodelneas.Lascurvasdigitalizadasdevariosgrosoressepuedenrepresentarempleandoelmtododelasextensionesverticalesyhorizontalesdepxeles.Dondelamagnituddelapendientedelacurvaseamenoroigualque1.0,dibujaremosextensionesverticalesdondelamagnituddelapendienteseamayorque1.0,dibujaremosextensioneshorizontales.LaFigurasiguientemuestraestemtodoparalarepresentacindeunarcocirculardegrosor4enelprimercuadrante.

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Utilizandolasimetradelcrculo,podemosgenerarunatrayectoriacircularconextensionesverticaleseneloctantequevadesdex=0ax=y,ydespusreflejarlasposicionesdelospxelessobrelalneay=xparaobtenerelreflejodelacurvamostrada.Lasseccionescircularesdeotroscuadrantesseobtienenmediantereflexindelasposicionesdelospxelesdelprimercuadrantesegnlosejesdecoordenadas.Elgrosordelascurvasrepresentadasconestemtodoesdenuevofuncindelapendientedelacurva.Loscrculos,elipsesyotrascurvasaparecernmsfinasdondelapendientetengaunamagnitudde1.Otromtodopararepresentarcurvasgruesasconsisteenrellenarelreaentredostrayectoriasdecurvaparalelas,cuyadistanciadeseparacinseaigualalgrosordeseado.Podramoshacerestoempleandolatrayectoriadelacurvaespecificadacomounafronterayestablecerlasegundafronteradentroofueradelatrayectoriadelacurvaoriginal.Estatcnica,sinembargo,cambialatrayectoriadelacurvaoriginalhaciadentroohaciaafuera,dependiendodeladireccinqueelijamosparalasegundafrontera.Podemosmantenerlaposicindelacurvaoriginalestableciendodoscurvasfronteraaunadistanciademediogrosoracadaladodelatrayectoriadelacurvaespecificada.UnejemplodeestatcnicasemuestraenlaFigurasiguienteparaunsegmentocircularconradio16ygrosor4.

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Losarcoslmiteseestablecenentoncesconunadistanciadeseparacinde2acadaladodelradiodevalor16.Paramantenerlasdimensionesadecuadasdelarcocircular,podemosestablecerelradioparalosarcoslmiteconcntricosenr=14yr=17.Aunqueestemtodoesprecisoparalageneracindecrculosgruesos,proporcionaengeneral,slounaaproximacinalreaverdaderadeotrascurvasgruesas.Porejemplo,loslmitesinternosyexternosdeunaelipsegruesageneradaconestemtodonotienenelmismofoco.

CAPTULOIII:TRANSFORMACIONESGEOMTRICASEnesteapartadoveremoslasoperacionesdetransformacinquesepuedenaplicaraobjetosparareubicarlosodarlesuntamaodiferente.Estasoperacionestambinsonusadasenlavisualizacinderutinasqueconviertenunadescripcindeunaescenadecoordenadasuniversalesenundespliegueparaundispositivodesalida.Adems,sonusadosenvariedaddeotrasaplicaciones,talescomodiseodeayudayanimacinporcomputador.Lasoperacionesqueseaplicanadescripcionesgeomtricasdeunobjetoparacambiarsuposicin,orientacinotamaosellamantransformacionesgeomtricas.

3.1.TransformacionesgeomtricasbidimensionalesbsicasLasfuncionesdetransformacionesgeomtricasquesepuedenencontrarentodoslospaquetesgrficos,sonaquellasqueseusanparalatraslacin,larotacinyelcambiodeescala.Otrasrutinasdetransformacionestiles,queavecesseincluyenenlospaquetes,sonlasoperacionesdereflexineinclinacin.Traslacionesbidimensionales

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Serealizaunatraslacindeunpuntosencillodecoordenadas,mediantelainclusindecompensacionesensuspropiascoordenadas,paragenerarunanuevaposicindecoordenadas.Enefecto,seestmoviendolaposicindelpuntooriginalalolargodeunatrayectoriaenlnearectahaciasunuevalocalizacin.Demodosimilar,unatraslacinesaplicableaunobjetoquesedefineconmltiplesposicionesdecoordenadas,talescomocuadrilteros,mediantelarecolocacindetodaslasposicionesdesuscoordenadas,usandoelmismodesplazamientoalolargodetrayectoriasparalelas.As,elobjetocompletosemuestraenlanuevalocalizacin.Paratrasladarunaposicinbidimensional,aadimosdistanciasdetraslacinyalascoordenadasoriginalesparaobtenerlanuevaposicindecoordenadascomosemuestraacontinuacin.

PodemosexpresarlasEcuacionesdetraslacincomounanicaecuacindeunamatriz,usandolossiguientesvectorescolumnapararepresentarposicionesdecoordenadasyelvectordetraslacin.

Estonospermiteescribirlasecuacionesdetraslacinbidimensionalesenformadematriz.

Latraslacinesuntipodetransformacindeslidorgidoquemueveobjetossindeformarlos.Estoes,cadapuntodeunobjetoestrasladadoenlamismamedida.Unsegmentoenlnearectaestrasladadomediantelaaplicacindeunaecuacindetransformacinacadaunodelospuntosfinalesdelalneayredibujandolalneaentrelosdosnuevospuntosfinales.Unpolgonosetrasladadeformasimilar.Seaadeunvectordetraslacinalaposicindelascoordenadasparacadavrticeydespusseregeneraelpolgonousandounnuevoconjuntodecoordenadasdevrtices.

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RotacionesbidimensionalesSegeneraunatransformacinderotacindeunobjetomediantelaespecificacindeunejederotacinyunnguloderotacin.Todoslospuntosdelobjetosonentoncestransformadosalanuevaposicin,mediantelarotacindepuntosconelnguloespecificadosobreelejederotacin.Unarotacinbidimensionaldeunobjetoseobtienemediantelarecolocacindelobjetoalolargodeunatrayectoriacircularsobreelplanoxy.Enestecaso,seestrotandoelobjetosobreunejederotacinqueesperpendicularalplano(paraleloalejedecoordenadasz).Losparmetrosparalarotacinbidimensionalsonelnguloderotacin,yunaposicinllamadapuntoderotacin(opuntodepivote)sobreloscualeselobjetovaaserrotado.Elpuntodepivoteeslaposicindeinterseccinentreelejedecoordenadasyelplanoxy.Unvalorpositivoparaelngulodefineunarotacinensentidocontrarioalasagujasdelrelojsobreelpuntodepivote,yunvalornegativorotaobjetosenelsentidodelasagujasdelreloj.

Parasimplificarlaexplicacindelmtodobsico,primerohayquedeterminarlasecuacionesdetransformacinparalarotacindeunpuntodeposicinP,cuandoelpunto

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depivoteestenelorigendecoordenadas.LarelacinentreelangularylascoordenadasdelasposicionesoriginalesytransformadassemuestraenlasiguienteFigura.

Enestafigura,resladistanciaconstantedelpuntorespectodelorigen,elnguloeslaposicinangularoriginaldelpuntodesdelahorizontal,yeselnguloderotacin.Usandoidentidadestrigonomtricasestndar,podemosexpresarlascoordenadastransformadasenfuncindelosngulosycomo:

Conlasrepresentacionesdelvectorcolumna,paraposicionesdecoordenadas,podemosescribirlasecuacionesderotacinenformadematrizdondelamatrizderotacines:

LarotacindeunpuntosobreunaposicindepivotearbitrariaseilustraenlaFigura.Usandolasrelacionestrigonomtricasindicadasporlosdostringulosrectngulosdeestafigura,sepuedengeneralizarlasEcuacionesbsicasderotacinparaobtenerlasecuacionesdetransformacinparalarotacindeunpuntosobrecualquierposicinderotacinespecfica:

Estasecuacionesderotacingeneralesdifierendelasecuacionesdelarotacinsobreelorigen,porlainclusindetrminosaditivos,ascomofactoresmultiplicativosenlosvaloresdecoordenadas.Laexpresindelamatrizpuedemodificarseparaincluirlascoordenadaspivoteaadiendolamatrizdevectorcolumna,cuyoselementoscontienenlostrminosaditivos(traslacionales)delasEcuaciones.Aligualqueconlastraslaciones,lasrotacionessontransformacionesdeslidorgidoquemuevenobjetossindeformarlos.Cadapuntodeunobjetoserotaunmismongulo.Unsegmentoenlnearectaserotamediantelaaplicacindelasecuacionesderotacinacadaunodesuspuntosfinaleso

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extremosyredibujandoluegolalneaentrelosnuevosextremos.Unpolgonoserotadesplazandocadaunodesusvrticesusandoelnguloderotacinespecificadoydespusregenerandoelpolgonousandolosnuevosvrtices.Rotamosunacurvareposicionandolospuntosdedefinicinparalacurvayredibujandodespus.Uncrculoounaelipse,porejemplo,puedenrotarsesobreunpuntodepivotenocentrado,moviendolaposicindelcentroatravsdelarcoquesustentaelnguloderotacinespecificado.Ypodemosrotarunaelipsesobresupropiocentrodecoordenadas,sencillamenterotandoelejemayoryelejemenor.CambiodeescalabidimensionalParaalterareltamaodeunobjeto,aplicamostransformacionesdeescala.Unasimpleoperacindecambiodeescalabidimensionalsellevaacabomultiplicandolasposicionesdelosobjetosporlosfactoresdeescalayparaproducirlascoordenadastransformadas.

ElfactordeescalacambialaescaladeunobjetoenladireccinX,mientrasquehaceelcambiodeescalaenladireccinY.Lasecuacionesbsicasdelcambiodeescalaendosdimensionespuedentambinescribirseenlaformadelamatrizsiguiente.

dondeSeslamatriz2por2decambiodeescala.Cualquiervalorpositivopuedeserasignadoalosvaloresdeescalay.Valoresinferioresa1reduceneltamaodelosobjetosvaloressuperioresa1producenalargamientos.Especificandounvalorde1tantoparacomoparasedejaeltamaodelobjetoinalterado.Cuandoayselesasignaelmismovalor,seproduceuncambiodeescalauniformequemantienelasproporcionesrelativasdelobjeto.Valoresdesigualesdeyresultanenuncambiodeescaladiferentequeesamenudousadoenaplicacionesdediseo,dondelosdibujossonconstruidosdesdeunaspocasformasbsicasquepuedenajustarsemedianteescalasytransformacionesposicionales.Enalgunossistemas,losvaloresnegativostambinpuedenespecificarsemedianteparmetrosdeescala.Ellonosloledaunnuevotamaoalobjeto,ademsloreflejasobreunoomsejesdecoordenadas.Podemoscontrolarlalocalizacindeunobjetocambiadodeescalaeligiendounaposicin,llamadapuntofijo,quedebepermanecersincambiosdespusdelatransformacindeescala.Lascoordenadasparaelpuntofijo,sonamenudoelegidasdelaposicindealgnobjeto,talcomosucentroide,aunquepuedeelegirsecualquierotraposicinespacial.Alosobjetosselesdaahoraotrotamaomedianteelcambiodeescaladelasdistanciasentrelospuntosdelosobjetosyelpuntofijo.Paralaposicindecoordenadaslascoordenadasdeescalasecalculanapartirdelassiguientesrelaciones.

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Incluirlascoordenadasparaunpuntofijoenlasecuacionesdeescalaessimilaraincluircoordenadasparaunpuntodepivoteenecuacionesderotacin.LospolgonoscambiandeescalamediantelaaplicacindelasEcuacionesdecambiodeescalaacadavrtice,regenerandodespuselpolgonousandolosvrticestransformados.Paraotrosobjetos,aplicamoslasecuacionesdetransformacindeescalaalosparmetrosquedefinenelobjeto.Paracambiareltamaodeuncrculo,podemosreducirsuradioycalcularlasnuevasposicionesdelascoordenadasdelcontornodelacircunferencia.Yparacambiareltamaodeunaelipse,aplicamoselescaladodelosparmetrossobresusejesparaluegotrazarlanuevaposicindelaelipsesobresucentrodecoordenadas.3.2.RepresentacionesdematrizycoordenadashomogneasMuchasaplicacionesgrficasimplicansecuenciasdetransformacionesgeomtricas.Unaanimacindeberarequerirqueunobjetofuesetrasladadoyrotadotrascadaincrementodemovimiento.Endiseoyaplicacionesdeconstruccindedibujos,sellevanacabotraslaciones,rotacionesycambiosdeescalaparaacoplarloscomponentesdeldibujodentrodesuspropiasposiciones.Ylavisualizacindelastransformacionesimplicansecuenciasdetraslacionesyrotacionesparallevamosdesdelaescenaoriginalespecificadaalavisualizacinenundispositivodesalida.Aqu,consideramoscmolasrepresentacionesdematricesdiscutidasenlaseccinanteriorpuedenacumularse.detalformaquelassecuenciasdetransformacionespuedanserprocesadaseficientemente.Hemosvistoanteriormentequecadaunadelastrestransformacionesbidimensionalesbsicas(traslacin,rotacinycambiodeescala)puedenexpresarseenformadematrizgeneral:

conposicionesdecoordenadasPyP'representadosenvectorescolumnas.Lamatrizesunamatrizde2por2quecontienefactoresmultiplicativos,y,esunamatrizcolumnade2elementosquecontienelostrminostraslacionales.Paralatraslacin,eslamatrizidentidad.Paralarotacinoelcambiodeescala,,contienelostrminostraslacionalesasociadosconelpuntodepivoteoconelpuntofijodeescalado.Paraproducirunasecuenciadetransformacionesconesasecuaciones,comoporejemplo,uncambiodeescalaseguidodeunarotacinyluegounatraslacin,podemoscalcularlascoordenadastransformadashaciendounacosacadavez.Primero,secambialaescaladelaposicindelascoordenadas,luegodichascoordenadassegirany,finalmente,lascoordenadasrotadassontrasladadas.Sinembargo,unaformamseficientedehacerlo,escombinartransformacionesdetalsuertequelaposicinfinaldelascoordenadasseobtengadirectamenteapartirdelascoordenadasiniciales,sincalcularvaloresdecoordenadas

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intermedios.Podemoshaceresto,reformulandolaEcuacinanteriorparaeliminarlaoperacindesumadematrices.CoordenadashomogneasLostrminosmultiplicativosytraslacionalesparaunatransformacingeomtricabidimensionalpuedensercombinadosdentrodeunamatrizsencilla,siexpandimoslarepresentacinamatricesde3por3.Enesecaso,podemosusarlaterceracolumnadelamatrizdetransformacinparalostrminostraslacionales,ytodaslasecuacionesdetransformacinpuedenexpresarsecomomultiplicacindematrices.Peroparapoderhaceresto,necesitamosademsexpandirlarepresentacinmatricialparaposicionesdecoordenadasbidimensionalesaunamatrizcolumnade3elementos.Unatcnicaestndarparalograrestoconsisteenexpandircadarepresentacindeposicincoordenadabidimensional(x,y)enrepresentacionesde3elementosllamadascoordenadashomogneas,dondeelparmetrohomogneohesunvalordistintodecerotalque:yPortanto,unarepresentacindecoordenadashomogneasbidimensionales,puedeescribirsetambincomo.Paratransformacionesgeomtricas,podemoselegirelparmetrohomogneohparaqueseacualquiervalordistintodecero.As,hayunnmeroinfinitoderepresentacioneshomogneasequivalentesparacadapuntodecoordenadas(x,y).Unaeleccinacertadaesfijarh=1.Cadaposicinbidimensionalserepresentaconcoordenadashomogneas(x,y,1).Senecesitanotrosvaloresparaelparmetroh,porejemploenformulacionesdematricesparamostrartransformacionestridimensionales.Eltrminocoordenadashomogneasseusaenmatemticasparareferirsealefectodeestarepresentacinencoordenadascartesianas.Cuandounpuntocartesiano(x,y)seconviertearepresentacinhomognealasecuacionesquecontienenxeytalescomof(x,y)=0,seconviertenenecuacioneshomogneasenlostresparmetros.Estosignificaprecisamente,quesicadaunodelostresparmetrosessustituidoporcualquiervalor,vveces,dichovalorvpuedeserdespejadodelaecuacin.Expresarposicionesencoordenadashomogneasnospermiterepresentartodaslasecuacionesdetransformacionesgeomtricascomomultiplicacindematrices,queeselmtodoestndarusadoenlossistemasgrficos.Lasposicionesdecoordenadasbidimensionalesserepresentanconvectorescolumnadetreselementos,ylasoperacionesdetransformacinbidimensionalesserepresentancomomatricesde3por3.MatrizdetraslacinbidimensionalUsandolaaproximacindecoordenadashomogneas,podemosrepresentarlasecuacionesparaunatraslacinbidimensionaldeunaposicindecoordenadasusandolasiguientematrizdemultiplicacin.

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Estaoperacindetraslacinpuedeescribirseensuformaabreviada:

MatrizderotacinbidimensionalDemanerasimilar,lasecuacionesdetransformacinderotacinbidimensionalsobreelorigendecoordenadaspuedenexpresarseenformadematriz,

Enalgunasbibliotecasgrficas,unafuncinderotacinbidimensionalgeneraslorotacionessobreelejedecoordenadas.Unarotacinsobrecualquierotropuntodepivotedeberepresentarsecomounasecuenciadeoperacionesdetransformacin.Unaalternativaenpaquetesgrficosesofrecerparmetrosadicionalesenlarutinaderotacinparalascoordenadasdelpuntodepivote.Unarutinaderotacinqueincluyeparmetrosdelpuntodepivote,luegoestableceunamatrizgeneralderotacin,sinlanecesidaddeinvocarunasucesindefuncionesdetransformacin.MatrizdecambiodeescalabidimensionalFinalmente,unatransformacindecambiodeescalarelativaalorigendecoordenadaspuedeahoraexpresarsecomolamatrizdemultiplicacin:

Algunasbibliotecasofrecenunafuncindecambiodeescalaquepuedegenerarslouncambiodeescalaconrespectoalorigendecoordenadas,comoenlaEcuacin5.21.Enestecaso,unatransformacindecambiodeescalarelativaaotraposicindereferenciaesllevadaacabocomounasucesindeoperacionesdetransformacin.Sinembargo,otrossistemassincluyenunarutinadecambiodeescalageneralquepuedeconstruirmatriceshomogneaspararealizarcambiosdeescalaconrespectoapuntosfijosdesignados.TransformacionesinversasParalatraslacin,obtenemoslamatrizinversamediantelanegacindelasdistanciasdetraslacin.As,sitenemosdistanciasdetraslacinbidimensionalesy,lamatrizdetraslacininversaes:

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Estoproduceunatraslacinenladireccinopuesta,yelproductodelamatrizdetraslacinysuinversaproducenlamatrizidentidad.Unarotacininversaseobtienesustituyendoelnguloderotacinporsunegativo.Porejemplo,unarotacinbidimensionalatravsdelngulosobreelorigendecoordenadas,tienelamatrizdetransformacin:

Losvaloresnegativosparalosngulosderotacingeneranrotacionesenelsentidodelasagujasdelreloj,as,lamatrizidentidadseproducecuandoalgunamatrizderotacinsemultiplicaporsuinversa.Puestoqueporelcambiodesignodelnguloderotacinsloseveafectadalafuncinseno,lamatrizinversapuedeobtenersetambinintercambiandofilasporcolumnas.Formamoslamatrizinversaparacualquiertransformacindeescalasustituyendolosparmetrosdeescalaporsusrecprocos.Paraescalasbidimensionalesconparmetrosyaplicadosrespectoalorigendecoordenadas,lamatrizdetransformacininversaes:

Lamatrizinversageneraunatransformacindeescalaopuesta,detalformaquelamultiplicacindecualquiermatrizdeescalaporsuinversaproducelamatrizidentidad.3.3.TransformacionesCompuestasbidimensionalesUsandolarepresentacindematrices,podemosestablecerunasecuenciadetransformacionescomomatrizdetransformacincompuestacalculandoelproductodelastransformacionesindividuales.Formandoproductosconlasmatricesdetransformacinescomnreferirseaellocomoconcatenacin,ocomposicin,dematrices.Desdeunaposicindecoordenadasrepresentadacomounamatrizcolumnahomognea,debemospremultiplicarlamatrizcolumnaporlasmatrices,representandounasecuenciadetransformaciones.Y,comomuchasposicionesdeunaescenasonnormalmentetransformadasporlamismasecuencia,esmseficienteprimeromultiplicarlatransformacindematricesparaformarunanicamatrizcompuesta.As,siqueremosaplicardostransformacionesalaposicindeunpuntoP,laubicacintransformadasecalcularacomo:

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LaposicindecoordenadassetransformausandolamatrizcompuestaM,mejorqueaplicandolastransformacionesindividualesyluego.

OtrastransformacionesbidimensionalesLastransformacionesbsicastalescomolatraslacin,larotacinyelcambiodeescalasoncomponentesestndaresdelasbibliotecasgrficas.Algunospaquetesofrecenalgunastransformacionesadicionalesquepuedensertilesenciertasaplicaciones.Dosdedichastransformacionessonlareflexinylainclinacin.ReflexinUnatransformacinqueproducelaimagendeunobjetoenunespejosellamareflexin.Paraunareflexinbidimensional,estaimagensegenerarespectoaunejedereflexinrotandoelobjeto180sobredichoejedereflexin.Podemoselegirunejedereflexinenelplano.operpendicularalplano.Cuandoelejedereflexinesunalneaenelplano,latrayectoriadelarotacinesttambinenelplano.Acontinuacinseproporcionanejemplosdealgunasreflexionescomunes.

Lareflexinrespectodelalnea(eleje)selograconlamatrizdetransformacin:

Estatransformacinconservalosvalores,perodalavueltaalasposicionesdecoordenadasdevalores.LaorientacinresultantedeunobjetodespusdehabersidoreflejadosobreelejesemuestraenlaFigurasiguiente.

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Paraimaginarlatrayectoriadelatransformacinderotacinparaestareflexin,podemospensarenelobjetoplanomovindosefueradelplanoygirando180atravsdeunespaciotridimensionalalrededordelejeycolocadodenuevosobreelplanoalotroladodeleje.

Unareflexinsobrelalnea(eleje)vuelcalascoordenadasmientrasquemantienelasmismascoordenadas.Lamatrizparaestatransformacines:

Lafigurasiguienteilustraelcambiodeposicindeunobjetoquehasidoreflejadorespectodelalnea.

Larotacinequivalenteenestecasoes180atravsdelespaciotridimensionalsobreeleje.Damoslavueltatantoalascoordenadascomoalasdeunpunto,mediantelareflexinrelativadeunejequeesperpendicularalplanoyquepasaporelorigendecoordenadas.Estareflexinavecessedenominareflexinrelativaalorigendecoordenadas,yesequivalenteareflejarconrespectoaambosejesdecoordenadas.Lamatrizderepresentacinparaestareflexines:

Lafigurasiguientemuestraunejemplodereflexinrespectodelorigen.Lamatrizdereflexinanterioreslamismaquelamatrizderotacincon.Sencillamenteestamosgirandoelobjetoenelplanomediavueltaalrededordelorigen.

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Lamatrizdereflexinparaelcasoanteriorsepuedegeneralizarseparalareflexindecualquierpuntoenelplanocomosemuestraenlafigurasiguiente.Estareflexineslomismoquelarotacinde180enelplano,alrededordeunpuntodereflexin.

Sielegimoselejedereflexincomolalneadiagonal,lamatrizdereflexines:

Ylafiguramuestraelresultado.

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Podemosobtenerestamatrizconcatenandounasecuenciaderotacionesyreflexionesdematricessobrelosejesdecoordenadas.UnaposiblesecuenciasemuestraenlaFigurasiguiente.

Aqu,primerollevamosacabounarotacinenelsentidodelasagujasdelrelojconrespectoalorigenatravsdeunngulode45,querotalalneaysobreeleje.Acontinuacinrealizamosunareflexinconrespectoaleje.Elpasofinalconsisteengirarlalneadevueltaasuposicinoriginalconunarotacinde45ensentidocontrarioaldelasagujasdelreloj.Otrasecuenciadetransformacionesequivalenteconsisteenreflejarprimeroelobjetosobreelejeyluegorotarloenelsentidodelasagujasdelreloj.

Ejercicioobtenerunamatrizparalareflexinconrespectoalalnea.

Lasreflexionessobrecualquierlneaenelplanopuedenrealizarseconunacombinacindetransformacionestraslacinrotacinreflexin.Engeneral,primerotrasladamoslalneadetalformaquepaseporelorigen.Luegopodemosgirarlalneahaciaunodelosejesdecoordenadasyreflejarlasobredichoeje.Finalmente,reestablecemoslalneaasuposicinoriginalconlastransformacionesinversasderotacinytraslacin.Podemosimplementarreflexionesconrespectoalosejesdecoordenadasoalorigendecoordenadascomotransformacionesdeescalaconfactoresdeescalanegativos.Adems,

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loselementosdelamatrizdereflexinpuedendefinirseconvaloresdistintosde1.Unparmetrodereflexindeunamagnitudsuperiora1cambialaimagendelespejoporunpuntomsalejadodelejedereflexin,yunparmetrocuyamagnitudesinferiora1traelaimagendelespejoaunpuntomscercanoalejedereflexin.As,unobjetoreflejadopuedetambinagrandarse,reducirseodistorsionarse.

InclinarUnatransformacinquedistorsionalaformadeunobjetodetalmaneraquelaformaobtenidaaparececomosielobjetoestuvieracompuestoporcapasinternasquesehubieranobtenidoresbalandounassobreotrasesloquesedenominainclinacin.Dostransformacionescomunesparaproducirunainclinacinsonaquellasquedesplazanlosvaloresdelascoordenadasylasquedesplazanlosvaloresde.Unainclinacinenladireccinrespectoalejeseproduceconlamatrizdetransformacin:

Lacualtransformalaposicindecoordenadascomosigue:

Cualquiernmerorealpuedeasignarsealosparmetrosdeinclinacin.Entonces,unaposicindecoordenadassecambiahorizontalmenteporunacantidadproporcionalasudistanciaperpendicular(valor)desdeeleje.

Ejemplo,Establecerelparmetroporejemploconelvalor2,mostrarentonceselresultadodeinclinarelrecuadrodevrtices(0,0)(1,0)(1,1)(0,1).

Losvaloresnegativosparacambianlasposicionesdelascoordenadashacialaizquierda.

Transformacionesentresistemasdecoordenadasbidimensionales

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Lasaplicacionesdegrficosporcomputadoraimplicantransformacionesdecoordenadasdeunmarcodereferenciaaotrodurantevariasetapasdelprocesamientodelaescena.Lasrutinasdevisualizacintransformandescripcionesdeobjetosdelascoordenadasuniversalesaunascoordenadasdedispositivodesalida.Paraaplicacionesdemodeladoydiseo,losobjetosindividualessedefinentpicamenteensuspropiasreferenciascartesianaslocales.Estasdescripcionesdecoordenadaslocalesdeben,portanto,transformarseenposicionesyorientacionesdentrodelsistemadecoordenadastotaldelaescena.Unprogramaparafacilitarlagestindeladisposicindeoficinas,porejemplo,tienedescripcionesdecoordenadasindividualesparasillasymesasyotrosmueblesquepuedencolocarseenelplanodelaplanta,conmltiplescopiasdesillasyotroselementosendiferentesposiciones.Adems,lasescenasavecessedescribenenmarcosdereferencianocartesianosqueaprovechanlassimetrasdelosobjetos.Lasdescripcionesdecoordenadasenestossistemasdebenconvertirseacoordenadasuniversalescartesianasparaserprocesadas.LaFigurasiguientemuestraunsistemacartesianoespecificadoconelorigendecoordenadasyunngulodeorientacinenunmarcodereferenciacartesiano.Paratransformarlasdescripcionesdelobjetodelascoordenadasalascoordenadas.establecemosunatransformacinquesuperponelosejessobrelosejes.Estoserealizaendospasos:(1)Traslacindetalformaqueelorigendelsistemasemuevaalorigen(0,0)delsistema.(2)Rotacindelejesobreeleje.Latransformacindelorigendecoordenadassellevaacaboconlamatrizdetransformacin:

LaorientacindelosdossistemasdespusdelaoperacindetraslacindeberanaparecercomoenlaFigurasiguiente.

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Paraconseguirquelosejesdelosdossistemascoincidan,hacemosunarotacinenelsentidodelasagujasdelreloj:

Concatenarestasdosmatricesdetransformacin,nosdacomoresultadolamatrizcompuestacompletaparatransformarlasdescripcionesdelobjetodesdeelsistemaalsistema:

CAPTULOIV:RECORTES4.1.AlgoritmosderecorteGeneralmente,cualquierprocedimientoqueeliminaaquellasporcionesdeunaimagenqueestndentroofueradeunaregindelespacioespecificadasedenominaalgoritmoderecorteosimplementerecorte.Habitualmente,unareginderecorteesunrectnguloenposicinestndar,aunquepodramosutilizarcualquierformaenunaaplicacinderecorte.Laaplicacinderecortemscomnestenlapipelinedevisualizacin,dondeelrecorteseaplicaparaextraerunaporcindesignadadelaescena(bidimensionalotridimensional)parasuvisualizacinenundispositivodesalida.Losmtodosderecortetambinseutilizanparasuavizarloslmitesdelosobjetos,paraconstruirobjetosutilizandomtodosdemodeladodeslidos,gestionarentornosmultiventanayparapermitirquepartesdeunaimagensemuevan,secopienoseborrenenprogramasdedibujoypintura.Losalgoritmosderecorteseaplicanenprocedimientosdevisualizacinbidimensionalparaidentificaraquellaspartesdeunaimagenqueestndentrodelaventanaderecorte.Todoloqueseencuentrafueradelaventanaderecorte,seeliminadeladescripcindelaescenaquesetransfierealdispositivodesalidaparasuvisualizacin.Unaimplementacineficientederecorteenlapipelinedevisualizacinconsisteenaplicarlosalgoritmosaloslmitesnormalizadosdelaventanaderecorte.Estoreducelosclculos,porquetodaslasmatricesdetransformacingeomtricaydevisualizacinsepuedenconcatenaryaplicaraunadescripcindeunaescenaantesdequeelrecorteselleveacabo.Laescenarecortadasepuededespustransferiralascoordenadasdepantallaparaelprocesamientofinal.Sepuedetratar,algoritmosbidimensionalespara:RecortedepuntosRecortedelincas(segmentosdelnearecta)Recortedereasderelleno(polgonos)RecortedecurvasRecortedetexto

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Elrecortedepuntos,lneasypolgonosesuncomponenteestndardelospaquetesgrficos.Perosepuedenaplicarmtodossimilaresaotrosobjetos,particularmentecnicas,talescomocrculos,elipsesyesferas,ademsdecurvasdetiposplineyasuperficies.Habitualmente,sinembargo,losobjetosconlmitesnolinealesseaproximanmediantesegmentosdelnearectaosuperficiesdepolgonosparareducirlosclculos.Amenosqueseindiqueotracosa,asumimosquelareginderecorteesunaventanarectangularenposicinestndar,conlasaristaslmiteenlascoordenadas,,,.Estasaristaslmitehabitualmentesecorrespondenconuncuadradonormalizado,enelquelosvaloresdexeyseencuentrandentrodelrangoquevaradesde0a1desde1a1.4.2RecortedepuntosbidimensionalesEnunrectnguloderecorteubicadoenlaposicinestndar,mantenemosunpuntobidimensionalparasuvisualizacinsisesatisfacenlassiguientesdesigualdades:

Sinosesatisfaceunadeestascuatroecuaciones,elpuntoserecorta(noseguardaparasuvisualizacin).Aunqueelrecortedepuntosseaplicamenosamenudoqueelrecortedelneasodepolgonos,resultatilendiversassituaciones,sobretodocuandolasimgenessemodelancomosistemasdepartculas.Porejemplo,sepuedeaplicarrecortedepuntosaescenasqueincluyannubes,espumademar,humooexplosionesqueestnmodeladasmediantepartculas,talescomolascoordenadasdeloscentrosdepequeoscrculosoesferas.

4.3Recortedelneasbidimensionales

LaFiguramuestraposiblesposicionesdesegmentosdelnearectaenrelacinconunaventanaderecorteestndar.Unalgoritmoderecortedelneasprocesacadalneadeuna

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escenamedianteunaseriedepruebasyclculosdeinterseccionesparadeterminarsisedebeguardarlalneacompletaounapartedesta.Lapartemscostosadeunprocedimientoderecortedelneaseselclculodelasinterseccionesdeunalneaconlasaristasdelaventana.Portanto,unobjetivoimportanteencualquieralgoritmoderecortedelneasconsisteenminimizarlosclculosdeintersecciones.Paraello,podemosrealizarenprimerlugarpruebasparadeterminarsiunsegmentodelneaestcompletamentedentrodelaventanaderecorteoestcompletamentefuera.Essencillodeterminarsiunalneaestcompletamentedentrodeunaventana,peroesmsdifcilidentificartodaslaslneasqueestncompletamentefueradelaventana.Sisomosincapacesdeidentificarsiunalneaestcompletamentedentroocompletamentefueradeunrectnguloderecorte,debemosentoncesrealizarlosclculosdeinterseccinparadeterminarsiunapartedelalneacruzaelinteriordelaventana.Comprobamosunsegmentodelneaparadeterminarsiestcompletamentedentroofueradelbordedeunaventanaderecorteseleccionada,aplicandolaspruebasderecortedepuntosdelaseccinanterior.Cuandoambospuntosextremosdeunsegmentodelneaestndentrodeloscuatrolmitesderecorte,comolalneaquevadeaenlaFiguraanterior,lalneaestcompletamentedentrodelaventanaderecorteylaguardamos.Cuandoambospuntosextremosdeunsegmentodelneaseencuentranfueradecualquieradeloscuatrolmites(lneaaenlaFiguraanterior),dichalneaseencuentracompletamentefueradelaventanayseeliminadeladescripcindelaescena.Perosiambaspruebasfallan,elsegmentodelneaintersectaconalmenosunlmitederecorteypuedeonocruzarelinteriordelaventanaderecorte.Unmododeformularlaecuacindeunsegmentodelnearectaconsisteenutilizarlasiguienterepresentacinparamtrica,dondelascoordenadasydesignanlosdospuntosextremosdelalnea.

Podemosutilizarestarepresentacinparadeterminardndeunsegmentodelneacortacadaaristadelaventanaderecorte,asignandoelvalordelacoordenadadecadaaristaaxoyyresolviendoparaelparmetrou.Amododeejemplo,ellmiteizquierdadelaventanaestenlaposicinporloquesustituimosxporestevaloryresolvemosparau,ycalculamoselvalordeinterseccinycorrespondiente.Siestevalordeuseencuentrafueradelrangoquevaradesde0a1,elsegmentodelneanointersectacondichaaristadelaventana.Perosielvalordeuseencuentradentrodelrangoquevaraentre0y1,partedelalneaseencuentradentrodedichoborde.Podemosacontinuacinprocesarestaporcininteriordelsegmentodelneaconrespectoalosdemslmitesderecortehastaquehayamosrecortadolalneaenteraoencontremosunapartequeestdentrodelaventana.

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Elprocesamientodesegmentosdelneadeunaescenautilizandolasencillatcnicadescritaenelprrafoanterioresdirecto,peronomuyeficiente.Esposiblereformularlapruebainicialylosclculosdeinterseccinparareducireltiempodeprocesamientodeunconjuntodesegmentosdelnea.Sehandesarrolladoalgoritmosderecortedelneasmsrpidos.Algunosdeestosalgoritmossehandiseadoexplcitamenteparaimgenesbidimensionalesyalgunosseadaptanfcilmenteaconjuntosdesegmentosdelneatridimensionales.RecortedelneasdeCohenSutherlandsteesunodealgoritmosmsantiguosquesehadesarrolladoparaelrecortedelneasrpido,yvariacionesdeestemtodoseutilizanampliamente.EltiempodeprocesamientosereduceenelmtododeCohenSutherlandrealizandomspruebasantesdeprocederconlosclculosdelasintersecciones.Inicialmente,seasignaacadapuntoextremodelaslneasdeunaimagenunvalorbinariodecuatrodgitosllamadocdigoderegin.Cadabitseutilizaparaindicarsiestdentroofueradeunodeloslmitesdelaventanaderecorte.Podemoshacerreferenciaalasaristasdelaventanaencualquierorden.

LaFiguraanteriormuestraunaposibleordenacinenlaquelosbitsestnnumeradosde1a4dederechaaizquierda.Portanto,paraestaordenacin,elbitsituadomsaladerecha(bit1)hacereferenciaalbordeizquierdodelaventanaderecorte,yelsituadomsalaizquierda(bit4)hacereferenciaalbordesuperiordelaventana.Unvalorde1(overdadero)encualquierbitindicaqueelpuntoextremoestfueradelaventana.Deformasimilar,unvalorde0(ofalso)encualquierbitindicaqueelpuntoextremonoestfuera(estdentroosobre)dellmitecorrespondientedelaventana.Aveces,uncdigodereginsedenominacdigodefueraporqueunvalorde1encualquierbitindicaqueelpuntodelespacioestfueradelcorrespondientebordederecorte.Cadaaristadelaventanaderecortedivideelespaciobidimensionalenunsemiespaciointerioryunsemiespacioexterior.Entotal,loscuatrolmitesdelaventanacreannueveregiones.LaFigurasiguienteenumeraelvalordelcdigobinarioencadaunadeestasregiones.Portanto,aunpuntoextremoqueestsituadodebajoyalaizquierdadela

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ventanaderecorteseleasignauncdigoderegin0101,yelvalordelcdigoderegindecualquierpuntointerioralaventanaderecortees0000.

1001 1000 1010

00010000Ventanaderecorte

0010

0101 0100 0110

Losvaloresdelosbitsdeuncdigodereginsedeterminancomparandolosvaloresdelascoordenadasdeunpuntoextremoconloslmitesderecorte.Elbit1seponea1si.Losvaloresdelosotrostresbitssedeterminandeformasemejante.Enlugardeutilizarpruebasdedesigualdad,podemosdeterminarmseficientementelosvaloresdeuncdigodereginutilizandolasoperacionesdeprocesamientodebitsysiguiendodospasos:Calcularlasdiferenciasentrelascoordenadasdelospuntosextremosyloslmitesderecorte.Utilizarelbitdesignoresultantedecadaclculodediferenciaparacambiarelvalorcorrespondientedecadacdigoderegin.(un0denotaunnmeropositivo,yun1denotaunnmeronegativo)EnelcasodelesquemadeordenacinmostradoenlaFiguraanterior,elbit1eselbitdesignodeelbit2eselbitdesignodeelbil3eselbitdesignodeyelbit4eselbitdesignode.Unavezquehemosestablecidoloscdigosderegindetodoslospuntosextremosdetodaslaslneas,podemosdeterminarrpidamentequlneasseencuentrancompletamentedentrodelaventanaderecorteyculesseencuentranclaramentefuera.Cualesquieralneasqueseencuentrancompletamentecontenidasdentrodelasaristasdelaventanatienenuncdigoderegin0000enambospuntosextremosyestossegmentosdelnealosguardamos.Cualquierlneaquetengauncdigoderegindevalor1enelmismobitencadapuntoextremoestcompletamentefueradelrectnguloderecorte,porloqueeliminamosdichosegmentodelnea.Amododeejemplo,unalneaquetengauncdigoderegin1001enunpuntoextremoyuncdigo0101enelotropuntoextremoestcompletamentealaizquierdadelaventanaderecorte,comoloindicaelvalor1enelprimerbitdecadacdigoderegin.

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Podemosrealizarlaspruebasdedentrofueraparalossegmentosdelneautilizandooperadoreslgicos.Cuandolaoperacinorentrelosdoscdigosderegindelospuntosextremosdeunsegmentodelneaesfalsa(0000),lalneaseencuentradentrodelaventanaderecorte.Portanto,guardamoslalneayprocedemosacomprobarlalneasiguientedeladescripcindelaescena.Cuandolaoperacinandentrelosdoscdigosderegindelospuntosextremosdeunalneaesverdadera(no0000),lalneaestcompletamentefueradelaventanaderecorte,ypodemoseliminarladeladescripcindelaescena.Enelcasodelaslneasquenosepuedenidentificarcomoqueestncompletamentedentroocompletamentefueradeunaventanaderecortemediantelaspruebasdelcdigoderegin,secompruebaacontinuacinsiintersectanconloslmitesdelaventana.ComosemuestraenlaFigurasiguiente,lossegmentosdelneapuedeninterceptarconloslmitesderecortesinentrardentrodelinteriordelaventana.

Portanto,pararecortarunsegmentodelneapodransernecesariosvariosclculosdeintersecciones,dependiendodelordenenqueseproceseloslmitesderecorte.Cuandoprocesamoscadaaristadelaventanaderecorte,serecortaunapartedelalnea,ylapartequepermanecedelalneasecompruebafrentealosrestanteslmitesdelaventana.Continuaremoseliminandoparteshastaquelalneaesttotalmenterecortadaolapartequepermanecedelalneaseencuentredentrodelaventanaderecorte.Enelsiguienteestudio,asumimosquelasaristasdelaventanaseprocesanenelorden:izquierda,derecha,inferior,superior.Paradeterminarsiunalneacruzaunlmitederecorteseleccionado,podemoscomprobarlosvalorescorrespondientesdelosbitsdeloscdigosderegindelosdospuntosextremos.Siunodeestosbitses1yelotroes0,elsegmentodelneacruzadicholmite.LaFiguraAnteriormuestradossegmentosdelneaquesepuedenidentificarinmediatamentecomocompletamentedentroocompletamentefueradelaventanade

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recorte.Loscdigosderegindelalneadesdeason0100y1001.Portanto,estdentrodellmiteizquierdoderecortey,estfueradedicholmite.Acontinuacin,calculamoslainterseccin,yrecortamoslapartedelalneadesdea.Lapartequepermanecedelalneaseencuentradentrodelalnealmitederecha,yporelloacontinuacincomprobamosellmiteinferior.Elpuntoextremoseencuentrapordebajodelaaristainferiorderecorteyseencuentraporencimadesta,porloquedeterminamoslainterseccinconestaarista.Eliminamoslapartedelalneadesdeayprocedemosconlaaristasuperiordelaventana.Alldeterminamoslainterseccin.Elltimopasoconsisteenrecortarlapartesituadaporencimadellmitesuperioryguardarelsegmentointeriordesde,hasta.Enelcasodelasegundalnea,obtenemosqueelpunto,seencuentrafueradellmiteizquierdoyseencuentradentro.Portanto,calculamoslainterseccinyeliminamoslapartedelalincaquevadesdeayComprobandoloscdigosderegindelospuntosextremosy,observamosquelapartequepermanecedelalneaseencuentrapordebajodelaventanaderecorteysepuedeeliminartambin.Cuandoserecortaunsegmentodelneautilizandoestatcnicasepuedecalcularunainterseccinconloscuatrolmitesderecorte,dependiendodecmoseprocesanlospuntosextremosdelalneayquordenacinutilicemosenloslmites.

LaFiguramuestralascuatrointerseccionesquesepodrancalcularseparaunsegmentodelneaqueseprocesaf